P বিন্দু \( A\left(x_{1}, y_{1}\right) \) ও \( B\left(x_{2}, y_{2}\right) \) বিন্দু দুটির সংযোজক রেখাংশকে \( m: n \) অনুপাতে বিভক্ত করে। যদি \( a x+b y+c=0 \) সরলরেখা P বিন্দুগামী হয়, তবে দেখাও যে, \( \frac{m}{n}=-\frac{a x_{1}+b y_{1}+c}{a x_{2}+b y_{2}+c} \)

ধরি P, AB কে m : n অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে
\( \therefore \mathrm{p} \) এর স্থানাঙ্ক \( \left(\frac{m x_{2}+n x_{1}}{m+n}, \frac{m y_{2}+n y_{1}}{m+n}\right) \) যা \( a x+b y+c=0 \) রেখার উপর অবস্থিত \[\begin{align} & a\times \frac{m{{x}_{2}}+n{{x}_{1}}}{m+n}+b\times \frac{m{{y}_{2}}+n{{y}_{1}}}{m+n}+c=0 \\ & \Rightarrow \left( \frac{1}{m+n} \right)\left( am{{x}_{2}}+an{{x}_{1}}+bm{{y}_{2}}+bn{{y}_{1}} \right)=-c \\ & \Rightarrow \left( am{{x}_{2}}+an{{x}_{1}}+bm{{y}_{2}}+bm{{y}_{1}} \right)=-cm-cn \\ & \Rightarrow am{{x}_{2}}+cm+bm{{y}_{2}}=-an{{x}_{1}}-cn-bn{{y}_{1}} \\ & \Rightarrow am{{x}_{2}}+cm+bm{{y}_{2}}=-\left( an{{x}_{1}}+cn+bn{{y}_{1}} \right) \\ & \Rightarrow m\left( a{{x}_{2}}+b{{r}_{2}}+c \right)=-n\left( a{{x}_{1}}+c+b{{y}_{1}} \right) \\ & \Rightarrow \frac{m}{n}=-\frac{\left( a{{x}_{1}}+b{{y}_{1}}+c \right)}{\left( a{{x}_{2}}+b{{r}_{2}}+c \right)}\quad \left( \text{Proved} \right) \\ \end{align}\]