koshe dekhi 12 class 6

1. তিনটি ছােটো ট্যাঙ্কে যথাক্রমে 35 লিটার , 56 লিটার ও 84 লিটার তেল আছে। হিসাব করি সবচেয়ে বড়াে কত মাপের পাত্র দিয়ে ট্যাঙ্ক তিনটির তেল পূর্ণসংখ্যক বার মাপতে পারব।

সমাধানঃ

35, 56 এবং 84 কে মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে পাই,

35 = 5 × 7

56 = 2 × 2 × 2 × 7

84 = 2 × 2 × 3 × 7

∴ 35, 56 এবং 84 এর গ.সা.গু

= 7

সুতরাং, 7 লিটার মাপের পাত্র লাগবে।

উত্তরঃ সবচেয়ে বড়াে 7 লিটার মাপের পাত্র দিয়ে ট্যাঙ্ক তিনটির তেল পূর্ণসংখ্যক বার মাপতে পারব।

koshe dekhi 12 class 6

2. আমাদের স্কুলের হল ঘরের দৈর্ঘ্য 2000 সেমি. এবং প্রস্থ 1600 সেমি.। হিসাব করে দেখি সবচেয়ে লম্বা কত দৈর্ঘ্যের ফিতে দিয়ে এই হল ঘরের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ দু-দিকই পূর্ণসংখ্যায় মাপতে পারব।

সমাধানঃ

2000 এবং 1600 কে মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে পাই,

2000 = 2 × 2 × 2 × 2 × 5 × 5 × 5

1600 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 5 × 5

∴ 2000 এবং 1600 এর গ.সা.গু

= 2 × 2 × 2 × 2 × 5 × 5

= 400

সুতরাং, 400 সেমি. অর্থাৎ, 4 মিটার দৈর্ঘ্যের ফিতে লাগবে।

উত্তরঃ সবচেয়ে লম্বা 4 মিটার দৈর্ঘ্যের ফিতে দিয়ে হল ঘরের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ দু-দিকই পূর্ণসংখ্যায় মাপতে পারব।

koshe dekhi 12 class 6

3. 1071 টি ধুতি, 595 টি শাড়ি ও 357 টি জামা মজুত আছে। হিসাব করে দেখি সবচেয়ে বেশি কত পরিবারের মধ্যে ওই জিনিসগুলি সমানভাগে ভাগ করে দিতে পারব এবং প্রত্যেক পরিবার কতগুলি করে কি কি জিনিস পাবে।

সমাধানঃ

1071, 595 ও 357 কে মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে পাই,

1071 = 3 × 3 × 7 × 17

595 = 5 × 7 × 17

357 = 3 × 7 × 17

∴ 1071, 595 ও 357 এর গ.সা.গু

= 7 × 17

= 119

সুতরাং, 119 টি পরিবারের মধ্যে জিনিসগুলি সমানভাগে ভাগ করে দিতে পারব

এবং প্রত্যেক পরিবার ধুতি পাবে

$=\frac{1071}{119}$

= 9 টি,

শাড়ি পাবে

$=\frac{595}{119}$

= 5 টি,

জামা পাবে

$=\frac{357}{119}$

= 3 টি

উত্তরঃ সবচেয়ে বেশি 119 টি পরিবারের মধ্যে ওই জিনিসগুলি সমানভাগে ভাগ করে দিতে পারব এবং প্রত্যেক পরিবার ধুতি পাবে 9 টি, শাড়ি পাবে 5 টি ও জামা পাবে 3 টি করে।

koshe dekhi 12 class 6

4. একটি ইঞ্জিনের সামনের চাকার পরিধি 1 মি. 4 ডেসিমি. এবং পেছনের চাকার পরিধি সামনের চাকার পরিধির আড়াই গুণ। হিসাব করে দেখি কমপক্ষে কত পথ গেলে চাকা দুটি একই সঙ্গে পূর্ণসংখ্যক বার ঘােরা সম্পূর্ণ করবে।

সমাধানঃ

ইঞ্জিনের সামনের চাকার পরিধি

= 1 মি. 4 ডেসিমি.

= (1 × 10) ডেসিমি. + 4 ডেসিমি.

= 10 ডেসিমি. + 4 ডেসিমি.

= 14 ডেসিমি.

∴ পেছনের চাকার পরিধি

= 14 ডেসিমি. × $2\frac{1}{2}$

$=14\times \frac{5}{2}$

= 35 ডেসিমি.

14 ও 35 কে মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে পাই,

14 = 2 × 7

35 = 5 × 7

∴ 14 ও 35 এর ল.সা.গু

= 7 × 2 × 5

= 70 ডেসিমি.

$=\frac{70}{10}$ মিটার

= 7 মিটার

উত্তরঃ কমপক্ষে 7 মিটার পথ গেলে চাকা দুটি একই সঙ্গে পূর্ণসংখ্যক বার ঘােরা সম্পূর্ণ করবে।

koshe dekhi 12 class 6

5. নীচের সংখ্যাগুলির গ.সা.গু. -এর মান কি হবে খুঁজি –

(a) 24, 36, 54

সমাধানঃ

24, 36 ও 54 কে মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে পাই,

24 = 2 × 2 × 2 × 3

36 = 2 × 2 × 3 × 3

54 = 2 × 3 × 3 × 3

∴ 24, 36 ও 54 এর গ.সা.গু

= 2 × 3

= 6 (উত্তর)

koshe dekhi 12 class 6

5. নীচের সংখ্যাগুলির গ.সা.গু. -এর মান কি হবে খুঁজি –

(b) 24, 30, 40, 48

সমাধানঃ

24, 30, 40 ও 48 কে মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে পাই,

24 = 2 × 2 × 2 × 3

30 = 2 × 3 × 5

40 = 2 × 2 × 2 × 5

48 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3

∴ 24, 36 ও 54 এর গ.সা.গু

= 2 (উত্তর)

koshe dekhi 12 class 6

5. নীচের সংখ্যাগুলির গ.সা.গু. -এর মান কি হবে খুঁজি –

সমাধানঃ

296, 703 ও 814 কে মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে পাই,

296 = 2 × 2 × 2 × 37

703 = 19 × 37

814 = 2 × 11 × 37

∴ 296, 703 ও 814 এর গ.সা.গু

= 37 (উত্তর)

koshe dekhi 12 class 6

5. নীচের সংখ্যাগুলির গ.সা.গু. -এর মান কি হবে খুঁজি –

(d) 160, 165, 305

সমাধানঃ

160, 165 ও 305 কে মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে পাই,

160 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 5

165 = 3 × 5 × 11

305 = 5 × 61

∴ 160, 165 ও 305 এর গ.সা.গু

= 5 (উত্তর)

koshe dekhi 12 class 6

5. নীচের সংখ্যাগুলির গ.সা.গু. -এর মান কি হবে খুঁজি –

(e) 165, 264, 286

সমাধানঃ

165, 264 ও 286 কে মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে পাই,

165 = 3 × 5 × 11

264 = 2 × 2 × 2 × 3 × 11

286 =2 × 11 × 13

∴ 165, 264 ও 286 এর গ.সা.গু

= 11 (উত্তর)

koshe dekhi 12 class 6

5. নীচের সংখ্যাগুলির গ.সা.গু. -এর মান কি হবে খুঁজি –

(f) 906, 1510, 1057

সমাধানঃ

906, 1510 ও 1057 কে মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে পাই,

906 = 2 × 3 × 151

1510 = 2 × 5 × 151

1057 = 7× 151

∴ 906, 1510 ও 1057 এর গ.সা.গু

= 151 (উত্তর)

koshe dekhi 12 class 6

6. কোন বৃহত্তম সংখ্যা দিয়ে 306, 810 ও 2214 -কে ভাগ করলে প্রতিক্ষেত্রে কোনাে ভাগশেষ থাকবে না তা হিসাব করে দেখি।

সমাধানঃ

306, 810 ও 2214 কে মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে পাই,

306 = 2 × 3 × 3 × 17

810 = 2 × 3 × 3 × 3 × 3 × 5

2214 = 2 × 3 × 3 × 3 × 41

∴ 306, 810 ও 2214 এর গ.সা.গু

= 2 × 3 × 3

= 18

উত্তরঃ নির্ণেয় বৃহত্তম সংখ্যাটি হল 18 যা দিয়ে প্রদত্ত সংখ্যাগুলিকে ভাগ করলে প্রতিক্ষেত্রে কোনাে ভাগশেষ থাকবে না।

koshe dekhi 12 class 6

7. তিনটি আলাদা আলাদা রাস্তার ক্রসিংয়ে তিনটি ট্রাফিক সিগনালের আলাে যথাক্রমে প্রতি 16 সেকেন্ড, 28 সেকেন্ড ও 40 সেকেন্ড অন্তর পরিবর্তন হয়। যদি সকাল 8 টায় একসাথে আলাের পরিবর্তন করে তাহলে হিসাব করে দেখি আবার কখন ওই তিনটি ট্রাফিক সিগনালের আলাে একসাথে আবার পরিবর্তন করবে।

সমাধানঃ

16, 28 ও 40 কে মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে পাই,

16 = 2 × 2 × 2 × 2

28 = 2 × 2 × 7

40 = 2 × 2 × 2 × 5

∴ 16, 28 ও 40 এর গ.সা.গু

= 2 × 2

= 4

উত্তরঃ নির্ণেয়

koshe dekhi 12 class 6

8. আমাদের বাড়িতে তিনটি লাঠি আছে যাদের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 45 সেমি., 50 সেমি. ও 75 সেমি.। হিসাব করে দেখি এই তিনটি লাঠির প্রত্যেকটি দিয়ে কমপক্ষে কত দৈর্ঘ্যের ফিতে সম্পূর্ণভাবে মাপতে পারব।

সমাধানঃ

45, 50 ও 75 কে মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে পাই,

কষে দেখি 12

∴ 45, 50 ও 75 এর ল.সা.গু

= 2 × 3 × 3 × 5 × 5

= 450

উত্তরঃ প্রদত্ত তিনটি লাঠির প্রত্যেকটি দিয়ে কমপক্ষে 450 সেমি দৈর্ঘ্যের ফিতে সম্পূর্ণভাবে মাপতে পারব।

koshe dekhi 12 class 6

9. ক্ষুদ্রতম সংখ্যা খুঁজি যা 15, 20, 24 এবং 32 দ্বারা বিভাজ্য।

সমাধানঃ

15, 20, 24 এবং 32 কে মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে পাই,

কষে দেখি 12

∴ 15, 20, 24 এবং 32 এর ল.সা.গু

= 2 × 2 × 2 × 3 × 4 × 5

= 480

উত্তরঃ নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি হল 480 যা 15, 20, 24 এবং 32 দ্বারা বিভাজ্য।

koshe dekhi 12 class 6

10. নীচের সংখ্যাগুলির ল.সা.গু. -এর মান খুঁজি –

(a) 36, 60, 72

সমাধানঃ

36, 60 এবং 72 কে মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে পাই,

কষে দেখি 12

∴ 36, 60 এবং 72 এর ল.সা.গু

= 2 × 2 × 3 × 3 × 5 × 2

= 360 (উত্তর)

koshe dekhi 12 class 6

10. নীচের সংখ্যাগুলির ল.সা.গু. -এর মান খুঁজি –

(b) 24, 36, 45, 60

সমাধানঃ

24, 36, 45 এবং 60 কে মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে পাই,

কষে দেখি 12

∴ 24, 36, 45 এবং 60 এর ল.সা.গু

= 2 × 2 × 3 × 3 × 5 × 2

= 360 (উত্তর)

koshe dekhi 12 class 6

10. নীচের সংখ্যাগুলির ল.সা.গু. -এর মান খুঁজি –

সমাধানঃ

105, 119 এবং 289 কে মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে পাই,

কষে দেখি 12

∴ 105, 119 এবং 289 এর ল.সা.গু

= 7 × 17 × 15 × 17

= 30345 (উত্তর)

koshe dekhi 12 class 6

10. নীচের সংখ্যাগুলির ল.সা.গু. -এর মান খুঁজি –

(d) 144, 180, 348

সমাধানঃ

144, 180 এবং 348 কে মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে পাই,

কষে দেখি 12

∴ 144, 180 এবং 348 এর ল.সা.গু

= 2 × 2 × 3 × 3 × 4 × 5 × 29

= 20880 (উত্তর)

koshe dekhi 12 class 6

10. নীচের সংখ্যাগুলির ল.সা.গু. -এর মান খুঁজি –

(e) 110, 165, 330

সমাধানঃ

110, 165 এবং 330 কে মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে পাই,

কষে দেখি 12

∴ 110, 165 এবং 330 এর ল.সা.গু

= 5 × 11 × 2 × 3

= 330 (উত্তর)

koshe dekhi 12 class 6

10. নীচের সংখ্যাগুলির ল.সা.গু. -এর মান খুঁজি –

(f) 204, 408, 306

সমাধানঃ

204, 408 এবং 306 কে মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে পাই,

কষে দেখি 12

∴ 204, 408 এবং 306 এর ল.সা.গু

= 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 17

= 1224 (উত্তর)

koshe dekhi 12 class 6

11. নীচের রাশিগুলির ল.সা.গু. ও গ.সা.গু.-এর মান খুঁজি –

(ক) 6 টাকা 50 পয়সা, 5 টাকা 20 পয়সা এবং 7 টাকা 80 পয়সা।

সমাধানঃ

6 টাকা 50 পয়সা

= (6 × 100) পয়সা + 50 পয়সা [যেহেতু, 1 টাকা = 100 পয়সা]

= 600 পয়সা + 50 পয়সা

= 650 পয়সা

5 টাকা 20 পয়সা

= (5 × 100) পয়সা + 20 পয়সা [যেহেতু, 1 টাকা = 100 পয়সা]

= 500 পয়সা + 20 পয়সা

= 520 পয়সা

7 টাকা 80 পয়সা

= (7× 100) পয়সা + 80 পয়সা [যেহেতু, 1 টাকা = 100 পয়সা]

= 700 পয়সা + 80 পয়সা

= 780 পয়সা

650, 520 এবং 780 কে মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে পাই,

650 = 2 × 5 × 5 × 13

520 = 2 × 2 × 2 × 5 × 13

780 = 2 × 2 × 3 × 5 × 13

∴ 650, 520 এবং 780 এর গ.সা.গু

= 2 × 5 × 13

= 130 পয়সা

= 100 পয়সা + 30 পয়সা

= 1 টাকা 30 পয়সা (উত্তর)

∴ 650, 520 এবং 780 এর ল.সা.গু

= 2 × 5 × 13 × 2 × 5 × 2 × 3

= 7800 পয়সা

= 78 টাকা (উত্তর)

koshe dekhi 12 class 6

11. নীচের রাশিগুলির ল.সা.গু. ও গ.সা.গু.-এর মান খুঁজি –

(খ) 2 মি. 28 সেমি., 3 মি. 42 সেমি., 4 মি. 56 সেমি.।

সমাধানঃ

2 মি. 28 সেমি.

= (2 × 100) সেমি. + 28 সেমি. [যেহেতু, 1 মি. = 100 সেমি.]

= 200 সেমি. + 28 সেমি.

= 228 সেমি.

3 মি. 42 সেমি.

= (3 × 100) সেমি. + 42 সেমি. [যেহেতু, 1 মি. = 100 সেমি.]

= 300 সেমি. + 42 সেমি.

= 342 সেমি.

4 মি. 56 সেমি.

= (4 × 100) সেমি. + 56 সেমি. [যেহেতু, 1 মি. = 100 সেমি.]

= 400 সেমি. + 56 সেমি.

= 456 সেমি.

228, 342 এবং 456 কে মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে পাই,

228 = 2 × 2 × 3 × 19

342 = 2 × 3 × 3 × 19

456 = 2 × 2 × 2 × 3 × 19

∴ 228, 342 এবং 456 এর গ.সা.গু

= 2 × 3 × 19

= 114 সেমি.

= 100 সেমি. + 14 সেমি.

= 1 মিটার 14 সেমি. (উত্তর)

∴ 228, 342 এবং 456 এর ল.সা.গু

= 2 × 3 × 19 × 2 × 3 × 2

= 1368 সেমি.

= 1300 সেমি. + 68 সেমি.

= 13 মিটার 68 সেমি. (উত্তর)

koshe dekhi 12 class 6

11. নীচের রাশিগুলির ল.সা.গু. ও গ.সা.গু.-এর মান খুঁজি –

(গ) 3 লি. 600 মিলিলি., 4লি. 800 মিলিলি., 6 লি.।

সমাধানঃ

3 লি. 600 মিলিলি.

= (3 × 1000) মিলিলি. + 600 মিলিলি. [যেহেতু, 1লি. = 1000 মিলিলি.]

= 3000 মিলিলি. + 600 মিলিলি.

= 3600 মিলিলি.

4লি. 800 মিলিলি.

= (4 × 1000) মিলিলি. + 800 মিলিলি. [যেহেতু, 1লি. = 1000 মিলিলি.]

= 4000 মিলিলি. + 800 মিলিলি.

= 4800 মিলিলি.

6 লি.

= (6 × 1000) মিলিলি. [যেহেতু, 1লি. = 1000 মিলিলি.]

= 6000 মিলিলি.

3600, 4800 এবং 6000 কে মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে পাই,

3600 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5 × 5

4800 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5

6000 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5 × 5

∴ 3600, 4800 এবং 6000 এর গ.সা.গু

= 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5

= 1200 মিলিলি.

= 1000 মিলিলি. + 200 মিলিলি.

= 1 লিটার 200 মিলিলি. (উত্তর)

∴ 3600, 4800 এবং 6000 এর ল.সা.গু

= 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5 × 3 × 2 × 2 × 5

= 72000 মিলিলি.

= 72 লিটার (উত্তর)

11. নীচের রাশিগুলির ল.সা.গু. ও গ.সা.গু.-এর মান খুঁজি –

(ঘ) 6 ঘন্টা 4 মিনিট 30 সেকেন্ড , 2 ঘন্টা 42 মিনিট।

সমাধানঃ

যেহেতু, 1 ঘন্টা = 3600 সেকেন্ড এবং 1 মিনিট = 60 সেকেন্ড

∴ 6 ঘন্টা 4 মিনিট 30 সেকেন্ড

= (6 × 3600) সেকেন্ড + (4 × 60) সেকেন্ড + 30 সেকেন্ড

= 21600 সেকেন্ড + 240 সেকেন্ড + 30 সেকেন্ড

= 21870 সেকেন্ড

এবং

2 ঘন্টা 42 মিনিট

= (2 × 3600) সেকেন্ড + (42 × 60) সেকেন্ড

= 7200 সেকেন্ড + 2520 সেকেন্ড

= 9720 সেকেন্ড

21870 এবং 9720 কে মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে পাই,

21870 = 2 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 5

9720 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 5

∴ 21870 এবং 9720 এর গ.সা.গু

= 2 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 5

= 2430 সেকেন্ড

$=\frac{2430}{60}$ মিনিট [ 60 সেকেন্ড = 1 মিনিট]

= 40 মিনিট 30 সেকেন্ড (উত্তর)

∴ 21870 এবং 9720 এর ল.সা.গু

= 2 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 5 × 2 × 2 × 3 × 3

= 87480 সেকেন্ড

$=\frac{87480}{3600}$ ঘন্টা [ 3600 সেকেন্ড = 1 ঘন্টা ]

= 24 ঘন্টা 18 মিনিট (উত্তর)

12. নীচের সংখ্যাজোড়াগুলির ক্ষেত্রে যাচাই করি যে, সংখ্যাদুটির গুণফল তাদের ল.সা.গু. ও গ.সা.গু.-এর গুণফলের সমান কিনা।

(a) 87, 145

সমাধানঃ

87 এবং 145 কে মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে পাই,

87 = 3 × 29

145 = 5 × 29

∴ 87 এবং 145 এর গ.সা.গু

= 29

ও ল.সা.গু

= 3 × 5 × 29

= 435

∴ প্রদত্ত সংখ্যাদুটির ল.সা.গু. ও গ.সা.গু.-এর গুণফল

= 435 × 29

= 12615

আবার, প্রদত্ত সংখ্যাদুটির গুণফল

= 87 × 145

= 12615

87 এবং 145 সংখ্যাদুটির গুণফল তাদের ল.সা.গু. ও গ.সা.গু.-এর গুণফলের সমান। (প্রমাণিত)

(b) 60, 75

সমাধানঃ

60 এবং 75 কে মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে পাই,

60 = 2 × 2 × 3 × 5

75 = 3 × 5 × 5

∴ 60 এবং 75 এর গ.সা.গু

= 3 × 5

= 15

ও ল.সা.গু

= 3 × 5 × 2 × 2 × 5

= 300

∴ প্রদত্ত সংখ্যাদুটির ল.সা.গু. ও গ.সা.গু.-এর গুণফল

= 300 × 15

= 4500

আবার, প্রদত্ত সংখ্যাদুটির গুণফল

= 60 × 75

= 4500

60 এবং 75 সংখ্যাদুটির গুণফল তাদের ল.সা.গু. ও গ.সা.গু.-এর গুণফলের সমান। (প্রমাণিত)

সমাধানঃ

42 এবং 63 কে মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে পাই,

42 = 2 × 3 × 7

63= 3 × 3 × 7

∴ 42 এবং 63 এর গ.সা.গু

= 3 × 7

= 21

ও ল.সা.গু

= 3 × 7 × 2 × 3

= 126

∴ প্রদত্ত সংখ্যাদুটির ল.সা.গু. ও গ.সা.গু.-এর গুণফল

= 126 × 21

= 2646

আবার, প্রদত্ত সংখ্যাদুটির গুণফল

= 42 × 63

= 2646

42 এবং 63 সংখ্যাদুটির গুণফল তাদের ল.সা.গু. ও গ.সা.গু.-এর গুণফলের সমান। (প্রমাণিত)

koshe dekhi 12 class 6

(d) 186, 403

সমাধানঃ

186 এবং 403 কে মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে পাই,

186 = 2 × 3 × 31

403 = 13 × 31

∴ 186 এবং 403 এর গ.সা.গু

= 31

ও ল.সা.গু

= 31 × 2 × 3 × 13

= 2418

∴ প্রদত্ত সংখ্যাদুটির ল.সা.গু. ও গ.সা.গু.-এর গুণফল

= 2418 × 31

= 74958

আবার, প্রদত্ত সংখ্যাদুটির গুণফল

= 186 × 403

= 74958

186 এবং 403 সংখ্যাদুটির গুণফল তাদের ল.সা.গু. ও গ.সা.গু.-এর গুণফলের সমান। (প্রমাণিত)

koshe dekhi 12 class 6

13. দুটি সংখ্যার ল.সা.গু ও গ.সা.গু. যথাক্রমে 2175 এবং 145; যদি একটি সংখ্যা 725 হয়, তাহলে অপর সংখ্যাটি কত হবে হিসাব করি।

সমাধানঃ

আমরা জানি,

একটি সংখ্যা × অপর সংখ্যা = সংখ্যাদুটির ল.সা.গু × গ.সা.গু.

বা, 725 × অপর সংখ্যা = 2175 × 145

বা, অপর সংখ্যা $=\frac{2175\times 145}{725}$

∴ অপর সংখ্যা = 435

উত্তরঃ অপর সংখ্যাটি হল 435

14. 145 ও 232 সংখ্যা দুটির গ.সা.গু.-এর মান খুঁজি ও ওই গ.সা.গু.-এর সাহায্যে ল.সা.গু.-এর মান খোঁজার চেষ্টা করি।

সমাধানঃ

145 ও 232 সংখ্যা দুটির ভাগ পদ্ধতিতে গ.সা.গু. নির্ণয় করি :

কষে দেখি 12

∴ 145 ও 232 সংখ্যা দুটির গ.সা.গু. = 29

আমরা জানি,

একটি সংখ্যা × অপর সংখ্যা = সংখ্যাদুটির ল.সা.গু × গ.সা.গু.

বা, 145 × 232 = ল.সা.গু × 29

বা, ল.সা.গু $=\frac{145\times 232}{29}$

∴ ল.সা.গু = 1160

উত্তরঃ সংখ্যাদুটির ল.সা.গু হল 1160

15. 144 ও 384 সংখ্যা দুটির ল.সা.গু.-এর মান খুঁজি ও ওই ল.সা.গু.-এর সাহায্যে গ.সা.গু.-এর মান খোঁজার চেষ্টা করি।

সমাধানঃ

144 ও 384 কে মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে পাই,

144 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3

384 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3

∴ 144 ও 384 এর ল.সা.গু.

= 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 2 × 2 × 2

= 1152

আমরা জানি,

একটি সংখ্যা × অপর সংখ্যা = সংখ্যাদুটির ল.সা.গু × গ.সা.গু.

বা, 144 × 384 = 1152 × গ.সা.গু.

বা, গ.সা.গু. $=\frac{144\times 384}{1152}$

∴ গ.সা.গু. = 48

উত্তরঃ সংখ্যাদুটির গ.সা.গু. হল 48

16. 5834 থেকে কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা বিয়ােগ করলে বিয়ােগফল 20, 28, 32 ও 35 দিয়ে বিভাজ্য হবে হিসাব করি।

সমাধানঃ

∴ 20, 28, 32 ও 35 এর ল.সা.গু

= 2 × 2 × 5 × 7 × 8

= 1120

উত্তরঃ নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি হল 234 যা 5834 থেকে বিয়ােগ করলে বিয়ােগফল 20, 28, 32 ও 35 দিয়ে বিভাজ্য হবে।

17. কোন বৃহত্তম সংখ্যা দিয়ে 2300 ও 3500-কে ভাগ করলে যথাক্রমে 32 ও 56 ভাগশেষ থাকবে হিসাব করি।

সমাধানঃ

(2300 − 32)

= 2268

(3500 − 56)

= 3444

2268 ও 3444 কে মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে পাই,

∴ 2268 ও 3444 এর গ.সা.গু

= 2 × 2 × 3 × 7

= 84

উত্তরঃ নির্ণেয় বৃহত্তম সংখ্যাটি হল 84 যা দিয়ে 2300 ও 3500-কে ভাগ করলে যথাক্রমে 32 ও 56 ভাগশেষ থাকবে।

18. হিসাব করে দেখি কোন বৃহত্তম সংখ্যা দিয়ে 650, 775 ও 1250 -কে ভাগ করলে প্রতিক্ষেত্রে একই ভাগশেষ থাকবে।

সমাধানঃ

650, 775 ও 1250 কে মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে পাই,

∴ 650, 775 ও 1250 এর গ.সা.গু

= 5 × 5

= 25

উত্তরঃ নির্ণেয় বৃহত্তম সংখ্যাটি হল 25 যা দিয়ে 650, 775 ও 1250 -কে ভাগ করলে প্রতিক্ষেত্রে একই ভাগশেষ থাকবে।

19. দুটি সংখ্যার যােগফল 384 এবং সংখ্যা দুটির গ.সা.গু. 48; সংখ্যা দুটি কী কী হতে পারে হিসাব করি।

সমাধানঃ

384 ÷ 48 = 8

এখন, 8 কে দুটি সংখ্যার যোগফল আকারে প্রকাশ করি :

8 = 1 + 7

বা 8 = 2 + 6

বা 8 = 3 + 5

বা 8 = 4 + 4

এবার, সংখ্যা জোড় থেকে মৌলিক সংখ্যা জোড় নিলে গ.সা.গু. 48 থাকবে।

∴ সংখ্যা জোড় গুলি হবে

= (48 × 1, 48 × 7) অথবা (48 × 3, 48 × 5)

= (48, 336) অথবা (144, 240) (উত্তর)

20. দুটি সংখ্যার গ.সা.গু. ও ল.সা.গু. যথাক্রমে 12 ও 720; হিসাব করে দেখি এরকম কত জোড়া সংখ্যা হতে পারে এবং সম্ভাব্য সংখ্যাগুলি কী কী?

সমাধানঃ

koshe dekhi 12 class 6

21. কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা থেকে 4000 বিয়ােগ করলে বিয়ােগফল 7, 11 ও 13 দিয়ে বিভাজ্য হবে হিসাব করি।

সমাধানঃ

7, 11 ও 13 এর ল.সা.গু

= 1 × 7 × 11 × 13

= 1001

∴ ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি হল

= 4000 + 1001

= 5001

উত্তরঃ নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি হল 5001 যা থেকে 4000 বিয়ােগ করলে বিয়ােগফল 7, 11 ও 13 দিয়ে বিভাজ্য হবে।

22. 50 ও 100-এর মধ্যবর্তী দু-জোড় সংখ্যা খুঁজি যাদের গ.সা.গু. 16

সমাধানঃ

প্রদত্ত, 50 ও 100-এর মধ্যবর্তী সংখ্যা যাদের গ.সা.গু. 16 হবে।

সুতরাং, সংখ্যাগুলি 50 থেকে বড় ও 100 থেকে ছোট হবে এবং অবশ্যই 16 এর গুণিতক হবে।

∴ সংখ্যাগুলি হবে –

16 × 4 = 64

16 × 5 = 80

16 × 6 =96

উত্তরঃ 50 ও 100-এর মধ্যবর্তী দু-জোড় সংখ্যা যাদের গ.সা.গু. 16 তারা হবে (64, 80) ও (80, 96)

23. 28, 33, 42 ও 77 দ্বারা বিভাজ্য যে সংখ্যাটি 98765 -এর নিকটতম তা হিসাব করে খুঁজে বার করি।

সমাধানঃ

28, 33, 42 ও 77 এর ল.সা.গু

= 2 × 2 × 3 × 7 × 11

= 924

∴ 98765 -এর নিকটতম

= 98765 + (924 − 821)

= 98765 + 103

= 98868

উত্তরঃ নির্ণেয় নিকটতম সংখ্যাটি হল 98868

24. হিসাব করে 13 দিয়ে বিভাজ্য এমন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা খুঁজি যা 8, 12, 16, ও 20 দিয়ে ভাগ করলে প্রতিক্ষেত্রে 1 ভাগশেষ থাকে।

সমাধানঃ

8, 12, 16, ও 20 এর ল.সা.গু

= 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 5

= 240

240 × 1 + 1 = 241 (13 দিয়ে বিভাজ্য নয়)

240 × 2 + 1 = 481 (13 দিয়ে বিভাজ্য )

উত্তরঃ নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা 481 যা 13 দিয়ে বিভাজ্য।