Mon. Mar 4th, 2024

নীচের প্রশ্নগুলির উত্তর লেখ :

1. বহুমুখী উত্তরধর্মী প্রশ্ন (MCQs)

(i)  বাস্তব সহগযুক্ত একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণটি হল 

(a)  {\color{Blue} x\left ( x^{2}-1 \right )-3x=0}

(b)  {\color{Blue} x^{2}\left ( x^{2}-1 \right )-6x=0}

(c)  {\color{Blue} x\left ( x-1 \right )-x=0}

(d)  {\color{Blue} 2x-4=0}

সমাধানঃ 

x\left ( x-1 \right )-x=0

বা,  x^{2}-x-x=0

বা, x^{2}-2x=0  ……(i)

যেহেতু, (i) নং সমীকরণটিকে  ax^{2}+bx+c=0  [ যেখানে, a ≠ 0 এবং a, b, c বাস্তব সংখ্যা ]  আকারে লেখা যায়, তাই  x\left ( x-1 \right )-x=0 সমীকরণটি হল বাস্তব সহগযুক্ত একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ। 

উত্তরঃ (c) 

 

(ii)  {\color{Blue} \left ( 2x-2 \right )\left ( x+3 \right )=0} সমীকরণটির বীজ দুটি হল 

      (a)  −1, −3

      (b) −1,   3

      (c)   1, −3

      (d)   1,  3

 

সমাধানঃ 

\left ( 2x-2 \right )\left ( x+3 \right )=0

আমরা জানি, 

দুই বা ততোধিক রাশির গুনফল শূন্য হলে তারা পৃথক পৃথকভাবে শূন্য হয়। 

অর্থাৎ,

(2x − 2) = 0

বা, 2x = 2

বা, x=\frac{2}{2}

∴  x = 1

অথবা,

(x + 3) = 0

∴  x = − 3

উত্তরঃ (c) 

 

(iii) বার্ষিক 10% সরল সুদের হারে 50 টাকার 2 বছরের সুদ ঐ একই হারে 100 টাকার 1 বছরের সুদের 

(a)  দ্বিগুণ 

(b)  অর্ধেক 

(c)  এক চতুর্থাংশ 

(d)  সমান 

সমাধানঃ 

প্রথমক্ষেত্রে :

আসল (p) = 50 টাকা,

সময় (t) = 2 বছর,

সুদের হার (r) = 10% 

আমরা জানি,

মোট সুদ 

I=\frac{ptr}{100}

বা, I=\frac{50\times 2\times 10}{100}

I = 10

দ্বিতীয়ক্ষেত্রে :

আসল (p) = 100 টাকা,

সময় (t) = 1 বছর,

সুদের হার (r) = 10% 

আমরা জানি,

মোট সুদ 

I=\frac{ptr}{100}

বা, I=\frac{100\times 1\times 10}{100}

I = 10

উত্তরঃ (d) 

 

(iv) O কেন্দ্রীয় বৃত্তের PQ ও RS দুটি সমান দৈর্ঘ্যের জ্যা। O বিন্দু থেকে PQ জ্যা -এর দূরত্ব 8 সেমি হলে, O বিন্দু থেকে RS জ্যা এর দূরত্ব কত হবে ?

(a) 8 সেমি.

(b) 16 সেমি.

(c) 4 সেমি.

(d) 10 সেমি.

সমাধানঃ 

একটি বৃত্তের দুটি জ্যা -এর দৈর্ঘ্য তখনই সমান হবে যখন জ্যা দুটি কেন্দ্র থেকে সমদূরত্বে ও কেন্দ্রের বিপরীত পাশে অবস্থান করবে। 

সুতরাং,

O বিন্দু থেকে RS জ্যা এর দূরত্ব 8 সেমি.। 

উত্তরঃ (a) 

2. সত্য/মিথ্যা লেখো (T/F) :

(i) একটি ঘনকের প্রতিটি ধারের দৈর্ঘ্য অর্ধেক করা হলে, ঘনকটির আয়তন প্রথম ঘনকের  {\color{Blue} \frac{1}{8}}  অংশ হবে। 

সমাধানঃ 

ধরি, প্রথমে ঘনকটির প্রতিটি ধারের দৈর্ঘ্য ছিল a একক। 

∴ ঘনকটির আয়তন ছিল =a^{3}  ঘনএকক। 

এখন ঘনকের প্রতিটি ধারের দৈর্ঘ্য অর্ধেক করা হলে,

বর্তমানে ঘনকের প্রতিটি ধারের দৈর্ঘ্য =\frac{a}{2} একক

∴ বর্তমানে ঘনকটির আয়তন

=\left ( \frac{a}{2} \right )^{3}

=\frac{a^{3}}{8} ঘনএকক

=a^{3}\times \frac{1}{8} ঘনএকক

= প্রথম ঘনকের আয়তন ×  \frac{1}{8}  

= প্রথম ঘনকের  \frac{1}{8}  অংশ

উত্তরঃ বিবৃতিটি সত্য 

 

(ii)   {\color{Blue} \frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{4}}   হলে, a : b : c = 4 : 3 : 2 হবে। 

সমাধানঃ 

ধরি,

\frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{4}=k

অর্থাৎ, a = 2k, b = 3k, c = 4k

a : b : c

= 2k : 3k : 4k

= 2 : 3 : 4

উত্তরঃ বিবৃতিটি মিথ্যা 

(iii) আসল P টাকা এবং বার্ষিক চক্রবৃদ্ধি সুদের হার r% হলে, দ্বিতীয় বছরের মূলধন {\color{Blue} \frac{pr}{100}} টাকা। 

সমাধানঃ 

আসল = P টাকা,

সময় (t) = 1 বছর,

চক্রবৃদ্ধি সুদের হার = r

আমরা জানি,

চক্রবৃদ্ধি সুদের ক্ষেত্রে 

সবৃদ্ধিমূল ( অর্থাৎ, সুদ + আসল) =

A=P\left ( 1+\frac{r}{100} \right )

বা, A=P+\frac{Pr}{100}

আমরা জানি, চক্রবৃদ্ধি সুদের ক্ষেত্রে প্রথম বছরের সবৃদ্ধিমূল, দ্বিতীয় বছরের ক্ষেত্রে আসল (মূলধন) হয়। 

সুতরাং, দ্বিতীয় বছরের ক্ষেত্রে মূলধন হবে  P+\frac{Pr}{100}  টাকা। 

উত্তরঃ বিবৃতিটি মিথ্যা 

(iv) চিত্রে O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে AB একটি ব্যাস।বৃত্তের ভিতরে Q একটি বিন্দু। ∠AQB সর্বদা সূক্ষকোণ হবে।

 Note : প্রশ্নটি ভুল আছে।  সঠিক প্রশ্নটি নিচে দেওয়া হলো –

চিত্রে O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে AB একটি ব্যাস।বৃত্তের ভিতরে Q একটি বিন্দু। ∠AQB সর্বদা স্থূলকোণ হবে। 

সমাধানঃ 

প্রমাণ করতে হবে যে, ∠AQB সর্বদা স্থূলকোণ হবে।

অঙ্কন : AQ কে বর্ধিত করা হলো যা বৃত্তকে R বিন্দুতে ছেদ করেছে। B, R যুক্ত করা হলো।

প্রমাণ : ∵ AB হলো ব্যাস এবং R হলো বৃত্তের উপর অবস্থিত যে কোনো একটি বিন্দু।

∴ ∠ARB হলো অর্ধবৃত্তস্থ কোণ অর্থ্যাৎ, ∠ARB = 90°

এখন, যেহেতু ΔRBQ -এর ∠AQB হলো বহিঃকোণ এবং ∠QRB ও ∠RQB হলো অন্তঃস্থ বিপরীত কোনসমূহ।

∴ ∠AQB = ∠QRB + ∠RQB

বা, ∠AQB = ∠ARB + ∠RQB  [∠QRB ও ∠ARB হলো একই কোণ]

বা, ∠AQB = 90° + ∠RQB    [∠ARB = 90°]

অর্থ্যাৎ, ∠AQB > 90°

এবং ∠AQB < 180°   [∴ ∠AQB হলো ΔAQB -এর একটি কোণ এবং ত্রিভুজের তিনটি কোণের মধ্যে কোনো কোণের মান 180° অপেক্ষা বৃহত্তর হতে পারেনা।]

সুতরাং, ∠AQB হলো সর্বদা স্থূলকোণ।  (প্রমাণিত)

 

3. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A) :

(i) একটি লম্ববৃত্তাকার চোঙের আয়তন এবং বক্রতলের ক্ষেত্রফল সংখ্যামানে সমান হলে, উহার ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর। 

সমাধানঃ 

আমরা জানি,

লম্ববৃত্তাকার চোঙের আয়তন

=\pi r^{2}h ঘন একক 

এবং বক্রতলের ক্ষেত্রফল

=2\pi rh বর্গ একক [যেখানে, r = ব্যাসার্ধ ও h = উচ্চতা ]

প্রশ্নানুসারে,

\pi r^{2}h=2\pi rh

r = 2

উত্তরঃ নির্ণেয় লম্ববৃত্তাকার চোঙের ব্যাসার্ধ 2 একক। 

(ii) দেখাও যে মিশ্র দ্বিঘাত করণী {\color{Blue} \left ( 7-\sqrt{2} \right )}  -এর অনুবন্ধী করণী হল {\color{Blue} \left ( 7+\sqrt{2} \right )}

সমাধানঃ 

\left (7-\sqrt{2} \right )\left (7+\sqrt{2} \right )

=7^{2}-\sqrt{2}^2

=49-2

=47  যা একটি মূলদ সংখ্যা

 

আবার,

\left (7-\sqrt{2} \right )+\left (7+\sqrt{2} \right )

=7-\sqrt{2}+7+\sqrt{2}

=7+7

=14 যা একটি মূলদ সংখ্যা

 

এখন, যেহেতু  \left ( 7-\sqrt{2} \right )  ও  \left ( 7+\sqrt{2} \right )  -এর গুনফল ও যোগফল উভয়ই মূলদ সংখ্যা, তাই  \left ( 7-\sqrt{2} \right )  -এর অনুবন্ধী করণী  \left ( 7+\sqrt{2} \right )

 

 

4. যুক্তি দিয়ে প্রমাণ করো যে, বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণগুলি পরস্পর সম্পূরক। 

সমাধানঃ 

প্রদত্ত: ধরা যাক, ABCD হলো একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ এবং O হলো বৃত্তের কেন্দ্র। 

প্রামাণ্য বিষয়ঃ

(i) ∠ABC+ADC = 180°

(ii) ∠BAC + ∠BCD = 180°

অঙ্কনঃ A , O এবং C , O যুক্ত করা হলো। 

প্রমাণঃ \because ABC বৃত্তচাপের উপর অবস্থিত কেন্দ্রস্থ কোণ AOC এবং বৃত্তস্থ কোণ ADC

AOC = 2ADC  ……. (i)

[একই বৃত্তচাপের উপর অবস্থিত কেন্দ্রস্থ কোণ পরিধিস্থ কোণের দ্বিগুন হয়]

আবার, \because ADC বৃত্তচাপের উপর অবস্থিত কেন্দ্রস্থ প্রবৃদ্ধ কোণ AOC এবং বৃত্তস্থ কোণ ABC

প্রবৃদ্ধ AOC = 2∠ABC  ……. (ii)

[একই বৃত্তচাপের উপর অবস্থিত কেন্দ্রস্থ কোণ পরিধিস্থ কোণের দ্বিগুন হয়]

এখন, [(i) + (ii)] করে পাই ,

2ADC + 2∠ABC = ∠AOC + প্রবৃদ্ধ ∠AOC

বা, 2(ADC + ∠ABC) = 360°

বা, ADC + ∠ABC = \frac{360^{\circ}}{2}

ADC + ∠ABC = 180°  (প্রমাণিত)

আবার,

\because ABCD চতুর্ভুজের চারটি কোণের সমষ্টি 360°

∴ ∠BAC + ABC + BCDADC = 36

বা, (ADC + ∠ABC) + (∠BAC + ∠BCD) = 36

বা, 180° + (∠BAC + ∠BCD) = 360°

বা, BAC + ∠BCD = 360° − 180°

BAC + ∠BCD = 180° (প্রমাণিত)

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

Insert math as
Block
Inline
Additional settings
Formula color
Text color
#333333
Type math using LaTeX
Preview
\({}\)
Nothing to preview
Insert
error: Content is protected !!