Koshe Dekhi 5.3 class 10

Q1. a : b = c : d হলে, দেখাই যে,

(i) ${\color{Blue} \left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right):\left( {{a}^{2}}-{{b}^{2}} \right)=\left( ac+bd \right):\left( ac-bd \right)}$

সমাধানঃ

প্রদত্ত, a : b = c : d

এখন, $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k$ (ধরি)

$\therefore a=bk,c=dk$

বামপক্ষ :

$\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right):\left( {{a}^{2}}-{{b}^{2}} \right)$

$=\frac{\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)}{\left( {{a}^{2}}-{{b}^{2}} \right)}$

a এর মান বসিয়ে পাই,

$=\frac{\left ( bk \right )^{2}+b^{2}}{\left ( bk \right )^{2}-b^{2}}$

$=\frac{b^{2}k^{2}+b^{2}}{b^{2}k^{2}-b^{2}}$

$=\frac{b^{2}\left (k^{2}+1 \right )}{b^{2}\left (k^{2}-1 \right )}$

$=\frac{\left (k^{2}+1 \right )}{\left (k^{2}-1 \right )}$

ডানপক্ষ :

$\left ( ac+bd \right ):\left ( ac-bd \right )$

$=\frac{ac+bd}{ac-bd}$

a ও c এর মান বসিয়ে পাই,

$=\frac{bk\times dk+bd}{bk\times dk-bd}$

$=\frac{bdk^{2}+bd}{bdk^{2}-bd}$

$=\frac{bd\left (k^{2}+1 \right )}{bd\left (k^{2}-1 \right )}$

$=\frac{\left (k^{2}+1 \right )}{\left (k^{2}-1 \right )}$

∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ (প্রমাণিত)

Q1 (ii) ${\color{Blue} \left( {{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}} \right):\left( {{a}^{2}}-ab+{{b}^{2}} \right)=\left( {{c}^{2}}+cd+{{d}^{2}} \right):\left( {{c}^{2}}-cd+{{d}^{2}} \right)}$

সমাধানঃ

প্রদত্ত, a : b = c : d

এখন, $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k$ (ধরি)

$\therefore a=bk,c=dk$

বামপক্ষ :

$\left( {{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}} \right):\left( {{a}^{2}}-ab+{{b}^{2}} \right)$

$=\frac{\left( {{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}} \right)}{\left( {{a}^{2}}-ab+{{b}^{2}} \right)}$

a এর মান বসিয়ে পাই,

$=\frac{\left ( bk \right )^{2}+bk\times b+b^{2}}{\left ( bk \right )^{2}-bk\times b+b^{2}}$

$=\frac{b^{2}k^{2}+b^{2}k+b^{2}}{b^{2}k^{2}-b^{2}k+b^{2}}$

$=\frac{b^{2}\left (k^{2}+k+1 \right )}{b^{2}\left (k^{2}-k+1 \right )}$

$=\frac{\left (k^{2}+k+1 \right )}{\left (k^{2}-k+1 \right )}$

ডানপক্ষ :

$\left( {{c}^{2}}+cd+{{d}^{2}} \right):\left( {{c}^{2}}-cd+{{d}^{2}} \right)$

$=\frac{\left( {{c}^{2}}+cd+{{d}^{2}} \right)}{\left( {{c}^{2}}-cd+{{d}^{2}} \right)}$

c এর মান বসিয়ে পাই,

$=\frac{\left ( dk \right )^{2}+dk\times d+d^{2}}{\left ( dk \right )^{2}-dk\times d+d^{2}}$

$=\frac{d^{2}k^{2}+d^{2}k+d^{2}}{d^{2}k^{2}-d^{2}k+d^{2}}$

$=\frac{d^{2}\left (k^{2}+k+1 \right )}{d^{2}\left (k^{2}-k+1 \right )}$

$=\frac{\left (k^{2}+k+1 \right )}{\left (k^{2}-k+1 \right )}$

∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ (প্রমাণিত)

Q1 (iii) ${\color{Blue} \sqrt{{{a}^{2}}+{{c}^{2}}}:\sqrt{{{b}^{2}}+{{d}^{2}}}=\left( pa+qc \right):\left( pb+qd \right)}$

সমাধানঃ

প্রদত্ত, a : b = c : d

এখন, $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k$ (ধরি)

$\therefore a=bk,c=dk$

বামপক্ষ :

$\sqrt{{{a}^{2}}+{{c}^{2}}}:\sqrt{{{b}^{2}}+{{d}^{2}}}$

$=\frac{\sqrt{{{a}^{2}}+{{c}^{2}}}}{\sqrt{{{b}^{2}}+{{d}^{2}}}}$

a ও c এর মান বসিয়ে পাই,

$=\frac{\sqrt{\left ( bk \right )^{2}+\left ( dk \right )^{2}}}{\sqrt{b^{2}+d^{2}}}$

$=\frac{\sqrt{b^{2}k^{2}+d^{2}k^{2}}}{\sqrt{b^{2}+d^{2}}}$

$=\frac{\sqrt{k^{2}\left (b^{2}+d^{2} \right )}}{\sqrt{\left (b^{2}+d^{2} \right )}}$

$=\sqrt{k^{2}}$

= k

ডানপক্ষ :

$\left( pa+qc \right):\left( pb+qd \right)$

$=\frac{\left( pa+qc \right)}{\left( pb+qd \right)}$

a ও c এর মান বসিয়ে পাই,

$=\frac{\left( p\times bk+q\times dk \right)}{\left( pb+qd \right)}$

$=\frac{\left( pbk+qdk \right)}{\left( pb+qd \right)}$

$=\frac{k\left( pb+qd \right)}{\left( pb+qd \right)}$

= k

∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ (প্রমাণিত)

Q2. x : a = y : b = z : c হলে, প্রমান করি যে,

(i) ${\color{Blue} \frac{{{x}^{3}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{y}^{3}}}{{{b}^{2}}}+\frac{{{z}^{3}}}{{{c}^{2}}}=\frac{{{\left( x+y+z \right)}^{3}}}{{{\left( a+b+c \right)}^{2}}}}$

সমাধানঃ

প্রদত্ত,

x : a = y : b = z : c

এখন,

$\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}=k$ (ধরি)

$\therefore x=ak,y=bk,z=ck$

বামপক্ষ :

$\frac{{{x}^{3}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{y}^{3}}}{{{b}^{2}}}+\frac{{{z}^{3}}}{{{c}^{2}}}$

x , y ও z এর মান বসিয়ে পাই,

$=\frac{{{\left (ak \right )}^{3}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{\left ( bk \right )}^{3}}}{{{b}^{2}}}+\frac{{{\left ( ck \right )}^{3}}}{{{c}^{2}}}$

$=\frac{{a^{3}k^{3}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{b^{3}k^{3}}}{{{b}^{2}}}+\frac{{c^{3}k^{3}}}{{{c}^{2}}}$

$=ak^{3}+bk^{3}+ck^{3}$

$=k^{3}\left ( a+b+c \right )$

ডানপক্ষ :

$\frac{{{\left( x+y+z \right)}^{3}}}{{{\left( a+b+c \right)}^{2}}}$

x , y ও z এর মান বসিয়ে পাই,

$=\frac{{{\left( ak+bk+ck \right)}^{3}}}{{{\left( a+b+c \right)}^{2}}}$

$=\frac{{{k^{3}\left( a+b+c \right)}^{3}}}{{{\left( a+b+c \right)}^{2}}}$

$=k^{3}\left ( a+b+c \right )$

∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ (প্রমাণিত)

Q2. x : a = y : b = z : c হলে, প্রমান করি যে,

(ii) ${\color{Blue} \frac{{{x}^{3}}+{{y}^{3}}+{{z}^{3}}}{{{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}}=\frac{xyz}{abc}}$

সমাধানঃ

$\frac{{{x}^{3}}+{{y}^{3}}+{{z}^{3}}}{{{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}}=\frac{xyz}{abc}$

প্রদত্ত,

x : a = y : b = z : c

এখন,

$\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}=k$ (ধরি)

$\therefore x=ak,y=bk,z=ck$

বামপক্ষ :

$\frac{{{x}^{3}}+{{y}^{3}}+{{z}^{3}}}{{{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}}$

x , y ও z এর মান বসিয়ে পাই,

$=\frac{{{\left (ak \right )}^{3}}+{{\left ( bk \right )}^{3}}+{\left ( ck \right )}^{3}}{a^{3}+b^{3}+c^{3}}$

$=\frac{{a^{3}k^{3}}+{b^{3}k^{3}}+{c^{3}k^{3}}}{a^{3}+b^{3}+c^{3}}$

$=\frac{k^{3}\left ({a^{3}}+{b^{3}}+{c^{3}} \right )}{a^{3}+b^{3}+c^{3}}$

$=k^{3}$

ডানপক্ষ :

$\frac{xyz}{abc}$

x , y ও z এর মান বসিয়ে পাই,

$=\frac{ak\times bk\times ck}{a\times b\times c}$

$=\frac{abck^{3}}{abc}$

$=k^{3}$

∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ (প্রমাণিত)

Q2. x : a = y : b = z : c হলে, প্রমান করি যে,

(iii) ${\color{Blue} \left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}} \right)={{\left( ax+by+cz \right)}^{2}}}$

সমাধানঃ

$\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}} \right)={{\left( ax+by+cz \right)}^{2}}$

প্রদত্ত,

x : a = y : b = z : c

এখন,

$\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}=k$ (ধরি)

$\therefore x=ak,y=bk,z=ck$

বামপক্ষ :

$\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}} \right)$

x , y ও z এর মান বসিয়ে পাই,

$=\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right) \left [{{\left (ak \right )}^{2}}+{{\left ( bk \right )}^{2}}+{{\left ( ck \right )}^{2}} \right ]$

$=\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right) \left [{a^{2}k^{2}}+{b^{2}k ^{2}}+{c^{2}k^{2}} \right ]$

$=\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right) \left [k^{2}\left ({a^{2}}+{b^{2}}+{c^{2}} \right ) \right ]$

$=k^{2}\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)^{2}$

ডানপক্ষ :

${{\left( ax+by+cz \right)}^{2}}$

x , y ও z এর মান বসিয়ে পাই,

$={{\left( a\times ak+b\times bk+c\times ck \right)}^{2}}$

$=\left( {{a}^{2}k}+{{b}^{2}k}+{{c}^{2}k} \right)^{2}$

$=k^{2}\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)^{2}$

∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ (প্রমাণিত)

Q3. a : b = c : d = e : f হলে, প্রমান করি যে,

(i) প্রত্যেকটি অনুপাত ${\color{Blue} =\frac{5a-7c-13e}{5b-7d-13f}}$

সমাধানঃ

প্রদত্ত,

a : b = c : d = e : f

বা, $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=k$ (ধরি)

$\therefore a=bk,c=dk,e=fk$

$\frac{5a-7c-13e}{5b-7d-13f}$

a , b ও c এর মান বসিয়ে পাই,

$=\frac{5\times bk-7\times dk-13\times fk}{5b-7d-13f}$

$=\frac{5bk-7dk-13fk}{5b-7d-13f}$

$=\frac{k\left (5b-7d-13f \right )}{5b-7d-13f}$

$=k$

$=\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}$

= প্রত্যেকটি অনুপাত (প্রমাণিত)

Q3. a : b = c : d = e : f হলে, প্রমান করি যে,

(ii) ${\color{Blue} \left( {{a}^{2}}+{{c}^{2}}+{{e}^{2}} \right)\left( {{b}^{2}}+{{d}^{2}}+{{f}^{2}} \right)={{\left( ab+cd+ef \right)}^{2}}}$

সমাধানঃ

প্রদত্ত,

a : b = c : d = e : f

বা, $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=k$ (ধরি)

$\therefore a=bk,c=dk,e=fk$

বামপক্ষ :

$\left( {{a}^{2}}+{{c}^{2}}+{{e}^{2}} \right)\left( {{b}^{2}}+{{d}^{2}}+{{f}^{2}} \right)$

a , b ও c এর মান বসিয়ে পাই,

$=\left[ {{\left (bk \right )}^{2}}+{{\left (dk \right )}^{2}}+{{\left (fk \right )}^{2}} \right]\left( {{b}^{2}}+{{d}^{2}}+{{f}^{2}} \right)$

$=\left[ {b^{2}k^{2}}+{d^{2}k^{2}}+{f^{2}k^{2}} \right]\left( {{b}^{2}}+{{d}^{2}}+{{f}^{2}} \right)$

$=\left[ k^{2}\left( {{b}^{2}}+{{d}^{2}}+{{f}^{2}} \right) \right]\left( {{b}^{2}}+{{d}^{2}}+{{f}^{2}} \right)$

$=k^{2}\left( {{b}^{2}}+{{d}^{2}}+{{f}^{2}} \right)^{2}$

ডানপক্ষ :

${{\left( ab+cd+ef \right)}^{2}}$

a , b ও c এর মান বসিয়ে পাই,

$={{\left( bk\times b+dk\times d+fk\times f \right)}^{2}}$

$={{\left( b^{2}k+d^{2}k+f^{2}k \right)}^{2}}$

$=k^{2}\left( {{b}^{2}}+{{d}^{2}}+{{f}^{2}} \right)^{2}$

∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ (প্রমাণিত)

Q4. যদি a : b = b : c হয়, তবে প্রমান করি যে,

(i) ${\color{Blue} {{\left( \frac{a+b}{b+c} \right)}^{2}}=\frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}$

সমাধানঃ

a : b = b : c

বা, $\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=k$ (ধরি)

$\therefore b=ck,a=bk=ck\times k=ck^{2}$

বামপক্ষ :

${{\left( \frac{a+b}{b+c} \right)}^{2}}$

a ও b এর মান বসিয়ে পাই,

$={{\left( \frac{ck^{2}+ck}{ck+c} \right)}^{2}}$

$={c^{2}{\left( \frac{k^{2}+k}{k+1} \right)}^{2}}$

ডানপক্ষ :

$\frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}$

a ও b এর মান বসিয়ে পাই,

$=\frac{{{\left (ck^{2} \right )}^{2}}+{{\left ( ck \right )}^{2}}}{{{\left ( ck \right )}^{2}}+{{c}^{2}}}$

$=\frac{{{\left (c^{2}k^{4} \right )}}+{{\left ( c^{2}k^{2} \right )}}}{{{\left ( c^{2}k^{2} \right )}}+{{c}^{2}}}$

$={c^{2}{\left( \frac{k^{4}+k^{2}}{k^{2}+1} \right)}}$

$={c^{2}{\left( \frac{k^{2}+k}{k+1} \right)}^{2}}$

∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ (প্রমাণিত)

Q4. যদি a : b = b : c হয়, তবে প্রমান করি যে,

(ii) ${\color{Blue} {{a}^{2}}{{b}^{2}}{{c}^{2}}\left( \frac{1}{{{a}^{3}}}+\frac{1}{{{b}^{3}}}+\frac{1}{{{c}^{3}}} \right)={{a}^{3}}+{{b}^{{3}}}+{{c}^{3}}}$

সমাধানঃ

a : b = b : c

বা, $\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=k$ (ধরি)

$\therefore b=ck,a=bk=ck\times k=ck^{2}$

বামপক্ষ :

${{a}^{2}}{{b}^{2}}{{c}^{2}}\left( \frac{1}{{{a}^{3}}}+\frac{1}{{{b}^{3}}}+\frac{1}{{{c}^{3}}} \right)$

a ও b এর মান বসিয়ে পাই,

$={\left ( ck^{2} \right )^{2}}\times {\left ( ck \right )^{2}}\times {{c}^{2}}\times \left( \frac{1}{{\left ( ck^{2} \right )^{3}}}+\frac{1}{{\left ( ck \right )^{3}}}+\frac{1}{{{c}^{3}}} \right)$

$={\left ( c^{2}k^{4} \right )}\times {\left ( c^{2}k^{2} \right )}\times {{c}^{2}}\times \left[ \frac{1}{{\left ( c^{3}k^{6} \right )}}+\frac{1}{{\left ( c^{3}k^{3} \right )}}+\frac{1}{{{c}^{3}}} \right]$

$=c^{6}k^{6}\times \left ( \frac{1+k^{3}+k^{6}}{c^{3}k^{6}} \right )$

$=c^{3}\left (1+k^{3}+k^{6} \right )$

ডানপক্ষ :

${{a}^{3}}+{{b}^{{3}}}+{{c}^{3}}$

a ও b এর মান বসিয়ে পাই,

$={{\left ( ck^{2} \right )}^{3}}+{{\left ( ck \right )}^{{3}}}+{{c}^{3}}$

$={{\left ( c^{3}k^{6} \right )}}+{{\left ( c^{3}k^{3} \right )}}+{{c}^{3}}$

$=c^{3}\left (1+k^{3}+k^{6} \right )$

∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ (প্রমাণিত)

Q4. যদি a : b = b : c হয়, তবে প্রমান করি যে,

(iii) ${\color{Blue} \frac{abc{{\left( a+b+c \right)}^{3}}}{{{\left( ab+bc+ca \right)}^{3}}}=1}$

সমাধানঃ

a : b = b : c

বা, $\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=k$ (ধরি)

$\therefore b=ck,a=bk=ck\times k=ck^{2}$

বামপক্ষ :

$\frac{abc{{\left( a+b+c \right)}^{3}}}{{{\left( ab+bc+ca \right)}^{3}}}$

a ও b এর মান বসিয়ে পাই,

$=\frac{ck^{2}\times ck\times c\times {{\left( ck^{2}+ck+c \right)}^{3}}}{{{\left( ck^{2}\times ck+ck\times c+c\times ck^{2} \right)}^{3}}}$

$=\frac{c^{3}k^{3}c^{3}{{\left( k^{2}+k+1 \right)}^{3}}}{{{\left( c^{2}k^{3}+c^{2}k+c^{2}k^{2} \right)}^{3}}}$

$=\frac{c^{6}k^{3}{{\left( k^{2}+k+1 \right)}^{3}}}{{{c^{6}k^{3}\left( k^{2}+1+k \right)}^{3}}}$

= 1

= ডানপক্ষ

∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ (প্রমাণিত)

Q5. a, b, c, d ক্রমিক সমানুপাতী হলে, প্রমাণ করি যে,

(i) ${\color{Blue} \left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)\left( {{b}^{2}}+{{c}^{2}}+{{d}^{2}} \right)={{\left( ab+bc+cd \right)}^{2}}}$

সমাধানঃ

a : b = b : c = c : d

বা, $\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{d}=k$ (ধরি)

$\therefore c=dk,$

$b=ck=dk\times k=dk^{2}$ ও

$a=bk=dk^{2}\times k=dk^{3}$

বামপক্ষ :

$\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)\left( {{b}^{2}}+{{c}^{2}}+{{d}^{2}} \right)$

a, b ও c এর মান বসিয়ে পাই,

$=\left [\left ( dk^{3} \right )^{2}+\left (dk^{2} \right )^{2}+\left ( dk \right )^{2} \right ]\left [\left (dk^{2} \right )^{2}+\left ( dk \right )^{2}+d^{2} \right ]$

$=\left [d^{2}k^{6}+d^{2}k^{4}+d^{2}k^{2} \right ]\left [d^{2}k^{4}+d^{2}k^{2}+d^{2} \right ]$

$=\left [d^{2}k^{2}\left (k^{4}+k^{2}+1 \right )\right ]\left [d^{2}\left (k^{4}+k^{2}+1 \right ) \right ]$

$=\left [d^{4}k^{2}\left (k^{4}+k^{2}+1 \right )^{2}\right ]$

ডানপক্ষ :

${{\left( ab+bc+cd \right)}^{2}}$

a, b ও c এর মান বসিয়ে পাই,

$={{\left( dk^{3}\times dk^{2}+dk^{2}\times dk+dk\times d \right)}^{2}}$

$={{\left( d^{2}k^{5}+d^{2}k^{3}+d^{2}k \right)}^{2}}$

$=\left [d^{2}k\left (k^{4}+k^{2}+1 \right )\right ]^{2}$

$=\left [d^{4}k^{2}\left (k^{4}+k^{2}+1 \right )^{2}\right ]$

∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ (প্রমাণিত)

Q5. a, b, c, d ক্রমিক সমানুপাতী হলে, প্রমাণ করি যে,

(ii) ${\color{Blue} {{\left( b-c \right)}^{2}}+{{\left( c-a \right)}^{2}}+{{\left( b-d \right)}^{2}}={{\left( a-d \right)}^{2}}}$

সমাধানঃ

a : b = b : c = c : d

বা, $\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{d}=k$ (ধরি)

$\therefore c=dk,$

$b=ck=dk\times k=dk^{2}$ ও

$a=bk=dk^{2}\times k=dk^{3}$

বামপক্ষ :

${{\left( b-c \right)}^{2}}+{{\left( c-a \right)}^{2}}+{{\left( b-d \right)}^{2}}$

a, b ও c এর মান বসিয়ে পাই,

$={{\left( dk^{2}-dk \right)}^{2}}+{{\left( dk-dk^{3} \right)}^{2}}+{{\left( dk^{2}-d \right)}^{2}}$

$=d^{2}k^{4}-2\times dk^{2}\times dk+d^{2}k^{2}+d^{2}k^{2}-2\times dk\times dk^{3}+d^{2}k^{6}+d^{2}k^{4}-2\times dk^{2}\times d+d^{2}$

$=d^{2}k^{4}-2d^{2}k^{3}+d^{2}k^{2}+d^{2}k^{2}-2 d^{2}k^{4}+d^{2}k^{6}+d^{2}k^{4}-2d^{2}k^{2}+d^{2}$

$=2d^{2}k^{4}-2d^{2}k^{3}+2d^{2}k^{2}-2d^{2}k^{4}+d^{2}k^{6}-2d^{2}k^{2}+d^{2}$

$=-2d^{2}k^{3}+d^{2}k^{6}+d^{2}$

$=d^{2}k^{6}-2d^{2}k^{3}+d^{2}$

$=d^{2}\left (k^{6}-2k^{3}+1 \right )$

ডানপক্ষ :

${{\left( a-d \right)}^{2}}$

a এর মান বসিয়ে পাই,

$={{\left( dk^{3}-d \right)}^{2}}$

$=d^{2}k^{6}-2\times dk^{3}\times d+d^{2}$

$=d^{2}k^{6}-2d^{2}k^{3}+d^{2}$

$=d^{2}\left (k^{6}-2k^{3}+1 \right )$

∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ (প্রমাণিত)

Q6 (i) যদি ${\color{Blue} \frac{m}{a}=\frac{n}{b}}$ হয়, তবে দেখাই যে, ${\color{Blue} \left( {{m}^{2}}+{{n}^{2}} \right)\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)={{\left( am+bn \right)}^{2}}}$

সমাধানঃ

প্রদত্ত,

$\frac{m}{a}=\frac{n}{b}=k$ (ধরি)

$\therefore m=ak,n=bk$

বামপক্ষ :

$\left( {{m}^{2}}+{{n}^{2}} \right)\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)$

m, ও n এর মান বসিয়ে পাই,

$=\left[ {{\left ( ak \right )}^{2}}+{{\left ( bk \right )}^{2}} \right]\times \left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)$

$=\left( {{a}^{2}k^{2}}+{{b}^{2}k^{2}} \right)\times \left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)$

$={{a}^{4}k^{2}}+{a^{2}{b}^{2}k^{2}}+a^{2}{b}^{2}k^{2}+{b}^{4}k^{2}$

$={{a}^{4}k^{2}}+2{a^{2}{b}^{2}k^{2}}+{b}^{4}k^{2}$

$=k^{2}\left ({{a}^{4}}+2{a^{2}{b}^{2}}+{b}^{4} \right )$

$=k^{2}\left ({{a}^{2}+{b}^{2}} \right )^{2}$

ডানপক্ষ :

${{\left( am+bn \right)}^{2}}$

m, ও n এর মান বসিয়ে পাই,

$={{\left( a\times ak+b\times bk \right)}^{2}}$

$=\left ( a^{2}k+b^{2}k \right )^{2}$

$=\left ( a^{4}k^{2}+2\times a^{2}k\times b^{2}k+b^{4}k^{2} \right )$

$=\left ( a^{4}k^{2}+2a^{2}b^{2}k^{2}+b^{4}k^{2} \right )$

$=k^{2}\left ({{a}^{4}}+2{a^{2}{b}^{2}}+{b}^{4} \right )$

$=k^{2}\left ({{a}^{2}+{b}^{2}} \right )^{2}$

∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ (প্রমাণিত)

Q6 (ii) যদি ${\color{Blue} \frac{a}{b}=\frac{x}{y}}$ হয়, তবে দেখাই যে, ${\color{Blue} \left( a+b \right)\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right){{x}^{3}}=\left( x+y \right)\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right){{a}^{3}}}$

সমাধানঃ

প্রদত্ত,

$\frac{a}{b}=\frac{x}{y}$

$\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=k$ (ধরি)

$\therefore a=xk,b=yk$

বামপক্ষ :

$\left( a+b \right)\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right){{x}^{3}}$

a, ও b এর মান বসিয়ে পাই,

$=\left( xk+yk \right)\times \left[ {{\left ( xk \right )}^{2}}+{{\left (yk \right )}^{2}} \right]\times x^{3}$

$=\left( xk+yk \right)\times \left[ {{ x^{2}k^{2}}}+{{y}^{2}k^{2}} \right]\times x^{3}$

$=k\left( x+y \right)\times k^{2}\left[ {x^{2}}+{y^{2}} \right]\times x^{3}$

$=x^{3}k^{3}\left( x+y \right)\left( {x^{2}}+{y^{2}} \right)$

ডানপক্ষ :

$\left( x+y \right)\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right){{a}^{3}}$

a এর মান বসিয়ে পাই,

$=\left( x+y \right)\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right){{\left ( xk \right )}^{3}}$

$=x^{3}k^{3}\left( x+y \right)\left( {x^{2}}+{y^{2}} \right)$

∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ (প্রমাণিত)

Q6 (iii) যদি ${\color{Blue} \frac{x}{lm-{{n}^{2}}}=\frac{y}{mn-{{l}^{2}}}=\frac{z}{nl-{{m}^{2}}}}$ হয়, তবে দেখাই যে, ${\color{Blue} lx+my+nz=0}$

সমাধানঃ

$\frac{x}{lm-{{n}^{2}}}=\frac{y}{mn-{{l}^{2}}}=\frac{z}{nl-{{m}^{2}}}$

বা, $\frac{x}{lm-{{n}^{2}}}=\frac{y}{mn-{{l}^{2}}}=\frac{z}{nl-{{m}^{2}}}=k$ (ধরি)

$\therefore x=k\left ({lm-{{n}^{2}}} \right ),y=k\left ({mn-{{l}^{2}}} \right ),z=k\left ({nl-{{m}^{2}}} \right )$

বামপক্ষ :

$lx+my+nz$

x , y ও z এর মান বসিয়ে পাই,

$=l\times k\left ({lm-{{n}^{2}}} \right )+m\times k\left ({mn-{{l}^{2}}} \right )+n\times k\left ({nl-{{m}^{2}}} \right )$

$=k\left [l\times \left ({lm-{{n}^{2}}} \right )+m\times \left ({mn-{{l}^{2}}} \right )+n\times \left ({nl-{{m}^{2}}} \right ) \right ]$

$=k\left (l^{2}m-{n}^{2}l+m^{2}n-{l}^{2}m+n^{2}l-{m}^{2}n \right )$

$=k\times 0$

= 0

= ডানপক্ষ (প্রমাণিত)

Q6 (iv) ${\color{Blue} \frac{x}{b+c-a}=\frac{y}{c+a-b}=\frac{z}{a+b-c}}$ হলে, দেখাই যে, ${\color{Blue} \left( b-c \right)x+\left( c-a \right)y+\left( a-b \right)z=0}$

সমাধানঃ

$\frac{x}{b+c-a}=\frac{y}{c+a-b}=\frac{z}{a+b-c}$

বা, $\frac{x}{b+c-a}=\frac{y}{c+a-b}=\frac{z}{a+b-c}=k$ (ধরি)

$\therefore x=k\left (b+c-a \right ),y=k\left (c+a-b \right ),z=k\left (a+b-c \right )$

বামপক্ষ :

$\left( b-c \right)x+\left( c-a \right)y+\left( a-b \right)z$

x , y ও z এর মান বসিয়ে পাই,

$=\left( b-c \right)\times k\left ( b+c-a \right )+\left( c-a \right)\times k\left ( c+a-b \right )+\left( a-b \right)\times k\left ( a+b-c \right )$

$=k\left [\left( b-c \right)\times \left ( b+c-a \right )+\left( c-a \right)\times \left ( c+a-b \right )+\left( a-b \right)\times \left ( a+b-c \right ) \right ]$

$=k\left [b^{2}+bc-ab-bc-c^{2}+ac+c^{2}+ac-bc-ac-a^{2}+ab+a^{2}+ab-ac-ab-b^{2}+bc \right ]$

$=k\times 0$

= 0

= ডানপক্ষ (প্রমাণিত)

Q6 (v) ${\color{Blue} \frac{x}{y}=\frac{a+2}{a-2}}$ হলে দেখাই যে, ${\color{Blue} \frac{{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}=\frac{4a}{{{a}^{2}}+4}}$

সমাধানঃ

$\frac{x}{y}=\frac{a+2}{a-2}$

উভয়পক্ষে বর্গ করে পাই,

বা, $\frac{x^{2}}{y^{2}}=\frac{\left (a+2 \right )^{2}}{\left (a-2 \right )^{2}}$

বা, $\frac{x^{2}}{y^{2}}=\frac{a^{2}+4a+4}{a^{2}-4a+4}$

বা, $\frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}-y^{2}}=\frac{\left (a^{2}+4a+4 \right )+\left (a^{2}-4a+4 \right )}{\left (a^{2}+4a+4 \right )-\left (a^{2}-4a+4 \right )}$

[ যোগ ভাগ প্রক্রিয়া করে পাই ]

বা, $\frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}-y^{2}}=\frac{a^{2}+4a+4 +a^{2}-4a+4 }{a^{2}+4a+4 -a^{2}+4a-4}$

বা, $\frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}-y^{2}}=\frac{2\left (a^{2}+4 \right )}{8a}$

বা, $\frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}-y^{2}}=\frac{\left (a^{2}+4 \right )}{4a}$

$\therefore \frac{{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}=\frac{4a}{{{a}^{2}}+4}$ (প্রমাণিত)

Q6 (vi) ${\color{Blue} x=\frac{8ab}{a+b}}$ হলে, ${\color{Blue} \left( \frac{x+4a}{x-4a}+\frac{x+4b}{x-4b} \right)}$ -এর মান হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ

প্রদত্ত,

$x=\frac{8ab}{a+b}$

বা, $\frac{x}{4a}=\frac{2b}{a+b}$

বা, $\frac{x+4a}{x-4a}=\frac{2b+a+b}{2b-a-b}$

বা, $\frac{x+4a}{x-4a}=\frac{3b+a}{b-a}$

আবার,

$x=\frac{8ab}{a+b}$

বা, $\frac{x}{4b}=\frac{2a}{a+b}$

বা, $\frac{x+4b}{x-4b}=\frac{2a+a+b}{2a-a-b}$

বা, $\frac{x+4b}{x-4b}=\frac{3a+b}{a-b}$

∴ $\left( \frac{x+4a}{x-4a}+\frac{x+4b}{x-4b} \right)$ -এর মান

$=\frac{3b+a}{b-a}+\frac{3a+b}{a-b}$

$=\frac{3b+a}{b-a}+\frac{3a+b}{-\left (b-a \right )}$

$=\frac{3b+a}{b-a}-\frac{3a+b}{b-a}$

$=\frac{3b+a-3a-b}{b-a}$

$=\frac{2b-2a}{b-a}$

$=\frac{2\left (b-a \right )}{\left (b-a \right )}$

= 2 (উত্তর)

Koshe dekhi 5.3 class 10

Q7 (i) ${\color{Blue} \frac{a}{3}=\frac{b}{4}=\frac{c}{7}}$ হলে দেখাই যে, ${\color{Blue} \frac{a+b+c}{c}=2}$

সমাধানঃ

প্রদত্ত,

$\frac{a}{3}=\frac{b}{4}=\frac{c}{7}=k$

$\therefore a=3k,b=4k,c=7k$ (ধরি)

বামপক্ষ :

$\frac{a+b+c}{c}$

$=\frac{3k+4k+7k}{7k}$

$=\frac{14k}{7k}$

= 2 (প্রমাণিত)

Koshe dekhi 5.3 class 10

Q7 (ii) ${\color{Blue} \frac{a}{q-r}=\frac{b}{r-p}=\frac{c}{p-q}}$ হলে দেখাই যে, ${\color{Blue} a+b+c=0=pa+qb+rc}$

সমাধানঃ

প্রদত্ত,

$\frac{a}{q-r}=\frac{b}{r-p}=\frac{c}{p-q}=k$ (ধরি)

$\therefore a=k\left ( q-r \right ),b=k\left ( r-p \right ),c=k\left ( p-q \right )$

$\therefore a+b+c$

$=k\left ( q-r \right )+k\left ( r-p \right )+k\left ( p-q \right )$

$=kq-kr+kr-pk+pk-qk$

= 0

আবার,

$pa+qb+rc$

$=p\times k\left ( q-r \right )+q\times k\left ( r-p \right )+r\times k\left ( p-q \right )$

$=pqk-prk+qrk-pqk+prk-qrk$

= 0

${\color{DarkGreen} \therefore a+b+c=0=pa+qb+rc}$ (প্রমাণিত)

Koshe dekhi 5.3 class 10

Q7 (iii) ${\color{Blue} \frac{ax+by}{a}=\frac{bx-ay}{b}}$ হলে দেখাই যে, প্রতিটি অনুপাত x -এর সমান।

সমাধানঃ

$\frac{ax+by}{a}=\frac{bx-ay}{b}$

প্রথম অনুপাতের উভয় পদকে a দ্বারা এবং দ্বিতীয় অনুপাতের উভয় পদকে b দ্বারা গুন্ করে পাই,

$\frac{a^{2}x+aby}{a^{2}}=\frac{b^{2}x-aby}{b^{2}}$

সংযোজন প্রক্রিয়া করে পাই,

$=\frac{a^{2}x+aby+b^{2}x-aby}{a^{2}+b^{2}}$

$=\frac{x\left (a^{2}+b^{2} \right )}{a^{2}+b^{2}}$

= x

${\color{DarkGreen} \therefore \frac{ax+by}{a}=\frac{bx-ay}{b}=x}$ (প্রমাণিত)

Koshe dekhi 5.3 class 10

Q8 (i) যদি ${\color{Blue} \frac{a+b}{b+c}=\frac{c+d}{d+a}}$ হয়, তবে প্রমান করি যে, c = a অথবা a + b + c + d = 0

সমাধানঃ

$\frac{a+b}{b+c}=\frac{c+d}{d+a}$

বা, $\left ( a+b \right )\left ( d+a \right )=\left ( b+c \right )\left ( c+d \right )$

বা, $ad+a^{2}+bd+ab=bc+bd+c^{2}+cd$

বা, $ad+a^{2}+bd+ab-bc-bd-c^{2}-cd=0$

বা, $ad-cd+ab-bc+a^{2}-c^{2}=0$

বা, $d\left ( a-c \right )+b\left ( a-c \right )+\left ( a+c \right )\left ( a-c \right )=0$

বা, $\left ( a-c \right )\left ( d+b+a+c \right )=0$

দুই বা ততোধিক রাশির গুনফল শূন্য হলে তারা প্রত্যেকে পৃথক পৃথক ভাবে শূন্য হবে।

সুতরাং,

a – c = 0

a = c

অথবা

a + b + c + d = 0

∴ c = a অথবা a + b + c + d = 0 (প্রমাণিত)

Koshe dekhi 5.3 class 10

Q8 (ii) যদি ${\color{Blue} \frac{x}{b+c}=\frac{y}{c+a}=\frac{z}{a+b}}$ হয়, দেখাই যে, ${\color{Blue} \frac{a}{y+z-x}=\frac{b}{z+x-y}=\frac{c}{x+y-z}}$

সমাধানঃ

প্রদত্ত,

$\frac{x}{b+c}=\frac{y}{c+a}=\frac{z}{a+b}$

ধরি, $\frac{x}{b+c}=\frac{y}{c+a}=\frac{z}{a+b}=k$

$\therefore x=k\left ( b+c \right ),y=k\left ( c+a \right ),z=k\left ( a+b \right )$

প্রথমপক্ষ :

$=\frac{a}{y+z-x}$

$=\frac{a}{k\left ( c+a \right )+k\left ( a+b \right )-k\left ( b+c \right )}$

$=\frac{a}{k\left ( c+a+a+b-b-c \right )}$

$=\frac{a}{2ak}$

$=\frac{1}{2k}$

দ্বিতীয়পক্ষ :

$=\frac{b}{z+x-y}$

$=\frac{b}{k\left ( a+b \right )+k\left ( b+c \right )-k\left ( c+a \right )}$

$=\frac{b}{k\left ( a+b+b+c-c-a \right )}$

$=\frac{b}{2bk}$

$=\frac{1}{2k}$

তৃতীয়পক্ষ :

$=\frac{c}{x+y-z}$

$=\frac{c}{k\left ( b+c+c+a-a-b \right )}$

$=\frac{c}{2ck}$

$=\frac{1}{2k}$

${\color{DarkGreen} \therefore \frac{a}{y+z-x}=\frac{b}{z+x-y}=\frac{c}{x+y-z}}$ (প্রমাণিত)

Koshe dekhi 5.3 class 10

Q8 (iii) ${\color{Blue} \frac{x+y}{3a-b}=\frac{y+z}{3b-c}=\frac{z+x}{3c-a}}$ হলে, দেখাই যে, ${\color{Blue} \frac{x+y+z}{a+b+c}=\frac{ax+by+cz}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}$

সমাধানঃ

প্রদত্ত,

$\frac{x+y}{3a-b}=\frac{y+z}{3b-c}=\frac{z+x}{3c-a}$

ধরি, $\frac{x+y}{3a-b}=\frac{y+z}{3b-c}=\frac{z+x}{3c-a}=k$

$\therefore x+y=k\left (3a-b \right )$ ……….(i)

$y+z=k\left (3b-c \right )$ ……….(ii)

$z+x=k\left (3c-a \right )$ ………(iii)

(i) + (ii) + (iii) সমীকরণ যোগ করে পাই,

$x+y+y+z+z+x=k\left ( 3a-b \right )+k\left (3b-c \right )+k\left ( 3c-a \right )$

বা, $\left (2x+2y+2z \right )=k\left ( 3a-b+3b-c+3c-a \right )$

বা, $2\left (x+y+z \right )=k\left ( 2a+2b+2c \right )$

বা, $2\left (x+y+z \right )=2k\left ( a+b+c \right )$

বা, $\left (x+y+z \right )=k\left ( a+b+c \right )$ ………(iv)

$\therefore \frac{x+y+z}{a+b+c}=k$

(iv) নং সমীকরণ থেকে (i) নং সমীকরণ বিয়োগ করে পাই,

$\left (x+y+z \right )-\left ( x+y \right )=k\left ( a+b+c \right )-k\left ( 3a-b \right )$

বা, $x+y+z-x-y =k\left ( a+b+c-3a+b \right )$

বা, $z=k\left (2b+c-2a \right )$

(iv) নং সমীকরণ থেকে (ii) নং সমীকরণ বিয়োগ করে পাই,

বা, $\left (x+y+z \right )-\left ( y+z \right )=k\left ( a+b+c \right )-k\left ( 3b-c \right )$

বা, $\left (x+y+z-y-z \right )=k\left ( a+b+c-3b+c \right )$

বা, $x=k\left (2c+a-2b \right )$

(iv) নং সমীকরণ থেকে (iii) নং সমীকরণ বিয়োগ করে পাই,

$\left (x+y+z \right )-\left ( z+x \right )=k\left ( a+b+c \right )-k\left ( 3c-a \right )$

বা, $x+y+z-z-x =k\left ( a+b+c-3c+a \right )$

বা, $y=k\left (2a+b-2c \right )$

আবার,

$\frac{ax+by+cz}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}$

$=\frac{a\times k\left ( 2c+a-2b \right )+b\times \left ( 2a+b-2c \right )+c\times \left ( 2b+c-2a \right )}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$

$=\frac{k\left ( 2ac+a^{2}-2ab+2ab+b^{2}-2bc+2bc+c^{2}-2ac \right )}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$

$=\frac{k\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )}{\left (a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )}$

= k

${\color{DarkGreen} \therefore \frac{x+y+z}{a+b+c}=\frac{ax+by+cz}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}$ (প্রমাণিত)

Koshe dekhi 5.3 class 10

Q8 (iv) ${\color{Blue} \frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}}$ হলে, দেখাই যে, ${\color{Blue} \frac{{{x}^{2}}-yz}{{{a}^{2}}-bc}=\frac{{{y}^{2}}-zx}{{{b}^{2}}-ca}=\frac{{{z}^{2}}-xy}{{{c}^{2}}-ab}}$

সমাধানঃ

প্রদত্ত,

$\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}$

ধরি, $\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}=k$

$\therefore x=ak,y=bk,z=ck$

প্রথমপক্ষ :

$\frac{{{x}^{2}}-yz}{{{a}^{2}}-bc}$

$=\frac{\left ( ak \right )^{2}-bk\times ck}{a^{2}-bc}$

$=\frac{a^{2}k^{2}-bck^{2}}{a^{2}-bc}$

$=\frac{k^{2}\left (a^{2}-bc \right )}{\left (a^{2}-bc \right )}$

$=k^{2}$

দ্বিতীয়পক্ষ :

$\frac{{{y}^{2}}-zx}{{{b}^{2}}-ca}$

$=\frac{\left ( bk \right )^{2}-ck\times ak}{b^{2}-ca}$

$=\frac{b^{2}k^{2}-ack^{2}}{b^{2}-ac}$

$=\frac{k^{2}\left (b^{2}-ac \right )}{\left (b^{2}-ac \right )}$

$=k^{2}$

তৃতীয়পক্ষ :

$\frac{{{z}^{2}}-xy}{{{c}^{2}}-ab}$

$=\frac{\left ( ck \right )^{2}-ak\times bk}{c^{2}-ab}$

$=\frac{c^{2}k^{2}-abk^{2}}{c^{2}-ab}$

$=\frac{k^{2}\left (c^{2}-ab \right )}{\left (c^{2}-ab \right )}$

$=k^{2}$

${\color{DarkGreen} \therefore \frac{{{x}^{2}}-yz}{{{a}^{2}}-bc}=\frac{{{y}^{2}}-zx}{{{b}^{2}}-ca}=\frac{{{z}^{2}}-xy}{{{c}^{2}}-ab}}$ (প্রমাণিত)

Q9 (i) যদি ${\color{Blue} \frac{3x+4y}{3u+4v}=\frac{3x-4y}{3u-4v}}$ হয়, তবে দেখাই যে, ${\color{Blue} \frac{x}{y}=\frac{u}{v}}$

সমাধানঃ

প্রদত্ত,

$\frac{3x+4y}{3u+4v}=\frac{3x-4y}{3u-4v}$

উভয়পক্ষে যোগ ভাগ প্রক্রিয়া করে পাই,

বা, $\frac{3x+4y+3x-4y}{3x+4y-3x+4y}=\frac{3u+4v+3u-4v}{3u+4v-3u+4v}$

বা, $\frac{6x}{8y}=\frac{6u}{8v}$

${\color{DarkGreen} \therefore \frac{x}{y}=\frac{u}{v}}$ (প্রমাণিত)

Q9 (ii) ${\color{Blue} \left( a+b+c+d \right):\left( a+b-c-d \right)=\left( a-b+c-d \right):\left( a-b-c+d \right)}$ হলে, প্রমান করি যে, a : b = c : d.

সমাধানঃ

প্রদত্ত,

$\left( a+b+c+d \right):\left( a+b-c-d \right)=\left( a-b+c-d \right):\left( a-b-c+d \right)$

বা, $\frac{a+b+c+d}{ a+b-c-d}=\frac{a-b+c-d}{ a-b-c+d}$

বা, $\frac{a+b+c+d+a+b-c-d}{a+b+c+d-a-b+c+d}=\frac{a-b+c-d+a-b-c+d}{a-b+c-d-a+b+c-d}$

বা, $\frac{2a+2b}{2c+2d}=\frac{2a-2b}{2c-2d}$

বা, $\frac{a+b}{c+d}=\frac{a-b}{c-d}$

বা, $\frac{a+b}{a-b}=\frac{c+d}{c-d}$

বা, $\frac{a+b+a-b}{a+b-a+b}=\frac{c+d+c-d}{c+d-c+d}$

বা, $\frac{2a}{2b}=\frac{2c}{2d}$

বা, $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$

${\color{DarkGreen} \therefore a:b=c:d}$ (প্রমাণিত)

Q10 (i) ${\color{Blue} \frac{{{a}^{2}}}{b+c}=\frac{{{b}^{2}}}{c+a}=\frac{{{c}^{2}}}{a+b}=1}$ হলে, দেখাই যে, ${\color{Blue} \frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}=1}$

সমাধানঃ

প্রদত্ত,

$\frac{{{a}^{2}}}{b+c}=\frac{{{b}^{2}}}{c+a}=\frac{{{c}^{2}}}{a+b}=1$

$\frac{{{a}^{2}}}{b+c}=1$

বা, ${a}^{2}=b+c$

বা, $a+{a}^{2}=a+b+c$

বা, $a\left ( 1+a \right )=a+b+c$

বা, $\frac{a}{a+b+c}=\frac{1}{1+a}$ ………(i)

আবার,

$\frac{{{b}^{2}}}{c+a}=1$

বা, ${b}^{2}=c+a$

বা, $b+{b}^{2}=c+a+b$

বা, $b\left ( 1+b \right )=a+b+c$

বা, $\frac{b}{a+b+c}=\frac{1}{1+b}$ ………(ii)

$\frac{{{c}^{2}}}{a+b}=1$

বা, ${c}^{2}=a+b$

বা, $c+{c}^{2}=a+b+c$

বা, $c\left ( 1+c \right )=a+b+c$

বা, $\frac{c}{a+b+c}=\frac{1}{1+c}$ ………(iii)

বামপক্ষ :

$\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}$

$=\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c}$

$=\frac{a+b+c}{a+b+c}$

= 1

= ডানপক্ষ (প্রমাণিত )

Q10 (ii) ${\color{Blue} {{x}^{2}}:\left( by+cz \right)={{y}^{2}}:\left( cz+ax \right)={{z}^{2}}:\left( ax+by \right)=1}$ হলে, দেখাই যে, ${\color{Blue} \frac{a}{a+x}+\frac{b}{b+y}+\frac{c}{c+z}=1}$

সমাধানঃ

প্রদত্ত,

${{x}^{2}}:\left( by+cz \right)={{y}^{2}}:\left( cz+ax \right)={{z}^{2}}:\left( ax+by \right)=1$

বা, $\frac{{x}^{2}}{by+cz}=\frac{{y}^{2}}{cz+ax}=\frac{{z}^{2}}{ax+by}=1$

$\therefore {x}^{2}=by+cz,{y}^{2}=cz+ax,{z}^{2}=ax+by$

এখন,

বামপক্ষ :

$\frac{a}{a+x}+\frac{b}{b+y}+\frac{c}{c+z}$

$=\frac{ax}{ax+x^{2}}+\frac{by}{by+y^{2}}+\frac{cz}{cz+z^{2}}$

$=\frac{ax}{ax+by+cz}+\frac{by}{by+cz+ax}+\frac{cz}{cz+ax+by}$ ${\color{Orchid}\left [ \because {x}^{2}=by+cz,{y}^{2}=cz+ax,{z}^{2}=ax+by \right ]}$

$=\frac{ax+by+cz}{ax+by+cz}$

= 1

= ডানপক্ষ (প্রমাণিত )

Q11 (i) ${\color{Blue} \frac{x}{xa+yb+zc}=\frac{y}{ya+zb+xc}=\frac{z}{za+xb+yc}}$ এবং ${\color{Blue} x+y+z\neq 0}$ হলে, দেখাই যে, প্রতিটি অনুপাত ${\color{Blue} \frac{1}{a+b+c}}$ -এর সমান।

সমাধানঃ

প্রদত্ত,

$\frac{x}{xa+yb+zc}=\frac{y}{ya+zb+xc}=\frac{z}{za+xb+yc}$

সংযোজন প্রক্রিয়া করে পাই,

$=\frac{x+y+z}{xa+yb+zc+ya+zb+xc+za+xb+yc}$

$=\frac{x+y+z}{xa+xb+xc+ya+yb+yc+za+zb+zc}$

$=\frac{x+y+z}{x\left (a+b+c \right )+y\left (a+b+c \right )+z\left (a+b+c \right )}$

$=\frac{\left (x+y+z \right )}{\left (a+b+c \right )\left ( x+y+z \right )}$

$=\frac{1}{\left (a+b+c \right )}$

${\color{DarkGreen} \therefore \frac{x}{xa+yb+zc}=\frac{y}{ya+zb+xc}=\frac{z}{za+xb+yc}=\frac{1}{a+b+c}}$ (প্রমাণিত )

Q11 (ii) ${\color{Blue} \frac{{{x}^{2}}-yz}{a}=\frac{{{y}^{2}}-zx}{b}=\frac{{{z}^{2}}-xy}{c}}$ হলে, প্রমাণ করি যে, ${\color{Blue} \left( a+b+c \right)\left( x+y+z \right)=\left( ax+by+cz \right)}$

সমাধানঃ

প্রদত্ত,

$\frac{{{x}^{2}}-yz}{a}=\frac{{{y}^{2}}-zx}{b}=\frac{{{z}^{2}}-xy}{c}$

সংযোজন প্রক্রিয়া করে পাই,

$=\frac{{{x}^{2}}-yz+{{y}^{2}}-zx+{{z}^{2}-xy}}{a+b+c}$

আবার,

$\frac{{{x}^{2}}-yz}{a}=\frac{{{y}^{2}}-zx}{b}=\frac{{{z}^{2}}-xy}{c}$

বা, $\frac{{x\left ({x}^{2}-yz \right )}}{ax}=\frac{{y\left ({y}^{2}-zx \right )}}{by}=\frac{{z\left ({z}^{2}-xy \right )}}{cz}$

বা, $\frac{{{x}^{3}}-xyz}{ax}=\frac{{{y}^{3}}-yzx}{by}=\frac{{{z}^{3}}-xyz}{cz}$

সংযোজন প্রক্রিয়া করে পাই,

$=\frac{{{x}^{3}+{y}^{3}+{z}^{3}}-3xyz}{ax+by+cz}$

$=\frac{\left ( x+y+z \right )\left ( x^{2}+y^{2}+z^{2}-xy-yz-zx \right )}{ax+by+cz}$

$\left( a+b+c \right)\left( x+y+z \right)=\left( ax+by+cz \right)$

${\color{DarkGreen} \therefore \left( a+b+c \right)\left( x+y+z \right)=\left( ax+by+cz \right)}$ (প্রমাণিত )

Q11 (iii) ${\color{Blue} \frac{a}{y+z}=\frac{b}{z+x}=\frac{c}{x+y}}$ হলে, প্রমাণ করি যে, ${\color{Blue} \frac{a\left( b-c \right)}{{{y}^{2}}-{{z}^{2}}}=\frac{b\left( c-a \right)}{{{z}^{2}}-{{x}^{2}}}=\frac{c\left( a-b \right)}{{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}}$

সমাধানঃ

প্রদত্ত,

$\frac{a}{y+z}=\frac{b}{z+x}=\frac{c}{x+y}$

ধরি,

$\frac{a}{y+z}=\frac{b}{z+x}=\frac{c}{x+y}=k$

$\therefore a=k\left (y+z \right ),b=k\left (z+x \right ),c=k\left (x+y \right )$

প্রথমপক্ষ :

$\frac{a\left( b-c \right)}{{{y}^{2}}-{{z}^{2}}}$

a, b ও c এর মান বসিয়ে পাই,

$=\frac{k\left ( y+z \right )\times \left [k\left(z+x \right)-k\left ( x+y \right ) \right ]}{{{y}^{2}}-{{z}^{2}}}$

$=\frac{k\left ( y+z \right )\times k\left [\left(z+x-x-y \right) \right ]}{{{y}^{2}}-{{z}^{2}}}$

$=\frac{k^{2}\left ( y+z \right )\left ( z-y \right )}{\left ( y+z \right )\left ( y-z \right )}$

$=\frac{k^{2}\left ( y+z \right )\left [-\left ( y-z \right ) \right ]}{\left ( y+z \right )\left ( y-z \right )}$

$=\frac{-k^{2}\left ( y+z \right )\left ( y-z \right ) }{\left ( y+z \right )\left ( y-z \right )}$

$=-k^{2}$

দ্বিতীয়পক্ষ :

$\frac{b\left( c-a \right)}{{{z}^{2}}-{{x}^{2}}}$

a, b ও c এর মান বসিয়ে পাই,

$=\frac{k\left ( z+x \right )\times \left [k\left(x+y \right)-k\left ( y+z \right ) \right ]}{{{z}^{2}}-{{x}^{2}}}$

$=\frac{k\left ( z+x \right )\times k\left [\left(x+y-y-z \right) \right ]}{{{z}^{2}}-{{x}^{2}}}$

$=\frac{k^{2}\left ( z+x \right )\left ( x-z \right )}{\left ( z+x \right )\left ( z-x \right )}$

$=\frac{k^{2}\left ( z+x \right )\left [-\left ( z-x \right ) \right ]}{\left ( z+x \right )\left ( z-x \right )}$

$=\frac{-k^{2}\left ( z+x \right )\left ( z-x \right )}{\left ( z+x \right )\left ( z-x \right )}$

$=-k^{2}$

তৃতীয়পক্ষ :

$\frac{c\left( a-b \right)}{{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}$

a, b ও c এর মান বসিয়ে পাই,

$=\frac{k\left ( x+y \right )\times \left [k\left(y+z \right)-k\left ( z+x \right ) \right ]}{{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}$

$=\frac{k\left ( x+y \right )\times k\left [\left(y+z-z-x \right) \right ]}{{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}$

$=\frac{k^{2}\left ( x+y \right )\left ( y-x \right )}{\left ( x+y \right )\left ( x-y \right )}$

$=\frac{k^{2}\left ( x+y \right )\left [-\left ( x-y \right ) \right ]}{\left ( x+y \right )\left ( x-y \right )}$

$=\frac{-k^{2}\left ( x+y \right )\left ( x-y \right )}{\left ( x+y \right )\left ( x-y \right )}$

$=-k^{2}$

${\color{DarkGreen} \therefore \frac{a\left( b-c \right)}{{{y}^{2}}-{{z}^{2}}}=\frac{b\left( c-a \right)}{{{z}^{2}}-{{x}^{2}}}=\frac{c\left( a-b \right)}{{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}}$ (প্রমাণিত )

Q12. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)

(A) বহুবিকল্পী প্রশ্ন (M.C.Q) :

(i) 3, 4 এবং 6 -এর চতুর্থ সমানুপাতী

(a) 8

(b) 10

(d) 24

সমাধানঃ

ধরি, চতুর্থ সমানুপাতীটি হল x

$\therefore 3:4::6:x$

বা, $\frac{3}{4}=\frac{6}{x}$

বা, $3x=24$

বা, $x=\frac{24}{3}$

$\therefore x=8$

উত্তরঃ (a) 8

Q12.(A) (ii) 8 এবং 12 -এর তৃতীয় সমানুপাতী

(a) 12

(b) 16

(d) 20

সমাধানঃ

ধরি, তৃতীয় সমানুপাতীটি হল x

$\therefore 8:12::12:x$

বা, $\frac{8}{12}=\frac{12}{x}$

বা, $8x=12\times 12$

বা, $x=\frac{12\times 12}{8}$

$\therefore x=18$

উত্তরঃ (c) 18

Q12.(A) (iii) 16 এবং 25 -এর মধ্য সমানুপাতী

(a) 400

(b) 100

(d) 40

সমাধানঃ

ধরি, মধ্য সমানুপাতীটি হল x

$\therefore 16:x::x:25$

বা, $\frac{16}{x}=\frac{x}{25}$

বা, $x^{2}=16\times 25$

বা, $x=\sqrt{16\times 25}$

$\therefore x=20$

উত্তরঃ (c) 20

Q12.(A) (iv) a একটি ধনাত্মক সংখ্যা এবং ${\color{Blue} a:\frac{27}{64}=\frac{3}{4}:a}$ হলে, a -এর মান

(a) ${\color{Blue} \frac{81}{256}}$

(b) 9

(d) ${\color{Blue} \frac{16}{9}}$

সমাধানঃ

$a:\frac{27}{64}=\frac{3}{4}:a$

বা, $\frac{a}{\frac{27}{64}}=\frac{\frac{3}{4}}{a}$

বা, $a^{2}=\frac{27}{64}\times \frac{3}{4}$

বা, $a=\pm \sqrt{\frac{27}{64}\times \frac{3}{4}}$

$\therefore a=\frac{9}{16}$ [ ${\color{Blue} \because }$ a একটি ধনাত্মক সংখ্যা ]

উত্তরঃ (c) ${\color{DarkGreen} \frac{9}{16}}$

Q12.(A) (v) 2a = 3b = 4c হলে, a : b : c হবে

(a) 3 : 4 : 6

(b) 4 : 3 : 6

(d) 6 : 4 : 3

সমাধানঃ

প্রদত্ত,

2a = 3b = 4c

এখন, 2a = 3b

বা, $\frac{a}{b}=\frac{3}{2}$

বা, $\frac{a}{b}=\frac{3}{2}=\frac{3\times 2}{2\times 2}=\frac{6}{4}$

আবার, 3b = 4c

বা, $\frac{b}{c}=\frac{4}{3}$

$\therefore a:b:c=6:4:3$

উত্তরঃ (d) 6 : 4 : 3

Q12. (B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখি :

(i) ${\color{Blue} ab:{{c}^{2}},\ bc:{{a}^{2}}}$ এবং ${\color{Blue} ca:{{b}^{2}}}$ -এর যৌগিক অনুপাত 1 : 1

সমাধানঃ

$ab:{{c}^{2}},\ bc:{{a}^{2}}$ এবং $ca:{{b}^{2}}$ -এর যৌগিক অনুপাত

$=ab\times bc\times ca:c^{2}\times a^{2}\times b^{2}$

$=c^{2}a^{2}b^{2}:c^{2}a^{2}b^{2}$

= 1 : 1

উত্তরঃ বিবৃতিটি সত্য

Q12. (B) (ii) ${\color{Blue} {{x}^{3}}y,\ {{x}^{2}}{{y}^{2}}}$ এবং ${\color{Blue} x{{y}^{3}}}$ ক্রমিক সমানুপাতী।

সমাধানঃ

$\frac{{{x}^{3}}y}{{x}^{2}{y}^{2}}$

$=\frac{x}{y}$

আবার,

$\frac{x^{2}y^{2}}{x{{y}^{3}}}$

$=\frac{x}{y}$

উত্তরঃ বিবৃতিটি সত্য

Q12. (C) শূন্যস্থান পূরণ করি :

(i) তিনটি ক্রমিক সমানুপাতী ধনাত্মক সংখ্যার গুনফল 64 হলে, তাদের মধ্যসমানুপাতী _____।

সমাধানঃ

ধরি, তিনটি ধনাত্মক ক্রমিক সমানুপাতী সংখ্যা হল a, b, c

প্রদত্ত, $abc=64$

$\therefore \frac{a}{b}=\frac{b}{c}$

বা, $b^{2}=ac$

বা, $b^{3}=abc$

বা, $b^{3}=64$

বা, $\left ( b \right )^{3}=\left ( 4 \right )^{3}$

$\therefore b=4$

উত্তরঃ নির্ণেয় মধ্যসমানুপাতী 4

Koshe dekhi 5.3 class 10

Q12. (C) (ii) a : 2 = b : 5 = c : 8 হলে a এর 50% = b এর 20% = c এর ____ %

সমাধানঃ

প্রদত্ত,

a : 2 = b : 5 = c : 8

বা, $\frac{a}{2}=\frac{b}{5}=\frac{c}{8}$

ধরি,

a এর 50% = b এর 20% = c এর x%

বা, a এর $\frac{50}{100}$ = b এর $\frac{20}{100}$ = c এর $\frac{x}{100}$

বা, $\frac{a}{2}=\frac{b}{5}=\frac{cx}{100}$

$\therefore \frac{cx}{100}=\frac{c}{8}$

বা, $x=\frac{100}{8}$

$\therefore x=12.5$

উত্তরঃ নির্ণেয় a এর 50% = b এর 20% = c এর 12.5%

Koshe dekhi 5.3 class 10

Q12. (C) (iii) ${\color{Blue} \left ( x+2 \right )}$ এবং ${\color{Blue} \left ( x-3 \right )}$ -এর মধ্য সমানুপাতী x হলে, x -এর মান ______।

সমাধানঃ

$\left ( x+2 \right ):x::x:\left ( x-3 \right )$

বা, $\frac{x+2}{x}=\frac{x}{x-3}$

বা, $\left ( x+2 \right )\left ( x-3 \right )=x^{2}$

বা, $x^{2}-3x+2x-6-x^{2}=0$

বা, $-x=6$

$\therefore x=-6$

উত্তরঃ নির্ণেয় x -এর মান -6

Koshe dekhi 5.3 class 10

Q13. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)

(i) ${\color{Blue} \frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{4}=\frac{2a-3b+4c}{p}}$ হলে, p -এর মান নির্ণয় করি।

সমাধানঃ

প্রদত্ত,

$\frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{4}=\frac{2a-3b+4c}{p}$

ধরি, $\frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{4}=\frac{2a-3b+4c}{p}=k$

$\therefore a=2k,b=3k,c=4k$ ও

$\left ( 2a-3b+4c \right )=pk$

a, b ও c এর মান বসিয়ে পাই,

$2\times 2k-3\times 3k+4\times 4k=pk$

বা, $4k-9k+16k=pk$

বা, $11k=pk$

$\therefore p=11$

উত্তরঃ নির্ণেয় p -এর মান 11

Koshe dekhi 5.3 class 10

Q13 (ii) ${\color{Blue} \frac{3x-5y}{3x+5y}=\frac{1}{2}}$ হলে, ${\color{Blue} \frac{3{{x}^{2}}-5{{y}^{2}}}{3{{x}^{2}}+5{{y}^{2}}}}$ -এর মান নির্ণয় করি।

সমাধানঃ

$\frac{3x-5y}{3x+5y}=\frac{1}{2}$

বা, $6x-10y=3x+5y$

বা, $6x-3x=5y+10y$

বা, $3x=15y$

বা, $\frac{x}{y}=\frac{15}{3}$

বা, $x=5y$

$\therefore \frac{3{{x}^{2}}-5{{y}^{2}}}{3{{x}^{2}}+5{{y}^{2}}}$ -এর মান

$=\frac{3\times {{\left ( 5y \right )}^{2}}-5{{y}^{2}}}{3\times {{\left ( 5y \right )}^{2}}+5{{y}^{2}}}$

$=\frac{75y^{2}-5{{y}^{2}}}{75y^{2}+5{{y}^{2}}}$

$=\frac{70y^{2}}{80y^{2}}$

$=\frac{7}{8}$

উত্তরঃ নির্ণেয় ${\color{DarkGreen} \frac{3{{x}^{2}}-5{{y}^{2}}}{3{{x}^{2}}+5{{y}^{2}}}}$ -এর মান ${\color{DarkGreen} \frac{7}{8}}$

Koshe dekhi 5.3 class 10

Q13 (iii) a : b = 3 : 4 এবং x : y = 5 : 7 হলে, ${\color{Blue} \left( 3ax-by \right):\left( 4by-7ax \right)}$ কত নির্ণয় করি।

সমাধানঃ

প্রদত্ত,

a : b = 3 : 4

বা, $\frac{a}{b}=\frac{3}{4}$

ধরি, a = 3k ও b=4k

এবং

x : y = 5 : 7

বা, $\frac{x}{y}=\frac{5}{7}$

ধরি, x=5l ও y=7l

$\therefore \left( 3ax-by \right):\left( 4by-7ax \right)$

$=\left( 3\times 3k\times 5l-4k\times 7l \right):\left( 4\times 4k\times 7l -7\times 3k\times 5l \right)$

$=\left( 45kl-28kl\right):\left( 112kl-105kl \right)$

$=17kl:7kl$

$=17:7$

উত্তরঃ নির্ণেয় ${\color{DarkGreen} \left( 3ax-by \right):\left( 4by-7ax \right)=17:7}$

Koshe dekhi 5.3 class 10

Q13 (iv) x, 12, y, 27 ক্রমিক সমানুপাতী হলে, x ও y -এর ধনাত্মক মান নির্ণয় করি৷

সমাধানঃ

প্রদত্ত,

x, 12, y, 27 ক্রমিক সমানুপাতী

$\therefore \frac{x}{12}=\frac{12}{y}=\frac{y}{27}$

এখন,

$\frac{12}{y}=\frac{y}{27}$

বা, $y^{2}=12\times 27$

বা, $y=\sqrt{12\times 27}$

$\therefore y=18$

আবার,

$\frac{x}{12}=\frac{12}{y}$

বা, $\frac{x}{12}=\frac{12}{18}$

বা, $18x=12\times 12$

বা, $x=\frac{12\times 12}{18}$

$\therefore x=8$

উত্তরঃ নির্ণেয় x ও y -এর ধনাত্মক মান 8 ও 18

Koshe dekhi 5.3 class 10

Q13 (v) a : b = 3 : 2 এবং b : c = 3 : 2 হলে, a +b : b + c কত নির্ণয় করি।

সমাধানঃ

প্রদত্ত,

a : b = 3 : 2 এবং b : c = 3 : 2

$\therefore \frac{a}{b}=\frac{3}{2}$

বা, $\frac{a}{b}=\frac{3\times 3}{2\times 3}=\frac{9}{6}$

এবং

$\frac{b}{c}=\frac{3}{2}$

বা, $\frac{b}{c}=\frac{3\times 2}{2\times 2}=\frac{6}{4}$

এখন, a : b : c = 9 : 6 : 4

ধরি, $a=9k,b=6k,c=4k$

∴ a +b : b + c

$=\frac{a+b}{b+c}$

$=\frac{9k+6k}{6k+4k}$

$=\frac{15k}{10k}$

$=\frac{3}{2}$

উত্তরঃ নির্ণেয় a +b : b + c = 3 : 2

Koshe dekhi 5.3 class 10

Thank You

6 thoughts on “Koshe dekhi 5.3 class 10”

sudipta roy says:

February 9, 2021 at 8:59 am

Good
Good
Good

1. admin says:
  
  February 9, 2021 at 11:00 am
  
  Thank you for your comment.
  
2. Sourav says:
  
  March 13, 2022 at 10:51 pm
  
  Good
  Very good
  And very very thanks.
  
  1. Prasanta Naskar says:
    
    March 14, 2022 at 7:41 am
    
    You must welcome here.
    Thank you for such a lovely comment.
    
Sourav says:

March 13, 2022 at 10:51 pm

Good
Very good
And very very thanks.

1. Prasanta Naskar says:
  
  March 14, 2022 at 7:40 am
  
  You must welcome here.
  Thank you for such a lovely comment.

Koshe dekhi 5.3 class 10

Koshe Dekhi 5.3 class 10

Koshe Dekhi 5.3 class 10

Related Post

WBCHSE – Let us Work Out 26.4 – WB Class 10

WBCHSE – Let us Work Out 26.1 – WB Class 10

Koshe Dekhi 21 Class 10

6 thoughts on “Koshe dekhi 5.3 class 10”

Leave a Reply Cancel reply

You missed

Notification Out: RRB NTPC Recruitment 2024

CITL-001 Solved Assignment 2024-25

CIT-003 Solved Assignment 2024-25

CIT-002 Solved Assignment 2024-25