Koshe Dekhi 5.3 class 10

Q1. a : b = c : d হলে, দেখাই যে,

(i) ${\color{Blue} \left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right):\left( {{a}^{2}}-{{b}^{2}} \right)=\left( ac+bd \right):\left( ac-bd \right)}$

সমাধানঃ

প্রদত্ত, a : b = c : d

এখন, $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k$ (ধরি)

$\therefore a=bk,c=dk$

বামপক্ষ :

$\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right):\left( {{a}^{2}}-{{b}^{2}} \right)$

$=\frac{\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)}{\left( {{a}^{2}}-{{b}^{2}} \right)}$

a এর মান বসিয়ে পাই,

$=\frac{\left ( bk \right )^{2}+b^{2}}{\left ( bk \right )^{2}-b^{2}}$

$=\frac{b^{2}k^{2}+b^{2}}{b^{2}k^{2}-b^{2}}$

$=\frac{b^{2}\left (k^{2}+1 \right )}{b^{2}\left (k^{2}-1 \right )}$

$=\frac{\left (k^{2}+1 \right )}{\left (k^{2}-1 \right )}$

ডানপক্ষ :

$\left ( ac+bd \right ):\left ( ac-bd \right )$

$=\frac{ac+bd}{ac-bd}$

a ও c এর মান বসিয়ে পাই,

$=\frac{bk\times dk+bd}{bk\times dk-bd}$

$=\frac{bdk^{2}+bd}{bdk^{2}-bd}$

$=\frac{bd\left (k^{2}+1 \right )}{bd\left (k^{2}-1 \right )}$

$=\frac{\left (k^{2}+1 \right )}{\left (k^{2}-1 \right )}$

∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ (প্রমাণিত)

Q1 (ii) ${\color{Blue} \left( {{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}} \right):\left( {{a}^{2}}-ab+{{b}^{2}} \right)=\left( {{c}^{2}}+cd+{{d}^{2}} \right):\left( {{c}^{2}}-cd+{{d}^{2}} \right)}$

সমাধানঃ

প্রদত্ত, a : b = c : d

এখন, $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k$ (ধরি)

$\therefore a=bk,c=dk$

বামপক্ষ :

$\left( {{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}} \right):\left( {{a}^{2}}-ab+{{b}^{2}} \right)$

$=\frac{\left( {{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}} \right)}{\left( {{a}^{2}}-ab+{{b}^{2}} \right)}$

a এর মান বসিয়ে পাই,

$=\frac{\left ( bk \right )^{2}+bk\times b+b^{2}}{\left ( bk \right )^{2}-bk\times b+b^{2}}$

$=\frac{b^{2}k^{2}+b^{2}k+b^{2}}{b^{2}k^{2}-b^{2}k+b^{2}}$

$=\frac{b^{2}\left (k^{2}+k+1 \right )}{b^{2}\left (k^{2}-k+1 \right )}$

$=\frac{\left (k^{2}+k+1 \right )}{\left (k^{2}-k+1 \right )}$

ডানপক্ষ :

$\left( {{c}^{2}}+cd+{{d}^{2}} \right):\left( {{c}^{2}}-cd+{{d}^{2}} \right)$

$=\frac{\left( {{c}^{2}}+cd+{{d}^{2}} \right)}{\left( {{c}^{2}}-cd+{{d}^{2}} \right)}$

c এর মান বসিয়ে পাই,

$=\frac{\left ( dk \right )^{2}+dk\times d+d^{2}}{\left ( dk \right )^{2}-dk\times d+d^{2}}$

$=\frac{d^{2}k^{2}+d^{2}k+d^{2}}{d^{2}k^{2}-d^{2}k+d^{2}}$

$=\frac{d^{2}\left (k^{2}+k+1 \right )}{d^{2}\left (k^{2}-k+1 \right )}$

$=\frac{\left (k^{2}+k+1 \right )}{\left (k^{2}-k+1 \right )}$

∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ (প্রমাণিত)

Q1 (iii) ${\color{Blue} \sqrt{{{a}^{2}}+{{c}^{2}}}:\sqrt{{{b}^{2}}+{{d}^{2}}}=\left( pa+qc \right):\left( pb+qd \right)}$

সমাধানঃ

প্রদত্ত, a : b = c : d

এখন, $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k$ (ধরি)

$\therefore a=bk,c=dk$

বামপক্ষ :

$\sqrt{{{a}^{2}}+{{c}^{2}}}:\sqrt{{{b}^{2}}+{{d}^{2}}}$

$=\frac{\sqrt{{{a}^{2}}+{{c}^{2}}}}{\sqrt{{{b}^{2}}+{{d}^{2}}}}$

a ও c এর মান বসিয়ে পাই,

$=\frac{\sqrt{\left ( bk \right )^{2}+\left ( dk \right )^{2}}}{\sqrt{b^{2}+d^{2}}}$

$=\frac{\sqrt{b^{2}k^{2}+d^{2}k^{2}}}{\sqrt{b^{2}+d^{2}}}$

$=\frac{\sqrt{k^{2}\left (b^{2}+d^{2} \right )}}{\sqrt{\left (b^{2}+d^{2} \right )}}$

$=\sqrt{k^{2}}$

= k

ডানপক্ষ :

$\left( pa+qc \right):\left( pb+qd \right)$

$=\frac{\left( pa+qc \right)}{\left( pb+qd \right)}$

a ও c এর মান বসিয়ে পাই,

$=\frac{\left( p\times bk+q\times dk \right)}{\left( pb+qd \right)}$

$=\frac{\left( pbk+qdk \right)}{\left( pb+qd \right)}$

$=\frac{k\left( pb+qd \right)}{\left( pb+qd \right)}$

= k

∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ (প্রমাণিত)

Q2. x : a = y : b = z : c হলে, প্রমান করি যে,

(i) ${\color{Blue} \frac{{{x}^{3}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{y}^{3}}}{{{b}^{2}}}+\frac{{{z}^{3}}}{{{c}^{2}}}=\frac{{{\left( x+y+z \right)}^{3}}}{{{\left( a+b+c \right)}^{2}}}}$

সমাধানঃ

প্রদত্ত,

x : a = y : b = z : c

এখন,

$\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}=k$ (ধরি)

$\therefore x=ak,y=bk,z=ck$

বামপক্ষ :

$\frac{{{x}^{3}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{y}^{3}}}{{{b}^{2}}}+\frac{{{z}^{3}}}{{{c}^{2}}}$

x , y ও z এর মান বসিয়ে পাই,

$=\frac{{{\left (ak \right )}^{3}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{\left ( bk \right )}^{3}}}{{{b}^{2}}}+\frac{{{\left ( ck \right )}^{3}}}{{{c}^{2}}}$

$=\frac{{a^{3}k^{3}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{b^{3}k^{3}}}{{{b}^{2}}}+\frac{{c^{3}k^{3}}}{{{c}^{2}}}$

$=ak^{3}+bk^{3}+ck^{3}$

$=k^{3}\left ( a+b+c \right )$

ডানপক্ষ :

$\frac{{{\left( x+y+z \right)}^{3}}}{{{\left( a+b+c \right)}^{2}}}$

x , y ও z এর মান বসিয়ে পাই,

$=\frac{{{\left( ak+bk+ck \right)}^{3}}}{{{\left( a+b+c \right)}^{2}}}$

$=\frac{{{k^{3}\left( a+b+c \right)}^{3}}}{{{\left( a+b+c \right)}^{2}}}$

$=k^{3}\left ( a+b+c \right )$

∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ (প্রমাণিত)

Q2. x : a = y : b = z : c হলে, প্রমান করি যে,

(ii) ${\color{Blue} \frac{{{x}^{3}}+{{y}^{3}}+{{z}^{3}}}{{{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}}=\frac{xyz}{abc}}$

সমাধানঃ

$\frac{{{x}^{3}}+{{y}^{3}}+{{z}^{3}}}{{{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}}=\frac{xyz}{abc}$

প্রদত্ত,

x : a = y : b = z : c

এখন,

$\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}=k$ (ধরি)

$\therefore x=ak,y=bk,z=ck$

বামপক্ষ :

$\frac{{{x}^{3}}+{{y}^{3}}+{{z}^{3}}}{{{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}}$

x , y ও z এর মান বসিয়ে পাই,

$=\frac{{{\left (ak \right )}^{3}}+{{\left ( bk \right )}^{3}}+{\left ( ck \right )}^{3}}{a^{3}+b^{3}+c^{3}}$

$=\frac{{a^{3}k^{3}}+{b^{3}k^{3}}+{c^{3}k^{3}}}{a^{3}+b^{3}+c^{3}}$

$=\frac{k^{3}\left ({a^{3}}+{b^{3}}+{c^{3}} \right )}{a^{3}+b^{3}+c^{3}}$

$=k^{3}$

ডানপক্ষ :

$\frac{xyz}{abc}$

x , y ও z এর মান বসিয়ে পাই,

$=\frac{ak\times bk\times ck}{a\times b\times c}$

$=\frac{abck^{3}}{abc}$

$=k^{3}$

∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ (প্রমাণিত)

Q2. x : a = y : b = z : c হলে, প্রমান করি যে,

(iii) ${\color{Blue} \left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}} \right)={{\left( ax+by+cz \right)}^{2}}}$

সমাধানঃ

$\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}} \right)={{\left( ax+by+cz \right)}^{2}}$

প্রদত্ত,

x : a = y : b = z : c

এখন,

$\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}=k$ (ধরি)

$\therefore x=ak,y=bk,z=ck$

বামপক্ষ :

$\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}} \right)$

x , y ও z এর মান বসিয়ে পাই,

$=\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right) \left [{{\left (ak \right )}^{2}}+{{\left ( bk \right )}^{2}}+{{\left ( ck \right )}^{2}} \right ]$

$=\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right) \left [{a^{2}k^{2}}+{b^{2}k ^{2}}+{c^{2}k^{2}} \right ]$

$=\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right) \left [k^{2}\left ({a^{2}}+{b^{2}}+{c^{2}} \right ) \right ]$

$=k^{2}\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)^{2}$

ডানপক্ষ :

${{\left( ax+by+cz \right)}^{2}}$

x , y ও z এর মান বসিয়ে পাই,

$={{\left( a\times ak+b\times bk+c\times ck \right)}^{2}}$

$=\left( {{a}^{2}k}+{{b}^{2}k}+{{c}^{2}k} \right)^{2}$

$=k^{2}\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)^{2}$

∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ (প্রমাণিত)

Q3. a : b = c : d = e : f হলে, প্রমান করি যে,

(i) প্রত্যেকটি অনুপাত ${\color{Blue} =\frac{5a-7c-13e}{5b-7d-13f}}$

সমাধানঃ

প্রদত্ত,

a : b = c : d = e : f

বা, $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=k$ (ধরি)

$\therefore a=bk,c=dk,e=fk$

$\frac{5a-7c-13e}{5b-7d-13f}$

a , b ও c এর মান বসিয়ে পাই,

$=\frac{5\times bk-7\times dk-13\times fk}{5b-7d-13f}$

$=\frac{5bk-7dk-13fk}{5b-7d-13f}$

$=\frac{k\left (5b-7d-13f \right )}{5b-7d-13f}$

$=k$

$=\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}$

= প্রত্যেকটি অনুপাত (প্রমাণিত)

Q3. a : b = c : d = e : f হলে, প্রমান করি যে,

(ii) ${\color{Blue} \left( {{a}^{2}}+{{c}^{2}}+{{e}^{2}} \right)\left( {{b}^{2}}+{{d}^{2}}+{{f}^{2}} \right)={{\left( ab+cd+ef \right)}^{2}}}$

সমাধানঃ

প্রদত্ত,

a : b = c : d = e : f

বা, $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=k$ (ধরি)

$\therefore a=bk,c=dk,e=fk$

বামপক্ষ :

$\left( {{a}^{2}}+{{c}^{2}}+{{e}^{2}} \right)\left( {{b}^{2}}+{{d}^{2}}+{{f}^{2}} \right)$

a , b ও c এর মান বসিয়ে পাই,

$=\left[ {{\left (bk \right )}^{2}}+{{\left (dk \right )}^{2}}+{{\left (fk \right )}^{2}} \right]\left( {{b}^{2}}+{{d}^{2}}+{{f}^{2}} \right)$

$=\left[ {b^{2}k^{2}}+{d^{2}k^{2}}+{f^{2}k^{2}} \right]\left( {{b}^{2}}+{{d}^{2}}+{{f}^{2}} \right)$

$=\left[ k^{2}\left( {{b}^{2}}+{{d}^{2}}+{{f}^{2}} \right) \right]\left( {{b}^{2}}+{{d}^{2}}+{{f}^{2}} \right)$

$=k^{2}\left( {{b}^{2}}+{{d}^{2}}+{{f}^{2}} \right)^{2}$

ডানপক্ষ :

${{\left( ab+cd+ef \right)}^{2}}$

a , b ও c এর মান বসিয়ে পাই,

$={{\left( bk\times b+dk\times d+fk\times f \right)}^{2}}$

$={{\left( b^{2}k+d^{2}k+f^{2}k \right)}^{2}}$

$=k^{2}\left( {{b}^{2}}+{{d}^{2}}+{{f}^{2}} \right)^{2}$

∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ (প্রমাণিত)

Q4. যদি a : b = b : c হয়, তবে প্রমান করি যে,

(i) ${\color{Blue} {{\left( \frac{a+b}{b+c} \right)}^{2}}=\frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}$

সমাধানঃ

a : b = b : c

বা, $\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=k$ (ধরি)

$\therefore b=ck,a=bk=ck\times k=ck^{2}$

বামপক্ষ :

${{\left( \frac{a+b}{b+c} \right)}^{2}}$

a ও b এর মান বসিয়ে পাই,

$={{\left( \frac{ck^{2}+ck}{ck+c} \right)}^{2}}$

$={c^{2}{\left( \frac{k^{2}+k}{k+1} \right)}^{2}}$

ডানপক্ষ :

$\frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}$

a ও b এর মান বসিয়ে পাই,

$=\frac{{{\left (ck^{2} \right )}^{2}}+{{\left ( ck \right )}^{2}}}{{{\left ( ck \right )}^{2}}+{{c}^{2}}}$

$=\frac{{{\left (c^{2}k^{4} \right )}}+{{\left ( c^{2}k^{2} \right )}}}{{{\left ( c^{2}k^{2} \right )}}+{{c}^{2}}}$

$={c^{2}{\left( \frac{k^{4}+k^{2}}{k^{2}+1} \right)}}$

$={c^{2}{\left( \frac{k^{2}+k}{k+1} \right)}^{2}}$

∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ (প্রমাণিত)

Q4. যদি a : b = b : c হয়, তবে প্রমান করি যে,

(ii) ${\color{Blue} {{a}^{2}}{{b}^{2}}{{c}^{2}}\left( \frac{1}{{{a}^{3}}}+\frac{1}{{{b}^{3}}}+\frac{1}{{{c}^{3}}} \right)={{a}^{3}}+{{b}^{{3}}}+{{c}^{3}}}$

সমাধানঃ

a : b = b : c

বা, $\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=k$ (ধরি)

$\therefore b=ck,a=bk=ck\times k=ck^{2}$

বামপক্ষ :

${{a}^{2}}{{b}^{2}}{{c}^{2}}\left( \frac{1}{{{a}^{3}}}+\frac{1}{{{b}^{3}}}+\frac{1}{{{c}^{3}}} \right)$

a ও b এর মান বসিয়ে পাই,

$={\left ( ck^{2} \right )^{2}}\times {\left ( ck \right )^{2}}\times {{c}^{2}}\times \left( \frac{1}{{\left ( ck^{2} \right )^{3}}}+\frac{1}{{\left ( ck \right )^{3}}}+\frac{1}{{{c}^{3}}} \right)$

$={\left ( c^{2}k^{4} \right )}\times {\left ( c^{2}k^{2} \right )}\times {{c}^{2}}\times \left[ \frac{1}{{\left ( c^{3}k^{6} \right )}}+\frac{1}{{\left ( c^{3}k^{3} \right )}}+\frac{1}{{{c}^{3}}} \right]$

$=c^{6}k^{6}\times \left ( \frac{1+k^{3}+k^{6}}{c^{3}k^{6}} \right )$

$=c^{3}\left (1+k^{3}+k^{6} \right )$

ডানপক্ষ :

${{a}^{3}}+{{b}^{{3}}}+{{c}^{3}}$

a ও b এর মান বসিয়ে পাই,

$={{\left ( ck^{2} \right )}^{3}}+{{\left ( ck \right )}^{{3}}}+{{c}^{3}}$

$={{\left ( c^{3}k^{6} \right )}}+{{\left ( c^{3}k^{3} \right )}}+{{c}^{3}}$

$=c^{3}\left (1+k^{3}+k^{6} \right )$

∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ (প্রমাণিত)

Q4. যদি a : b = b : c হয়, তবে প্রমান করি যে,

(iii) ${\color{Blue} \frac{abc{{\left( a+b+c \right)}^{3}}}{{{\left( ab+bc+ca \right)}^{3}}}=1}$

সমাধানঃ

a : b = b : c

বা, $\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=k$ (ধরি)

$\therefore b=ck,a=bk=ck\times k=ck^{2}$

বামপক্ষ :

$\frac{abc{{\left( a+b+c \right)}^{3}}}{{{\left( ab+bc+ca \right)}^{3}}}$

a ও b এর মান বসিয়ে পাই,

$=\frac{ck^{2}\times ck\times c\times {{\left( ck^{2}+ck+c \right)}^{3}}}{{{\left( ck^{2}\times ck+ck\times c+c\times ck^{2} \right)}^{3}}}$

$=\frac{c^{3}k^{3}c^{3}{{\left( k^{2}+k+1 \right)}^{3}}}{{{\left( c^{2}k^{3}+c^{2}k+c^{2}k^{2} \right)}^{3}}}$

$=\frac{c^{6}k^{3}{{\left( k^{2}+k+1 \right)}^{3}}}{{{c^{6}k^{3}\left( k^{2}+1+k \right)}^{3}}}$

= 1

= ডানপক্ষ

∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ (প্রমাণিত)

Q5. a, b, c, d ক্রমিক সমানুপাতী হলে, প্রমাণ করি যে,

(i) ${\color{Blue} \left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)\left( {{b}^{2}}+{{c}^{2}}+{{d}^{2}} \right)={{\left( ab+bc+cd \right)}^{2}}}$

সমাধানঃ

a : b = b : c = c : d

বা, $\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{d}=k$ (ধরি)

$\therefore c=dk,$

$b=ck=dk\times k=dk^{2}$ ও

$a=bk=dk^{2}\times k=dk^{3}$

বামপক্ষ :

$\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)\left( {{b}^{2}}+{{c}^{2}}+{{d}^{2}} \right)$

a, b ও c এর মান বসিয়ে পাই,

$=\left [\left ( dk^{3} \right )^{2}+\left (dk^{2} \right )^{2}+\left ( dk \right )^{2} \right ]\left [\left (dk^{2} \right )^{2}+\left ( dk \right )^{2}+d^{2} \right ]$

$=\left [d^{2}k^{6}+d^{2}k^{4}+d^{2}k^{2} \right ]\left [d^{2}k^{4}+d^{2}k^{2}+d^{2} \right ]$

$=\left [d^{2}k^{2}\left (k^{4}+k^{2}+1 \right )\right ]\left [d^{2}\left (k^{4}+k^{2}+1 \right ) \right ]$

$=\left [d^{4}k^{2}\left (k^{4}+k^{2}+1 \right )^{2}\right ]$

ডানপক্ষ :

${{\left( ab+bc+cd \right)}^{2}}$

a, b ও c এর মান বসিয়ে পাই,

$={{\left( dk^{3}\times dk^{2}+dk^{2}\times dk+dk\times d \right)}^{2}}$

$={{\left( d^{2}k^{5}+d^{2}k^{3}+d^{2}k \right)}^{2}}$

$=\left [d^{2}k\left (k^{4}+k^{2}+1 \right )\right ]^{2}$

$=\left [d^{4}k^{2}\left (k^{4}+k^{2}+1 \right )^{2}\right ]$

∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ (প্রমাণিত)

Q5. a, b, c, d ক্রমিক সমানুপাতী হলে, প্রমাণ করি যে,

(ii) ${\color{Blue} {{\left( b-c \right)}^{2}}+{{\left( c-a \right)}^{2}}+{{\left( b-d \right)}^{2}}={{\left( a-d \right)}^{2}}}$

সমাধানঃ

a : b = b : c = c : d

বা, $\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{d}=k$ (ধরি)

$\therefore c=dk,$

$b=ck=dk\times k=dk^{2}$ ও

$a=bk=dk^{2}\times k=dk^{3}$

বামপক্ষ :

${{\left( b-c \right)}^{2}}+{{\left( c-a \right)}^{2}}+{{\left( b-d \right)}^{2}}$

a, b ও c এর মান বসিয়ে পাই,

$={{\left( dk^{2}-dk \right)}^{2}}+{{\left( dk-dk^{3} \right)}^{2}}+{{\left( dk^{2}-d \right)}^{2}}$

$=d^{2}k^{4}-2\times dk^{2}\times dk+d^{2}k^{2}+d^{2}k^{2}-2\times dk\times dk^{3}+d^{2}k^{6}+d^{2}k^{4}-2\times dk^{2}\times d+d^{2}$

$=d^{2}k^{4}-2d^{2}k^{3}+d^{2}k^{2}+d^{2}k^{2}-2 d^{2}k^{4}+d^{2}k^{6}+d^{2}k^{4}-2d^{2}k^{2}+d^{2}$

$=2d^{2}k^{4}-2d^{2}k^{3}+2d^{2}k^{2}-2d^{2}k^{4}+d^{2}k^{6}-2d^{2}k^{2}+d^{2}$

$=-2d^{2}k^{3}+d^{2}k^{6}+d^{2}$

$=d^{2}k^{6}-2d^{2}k^{3}+d^{2}$

$=d^{2}\left (k^{6}-2k^{3}+1 \right )$

ডানপক্ষ :

${{\left( a-d \right)}^{2}}$

a এর মান বসিয়ে পাই,

$={{\left( dk^{3}-d \right)}^{2}}$

$=d^{2}k^{6}-2\times dk^{3}\times d+d^{2}$

$=d^{2}k^{6}-2d^{2}k^{3}+d^{2}$

$=d^{2}\left (k^{6}-2k^{3}+1 \right )$

∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ (প্রমাণিত)

Q6 (i) যদি ${\color{Blue} \frac{m}{a}=\frac{n}{b}}$ হয়, তবে দেখাই যে, ${\color{Blue} \left( {{m}^{2}}+{{n}^{2}} \right)\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)={{\left( am+bn \right)}^{2}}}$

সমাধানঃ

প্রদত্ত,

$\frac{m}{a}=\frac{n}{b}=k$ (ধরি)

$\therefore m=ak,n=bk$

বামপক্ষ :

$\left( {{m}^{2}}+{{n}^{2}} \right)\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)$

m, ও n এর মান বসিয়ে পাই,

$=\left[ {{\left ( ak \right )}^{2}}+{{\left ( bk \right )}^{2}} \right]\times \left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)$

$=\left( {{a}^{2}k^{2}}+{{b}^{2}k^{2}} \right)\times \left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)$

$={{a}^{4}k^{2}}+{a^{2}{b}^{2}k^{2}}+a^{2}{b}^{2}k^{2}+{b}^{4}k^{2}$

$={{a}^{4}k^{2}}+2{a^{2}{b}^{2}k^{2}}+{b}^{4}k^{2}$

$=k^{2}\left ({{a}^{4}}+2{a^{2}{b}^{2}}+{b}^{4} \right )$

$=k^{2}\left ({{a}^{2}+{b}^{2}} \right )^{2}$

ডানপক্ষ :

${{\left( am+bn \right)}^{2}}$

m, ও n এর মান বসিয়ে পাই,

$={{\left( a\times ak+b\times bk \right)}^{2}}$

$=\left ( a^{2}k+b^{2}k \right )^{2}$

$=\left ( a^{4}k^{2}+2\times a^{2}k\times b^{2}k+b^{4}k^{2} \right )$

$=\left ( a^{4}k^{2}+2a^{2}b^{2}k^{2}+b^{4}k^{2} \right )$

$=k^{2}\left ({{a}^{4}}+2{a^{2}{b}^{2}}+{b}^{4} \right )$

$=k^{2}\left ({{a}^{2}+{b}^{2}} \right )^{2}$

∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ (প্রমাণিত)

Q6 (ii) যদি ${\color{Blue} \frac{a}{b}=\frac{x}{y}}$ হয়, তবে দেখাই যে, ${\color{Blue} \left( a+b \right)\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right){{x}^{3}}=\left( x+y \right)\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right){{a}^{3}}}$

সমাধানঃ

প্রদত্ত,

$\frac{a}{b}=\frac{x}{y}$

$\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=k$ (ধরি)

$\therefore a=xk,b=yk$

বামপক্ষ :

$\left( a+b \right)\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right){{x}^{3}}$

a, ও b এর মান বসিয়ে পাই,

$=\left( xk+yk \right)\times \left[ {{\left ( xk \right )}^{2}}+{{\left (yk \right )}^{2}} \right]\times x^{3}$

$=\left( xk+yk \right)\times \left[ {{ x^{2}k^{2}}}+{{y}^{2}k^{2}} \right]\times x^{3}$

$=k\left( x+y \right)\times k^{2}\left[ {x^{2}}+{y^{2}} \right]\times x^{3}$

$=x^{3}k^{3}\left( x+y \right)\left( {x^{2}}+{y^{2}} \right)$

ডানপক্ষ :

$\left( x+y \right)\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right){{a}^{3}}$

a এর মান বসিয়ে পাই,

$=\left( x+y \right)\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right){{\left ( xk \right )}^{3}}$

$=x^{3}k^{3}\left( x+y \right)\left( {x^{2}}+{y^{2}} \right)$

∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ (প্রমাণিত)

Q6 (iii) যদি ${\color{Blue} \frac{x}{lm-{{n}^{2}}}=\frac{y}{mn-{{l}^{2}}}=\frac{z}{nl-{{m}^{2}}}}$ হয়, তবে দেখাই যে, ${\color{Blue} lx+my+nz=0}$

সমাধানঃ

$\frac{x}{lm-{{n}^{2}}}=\frac{y}{mn-{{l}^{2}}}=\frac{z}{nl-{{m}^{2}}}$

বা, $\frac{x}{lm-{{n}^{2}}}=\frac{y}{mn-{{l}^{2}}}=\frac{z}{nl-{{m}^{2}}}=k$ (ধরি)

$\therefore x=k\left ({lm-{{n}^{2}}} \right ),y=k\left ({mn-{{l}^{2}}} \right ),z=k\left ({nl-{{m}^{2}}} \right )$

বামপক্ষ :

$lx+my+nz$

x , y ও z এর মান বসিয়ে পাই,

$=l\times k\left ({lm-{{n}^{2}}} \right )+m\times k\left ({mn-{{l}^{2}}} \right )+n\times k\left ({nl-{{m}^{2}}} \right )$

$=k\left [l\times \left ({lm-{{n}^{2}}} \right )+m\times \left ({mn-{{l}^{2}}} \right )+n\times \left ({nl-{{m}^{2}}} \right ) \right ]$

$=k\left (l^{2}m-{n}^{2}l+m^{2}n-{l}^{2}m+n^{2}l-{m}^{2}n \right )$

$=k\times 0$

= 0

= ডানপক্ষ (প্রমাণিত)

Q6 (iv) ${\color{Blue} \frac{x}{b+c-a}=\frac{y}{c+a-b}=\frac{z}{a+b-c}}$ হলে, দেখাই যে, ${\color{Blue} \left( b-c \right)x+\left( c-a \right)y+\left( a-b \right)z=0}$

সমাধানঃ

$\frac{x}{b+c-a}=\frac{y}{c+a-b}=\frac{z}{a+b-c}$

বা, $\frac{x}{b+c-a}=\frac{y}{c+a-b}=\frac{z}{a+b-c}=k$ (ধরি)

$\therefore x=k\left (b+c-a \right ),y=k\left (c+a-b \right ),z=k\left (a+b-c \right )$

বামপক্ষ :

$\left( b-c \right)x+\left( c-a \right)y+\left( a-b \right)z$

x , y ও z এর মান বসিয়ে পাই,

$=\left( b-c \right)\times k\left ( b+c-a \right )+\left( c-a \right)\times k\left ( c+a-b \right )+\left( a-b \right)\times k\left ( a+b-c \right )$

$=k\left [\left( b-c \right)\times \left ( b+c-a \right )+\left( c-a \right)\times \left ( c+a-b \right )+\left( a-b \right)\times \left ( a+b-c \right ) \right ]$

$=k\left [b^{2}+bc-ab-bc-c^{2}+ac+c^{2}+ac-bc-ac-a^{2}+ab+a^{2}+ab-ac-ab-b^{2}+bc \right ]$

$=k\times 0$

= 0

= ডানপক্ষ (প্রমাণিত)

Q6 (v) ${\color{Blue} \frac{x}{y}=\frac{a+2}{a-2}}$ হলে দেখাই যে, ${\color{Blue} \frac{{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}=\frac{4a}{{{a}^{2}}+4}}$

সমাধানঃ

$\frac{x}{y}=\frac{a+2}{a-2}$

উভয়পক্ষে বর্গ করে পাই,

বা, $\frac{x^{2}}{y^{2}}=\frac{\left (a+2 \right )^{2}}{\left (a-2 \right )^{2}}$

বা, $\frac{x^{2}}{y^{2}}=\frac{a^{2}+4a+4}{a^{2}-4a+4}$

বা, $\frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}-y^{2}}=\frac{\left (a^{2}+4a+4 \right )+\left (a^{2}-4a+4 \right )}{\left (a^{2}+4a+4 \right )-\left (a^{2}-4a+4 \right )}$

[ যোগ ভাগ প্রক্রিয়া করে পাই ]

বা, $\frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}-y^{2}}=\frac{a^{2}+4a+4 +a^{2}-4a+4 }{a^{2}+4a+4 -a^{2}+4a-4}$

বা, $\frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}-y^{2}}=\frac{2\left (a^{2}+4 \right )}{8a}$

বা, $\frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}-y^{2}}=\frac{\left (a^{2}+4 \right )}{4a}$

$\therefore \frac{{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}=\frac{4a}{{{a}^{2}}+4}$ (প্রমাণিত)

Q6 (vi) ${\color{Blue} x=\frac{8ab}{a+b}}$ হলে, ${\color{Blue} \left( \frac{x+4a}{x-4a}+\frac{x+4b}{x-4b} \right)}$ -এর মান হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ

প্রদত্ত,

$x=\frac{8ab}{a+b}$

বা, $\frac{x}{4a}=\frac{2b}{a+b}$

বা, $\frac{x+4a}{x-4a}=\frac{2b+a+b}{2b-a-b}$

বা, $\frac{x+4a}{x-4a}=\frac{3b+a}{b-a}$

আবার,

$x=\frac{8ab}{a+b}$

বা, $\frac{x}{4b}=\frac{2a}{a+b}$

বা, $\frac{x+4b}{x-4b}=\frac{2a+a+b}{2a-a-b}$

বা, $\frac{x+4b}{x-4b}=\frac{3a+b}{a-b}$

∴ $\left( \frac{x+4a}{x-4a}+\frac{x+4b}{x-4b} \right)$ -এর মান

$=\frac{3b+a}{b-a}+\frac{3a+b}{a-b}$

$=\frac{3b+a}{b-a}+\frac{3a+b}{-\left (b-a \right )}$

$=\frac{3b+a}{b-a}-\frac{3a+b}{b-a}$

$=\frac{3b+a-3a-b}{b-a}$

$=\frac{2b-2a}{b-a}$

$=\frac{2\left (b-a \right )}{\left (b-a \right )}$

= 2 (উত্তর)

Koshe dekhi 5.3 class 10

Q7 (i) ${\color{Blue} \frac{a}{3}=\frac{b}{4}=\frac{c}{7}}$ হলে দেখাই যে, ${\color{Blue} \frac{a+b+c}{c}=2}$

সমাধানঃ

প্রদত্ত,

$\frac{a}{3}=\frac{b}{4}=\frac{c}{7}=k$

$\therefore a=3k,b=4k,c=7k$ (ধরি)

বামপক্ষ :

$\frac{a+b+c}{c}$

$=\frac{3k+4k+7k}{7k}$

$=\frac{14k}{7k}$

= 2 (প্রমাণিত)

Koshe dekhi 5.3 class 10

Q7 (ii) ${\color{Blue} \frac{a}{q-r}=\frac{b}{r-p}=\frac{c}{p-q}}$ হলে দেখাই যে, ${\color{Blue} a+b+c=0=pa+qb+rc}$

সমাধানঃ

প্রদত্ত,

$\frac{a}{q-r}=\frac{b}{r-p}=\frac{c}{p-q}=k$ (ধরি)

$\therefore a=k\left ( q-r \right ),b=k\left ( r-p \right ),c=k\left ( p-q \right )$

$\therefore a+b+c$

$=k\left ( q-r \right )+k\left ( r-p \right )+k\left ( p-q \right )$

$=kq-kr+kr-pk+pk-qk$

= 0

আবার,

$pa+qb+rc$

$=p\times k\left ( q-r \right )+q\times k\left ( r-p \right )+r\times k\left ( p-q \right )$

$=pqk-prk+qrk-pqk+prk-qrk$

= 0

${\color{DarkGreen} \therefore a+b+c=0=pa+qb+rc}$ (প্রমাণিত)

Koshe dekhi 5.3 class 10

Q7 (iii) ${\color{Blue} \frac{ax+by}{a}=\frac{bx-ay}{b}}$ হলে দেখাই যে, প্রতিটি অনুপাত x -এর সমান।

সমাধানঃ

$\frac{ax+by}{a}=\frac{bx-ay}{b}$

প্রথম অনুপাতের উভয় পদকে a দ্বারা এবং দ্বিতীয় অনুপাতের উভয় পদকে b দ্বারা গুন্ করে পাই,

$\frac{a^{2}x+aby}{a^{2}}=\frac{b^{2}x-aby}{b^{2}}$

সংযোজন প্রক্রিয়া করে পাই,

$=\frac{a^{2}x+aby+b^{2}x-aby}{a^{2}+b^{2}}$

$=\frac{x\left (a^{2}+b^{2} \right )}{a^{2}+b^{2}}$

= x

${\color{DarkGreen} \therefore \frac{ax+by}{a}=\frac{bx-ay}{b}=x}$ (প্রমাণিত)

Koshe dekhi 5.3 class 10

Q8 (i) যদি ${\color{Blue} \frac{a+b}{b+c}=\frac{c+d}{d+a}}$ হয়, তবে প্রমান করি যে, c = a অথবা a + b + c + d = 0

সমাধানঃ

$\frac{a+b}{b+c}=\frac{c+d}{d+a}$

বা, $\left ( a+b \right )\left ( d+a \right )=\left ( b+c \right )\left ( c+d \right )$

বা, $ad+a^{2}+bd+ab=bc+bd+c^{2}+cd$

বা, $ad+a^{2}+bd+ab-bc-bd-c^{2}-cd=0$

বা, $ad-cd+ab-bc+a^{2}-c^{2}=0$

বা, $d\left ( a-c \right )+b\left ( a-c \right )+\left ( a+c \right )\left ( a-c \right )=0$

বা, $\left ( a-c \right )\left ( d+b+a+c \right )=0$

দুই বা ততোধিক রাশির গুনফল শূন্য হলে তারা প্রত্যেকে পৃথক পৃথক ভাবে শূন্য হবে।

সুতরাং,

a – c = 0

a = c

অথবা

a + b + c + d = 0

∴ c = a অথবা a + b + c + d = 0 (প্রমাণিত)

Koshe dekhi 5.3 class 10

Q8 (ii) যদি ${\color{Blue} \frac{x}{b+c}=\frac{y}{c+a}=\frac{z}{a+b}}$ হয়, দেখাই যে, ${\color{Blue} \frac{a}{y+z-x}=\frac{b}{z+x-y}=\frac{c}{x+y-z}}$

সমাধানঃ

প্রদত্ত,

$\frac{x}{b+c}=\frac{y}{c+a}=\frac{z}{a+b}$

ধরি, $\frac{x}{b+c}=\frac{y}{c+a}=\frac{z}{a+b}=k$

$\therefore x=k\left ( b+c \right ),y=k\left ( c+a \right ),z=k\left ( a+b \right )$

প্রথমপক্ষ :

$=\frac{a}{y+z-x}$

$=\frac{a}{k\left ( c+a \right )+k\left ( a+b \right )-k\left ( b+c \right )}$

$=\frac{a}{k\left ( c+a+a+b-b-c \right )}$

$=\frac{a}{2ak}$

$=\frac{1}{2k}$

দ্বিতীয়পক্ষ :

$=\frac{b}{z+x-y}$

$=\frac{b}{k\left ( a+b \right )+k\left ( b+c \right )-k\left ( c+a \right )}$

$=\frac{b}{k\left ( a+b+b+c-c-a \right )}$

$=\frac{b}{2bk}$

$=\frac{1}{2k}$

তৃতীয়পক্ষ :

$=\frac{c}{x+y-z}$

$=\frac{c}{k\left ( b+c+c+a-a-b \right )}$

$=\frac{c}{2ck}$

$=\frac{1}{2k}$

${\color{DarkGreen} \therefore \frac{a}{y+z-x}=\frac{b}{z+x-y}=\frac{c}{x+y-z}}$ (প্রমাণিত)

Koshe dekhi 5.3 class 10

Q8 (iii) ${\color{Blue} \frac{x+y}{3a-b}=\frac{y+z}{3b-c}=\frac{z+x}{3c-a}}$ হলে, দেখাই যে, ${\color{Blue} \frac{x+y+z}{a+b+c}=\frac{ax+by+cz}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}$

সমাধানঃ

প্রদত্ত,

$\frac{x+y}{3a-b}=\frac{y+z}{3b-c}=\frac{z+x}{3c-a}$

ধরি, $\frac{x+y}{3a-b}=\frac{y+z}{3b-c}=\frac{z+x}{3c-a}=k$

$\therefore x+y=k\left (3a-b \right )$ ……….(i)

$y+z=k\left (3b-c \right )$ ……….(ii)

$z+x=k\left (3c-a \right )$ ………(iii)

(i) + (ii) + (iii) সমীকরণ যোগ করে পাই,

$x+y+y+z+z+x=k\left ( 3a-b \right )+k\left (3b-c \right )+k\left ( 3c-a \right )$

বা, $\left (2x+2y+2z \right )=k\left ( 3a-b+3b-c+3c-a \right )$

বা, $2\left (x+y+z \right )=k\left ( 2a+2b+2c \right )$

বা, $2\left (x+y+z \right )=2k\left ( a+b+c \right )$

বা, $\left (x+y+z \right )=k\left ( a+b+c \right )$ ………(iv)

$\therefore \frac{x+y+z}{a+b+c}=k$

(iv) নং সমীকরণ থেকে (i) নং সমীকরণ বিয়োগ করে পাই,

$\left (x+y+z \right )-\left ( x+y \right )=k\left ( a+b+c \right )-k\left ( 3a-b \right )$

বা, $x+y+z-x-y =k\left ( a+b+c-3a+b \right )$

বা, $z=k\left (2b+c-2a \right )$

(iv) নং সমীকরণ থেকে (ii) নং সমীকরণ বিয়োগ করে পাই,

বা, $\left (x+y+z \right )-\left ( y+z \right )=k\left ( a+b+c \right )-k\left ( 3b-c \right )$

বা, $\left (x+y+z-y-z \right )=k\left ( a+b+c-3b+c \right )$

বা, $x=k\left (2c+a-2b \right )$

(iv) নং সমীকরণ থেকে (iii) নং সমীকরণ বিয়োগ করে পাই,

$\left (x+y+z \right )-\left ( z+x \right )=k\left ( a+b+c \right )-k\left ( 3c-a \right )$

বা, $x+y+z-z-x =k\left ( a+b+c-3c+a \right )$

বা, $y=k\left (2a+b-2c \right )$

আবার,

$\frac{ax+by+cz}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}$

$=\frac{a\times k\left ( 2c+a-2b \right )+b\times \left ( 2a+b-2c \right )+c\times \left ( 2b+c-2a \right )}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$

$=\frac{k\left ( 2ac+a^{2}-2ab+2ab+b^{2}-2bc+2bc+c^{2}-2ac \right )}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$

$=\frac{k\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )}{\left (a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )}$

= k

${\color{DarkGreen} \therefore \frac{x+y+z}{a+b+c}=\frac{ax+by+cz}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}$ (প্রমাণিত)

Koshe dekhi 5.3 class 10

Q8 (iv) ${\color{Blue} \frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}}$ হলে, দেখাই যে, ${\color{Blue} \frac{{{x}^{2}}-yz}{{{a}^{2}}-bc}=\frac{{{y}^{2}}-zx}{{{b}^{2}}-ca}=\frac{{{z}^{2}}-xy}{{{c}^{2}}-ab}}$

সমাধানঃ

প্রদত্ত,

$\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}$

ধরি, $\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}=k$

$\therefore x=ak,y=bk,z=ck$

প্রথমপক্ষ :

$\frac{{{x}^{2}}-yz}{{{a}^{2}}-bc}$

$=\frac{\left ( ak \right )^{2}-bk\times ck}{a^{2}-bc}$

$=\frac{a^{2}k^{2}-bck^{2}}{a^{2}-bc}$

$=\frac{k^{2}\left (a^{2}-bc \right )}{\left (a^{2}-bc \right )}$

$=k^{2}$

দ্বিতীয়পক্ষ :

$\frac{{{y}^{2}}-zx}{{{b}^{2}}-ca}$

$=\frac{\left ( bk \right )^{2}-ck\times ak}{b^{2}-ca}$

$=\frac{b^{2}k^{2}-ack^{2}}{b^{2}-ac}$

$=\frac{k^{2}\left (b^{2}-ac \right )}{\left (b^{2}-ac \right )}$

$=k^{2}$

তৃতীয়পক্ষ :

$\frac{{{z}^{2}}-xy}{{{c}^{2}}-ab}$

$=\frac{\left ( ck \right )^{2}-ak\times bk}{c^{2}-ab}$

$=\frac{c^{2}k^{2}-abk^{2}}{c^{2}-ab}$

$=\frac{k^{2}\left (c^{2}-ab \right )}{\left (c^{2}-ab \right )}$

$=k^{2}$

${\color{DarkGreen} \therefore \frac{{{x}^{2}}-yz}{{{a}^{2}}-bc}=\frac{{{y}^{2}}-zx}{{{b}^{2}}-ca}=\frac{{{z}^{2}}-xy}{{{c}^{2}}-ab}}$ (প্রমাণিত)

Q9 (i) যদি ${\color{Blue} \frac{3x+4y}{3u+4v}=\frac{3x-4y}{3u-4v}}$ হয়, তবে দেখাই যে, ${\color{Blue} \frac{x}{y}=\frac{u}{v}}$

সমাধানঃ

প্রদত্ত,

$\frac{3x+4y}{3u+4v}=\frac{3x-4y}{3u-4v}$

উভয়পক্ষে যোগ ভাগ প্রক্রিয়া করে পাই,

বা, $\frac{3x+4y+3x-4y}{3x+4y-3x+4y}=\frac{3u+4v+3u-4v}{3u+4v-3u+4v}$

বা, $\frac{6x}{8y}=\frac{6u}{8v}$

${\color{DarkGreen} \therefore \frac{x}{y}=\frac{u}{v}}$ (প্রমাণিত)

Q9 (ii) ${\color{Blue} \left( a+b+c+d \right):\left( a+b-c-d \right)=\left( a-b+c-d \right):\left( a-b-c+d \right)}$ হলে, প্রমান করি যে, a : b = c : d.

সমাধানঃ

প্রদত্ত,

$\left( a+b+c+d \right):\left( a+b-c-d \right)=\left( a-b+c-d \right):\left( a-b-c+d \right)$

বা, $\frac{a+b+c+d}{ a+b-c-d}=\frac{a-b+c-d}{ a-b-c+d}$

বা, $\frac{a+b+c+d+a+b-c-d}{a+b+c+d-a-b+c+d}=\frac{a-b+c-d+a-b-c+d}{a-b+c-d-a+b+c-d}$

বা, $\frac{2a+2b}{2c+2d}=\frac{2a-2b}{2c-2d}$

বা, $\frac{a+b}{c+d}=\frac{a-b}{c-d}$

বা, $\frac{a+b}{a-b}=\frac{c+d}{c-d}$

বা, $\frac{a+b+a-b}{a+b-a+b}=\frac{c+d+c-d}{c+d-c+d}$

বা, $\frac{2a}{2b}=\frac{2c}{2d}$

বা, $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$

${\color{DarkGreen} \therefore a:b=c:d}$ (প্রমাণিত)

Q10 (i) ${\color{Blue} \frac{{{a}^{2}}}{b+c}=\frac{{{b}^{2}}}{c+a}=\frac{{{c}^{2}}}{a+b}=1}$ হলে, দেখাই যে, ${\color{Blue} \frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}=1}$

সমাধানঃ

প্রদত্ত,

$\frac{{{a}^{2}}}{b+c}=\frac{{{b}^{2}}}{c+a}=\frac{{{c}^{2}}}{a+b}=1$

$\frac{{{a}^{2}}}{b+c}=1$

বা, ${a}^{2}=b+c$

বা, $a+{a}^{2}=a+b+c$

বা, $a\left ( 1+a \right )=a+b+c$

বা, $\frac{a}{a+b+c}=\frac{1}{1+a}$ ………(i)

আবার,

$\frac{{{b}^{2}}}{c+a}=1$

বা, ${b}^{2}=c+a$

বা, $b+{b}^{2}=c+a+b$

বা, $b\left ( 1+b \right )=a+b+c$

বা, $\frac{b}{a+b+c}=\frac{1}{1+b}$ ………(ii)

$\frac{{{c}^{2}}}{a+b}=1$

বা, ${c}^{2}=a+b$

বা, $c+{c}^{2}=a+b+c$

বা, $c\left ( 1+c \right )=a+b+c$

বা, $\frac{c}{a+b+c}=\frac{1}{1+c}$ ………(iii)

বামপক্ষ :

$\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}$

$=\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c}$

$=\frac{a+b+c}{a+b+c}$

= 1

= ডানপক্ষ (প্রমাণিত )

Q10 (ii) ${\color{Blue} {{x}^{2}}:\left( by+cz \right)={{y}^{2}}:\left( cz+ax \right)={{z}^{2}}:\left( ax+by \right)=1}$ হলে, দেখাই যে, ${\color{Blue} \frac{a}{a+x}+\frac{b}{b+y}+\frac{c}{c+z}=1}$

সমাধানঃ

প্রদত্ত,

${{x}^{2}}:\left( by+cz \right)={{y}^{2}}:\left( cz+ax \right)={{z}^{2}}:\left( ax+by \right)=1$

বা, $\frac{{x}^{2}}{by+cz}=\frac{{y}^{2}}{cz+ax}=\frac{{z}^{2}}{ax+by}=1$

$\therefore {x}^{2}=by+cz,{y}^{2}=cz+ax,{z}^{2}=ax+by$

এখন,

বামপক্ষ :

$\frac{a}{a+x}+\frac{b}{b+y}+\frac{c}{c+z}$

$=\frac{ax}{ax+x^{2}}+\frac{by}{by+y^{2}}+\frac{cz}{cz+z^{2}}$

$=\frac{ax}{ax+by+cz}+\frac{by}{by+cz+ax}+\frac{cz}{cz+ax+by}$ ${\color{Orchid}\left [ \because {x}^{2}=by+cz,{y}^{2}=cz+ax,{z}^{2}=ax+by \right ]}$

$=\frac{ax+by+cz}{ax+by+cz}$

= 1

= ডানপক্ষ (প্রমাণিত )

Q11 (i) ${\color{Blue} \frac{x}{xa+yb+zc}=\frac{y}{ya+zb+xc}=\frac{z}{za+xb+yc}}$ এবং ${\color{Blue} x+y+z\neq 0}$ হলে, দেখাই যে, প্রতিটি অনুপাত ${\color{Blue} \frac{1}{a+b+c}}$ -এর সমান।

সমাধানঃ

প্রদত্ত,

$\frac{x}{xa+yb+zc}=\frac{y}{ya+zb+xc}=\frac{z}{za+xb+yc}$

সংযোজন প্রক্রিয়া করে পাই,

$=\frac{x+y+z}{xa+yb+zc+ya+zb+xc+za+xb+yc}$

$=\frac{x+y+z}{xa+xb+xc+ya+yb+yc+za+zb+zc}$

$=\frac{x+y+z}{x\left (a+b+c \right )+y\left (a+b+c \right )+z\left (a+b+c \right )}$

$=\frac{\left (x+y+z \right )}{\left (a+b+c \right )\left ( x+y+z \right )}$

$=\frac{1}{\left (a+b+c \right )}$

${\color{DarkGreen} \therefore \frac{x}{xa+yb+zc}=\frac{y}{ya+zb+xc}=\frac{z}{za+xb+yc}=\frac{1}{a+b+c}}$ (প্রমাণিত )

Q11 (ii) ${\color{Blue} \frac{{{x}^{2}}-yz}{a}=\frac{{{y}^{2}}-zx}{b}=\frac{{{z}^{2}}-xy}{c}}$ হলে, প্রমাণ করি যে, ${\color{Blue} \left( a+b+c \right)\left( x+y+z \right)=\left( ax+by+cz \right)}$

সমাধানঃ

প্রদত্ত,

$\frac{{{x}^{2}}-yz}{a}=\frac{{{y}^{2}}-zx}{b}=\frac{{{z}^{2}}-xy}{c}$

সংযোজন প্রক্রিয়া করে পাই,

$=\frac{{{x}^{2}}-yz+{{y}^{2}}-zx+{{z}^{2}-xy}}{a+b+c}$

আবার,

$\frac{{{x}^{2}}-yz}{a}=\frac{{{y}^{2}}-zx}{b}=\frac{{{z}^{2}}-xy}{c}$

বা, $\frac{{x\left ({x}^{2}-yz \right )}}{ax}=\frac{{y\left ({y}^{2}-zx \right )}}{by}=\frac{{z\left ({z}^{2}-xy \right )}}{cz}$

বা, $\frac{{{x}^{3}}-xyz}{ax}=\frac{{{y}^{3}}-yzx}{by}=\frac{{{z}^{3}}-xyz}{cz}$

সংযোজন প্রক্রিয়া করে পাই,

$=\frac{{{x}^{3}+{y}^{3}+{z}^{3}}-3xyz}{ax+by+cz}$

$=\frac{\left ( x+y+z \right )\left ( x^{2}+y^{2}+z^{2}-xy-yz-zx \right )}{ax+by+cz}$

$\left( a+b+c \right)\left( x+y+z \right)=\left( ax+by+cz \right)$

${\color{DarkGreen} \therefore \left( a+b+c \right)\left( x+y+z \right)=\left( ax+by+cz \right)}$ (প্রমাণিত )

Q11 (iii) ${\color{Blue} \frac{a}{y+z}=\frac{b}{z+x}=\frac{c}{x+y}}$ হলে, প্রমাণ করি যে, ${\color{Blue} \frac{a\left( b-c \right)}{{{y}^{2}}-{{z}^{2}}}=\frac{b\left( c-a \right)}{{{z}^{2}}-{{x}^{2}}}=\frac{c\left( a-b \right)}{{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}}$

সমাধানঃ

প্রদত্ত,

$\frac{a}{y+z}=\frac{b}{z+x}=\frac{c}{x+y}$

ধরি,

$\frac{a}{y+z}=\frac{b}{z+x}=\frac{c}{x+y}=k$

$\therefore a=k\left (y+z \right ),b=k\left (z+x \right ),c=k\left (x+y \right )$

প্রথমপক্ষ :

$\frac{a\left( b-c \right)}{{{y}^{2}}-{{z}^{2}}}$

a, b ও c এর মান বসিয়ে পাই,

$=\frac{k\left ( y+z \right )\times \left [k\left(z+x \right)-k\left ( x+y \right ) \right ]}{{{y}^{2}}-{{z}^{2}}}$

$=\frac{k\left ( y+z \right )\times k\left [\left(z+x-x-y \right) \right ]}{{{y}^{2}}-{{z}^{2}}}$

$=\frac{k^{2}\left ( y+z \right )\left ( z-y \right )}{\left ( y+z \right )\left ( y-z \right )}$

$=\frac{k^{2}\left ( y+z \right )\left [-\left ( y-z \right ) \right ]}{\left ( y+z \right )\left ( y-z \right )}$

$=\frac{-k^{2}\left ( y+z \right )\left ( y-z \right ) }{\left ( y+z \right )\left ( y-z \right )}$

$=-k^{2}$

দ্বিতীয়পক্ষ :

$\frac{b\left( c-a \right)}{{{z}^{2}}-{{x}^{2}}}$

a, b ও c এর মান বসিয়ে পাই,

$=\frac{k\left ( z+x \right )\times \left [k\left(x+y \right)-k\left ( y+z \right ) \right ]}{{{z}^{2}}-{{x}^{2}}}$

$=\frac{k\left ( z+x \right )\times k\left [\left(x+y-y-z \right) \right ]}{{{z}^{2}}-{{x}^{2}}}$

$=\frac{k^{2}\left ( z+x \right )\left ( x-z \right )}{\left ( z+x \right )\left ( z-x \right )}$

$=\frac{k^{2}\left ( z+x \right )\left [-\left ( z-x \right ) \right ]}{\left ( z+x \right )\left ( z-x \right )}$

$=\frac{-k^{2}\left ( z+x \right )\left ( z-x \right )}{\left ( z+x \right )\left ( z-x \right )}$

$=-k^{2}$

তৃতীয়পক্ষ :

$\frac{c\left( a-b \right)}{{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}$

a, b ও c এর মান বসিয়ে পাই,

$=\frac{k\left ( x+y \right )\times \left [k\left(y+z \right)-k\left ( z+x \right ) \right ]}{{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}$

$=\frac{k\left ( x+y \right )\times k\left [\left(y+z-z-x \right) \right ]}{{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}$

$=\frac{k^{2}\left ( x+y \right )\left ( y-x \right )}{\left ( x+y \right )\left ( x-y \right )}$

$=\frac{k^{2}\left ( x+y \right )\left [-\left ( x-y \right ) \right ]}{\left ( x+y \right )\left ( x-y \right )}$

$=\frac{-k^{2}\left ( x+y \right )\left ( x-y \right )}{\left ( x+y \right )\left ( x-y \right )}$

$=-k^{2}$

${\color{DarkGreen} \therefore \frac{a\left( b-c \right)}{{{y}^{2}}-{{z}^{2}}}=\frac{b\left( c-a \right)}{{{z}^{2}}-{{x}^{2}}}=\frac{c\left( a-b \right)}{{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}}$ (প্রমাণিত )

Q12. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)

(A) বহুবিকল্পী প্রশ্ন (M.C.Q) :

(i) 3, 4 এবং 6 -এর চতুর্থ সমানুপাতী

(a) 8

(b) 10

(d) 24

সমাধানঃ

ধরি, চতুর্থ সমানুপাতীটি হল x

$\therefore 3:4::6:x$

বা, $\frac{3}{4}=\frac{6}{x}$

বা, $3x=24$

বা, $x=\frac{24}{3}$

$\therefore x=8$

উত্তরঃ (a) 8

Q12.(A) (ii) 8 এবং 12 -এর তৃতীয় সমানুপাতী

(a) 12

(b) 16

(d) 20

সমাধানঃ

ধরি, তৃতীয় সমানুপাতীটি হল x

$\therefore 8:12::12:x$

বা, $\frac{8}{12}=\frac{12}{x}$

বা, $8x=12\times 12$

বা, $x=\frac{12\times 12}{8}$

$\therefore x=18$

উত্তরঃ (c) 18

Q12.(A) (iii) 16 এবং 25 -এর মধ্য সমানুপাতী

(a) 400

(b) 100

(d) 40

সমাধানঃ

ধরি, মধ্য সমানুপাতীটি হল x

$\therefore 16:x::x:25$

বা, $\frac{16}{x}=\frac{x}{25}$

বা, $x^{2}=16\times 25$

বা, $x=\sqrt{16\times 25}$

$\therefore x=20$

উত্তরঃ (c) 20

Q12.(A) (iv) a একটি ধনাত্মক সংখ্যা এবং ${\color{Blue} a:\frac{27}{64}=\frac{3}{4}:a}$ হলে, a -এর মান

(a) ${\color{Blue} \frac{81}{256}}$

(b) 9

(d) ${\color{Blue} \frac{16}{9}}$

সমাধানঃ

$a:\frac{27}{64}=\frac{3}{4}:a$

বা, $\frac{a}{\frac{27}{64}}=\frac{\frac{3}{4}}{a}$

বা, $a^{2}=\frac{27}{64}\times \frac{3}{4}$

বা, $a=\pm \sqrt{\frac{27}{64}\times \frac{3}{4}}$

$\therefore a=\frac{9}{16}$ [ ${\color{Blue} \because }$ a একটি ধনাত্মক সংখ্যা ]

উত্তরঃ (c) ${\color{DarkGreen} \frac{9}{16}}$

Q12.(A) (v) 2a = 3b = 4c হলে, a : b : c হবে

(a) 3 : 4 : 6

(b) 4 : 3 : 6

(d) 6 : 4 : 3

সমাধানঃ

প্রদত্ত,

2a = 3b = 4c

এখন, 2a = 3b

বা, $\frac{a}{b}=\frac{3}{2}$

বা, $\frac{a}{b}=\frac{3}{2}=\frac{3\times 2}{2\times 2}=\frac{6}{4}$

আবার, 3b = 4c

বা, $\frac{b}{c}=\frac{4}{3}$

$\therefore a:b:c=6:4:3$

উত্তরঃ (d) 6 : 4 : 3

Q12. (B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখি :

(i) ${\color{Blue} ab:{{c}^{2}},\ bc:{{a}^{2}}}$ এবং ${\color{Blue} ca:{{b}^{2}}}$ -এর যৌগিক অনুপাত 1 : 1

সমাধানঃ

$ab:{{c}^{2}},\ bc:{{a}^{2}}$ এবং $ca:{{b}^{2}}$ -এর যৌগিক অনুপাত

$=ab\times bc\times ca:c^{2}\times a^{2}\times b^{2}$

$=c^{2}a^{2}b^{2}:c^{2}a^{2}b^{2}$

= 1 : 1

উত্তরঃ বিবৃতিটি সত্য

Q12. (B) (ii) ${\color{Blue} {{x}^{3}}y,\ {{x}^{2}}{{y}^{2}}}$ এবং ${\color{Blue} x{{y}^{3}}}$ ক্রমিক সমানুপাতী।

সমাধানঃ

$\frac{{{x}^{3}}y}{{x}^{2}{y}^{2}}$

$=\frac{x}{y}$

আবার,

$\frac{x^{2}y^{2}}{x{{y}^{3}}}$

$=\frac{x}{y}$

উত্তরঃ বিবৃতিটি সত্য

Q12. (C) শূন্যস্থান পূরণ করি :

(i) তিনটি ক্রমিক সমানুপাতী ধনাত্মক সংখ্যার গুনফল 64 হলে, তাদের মধ্যসমানুপাতী _____।

সমাধানঃ

ধরি, তিনটি ধনাত্মক ক্রমিক সমানুপাতী সংখ্যা হল a, b, c

প্রদত্ত, $abc=64$

$\therefore \frac{a}{b}=\frac{b}{c}$

বা, $b^{2}=ac$

বা, $b^{3}=abc$

বা, $b^{3}=64$

বা, $\left ( b \right )^{3}=\left ( 4 \right )^{3}$

$\therefore b=4$

উত্তরঃ নির্ণেয় মধ্যসমানুপাতী 4

Koshe dekhi 5.3 class 10

Q12. (C) (ii) a : 2 = b : 5 = c : 8 হলে a এর 50% = b এর 20% = c এর ____ %

সমাধানঃ

প্রদত্ত,

a : 2 = b : 5 = c : 8

বা, $\frac{a}{2}=\frac{b}{5}=\frac{c}{8}$

ধরি,

a এর 50% = b এর 20% = c এর x%

বা, a এর $\frac{50}{100}$ = b এর $\frac{20}{100}$ = c এর $\frac{x}{100}$

বা, $\frac{a}{2}=\frac{b}{5}=\frac{cx}{100}$

$\therefore \frac{cx}{100}=\frac{c}{8}$

বা, $x=\frac{100}{8}$

$\therefore x=12.5$

উত্তরঃ নির্ণেয় a এর 50% = b এর 20% = c এর 12.5%

Koshe dekhi 5.3 class 10

Q12. (C) (iii) ${\color{Blue} \left ( x+2 \right )}$ এবং ${\color{Blue} \left ( x-3 \right )}$ -এর মধ্য সমানুপাতী x হলে, x -এর মান ______।

সমাধানঃ

$\left ( x+2 \right ):x::x:\left ( x-3 \right )$

বা, $\frac{x+2}{x}=\frac{x}{x-3}$

বা, $\left ( x+2 \right )\left ( x-3 \right )=x^{2}$

বা, $x^{2}-3x+2x-6-x^{2}=0$

বা, $-x=6$

$\therefore x=-6$

উত্তরঃ নির্ণেয় x -এর মান -6

Koshe dekhi 5.3 class 10

Q13. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)

(i) ${\color{Blue} \frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{4}=\frac{2a-3b+4c}{p}}$ হলে, p -এর মান নির্ণয় করি।

সমাধানঃ

প্রদত্ত,

$\frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{4}=\frac{2a-3b+4c}{p}$

ধরি, $\frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{4}=\frac{2a-3b+4c}{p}=k$

$\therefore a=2k,b=3k,c=4k$ ও

$\left ( 2a-3b+4c \right )=pk$

a, b ও c এর মান বসিয়ে পাই,

$2\times 2k-3\times 3k+4\times 4k=pk$

বা, $4k-9k+16k=pk$

বা, $11k=pk$

$\therefore p=11$

উত্তরঃ নির্ণেয় p -এর মান 11

Koshe dekhi 5.3 class 10

Q13 (ii) ${\color{Blue} \frac{3x-5y}{3x+5y}=\frac{1}{2}}$ হলে, ${\color{Blue} \frac{3{{x}^{2}}-5{{y}^{2}}}{3{{x}^{2}}+5{{y}^{2}}}}$ -এর মান নির্ণয় করি।

সমাধানঃ

$\frac{3x-5y}{3x+5y}=\frac{1}{2}$

বা, $6x-10y=3x+5y$

বা, $6x-3x=5y+10y$

বা, $3x=15y$

বা, $\frac{x}{y}=\frac{15}{3}$

বা, $x=5y$

$\therefore \frac{3{{x}^{2}}-5{{y}^{2}}}{3{{x}^{2}}+5{{y}^{2}}}$ -এর মান

$=\frac{3\times {{\left ( 5y \right )}^{2}}-5{{y}^{2}}}{3\times {{\left ( 5y \right )}^{2}}+5{{y}^{2}}}$

$=\frac{75y^{2}-5{{y}^{2}}}{75y^{2}+5{{y}^{2}}}$

$=\frac{70y^{2}}{80y^{2}}$

$=\frac{7}{8}$

উত্তরঃ নির্ণেয় ${\color{DarkGreen} \frac{3{{x}^{2}}-5{{y}^{2}}}{3{{x}^{2}}+5{{y}^{2}}}}$ -এর মান ${\color{DarkGreen} \frac{7}{8}}$

Koshe dekhi 5.3 class 10

Q13 (iii) a : b = 3 : 4 এবং x : y = 5 : 7 হলে, ${\color{Blue} \left( 3ax-by \right):\left( 4by-7ax \right)}$ কত নির্ণয় করি।

সমাধানঃ

প্রদত্ত,

a : b = 3 : 4

বা, $\frac{a}{b}=\frac{3}{4}$

ধরি, a = 3k ও b=4k

এবং

x : y = 5 : 7

বা, $\frac{x}{y}=\frac{5}{7}$

ধরি, x=5l ও y=7l

$\therefore \left( 3ax-by \right):\left( 4by-7ax \right)$

$=\left( 3\times 3k\times 5l-4k\times 7l \right):\left( 4\times 4k\times 7l -7\times 3k\times 5l \right)$

$=\left( 45kl-28kl\right):\left( 112kl-105kl \right)$

$=17kl:7kl$

$=17:7$

উত্তরঃ নির্ণেয় ${\color{DarkGreen} \left( 3ax-by \right):\left( 4by-7ax \right)=17:7}$

Koshe dekhi 5.3 class 10

Q13 (iv) x, 12, y, 27 ক্রমিক সমানুপাতী হলে, x ও y -এর ধনাত্মক মান নির্ণয় করি৷

সমাধানঃ

প্রদত্ত,

x, 12, y, 27 ক্রমিক সমানুপাতী

$\therefore \frac{x}{12}=\frac{12}{y}=\frac{y}{27}$

এখন,

$\frac{12}{y}=\frac{y}{27}$

বা, $y^{2}=12\times 27$

বা, $y=\sqrt{12\times 27}$

$\therefore y=18$

আবার,

$\frac{x}{12}=\frac{12}{y}$

বা, $\frac{x}{12}=\frac{12}{18}$

বা, $18x=12\times 12$

বা, $x=\frac{12\times 12}{18}$

$\therefore x=8$

উত্তরঃ নির্ণেয় x ও y -এর ধনাত্মক মান 8 ও 18

Koshe dekhi 5.3 class 10

Q13 (v) a : b = 3 : 2 এবং b : c = 3 : 2 হলে, a +b : b + c কত নির্ণয় করি।

সমাধানঃ

প্রদত্ত,

a : b = 3 : 2 এবং b : c = 3 : 2

$\therefore \frac{a}{b}=\frac{3}{2}$

বা, $\frac{a}{b}=\frac{3\times 3}{2\times 3}=\frac{9}{6}$

এবং

$\frac{b}{c}=\frac{3}{2}$

বা, $\frac{b}{c}=\frac{3\times 2}{2\times 2}=\frac{6}{4}$

এখন, a : b : c = 9 : 6 : 4

ধরি, $a=9k,b=6k,c=4k$

∴ a +b : b + c

$=\frac{a+b}{b+c}$

$=\frac{9k+6k}{6k+4k}$

$=\frac{15k}{10k}$

$=\frac{3}{2}$

উত্তরঃ নির্ণেয় a +b : b + c = 3 : 2

Koshe dekhi 5.3 class 10

Thank You

6 thoughts on “Koshe dekhi 5.3 class 10”

sudipta roy says:

February 9, 2021 at 8:59 am

Good
Good
Good

1. admin says:
  
  February 9, 2021 at 11:00 am
  
  Thank you for your comment.
  
2. Sourav says:
  
  March 13, 2022 at 10:51 pm
  
  Good
  Very good
  And very very thanks.
  
  1. Prasanta Naskar says:
    
    March 14, 2022 at 7:41 am
    
    You must welcome here.
    Thank you for such a lovely comment.
    
Sourav says:

March 13, 2022 at 10:51 pm

Good
Very good
And very very thanks.

1. Prasanta Naskar says:
  
  March 14, 2022 at 7:40 am
  
  You must welcome here.
  Thank you for such a lovely comment.

Koshe dekhi 5.3 class 10

Koshe Dekhi 5.3 class 10

Koshe Dekhi 5.3 class 10

Related Post

Koshe Dekhi 21 Class 10

Koshe Dekhi 17 Class 10

Koshe Dekhi 15.2 Class 10

6 thoughts on “Koshe dekhi 5.3 class 10”

Leave a Reply Cancel reply

You missed

NIACL Assistant Recruitment 2024 Apply Online

NIACL Assistant Recruitment 2024

Railway TTE Recruitment 2024 Online Apply, Eligibility Criteria rrcb.gov.in

Madhyamik ABTA Test Papers 2024 : Life Science Page 1022