Wed. Apr 24th, 2024

Koshe Dekhi 5.2 class 10

Koshe Dekhi 5.2 class 10

Q1. নিন্মলিখিত সমানুপাতে x-এর মান নির্ণয় করি :

(i) 10 : 35 :: x : 42

সমাধানঃ 

10:35::x:42

বা, \frac{10}{35}=\frac{x}{42}

বা, 35x=10\times 42

বা, x=\frac{10\times 42}{35}

\therefore x=12

উত্তরঃ নির্ণেয় x এর মান 12

 

Q1. নিন্মলিখিত সমানুপাতে x-এর মান নির্ণয় করি :

(ii) x : 50 :: 3 : 2

সমাধানঃ 

x:50::3:2

বা, \frac{x}{50}=\frac{3}{2}

বা, 2x=50\times 3

বা, x=\frac{50\times 3}{2}

\therefore x=75

উত্তরঃ নির্ণেয় x এর মান 75

 

Q2. নিন্মলিখিত সংখ্যাগুচ্ছগুলির চতুর্থ সমানুপাতী নির্ণয় করি :

(i) {\color{Blue} \frac{1}{3},\: \frac{1}{4},\: \frac{1}{5}}

সমাধানঃ 

ধরি, চতুর্থ সমানুপাতীটি হল x 

সুতরাং,

\frac{1}{3}:\frac{1}{4}::\frac{1}{5}:x

বা, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{4}}=\frac{\frac{1}{5}}{x}

বা, \frac{1}{3}\times x=\frac{1}{4}\times \frac{1}{5}

বা, \frac{x}{3}=\frac{1}{20}

বা, 20x=3

\therefore x=\frac{3}{20}

উত্তরঃ নির্ণেয় চতুর্থ সমানুপাতীটি হল {\color{DarkGreen} \frac{3}{20}}

 

Q2. নিন্মলিখিত সংখ্যাগুচ্ছগুলির চতুর্থ সমানুপাতী নির্ণয় করি :

(ii) 9.6 কিগ্রা., 7.6 কিগ্রা., 28.8 কিগ্রা.

সমাধানঃ 

ধরি, চতুর্থ সমানুপাতীটি হল x 

সুতরাং,

9.6:7.6::28.8:x

বা, \frac{9.6}{7.6}=\frac{28.8}{x}

বা, 9.6\times x=28.8\times 7.6

বা, x=\frac{28.8\times 7.6}{9.6}

\therefore x=22.8

উত্তরঃ নির্ণেয় চতুর্থ সমানুপাতীটি হল 22.8

 

Q2. নিন্মলিখিত সংখ্যাগুচ্ছগুলির চতুর্থ সমানুপাতী নির্ণয় করি :

(iii) {\color{Blue} x^{2}y,\: y^{2}z,\: z^{2}x}

সমাধানঃ 

ধরি, চতুর্থ সমানুপাতীটি হল p

সুতরাং,

x^{2}y:y^{2}z::z^{2}x:p

বা, \frac{x^{2}y}{y^{2}z}=\frac{z^{2}x}{p}

বা, x^{2}y\times p=y^{2}z\times z^{2}x

বা, p=\frac{y^{2}z\times z^{2}x}{x^{2}y}

\therefore p=\frac{yz^{3}}{x}

উত্তরঃ নির্ণেয় চতুর্থ সমানুপাতীটি হল  {\color{DarkGreen} \frac{yz^{3}}{x}}

Koshe dekhi 5.2 class 10

Q2. নিন্মলিখিত সংখ্যাগুচ্ছগুলির চতুর্থ সমানুপাতী নির্ণয় করি :

(iv) {\color{Blue} \left( p-q \right),\ \left( {{p}^{2}}-{{q}^{2}} \right),\ \left( {{p}^{2}}-pq+{{q}^{2}} \right)}

সমাধানঃ 

ধরি, চতুর্থ সমানুপাতীটি হল x

সুতরাং,

\left ( p-q \right ):\left ( p^{2}-q^{2} \right )::\left ( p^{2}-pq+q^{2} \right ):x

বা, \frac{\left ( p-q \right )}{\left ( p^{2}-q^{2} \right )}=\frac{\left ( p^{2}-pq+q^{2} \right )}{x}

বা, \left ( p-q \right )\times x=\left ( p^{2}-q^{2} \right )\times \left ( p^{2}-pq+q^{2} \right )

বা,  x=\frac{\left ( p^{2}-q^{2} \right )\times \left ( p^{2}-pq+q^{2} \right )}{\left ( p-q \right )}  

বা, x=\frac{\left ( p+q \right )\times \left ( p-q \right )\times \left ( p^{2}-pq+q^{2} \right )}{\left ( p-q \right )} {\color{Blue} \left [ \because p^{2}-q^{2}=\left ( p+q \right )\left ( p-q \right ) \right ]}

বা, x=\left ( p+q \right )\times \left ( p^{2}-pq+q^{2} \right )

\therefore x=p^{3}+q^{3}

উত্তরঃ নির্ণেয় চতুর্থ সমানুপাতীটি হল {\color{DarkGreen} p^{3}+q^{3}}

Koshe dekhi 5.2 class 10

Q3. নিন্মলিখিত সংখ্যাগুচ্ছগুলির তৃতীয় সমানুপাতী নির্ণয় করি :

(i) 5, 10

সমাধানঃ 

ধরি, তৃতীয় সমানুপাতীটি হল x 

সুতরাং,

5:10::10:x

বা, \frac{5}{10}=\frac{10}{x}

বা, 5x=10\times 10

বা, x=\frac{10\times 10}{5}

\therefore x=20

উত্তরঃ নির্ণেয় তৃতীয় সমানুপাতীটি হল 20

Koshe dekhi 5.2 class 10

Q3. নিন্মলিখিত সংখ্যাগুচ্ছগুলির তৃতীয় সমানুপাতী নির্ণয় করি :

(ii) 0.24, 0.6

সমাধানঃ 

ধরি, তৃতীয় সমানুপাতীটি হল x 

সুতরাং,

0.24:0.6::0.6:x

বা, \frac{0.24}{0.6}=\frac{0.6}{x}

বা, 0.24x=0.6\times 0.6

বা, x=\frac{0.6\times 0.6}{0.24}

বা, x=\frac{3}{2}

\therefore x=1.5

উত্তরঃ নির্ণেয় তৃতীয় সমানুপাতীটি হল 1.5

 

Q3. নিন্মলিখিত সংখ্যাগুচ্ছগুলির তৃতীয় সমানুপাতী নির্ণয় করি :

(iii) {\color{Blue} p^{3}q^{2},\: q^{2}r}

সমাধানঃ 

ধরি, তৃতীয় সমানুপাতীটি হল x 

সুতরাং,

p^{3}q^{2}:q^{2}r::q^{2}r:x

বা, \frac{p^{3}q^{2}}{q^{2}r}=\frac{q^{2}r}{x}

বা, p^{3}q^{2}\times x=q^{2}r\times q^{2}r

বা, x=\frac{q^{2}r\times q^{2}r}{p^{3}q^{2}}

\therefore x=\frac{q^{2}r^{2}}{p^{3}}

উত্তরঃ নির্ণেয় তৃতীয় সমানুপাতীটি হল {\color{DarkGreen} \frac{q^{2}r^{2}}{p^{3}}}

 

Q3. নিন্মলিখিত সংখ্যাগুচ্ছগুলির তৃতীয় সমানুপাতী নির্ণয় করি :

(iv) {\color{Blue} {{\left( x-y \right)}^{2}}, {{\left( {{x}^{2}}-{{y}^{2}} \right)}^{2}}}

সমাধানঃ 

ধরি, তৃতীয় সমানুপাতীটি হল p

সুতরাং,

{{\left( x-y \right)}^{2}}:{{\left( {{x}^{2}}-{{y}^{2}} \right)}^{2}}::{{\left( {{x}^{2}}-{{y}^{2}} \right)}^{2}}:p

বা, \frac{{{\left( x-y \right)}^{2}}}{{{\left( {{x}^{2}}-{{y}^{2}} \right)}^{2}}}=\frac{{{\left( {{x}^{2}}-{{y}^{2}} \right)}^{2}}}{p}

বা, {{\left( x-y \right)}^{2}}\times p={{\left( {{x}^{2}}-{{y}^{2}} \right)}^{2}}\times {{\left( {{x}^{2}}-{{y}^{2}} \right)}^{2}}

বা,   p=\frac{{{\left( {{x}^{2}}-{{y}^{2}} \right)}^{2}}\times {{\left( {{x}^{2}}-{{y}^{2}} \right)}^{2}}}{{{\left( x-y \right)}^{2}}}  

বা, p=\frac{\left [\left ( x+y \right )\left ( x-y \right ) \right ]^{2}\times \left [\left ( x+y \right )\left ( x-y \right ) \right ]^{2}}{\left ( x-y \right )^{2}} {\color{Blue} \left [ \because x^{2}-y^{2}=\left ( x+y\right )\left ( x-y \right ) \right ]}

বা, p=\frac{\left ( x+y \right )^{2}\times \left ( x-y \right )^{2}\times \left ( x+y \right )^{2}\times \left ( x-y \right )^{2}}{\left ( x-y \right )^{2}}

\therefore p=\left ( x+y \right )^{4}\left ( x-y \right )^{2}

উত্তরঃ নির্ণেয় তৃতীয় সমানুপাতীটি হল {\color{DarkGreen} \left ( x+y \right )^{4}\left ( x-y \right )^{2}}

 

Q4. নিন্মলিখিত সংখ্যাগুচ্ছগুলির মধ্য ধনাত্মক সমানুপাতী নির্ণয় করি :

(i) 5 এবং 80

সমাধানঃ 

ধরি, মধ্য সমানুপাতীটি হল x

সুতরাং,

5:x::x:80

বা, \frac{5}{x}=\frac{x}{80}

বা, x^{2}=5\times 80

বা, x=\sqrt{400}

\therefore x=20

উত্তরঃ নির্ণেয় মধ্য সমানুপাতীটি হল 20

Koshe dekhi 5.2 class 10

Q4. নিন্মলিখিত সংখ্যাগুচ্ছগুলির মধ্য ধনাত্মক সমানুপাতী নির্ণয় করি :

(ii) 8.1 এবং 2.5

সমাধানঃ 

ধরি, মধ্য সমানুপাতীটি হল x

সুতরাং,

8.1:x::x:2.5

বা, \frac{8.1}{x}=\frac{x}{2.5}

বা, x^{2}=2.5\times 8.1

বা, x=\sqrt{20.25}

\therefore x=4.5

উত্তরঃ নির্ণেয় মধ্য সমানুপাতীটি হল 4.5

Koshe dekhi 5.2 class 10

Q4. নিন্মলিখিত সংখ্যাগুচ্ছগুলির মধ্য ধনাত্মক সমানুপাতী নির্ণয় করি :

(iii) {\color{Blue} x^{3}y} এবং {\color{Blue} xy^{3}}

সমাধানঃ 

ধরি, মধ্য সমানুপাতীটি হল p

সুতরাং,

x^{3}y:p::p:xy^{3}

বা, \frac{x^{3}y}{p}=\frac{p}{xy^{3}}

বা, p^{2}=x^{3}y\times xy^{3}

বা, p=\sqrt{x^{4}y^{4}}

\therefore p=x^{2}y^{2}

উত্তরঃ নির্ণেয় মধ্য সমানুপাতীটি হল {\color{DarkGreen} x^{2}y^{2}}

 

Q4. নিন্মলিখিত সংখ্যাগুচ্ছগুলির মধ্য ধনাত্মক সমানুপাতী নির্ণয় করি :

(iv) {\color{Blue} \left ( x-y \right )^{2}} এবং {\color{Blue} \left ( x+y \right )^{2}}

সমাধানঃ 

ধরি, মধ্য সমানুপাতীটি হল p

সুতরাং,

\left ( x-y \right )^{2}:p::p:\left ( x+y \right )^{2}

বা, \frac{\left ( x-y \right )^{2}}{p}=\frac{p}{\left ( x+y \right )^{2}}

বা, p^{2}=\left (x-y \right )^{2}\times \left (x+y \right )^{2}

বা, p=\sqrt{\left (x-y \right )^{2}\times \left (x+y \right )^{2}}

বা, p=\left (x-y \right )\times \left (x+y \right )

\therefore p=x^{2}-y^{2} {\color{Blue} \left [ \because \left ( x+y \right )\left ( x-y \right )=x^{2}-y^{2} \right ]}

উত্তরঃ নির্ণেয় মধ্য সমানুপাতীটি হল {\color{DarkGreen} x^{2}-y^{2}}

 

Q5. যদি a : b এবং c : d এই অনুপাতে দুটি বিপরীতমুখী সম্পর্ক প্রকাশ করে, তবে তাদের ব্যস্ত অনুপাতগুলি কী সম্পর্ক প্রকাশ করে লিখি।

উত্তরঃ যদি a : b এবং c : d এই অনুপাতে দুটি বিপরীতমুখী সম্পর্ক প্রকাশ করে, তবে তাদের ব্যস্ত অনুপাতগুলিও ( b:a ও d:c ) বিপরীতমুখী সম্পর্ক প্রকাশ করবে।

 

Q6. তিনটি ক্রমিক সমানুপাতী সংখ্যা দিয়ে কটি ক্রমিক সমানুপাত গঠন করা যাবে হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ 

ধরি, তিনটি ক্রমিক সমানুপাতী সংখ্যা হল x, y এবং z

∴ x, y, z দ্বারা গঠিত ক্রমিক সমানুপাত গুলি হল

i) x : y :: y : z

ii) z : y :: y : x

উত্তরঃ তিনটি ক্রমিক সমানুপাতী সংখ্যা দিয়ে 2 টি ক্রমিক সমানুপাত গঠন করা যাবে।

 

Q7. 5 টি ক্রমিক সমানুপাতী সংখ্যার প্রথমটি 2 এবং দ্বিতীয়টি 6 হলে, পঞ্চমটি নির্ণয় করি।

সমাধানঃ 

প্রদত্ত, 5 টি ক্রমিক সমানুপাতী সংখ্যার

প্রথমটি = 2 এবং দ্বিতীয়টি = 6

ধরি, তৃতীয়, চতুর্থ এবং পঞ্চম সমানুপাতীটি যথাক্রমে a, b এবং c

সুতরাং,

\frac{2}{6}=\frac{6}{a}=\frac{a}{b}=\frac{b}{c} 

যেহেতু,

\frac{2}{6}=\frac{6}{a}

বা, 2a=6\times 6

বা, a=\frac{36}{2}

\therefore a=18

আবার,

\frac{6}{a}=\frac{a}{b}

বা, \frac{6}{18}=\frac{18}{b}  [ a = 18 বসিয়ে পাই ]

বা, 6b=18\times 18

বা, b=\frac{18\times 18}{6}

\therefore b=54

আবার,

\frac{a}{b}=\frac{b}{c}

বা, \frac{18}{54}=\frac{54}{c}  [ a = 18 ও b= 54 বসিয়ে পাই ]

বা, 18c=54\times 54

বা, c=\frac{54\times 54}{18}

\therefore c=162

উত্তরঃ নির্ণেয় তৃতীয়, চতুর্থ এবং পঞ্চম সমানুপাতীটি যথাক্রমে 18, 54 এবং 162

 

Q8. 6, 15, 20 ও 43 এর প্রত্যেকটির সঙ্গে কত যোগ করলে যোগফলগুলি সমানুপাতী হবে হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ 

ধরি, 6, 15, 20 ও 43 এর প্রত্যেকটির সঙ্গে x যোগ করলে যোগফলগুলি সমানুপাতী হবে। 

সুতরাং,

6+x:15+x::20+x:43+x

বা, \frac{6+x}{15+x}=\frac{20+x}{43+x}

বা, \left ( 6+x \right )\left ( 43+x \right )=\left ( 20+x \right )\left ( 15+x \right )

বা, 258+6x+43x+x^{2}=300+15x+20x+x^{2}

বা, 49x-35x=300-258

বা, 14x=42

বা, x=\frac{42}{14}

\therefore x=3

উত্তরঃ 6, 15, 20 ও 43 এর প্রত্যেকটির সঙ্গে 3 যোগ করলে যোগফলগুলি সমানুপাতী হবে।

 

Q9. 23, 30, 57 এবং 78 এর প্রত্যেকটি থেকে কত বিয়োগ করলে বিয়োগফলগুলি সমানুপাতী হবে নির্ণয় করি।

সমাধানঃ 

ধরি, 23, 30, 57 এবং 78 এর প্রত্যেকটি থেকে x বিয়োগ করলে বিয়োগফলগুলি সমানুপাতী হবে। 

সুতরাং,

23-x:30-x::57-x:78-x

বা, \frac{23-x}{30-x}=\frac{57-x}{78-x}

বা, \left (23-x \right )\times \left (78-x \right )=\left (57-x \right )\times \left (30-x \right )

বা, 1794-78x-23x+x^{2}=1710-57x-30x+x^{2}

বা, 1794-1710=78x+23x-57x-30x

বা, 84=14x

বা, 14x=84

বা, x=\frac{84}{14}

\therefore x=6

উত্তরঃ 6, 15, 20 ও 43 এর প্রত্যেকটি থেকে 6 বিয়োগ করলে বিয়োগফলগুলি সমানুপাতী হবে। 

 

Q10. p, q, r, s এর প্রত্যেকটির থেকে কত বিয়োগ করলে বিয়োগফলগুলি সমানুপাতী হবে নির্ণয় করি।

সমাধানঃ 

ধরি, p, q, r, এবং s এর প্রত্যেকটি থেকে x বিয়োগ করলে বিয়োগফলগুলি সমানুপাতী হবে। 

সুতরাং,

p-x:q-x::r-x:s-x

বা, \frac{p-x}{q-x}=\frac{r-x}{s-x}

বা, \left (p-x \right )\times \left (s-x \right )=\left (r-x \right )\times \left (q-x \right )

বা, ps-px-sx+x^{2}=qr-rx-qx+x^{2}

বা, rx+qx-px-sx=qr-ps

বা, x\left (r+q-p-s \right )=qr-ps

\therefore x=\frac{qr-ps}{r+q-p-s}

উত্তরঃ p, q, r ও s এর প্রত্যেকটি থেকে  {\color{DarkGreen} \frac{qr-ps}{r+q-p-s}}  বিয়োগ করলে বিয়োগফলগুলি সমানুপাতী হবে। 

Koshe dekhi 5.2 class 10

Thank You

One thought on “Koshe dekhi 5.2 class 10”

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

Insert math as
Block
Inline
Additional settings
Formula color
Text color
#333333
Type math using LaTeX
Preview
\({}\)
Nothing to preview
Insert
error: Content is protected !!