Koshe Dekhi 12.1 Class 7

1. (a + b) কে (a + b) দিয়ে গুণ করলে গুণফল নীচের কোনটি হবে দেখি।

(i) a²+ b² (ii) (a + b)² (iii) 2 (a + b) (iv) 4ab

সমাধানঃ

(a + b) × (a + b)

= (a + b)²

উত্তরঃ (ii) (a + b)²

2. (x +7)²= x² + 14x + k হলে k -এর মান নীচের কোনটি হবে লিখি।

(i) 14 (ii) 49 (iii) 7 (iv) কোনটিই নয়।

সমাধানঃ

(x +7)²= x² + 14x + k

বা, x² + 14x + 49 = x² + 14x + k

∴ k = 49

উত্তরঃ (ii) 49

3. a² + b²– এর সাথে কোন বীজগাণিতিক সংখ্যামালা যােগ করলে যােগফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যামালা হবে তা লিখি।

(i) 4ab

(ii) −4ab

(iii) 2ab বা −2ab

(iv) 0

সমাধানঃ

a² + b²

= a² + b²+ 2ab

= (a + b)²

অথবা

a² + b²

= a² + b²− 2ab

= (a − b)²

উত্তরঃ (iii) 2ab বা −2ab

4. (a+b)²= a² + 6a + 9 হলে b -এর ধনাত্মক মান নীচের কোনটি হবে লিখি

(i) 9

(ii) 6

(iii) 3

(iv) −3

সমাধানঃ

(a+b)²= a² + 6a + 9

বা, a² + 2ab + b² = a² + 6a + 9

উভয়পক্ষে তুলনা করে পাই,

2ab = 6a

বা, $b=\frac{6a}{2a}$

∴ b = 3

উত্তরঃ (iii) 3

5. ${\color{Blue} x^{2}+\frac{1}{4}x}$ এর সঙ্গে নীচের কোনটি যােগ করলে যােগফল পূর্ণবর্গ সংখ্যামালা হবে তা লিখি।

(i) ${\color{Blue} \frac{1}{64}}$ (ii) ${\color{Blue} -\frac{1}{64}}$ (iii) ${\color{Blue} \frac{1}{8}}$ (iv) কোনোটিই নয়

সমাধানঃ

$x^{2}+\frac{1}{4}x$

$=x^{2}+2\times x\times \frac{1}{8}$

$=x^{2}+2\times x\times \frac{1}{8}+\left ( \frac{1}{8} \right )^{2}$

$=\left ( x+\frac{1}{8} \right )^{2}$

উত্তরঃ (i) ${\color{DarkGreen} \frac{1}{64}}$

6. (i) k – এর কোন মান বা মানগুলির জন্য ${\color{Blue} c^{2}+kc+\frac{1}{9}}$ পূর্ণবর্গ হবে লিখি।

(ii) ${\color{Blue} 9p^{2}+\frac{1}{9p^{2}}}$ ,সংখ্যামালাটি থেকে কোন সংখ্যা বা সংখ্যাগুলি বিয়ােগ করলে বিয়ােগফল পূর্ণবর্গ হবে তা নির্ণয় করি।

(iii) (x − y)²= 4 − 4y + y² হলে x এর মান কত হবে তা নির্ণয় করি।

(iv) (c − 3)²= c²+ kc + 9 হলে k -এর মান কী হবে লিখি।

(i) সমাধানঃ

$c^{2}+kc+\frac{1}{9}$

$=c^{2}+2\times c\times \frac{k}{2}+\left ( \frac{k}{2} \right )^{2}-\frac{k^{2}}{4}+\frac{1}{9}$

$=\left ( c+\frac{k}{2} \right )^{2}-\left ( \frac{9k^{2}-4}{36} \right )$

এখন,

$\left ( \frac{9k^{2}-4}{36} \right )=0$

9k²− 4 = 0

9k²= 4

$k^{2}=\frac{4}{9}$

$k=\pm \sqrt{\frac{4}{9}}$

$\therefore k=\pm \frac{2}{3}$

উত্তরঃ নির্ণেয় k এর মান ${\color{DarkGreen} \pm \frac{2}{3}}$

(ii) সমাধানঃ

$9p^{2}+\frac{1}{9p^{2}}$

$=\left ( 3p \right )^{2}+2\times 3p\times \frac{1}{3p}+\left ( \frac{1}{3p} \right )^{2}-2$

$=\left ( 3p+\frac{1}{3p} \right )^{2}-2$

আবার,

$9p^{2}+\frac{1}{9p^{2}}$

$=\left ( 3p \right )^{2}-2\times 3p\times \frac{1}{3p}+\left ( \frac{1}{3p} \right )^{2}+2$

$=\left ( 3p-\frac{1}{3p} \right )^{2}+2$

উত্তরঃ নির্ণেয় সংখ্যাগুলি হল + 2 ও − 2

(iii) সমাধানঃ

(x − y)²= 4 − 4y + y²

বা, x² −2xy + y² = 4 − 4y + y²

উভয়পক্ষে তুলনা করে পাই,

−2xy = − 4y

বা, $x=\frac{-4y}{-2y}$

∴ x = 2

উত্তরঃ নির্ণেয় x এর মান 2

(iv) সমাধানঃ

(c − 3)²= c²+ kc + 9

বা, c² −6c + 9 = c²+ kc + 9

বা, −6c = kc

বা, kc = −6c

বা, $k=\frac{-6c}{c}$

∴ k = −6

উত্তরঃ নির্ণেয় k এর মান −6

7. সূত্রের সাহায্যে সরল করি।

(i) (2q − 3z)² – 2 (2q − 3z) (q − 3z) + (q − 3z)²

(ii) (3p + 2q − 4r)² + 2 (3p + 2q − 4r) (4r − 2p − q) + (4r − 2p − q)²

(i) সমাধানঃ

(2q − 3z)² − 2 (2q − 3z) (q − 3z) + (q − 3z)²

= [(2q − 3z) − (q − 3z)]²

= [2q − 3z − q + 3z]²

= (q)²

= q² (উত্তর)

(ii) সমাধানঃ

(3p + 2q − 4r)² + 2 (3p + 2q − 4r) (4r − 2p − q) + (4r − 2p − q)²

= [(3p + 2q − 4r) + (4r − 2p − q) ]²

= [ 3p + 2q − 4r + 4r − 2p − q ]²

= (p + q)²(উত্তর)

8. পূর্ণবর্গাকারে প্রকাশ করি।

(i) 16a² − 40ac + 25c²

(ii) 4p² − 2p + ${\color{Blue} \frac{1}{4}}$

(iii) ${\color{Blue} 1+\frac{4}{a}+\frac{4}{a^{2}}}$

(iv) 9a² +24ab + 16b²

(i) সমাধানঃ

16a² − 40ac + 25c²

= (4a)² − 2 × 4a × 5c + (5c)²

= (4a − 5c)² (উত্তর)

(ii) সমাধানঃ

4p² − 2p + $\frac{1}{4}$

$=\left ( 2p \right )^{2}-2\times 2p\times \frac{1}{2}+\left ( \frac{1}{2} \right )^{2}$

$=\left ( 2p-\frac{1}{2} \right )^{2}$ (উত্তর)

(iii) সমাধানঃ

$1+\frac{4}{a}+\frac{4}{a^{2}}$

$=\left ( 1 \right )^{2}+2\times 1\times \frac{2}{a}+\left ( \frac{2}{a} \right )^{2}$

$=\left ( 1+\frac{2}{a} \right )^{2}$ (উত্তর)

(iv) সমাধানঃ

9a² +24ab + 16b²

$=\left ( 3a \right )^{2}+2\times 3a\times 4b+\left ( 4b \right )^{2}$

= (3a + 4b)² (উত্তর)

9. পূর্ণবর্গাকারে প্রকাশ করে মান নির্ণয় করি।

(i) 64a²+ 16a + 1 যখন a = 1

(ii) 25a² − 30ab + 9b² যখন a = 3 এবং b = 2

(iii) ${\color{Blue} 64-\frac{16}{p}+\frac{1}{p^{2}}}$ , যখন p = − 1

(iv) p²q² + 10pqr + 25r² যখন p = 2, q = −1 ও r = 3

(i) সমাধানঃ

64a²+ 16a + 1

= 64 × 1² + 16 × 1 + 1

= 64 + 16 + 1

= 81 (উত্তর)

(ii) সমাধানঃ

25a² − 30ab + 9b²

= 25 × 3² − 30 × 3 × 2 + 9 × 2²

= 225 − 180 + 36

= 81 (উত্তর)

(iii) সমাধানঃ

$64-\frac{16}{p}+\frac{1}{p^{2}}$

$=64-\frac{16}{-1}+\frac{1}{\left (-1 \right )^{2}}$

= 64 + 16 + 1

= 81 (উত্তর)

(iv) সমাধানঃ

p²q² + 10pqr + 25r²

= 2² × (−1)²+ 10 × 2 × (−1) × 3 + 25 × 3²

= 4 − 60 + 225

= 169 (উত্তর)

10. (a + b)² + (a − b)² = 2(a² + b²) এবং (a + b)² − (a − b)² = 4ab বা ${\color{Red} ab=\left ( \frac{a+b}{2} \right )^{2}-\left ( \frac{a-b}{2} \right )^{2}}$ – এর সাহায্যে

(i) st ও (s² + t²) মান লিখি যখন s + t = 12 ও s − t = 8

(ii) 8xy (x²+ y²)- এর মান লিখি যখন (x + y) = 5 এবং (x − y) = 1

(iii) ${\color{Blue} \frac{x^{2}+y^{2}}{2xy}}$ এর মান লিখি যখন (x + y) = 9 এবং (x − y)= 5

(iv) 36 -কে দুটি বর্গের অন্তররূপে প্রকাশ করি। [সংকেত, 36 = 4 × 9 ${\color{Blue} =\left ( \frac{4+9}{2} \right )^{2}-\left ( \frac{4-9}{2} \right )^{2}}$ ]

(v) 44 কে দুটি বর্গের অন্তররূপে প্রকাশ করি।

(vi) 8x² + 50y² কে দুটি বর্গের সমষ্টিরূপে প্রকাশ করি।

(vii) x কে দুটি বর্গের অন্তররূপে প্রকাশ করি।

(i) সমাধানঃ

= s × t

$=\left ( \frac{s+t}{2} \right )^{2}-\left ( \frac{s-t}{2} \right )^{2}$

$=\left ( \frac{12}{2} \right )^{2}-\left ( \frac{8}{2} \right )^{2}$

= 6² − 4²

= 36 − 16

= 20 (উত্তর)

(s² + t²)

$=\frac{\left ( s+t \right )^{2}}{2}+\frac{\left ( s-t \right )^{2}}{2}$

$=\frac{\left ( 12 \right )^{2}}{2}+\frac{\left ( 8\right )^{2}}{2}$

$=\frac{144}{2}+\frac{64}{2}$

= 72 + 32

= 104 (উত্তর)

(ii) সমাধানঃ

8xy (x²+ y²)

= 4xy × 2(x²+ y²)

= [(x + y)² − (x − y)²] × [(x + y)² + (x − y)²]

= [5² − 1] × [5² + 1]

= 24 × 26

= 624 (উত্তর)

(iii) সমাধানঃ

$\frac{x^{2}+y^{2}}{2xy}$

= $=\frac{\frac{\left ( x+y \right )^{2}+\left ( x-y \right )^{2}}{2}}{2xy}$

$=\frac{\left ( x+y \right )^{2}+\left ( x-y \right )^{2}}{4xy}$

$=\frac{\left ( x+y \right )^{2}+\left ( x-y \right )^{2}}{\left ( x+y \right )^{2}-\left ( x-y \right )^{2}}$

$=\frac{\left ( 9\right )^{2}+\left ( 5 \right )^{2}}{\left ( 9 \right )^{2}-\left (5 \right )^{2}}$

$=\frac{81+25}{81-25}$

$=\frac{106}{56}$

$=\frac{53}{28}$ (উত্তর)

(iv) সমাধানঃ

= 4 × 9

$=\left ( \frac{4+9}{2} \right )^{2}-\left ( \frac{4-9}{2} \right )^{2}$ (উত্তর)

(v) সমাধানঃ

= 4 × 11

$=\left ( \frac{4+11}{2} \right )^{2}-\left ( \frac{4-11}{2} \right )^{2}$ (উত্তর)

(vi) সমাধানঃ

8x² + 50y²

= 2 (4x² + 25y²)

= 2 [(2x)² + (5y)²]

= (2x + 5y)² + (2x − 5y)² (উত্তর)

(vii) সমাধানঃ

= x × 1

$=\left ( \frac{x+1}{2} \right )^{2}-\left ( \frac{x-1}{2} \right )^{2}$ (উত্তর)