Koshe dekhi 1.3 class 10

একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ : কষে দেখি - 1.3

Q1. দুটি ধনাত্মক অখন্ড সংখ্যার অন্তর 3 এবং তাদের বর্গের সমষ্টি 117; সংখ্যা দুটি হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ

ধরি, ধনাত্মক অখন্ড সংখ্যার একটি $x$ ও অপরটি $\left ( x+3 \right )$

প্রশ্নানুযায়ী,

$x^{2}+\left ( x+3 \right )^{2}=117$

বা, $x^{2}+x^{2}+2.x.3+3^{2}=117$

বা, $2x^{2}+6x+9=117$

বা, $2x^{2}+6x+9-117=0$

বা, $2x^{2}+6x-108=0$

বা, $2\left ( x^{2}+3x-54 \right )=0$

বা, $\left ( x^{2}+3x-54 \right )=0$

বা, $x^{2}+9x-6x-54=0$

বা, $x\left ( x+9 \right )-6\left ( x+9 \right )=0$

বা, $\left ( x+9 \right )\left ( x-6 \right )=0$

$\because$ দুই বা ততোধিক রাশির গুণফল শূন্য হলে তারা পৃথক পৃথক ভাবে শূন্য হয়।

সুতারাং,

$x+9=0$

$\therefore x=-9$

অথবা,

$x-6=0$

$x=6$

$\because$ সংখ্যা দুটি ধনাত্মক অখন্ড সংখ্যা,

তাই $x=-9$ হতে পারে না।

∴ $x=6$ ও $\left ( x+3 \right )\Rightarrow 6+3=9$

উত্তরঃ নির্ণেয় ধনাত্মক অখন্ড সংখ্যা দুটি হল 6 ও 9 ।

Koshe dekhi 1.3 class 10

একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ : কষে দেখি - 1.3

Q2. একটি ত্রিভুজের ভূমি তার উচ্চতার দ্বিগুন অপেক্ষা 18 মিটার বেশি। ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 360 বর্গমিটার হলে, তার উচ্চতা নির্ণয় করি।

সমাধানঃ

ধরি, ত্রিভুজটির উচ্চতা $x$ মিটার।

∴ ত্রিভুজটির ভূমি $\left ( 2x+18 \right )$ মিটার।

আমরা জানি,

ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2}$ × ভূমি × উচ্চতা

বা, $360=\frac{1}{2}\times \left ( 2x+18 \right )\times x$

বা, $360=\frac{1}{2}\times 2x\times x+\frac{1}{2}\times 18\times x$

বা, $360=x^{2}+9x$

বা, $x^{2}+9x-360=0$

বা, $x^{2}+24x-15x-360=0$

বা, $x\left ( x+24 \right )-15\left ( x+24 \right )=0$

বা, $\left ( x+24 \right )\left ( x-15 \right )=0$

$\because$ দুই বা ততোধিক রাশির গুণফল শূন্য হলে তারা পৃথক পৃথক ভাবে শূন্য হয়।

সুতারাং,

$x+24=0$

$\therefore x=-24$

অথবা,

$x-15=0$

$\therefore x=15$

$\because$ ত্রিভুজের উচ্চতা ঋণাত্মক হয় না,

তাই $x$ এর মান $-24$ হতে পারে না।

সুতরাং, $x=15$

উত্তরঃ নির্ণেয় ত্রিভুজটির উচ্চতা 15 মিটার।

Koshe dekhi 1.3 class 10

একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ : কষে দেখি - 1.3

Q3. যদি একটি অখন্ড ধনাত্মক সংখ্যার পাঁচগুণ, তার বর্গের দ্বিগুণ অপেক্ষা 3 কম হয়, তবে সংখ্যাটি নির্ণয় করি।

সমাধানঃ

ধরি, ধনাত্মক অখন্ড সংখ্যাটি হল x

প্রশ্নানুসারে,

$2x^{2}-5x=3$

বা, $2x^{2}-5x-3=0$

বা, $2x^{2}-6x+x-3=0$

বা, $2x\left ( x-3 \right )+1\left (x-3 \right )=0$

বা, $\left ( x-3 \right )\left ( 2x+1 \right )=0$

$\because$ দুই বা ততোধিক রাশির গুণফল শূন্য হলে তারা পৃথক পৃথক ভাবে শূন্য হয়।

সুতারাং,

$x-3=0$

$\therefore x=3$

অথবা,

$2x+1=0$

বা, $2x=-1$

$\therefore x=-\frac{1}{2}$

$\because$ সংখ্যাটি ধনাত্মক অখন্ড সংখ্যা,

তাই $x=-\frac{1}{2}$ হতে পারে না।

অর্থাৎ,

$x=3$

উত্তরঃ নির্ণেয় ধনাত্মক অখন্ড সংখ্যাটি হল 3.

Koshe dekhi 1.3 class 10

একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ : কষে দেখি - 1.3

Q4. দুটি স্থানের মধ্যে দূরত্ব 200 কিমি.; একস্থান হতে অপর স্থানে মোটর গাড়িতে যেতে যে সময় লাগে জিপগাড়িতে যেতে তার চেয়ে 2 ঘন্টা সময় কম লাগে। মোটর গাড়ি অপেক্ষা জিপ গাড়ির গতিবেগ ঘন্টায় 5 কিমি বেশি হলে, মোটর গাড়ির গতিবেগ হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ

ধরি, মোটর গাড়ির গতিবেগ $x$ কিমি/ঘন্টা।

∴ জিপ গাড়ির গতিবেগ ঘন্টায় $\left ( x+5 \right )$ কিমি ।

আমরা জানি,

সময় = (অতিক্রান্ত দূরত্ব / গতিবেগ)

∴ 200 কিমি যেতে মোটর গাড়ির সময় লাগে $=\frac{200}{x}$ ঘন্টা

ও জিপ গাড়ির সময় লাগে $=\frac{200}{\left ( x+5 \right )}$ ঘন্টা

প্রশ্নানুসারে,

$\frac{200}{x}-\frac{200}{x+5}=2$

বা, $\frac{200\left ( x+5 \right )-200x}{x\left ( x+5 \right )}=2$

বা, $\frac{200x+1000-200x}{x^{2}+5x}=2$

বা, $\frac{1000}{x^{2}+5x}=2$

বা, $1000=2\left ( x^{2}+5x \right )$

বা, $x^{2}+5x=\frac{1000}{2}$

বা, $x^{2}+5x-500=0$

বা, $x^{2}+25x-20x-500=0$

বা, $x\left ( x+25 \right )-20\left ( x+25 \right )=0$

বা, $\left ( x+25 \right )\left ( x-20 \right )=0$

$\because$ দুই বা ততোধিক রাশির গুণফল শূন্য হলে তারা পৃথক পৃথক ভাবে শূন্য হয়।

সুতারাং,

$x+25=0$

$\therefore x=-25$

অথবা,

$x-20=0$

$\therefore x=20$

$\because$ গাড়ির গতিবেগ ঋণাত্মক হতে পারে না,

$\therefore x\neq -25$

সুতরাং, $x=20$

উত্তরঃ মোটর গাড়ির গতিবেগ 20 কিমি/ঘন্টা।

Koshe dekhi 1.3 class 10

একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ : কষে দেখি - 1.3

Q5. অমিতাদের আয়তক্ষেত্রাকার জমির ক্ষেত্রফল 2000 বর্গমিটার এবং পরিসীমা 180 মিটার। অমিতাদের আয়তক্ষেত্রাকার জমির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ

ধরি, আয়তাকার জমির দৈর্ঘ্য $x$ মিটার ও প্রস্থ $y$ মিটার।

প্রদত্ত,

আয়তক্ষেত্রাকার জমির ক্ষেত্রফল = 2000 বর্গমিটার ও আয়তাকার জমির পরিসীমা = 180 মিটার।

আমরা জানি,

আয়তাকার জমির ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ

∴ প্রশ্নানুযায়ী,

$x\times y=2000$

বা, $xy=2000$ ……(i)

আবার,

আয়তাকার জমির পরিসীমা = 2 (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)

∴ প্রশ্নানুযায়ী,

$2\left ( x+y \right )=180$

বা, $x+y=\frac{180}{2}=90$

বা, $x=\left ( 90-y \right )$ ……. (ii)

এখন, (ii) নং সমীকরণ থেকে x এর মান (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,

$\left ( 90-y \right )y=2000$

বা, $90y-90y^{2}=2000$

বা, $y^{2}-90y+2000=0$

বা, $y^{2}-50y-40y+2000=0$

বা, $y\left ( y-50 \right )-40\left ( y-50 \right )=0$

বা, $\left ( y-50 \right )\left ( y-40 \right )=0$

$\because$ দুই বা ততোধিক রাশির গুণফল শূন্য হলে তারা পৃথক পৃথক ভাবে শূন্য হয়।

সুতারাং,

$y-50=0$

$\therefore y=50$

আবার,

$y-40=0$

$\therefore y=40$

$y=50$ হলে আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য $=\frac{2000}{50}=40$ মিটার।

কিন্তু, যেহেতু আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য সর্বদা প্রস্থ অপেক্ষা বড়ো হয়,

তাই, $y\neq 50$

∴ প্রস্থ $\left ( y \right )=40$ মিটার।

∴ দৈর্ঘ্য $\left ( x \right )=\left ( 90-40 \right )=50$ মিটার।

উত্তরঃ অমিতাদের আয়তক্ষেত্রাকার জমির দৈর্ঘ্য 50 মিটার ও প্রস্থ 40 মিটার।

Koshe dekhi 1.3 class 10

একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ : কষে দেখি - 1.3

Q6. দুই অঙ্কের একটি সংখ্যার দশকের ঘরের অঙ্ক এককের ঘরের অঙ্ক অপেক্ষা 3 কম। সংখ্যাটি থেকে উহার অঙ্ক দুটির গুনফল বিয়োগ করলে বিয়োগফল 15 হয়। সংখ্যাটির একক ঘরের অঙ্ক হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ

ধরি, সংখ্যাটির একক ঘরের অঙ্ক $x$ ও দশক ঘরের অঙ্ক $\left ( x-3 \right )$

∴ সংখ্যাটি হল $=10\times \left ( x-3 \right )+x$

প্রশ্নানুসারে,

$\left [ 10\left ( x-3 \right )+x \right ]-\left [ x\left ( x-3 \right ) \right ]=15$

বা, $10x-30+x-x^{2}+3x=15$

বা, $-x^{2}+14x-30-15=0$

বা, $x^{2}-14x+45=0$

বা, $x^{2}-9x-5x+45=0$

বা, $x\left ( x-9 \right )-5\left ( x-9 \right )=0$

বা, $\left ( x-9 \right )\left ( x-5 \right )=0$

$\because$ দুই বা ততোধিক রাশির গুণফল শূন্য হলে তারা পৃথক পৃথক ভাবে শূন্য হয়।

সুতারাং,

$\left ( x-9 \right )=0$

$\therefore x=9$

আবার,

$\left ( x-5 \right )=0$

$\therefore x=5$

উত্তরঃ নির্ণেয় সংখ্যাটির একক ঘরের অঙ্ক 9 অথবা 5.

Koshe dekhi 1.3 class 10

একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ : কষে দেখি - 1.3

Q7. আমাদের স্কুলের চৌবাচ্চায় দুটি নল আছে। নল দুটি দিয়ে চৌবাচ্চাটি $11\frac{1}{9}$ মিনিটে পূর্ণ হয়। যদি নল দুটি আলাদাভাবে খোলা থাকে তবে চৌবাচ্চাটি ভর্তি করতে একটি নল অপর নলটি থেকে 5 মিনিট বেশি সময় নেয়। প্রত্যেকটি নল পৃথকভাবে চৌবাচ্চাটিকে কত সমযে পূর্ণ করবে হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ

ধরি, শুধুমাত্র প্রথম নল দিয়ে চৌবাচ্চাটিকে $x$ মিনিটে ভর্তি করা যায়।

∴ প্রশানুসারে, শুধুমাত্র দ্বিতীয় নল দিয়ে চৌবাচ্চাটিকে $\left ( x+5 \right )$ মিনিটে ভর্তি করা যাবে।

প্রথম নল দিয়ে $x$ মিনিটে চৌবাচ্চার 1 অংশ ভর্তি হয়।

সুতরাং, প্রথম নল দিয়ে 1 মিনিটে চৌবাচ্চার $\frac{1}{x}$ অংশ ভর্তি হয়।

একইভাবে,

দ্বিতীয় নল দিয়ে $\left ( x+5 \right )$ মিনিটে চৌবাচ্চার 1 অংশ ভর্তি হয়।

সুতরাং, দ্বিতীয় নল দিয়ে 1 মিনিটে চৌবাচ্চার $\frac{1}{\left (x+5 \right )}$ অংশ ভর্তি হয়।

এখন, দুটি নল একসাথে খোলা থাকলে, নল দুটি দিয়ে 1 মিনিটে চৌবাচ্চার $\left [\frac{1}{x}+\frac{1}{\left (x+5 \right )} \right ]$ অংশ ভর্তি হয়।

আবার,

প্রশানুসারে, নল দুটি দিয়ে চৌবাচ্চাটির $11\frac{1}{9}$ মিনিটে অর্থাৎ, $\frac{100}{9}$ মিনিটে 1 অংশ পূর্ণ হয়।

সুতরাং, নল দুটি দিয়ে চৌবাচ্চাটি 1 মিনিটে $\frac{1}{\left ( \frac{100}{9} \right )}$ অংশ অর্থাৎ, $\frac{9}{100}$ অংশ পূর্ণ হয়।

প্রশ্নানুসারে,

$\left [\frac{1}{x}+\frac{1}{\left (x+5 \right )} \right ]=\frac{9}{100}$

বা, $\frac{\left ( x+5 \right )+x}{x\left ( x+5 \right )}=\frac{9}{100}$

বা, $\frac{x+5+x}{x^{2}+5x}=\frac{9}{100}$

বা, $\frac{2x+5}{x^{2}+5x}=\frac{9}{100}$

বা, $9\left ( x^{2}+5x \right )=100\left ( 2x+5 \right )$

বা, $9x^{2}+45x=200x+500$

বা, $9x^{2}+45x-200x-500=0$

বা, $9x^{2}-155x-500=0$

বা, $9x^{2}-\left ( 180-25 \right )x-500=0$

বা, $9x^{2}-180x+25x-500=0$

বা, $9x\left ( x-20 \right )+25\left ( x-20 \right )=0$

বা, $\left ( x-20 \right )\left ( 9x+25 \right )=0$

$\because$ দুই বা ততোধিক রাশির গুণফল শূন্য হলে তারা পৃথক পৃথক ভাবে শূন্য হয়।

সুতারাং,

$\left ( x-20 \right )=0$

$\therefore x=20$

আবার,

$\left ( 9x+25 \right )=0$

$\therefore x=-\frac{25}{9}$

যেহেতু, সময় $\left ( x \right )$ ঋণাত্মক হতে পারে না।

$\therefore x\neq -\frac{25}{9}$

সুতরাং, $x=20$ মিনিট।

$\therefore \left ( x+5 \right )\Rightarrow 20+5=25$ মিনিট।

উত্তরঃ নির্ণেয় প্রথম নল দিয়ে 20 মিনিটে এবং দ্বিতীয় নল দিয়ে 25 মিনিটে চৌবাচ্চাটিকে ভর্তি করা যায়।

Koshe dekhi 1.3 class 10

একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ : কষে দেখি - 1.3

Q8. পর্ণা ও পীয়ুষ কোনো একটি কাজ একত্রে 4 দিনে সম্পন্ন করে। আলাদাভাবে একা কাজ করলে পর্ণার যে সময় লাগবে, পীয়ুষের তার চেযে 6 দিন বেশি সময় লাগবে। পর্ণা একাকী কতদিনে কাজটি সম্পন্ন করতে পারবে হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ

ধরি, পর্ণা একা কাজটি সম্পন্ন করবে $x$ দিনে

ও পীয়ুষ একা কাজটি সম্পন্ন করবে $\left ( x+6 \right )$ দিনে।

পর্ণা একা 1 দিনে কাজ সম্পন্ন করে $=\frac{1}{x}$ অংশ

ও পীয়ুষ একা 1 দিনে কাজ সম্পন্ন করে $=\frac{1}{x+6}$ অংশ

∴ দুজনে একত্রে 1 দিনে কাজ সম্পন্ন করে $=\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{x+6} \right )$ অংশ

একত্রে $\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{x+6} \right )$ অংশ কাজ সম্পন্ন করে 1 দিনে

∴ একত্রে 1 অংশ কাজ সম্পন্ন করে $=\frac{1}{\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{x+6} \right )}$ দিনে

প্রশ্নানুসারে,

$\frac{1}{\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{x+6} \right )}=4$

বা, $\frac{1}{\left [\frac{x+6+x}{x\left ( x+6 \right )} \right ]}=4$

বা, $\frac{1}{\left ( \frac{2x+6}{x^{2}+6x} \right )}=4$

বা, $\frac{x^{2}+6x}{2x+6}=4$

বা, $x^{2}+6x=4\left ( 2x+6 \right )$

বা, $x^{2}+6x=8x+24$

বা, $x^{2}+6x-8x-24=0$

বা, $x^{2}-2x-24=0$

বা, $x^{2}-6x+4x-24=0$

বা, $x\left ( x-6 \right )+4\left ( x-6 \right )=0$

বা, $\left ( x-6 \right )\left ( x+4 \right )=0$

$\because$ দুই বা ততোধিক রাশির গুণফল শূন্য হলে তারা পৃথক পৃথক ভাবে শূন্য হয়।

সুতারাং,

$\left ( x-6 \right )=0$

$\therefore x=6$

আবার,

$\left ( x+4 \right )=0$

$\therefore x=-4$

$\because$ সময় ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই $x\neq 4$

$\therefore x=6$

উত্তরঃ পর্ণা একাকী 6 দিনে কাজটি সম্পন্ন করতে পারবে।

Koshe dekhi 1.3 class 10

একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ : কষে দেখি - 1.3

Q9. কলমের মূল্য প্রতি ডজনে 6 টাকা কমলে 30 টাকায় আরও 3 টি বেশি কলম পাওয়া যাবে। কমার পূর্বে প্রতি ডজন কলমের মূল্য নির্ণয় করি।

সমাধানঃ

ধরি, কমার পূর্বে প্রতি ডজন কলমের মূল্য ছিল $x$ টাকা।

এখন প্রতি ডজনে 6 টাকা কমায় কলমের বর্তমান মূল্য $=\left ( x-6 \right )$ টাকা।

পূর্বে 30 টাকায় কলম পাওয়া যেত $\frac{30}{x}$ ডজন $=\frac{30\times 12}{x}$ টি [ 1 ডজন =12 টি ]

এখন, 30 টাকায় কলম পাওয়া যায় $=\frac{30\times 12}{x-6}$ টি

প্রশ্নানুসারে,

$\frac{30\times 12}{x-6}-\frac{30\times 12}{x}=3$

বা, $360\left ( \frac{1}{x-6}-\frac{1}{x} \right )=3$

বা, $\frac{x-\left ( x-6 \right )}{x\left ( x-6 \right )}=\frac{3}{360}$

বা, $\frac{x-x+6}{x^{2}-6x}=\frac{1}{120}$

বা, $\frac{6}{x^{2}-6x}=\frac{1}{120}$

বা, $x^{2}-6x=6\times 120=720$

বা, $x^{2}-6x-720=0$

বা, $x^{2}-30x+24x-720=0$

বা, $x\left ( x-30 \right )+24\left ( x-30 \right )=0$

বা, $\left ( x-30 \right )\left ( x+24 \right )=0$

$\because$ দুই বা ততোধিক রাশির গুণফল শূন্য হলে তারা পৃথক পৃথক ভাবে শূন্য হয়।

সুতারাং,

$\left ( x-30 \right )=0$

$\therefore x=30$

আবার,

$\left ( x+24 \right )=0$

$\therefore x=-24$

কলমের মূল্য ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই $x\neq -24$

$\therefore x=30$

উত্তরঃ কমার পূর্বে প্রতি ডজন কলমের মূল্য ছিল 30 টাকা।

Koshe dekhi 1.3 class 10

একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ : কষে দেখি - 1.3

Q10. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)

(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q.)

(i) একটি দ্বিঘাত সমীকরণের বীজের সংখ্যা

(a) একটি

(b) দুটি

(d) কোনোটিই নয়

উত্তরঃ (b) দুটি

একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ : কষে দেখি - 1.3

Q10. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)

(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q.)

(ii) $a{{x}^{2}}+bx+c=0$ দ্বিঘাত সমীকরণ হলে,

(a) $b\neq 0$

(b) $c\neq 0$

(d) কোনোটিই নয়

উত্তরঃ (c) ${\color{Blue} a\neq 0}$

একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ : কষে দেখি - 1.3

Q10. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)

(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q.)

(iii) একটি দ্বিঘাত সমীকরণের চলের সর্বোচ্চ ঘাত :

(a) 1

(b) 2

(d) কোনোটিই নয়

উত্তরঃ (b) 2

একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ : কষে দেখি - 1.3

Q10. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)

(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q.)

(iv) $4\left( 5{{x}^{2}}-7x+2 \right)=5\text{ }\left( 4{{x}^{2}}-6x+3 \right)$ সমীকরণটি :

(a) রৈখিক

(b) দ্বিঘাত

(d) কোনোটিই নয়

উত্তরঃ (a) রৈখিক

সমাধানঃ

$4\left ( 5x^{2}-7x+2 \right )=5\left ( 4x^{2}-6x+3 \right )$

বা, $20x^{2}-28x+8=20x^{2}-30x+15$

বা, $20x^{2}-28x+8-20x^{2}+30x-15=0$

বা, $2x-7=0$

Koshe dekhi 1.3 class 10

একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ : কষে দেখি - 1.3

Q10. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)

(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q.)

(v) $\frac{{{x}^{2}}}{x}=6$ সমীকরণটির বীজ / বীজদ্বয়

(a) 0

(b) 6

(d) − 6

সমাধানঃ

$\frac{x^{2}}{x}=6$

বা, $x^{2}-6x=0$

বা, $x\left ( x-6 \right )=0$

দুই বা ততোধিক রাশির গুণফল শূন্য হলে তারা পৃথক পৃথক ভাবে শূন্য হয়।

সুতারাং,

$x=0$

কিন্তু, $x=0$ দ্বারা প্রদত্ত সমীকরণটি ( অর্থাৎ, $\frac{{{x}^{2}}}{x}=6$ ) সিদ্ধ হয় না, তাই $x=0$ সমীকরণটির সমাধান হবে না।

আবার,

$\left ( x-6 \right )=0$

$\therefore x=6$

উত্তরঃ (b) 6

একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ : কষে দেখি - 1.3

10. (B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখি :

(i) ${{\left( x-3 \right)}^{2}}={{x}^{2}}-6x+9$ একটি দ্বিঘাত সমীকরণ।

সমাধানঃ

$\left ( x-3 \right )^{2}=x^{2}-6x+9$

বা, $x^{2}-6x+9=x^{2}-6x+9$

বা, $x^{2}-6x+9-x^{2}+6x-9=0$

বা, $0=0$

উত্তরঃ মিথ্যা ( দ্বিঘাত সমীকরণ হতে গেলে সমাধানে x এর দুটি মান অবশ্যই থাকতে হবে কিন্তু প্রদত্ত সমীকরণে x এর কোনও মান পাওয়া যায়নি, তাই এটি দ্বিঘাত সমীকরণ নয় । )

Koshe dekhi 1.3 class 10

একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ : কষে দেখি - 1.3

10. (B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখি :

(ii) $x^{2}=25$ সমীকরণটির একটিমাত্র বীজ 5.

সমাধানঃ

$x^{2}=25$

বা, $x=\pm \sqrt{25}$

$\therefore x=\pm 5$

উত্তরঃ মিথ্যা ( ${\color{Pink} \because }$ +5 ও -5 প্রদত্ত সমীকরণের দুটি বীজ )

Koshe dekhi 1.3 class 10

একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ : কষে দেখি - 1.3

10. (C) শূন্যস্থান পূরণ করি :

(i) যদি $a{{x}^{2}}+bx+c=0$ সমীকরণটির a = 0 এবং $b\neq 0$ হয়, তবে সমীকরনটি একটি _____ সমীকরণ।

উত্তরঃ রৈখিক

একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ : কষে দেখি - 1.3

10. (C) শূন্যস্থান পূরণ করি :

(ii) যদি একটি দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি বীজই 1 হয়, তাহলে সমীকরণটি হলো _____।

সমাধানঃ

$x=1$ ও $x=1$

$\left ( x-1 \right )\left ( x-1 \right )=0$

বা, $x^{2}-x-x+1=0$

$\therefore x^{2}-2x+1=0$

উত্তরঃ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণটি হল ${\color{Blue} x^{2}-2x+1=0}$ .

Koshe dekhi 1.3 class 10

একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ : কষে দেখি - 1.3

10. (C) শূন্যস্থান পূরণ করি :

(iii) $x^{2}=6x$ সমীকরণটির বীজদ্বয় ______ ও _______।

সমাধানঃ

$x^{2}=6x$

বা, $x^{2}-6x=0$

বা, $x\left ( x-6 \right )=0$

দুই বা ততোধিক রাশির গুণফল শূন্য হলে তারা পৃথক পৃথক ভাবে শূন্য হয়।

সুতারাং,

$x=0$

আবার,

$\left ( x-6 \right )=0$

$\therefore x=6$

উত্তরঃ প্রদত্ত সমীকরণের বীজদ্বয় 0 ও 6.

Koshe dekhi 1.3 class 10

একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ : কষে দেখি - 1.3

Q11. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)

(i) ${{x}^{2}}+ax+3=0$ সমীকরণের একটি বীজ 1 হলে, a -এর মান নির্ণয় করি।

সমাধানঃ

$x^{2}+ax+3=0$

প্রদত্ত সমীকরণে $x=1$ বসিয়ে পাই,

$\left ( 1 \right )^{2}+a\times 1+3=0$

বা, $1+a+3=0$

বা, $4+a=0$

∴ $a=-4$

উত্তরঃ নির্ণেয় a এর মান −4

Koshe dekhi 1.3 class 10

একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ : কষে দেখি - 1.3

Q11. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)

(ii) ${{x}^{2}}-\left( 2+b \right)x+6=0$ সমীকরণের একটি বীজ 2 হলে, অপর বীজটির মান লিখি।

সমাধানঃ

$x^{2}-\left ( 2+b \right )x+6=0$

প্রদত্ত সমীকরণে $x=2$ বসিয়ে পাই,

$2^{2}-\left ( 2+b \right )\times 2+6=0$

বা, $4-4-2b+6=0$

বা, $-2b=-6$

বা, $2b=6$

$\therefore b=\frac{6}{2}=3$

$x^{2}-\left ( 2+b \right )\times 2+6=0$ সমীকরণে $b=3$ বসিয়ে পাই,

$x^{2}-\left ( 2+3 \right )\times x+6=0$

বা, $x^{2}-2x-3x+6=0$

বা, $x\left ( x-2 \right )-3\left ( x-2 \right )=0$

বা, $\left ( x-2 \right )\left ( x-3 \right )=0$

দুই বা ততোধিক রাশির গুণফল শূন্য হলে তারা পৃথক পৃথক ভাবে শূন্য হয়।

সুতারাং,

$\left ( x-2 \right )=0$

$\therefore x=2$

আবার,

$\left ( x-3 \right )=0$

$\therefore x=3$

উত্তরঃ ${\color{Blue} x^{2}-\left ( 2+b \right )x+6=0}$ সমীকরণের অপর বীজটির মান হবে 3 ।

Koshe dekhi 1.3 class 10

একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ : কষে দেখি - 1.3

Q11. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)

(iii) $2{{x}^{2}}+kx+4=0$ সমীকরণের একটি বীজ 2 হলে, অপর বীজটির মান লিখি।

সমাধানঃ

$2x^{2}+kx+4=0$

প্রদত্ত সমীকরণে $x=2$ বসিয়ে পাই,

$2\times 2^{2}+k\times 2+4=0$

বা, $8+2k+4=0$

বা, $12+2k=0$

বা, $2k=-12$

$\therefore k=-\frac{12}{2}=-6$

$2x^{2}+kx+4=0$ সমীকরণে $k=-6$ বসিয়ে পাই,

$2x^{2}-6x+4=0$

বা, $2x^{2}-4x-2x+4=0$

বা, $2x\left ( x-2 \right )-2\left ( x-2 \right )=0$

বা, $\left ( x-2 \right )\left ( 2x-2 \right )=0$

দুই বা ততোধিক রাশির গুণফল শূন্য হলে তারা পৃথক পৃথক ভাবে শূন্য হয়।

সুতারাং,

$\left ( x-2 \right )=0$

$\therefore x=2$

আবার,

$\left ( 2x-2 \right )=0$

বা, $2x=2$

$\therefore x=\frac{2}{2}=1$

উত্তরঃ ${\color{Blue} 2x^{2}+kx+4=0}$ সমীকরণের অপর বীজটির মান হবে 1 ।

Koshe dekhi 1.3 class 10

একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ : কষে দেখি - 1.3

Q11. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)

(iv) একটি প্রকৃত ভগ্নাংশ ও তার অনোন্যক এর অন্তর $\frac{9}{20}$ ; সমীকরণটি লিখি।

সমাধানঃ

ধরি, প্রকৃত ভগ্নাংশটি $=\frac{x}{y}$ [ অর্থাৎ, ${\color{Blue} x<y}$ ]

∴ প্রকৃত ভগ্নাংশটির অনোন্যক হবে $=\frac{y}{x}$

প্রশ্নানুসারে, নির্ণেয় সমীকরণটি হবে,

$\frac{y}{x}-\frac{x}{y}=\frac{9}{20}{\color{Blue} \left [ \because \frac{y}{x}>\frac{x}{y} \right ]}$

উত্তরঃ নির্ণেয় সমীকরণটি হল ${\color{DarkGreen} \frac{y}{x}-\frac{x}{y}=\frac{9}{20}}$

Note : ছাত্র-ছাত্রিদের সুবিধার জন্য উপরের দ্বিঘাত সমীকরণটির সমাধান করে দেওয়া হল।

বা, $\frac{y^{2}-x^{2}}{xy}=\frac{9}{20}$

বা, $20y^{2}-20x^{2}=9xy$

বা, $-20x^{2}+20y^{2}-9xy=0$

বা, $20x^{2}+9xy-20y^{2}=0$

বা, $20x^{2}+25xy-16xy+20y^{2}=0$

বা, $5x\left ( 4x+5y \right )-4y\left ( 4x+5y \right )=0$

বা, $\left ( 4x+5y \right )\left ( 5x-4y \right )=0$

$\because$ দুই বা ততোধিক রাশির গুণফল শূন্য হলে তারা পৃথক পৃথক ভাবে শূন্য হয়।

সুতারাং,

$\left ( 4x+5y \right )=0$

বা, $4x=-5y$

$\therefore \frac{x}{y}=-\frac{5}{4}$

আবার,

$\left ( 5x-4y \right )=0$

বা, $5x=4y$

$\therefore \frac{x}{y}=\frac{4}{5}$

$\because -\frac{5}{4}$ একটি অপ্রকৃত ভগ্নাংশ

$\therefore \frac{x}{y}\neq -\frac{5}{4}$

সুতরাং, প্রকৃত ভগ্নাংশটি $\left ( \frac{x}{y} \right )$ হবে $\frac{4}{5}$

Koshe dekhi 1.3 class 10

একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ : কষে দেখি - 1.3

Q11. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)

(v) $a{{x}^{2}}+bx+35=0$ সমীকরণের বীজদ্বয় −5 ও −7 হলে, a এবং b এর মান লিখি।

সমাধানঃ

$ax^{2}+bx+35=0$ সমীকরণে $x=-5$ বসিয়ে পাই,

$a\times \left ( -5 \right )^{2}+b\left ( -5 \right )+35=0$

বা, $25a-5b+35=0$

বা, $5\left ( 5a-b+7 \right )=0$

বা, $\left ( 5a-b+7 \right )=\frac{0}{5}=0$

বা, $5a-b=-7$ ……… (i)

$ax^{2}+bx+35=0$ সমীকরণে $x=-7$ বসিয়ে পাই,

$a\times \left ( -7 \right )^{2}+b\left ( -7 \right )+35=0$

বা, $49a-7b+35=0$

বা, $7\left ( 7a-b+5 \right )=0$

বা, $\left ( 7a-b+5 \right )=\frac{0}{7}=0$

বা, $7a-b=-5$ ……… (ii)

(ii) নং সমীকরণ থেকে (i) নং সমীকরণ বিয়োগ করে পাই,

$7a-b-5a+b=-5+7$

বা, $2a=2$

$\therefore a=\frac{2}{2}=1$

(i) নং সমীকরণে $a=1$ বসিয়ে পাই,

$5\times 1-b=-7$

বা, $-b=-7-5$

বা, $-b=-12$

$\therefore b=12$

উত্তরঃ নির্ণেয় a এর মান 1 ও b এর মান 12 ।

Koshe dekhi 1.3 class 10

Thank You

7 thoughts on “Koshe dekhi 1.3 class 10”

Ebadul Mondal says:

January 25, 2022 at 7:12 pm

Naice math suletion

1. Prasanta Naskar says:
  
  January 26, 2022 at 9:40 am
  
  thank you for your comment.
  Please keep visiting Learning Science.
  
  1. Asim mandal says:
    
    February 23, 2022 at 6:58 pm
    
    Asim
    
Md taj khan says:

February 28, 2022 at 8:05 am

11/i wrong answer!!!!!!

1. Prasanta Naskar says:
  
  February 28, 2022 at 8:18 am
  
  Thank you for your most valuable information.
  
  Error has been fixed from our end.
  
  Thanks and Regards.
  
sabir says:

April 8, 2023 at 3:05 pm

mr official majnu-sabir 01

Arghya says:

July 29, 2023 at 9:50 pm

Thank you for answers

Koshe dekhi 1.3 class 10

Koshe dekhi 1.3 class 10

Koshe dekhi 1.3 class 10

Related Post

WBCHSE – Let us Work Out 26.4 – WB Class 10

WBCHSE – Let us Work Out 26.1 – WB Class 10

Koshe Dekhi 21 Class 10

7 thoughts on “Koshe dekhi 1.3 class 10”

Leave a Reply Cancel reply

You missed

The Miracle of Human Reproduction

Notification Out: RRB NTPC Recruitment 2024

CITL-001 Solved Assignment 2024-25

CIT-003 Solved Assignment 2024-25