Tue. Jun 25th, 2024

Koshe dekhi 1.3 class 10

Koshe dekhi 1.3 class 10

একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ : কষে দেখি - 1.3

Q1. দুটি ধনাত্মক অখন্ড সংখ্যার অন্তর 3 এবং তাদের বর্গের সমষ্টি 117; সংখ্যা দুটি হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ 

ধরি, ধনাত্মক অখন্ড সংখ্যার একটি  x  ও অপরটি  \left ( x+3 \right )

প্রশ্নানুযায়ী,

বা,

বা,

বা,

বা,

বা,

বা,

বা,

বা,

বা,

 

\because দুই বা ততোধিক রাশির গুণফল শূন্য হলে তারা পৃথক পৃথক ভাবে শূন্য হয়।

সুতারাং,

অথবা,

সংখ্যা দুটি ধনাত্মক অখন্ড সংখ্যা,

তাই  x=-9  হতে পারে না।

x=6\left ( x+3 \right )\Rightarrow 6+3=9

উত্তরঃ নির্ণেয় ধনাত্মক অখন্ড সংখ্যা দুটি হল 6 ও 9 ।

Koshe dekhi 1.3 class 10

একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ : কষে দেখি - 1.3

Q2. একটি ত্রিভুজের ভূমি তার উচ্চতার দ্বিগুন অপেক্ষা 18 মিটার বেশি। ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 360 বর্গমিটার হলে, তার উচ্চতা নির্ণয় করি।

সমাধানঃ 

ধরি, ত্রিভুজটির উচ্চতা  x  মিটার।

∴ ত্রিভুজটির ভূমি  \left ( 2x+18 \right )  মিটার।

আমরা জানি,

ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল =  × ভূমি × উচ্চতা

বা, 

বা,

বা,

বা,

বা,

বা,

বা,

\because দুই বা ততোধিক রাশির গুণফল শূন্য হলে তারা পৃথক পৃথক ভাবে শূন্য হয়।

সুতারাং,

x+24=0

\therefore x=-24

অথবা,

x-15=0

\therefore x=15

\because ত্রিভুজের উচ্চতা ঋণাত্মক হয় না,

তাই  x  এর মান  -24  হতে পারে না।

সুতরাং,  x=15

উত্তরঃ নির্ণেয় ত্রিভুজটির উচ্চতা 15 মিটার।

Koshe dekhi 1.3 class 10

একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ : কষে দেখি - 1.3

Q3. যদি একটি অখন্ড ধনাত্মক সংখ্যার পাঁচগুণ, তার বর্গের দ্বিগুণ অপেক্ষা 3 কম হয়, তবে সংখ্যাটি নির্ণয় করি।

সমাধানঃ 

ধরি, ধনাত্মক অখন্ড সংখ্যাটি হল  x

প্রশ্নানুসারে,

2x^{2}-5x=3

বা, 2x^{2}-5x-3=0

বা, 2x^{2}-6x+x-3=0

বা, 2x\left ( x-3 \right )+1\left (x-3 \right )=0

বা, \left ( x-3 \right )\left ( 2x+1 \right )=0

 

\because দুই বা ততোধিক রাশির গুণফল শূন্য হলে তারা পৃথক পৃথক ভাবে শূন্য হয়।

সুতারাং,

x-3=0

\therefore x=3

অথবা,

2x+1=0

বা, 2x=-1

\therefore x=-\frac{1}{2}

সংখ্যাটি ধনাত্মক অখন্ড সংখ্যা,

তাই  x=-\frac{1}{2} হতে পারে না।

অর্থাৎ, 

x=3

উত্তরঃ নির্ণেয় ধনাত্মক অখন্ড সংখ্যাটি হল 3.

Koshe dekhi 1.3 class 10

একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ : কষে দেখি - 1.3

Q4. দুটি স্থানের মধ্যে দূরত্ব 200 কিমি.; একস্থান হতে অপর স্থানে মোটর গাড়িতে যেতে যে সময় লাগে জিপগাড়িতে যেতে তার চেয়ে 2 ঘন্টা সময় কম লাগে। মোটর গাড়ি অপেক্ষা জিপ গাড়ির গতিবেগ ঘন্টায় 5 কিমি বেশি হলে, মোটর গাড়ির গতিবেগ হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ 

ধরি, মোটর গাড়ির গতিবেগ  x  কিমি/ঘন্টা।

∴ জিপ গাড়ির গতিবেগ ঘন্টায়  \left ( x+5 \right ) কিমি ।

আমরা জানি,

সময় = (অতিক্রান্ত দূরত্ব / গতিবেগ)

∴ 200 কিমি যেতে মোটর গাড়ির সময় লাগে =\frac{200}{x}  ঘন্টা

ও জিপ গাড়ির সময় লাগে =\frac{200}{\left ( x+5 \right )} ঘন্টা

প্রশ্নানুসারে,

\frac{200}{x}-\frac{200}{x+5}=2

বা, \frac{200\left ( x+5 \right )-200x}{x\left ( x+5 \right )}=2

বা, \frac{200x+1000-200x}{x^{2}+5x}=2

বা, \frac{1000}{x^{2}+5x}=2

বা, 1000=2\left ( x^{2}+5x \right )

বা, x^{2}+5x=\frac{1000}{2}

বা, x^{2}+5x-500=0

বা, x^{2}+25x-20x-500=0

বা, x\left ( x+25 \right )-20\left ( x+25 \right )=0

বা, \left ( x+25 \right )\left ( x-20 \right )=0

 

\because দুই বা ততোধিক রাশির গুণফল শূন্য হলে তারা পৃথক পৃথক ভাবে শূন্য হয়।

সুতারাং,

x+25=0

\therefore x=-25

অথবা,

x-20=0

\therefore x=20

 

\because গাড়ির গতিবেগ ঋণাত্মক হতে পারে না,

\therefore x\neq -25

সুতরাং, x=20

উত্তরঃ মোটর গাড়ির গতিবেগ 20 কিমি/ঘন্টা।

Koshe dekhi 1.3 class 10

একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ : কষে দেখি - 1.3

Q5. অমিতাদের আয়তক্ষেত্রাকার জমির ক্ষেত্রফল 2000 বর্গমিটার এবং পরিসীমা 180 মিটার। অমিতাদের আয়তক্ষেত্রাকার জমির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ 

ধরি, আয়তাকার জমির দৈর্ঘ্য  x  মিটার ও প্রস্থ  y  মিটার।

প্রদত্ত, 

আয়তক্ষেত্রাকার জমির ক্ষেত্রফল = 2000 বর্গমিটার ও আয়তাকার জমির পরিসীমা = 180 মিটার।

আমরা জানি, 

আয়তাকার জমির ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ 

প্রশ্নানুযায়ী,

x\times y=2000

বা, xy=2000 ……(i)

আবার,

আয়তাকার জমির পরিসীমা = 2 (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)

প্রশ্নানুযায়ী,

2\left ( x+y \right )=180

বা, x+y=\frac{180}{2}=90

বা, x=\left ( 90-y \right ) ……. (ii)

এখন, (ii) নং সমীকরণ থেকে এর মান (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,

\left ( 90-y \right )y=2000

বা, 90y-90y^{2}=2000

বা, y^{2}-90y+2000=0

বা, y^{2}-50y-40y+2000=0

বা, y\left ( y-50 \right )-40\left ( y-50 \right )=0

বা, \left ( y-50 \right )\left ( y-40 \right )=0

 

\because দুই বা ততোধিক রাশির গুণফল শূন্য হলে তারা পৃথক পৃথক ভাবে শূন্য হয়।

সুতারাং,

y-50=0

\therefore y=50

আবার, 

y-40=0

\therefore y=40

y=50  হলে আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য =\frac{2000}{50}=40 মিটার।

কিন্তু, যেহেতু আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য সর্বদা প্রস্থ অপেক্ষা বড়ো হয়,

তাই, y\neq 50

∴ প্রস্থ \left ( y \right )=40 মিটার।

∴ দৈর্ঘ্য \left ( x \right )=\left ( 90-40 \right )=50 মিটার।

উত্তরঃ  অমিতাদের আয়তক্ষেত্রাকার জমির দৈর্ঘ্য 50 মিটার ও প্রস্থ 40 মিটার।

Koshe dekhi 1.3 class 10

একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ : কষে দেখি - 1.3

Q6. দুই অঙ্কের একটি সংখ্যার দশকের ঘরের অঙ্ক এককের ঘরের অঙ্ক অপেক্ষা 3 কম। সংখ্যাটি থেকে উহার অঙ্ক দুটির গুনফল বিয়োগ করলে বিয়োগফল 15 হয়। সংখ্যাটির একক ঘরের অঙ্ক হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ 

ধরি, সংখ্যাটির একক ঘরের অঙ্ক  x  ও দশক ঘরের অঙ্ক  \left ( x-3 \right ) 

∴ সংখ্যাটি হল =10\times \left ( x-3 \right )+x

প্রশ্নানুসারে, 

\left [ 10\left ( x-3 \right )+x \right ]-\left [ x\left ( x-3 \right ) \right ]=15

বা, 10x-30+x-x^{2}+3x=15

বা, -x^{2}+14x-30-15=0

বা, x^{2}-14x+45=0

বা, x^{2}-9x-5x+45=0

বা, x\left ( x-9 \right )-5\left ( x-9 \right )=0

বা, \left ( x-9 \right )\left ( x-5 \right )=0

 

\because দুই বা ততোধিক রাশির গুণফল শূন্য হলে তারা পৃথক পৃথক ভাবে শূন্য হয়।

সুতারাং,

\left ( x-9 \right )=0

\therefore x=9

আবার,

\left ( x-5 \right )=0

\therefore x=5

উত্তরঃ নির্ণেয় সংখ্যাটির একক ঘরের অঙ্ক 9 অথবা 5.

Koshe dekhi 1.3 class 10

একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ : কষে দেখি - 1.3

Q7. আমাদের স্কুলের চৌবাচ্চায় দুটি নল আছে। নল দুটি দিয়ে চৌবাচ্চাটি  11\frac{1}{9}  মিনিটে পূর্ণ হয়। যদি নল দুটি আলাদাভাবে খোলা থাকে তবে চৌবাচ্চাটি ভর্তি করতে একটি নল অপর নলটি থেকে 5 মিনিট বেশি সময় নেয়। প্রত্যেকটি নল পৃথকভাবে চৌবাচ্চাটিকে কত সমযে পূর্ণ করবে হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ 

ধরি, শুধুমাত্র প্রথম নল দিয়ে চৌবাচ্চাটিকে  x  মিনিটে ভর্তি করা যায়।

∴ প্রশানুসারে, শুধুমাত্র দ্বিতীয় নল দিয়ে চৌবাচ্চাটিকে  \left ( x+5 \right )  মিনিটে ভর্তি করা যাবে।

প্রথম নল দিয়ে  x  মিনিটে চৌবাচ্চার  1  অংশ ভর্তি হয়।

সুতরাং, প্রথম নল দিয়ে  1  মিনিটে চৌবাচ্চার  \frac{1}{x}  অংশ ভর্তি হয়।

একইভাবে, 

দ্বিতীয় নল দিয়ে  \left ( x+5 \right )  মিনিটে চৌবাচ্চার  1  অংশ ভর্তি হয়।

সুতরাং, দ্বিতীয় নল দিয়ে  1  মিনিটে চৌবাচ্চার  \frac{1}{\left (x+5 \right )} অংশ ভর্তি হয়।

এখন, দুটি নল একসাথে খোলা থাকলে, নল দুটি দিয়ে  1  মিনিটে চৌবাচ্চার  \left [\frac{1}{x}+\frac{1}{\left (x+5 \right )} \right ] অংশ ভর্তি হয়।

আবার,

প্রশানুসারে, নল দুটি দিয়ে চৌবাচ্চাটির  11\frac{1}{9}  মিনিটে অর্থাৎ,  \frac{100}{9}  মিনিটে  1  অংশ পূর্ণ হয়।

সুতরাং, নল দুটি দিয়ে চৌবাচ্চাটি  1  মিনিটে  \frac{1}{\left ( \frac{100}{9} \right )}  অংশ অর্থাৎ,  \frac{9}{100}  অংশ পূর্ণ হয়।

প্রশ্নানুসারে,

\left [\frac{1}{x}+\frac{1}{\left (x+5 \right )} \right ]=\frac{9}{100}

বা, \frac{\left ( x+5 \right )+x}{x\left ( x+5 \right )}=\frac{9}{100}

বা, \frac{x+5+x}{x^{2}+5x}=\frac{9}{100}

বা, \frac{2x+5}{x^{2}+5x}=\frac{9}{100}

বা, 9\left ( x^{2}+5x \right )=100\left ( 2x+5 \right )

বা, 9x^{2}+45x=200x+500

বা, 9x^{2}+45x-200x-500=0

বা, 9x^{2}-155x-500=0

বা, 9x^{2}-\left ( 180-25 \right )x-500=0

বা, 9x^{2}-180x+25x-500=0

বা, 9x\left ( x-20 \right )+25\left ( x-20 \right )=0

বা, \left ( x-20 \right )\left ( 9x+25 \right )=0

\because দুই বা ততোধিক রাশির গুণফল শূন্য হলে তারা পৃথক পৃথক ভাবে শূন্য হয়।

সুতারাং,

\left ( x-20 \right )=0

\therefore x=20

আবার,

\left ( 9x+25 \right )=0

\therefore x=-\frac{25}{9}

যেহেতু, সময় \left ( x \right )  ঋণাত্মক হতে পারে না।

\therefore x\neq -\frac{25}{9}

সুতরাং,  x=20  মিনিট।

\therefore \left ( x+5 \right )\Rightarrow 20+5=25 মিনিট।

উত্তরঃ নির্ণেয় প্রথম নল দিয়ে 20 মিনিটে  এবং দ্বিতীয় নল দিয়ে 25 মিনিটে  চৌবাচ্চাটিকে ভর্তি করা যায়।

Koshe dekhi 1.3 class 10

একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ : কষে দেখি - 1.3

Q8. পর্ণা ও পীয়ুষ কোনো একটি কাজ একত্রে 4 দিনে সম্পন্ন করে। আলাদাভাবে একা কাজ করলে পর্ণার যে সময় লাগবে, পীয়ুষের তার চেযে 6 দিন বেশি সময় লাগবে। পর্ণা একাকী কতদিনে কাজটি সম্পন্ন করতে পারবে হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ 

ধরি, পর্ণা একা কাজটি সম্পন্ন করবে  x  দিনে

ও পীয়ুষ একা কাজটি সম্পন্ন করবে  \left ( x+6 \right ) দিনে।

পর্ণা একা 1 দিনে কাজ সম্পন্ন করে =\frac{1}{x}  অংশ 

ও পীয়ুষ একা 1 দিনে কাজ সম্পন্ন করে =\frac{1}{x+6} অংশ 

∴ দুজনে একত্রে 1 দিনে কাজ সম্পন্ন করে =\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{x+6} \right )অংশ 

একত্রে \left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{x+6} \right )  অংশ কাজ সম্পন্ন করে 1 দিনে

∴ একত্রে 1 অংশ কাজ সম্পন্ন করে =\frac{1}{\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{x+6} \right )} দিনে

প্রশ্নানুসারে,

\frac{1}{\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{x+6} \right )}=4

বা, \frac{1}{\left [\frac{x+6+x}{x\left ( x+6 \right )} \right ]}=4

বা, \frac{1}{\left ( \frac{2x+6}{x^{2}+6x} \right )}=4

বা, \frac{x^{2}+6x}{2x+6}=4

বা, x^{2}+6x=4\left ( 2x+6 \right )

বা, x^{2}+6x=8x+24

বা, x^{2}+6x-8x-24=0

বা, x^{2}-2x-24=0

বা, x^{2}-6x+4x-24=0

বা, x\left ( x-6 \right )+4\left ( x-6 \right )=0

বা, \left ( x-6 \right )\left ( x+4 \right )=0

\because দুই বা ততোধিক রাশির গুণফল শূন্য হলে তারা পৃথক পৃথক ভাবে শূন্য হয়।

সুতারাং,

\left ( x-6 \right )=0

\therefore x=6

আবার,

\left ( x+4 \right )=0

\therefore x=-4

\because সময় ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই  x\neq 4

\therefore x=6

উত্তরঃ পর্ণা একাকী  6 দিনে কাজটি সম্পন্ন করতে পারবে।

Koshe dekhi 1.3 class 10

একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ : কষে দেখি - 1.3

Q9. কলমের মূল্য প্রতি ডজনে 6 টাকা কমলে 30 টাকায় আরও 3 টি বেশি কলম পাওয়া যাবে। কমার পূর্বে প্রতি ডজন কলমের মূল্য নির্ণয় করি।

সমাধানঃ 

ধরি, কমার পূর্বে প্রতি ডজন কলমের মূল্য ছিল  x  টাকা।

এখন প্রতি ডজনে 6 টাকা কমায় কলমের বর্তমান মূল্য  =\left ( x-6 \right ) টাকা।

পূর্বে 30 টাকায় কলম পাওয়া যেত   \frac{30}{x}  ডজন  =\frac{30\times 12}{x}  টি [ 1 ডজন =12 টি ]

এখন, 30 টাকায় কলম পাওয়া যায়  =\frac{30\times 12}{x-6} টি

প্রশ্নানুসারে,

\frac{30\times 12}{x-6}-\frac{30\times 12}{x}=3

বা, 360\left ( \frac{1}{x-6}-\frac{1}{x} \right )=3

বা, \frac{x-\left ( x-6 \right )}{x\left ( x-6 \right )}=\frac{3}{360}

বা, \frac{x-x+6}{x^{2}-6x}=\frac{1}{120}

বা, \frac{6}{x^{2}-6x}=\frac{1}{120}

বা, x^{2}-6x=6\times 120=720

বা, x^{2}-6x-720=0

বা, x^{2}-30x+24x-720=0

বা, x\left ( x-30 \right )+24\left ( x-30 \right )=0

বা, \left ( x-30 \right )\left ( x+24 \right )=0

\because দুই বা ততোধিক রাশির গুণফল শূন্য হলে তারা পৃথক পৃথক ভাবে শূন্য হয়।

সুতারাং,

\left ( x-30 \right )=0

\therefore x=30

আবার, 

\left ( x+24 \right )=0

\therefore x=-24

কলমের মূল্য ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই x\neq -24

\therefore x=30

উত্তরঃ কমার পূর্বে প্রতি ডজন কলমের মূল্য ছিল 30 টাকা।

Koshe dekhi 1.3 class 10

একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ : কষে দেখি - 1.3

Q10. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)

(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q.)

(i) একটি দ্বিঘাত সমীকরণের বীজের সংখ্যা

(a) একটি

(b) দুটি

(c) তিনটি

(d) কোনোটিই নয়

উত্তরঃ (b) দুটি

একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ : কষে দেখি - 1.3

Q10. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)

(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q.)

(ii)  a{{x}^{2}}+bx+c=0  দ্বিঘাত সমীকরণ হলে,

(a) b\neq 0

(b) c\neq 0

(c) a\neq 0

(d) কোনোটিই নয়

উত্তরঃ (c) {\color{Blue} a\neq 0}

একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ : কষে দেখি - 1.3

Q10. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)

(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q.)

(iii) একটি দ্বিঘাত সমীকরণের চলের সর্বোচ্চ ঘাত :

(a) 1

(b) 2

(c) 3

(d) কোনোটিই নয়

উত্তরঃ (b) 2

একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ : কষে দেখি - 1.3

Q10. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)

(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q.)

(iv)  4\left( 5{{x}^{2}}-7x+2 \right)=5\text{ }\left( 4{{x}^{2}}-6x+3 \right)  সমীকরণটি :

(a) রৈখিক

(b) দ্বিঘাত

(c) ত্রিঘাত

(d) কোনোটিই নয়

উত্তরঃ (a) রৈখিক

সমাধানঃ

 4\left ( 5x^{2}-7x+2 \right )=5\left ( 4x^{2}-6x+3 \right )

বা, 20x^{2}-28x+8=20x^{2}-30x+15

বা, 20x^{2}-28x+8-20x^{2}+30x-15=0

বা, 2x-7=0

Koshe dekhi 1.3 class 10

একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ : কষে দেখি - 1.3

Q10. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)

(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q.)

(v)  \frac{{{x}^{2}}}{x}=6  সমীকরণটির বীজ / বীজদ্বয়

(a) 0

(b) 6

(c) 0 ও 6

(d) ­− 6

সমাধানঃ

\frac{x^{2}}{x}=6

বা, x^{2}-6x=0

বা, x\left ( x-6 \right )=0

দুই বা ততোধিক রাশির গুণফল শূন্য হলে তারা পৃথক পৃথক ভাবে শূন্য হয়।

সুতারাং,

x=0

কিন্তু,  x=0  দ্বারা প্রদত্ত সমীকরণটি ( অর্থাৎ,  \frac{{{x}^{2}}}{x}=6 ) সিদ্ধ হয় না, তাই  x=0  সমীকরণটির সমাধান হবে না।

আবার,

\left ( x-6 \right )=0

\therefore x=6

উত্তরঃ (b) 6

একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ : কষে দেখি - 1.3

10. (B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখি :

(i)  {{\left( x-3 \right)}^{2}}={{x}^{2}}-6x+9  একটি দ্বিঘাত সমীকরণ।

সমাধানঃ

\left ( x-3 \right )^{2}=x^{2}-6x+9

বা, x^{2}-6x+9=x^{2}-6x+9

বা, x^{2}-6x+9-x^{2}+6x-9=0

বা, 0=0

উত্তরঃ মিথ্যা ( দ্বিঘাত সমীকরণ হতে গেলে  সমাধানে x এর দুটি মান অবশ্যই থাকতে হবে কিন্তু প্রদত্ত সমীকরণে x এর কোনও মান পাওয়া যায়নি, তাই এটি দ্বিঘাত সমীকরণ নয় । )

Koshe dekhi 1.3 class 10

 

একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ : কষে দেখি - 1.3

10. (B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখি :

(ii)  x^{2}=25 সমীকরণটির একটিমাত্র বীজ 5.

সমাধানঃ

x^{2}=25

বা, x=\pm \sqrt{25}

\therefore x=\pm 5

উত্তরঃ মিথ্যা ( {\color{Pink} \because } +5 ও -5 প্রদত্ত সমীকরণের দুটি বীজ )

Koshe dekhi 1.3 class 10

 

একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ : কষে দেখি - 1.3

10. (C) শূন্যস্থান পূরণ করি :

(i) যদি   a{{x}^{2}}+bx+c=0  সমীকরণটির  a = 0 এবং   b\neq 0 হয়, তবে সমীকরনটি একটি _____ সমীকরণ।

উত্তরঃ রৈখিক

একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ : কষে দেখি - 1.3

10. (C) শূন্যস্থান পূরণ করি :

(ii) যদি একটি দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি বীজই  1  হয়, তাহলে সমীকরণটি হলো _____।

সমাধানঃ

x=1x=1

\left ( x-1 \right )\left ( x-1 \right )=0

বা, x^{2}-x-x+1=0

\therefore x^{2}-2x+1=0

উত্তরঃ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণটি হল  {\color{Blue} x^{2}-2x+1=0}.

Koshe dekhi 1.3 class 10

একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ : কষে দেখি - 1.3

10. (C) শূন্যস্থান পূরণ করি :

(iii)  x^{2}=6x  সমীকরণটির বীজদ্বয় ______ ও _______।

সমাধানঃ

x^{2}=6x

বা, x^{2}-6x=0

বা, x\left ( x-6 \right )=0

দুই বা ততোধিক রাশির গুণফল শূন্য হলে তারা পৃথক পৃথক ভাবে শূন্য হয়।

সুতারাং,

x=0

আবার,

\left ( x-6 \right )=0

\therefore x=6

উত্তরঃ প্রদত্ত সমীকরণের বীজদ্বয় 0 ও 6.

Koshe dekhi 1.3 class 10

 

একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ : কষে দেখি - 1.3

Q11. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)

(i)  {{x}^{2}}+ax+3=0  সমীকরণের একটি বীজ  1  হলে,  a -এর মান নির্ণয় করি।

সমাধানঃ

x^{2}+ax+3=0

প্রদত্ত সমীকরণে  x=1 বসিয়ে পাই,

\left ( 1 \right )^{2}+a\times 1+3=0

বা, 1+a+3=0

বা, 4+a=0

a=-4

উত্তরঃ নির্ণেয় a এর মান  −4

Koshe dekhi 1.3 class 10

 

একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ : কষে দেখি - 1.3

Q11. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)

(ii)  {{x}^{2}}-\left( 2+b \right)x+6=0  সমীকরণের একটি বীজ  2  হলে, অপর বীজটির মান লিখি।

সমাধানঃ

x^{2}-\left ( 2+b \right )x+6=0

প্রদত্ত সমীকরণে x=2  বসিয়ে পাই,

2^{2}-\left ( 2+b \right )\times 2+6=0

বা, 4-4-2b+6=0

বা, -2b=-6

বা, 2b=6

\therefore b=\frac{6}{2}=3

x^{2}-\left ( 2+b \right )\times 2+6=0 সমীকরণে b=3 বসিয়ে পাই,

x^{2}-\left ( 2+3 \right )\times x+6=0

বা, x^{2}-2x-3x+6=0

বা, x\left ( x-2 \right )-3\left ( x-2 \right )=0

বা, \left ( x-2 \right )\left ( x-3 \right )=0

দুই বা ততোধিক রাশির গুণফল শূন্য হলে তারা পৃথক পৃথক ভাবে শূন্য হয়।

সুতারাং,

\left ( x-2 \right )=0

\therefore x=2

আবার,

\left ( x-3 \right )=0

\therefore x=3

উত্তরঃ {\color{Blue} x^{2}-\left ( 2+b \right )x+6=0}  সমীকরণের  অপর বীজটির মান হবে 3 ।

Koshe dekhi 1.3 class 10

 

একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ : কষে দেখি - 1.3

Q11. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)

(iii)  2{{x}^{2}}+kx+4=0  সমীকরণের একটি বীজ  2  হলে, অপর বীজটির মান লিখি।

সমাধানঃ

2x^{2}+kx+4=0

প্রদত্ত সমীকরণে x=2  বসিয়ে পাই,

2\times 2^{2}+k\times 2+4=0

বা, 8+2k+4=0

বা, 12+2k=0

বা, 2k=-12

\therefore k=-\frac{12}{2}=-6

2x^{2}+kx+4=0 সমীকরণে k=-6 বসিয়ে পাই,

2x^{2}-6x+4=0

বা, 2x^{2}-4x-2x+4=0

বা, 2x\left ( x-2 \right )-2\left ( x-2 \right )=0

বা, \left ( x-2 \right )\left ( 2x-2 \right )=0

দুই বা ততোধিক রাশির গুণফল শূন্য হলে তারা পৃথক পৃথক ভাবে শূন্য হয়।

সুতারাং,

\left ( x-2 \right )=0

\therefore x=2

আবার,

\left ( 2x-2 \right )=0

বা, 2x=2

\therefore x=\frac{2}{2}=1

উত্তরঃ {\color{Blue} 2x^{2}+kx+4=0}  সমীকরণের  অপর বীজটির মান হবে 1 ।

Koshe dekhi 1.3 class 10

 

একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ : কষে দেখি - 1.3

Q11. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)

(iv) একটি প্রকৃত ভগ্নাংশ ও তার অনোন্যক এর অন্তর  \frac{9}{20} ; সমীকরণটি লিখি।

সমাধানঃ

ধরি, প্রকৃত ভগ্নাংশটি =\frac{x}{y}  [ অর্থাৎ, {\color{Blue} x<y} ]

∴ প্রকৃত ভগ্নাংশটির অনোন্যক হবে =\frac{y}{x}

প্রশ্নানুসারে, নির্ণেয় সমীকরণটি হবে, 

\frac{y}{x}-\frac{x}{y}=\frac{9}{20}{\color{Blue} \left [ \because \frac{y}{x}>\frac{x}{y} \right ]}

উত্তরঃ নির্ণেয় সমীকরণটি  হল   {\color{DarkGreen} \frac{y}{x}-\frac{x}{y}=\frac{9}{20}}

 

Note : ছাত্র-ছাত্রিদের  সুবিধার জন্য উপরের দ্বিঘাত সমীকরণটির সমাধান করে দেওয়া হল।

বা, \frac{y^{2}-x^{2}}{xy}=\frac{9}{20}

বা, 20y^{2}-20x^{2}=9xy

বা, -20x^{2}+20y^{2}-9xy=0

বা, 20x^{2}+9xy-20y^{2}=0

বা, 20x^{2}+25xy-16xy+20y^{2}=0

বা, 5x\left ( 4x+5y \right )-4y\left ( 4x+5y \right )=0

বা, \left ( 4x+5y \right )\left ( 5x-4y \right )=0 

\because দুই বা ততোধিক রাশির গুণফল শূন্য হলে তারা পৃথক পৃথক ভাবে শূন্য হয়।

সুতারাং,

\left ( 4x+5y \right )=0

বা, 4x=-5y

\therefore \frac{x}{y}=-\frac{5}{4}

আবার,

\left ( 5x-4y \right )=0

বা, 5x=4y

\therefore \frac{x}{y}=\frac{4}{5}

\because -\frac{5}{4}  একটি অপ্রকৃত ভগ্নাংশ

\therefore \frac{x}{y}\neq -\frac{5}{4}

সুতরাং, প্রকৃত ভগ্নাংশটি \left ( \frac{x}{y} \right ) হবে  \frac{4}{5}

Koshe dekhi 1.3 class 10

 

একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ : কষে দেখি - 1.3

Q11. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)

(v)  a{{x}^{2}}+bx+35=0  সমীকরণের বীজদ্বয়   −5  ও  −7  হলে,  a  এবং  b  এর মান লিখি।

সমাধানঃ

ax^{2}+bx+35=0 সমীকরণে x=-5 বসিয়ে পাই,

a\times \left ( -5 \right )^{2}+b\left ( -5 \right )+35=0

বা, 25a-5b+35=0

বা, 5\left ( 5a-b+7 \right )=0

বা, \left ( 5a-b+7 \right )=\frac{0}{5}=0

বা, 5a-b=-7 ……… (i)

ax^{2}+bx+35=0 সমীকরণে x=-7 বসিয়ে পাই,

a\times \left ( -7 \right )^{2}+b\left ( -7 \right )+35=0

বা, 49a-7b+35=0

বা, 7\left ( 7a-b+5 \right )=0

বা, \left ( 7a-b+5 \right )=\frac{0}{7}=0

বা, 7a-b=-5 ……… (ii)

(ii) নং সমীকরণ থেকে (i) নং সমীকরণ বিয়োগ করে পাই,

7a-b-5a+b=-5+7

বা, 2a=2

\therefore a=\frac{2}{2}=1

(i) নং সমীকরণে a=1 বসিয়ে পাই,

5\times 1-b=-7

বা, -b=-7-5

বা, -b=-12

\therefore b=12

উত্তরঃ নির্ণেয় a এর মান 1 ও b এর মান 12 ।

Koshe dekhi 1.3 class 10

Thank You 

7 thoughts on “Koshe dekhi 1.3 class 10”

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

Insert math as
Block
Inline
Additional settings
Formula color
Text color
#333333
Type math using LaTeX
Preview
\({}\)
Nothing to preview
Insert
error: Content is protected !!