class 9 Koshe dekhi 1.3

1. ভাগ না করে নীচের কোন সংখ্যাগুলির দশমিকে বিস্তার সসীম হবে লিখি।

(i) $\fn_cm {\color{Blue} \frac{17}{80}}$

(ii) $\fn_cm {\color{Blue} \frac{13}{24}}$

(iii) $\fn_cm {\color{Blue} \frac{17}{12}}$

(iv) $\fn_cm {\color{Blue} \frac{16}{125}}$

(v) $\fn_cm {\color{Blue} \frac{4}{35}}$

সমাধানঃ (i)

$\fn_cm \frac{17}{80}$ এর হর 80

এবং $80=2\times 2\times 2\times 2\times 5$ এর মৌলিক উৎপাদকে 2 ও 5 ছাড়া অন্য কোনো মৌলিক উৎপাদক নেই।

∴ $\fn_cm \frac{17}{80}$ কে দশমিকে প্রকাশ করলে একটি সসীম দশমিক সংখ্যা পাব।

সমাধানঃ (ii)

$\fn_cm \frac{13}{24}$ এর হর 24

এবং $24=2\times 2\times 2\times 3=2^{3}\times 3$ এর মৌলিক উৎপাদকে 2 ছাড়াও অন্য একটি মৌলিক উৎপাদক 3 আছে ।

∴ $\fn_cm \frac{13}{24}$ কে দশমিকে প্রকাশ করলে একটি সসীম দশমিক সংখ্যা পাব না ।

সমাধানঃ (iii)

$\fn_cm \frac{17}{12}$ এর হর 12

এবং $12=2\times 2\times 3=2^{2}\times 3$ এর মৌলিক উৎপাদকে 2 ছাড়াও অন্য একটি মৌলিক উৎপাদক 3 আছে ।

∴ $\fn_cm \frac{17}{12}$ কে দশমিকে প্রকাশ করলে একটি সসীম দশমিক সংখ্যা পাব না ।

সমাধানঃ (iv)

$\fn_cm \frac{16}{125}$ এর হর 125

এবং $125=5\times 5\times 5$ এর মৌলিক উৎপাদকে 5 ছাড়া অন্য কোনো মৌলিক উৎপাদক নেই।

∴ $\fn_cm \frac{16}{125}$ কে দশমিকে প্রকাশ করলে একটি সসীম দশমিক সংখ্যা পাব।

সমাধানঃ (v)

$\fn_cm \frac{4}{35}$ এর হর 35

এবং $35=5\times 7$ এর মৌলিক উৎপাদকে 5 ছাড়াও অন্য একটি মৌলিক উৎপাদক 7 আছে ।

∴ $\fn_cm \frac{4}{35}$ কে দশমিকে প্রকাশ করলে একটি সসীম দশমিক সংখ্যা পাব না ।

2. নীচের প্রত্যেক সংখ্যার দশমিকে বিস্তার করি ও কী ধরনের দশমিকে বিস্তার পাব লিখি।

(i) $\fn_cm {\color{Blue} \frac{1}{11}}$

(ii) $\fn_cm {\color{Blue} \frac{5}{8}}$

(iii) $\fn_cm {\color{Blue} \frac{3}{13}}$

(iv) $\fn_cm {\color{Blue} 3\frac{1}{8}}$

(v) $\fn_cm {\color{Blue} \frac{2}{11}}$

(vi) $\fn_cm {\color{Blue} \frac{7}{25}}$

সমাধানঃ

(i) $\fn_cm \frac{1}{11}$

= 0.090909…

${\color{DarkGreen} =\dot{0}\dot{9}}$ (আবৃত্ত দশমিক সংখ্যা )

সমাধানঃ

(ii) $\fn_cm \frac{5}{8}$

= 0.625 (সসীম দশমিক সংখ্যা )

সমাধানঃ

(iii) $\frac{3}{13}$

= 0.2307692307….

${\color{DarkGreen} =0.\dot{2}3076\dot{9}}$ (আবৃত্ত দশমিক সংখ্যা )

সমাধানঃ

(iv) $3\frac{1}{8}$

$=\frac{25}{8}$

= 3.125 (সসীম দশমিক সংখ্যা )

সমাধানঃ

(v) $\frac{2}{11}$

= 0.181818….

${\color{DarkGreen} =0.\dot{1}\dot{8}}$ (আবৃত্ত দশমিক সংখ্যা )

সমাধানঃ

(vi) $\frac{7}{25}$

= 0.28 (সসীম দশমিক সংখ্যা )

3. নীচের প্রতিটি সংখ্যা $\fn_cm {\color{Blue} \frac{p}{q}}$ আকার প্রকাশ করি, যেখানে p ও q পূর্ণসংখ্যা এবং q ≠ 0

(i) $\fn_cm {\color{Blue} 0.\dot{3}}$

(ii) $\fn_cm {\color{Blue} 1.\dot{3}}$

(iii) $\fn_cm {\color{Blue} 0.5\dot{4}}$

(iv) $\fn_cm {\color{Blue} 0.\dot{3}\dot{4}}$

(v) $\fn_cm {\color{Blue} 3.\dot{1}\dot{4}}$

(vi) $\fn_cm {\color{Blue} 0.1\dot{7}}$

(vii) $\fn_cm {\color{Blue} 0.4\dot{7}}$

(viii) $\fn_cm {\color{Blue} 0.\dot{5}\dot{4}}$

(ix) $\fn_cm {\color{Blue} 0.\dot{0}0\dot{1}}$

(x) $\fn_cm {\color{Blue} 0.\dot{1}6\dot{3}}$

সমাধানঃ (i)

$\fn_cm 0.\dot{3}$

$=\frac{3}{9}$

${\color{DarkGreen} =\frac{1}{3}}$

সমাধানঃ (ii)

$\fn_cm 1.\dot{3}$

$=\frac{13-1}{9}$

$=\frac{12}{9}$

${\color{DarkGreen} =\frac{4}{3}}$

সমাধানঃ (iii)

$\fn_cm 0.5\dot{4}$

$=\frac{54-5}{90}$

${\color{DarkGreen} =\frac{49}{90}}$

সমাধানঃ (iv)

$\fn_cm 0.\dot{3}\dot{4}$

${\color{DarkGreen} =\frac{34}{99}}$

সমাধানঃ (v)

$\fn_cm 3.\dot{1}\dot{4}$

$\fn_cm =3+0.\dot{1}\dot{4}$

$=3+\frac{14}{99}$

$=3\frac{14}{99}$

${\color{DarkGreen} =\frac{311}{99}}$

সমাধানঃ (vi)

$\fn_cm 0.1\dot{7}$

$=\frac{17-1}{90}$

$=\frac{16}{90}$

${\color{DarkGreen} =\frac{8}{45}}$

সমাধানঃ (vii)

$\fn_cm 0.4\dot{7}$

$=\frac{47-4}{90}$

${\color{DarkGreen} =\frac{43}{90}}$

সমাধানঃ (viii)

$\fn_cm 0.\dot{5}\dot{4}$

$=\frac{54}{99}$

${\color{DarkGreen} =\frac{6}{11}}$

সমাধানঃ (ix)

$\fn_cm 0.\dot{0}0\dot{1}$

${\color{DarkGreen} =\frac{1}{999}}$

সমাধানঃ (x)

$\fn_cm 0.\dot{1}6\dot{3}$

${\color{DarkGreen} =\frac{163}{999}}$

4. 4 টি সংখ্যা লিখি যাদের দশমিকে বিস্তার অসীম ও অনাবৃত্ত [Non-terminating and non-recuring]

সমাধানঃ

দশমিক বিস্তার অসীম ও অনাবৃত্ত [Non-terminating and non-recuring] এই রকম 4 টি সংখ্যা হল :

$\sqrt{5},\sqrt{11},\sqrt{13},\sqrt{17}$

5. $\fn_cm {\color{Blue} \frac{5}{7}}$ ও $\fn_cm {\color{Blue} \frac{9}{7}}$ এর মধ্যে 3 টি ভিন্ন অমূলদ সংখ্যা লিখি।

সমাধানঃ

$\frac{5}{7}=0.\dot{7}1428\dot{5}$ এবং

$\frac{9}{7}=1.\dot{2}8571\dot{4}$

$\fn_cm \frac{5}{7}$ ও $\fn_cm \frac{9}{7}$ এর মধ্যে 3 টি ভিন্ন অমূলদ সংখ্যা হল :

(i) 0.80800800080000……

(ii) 0.919119111911119…..

(iii) 0.959559555955559……

6. $\fn_cm {\color{Blue} \frac{3}{7}}$ ও $\fn_cm {\color{Blue} \frac{1}{11}}$ এর মধ্যে 2 টি ভিন্ন অমূলদ সংখ্যা লিখি।

সমাধানঃ

$\fn_cm \frac{3}{7}=0.\dot{4}2857\dot{1}$

এবং

$\fn_cm \frac{1}{11}=0.\dot{0}\dot{9}$

∴ $\fn_cm \frac{3}{7}$ ও $\fn_cm \frac{1}{11}$ এর মধ্যে 2 টি ভিন্ন অমূলদ সংখ্যা হল :

(i) 0.12122122212222…..

(ii) 0.373773777377779……

7. নীচের সংখ্যাগুলির মধ্যে কোনটি মূলদ সংখ্যা এবং কোনটি অমূলদ সংখ্যা লিখি।

(i) $\fn_cm {\color{Blue} \sqrt{47}}$

(ii) $\fn_cm {\color{Blue} \sqrt{625}}$

(iii) 6.5757…

(iv) 1.101001000100001…

সমাধানঃ (i)

$\fn_cm \sqrt{47}$ = অমূলদ সংখ্যা [ ${\color{Blue} \because\frac{p}{q} }$ আকারে প্রকাশ করা যায় না যেখানে, ${\color{Blue} q\neq 0}$ ]

সমাধানঃ (ii)

$\sqrt{625}=\sqrt{25\times 25}=25=\frac{25}{1}$ = মূলদ সংখ্যা [ ${\color{Blue} \because\frac{p}{q} }$ আকারে প্রকাশ করা যায় যেখানে, ${\color{Blue} q\neq 0}$ ]

সমাধানঃ (iii)

$6.5757...=6+0.5757...=6+\frac{57}{99}=6+0.\dot{5}\dot{7}=6.\dot{5}\dot{7}$

6.5757… একটি আবৃত দশমিক সংখ্যা। তাই এটি অবশ্যই মূলদ সংখ্যা।

সমাধানঃ (iv)

1.101001000100001… একটি অনাবৃত দশমিক সংখ্যা। তাই এটি অবশ্যই অমূলদ সংখ্যা।

8. সংখ্যারেখায় নীচের সংখ্যাগুলি স্থাপন করি :

(i) 5.762

(ii) 2.321

(iii) 1.052

(iv) 4.178

সমাধানঃ (i)

সমাধানঃ (ii)

সমাধানঃ (iii)

সমাধানঃ (iv)

9. $\fn_cm {\color{Blue} 2.\dot{2}\dot{6}}$ ও $\fn_cm {\color{Blue} 5.5\dot{4}}$ সংখ্যা 4 দশমিক স্থান পর্যন্ত সংখ্যারেখায় স্থাপন করি।

সমাধানঃ

10. 0.232332333233332… এবং 0.2121121112111112… সংখ্যা দুটির মধ্যে দুটি মূলদ সংখ্যা লিখি।

সমাধানঃ

0.232332333233332… এবং 0.2121121112111112… সংখ্যা দুটির মধ্যে দুটি মূলদ সংখ্যা হলঃ

0.22 এবং 0.23

11. 0.2101 এবং 0.2222…বা $\fn_cm {\color{Blue} 0.\dot{2}}$ এর মধ্যে দুটি মূলদ সংখ্যা লিখি।

সমাধানঃ

0.2101 এবং 0.2222…বা $\fn_cm 0.\dot{2}$ এর মধ্যে দুটি মূলদ সংখ্যা হলঃ

0.2 এবং 0.21

12. স্বাভাবিক সংখ্যা, অখণ্ড সংখ্যা, পুর্ণসংখ্যা, মূলদ সংখ্যা, অমূলদ সংখ্যা ও বাস্তব সংখ্যা নিয়ে দশটি সত্য বক্তব্য ও দশটি মিথ্যা বক্তব্য লিখি।

সমাধানঃ

দশটি সত্য বক্তব্য :

1.0 স্বাভাবিক সংখ্যা নয়।

2. ক্ষুদ্রতম স্বাভাবিক সংখ্যা হল 1

3. দুটি অখন্ড সংখ্যার গুনফল অখন্ড সংখ্যা হবে।

4. বাস্তব সংখ্যা অসীম।

5. যে সকল সংখ্যা কে $\frac{p}{q}$ আকারে প্রকাশ করা যায় যেখানে p এবং q ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা এবং $q\neq 0$ তাদের মূলদ সংখ্যা বলে।

6. সকল পূর্ণসংখ্যাই মূলদ সংখ্যা।

7. যে সকল সংখ্যা কে $\frac{p}{q}$ আকারে প্রকাশ করা যায় যেখানে p এবং q ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা এবং $q\neq 0$ তাদের মূলদ সংখ্যা বলে।8. সকল মূলদ ও অমূলদ সংখ্যাই বাস্তব সংখ্যা।

9. দুটি অমূলদ সংখ্যার বিয়োগফল সর্বদা অমূলদ হয় না।

10. শূন্য অপেক্ষা বড়ো পূর্ণসংখ্যাকে ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা এবং শূন্য অপেক্ষা ছোট পূর্ণসংখ্যাকে ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা বলে।

দশটি মিথ্যা বক্তব্য :

1.মূলদ সংখ্যা সসীম।

2. সকল বাস্তব সংখ্যার দশমিকে বিস্তার সম্ভব নয়।

3. প্রতিটি বাস্তব সংখ্যাই অমূলদ সংখ্যা হয় ।

4. দুটি অমূলদ সংখ্যার যোগফল সর্বদা অমূলদ সংখ্যা হয় ।

5. দুটি অমূলদ সংখ্যার বিয়োগফল সর্বদা অমূলদ সংখ্যা হয় ।

6. দুটি অমূলদ সংখ্যার গুনফল সর্বদা অমূলদ সংখ্যা হয় ।

7. 0 স্বাভাবিক সংখ্যা ।

8. $\sqrt{9}$ একটি অমূলদ সংখ্যা।

9. দুটি মূলদ সংখ্যার মধ্যেএকটি মাত্র অমূলদ সংখ্যা থাকে।

10.দুটি অমূলদ সংখ্যার মধ্যে কোনো অমূলদ সংখ্যা থাকে না।

13. একটি গুণ করতে 2 টাকা ও একটি যােগ করতে 1 টাকা লাগলে নীচের সংখ্যামালাগুলির মান নির্ণয় করতে কত টাকা লাগবে দেখি এবং কী নিয়ম ব্যবহার করে সবচেয়ে কম কত টাকায় সংখ্যামালাটির মান বার করা যায় লেখি :

$\fn_cm {\color{Blue} \left ( i \right )3x^{2}+2x+1}$ , যখন $\fn_cm {\color{Blue} x=5}$

$\fn_cm {\color{Blue} \left ( ii \right )2x^{3}+3x^{2}+2x+3,}$ যখন $\fn_cm {\color{Blue} x=7}$

(সংকেত: $\fn_cm 3\times 5^{2}+2\times 5+1=3\times 5\times 5+2\times 5+1$ , এখানে দেখছি 3 টি গুণ ও 2 টো যােগ করতে লাগছে তাই মােট 8 টাকা লাগছে।

কিন্তু যদি বিচ্ছেদ নিয়ম প্রয়ােগ করে, $\fn_cm 3x^{2}+2x+1=x(3x+2)+1$ , লিখি তবে 2 টো গুণ ও 2 টো যোগ করাতে হচ্ছে, তাই 6 টাকা লাগছে।)

সমাধানঃ

$\fn_cm {\color{Blue} \left ( i \right )3x^{2}+2x+1}$ , যখন $\fn_cm {\color{Blue} x=5}$

$\fn_cm 3\times 5^{2}+2\times 5+1=3\times 5\times 5+2\times 5+1$ , এখানে দেখছি 3 টি গুণ ও 2 টো যােগ করতে লাগছে তাই মােট 8 টাকা লাগছে।

কিন্তু যদি বিচ্ছেদ নিয়ম প্রয়ােগ করে, $\fn_cm 3x^{2}+2x+1=x(3x+2)+1$ , লিখি তবে 2 টো গুণ ও 2 টো যোগ করাতে হচ্ছে, তাই 6 টাকা লাগছে।

এক্ষেত্রে, বিচ্ছেদ নিয়ম প্রয়ােগ করলে সবচেয়ে কম টাকা লাগবে।

$\fn_cm {\color{Blue} \left ( ii \right )2x^{3}+3x^{2}+2x+3,}$ যখন $\fn_cm {\color{Blue} x=7}$

$\fn_cm 2\times 7^{3}+3\times 7^{2}+2\times 7+3=2\times 7\times 7\times 7+3\times 7\times 7+2\times 7+3$ , এখানে দেখছি 6 টি গুণ ও 3 টো যােগ করতে লাগছে তাই $\left ( 6\times 2+3\times 1 \right )=15$ টাকা লাগছে।

কিন্তু

$\fn_cm 2x^{3}+3x^{2}+2x+3$

$\fn_cm =2x^{3}+2x+3x^{2}+3$

$=2x\left ( x^{2}+1 \right )+3\left ( x^{2}+1 \right )$

$=\left ( x^{2}+1 \right )\left ( 2x+3 \right )$

যদি বিচ্ছেদ নিয়ম প্রয়ােগ হয়, $\left ( 7\times 7+1 \right )\times \left ( 2\times 7+3 \right )$ , তবে 3 টে গুণ ও 2 টো যোগ করতে হচ্ছে, তাই $\left ( 3\times 2+2\times 1 \right )=8$ টাকা লাগছে।

এক্ষেত্রে, বিচ্ছেদ নিয়ম প্রয়ােগ করলে সবচেয়ে কম টাকা লাগবে।

14. বহু বিকীয় প্রশ্ন (M.C.Q.) :

(i) $\fn_cm {\color{Blue} \sqrt{5}}$ -এর দশমিক বিস্তার

(a) একটি সীম দশমিক

(b) একটি সামি আথবা আবু দশমিক

(d) কোনােটিই নয়।

সমাধানঃ

(ii) দুটি অমূলদ সংখ্যার গুণফল

(a) সর্বদাই অমূলদ সংখ্যা

(b) সর্বদাই মূলদ সংখ্যা

(d) মূলদ কিংবা অমূলদ সংখ্যা

সমাধানঃ

(d) মূলদ কিংবা অমূলদ সংখ্যা

(iii) $\fn_cm {\color{Blue} \pi}$ এবং $\fn_cm {\color{Blue} \frac{22}{7}}$

(a) দুটি মূলদ সংখ্যা

(b) দুটিই অমূলদ সংখ্যা

(d) π অমূলদ সংখ্যা এবং $\frac{22}{7}$ মূলদ সংখ্যা

সমাধানঃ

(d) ${\color{DarkGreen} \pi }$ অমূলদ সংখ্যা এবং $\fn_cm {\color{DarkGreen} \frac{22}{7}}$ মূলদ সংখ্যা

(iv) দুটি মূলদ সংখ্যার মধ্যে

(a) কোনাে মূলদ সংখ্যা নেই

(b) একটি মাত্র মূলদ সংখ্যা আছে

(d) কোনাে অমূলদ সংখ্যা নেই

সমাধানঃ

(v) দুটি অমূলদ সংখ্যার মধ্যে

(a) কোনাে মূলদ সংখ্যা নেই

(b) একটি মাত্র অমূলদ সংখ্যা আছে

(d) কোনাে অমূলদ সংখ্যা নেই

সমাধানঃ

(vi) 0 সংখ্যাটি

(a) অখণ্ড সংখ্যা কিন্তু পূর্ণসংখ্যা নয়

(b) পূর্ণসংখ্যা কিন্তু মূলদ সংখ্যা নয়

(d) অখণ্ড সংখ্যা, পূর্ণসংখ্যা, মূলদ সংখ্যা এবং বাস্তব সংখ্যা কিন্তু অমূলদ সংখ্যা নয়।

সমাধানঃ

15. সংক্ষিপ্ত উত্তরভিত্তিক প্রশ্ন :

(i) একটি উদাহরণ লিখি যেখানে দুটি অমূলদ সংখ্যার যােগফল একটি মূলদ সংখ্যা।

সমাধানঃ

দুটি অমূলদ সংখ্যা $\sqrt{7}$ এবং $-\left ( \sqrt{7} \right )$

অমূলদ সংখ্যা দুটির যােগফল $=\sqrt{7}+\left ( -\sqrt{7} \right )=\sqrt{7}-\sqrt{7}=0$ = মূলদ সংখ্যা

(ii) একটি উদাহরণ লিখি যেখানে দুটি অমূলদ সংখ্যার বিয়ােগফল একটি মূলদ সংখ্যা।

সমাধানঃ

দুটি অমূলদ সংখ্যা $\left ( 3+\sqrt{3} \right )$ এবং $\left ( 3-\sqrt{3} \right )$

অমূলদ সংখ্যা দুটির বিয়ােগফল $=\left (3+\sqrt{3} \right )-\left ( 3-\sqrt{3} \right )=3^{3}-\left (\sqrt{3} \right )^{2}=27-3=24$ = মূলদ সংখ্যা।

(iii) $\fn_cm {\color{Blue} \frac{1}{7}}$ এবং $\fn_cm {\color{Blue} \frac{2}{7}}$ -এর মধ্যে একটি মূলদ সংখ্যা লিখি।

সমাধানঃ

$\fn_cm \frac{1}{7}$ এবং $\fn_cm \frac{2}{7}$ -এর মধ্যে একটি মূলদ সংখ্যা হলঃ

$\frac{1}{2}\left ( \frac{1}{7}+\frac{2}{7} \right )$

$=\frac{1}{2}\left ( \frac{1+2}{7} \right )$

$=\frac{1}{2}\times \frac{3}{7}$

$=\frac{3}{14}$

(iv) $\fn_cm {\color{Blue} \frac{1}{7}}$ এবং $\fn_cm {\color{Blue} \frac{2}{7}}$ -এর মধ্যে একটি অমূলদ সংখ্যা লিখি।

সমাধানঃ

$\frac{1}{7}=0.\dot{1}4285\dot{7}$

$\frac{2}{7}=0.\dot{2}8571\dot{4}$

$\fn_cm \frac{1}{7}$ এবং $\fn_cm \frac{2}{7}$ -এর মধ্যবর্তী অমূলদ সংখ্যা এমন একটি সংখ্যা হবে যা অসীম ও অনাবৃত। ∴ $\fn_cm \frac{1}{7}$ এবং $\fn_cm \frac{2}{7}$ -এর মধ্যবর্তী একটি অমূলদ সংখ্যা হল 0.15155155515555…… (উত্তর)

(v) $\fn_cm {\color{Blue} 0.12\dot{3}}$ আবৃত্ত দশমিক সংখ্যাকে সামান্য ভগ্নাংশে লিখি।

সমাধানঃ

$\fn_cm 0.12\dot{3}$

$=\frac{123-12}{900}$

$=\frac{111}{900}$

$\fn_cm {\color{DarkGreen} 0.12\dot{3}}$ আবৃত্ত দশমিক সংখ্যাকে সামান্য ভগ্নাংশে প্রকাশ করলে হয় ${\color{DarkGreen} \frac{111}{900}}$