Thu. Jul 18th, 2024

Koshe Dekhi 4 Class 9

Koshe Dekhi 4 Class 9

1.মূলবিন্দু থেকে নীচের বিন্দুগুলির দূরত্ব নির্ণয় করি :

(i) (7, −24)

সমাধানঃ 

মূলবিন্দু (0,0) থেকে (7, −24) বিন্দুর দূরত্ব

=\sqrt{\left ( 7-0 \right )^{2}+\left ( -24-0 \right )^{2}}

=\sqrt{\left ( 7 \right )^{2}+\left (24 \right )^{2}}

=\sqrt{49+576}

=\sqrt{625}

= 25 একক

 

(ii) (3, −4)

সমাধানঃ 

মূলবিন্দু (0,0) থেকে (3, −4) বিন্দুর দূরত্ব

=\sqrt{\left ( 3-0 \right )^{2}+\left ( -4-0 \right )^{2}}

=\sqrt{\left ( 3 \right )^{2}+\left (4 \right )^{2}}

=\sqrt{9+16}

=\sqrt{25}

= 5 একক

 

(iii) (a + b, a − b)

সমাধানঃ 

মূলবিন্দু (0,0) থেকে (a + b, a − b) বিন্দুর দূরত্ব

=\sqrt{\left ( a+b-0 \right )^{2}+\left ( a-b-0 \right )^{2}}

=\sqrt{\left ( a+b \right )^{2}+\left ( a-b \right )^{2}}

=\sqrt{a^{2}+2ab+b^{2}+a^{2}-2ab+b^{2}}

{\color{DarkGreen} =\sqrt{2\left ( a^{2}+b^{2} \right )}} একক

 

2. নীচের বিন্দুযুগলগুলির মধ্যে দূরত্ব নির্ণয় করি :

(i) (5, 7) এবং (8, 3)

সমাধানঃ 

(5, 7) এবং (8, 3) বিন্দুযুগলের মধ্যে দূরত্ব

=\sqrt{\left ( 5-8 \right )^{2}+\left ( 7-3 \right )^{2}}

=\sqrt{\left ( -3 \right )^{2}+\left ( 4 \right )^{2}}

=\sqrt{9+16}

=\sqrt{25}

= 5 একক

 

(ii) (7, 0) এবং (2, −12)

সমাধানঃ 

(7, 0) এবং (2, −12) বিন্দুযুগলের মধ্যে দূরত্ব

=\sqrt{\left ( 7-2 \right )^{2}+\left ( 0+12 \right )^{2}}

=\sqrt{\left ( 5 \right )^{2}+\left ( 12 \right )^{2}}

\small =\sqrt{25+144}

=\sqrt{169}

= 13 একক

 

(iii) \fn_cm {\color{Blue} \left ( -\frac{3}{2},0 \right )} এবং \fn_cm {\color{Blue} \left ( 0,-2 \right )}

সমাধানঃ 

\fn_cm \left ( -\frac{3}{2},0 \right ) এবং \fn_cm \left ( 0,-2 \right ) বিন্দুযুগলের মধ্যে দূরত্ব

=\sqrt{\left ( -\frac{3}{2}-0\right )^{2}+\left ( 0+2 \right )^{2}}

=\sqrt{\left ( \frac{3}{2} \right )^{2}+\left ( 2 \right )^{2}}

=\sqrt{\frac{9}{4}+4}

=\sqrt{\frac{9+16}{4}}

=\sqrt{\frac{25}{4}}

=\frac{5}{2}

= 2.5 একক 

 

(iv) (3, 6) এবং (−2, −6)

সমাধানঃ 

(3, 6) এবং (−2, −6) বিন্দুযুগলের মধ্যে দূরত্ব

=\sqrt{\left ( 3+2 \right )^{2}+\left ( 6+6 \right )^{2}}

=\sqrt{\left ( 5 \right )^{2}+\left ( 12 \right )^{2}}

\small =\sqrt{25+144}

=\sqrt{169}

= 13 একক

 

(v) (1, −3) এবং (8, 3)

সমাধানঃ 

(1, −3) এবং (8, 3) বিন্দুযুগলের মধ্যে দূরত্ব

=\sqrt{\left ( 1-8 \right )^{2}+\left ( -3-3 \right )^{2}}

=\sqrt{\left ( -7 \right )^{2}+\left ( -6 \right )^{2}}

=\sqrt{49+36}

{\color{DarkGreen} =\sqrt{85}} একক 

 

(vi) (5, 7) এবং (8, 3)

সমাধানঃ 

(5, 7) এবং (8, 3) বিন্দুযুগলের মধ্যে দূরত্ব

=\sqrt{\left ( 5-8 \right )^{2}+\left ( 7-3 \right )^{2}}

=\sqrt{\left ( -3 \right )^{2}+\left ( 4 \right )^{2}}

=\sqrt{9+16}

=\sqrt{25}

= 5 একক

 

3. প্রমাণ করি যে, (−2, −11) বিন্দুটি (−3, 7) ও (4, 6) বিন্দুদ্বয় থেকে সমদূরবর্তী।

সমাধানঃ 

ধরি, A (−2, −11) , B (−3, 7)  এবং C (4, 6) তিনটি বিন্দু। 

AB বাহুর দৈর্ঘ্য 

\small =\sqrt{\left ( -2+3 \right )^{2}+\left ( -11-7 \right )^{2}}

\small =\sqrt{\left ( 1 \right )^{2}+\left ( -18 \right )^{2}}

\small =\sqrt{1+324}

\small =\sqrt{325} একক 

 

AC বাহুর দৈর্ঘ্য 

\small =\sqrt{\left ( -2-4 \right )^{2}+\left ( -11-6 \right )^{2}}

\small =\sqrt{\left ( -6 \right )^{2}+\left ( -17 \right )^{2}}

\small =\sqrt{36+289}

\small =\sqrt{325} একক 

যেহেতু, AB = AC

(−2, −11) বিন্দুটি (−3, 7) ও (4, 6) বিন্দুদ্বয় থেকে সমদূরবর্তী। (প্রমাণিত)

 

4. হিসাব করে দেখাই যে (7, 9), (3, −7) এবং (−3, 3) বিন্দুগুলি একটি সমকোণী ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু।

সমাধানঃ 

ধরি, A (7, 9), B (3, −7)  এবং C (−3, 3) ত্রিভুজের তিনটি শীর্ষবিন্দু

AB বাহুর দৈর্ঘ্য 

\small =\sqrt{\left ( 7-3 \right )^{2}+\left ( 9+7 \right )^{2}}

\small =\sqrt{\left ( 4 \right )^{2}+\left ( 16 \right )^{2}}

\small =\sqrt{16+256}

\small =\sqrt{272} একক 

 

BC বাহুর দৈর্ঘ্য 

\small =\sqrt{\left ( 3+3 \right )^{2}+\left ( -7-3 \right )^{2}}

\small =\sqrt{\left ( 6 \right )^{2}+\left ( -10 \right )^{2}}

\small =\sqrt{36+100}

\small =\sqrt{136} একক 

 

AC বাহুর দৈর্ঘ্য 

\small =\sqrt{\left ( 7+3 \right )^{2}+\left ( 9-3 \right )^{2}}

\small =\sqrt{\left ( 10 \right )^{2}+\left ( 6 \right )^{2}}

\small =\sqrt{100+36}

\small =\sqrt{136} একক 

 

এখন,

\small AB=\sqrt{272}

বা, \small \left ( AB \right )^{2}=272

আবার, 

\small \left ( BC \right )^{2}+\left ( AC \right )^{2}

\small =\left (\sqrt{136} \right )^{2}+\left (\sqrt{136} \right )^{2}

= 136 + 136

= 272

\small \because \left ( AB \right )^{2}=\left ( BC \right )^{2}+\left ( AC \right )^{2}

∴ (7, 9), (3, −7) এবং (−3, 3) বিন্দুগুলি একটি সমকোণী ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু।(প্রমাণিত)

 

5. প্ৰমাণ করি যে উভয়ক্ষেত্রে নীচের বিন্দু তিনটি একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু

(i) (1, 4), (4, 1) ও (8, 8)

সমাধানঃ 

ধরি, A (1, 4), B (4, 1)  এবং C (8, 8) ত্রিভুজের তিনটি শীর্ষবিন্দু

AB বাহুর দৈর্ঘ্য 

\small =\sqrt{\left ( 1-4 \right )^{2}+\left ( 4-1 \right )^{2}}

\small =\sqrt{\left ( -3 \right )^{2}+\left ( 3 \right )^{2}}

\small =\sqrt{9+9}

\small =\sqrt{18} একক 

 

BC বাহুর দৈর্ঘ্য 

\small =\sqrt{\left ( 4-8 \right )^{2}+\left ( 1-8 \right )^{2}}

\small =\sqrt{\left ( -4 \right )^{2}+\left ( -7 \right )^{2}}

\small =\sqrt{16+49}

\small =\sqrt{65} একক 

 

AC বাহুর দৈর্ঘ্য 

\small =\sqrt{\left ( 1-8 \right )^{2}+\left ( 4-8 \right )^{2}}

\small =\sqrt{\left ( -7 \right )^{2}+\left ( -4 \right )^{2}}

\small =\sqrt{49+16}

\small =\sqrt{65} একক 

এখন,

যেহেতু, BC = AC

(1, 4), (4, 1) ও (8, 8) বিন্দু তিনটি একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু।(প্রমাণিত)

 

(ii) (−2, −2), (2, 2) ও (4, −4)

সমাধানঃ 

ধরি, A (−2, −2), B (2, 2) এবং C (4, −4) ত্রিভুজের তিনটি শীর্ষবিন্দু

AB বাহুর দৈর্ঘ্য 

\small =\sqrt{\left ( -2-2 \right )^{2}+\left ( -2-2 \right )^{2}}

\small =\sqrt{\left ( -4 \right )^{2}+\left ( -4 \right )^{2}}

\small =\sqrt{16+16}

\small =\sqrt{32} একক 

 

BC বাহুর দৈর্ঘ্য 

\small =\sqrt{\left ( 2-4 \right )^{2}+\left ( 2+4 \right )^{2}}

\small =\sqrt{\left ( -2 \right )^{2}+\left ( 6 \right )^{2}}

\small =\sqrt{4+36}

\small =\sqrt{40} একক 

 

AC বাহুর দৈর্ঘ্য 

\small =\sqrt{\left ( -2-4 \right )^{2}+\left ( -2+4 \right )^{2}}

\small =\sqrt{\left ( -6 \right )^{2}+\left ( 2 \right )^{2}}

\small =\sqrt{36+4}

\small =\sqrt{40} একক 

 

এখন,

যেহেতু, BC = AC

(−2, −2), (2, 2) এবং (4, −4) বিন্দু তিনটি একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু।(প্রমাণিত)

 

6. প্রমাণ করি যে A (3, 3), B (8, −2) ও C (−2, −2) বিন্দু তিনটি একটি সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু৷ ΔABC-এর অতিভুজের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি।

সমাধানঃ 

প্রদত্ত, A (3, 3), B (8, −2) এবং C (−2, −2) ত্রিভুজের তিনটি শীর্ষবিন্দু

AB বাহুর দৈর্ঘ্য 

\small =\sqrt{\left ( 3-8 \right )^{2}+\left ( 3+2 \right )^{2}}

\small =\sqrt{\left ( -5 \right )^{2}+\left ( 5 \right )^{2}}

\small =\sqrt{25+25}

\small =\sqrt{50} একক 

 

BC বাহুর দৈর্ঘ্য 

\small =\sqrt{\left ( 8+2 \right )^{2}+\left ( -2+2 \right )^{2}}

\small =\sqrt{\left ( 10 \right )^{2}+\left ( 0 \right )^{2}}

\small =\sqrt{100}

= 10 একক 

 

AC বাহুর দৈর্ঘ্য 

\small =\sqrt{\left ( 3+2 \right )^{2}+\left ( 3+2 \right )^{2}}

\small =\sqrt{\left ( 5 \right )^{2}+\left ( 5 \right )^{2}}

\small =\sqrt{25+25}

\small =\sqrt{50} একক 

 

এখন,

\small AB=\sqrt{50}

বা, \small \left ( AB \right )^{2}=50

আবার, 

\small AC=\sqrt{50}

বা, \small \left ( AC \right )^{2}=50

 

\small \left ( AB \right )^{2}+\left ( AC \right )^{2}

\small =\left (\sqrt{50} \right )^{2}+\left (\sqrt{50} \right )^{2}

= 50 + 50

= 100

\small =\left ( 10 \right )^{2}

\small =\left ( BC \right )^{2}

\small \because \left ( BC \right )^{2}=\left ( AB \right )^{2}+\left ( AC \right )^{2} [অর্থাৎ, সমকোণী ত্রিভুজ ]

এবং AB = AC [অর্থাৎ, সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ ]

A (3, 3), B (8, −2) এবং C (−2, −2) বিন্দুগুলি একটি সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু । (প্রমাণিত)

ΔABC-এর অতিভুজের দৈর্ঘ্য 10 একক। 

 

7. হিসাব করে দেখাই যে, (2, 1), (0, 0), (−1, 2) এবং (1, 3) বিন্দুগুলি একটি বর্গক্ষেত্রের চারটি কৌণিকবিন্দু৷

সমাধানঃ 

ধরি, A (2, 1), B (0, 0),C (−1, 2) এবং D (1, 3)

AB বাহুর দৈর্ঘ্য 

\small =\sqrt{\left ( 2-0 \right )^{2}+\left ( 1-0 \right )^{2}}

\small =\sqrt{\left ( 2 \right )^{2}+\left ( 1 \right )^{2}}

\small =\sqrt{4+1}

\small =\sqrt{5} একক 

 

BC বাহুর দৈর্ঘ্য 

\small =\sqrt{\left ( 0+1 \right )^{2}+\left ( 0-2 \right )^{2}}

\small =\sqrt{\left ( 1 \right )^{2}+\left ( -2 \right )^{2}}

\small =\sqrt{1+4}

\small =\sqrt{5} একক 

 

CD বাহুর দৈর্ঘ্য

\small =\sqrt{\left ( -1-1 \right )^{2}+\left ( 2-3 \right )^{2}}

\small =\sqrt{\left ( -2 \right )^{2}+\left ( -1 \right )^{2}}

\small =\sqrt{4+1}

\small =\sqrt{5} একক 

 

DA বাহুর দৈর্ঘ্য 

\small =\sqrt{\left ( 1-2 \right )^{2}+\left ( 3-1 \right )^{2}}

\small =\sqrt{\left ( -1 \right )^{2}+\left ( 2 \right )^{2}}

\small =\sqrt{1+4}

\small =\sqrt{5} একক 

 

এখন,

যেহেতু, AB = BC = CD = DA

(2, 1), (0, 0), (−1, 2) এবং (1, 3) বিন্দুগুলি একটি বর্গক্ষেত্রের চারটি কৌণিকবিন্দু ৷ (প্রমাণিত)

 

8. হিসাব করে দেখি y -এর মান কী হলে (2, y) এবং (10, −9) বিন্দুদ্বয়ের দূরত্ব 10 একক হবে।

সমাধানঃ 

প্রদত্ত,

(2, y) এবং (10, −9) বিন্দুদ্বয়ের দূরত্ব 10 একক

\small \therefore \sqrt{\left ( 2-10 \right )^{2}+\left ( y+9 \right )^{2}}=10

বা, \small \sqrt{\left ( -8 \right )^{2}+y^{2}+18y+81}=10

বা, \small \sqrt{64+y^{2}+18y+81}=10

বা, \small y^{2}+18y+145=100    [উভয়পক্ষে বর্গ করে পাই ]

বা, \small y^{2}+18y+45=0

বা, \small y^{2}+15y+3y+45=0

বা, \small y\left ( y+15 \right )+3\left ( y+15 \right )=0

বা, \small \left ( y+15 \right )\left ( y+3 \right )=0

দুই বা ততোধিক রাশির গুনফল শূন্য হলে তারা পৃথক পৃথক ভাবে শূন্য হয়। 

\small y+15=0

বা, \small y=-15

অথবা 

\small y+3=0

বা, \small y=-3

উত্তরঃ y -এর মান −3 ও −15

 

9. x-অক্ষের উপর এমন একটি বিন্দু খুঁজি যা (3, 5) ও (1, 3) বিন্দুদুটি থেকে সমদূরবর্তী।

সমাধানঃ 

ধরি, x-অক্ষের উপর অবস্থিত একটি বিন্দু হল (a,0)

[ Note: x-অক্ষের উপর অবস্থিত যেকোনো বিন্দুর y = 0 হয় ]

প্রশ্নানুসারে,

\sqrt{\left ( 3-a \right )^{2}+\left ( 5-0 \right )^{2}}=\sqrt{\left ( 1-a \right )^{2}+\left ( 3-0 \right )^{2}}

উভয়পক্ষে বর্গ করে পাই,

বা, \left ( 3-a \right )^{2}+\left ( 5-0 \right )^{2}=\left ( 1-a \right )^{2}+\left ( 3-0 \right )^{2}

বা, 9-6a+a^{2}+25+0=1-2a+a^{2}+9+0

বা, 9-6a+a^{2}+25-1+2a-a^{2}-9=0

বা, − 4a + 24 = 0

বা, − 4a = − 24 

বা, a=\frac{-24}{-4}

∴ a = 6

উত্তরঃ x-অক্ষের উপর অবস্থিত বিন্দুটি হল (6,0)

 

10. O (0, 0), A (4, 3) এবং B (8, 6) বিন্দু তিনটি সমরেখ কিনা হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ 

OA + AB = OB হলে তবেই বিন্দু তিনটি সমরেখ হবে। 

এখন,

OA=\sqrt{\left ( 0-4 \right )^{2}+\left ( 0-3 \right )^{2}}

=\sqrt{\left ( -4 \right )^{2}+\left ( -3 \right )^{2}}

=\sqrt{16+9}

=\sqrt{25}

= 5 একক

 

AB=\sqrt{\left ( 4-8 \right )^{2}+\left ( 3-6 \right )^{2}}

=\sqrt{\left ( -4 \right )^{2}+\left ( -3 \right )^{2}}

=\sqrt{16+9}

=\sqrt{25}

= 5 একক

 

এবং 

OB=\sqrt{\left ( 0-8 \right )^{2}+\left ( 0-6 \right )^{2}}

=\sqrt{\left ( -8 \right )^{2}+\left ( -6 \right )^{2}}

=\sqrt{64+36}

=\sqrt{100}

= 10 একক

 

OA + AB

= ( 5 + 5 ) একক

= 10 একক

= OB

O (0, 0), A (4, 3) এবং B (8, 6) বিন্দু তিনটি সমরেখ। (প্রমাণিত)

 

11. দেখাই যে, ( 2, 2 ) ; ( −2, −2 ) এবং \fn_cm {\color{Blue} \left ( -2\sqrt{3},2\sqrt{3} \right )} বিন্দু তিনটি একটি সমবাহু ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু

সমাধানঃ 

প্রদত্ত, A ( 2, 2 ), B (−2, −2) এবং C \fn_cm \left ( -2\sqrt{3},2\sqrt{3} \right ) ত্রিভুজের তিনটি শীর্ষবিন্দু

AB বাহুর দৈর্ঘ্য 

\small =\sqrt{\left ( 2+2 \right )^{2}+\left ( 2+2 \right )^{2}}

=\sqrt{\left ( 4 \right )^{2}+\left ( 4 \right )^{2}}

\small =\sqrt{16+16}

\small =\sqrt{32} একক 

 

BC বাহুর দৈর্ঘ্য 

=\sqrt{\left ( -2+2\sqrt{3} \right )^{2}+\left ( -2-2\sqrt{3} \right )^{2}}

=\sqrt{\left ( 4-8\sqrt{3}+12 \right )+\left ( 4+8\sqrt{3}+12 \right )}

\small =\sqrt{16+16}

\small =\sqrt{32} একক 

 

AC বাহুর দৈর্ঘ্য 

=\sqrt{\left ( 2+2\sqrt{3} \right )^{2}+\left ( 2-2\sqrt{3} \right )^{2}}

=\sqrt{\left ( 4+8\sqrt{3}+12 \right )+\left ( 4-8\sqrt{3}+12 \right )}

\small =\sqrt{16+16}

\small =\sqrt{32} একক 

 

যেহেতু, AB = BC = AC 

∴ ( 2, 2 ) ; ( −2, −2 ) এবং \fn_cm {\color{DarkGreen} \left ( -2\sqrt{3},2\sqrt{3} \right )} বিন্দু তিনটি একটি সমবাহু ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু(প্রমাণিত)

 

12. দেখাই যে, (−7, 12), (19, 18), (15, −6) এবং (−11, −12) বিন্দুগুলি পরপর যােগ করলে একটি সামান্তরিক উৎপন্ন হয়।

সমাধানঃ 

ধরি, A (−7, 12), B (19, 18), C (15, −6) এবং D (−11, −12)

AB বাহুর দৈর্ঘ্য 

=\sqrt{\left ( -7-19 \right )^{2}+\left ( 12-18 \right )^{2}}

=\sqrt{\left ( -26 \right )^{2}+\left ( -6 \right )^{2}}

\small =\sqrt{676+36}

\small =\sqrt{712} একক 

 

BC বাহুর দৈর্ঘ্য 

\small =\sqrt{\left ( 19-15 \right )^{2}+\left ( 18+6 \right )^{2}}

=\sqrt{\left ( 4 \right )^{2}+\left ( 24 \right )^{2}}

=\sqrt{16+576}

=\sqrt{592} একক 

 

CD বাহুর দৈর্ঘ্য

=\sqrt{\left ( 15+11 \right )^{2}+\left ( -6+12 \right )^{2}}

=\sqrt{\left ( 26 \right )^{2}+\left ( 6 \right )^{2}}

\small =\sqrt{676+36}

\small =\sqrt{712} একক 

 

DA বাহুর দৈর্ঘ্য 

=\sqrt{\left ( -11+7 \right )^{2}+\left ( 12+12 \right )^{2}}

=\sqrt{\left ( -4 \right )^{2}+\left ( 24 \right )^{2}}

=\sqrt{16+576}

=\sqrt{592} একক 

 

AC কর্ণের দৈর্ঘ্য

=\sqrt{\left ( -7-15 \right )^{2}+\left ( 12+6 \right )^{2}}

=\sqrt{\left ( -22 \right )^{2}+\left ( 18 \right )^{2}}

\small =\sqrt{484+324}

=\sqrt{808} একক 

 

BD কর্ণের দৈর্ঘ্য

=\sqrt{\left ( 19+11 \right )^{2}+\left ( 18+12 \right )^{2}}

=\sqrt{\left ( 30 \right )^{2}+\left ( 30 \right )^{2}}

=\sqrt{900+900}

\small =\sqrt{1800} একক 

 

এখন,

যেহেতু, AB = CD ও BC  = DA এবং AC\neq BD

অর্থাৎ, বিপরীত বাহুদ্বয় পরস্পর সমান এবং কর্ণদ্বয় পরস্পর অসমান। 

(−7, 12), (19, 18), (15, −6) এবং (−11, −12) বিন্দুগুলি পরপর যােগ করলে একটি সামান্তরিক উৎপন্ন হয় ৷ (প্রমাণিত)

 

13. দেখাই যে, (2, −2), (8, 4), (5, 7) এবং (−1, 1) বিন্দুগুলি একটি আয়তক্ষেত্রের শীর্ষবিন্দু।

সমাধানঃ 

ধরি, A (2, −2), B (8, 4), C (5, 7) এবং D (−1, 1)

AB বাহুর দৈর্ঘ্য 

=\sqrt{\left ( 2-8 \right )^{2}+\left ( -2-4 \right )^{2}}

=\sqrt{\left ( -6 \right )^{2}+\left ( -6 \right )^{2}}

=\sqrt{36+36}

=\sqrt{72} একক 

 

BC বাহুর দৈর্ঘ্য 

\small =\sqrt{\left ( 8-5 \right )^{2}+\left ( 4-7 \right )^{2}}

=\sqrt{\left ( 3 \right )^{2}+\left ( -3 \right )^{2}}

=\sqrt{9+9}

=\sqrt{18} একক 

 

CD বাহুর দৈর্ঘ্য

=\sqrt{\left ( 5+1 \right )^{2}+\left ( 7-1 \right )^{2}}

=\sqrt{\left ( 6 \right )^{2}+\left ( 6 \right )^{2}}

=\sqrt{36+36}

=\sqrt{72} একক 

 

DA বাহুর দৈর্ঘ্য 

=\sqrt{\left ( -1-2 \right )^{2}+\left ( 1+2 \right )^{2}}

=\sqrt{\left ( -3 \right )^{2}+\left ( 3 \right )^{2}}

=\sqrt{9+9}

=\sqrt{18} একক 

 

AC কর্ণের দৈর্ঘ্য

=\sqrt{\left ( 2-5 \right )^{2}+\left ( -2-7 \right )^{2}}

=\sqrt{\left ( -3 \right )^{2}+\left ( -9 \right )^{2}}

=\sqrt{9+81}

=\sqrt{90} একক 

 

BD কর্ণের দৈর্ঘ্য

=\sqrt{\left ( 8+1 \right )^{2}+\left ( 4-1 \right )^{2}}

=\sqrt{\left ( 9 \right )^{2}+\left ( 3 \right )^{2}}

=\sqrt{81+9}

=\sqrt{90} একক 

 

এখন,

যেহেতু, AB = CD ও BC  = DA এবং AC = BD

অর্থাৎ, বিপরীত বাহুদ্বয় পরস্পর সমান এবং কর্ণদ্বয়ও পরস্পর সমান। 

(2, −2), (8, 4), (5, 7) এবং (−1, 1) বিন্দুগুলি একটি আয়তক্ষেত্রের শীর্ষবিন্দু।(প্রমাণিত)

 

14. দেখাই যে, (2, 5) , (5, 9), (9, 12) এবং (6, 8) বিন্দুগুলি পরস্পর যােগ করলে একটি রম্বস উৎপন্ন হয়।

সমাধানঃ 

ধরি, A (2, 5) , B (5, 9), C (9, 12) এবং D (6, 8)

AB বাহুর দৈর্ঘ্য 

=\sqrt{\left ( 2-5 \right )^{2}+\left ( 5-9 \right )^{2}}

=\sqrt{\left ( -3 \right )^{2}+\left ( -4 \right )^{2}}

=\sqrt{9+16}

=\sqrt{25}

= 5 একক 

 

BC বাহুর দৈর্ঘ্য 

=\sqrt{\left ( 5-9 \right )^{2}+\left ( 9-12 \right )^{2}}

=\sqrt{\left ( -4 \right )^{2}+\left ( -3 \right )^{2}}

=\sqrt{16+9}

=\sqrt{25}

= 5 একক 

 

CD বাহুর দৈর্ঘ্য

=\sqrt{\left ( 9-6 \right )^{2}+\left ( 12-8 \right )^{2}}

=\sqrt{\left ( 3 \right )^{2}+\left ( 4 \right )^{2}}

=\sqrt{9+16}

=\sqrt{25}

= 5 একক 

 

DA বাহুর দৈর্ঘ্য 

=\sqrt{\left ( 6-2 \right )^{2}+\left ( 8-5 \right )^{2}}

=\sqrt{\left ( 4 \right )^{2}+\left ( 3 \right )^{2}}

=\sqrt{16+9}

=\sqrt{25}

= 5 একক 

 

AC কর্ণের দৈর্ঘ্য

=\sqrt{\left ( 2-9 \right )^{2}+\left ( 5-12 \right )^{2}}

=\sqrt{\left ( -7 \right )^{2}+\left ( -7 \right )^{2}}

=\sqrt{49+49}

=\sqrt{98} একক 

 

BD কর্ণের দৈর্ঘ্য

=\sqrt{\left ( 5-6 \right )^{2}+\left ( 9-8 \right )^{2}}

=\sqrt{\left ( -1 \right )^{2}+\left ( 1 \right )^{2}}

=\sqrt{1+1}

=\sqrt{2} একক 

 

এখন,

যেহেতু, AB = BC = CD = DA এবং AC\neq BD

অর্থাৎ, বিপরীত বাহুদ্বয় পরস্পর সমান এবং কর্ণদ্বয় পরস্পর অসমান। 

(2, 5) , (5, 9), (9, 12) এবং (6, 8) বিন্দুগুলি পরস্পর যােগ করলে একটি রম্বস উৎপন্ন হয়। (প্রমাণিত)

 

15. বহুমুখী বিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q.) :

(i) (a + b, c − d) এবং (a – b, c + d) বিন্দু দুটির মধ্যে দূরত্ব

(a) \fn_cm {\color{Blue} 2\sqrt{a^{2}+c^{2}}}

(b) \fn_cm {\color{Blue} 2\sqrt{b^{2}+d^{2}}}

(c) \fn_cm {\color{Blue} \sqrt{a^{2}+c^{2}}}

(d) \fn_cm {\color{Blue} \sqrt{b^{2}+d^{2}}}

সমাধানঃ 

(a + b, c − d) এবং (a – b, c + d) বিন্দু দুটির মধ্যে দূরত্ব

=\sqrt{\left ( a+b-a+b \right )^{2}+\left ( c-d-c-d \right )^{2}}

=\sqrt{\left ( 2b \right )^{2}+\left ( -2d \right )^{2}}

=\sqrt{4b^{2}+4d^{2}}

=\sqrt{4\left (b^{2}+d^{2} \right )}

=2\sqrt{b^{2}+d^{2}} একক। 

উত্তরঃ {\color{DarkGreen} \left ( b \right )2\sqrt{b^{2}+d^{2}}}

 

(ii) (x, −7) এবং (3, −3) বিন্দুদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব 5 একক হলে x-এর মানগুলি হলাে

(a) 0 অথবা 6

(b) 2 অথবা 3

(c) 5 অথবা 1

(d) −6 অথবা 0

সমাধানঃ 

(x, −7) এবং (3, −3) বিন্দুদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব

=\sqrt{\left ( x-3 \right )^{2}+\left ( -7+3 \right )^{2}}

প্রশ্নানুসারে,

\sqrt{\left ( x-3 \right )^{2}+\left ( -7+3 \right )^{2}}=5

উভয়পক্ষে বর্গ করে পাই,

\left ( x-3 \right )^{2}+\left ( -7+3 \right )^{2}=25

বা, \left ( x-3 \right )^{2}+\left ( -4 \right )^{2}=25

বা, x^{2}-6x+9+16-25=0

বা, x^{2}-6x=0

বা, x\left ( x-6 \right )=0

দুই বা ততোধিক রাশির গুনফল শূন্য হলে তারা পৃথক পৃথক ভাবে শূন্য হয়।

∴ x = 0 

অথবা 

x − 6 = 0

∴ x = 6

উত্তরঃ (a) 0 অথবা 6

 

(iii) যদি (x, 4) বিন্দুটির মূলবিন্দু থেকে দূরত্ব 5 একক হয়, তাহলে x-এর মান

(a) ±4

(b) ±5

(c) ±3

(d) কোনােটিই নয়

সমাধানঃ 

(x, 4) এবং মূলবিন্দু (0, 0) বিন্দুদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব

=\sqrt{\left ( x-0 \right )^{2}+\left ( 4-0 \right )^{2}}

=\sqrt{\left ( x \right )^{2}+\left ( 4 \right )^{2}}

=\sqrt{x^{2}+16}

 

প্রশ্নানুসারে,

\sqrt{x^{2}+16}=5

উভয়পক্ষে বর্গ করে পাই,

x^{2}+16=25

বা, x^{2}=25-16

বা, x^{2}=9

বা, x=\pm \sqrt{9}

\therefore x=\pm 3

উত্তরঃ (c) ±3

 

(iv) (3, 0), (−3, 0) এবং (0, 3) বিন্দু তিনটি যােগ করে যে ত্রিভুজটি উৎপন্ন হয়, সেটি

(a) সমবাহু

(b) সমদ্বিবাহু

(c) বিষমবাহু

(d) সমকোণী সমদ্বিবাহু

সমাধানঃ 

ধরি, A ( 3, 0), B (−3, 0) এবং C (0, 3) ত্রিভুজের তিনটি শীর্ষবিন্দু

AB বাহুর দৈর্ঘ্য 

=\sqrt{\left ( 3+3 \right )^{2}+\left ( 0-0 \right )^{2}}

=\sqrt{\left ( 6 \right )^{2}}

= 6 একক 

 

BC বাহুর দৈর্ঘ্য 

=\sqrt{\left ( -3-0 \right )^{2}+\left ( 0-3 \right )^{2}}

=\sqrt{\left ( -3 \right )^{2}+\left ( -3 \right )^{2}}

=\sqrt{9+9}

=\sqrt{18} একক 

 

AC বাহুর দৈর্ঘ্য 

=\sqrt{\left ( 3-0 \right )^{2}+\left ( 0-3 \right )^{2}}

=\sqrt{\left ( 3 \right )^{2}+\left ( -3 \right )^{2}}

=\sqrt{9+9}

=\sqrt{18} একক 

 

এখন,

যেহেতু, BC = AC

∴ ত্রিভুজটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ 

উত্তরঃ (b) সমদ্বিবাহু

 

(v) একটি বৃত্তের কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক (0, 0) এবং বৃত্তের উপরিস্থিত একটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক (3, 4) হলে বৃত্তটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য

(a) 5 একক

(b) 4 একক

(c) 3 একক

(d) কোনােটিই নয়

সমাধানঃ 

একটি বৃত্তের কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক (0, 0) এবং বৃত্তের উপরিস্থিত একটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক (3, 4) হলে,

বৃত্তটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য = বিন্দু দুটির মধ্যবর্তী দূরত্ব 

=\sqrt{\left ( 3-0 \right )^{2}+\left ( 4-0 \right )^{2}}

=\sqrt{\left ( 3 \right )^{2}+\left ( 4 \right )^{2}}

=\sqrt{9+16}

=\sqrt{25}

= 5 একক 

উত্তরঃ (a) 5 একক

 

16. সংক্ষিপ্ত উত্তরভিত্তিক প্রশ্ন:

(i) মূলবিন্দু থেকে (−4, y) বিন্দুর দূরত্ব 5 একক হলে y -এর মান কত লিখি।

সমাধানঃ 

মূলবিন্দুর স্থানাঙ্ক = (0,0)

প্রশ্নানুসারে,

\small \sqrt{\left ( 0+4 \right )^{2}+\left ( 0-y \right )^{2}}=5

বা, \small \sqrt{16+y^{2}}=5

বা, \small \left (\sqrt{16+y^{2}} \right )^{2}=\left ( 5 \right )^{2}

বা, \small 16+y^{2}=25

বা, \small y^{2}=25-16

বা, \small y^{2}=9

বা, \small y=\sqrt{9}

\small \therefore y=\pm 3

উত্তরঃ y -এর মান 3 ও −3

 

(ii) y-অক্ষের উপর একটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক লিখি যার থেকে (2, 3) এবং (−1, 2) বিন্দু দুটির দূরত্ব সমান।

সমাধানঃ 

ধরি, y-অক্ষের উপর অবস্থিত একটি বিন্দু হল (0, a)

[ Note: y-অক্ষের উপর অবস্থিত যেকোনো বিন্দুর x = 0 হয় ]

প্রশ্নানুসারে,

\sqrt{\left ( 2-0 \right )^{2}+\left ( 3-a \right )^{2}}=\sqrt{\left ( -1-0 \right )^{2}+\left ( 2-a \right )^{2}}

উভয়পক্ষে বর্গ করে পাই,

বা, \left ( 2-0 \right )^{2}+\left ( 3-a \right )^{2}=\left ( -1-0 \right )^{2}+\left ( 2-a \right )^{2}

বা, 4+9-6a+a^{2}=1+4-4a+a^{2}

বা, 4+9-6a+a^{2}-1-4+4a-a^{2}=0

বা, − 2a + 8 = 0

বা, − 2a = − 8 

বা, a=\frac{-8}{-2}

∴ a = 4

উত্তরঃ y-অক্ষের উপর অবস্থিত বিন্দুটি হল (0,4)

 

(iii) x -অক্ষ এবং y -অক্ষের উপর দুটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক লিখি যাতে x-অক্ষ, y-অক্ষ এবং বিন্দু দুটির সংযােগকারী সরলরেখাংশ দ্বারা উৎপন্ন ত্রিভুজটি সমকোণী সমদ্বিবাহু হয়।

সমাধানঃ 

x -অক্ষ এবং y -অক্ষের উপর দুটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক হল  (±a, 0) (0, ±a) ; a = যেকোনো সংখ্যা। 

যেমন : (2, 0) এবং (0, 2)

 

(iv) x-অক্ষের বিপরীত দিকে দুটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক লিখি যাদের দূরত্ব x-অক্ষ থেকে সমান।

সমাধানঃ 

x-অক্ষের বিপরীত দিকে দুটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক হল (a,b) ও (c,−b) যাদের দূরত্ব x-অক্ষ থেকে সমান।

ab  c = যেকোনো সংখ্যা। 

যেমন : (2, 5) এবং (4,−5)

 

(v) y-অক্ষের বিপরীত দিকে দুটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক লিখি যাদের দূরত্ব y-অক্ষ থেকে সমান।

সমাধানঃ 

y-অক্ষের বিপরীত দিকে দুটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক হল (a,b) ও (−a,d) যাদের দূরত্ব y-অক্ষ থেকে সমান।

ab ও d= যেকোনো সংখ্যা। 

যেমন : (2, 5) এবং (−2,7)

Koshe dekhi 4 Class 9

Support Me

If you like my work then you can Support me by contributing a small amount which will help me a lot to grow my Website. It’s a request to all of you. You can donate me through phone pay / Paytm/ Gpay  on this number 7980608289 or by the link below :

Subscribe my Youtube channel : Science Duniya in Bangla

and    Learning Science

and visit Our website : learningscience.co.in 

গণিত প্রকাশ (দশম শ্রেণী) সম্পূর্ণ সমাধান

গণিত প্রকাশ (নবম শ্রেণী) সম্পূর্ণ সমাধান

গণিত প্রভা (ষষ্ঠ শ্রেণী) সম্পূর্ণ সমাধান

জীবন বিজ্ঞান  (দশম শ্রেণী) (Life Science)

Thank You

Koshe dekhi 4 class 9,Koshe dekhi 4 class 9,Koshe dekhi 4 class 9,Koshe dekhi 4 class 9,Koshe dekhi 4 class 9,Koshe dekhi 4 class 9,Koshe dekhi 4 class 9,Koshe dekhi 4 class 9,Koshe dekhi 4 class 9,Koshe dekhi 4 class 9,Koshe dekhi 4 class 9,Koshe dekhi 4 class 9,Koshe dekhi 4 class 9,Koshe dekhi 4 class 9,Koshe dekhi 4 class 9,Koshe dekhi 4 class 9,Koshe dekhi 4 class 9,Koshe dekhi 4 class 9,Koshe dekhi 4 class 9

3 thoughts on “Koshe dekhi 4 class 9”

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

Insert math as
Block
Inline
Additional settings
Formula color
Text color
#333333
Type math using LaTeX
Preview
\({}\)
Nothing to preview
Insert
error: Content is protected !!