Koshe Dekhi 5.1 Class 9

নীচের প্রতিটি ক্ষেত্রে সহসমীকরণ গঠন করি এবং সমাধান করা যায় কিনা দেখি।

1. আমার দিদি ও আমার বাবার বর্তমান বয়সের সমষ্টি 55 বছর। হিসাব করে দেখছি 16 বছর পরে আমার বাবার বয়স আমার দিদির বয়সের দ্বিগুণ হবে।

(a) সহসমীকরণ গঠন করে লেখচিত্র অঙ্কন করি।

(b) লেখচিত্রের সাহায্যে দেখি সহসমীকরণ দুটির সাধারণ সমাধান পাওয়া যায় কিনা।

(c) লেখচিত্র থেকে আমার দিদি ও আমার বাবার বর্তমান বয়স লিখি।

সমাধানঃ 

(a) ধরি, আমার দিদির বর্তমান বয়স  x  বছর এবং আমার বাবার বর্তমান বয়স  y  বছর। 

সুতরাং, 16 বছর পর আমার দিদির ও বাবার বয়স হবে যথাক্রমে  (x + 16) বছর এবং (y + 16) বছর।

প্রশ্নানুসারে, সমীকরণ দুটি হলো নিম্নলিখিত :

(1) x + y = 55

(2) (y + 16) = 2(x + 16)

এখন, x + y = 55 সমীকরণটির লেখচিত্র অঙ্কন করতে হলে আমাদের কমপক্ষে তিনটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করতে হবে যা দ্বারা সমীকরণটি সিদ্ধ হয়।

x + y = 55

∴ y = 55 − x

আবার, (y + 16) = 2(x + 16) সমীকরণটির লেখচিত্র অঙ্কন করতে হলে আমাদের কমপক্ষে তিনটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করতে হবে যা দ্বারা সমীকরণটি সিদ্ধ হয়।

(y + 16) = 2(x + 16)

বা, y + 16 = 2x + 32

বা, y = 2x + 32 − 16

∴ y = 2x + 16

ছককাগজে  XOX’ ও YOY’ লম্ব অক্ষ দুটি অঙ্কন করার পরে প্রতিটি ক্ষুদ্রতম বর্গক্ষেত্রের 1টি বাহুর দৈর্ঘ্য = 1 একক ধরে (20, 35), (30, 25), (35, 20) বিন্দুগুলি স্থাপন করলাম। এরপর বিন্দুগুলি স্কেলের সাহায্যে যুক্ত করে AB  সরলরেখা পেলাম। AB  সরলরেখাটি হলো  x + y = 55 সমীকরণের লেখচিত্র।

আবার  (0, 16), (5, 26), (10, 36) বিন্দুগুলি স্থাপন করলাম। এরপর বিন্দুগুলি স্কেলের সাহায্যে যুক্ত করে CD  সরলরেখা পেলাম। CD সরলরেখাটি হলো (y + 16) = 2(x + 16) সমীকরণের লেখচিত্র।

(b) ওপরের লেখচিত্র থেকে আমি দেখতে পেলাম  AB ও CD সরলরেখা দুটি পরস্পরকে P বিন্দুতে ছেদ করেছে। 

P বিন্দুর স্থানাঙ্ক (13, 42).

∴ সমীকরণ দুটির সাধারণ সমাধান পাওয়া গেল।

∴ সমীকরণ দুটির সাধারণ সমাধান হলো  x = 13 এবং y = 42.

(c) লেখচিত্র থেকে আমি যা পেলাম তা হলো –

আমার দিদির বর্তমান বয়স (x) = 13 বছর এবং আমার বাবার বর্তমান বয়স (y) = 42 বছর।

2. মিতা যাদবকাকুর দোকান থেকে 42 টাকায় 3টি পেন ও 4টি পেনসিল কিনেছে। আমি বন্ধুদের দেওয়ার জন্য যাদবকাকুর দোকান থেকে একই মূল্যের 9টি পেন ও 1 ডজন পেনসিল 126 টাকায় কিনলাম।

(a) সহসমীকরণ গঠন করে লেখচিত্র অঙ্কন করি।

(b) লেখচিত্রের সাহায্যে আরও দেখি যে সমীকরণ দুটির সাধারণ সমাধান পাওয়া যায় কিনা।

(c) 1টি পেন ও 1টি পেনসিলের আলাদা আলাদা দাম কী হবে লেখচিত্র থেকে পাই কিনা লিখি।

সমাধানঃ 

(a) ধরি, 1টি পেনের মূল্য  x টাকা এবং  1টি পেনসিলের মূল্য  y টাকা।

প্রশ্নানুসারে, সমীকরণ দুটি হলো নিম্নলিখিত :

(1) 3x + 4y = 42

(2) 9x + 12y = 126    [1 ডজন = 12 টি]

এখন, 3x + 4y = 42 সমীকরণটির লেখচিত্র অঙ্কন করতে হলে আমাদের কমপক্ষে তিনটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করতে হবে যা দ্বারা সমীকরণটি সিদ্ধ হয়।

3x + 4y = 42

বা, 4y = 42 − 3x

∴ y = (42 − 3x) / 4

আবার, 9x + 12y = 126 সমীকরণটির লেখচিত্র অঙ্কন করতে হলে আমাদের কমপক্ষে তিনটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করতে হবে যা দ্বারা সমীকরণটি সিদ্ধ হয়।

9x + 12y = 126

বা, 12y = 126 − 9x

∴ y = (126 − 9x) / 12

ছককাগজে  XOX’ ও YOY’ লম্ব অক্ষ দুটি অঙ্কন করার পরে প্রতিটি ক্ষুদ্রতম বর্গক্ষেত্রের 1টি বাহুর দৈর্ঘ্য = 1 একক ধরে (2, 9), (10, 3), (18, −3) বিন্দুগুলি স্থাপন করলাম। এরপর বিন্দুগুলি স্কেলের সাহায্যে যুক্ত করে AB  সরলরেখা পেলাম। AB  সরলরেখাটি হলো  3x + 4y = 42 সমীকরণের লেখচিত্র।

আবার  (2, 9), (10, 3), (18, −3) বিন্দুগুলি স্থাপন করলাম। এরপর বিন্দুগুলি স্কেলের সাহায্যে যুক্ত করে CD  সরলরেখা পেলাম। CD সরলরেখাটি হলো 9x + 12y = 126 সমীকরণের লেখচিত্র।

(b) ওপরের লেখচিত্র থেকে আমি দেখতে পেলাম AB ও CD সরলরেখা দুটি সমাপতিত হয়েছে। 

∴ প্রদত্ত সমীকরণ দুটির কোনো নিদৃষ্ট সাধারণ সমাধান নেই। 

(c) যেহেতু প্রদত্ত সমীকরণ দুটির কোনো নিদৃষ্ট সাধারণ সমাধান নেই অর্থাৎ, সমীকরণ দুটির অসংখ্য সমাধান আছে তাই 1টি পেন ও 1টি পেনসিলের কোনো নিদৃষ্ট মূল্য বলা সম্ভব নয়। এক্ষেত্রে 1টি পেন ও 1টি পেনসিলের ভিন্ন ভিন্ন মূল্য হতে পারে। 

3. আজ স্কুলে আমরা যেমন-খুশি আঁকব৷ তাই আমি 2টি আর্ট পেপার ও 5টি স্কেচপেন 16 টাকায় কিনেছি। কিন্তু দোলা ওই একই দোকান থেকে একই মূল্যের 4টি আর্ট পেপার ও 10টি স্কেচ পেন 28 টাকায় কিনেছে৷

(a) সহসমীকরণ গঠন করে লেখচিত্র অঙ্কন করি।

(b) লেখচিত্র থেকে সমীকরণ দুটির সাধারণ সমাধান পাওয়া যায় কিনা দেখি।

(c) 1টি আর্ট পেপার ও 1টি স্কেচ পেনের দাম পাই কিনা লিখি।

সমাধানঃ 

(a) ধরি, 1টি আর্ট পেপারের মূল্য  x টাকা এবং  1টি স্কেচপেনের মূল্য  y টাকা।

প্রশ্নানুসারে, সমীকরণ দুটি হলো নিম্নলিখিত :

(1) 2x + 5y = 16

(2) 4x + 10y = 28

এখন, 2x + 5y = 16 সমীকরণটির লেখচিত্র অঙ্কন করতে হলে আমাদের কমপক্ষে তিনটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করতে হবে যা দ্বারা সমীকরণটি সিদ্ধ হয়।

2x + 5y = 16

বা, 5y = 16 − 2x

∴ y = (16 − 2x) / 5

আবার, 4x + 10y = 28 সমীকরণটির লেখচিত্র অঙ্কন করতে হলে আমাদের কমপক্ষে তিনটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করতে হবে যা দ্বারা সমীকরণটি সিদ্ধ হয়।

4x + 10y = 28

বা, 10y = 28 − 4x

∴ y = (28 − 4x) / 10

ছককাগজে  XOX’ ও YOY’ লম্ব অক্ষ দুটি অঙ্কন করার পরে প্রতিটি ক্ষুদ্রতম বর্গক্ষেত্রের 1টি বাহুর দৈর্ঘ্য = 1 একক ধরে (3, 2), (8, 0), (18, −4) বিন্দুগুলি স্থাপন করলাম। এরপর বিন্দুগুলি স্কেলের সাহায্যে যুক্ত করে AB  সরলরেখা পেলাম। AB  সরলরেখাটি হলো  2x + 5y = 16 সমীকরণের লেখচিত্র।

আবার  (12, −2), (17, −4), (22, −6) বিন্দুগুলি স্থাপন করলাম। এরপর বিন্দুগুলি স্কেলের সাহায্যে যুক্ত করে CD  সরলরেখা পেলাম। CD সরলরেখাটি হলো 4x + 10y = 28 সমীকরণের লেখচিত্র।

(b) ওপরের লেখচিত্র থেকে আমি দেখতে পেলাম AB ও CD সরলরেখা দুটি পরস্পর সমান্তরাল। 

∴ প্রদত্ত সমীকরণ দুটির কোনো সাধারণ সমাধান নেই। 

(c) যেহেতু প্রদত্ত সমীকরণ দুটির কোনো সাধারণ সমাধান নেই অর্থাৎ, 1টি আর্ট পেপার ও 1টি স্কেচ পেনের দাম নির্ণয় করা সম্ভব নয়।