Koshe dekhi 12 class 10

গোলক : কষে দেখি - 12

1. একটি গােলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 10.5 সেমি. হলে, তার সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ

প্রদত্ত,

গােলকটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য (r) = 10.5 সেমি.

∴ গােলকটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল

= 4πr²

$=4\times \frac{22}{7}\times \left ( 10.5 \right )^{2}$

$=4\times \frac{22}{7}\times \frac{105}{10}\times \frac{105}{10}$

= 22 × 3 × 21

= 1386 বর্গ সেমি.

উত্তরঃ নির্ণেয় গােলকটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল 1386 বর্গ সেমি.।

Koshe dekhi 12 class 10

গোলক : কষে দেখি - 12

2. একটি চামড়ার বল তৈরি করতে প্রতি বর্গ সেমি. 17.50 টাকা হিসাবে 431.20 টাকা লেগেছে। বলটির ব্যাসের দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ

ধরি, বলটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য = r সেমি.

∴ বলটির ব্যাসের দৈর্ঘ্য = 2 × ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য = 2r সেমি.

চামড়ার বলটি তৈরি করতে প্রতি বর্গ সেমি. 17.50 টাকা হিসাবে 431.20 টাকা লাগলে,

বলটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল $=\frac{431.20}{17.50}=24.64$ বর্গ সেমি.।

প্রশ্নানুসারে,

4πr² = 24.64

বা, $4\times \frac{22}{7}\times \left ( r \right )^{2}=24.64$

বা, $4\times \frac{22}{7}\times r^{2}=\frac{2464}{100}$

বা, $r^{2}=\frac{2464\times 7}{100\times 4\times 22}$

বা, $r^{2}=\frac{196}{100}$

বা, $\left ( r \right )^{2}=\left (\frac{14}{10} \right )^{2}$

বা, $r=\frac{14}{10}$

∴ r = 1.4 সেমি.

∴ বলটির ব্যাসের দৈর্ঘ্য = 2 × ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য = 2 × 1.4 = 2.8 সেমি.

উত্তরঃ নির্ণেয় বলটির ব্যাসের দৈর্ঘ্য 2.8 সেমি.।

Koshe dekhi 12 class 10

গোলক : কষে দেখি - 12

3. স্কুলে সটপাট খেলার জন্য যে বলটি ব্যবহার করা হয় তার ব্যাসের দৈর্ঘ্য 7 সেমি. হলে, বলটিতে কত ঘন সেমি. লােহা আছে হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ

প্রদত্ত,

বলটির ব্যাসের দৈর্ঘ্য (2r) = 7 সেমি.

∴ বলটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য (r) $=\frac{7}{2}$ সেমি.

বলটিতে লোহার পরিমান

= বলটির আয়তন

$=\frac{4}{3}\pi r^{3}$

$=\frac{4}{3}\times \frac{22}{7}\times \left ( \frac{7}{2} \right )^{3}$

$=\frac{4\times 22\times 7\times 7\times 7}{3\times 7\times 2\times 2\times 2}$

$=\frac{539}{3}$

$=179\frac{2}{3}$ ঘন সেমি.

উত্তরঃ নির্ণেয় বলটিতে ${\color{DarkGreen} 179\frac{2}{3}}$ ঘন সেমি. লােহা আছে।

Koshe dekhi 12 class 10

গোলক : কষে দেখি - 12

4. 28 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসবিশিষ্ট একটি নিরেট গােলক জলে সম্পূর্ণভাবে নিমজ্জিত করলে যে পরিমাণ জল অপসারিত করবে তা নির্ণয় করি।

সমাধানঃ

প্রদত্ত,

নিরেট গােলকের ব্যাসের দৈর্ঘ্য (2r) = 28 সেমি.

∴ গােলকটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য (r) $=\frac{28}{2}=14$ সেমি.

নিরেট গােলক জলে সম্পূর্ণভাবে নিমজ্জিত করলে গােলক দ্বারা অপসারিত জলের পরিমান

= গােলকটির আয়তন

$=\frac{4}{3}\pi r^{3}$

$=\frac{4}{3}\times \frac{22}{7}\times \left ( 14 \right )^{3}$

$=\frac{4\times 22\times 14\times 14\times 14}{3\times 7}$

$=\frac{34496}{3}$

$=11498\frac{2}{3}$ ঘন সেমি.

উত্তরঃ নির্ণেয় গোলক দ্বারা ${\color{DarkGreen} 11498\frac{2}{3}}$ ঘন সেমি. জল অপসারিত হবে।

Koshe dekhi 12 class 10

গোলক : কষে দেখি - 12

5. কোনাে গােলকাকার গ্যাস বেলুন ফোলাবার সময়ে তার ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 7 সেমি. থেকে 21 সেমি. হলে বেলুনটির পূর্বের ও পরের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত নির্ণয় করি।

সমাধানঃ

গােলকাকার গ্যাস বেলুন ফোলাবার পূর্বে তার ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য (r) = 7 সেমি.

এবং ফোলাবার পরে তার ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য (R) = 21 সেমি.

∴ গােলকাকার গ্যাস বেলুনটির পূর্বের ও পরের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত

$=4\pi r^{2}:4\pi R^{2}$

$=r^{2}:R^{2}$

$=\left ( 7 \right )^{2}:\left ( 21 \right )^{2}$

$=7\times 7:21\times 21$

$=1:9$

উত্তরঃ নির্ণেয় গােলকাকার গ্যাস বেলুনটির পূর্বের ও পরের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত 1 : 9

Koshe dekhi 12 class 10

গোলক : কষে দেখি - 12

6. অর্ধগােলাকৃতি একটি বাটি তৈরি করতে ${\color{Blue} 127\frac{2}{7}}$ বর্গ সেমি. পাত লেগেছে। বাটিটির মুখের ব্যাসের দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ

ধরি, অর্ধগােলাকৃতি বাটিটির মুখের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য = r সেমি.

∴ বাটিটির বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 2πr²বর্গ সেমি.

প্রশ্নানুসারে,

$2\pi r^{2}=127\frac{2}{7}$

বা, $2\times \frac{22}{7}\times r^{2}=\frac{891}{7}$

বা, $r^{2}=\frac{891\times 7}{2\times 22\times 7}$

বা, $r^{2}=\frac{81}{4}$

বা, $\left (r \right )^{2}=\left ( \frac{9}{2} \right )^{2}$

$\therefore r=\frac{9}{2}$ সেমি.

∴ বাটিটির ব্যাসের দৈর্ঘ্য = 2 × ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য = 2 × $\frac{9}{2}$ = 9 সেমি.

উত্তরঃ নির্ণেয় বাটিটির মুখের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 9 সেমি.।

Koshe dekhi 12 class 10

গোলক : কষে দেখি - 12

7. একটি নিরেট লােহার গােলার ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 2.1 সেমি.। ওই গােলাটিতে কত ঘন সেমি. লােহা আছে তা হিসাব করে লিখি এবং ওই লােহার গােলার বক্রতলের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করি।

সমাধানঃ

প্রদত্ত,

নিরেট লােহার গােলার ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য (r) = 2.1 সেমি.।

∴ গােলাটিতে লােহার পরিমান

= গােলাটির আয়তন

$=\frac{4}{3}\pi r^{3}$

$=\frac{4}{3}\times \frac{22}{7}\times \left ( 2.1 \right )^{3}$

$=\frac{4\times 22\times 21\times 21\times 21}{3\times 7\times 10\times 10\times 10}$

= 38.808 ঘন সেমি.

এবং লােহার গােলার বক্রতলের ক্ষেত্রফল

= 4πr²

$=4\times \frac{22}{7}\times \left ( 2.1 \right )^{2}$

$=4\times \frac{22}{7}\times \frac{21}{10}\times \frac{21}{10}$

$=\frac{22\times 3\times 21}{5\times 5}$

= 55.44 বর্গ সেমি.

উত্তরঃ নির্ণেয় গােলাটিতে 38.808 ঘন সেমি. লােহা আছে এবং ওই লােহার গােলার বক্রতলের ক্ষেত্রফল 55.44 বর্গ সেমি.।

Koshe dekhi 12 class 10

গোলক : কষে দেখি - 12

8. একটি নিরেট সিসার গােলকের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 14 সেমি.। এই গােলকটি গলিয়ে 3.5 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের কতগুলি নিরেট গােলক তৈরি করা যাবে হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ

প্রদত্ত,

নিরেট সিসার গােলকের ব্যাসের দৈর্ঘ্য (2R) = 14 সেমি.।

∴ ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য $\left ( R \right )=\frac{14}{2}=7$ সেমি.।

∴ গােলকটির আয়তন $=\frac{4}{3}\pi R^{3}=\frac{4}{3}\pi \times \left ( 7 \right )^{3}$ ঘন সেমি.

নতুন গোলকগুলির প্রত্যেকটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য $(r)=3.5=\frac{35}{10}=\frac{7}{2}$ সেমি.।

∴ নতুন গোলকগুলির প্রত্যেকটির আয়তন $=\frac{4}{3}\pi r^{3}=\frac{4}{3}\pi \times \left ( \frac{7}{2} \right )^{3}$ ঘন সেমি.

∴ নতুন গোলকগুলির সংখ্যা

= পুরনো গোলকের আয়তন ÷ নতুন গোলকগুলির প্রত্যেকটির আয়তন

$=\frac{\frac{4}{3}\pi \times \left ( 7 \right )^{3}}{\frac{4}{3}\pi \times \left ( \frac{7}{2} \right )^{3}}$

$=\frac{1}{\left ( \frac{1}{2} \right )^{3}}$

$=1\times \left ( \frac{2}{1} \right )^{3}$

= 8 টি

উত্তরঃ নিরেট সিসার গােলকটি গলিয়ে 3.5 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের 8 টি নিরেট গােলক তৈরি করা যাবে।

Koshe dekhi 12 class 10

গোলক : কষে দেখি - 12

9. 3 সেমি., 4 সেমি, ও 5 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের তিনটি নিরেট তামার গােলক গলিয়ে একটি নিরেট বড়াে গােলক তৈরি করা হলাে। বড়াে গােলকটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ

প্রদত্ত,

প্রথম নিরেট তামার গােলকটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য (r₁) = 3 সেমি.

∴ প্রথম নিরেট তামার গােলকটির আয়তন $=\frac{4}{3}\pi \left (r_{1} \right )^{3}=\frac{4}{3}\pi \left ( 3 \right )^{3}$ ঘন সেমি.

দ্বিতীয় নিরেট তামার গােলকটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য (r₂) = 4 সেমি.

∴ দ্বিতীয় নিরেট তামার গােলকটির আয়তন $=\frac{4}{3}\pi \left (r_{2} \right )^{3}=\frac{4}{3}\pi \left ( 4 \right )^{3}$ ঘন সেমি.

তৃতীয় নিরেট তামার গােলকটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য (r₃) = 5 সেমি.

∴ তৃতীয় নিরেট তামার গােলকটির আয়তন $=\frac{4}{3}\pi \left (r_{3} \right )^{3}=\frac{4}{3}\pi \left ( 5 \right )^{3}$ ঘন সেমি.

∴ তিনটি নিরেট তামার গােলকের মোট আয়তন

$=\frac{4}{3}\pi \left ( 3 \right )^{3}+\frac{4}{3}\pi \left ( 4 \right )^{3}+\frac{4}{3}\pi \left ( 5 \right )^{3}$

$=\frac{4}{3}\pi \left [\left ( 3 \right )^{3}+\left ( 4 \right )^{3}+\left ( 5 \right )^{3} \right ]$

$=\frac{4}{3}\pi \left [27+64+125 \right ]$

$=\frac{4}{3}\pi \times 216$ ঘন সেমি.

ধরি, বড়াে গােলকটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য = R সেমি.

∴ বড়াে গােলকটির আয়তন $=\frac{4}{3}\pi \left (R \right )^{3}$ ঘন সেমি.

শর্তানুসারে,

$\frac{4}{3}\pi \left (R \right )^{3}=\frac{4}{3}\pi \times 216$

বা, $\left ( R \right )^{3}=216$

বা, $\left ( R \right )^{3}=\left (6 \right )^{3}$

$\therefore R=6$ সেমি.

উত্তরঃ নির্ণেয় বড়াে গােলকটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 6 সেমি.।

Koshe dekhi 12 class 10

গোলক : কষে দেখি - 12

10. একটি অর্ধগােলাকৃতি গম্বুজের ভূমিতলের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 42 ডেসিমি.। গম্বুজটির উপরিতল রং করতে প্রতি বর্গ মিটার 35 টাকা হিসাবে কত খরচ পড়বে তা হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ

প্রদত্ত,

অর্ধগােলাকৃতি গম্বুজের ভূমিতলের ব্যাসের দৈর্ঘ্য (2r) = 42 ডেসিমি.।

∴ ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য $\left ( r \right )=\frac{42}{2}=21$ ডেসিমি. $=\frac{21}{10}$ মিটার।

গম্বুজটির উপরিতলের ক্ষেত্রফল

$=2\pi r^{2}$

$=2\times \frac{22}{7}\times \left ( \frac{21}{10}\right )^{2}$

$=\frac{2\times 22\times 21\times 21}{7\times 10\times 10}$

= 27.72 বর্গ মিটার

∴ প্রতি বর্গ মিটার 35 টাকা হিসাবে রং করতে খরচ পড়বে

= 27.72 × 35 টাকা

= 970.20 টাকা

উত্তরঃ গম্বুজটির উপরিতল প্রতি বর্গ মিটার 35 টাকা হিসাবে রং করতে খরচ পড়বে 970.20 টাকা।

Koshe dekhi 12 class 10

গোলক : কষে দেখি - 12

11. একই ধাতুর পাত থেকে তৈরি দুটি ফাপা গােলকের ব্যাসের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 21 সেমি. এবং 17.5 সেমি.। গােলকদুটি তৈরি করতে যে পরিমাণ ধাতুর পাত লেগেছে তার অনুপাত নির্ণয় করি।

সমাধানঃ

প্রদত্ত,

প্রথম গোলকটির ব্যাসের দৈর্ঘ্য (2r₁) = 21 সেমি.

∴ প্রথম গোলকটির ব্যাসার্ধ $\left ( r_{1} \right )=\frac{21}{2}$ সেমি.

ও সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল $=4\pi \left ( r_{1} \right )^{2}=4\pi \left ( \frac{21}{2} \right )^{2}$ বর্গ সেমি.

এবং দ্বিতীয় গোলকটির ব্যাসের দৈর্ঘ্য (2r₂) = 17.5 সেমি.

∴ দ্বিতীয় গোলকটির ব্যাসার্ধ $\left ( r_{2} \right )=\frac{17.5}{2}=\frac{175}{2\times 10}=\frac{35}{4}$ সেমি.

ও সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল $=4\pi \left ( r_{2} \right )^{2}=4\pi \left ( \frac{35}{4} \right )^{2}$ বর্গ সেমি.।

∴ গােলকদুটি তৈরি করতে যে পরিমাণ ধাতুর পাত লেগেছে তার অনুপাত

= গােলকদুটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত

$=4\pi \left ( \frac{21}{2} \right )^{2}:4\pi \left ( \frac{35}{4} \right )^{2}$

$=\left ( \frac{21}{2} \right )^{2}:\left ( \frac{35}{4} \right )^{2}$

$=\frac{21\times 21}{2\times 2}:\frac{35\times 35}{4\times 4}$

$=9:\frac{25}{4}$

$=9\times 4:\frac{25}{4}\times 4$

= 36 : 25

উত্তরঃ নির্ণেয় গােলকদুটি তৈরি করতে যে পরিমাণ ধাতুর পাত লেগেছে তার অনুপাত 36 : 25

Koshe dekhi 12 class 10

গোলক : কষে দেখি - 12

12. একটি ধাতব গােলকের উপরিতল এমনভাবে কেটে নেওয়া হলাে যে নতুন গােলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল আগের গােলকের ঠিক অর্ধেক হয়। কেটে নেওয়া অংশের আয়তনের সঙ্গে অবশিষ্ট গােলকের আয়তনের অনুপাত নির্ণয় করি।

সমাধানঃ

ধরি,

আগের গােলকের ব্যাসার্ধ = R একক এবং নতুন গােলকের ব্যাসার্ধ = r একক।

∴ আগের গোলকটির বক্রতলের ক্ষেত্রফল $=4\pi R^{2}$ বর্গ একক

নতুন গােলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল $=4\pi r^{2}$ বর্গ একক।

প্রশ্নানুসারে,

$4\pi r^{2}=\frac{1}{2}\times 4\pi R^{2}$

বা, $r^{2}=\frac{R^{2}}{2}$

$2r^{2}=R^{2}$

$\therefore R=\sqrt{2}r$

আগের গোলকটির আয়তন $=\frac{4}{3}\pi R^{3}$ ঘন একক এবং নতুন গোলকটির আয়তন $=\frac{4}{3}\pi r^{3}$ ঘন একক।

∴ অবশিষ্ট অংশের আয়তন

$=\frac{4}{3}\pi R^{3}-\frac{4}{3}\pi r^{3}$ ঘন একক

$=\frac{4}{3}\pi \left (R^{3}- r^{3} \right )$

$=\frac{4}{3}\pi \left [ \left (\sqrt{2}r \right )^{3}- r^{3} \right ]$

$=\frac{4}{3}\pi r^{3} \left [ 2\sqrt{2} -1 \right ]$ ঘন একক

কেটে নেওয়া অংশের আয়তনের সঙ্গে অবশিষ্ট গােলকের আয়তনের অনুপাত

$=\frac{4}{3}\pi r^{3} \left [ 2\sqrt{2} -1 \right ]:\frac{4}{3}\pi r^{3}$

$=\left (2\sqrt{2}-1 \right ):1$

উত্তরঃ নির্ণেয় ধাতব গােলকের কেটে নেওয়া অংশের আয়তনের সঙ্গে অবশিষ্ট গােলকের আয়তনের অনুপাত ${\color{DarkGreen} \left (2\sqrt{2}-1 \right ):1}$

Koshe dekhi 12 class 10

গোলক : কষে দেখি - 12

13. 14 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধবিশিষ্ট একটি ভূগােলকের অক্ষটির বক্রতলে 0.7 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধবিশিষ্ট দুটি বৃত্তাকার ছিদ্র করা হয়েছে। ভূগােলকটির গােলাকার অংশের ধাতব পাতের ক্ষেত্রফল হিসাব করি।

সমাধানঃ

প্রদত্ত,

ভূগােলকটির ব্যাসার্ধ (R) = 14 সেমি.

∴ ভূগােলকটির বক্রতলের ক্ষেত্রফল

$=4\pi r^{2}$ বর্গ সেমি.

$=4\times \frac{22}{7}\times \left ( 14 \right )^{2}$

= 2464 বর্গ সেমি.

দুটি বৃত্তাকার ছিদ্রের প্রত্যেকটির ব্যাসার্ধ (r) = 0.7 সেমি.

∴ বৃত্তাকার ছিদ্র দুটির ক্ষেত্রফল

$=2\times \pi r^{2}$ বর্গ সেমি. [ ${\color{Blue} \because}$ একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল ${\color{Blue} =\pi r^{2}}$ বর্গ সেমি. ]

$=2\times \frac{22}{7}\times \left ( 0.7 \right )^{2}$

$=2\times \frac{22}{7}\times \frac{7}{10}\times \frac{7}{10}$

= 3.08 বর্গ সেমি.

∴ ভূগােলকটির গােলাকার অংশের ধাতব পাতের ক্ষেত্রফল = ( 2464 – 3.08 ) বর্গ সেমি. = 2460.92 বর্গ সেমি.।

উত্তরঃ নির্ণেয় ভূগােলকটির গােলাকার অংশের ধাতব পাতের ক্ষেত্রফল 2460.92 বর্গ সেমি.।

Koshe dekhi 12 class 10

গোলক : কষে দেখি - 12

14. 8 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের একটি নিরেট লােহার গােলককে গলিয়ে 1 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের কয়টি নিরেট গুলি তৈরি করা যাবে হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ

প্রদত্ত,

নিরেট লােহার গােলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য (R) = 8 সেমি.।

∴ গােলকটির আয়তন $=\frac{4}{3}\pi R^{3}=\frac{4}{3}\pi \times \left ( 8 \right )^{3}$ ঘন সেমি.

এবং গুলিগুলোর প্রত্যেকটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য (r) = 1 সেমি.।

∴ নিরেট গুলির প্রত্যেকটির আয়তন $=\frac{4}{3}\pi r^{3}=\frac{4}{3}\pi \times \left ( 1 \right )^{3}$ ঘন সেমি.

∴ নিরেট গুলির সংখ্যা

= নিরেট লােহার গোলকের আয়তন ÷ নিরেট গুলিগুলোর প্রত্যেকটির আয়তন

$=\frac{\frac{4}{3}\pi \times \left ( 8 \right )^{3}}{\frac{4}{3}\pi \times \left ( 1 \right )^{3}}$

$=\frac{\left (8 \right )^{3}}{\left ( 1 \right )^{3}}$

= 512 টি

উত্তরঃ নিরেট লােহার গােলকটি গলিয়ে 1 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের 512 টি নিরেট গুলি তৈরি করা যাবে।

Koshe dekhi 12 class 10

গোলক : কষে দেখি - 12

15. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)

(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q.) :

(i) ${\color{Blue} 2r}$ একক দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধবিশিষ্ট নিরেট গােলকের আয়তন

(a) ${\color{Blue} \frac{32\pi r^{3}}{3}}$ ঘনএকক

(b) ${\color{Blue} \frac{16\pi r^{3}}{3}}$ ঘনএকক

(d) ${\color{Blue} \frac{64\pi r^{3}}{3}}$ ঘনএকক

সমাধানঃ

2r একক দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধবিশিষ্ট নিরেট গােলকের আয়তন

$=\frac{4}{3}\pi \left ( 2r \right )^{3}$ ঘনএকক

$=\frac{32\pi r^{3}}{3}$ ঘনএকক

উত্তরঃ (a) ${\color{DarkGreen} \frac{32\pi r^{3}}{3}}$ ঘনএকক

Koshe dekhi 12 class 10

গোলক : কষে দেখি - 12

(ii) দুটি নিরেট গােলকের আয়তনের অনুপাত 1:৪ হলে, তাদের বক্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত

(a) 1 : 2

(b) 1 : 4

(d) 1 : 16

সমাধানঃ

ধরি,

নিরেট গোলক দুটির ব্যাসার্ধ যথাক্রমে r_{1 ও}r₂

সুতরাং তাদের আয়তন যথাক্রমে $\frac{4}{3}\pi\left ( r_{1} \right )^{3}$ ও $\frac{4}{3}\pi\left ( r_{2} \right )^{3}$

প্রশ্নানুসারে,

$\frac{4}{3}\pi \left ( r_{1} \right )^{3}:\frac{4}{3}\pi \left ( r_{2} \right )^{3}=1:8$

বা, $\frac{\frac{4}{3}\pi \left ( r_{1} \right )^{3}}{\frac{4}{3}\pi \left ( r_{2} \right )^{3}}=\frac{1}{8}$

বা, $\frac{\left ( r_{1} \right )^{3}}{\left ( r_{2} \right )^{3}}=\left ( \frac{1}{2} \right )^{3}$

বা, $\frac{r_{1}}{r_{2}}=\frac{1}{2}$

∴ নিরেট গোলক দুটির বক্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত

$=4\pi \left ( r_{1} \right )^{2}:4\pi \left ( r_{2} \right )^{2}$

$=\frac{4\pi \left ( r_{1} \right )^{2}}{4\pi \left ( r_{2} \right )^{2}}$

$=\frac{\left ( r_{1} \right )^{2}}{\left ( r_{2} \right )^{2}}$

$=\left ( \frac{r_{1}}{r_{2}} \right )^{2}$

$=\left ( \frac{1}{2} \right )^{2}$

$=\frac{1}{4}$

= 1 : 4

উত্তরঃ (b) 1 : 4

Koshe dekhi 12 class 10

গোলক : কষে দেখি - 12

(iii) 7 সেমি দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধবিশিষ্ট একটি নিরেট অর্ধগােলকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল

(a) 588π বর্গ সেমি.

(b) 392π বর্গ সেমি.

(d) 98π বর্গ সেমি.

সমাধানঃ

নিরেট অর্ধগােলকের ব্যাসার্ধ (r) = 7 সেমি

∴ অর্ধগােলকটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল

$=3\pi r^{2}$ বর্গ সেমি

$=3\times \pi \times \left ( 7 \right )^{2}$

= 147π বর্গ সেমি.

উত্তরঃ (c) 147π বর্গ সেমি.

Koshe dekhi 12 class 10

গোলক : কষে দেখি - 12

(iv) দুটি নিরেট গােলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত 16 : 9 হলে, তাদের আয়তনের অনুপাত

(a) 64 : 27

(b) 4 : 3

(d) 3 : 4

সমাধানঃ

ধরি,

নিরেট গোলক দুটির ব্যাসার্ধ যথাক্রমে r_{1 ও}r₂

∴ নিরেট গোলক দুটির বক্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত $=4\pi \left ( r_{1} \right )^{2}:4\pi \left ( r_{2} \right )^{2}$

প্রশ্নানুসারে,

$4\pi \left ( r_{1} \right )^{2}:4\pi \left ( r_{2} \right )^{2}=16:9$

বা, $\frac{4\pi \left ( r_{1} \right )^{2}}{4\pi \left ( r_{2} \right )^{2}}=\frac{16}{9}$

বা, $\frac{\left ( r_{1} \right )^{2}}{\left ( r_{2} \right )^{2}}=\left ( \frac{4}{3} \right )^{2}$

বা, $\frac{r_{1}}{r_{2}}=\frac{4}{3}$

∴ নিরেট গোলক দুটির আয়তনের অনুপাত

$=\frac{4}{3}\pi \left ( r_{1} \right )^{3}:\frac{4}{3}\pi \left ( r_{2} \right )^{3}$

$=\frac{\frac{4}{3}\pi \left ( r_{1} \right )^{3}}{\frac{4}{3}\pi \left ( r_{2} \right )^{3}}$

$=\frac{\left ( r_{1} \right )^{3}}{\left ( r_{2} \right )^{3}}$

$=\left (\frac{r_{1}}{r_{2}} \right )^{3}$

$=\left ( \frac{4}{3} \right )^{3}$

= 64 : 27

উত্তরঃ (a) 64 : 27

Koshe dekhi 12 class 10

গোলক : কষে দেখি - 12

(v) একটি নিরেট গােলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল ও 3 গুণ আয়তনের সাংখ্যমান সমান হলে, গােলকটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য

(a) 1 একক

(b) 2 একক

(d) 4 একক

সমাধানঃ

ধরি,

নিরেট গােলকটির ব্যাসার্ধ r একক।

∴ নিরেট গােলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল $=4\pi r^{2}$ বর্গ একক

ও আয়তন $=\frac{4}{3}\pi r^{3}$ ঘন একক।

প্রশ্নানুসারে,

$4\pi r^{2}=3\times \frac{4}{3}\pi r^{3}$

বা, $4\pi r^{2}=4\pi r^{3}$

বা, $\frac{4\pi }{4\pi }=\frac{r^{3}}{r^{2}}$

বা, 1 = r

∴ ব্যাসার্ধ r = 1 একক।

উত্তরঃ (a) 1 একক

Koshe dekhi 12 class 10

গোলক : কষে দেখি - 12

(B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখি :

(i) একটি নিরেট গােলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য দ্বিগুণ করলে গােলকটির আয়তন দ্বিগুণ হবে।

সমাধানঃ

ধরি,

প্রথম অবস্থায় নিরেট গােলকটির ব্যাসার্ধ r একক।

∴ নিরেট গােলকের আয়তন $=\frac{4}{3}\pi r^{3}$ ঘন একক।

এখন, ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য = 2r একক হলে,

∴ গােলকটির আয়তন হবে $=\frac{4}{3}\pi \left (2r \right )^{3}=8\times \frac{4}{3}\pi r^{3}$ ঘন একক = 8 × পূর্বের নিরেট গােলকের আয়তন ।

উত্তরঃ বিবৃতিটি মিথ্যা।

(ii) দুটি অর্ধগােলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত 4 : 9 হলে, তাদের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের অনুপাত হবে 2 : 3.

সমাধানঃ

ধরি,

অর্ধগোলক দুটির ব্যাসার্ধ যথাক্রমে r_{1 ও}r₂

∴ গোলক দুটির বক্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত $=2\pi \left ( r_{1} \right )^{2}:2\pi \left ( r_{2} \right )^{2}$

প্রশ্নানুসারে,

$2\pi \left ( r_{1} \right )^{2}:2\pi \left ( r_{2} \right )^{2}=4:9$

বা, $\frac{2\pi \left ( r_{1} \right )^{2}}{2\pi \left ( r_{2} \right )^{2}}=\frac{4}{9}$

বা, $\frac{\left ( r_{1} \right )^{2}}{\left ( r_{2} \right )^{2}}=\left ( \frac{2}{3} \right )^{2}$

বা, $\frac{r_{1}}{r_{2}}=\frac{2}{3}$

উত্তরঃ বিবৃতিটি সত্য।

Koshe dekhi 12 class 10

গোলক : কষে দেখি - 12

(C) শূন্যস্থান পূরণ করি :

(i) একটি তলবিশিষ্ট ঘনবস্তুর নাম ________ ।

উত্তরঃ একটি তলবিশিষ্ট ঘনবস্তুর নাম গোলক।

(ii) একটি নিরেট অর্ধগােলকের সমতলের সংখ্যা _________ ।

উত্তরঃ একটি নিরেট অর্ধগােলকের সমতলের সংখ্যা 1 টি ।

(iii) একটি নিরেট অর্ধগােলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 2r একক হলে সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল ________ ${\color{Blue} \pi r^{2}}$ বর্গ একক।

সমাধানঃ

নিরেট অর্ধগােলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 2r একক হলে সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল $=3\pi \times \left ( 2r \right )^{2}=12\pi r^{2}$ বর্গ একক।

উত্তরঃ নির্ণেয় অর্ধগােলকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল ${\color{DarkGreen} 12\pi r^{2}}$ বর্গ একক।

Koshe dekhi 12 class 10

গোলক : কষে দেখি - 12

16. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)

(i) একটি নিরেট অর্ধগােলকের আয়তন এবং সমগ্রতলের ক্ষেত্রফলের সাংখ্যমান সমান। অর্ধগােলকটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য কত তা লিখি।

সমাধানঃ

ধরি,

অর্ধগােলকটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য = r একক।

∴ নিরেট অর্ধগােলকটির আয়তন $=\frac{2}{3}\pi r^{3}$ ঘন একক এবং সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল $=3\pi r^{2}$ বর্গ একক। প্রশ্নানুসারে,

$\frac{2}{3}\pi r^{3}=3\pi r^{2}$

বা, $2r=9$

$\therefore r=\frac{9}{2}=4.5$

উত্তরঃ নির্ণেয় অর্ধগােলকটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 4.5 একক।

গোলক : কষে দেখি - 12

16. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)

(ii) একটি নিরেট গােলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল একটি নিরেট লম্ববৃত্তাকার চোঙের বক্রতলের ক্ষেত্রফলের সমান। চোঙটির উচ্চতা এবং ব্যাসের দৈর্ঘ্য উভয়েই 12 সেমি.। গােলকটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য কত তা লিখি।

সমাধানঃ

প্রদত্ত,

নিরেট লম্ববৃত্তাকার চোঙটির উচ্চতা (h) = 12 সেমি. এবং ব্যাসের দৈর্ঘ্য (2r) = 12 সেমি.

∴ চোঙটির ব্যাসার্ধ $\left ( r \right )=\frac{12}{2}=6$ সেমি.

∴ নিরেট লম্ববৃত্তাকার চোঙের বক্রতলের ক্ষেত্রফল $=2\pi rh=2\pi \times 6\times 12=144\pi$ বর্গ

সেমি.।

ধরি, নিরেট গােলকটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য = R সেমি.

∴ নিরেট গােলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল $=4\pi R^{2}$ বর্গ

সেমি.।

প্রশ্নানুসারে,

$4\pi R^{2}=144\pi$

বা, $R^{2}=\frac{144\pi }{4\pi }$

বা, $R^{2}=36$

বা, $\left ( R \right )^{2}=\left ( 6 \right )^{2}$

∴ R = 6

উত্তরঃ নির্ণেয় নিরেট গােলকটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 6 সেমি.।

গোলক : কষে দেখি - 12

16. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)

(iii) একটি নিরেট অর্ধগােলকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল এবং একটি নিরেট গােলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল সমান। অর্ধগােলক এবং গােলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের অনুপাত কত তা লিখি।

সমাধানঃ

ধরি,

নিরেট অর্ধগােলকের ব্যাসার্ধ = r একক এবং নিরেট গােলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য = R একক।

∴ নিরেট অর্ধগােলকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল $=3\pi r^{2}$ বর্গ একক

এবং নিরেট গােলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল $=4\pi R^{2}$ ।

প্রশ্নানুসারে,

$3\pi r^{2}=4\pi R^{2}$

বা, $\frac{r^{2}}{R^{2}}=\frac{4}{3}$

বা, $\frac{r}{R}=\sqrt{\frac{4}{3}}$

বা, $\frac{r}{R}=\frac{2}{\sqrt{3}}$

$\therefore r:R=2:\sqrt{3}$

উত্তরঃ নির্ণেয় অর্ধগােলক এবং গােলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের অনুপাত ${\color{DarkGreen} 2:\sqrt{3}}$

গোলক : কষে দেখি - 12

16. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)

(iv) একটি নিরেট গােলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল ${\color{Blue} =S}$ এবং আয়তন ${\color{Blue} =V}$ হলে, ${\color{Blue} \frac{S^{3}}{V^{2}}}$ -এর মান কত তা লিখি। (π -এর মান না বসিয়ে)।

সমাধানঃ

ধরি,

নিরেট গােলকটির ব্যাসার্ধ r একক।

∴ গােলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল $S=4\pi r^{2}$ বর্গ একক ও আয়তন $V=\frac{4}{3}\pi r^{3}$ ঘন একক ।

∴ $\frac{S^{3}}{V^{2}}$ -এর মান

$=\frac{\left (4\pi r^{2} \right )^{3}}{\left (\frac{4}{3}\pi r^{3} \right )^{2}}$

$=\frac{64\pi ^{3}r^{6}}{\frac{16\pi ^{2}r^{6}}{9}}$

$=64\pi^{3}r^{6} \times \frac{9}{16\pi^{2}r^{6}}$

$=36\pi$

উত্তরঃ নির্ণেয় ${\color{DarkGreen} \frac{S^{3}}{V^{2}}}$ -এর মান ${\color{DarkGreen} 36\pi }$

গোলক : কষে দেখি - 12

16. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)

(v) একটি গােলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 50% বৃদ্ধি করলে বক্রতলের ক্ষেত্রফল শতকরা কত বৃদ্ধি পায় তা লিখি।

সমাধানঃ

ধরি,

গােলকটির ব্যাসার্ধ r একক।

∴ গােলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল $=4\pi r^{2}$ বর্গ একক।

এখন গােলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 50% বৃদ্ধি করলে নতুন ব্যাসার্ধ হবে $=r+r\times \frac{50}{100}=r+\frac{r}{2}=\frac{3r}{2}$ একক ও বক্রতলের ক্ষেত্রফল হবে $=4\pi \left ( \frac{3r}{2} \right )^{2}=9\pi r^{2}$ বর্গ একক।

∴ বক্রতলের ক্ষেত্রফল শতকরা বৃদ্ধি পায়

$=\frac{9\pi r^{2}-4\pi r^{2}}{4\pi r^{2}}\times 100$

$=\frac{5\pi r^{2}}{4\pi r^{2}}\times 100$

= 125 %

উত্তরঃ নির্ণেয় গোলকটির বক্রতলের ক্ষেত্রফল শতকরা 125 % বৃদ্ধি পায়।

Koshe dekhi 12 class 10

Support Me

If you like my work then you can Support me by contributing a small amount which will help me a lot to grow my Website. It’s a request to all of you. You can donate me through phone pay / Paytm/ Gpay on this number 7980608289 or by the link below :

and visit Our website : learningscience.co.in

গণিত প্রকাশ (দশম শ্রেণী) সম্পূর্ণ সমাধান

গণিত প্রকাশ (নবম শ্রেণী) সম্পূর্ণ সমাধান

গণিত প্রভা (ষষ্ঠ শ্রেণী) সম্পূর্ণ সমাধান

জীবন বিজ্ঞান (দশম শ্রেণী) (Life Science)

Thank You