Koshe Dekhi 12 Class 8

4. আমিনাবিবি 7 : 1 অনুপাতে বালি ও সিমেন্ট মিশিয়ে এক গাঁথুনির মশলা তৈরি করেছেন। কিন্তু গাঁথুনির কাজ শেষ হয়ে গেলে দেখা গেল এখনও 72 কিগ্রা. মশলা রয়ে গেছে। ওই মশলায় আরও কিছুটা সিমেন্ট মিশিয়ে বালি ও সিমেন্টের পরিমাণের অনুপাত 6 : 1 করে মশলা তৈরি করলেন। তিনি কত কিগ্রা. সিমেন্ট মিশিয়ে ছিলেন হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ
গাঁথুনির মশলাতে বালি ও সিমেন্টের অনুপাত $ 7:1$

72 কিগ্রা মশলাতে বালির পরিমাণ
$ =\frac{7}{8} \times 72 $ किগ্রা. $ =63 $ কিগ্রা.

72 কিগ্রা মশলাতে সিমেন্টের পরিমাণ
$ =\frac{1}{8} \times 72 $ কিগ্রা. $ =9 $ কিগ্রা.

ধরি, ওই মশলায় আরো $x$ কিগ্রা. সিমেন্ট মেশালেন
তাহলে নতুন প্রকার মশলাতে সিমেন্টের পরিমাণ হবে $ (12+x) $ কিগ্রা

শর্তানুসারে,
\[
\frac{63}{9+x}=\frac{6}{1}
\]

বা, $ 54+6 x=63 $
বা, $ 6 x=63-54 $
বা, $ 6 x=9 $
বা, $ x=\frac{9}{6} $
$ \therefore x=1.5 $
$ \therefore $ তিনি $1.5$ কিগ্রা. সিমেন্ট মিশিয়ে ছিলেন।

5. একধরনের জার্মান সিলভারে তামা, দস্তা ও নিকেলের পরিমাণের অনুপাত 4 : 3 : 2; এই ধরনের 54 কিগ্রা. জার্মান সিলভারে আর কত কিগ্রা. দস্তা মেশালে সেই পরিমাণের অনুপাত 6 : 5 : 3 হবে হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ
জার্মান সিলভারে তামা, দস্তা ও নিকেলের পরিমাণের অনুপাত $4:3:2$

54 কিগ্রা সিলভারে তামার পরিমাণ
$=\frac{4}{9} \times 54 $ কিগ্রা. $=24$ কিগ্রা.

54 কিগ্রা সিলভারে দস্তার পরিমাণ
$ =\frac{3}{9} \times 54 $ কিগ্রা. $ =18 $ কিগ্রা.

54 কিগ্রা সিলভারে নিকেলের পরিমাণ
$ =\frac{2}{9} \times 54 $ किज्रा. $ =12 $ কিগ্রা.

ধরি, জার্মান সিলভারে $x $ কিগ্রা দস্তা মেশানো হল
$ \therefore $ নতুন প্রকার জার্মান সিলভারে দস্তার পরিমাণ $ (18+x) $ কিগ্রা.

শর্তানুসারে,
\[
\frac{24}{18+x}=\frac{6}{5} \] বা, $ 108+6 x=120 $
বা, $ 6 x=120-108 $
বা, $ 6 x=12 $
$\therefore x=2 $
$ \therefore \quad 54 $ কিগ্রা জার্মান সিলভারে 2 কিগ্রা. দন্তা মেশালে সেই পরিমাণের অনুপাত $6:5:3$ হবে।

6. দুই প্রকার গুঁড়ো-সাবানে সোডা ও সাবান গুঁড়োর পরিমাণের অনুপাত যথাক্রমে 2 : 3 এবং 4 : 5 ; যদি প্রথম প্রকারের 10 কিগ্রা.-এর সঙ্গে দ্বিতীয় প্রকারের 18 কিগ্রা মেশানো হয়, তবে নতুন গুঁড়ো সাবানে কত অংশ সাবান গুঁড়ো থাকবে হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ
প্রথম প্রকার গুঁড়ো সাবানে সোডা ও সাবান গুঁড়োর পরিমাণের অনুপাত $2:3$ প্রথম প্রকার $10$ কিগ্রা গুঁডড়ে সাবানে সোডার পরিমাণ $=\frac{2}{5} \times 10 $ কিগ্রা. $=4$ কিগ্রা.

এবং সাবান গুঁড়োর পরিমাণ $=\frac{3}{5} \times 10 $ কিগ্রা. $=6$ কিগ্রা.

দ্বিতীয় প্রকার গুঁড়ো সাবানে সোডা ও সাবান গুঁড়োর পরিমাণের অনুপাত $4:5$ দ্বিতীয় প্রকার $18$ কিগ্রা. গুঁড়ো সাবানে
সোডার পরিমাণ $=\frac{4}{9} \times 18 $ কিগ্রা.$=8 $ কিগ্রা.

এবং সাবান গুডড়োর পরিমাণ $=\frac{5}{9} \times 18$ কিগ্রা. $=10 $ কিগ্রা.

দুই প্রকার গুডড়ে সাবান মেশানো হলে নতুন গুরড়ো সাবানে সোডার পরিমাণ $=(4+8) $ কিগ্রা. $=12$ কিগ্রা.

এবং সাবান গুঁড়োর পরিমাণ $=(6+10) $ কিগ্রা. $=16$ কিগ্রা.

নতুন গুঁড়ো সাবানে সোডা ও সাবান গুঁড়োর অনুপাত
\[
\begin{array}{l}
=12: 16 \\
=3: 4
\end{array}
\]

নতুন গুড়ো সাবানে সাবান গুঁড়োর আনুপাতিক ভাগহার $ \frac{4}{7} $
$ \therefore $ নতুন গুঁড়ো সাবানে $ \frac{4}{7} $ অংশ সাবান গুঁড়ো থাকবে।

আরও দেখুনঃ

7. দুটি সমান আয়তনের পাত্রে যথাক্রমে ${\color{Purple} \frac{1}{3}}$ ও ${\color{Purple} \frac{1}{4}}$ অংশে ফলের রস ছিল। আমি পাত্র দুটির অবশিষ্টাংশ জলপূর্ণ করে অন্য একটি পাত্রে সমগ্র জল-মিশ্রিত ফলের রস ঢাললাম। নতুন পাত্রে ফলের রস ও জলের পরিমাণের অনুপাত কত হবে হিসাব করে লিখি ।

সমাধানঃ
প্রথম পাত্রে ফলের রস আছে $ \frac{1}{3} $ অংশ
অবশিষ্ট অংশ $ =\left(1-\frac{1}{3}\right) $ অংশ $ =\frac{2}{3} $ অংশ
$\therefore $ প্রথম পাত্রে জল আছে $ \frac{2}{3} $ অংশ

দ্বিতীয় পাত্রে ফলের রস আছে $ \frac{1}{4} $ অংশ
অবশিষ্ট অংশ $ =\left(1-\frac{1}{4}\right) $ অংশ $ =\frac{3}{4} $ অংশ
$ \therefore $ দ্বিতীয় পাত্রে জল আছে $\frac{3}{4}$ অংশ

অন্য একটি পাত্রে সমগ্র জল-মিশ্রিত ফলের রস ঢালা হলে নতুন পাত্রে ফলের রসের পরিমাণ
$=\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right) $ অংশ
$=\left(\frac{4+3}{12}\right) $ অংশ
$=\frac{7}{12}$ অংশ

এবং জলের পরিমাণ $=\left(\frac{2}{3}+\frac{3}{4}\right) $ অংশ
$=\left(\frac{8+9}{12}\right) $ অংশ
$=\frac{17}{12} $ অংশ

$ \therefore $ নতুন পাত্রে ফলের রস ও জলের পরিমাণের অনুপাত $=\frac{7}{12}: \frac{17}{12}=7: 17$

8. রেশমি খাতুন তিনটি সমান মাপের গ্লাস শরবত পূর্ণ করেছে। এই তিনটি গ্লাসের শরবতে জল ও সিরাপের পরিমাণের অনুপাত যথাক্রমে 3 : 1, 5 : 3 ও 9 : 7; আমি এই তিনটি গ্লাসের শরবত একটি বড়ো পাত্রে ঢেলে দিলাম। হিসাব করে দেখি এই নতুন পাত্রে জল ও সিরাপের পরিমাণের অনুপাত কী হলো।

সমাধানঃ
প্রথম গ্লাসের শরবতে জল ও সিরাপের পরিমাণের অনুপাত $3:1$
$ \therefore $ জলের আনুপাতিক ভাগহার $ =\frac{3}{4} $
এবং সিরাপের আনুপাতিক ভাগহার $ =\frac{1}{4} $

দ্বিতীয় গ্লাসের শরবতে জল ও সিরাপের পরিমাণের অনুপাত $5:3$
$ \therefore $ জলের আনুপাতিক ভাগহার $ =\frac{5}{8} $
এবং সিরাপের আনুপাতিক ভাগহার $ =\frac{3}{8} $

তุতীয় গ্লাসের শরবতে জল ও সিরাপের পরিমাণের অনুপাত $ 9:7$
$ \therefore $ জলের আনুপাতিক ভাগহার $ =\frac{9}{16} $
এবং সিরাপের আনুপাতিক ভাগহার $ =\frac{7}{16} $

এই তিনটি গ্লাসের শরবত একটি বড়ো পাত্রে ঢেলে দিলে নতুন পাত্রে জलলর পরিমাণ
$=\left(\frac{3}{4}+\frac{5}{8}+\frac{9}{16}\right) $ অংশ
$=\frac{12+10+9}{16}$ অংশ
$=\frac{31}{16} $ অংশ

এবং সিরাপের পরিমাণ
$=\left(\frac{1}{4}+\frac{3}{8}+\frac{7}{16}\right) $ অংশ
$=\frac{4+6+7}{16} $ অংশ
$=\frac{17}{16} $ অংশ

$ \therefore $ নতুন পাত্রে জল ও সিরাপের পরিমাণের আনুপাত
\[
=\frac{31}{16}: \frac{17}{16}=31: 17
\]

9. দু-প্রকার পিতলে তামা ও দস্তার পরিমাণের অনুপাত যথাক্রমে 8 : 3 এবং 15 : 7; এই দু-প্রকার পিতল 5 : 2 অনুপাতে মেশালে যে নতুন প্রকারের পিতল পাওয়া যাবে, তাতে তামা ও দস্তার পরিমাণের অনুপাত কী হবে হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ
ধরি, প্রথম প্রকারের পিতল $ 5 x $ একক এবং দ্বিতীয় প্রকারের পিতল $ 2 x $ একক মেশানো হবে।

প্রথম প্রকার পিতলে তামা ও দস্তার পরিমাণের অনুপাত $8:3$
প্রথম প্রকার $ 5 x $ একক পিতলে তামার পরিমাণ
$=\frac{8}{11} \times 5 x $ একক $=\frac{40 x}{11} $ একক

এবং দস্তার পরিমাণ $=\frac{3}{11} \times 5 x $ একক $=\frac{15 x}{11} $ একক

দ্বিতীয় প্রকার পিতলে তামা ও দস্তার পরিমানের অনুপাত $15:7$
দ্বিতীয় প্রকার $ 2 x $ একক পিতলে তামার পরিমাণ
$=\frac{15}{22} \times 2 x $ একক
$=\frac{15 x}{11} $ একক

এবং দস্তার পরিমাণ $=\frac{7}{22} \times 2 x $ একক
$=\frac{7 x}{11} $ একক

$ \therefore $ নতুন প্রকার পিতল তামার পরিমাণ
$=\left(\frac{40 x}{11}+\frac{15 x}{11}\right)$ একক
$=\frac{55 x}{11} $ একক
$=5 x $ একক

এবং নতুন প্রকার পিতলে দস্তার পরিমাণ
$=\left(\frac{15 x}{11}+\frac{7 x}{11}\right) $ একক
$=\frac{22 x}{11} $ একক
$=2 x$ একক

$ \therefore $ নতুন প্রকার পিতলে তামা ও দস্তার পরিমাণের অনুপাত $ 5 x: 2 x=5: 2 $

আরও দেখুনঃ

10. দু-প্রকার স্টেনলেস স্টিলে ক্রোমিয়াম ও স্টিলের পরিমাণের অনুপাত যথাক্রমে 2 : 11 এবং 5 : 21; এই দু-প্রকার স্টেনলেস স্টিল কী অনুপাতে মেশালে নতুন স্টেনলেস স্টিলে ক্রোমিয়াম ও স্টিলের অনুপাত 7 : 32 হবে হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ
ধরি, প্রথম প্রকার স্টেনলেস স্টিল $x$ এককের সঙ্গে দ্বিতীয় প্রকারের স্টেনলেস স্টিল $y$ একক মেশানো হবে।

প্রথম প্রকার স্টেনলেস স্টিলে ক্রোমিয়াম ও স্টিলের পরিমাণের অনুপাত $2:11$

প্রথম প্রকার $ x $ একক স্টেনলেস স্টিলে তামার পরিমাণ
$=\frac{2}{13} \times x $ একক
$=\frac{2 x}{13} $ একক

এবং দস্তার পরিমাণ
$=\frac{11}{13} \times x $ একক
$=\frac{11 x}{13} $ একক

দ্বিতীয় প্রকার স্টেনলেস স্টিলে ক্রোমিয়াম ও স্টিলের পরিমাণের অনুপাত $5:21$
দ্বিতীয় প্রকার y একক স্টেনলেস স্টিলে তামার পরিমাণ
$=\frac{5}{26} \times y $ একক
$=\frac{5 y}{26} $ একক

এবং দস্তার পরিমাণ
$=\frac{21}{26} \times y $ একক
$=\frac{21 y}{26} $ একক

নতুন স্টেনলেস স্টিলে তামার পরিমাণ
$=\left(\frac{2 x}{13}+\frac{5 y}{26}\right) $ একক
$=\left(\frac{4 x+5 y}{26}\right) $ একক

এবং দস্তার পরিমাণ
$=\left(\frac{11 x}{13}+\frac{21 y}{26}\right) $ একক
$=\left(\frac{22 x+21 y}{26}\right) $ একক

শর্তানুসারে,
\[
\frac{\left(\frac{4 x+5 y}{25}\right)}{\left(\frac{22 x+21 y}{28}\right)}=\frac{7}{32}
\]

বা, $ \frac{4 x+5 y}{22 x+21 y}=\frac{7}{32} $
বা, $ 128 x+160 y=154 x+147 y $
বা, $ 128 x-154 x=147 y-160 y $
বা, $ -26 x=-13 y $
বা, $ 26 x=13 y $
বা, $ \frac{x}{y}=\frac{13}{26} $
$\therefore \quad x: y=1: 2$

$ \therefore $ এই দু-প্রকার স্টেনলেস স্টিল $1:2$ অনুপাতে মেশালে নতুন স্টেনলেস স্টিলে ক্রোমিয়াম ও স্টিলের অনুপাত $ 7: 32 $ হবে।

11. একপাত্র শরবতে 5 : 2 অনুপাতে সিরাপ ও জল মেশানো আছে। এই শরবতের কতটুকু অংশ তুলে নিয়ে তাঁর পরিবর্তে সমপরিমাণ জল ঢাললে সিরাপ ও জলের পরিমাণ সমান সমান হবে হিসাব করে লিখি।

12. নীচের ছক দেখি, গণিতের গল্প তৈরি করি ও উত্তর খুঁজি :

ক্রমিক নং	দুটি মিশ্রণের প্রত্যেকটিতে উপাদান দুটির পরিমাণের অনুপাত	নতুন মিশ্রণে মিশ্রণ দুটির পরিমাণের অনুপাত	নতুন মিশ্রণে উপাদান দুটির পরিমাণের অনুপাত
1	5 : 4 এবং 3 : 2	মিশ্রণদুটি সমান পরিমাণ নিয়ে
2	4 : 5 এবং 5 : 1		5 : 4
3	3 : 4 এবং 9 : 5	1 : 2 অনুপাতে
4	2 : 3 এবং 5 : 4		1 : 1
5	4 : 3 এবং 5 : 2		9 : 5

সমাধানঃ
(1) গণিতের গল্পঃ
দুইপ্রকার শরবতে জল ও সিরাপের পরিমাণের অনুপাত যথাক্রমে $5:4$ এবং $3:2$; এই দুইপ্রকার শরবতে সমান পরিমাণ মেশালে নতুন মিশ্রণে সিরাপ ও জলের পরিমাণের অনুপাত কত হবে হিসাব করি।
উত্তরঃ
প্রথম প্রকার শরবতে জল ও সিরাপের পরিমাণের অনুপাত $5:4$
$ \therefore \quad $ প্রথম প্রকার শরবতে জল আছে $ \frac{5}{9} $ অংশ এবং সিরাপ আছে $ \frac{4}{9} $ অংশ

দ্বিতীয় প্রকার শরবতে জল ও সিরাপের পরিমাণের অনুপাত $3:2$
$ \therefore $ দ্বিতীয় প্রকার শরবতে জল আছে $ \frac{3}{5} $ অংশ এবং সিরাপ আছে $ \frac{2}{5} $ অংশ

দুইপ্বকার শরবত সমরপরিমান মিশ্রিত করলে নতুন মিশ্রনে জলের পরিমাণ
$=\left(\frac{5}{9}+\frac{3}{5}\right) $ অংশ
$=\frac{25+27}{45} $ অংশ
$=\frac{52}{45} $ অংশ

এবং সিরাপের পরিমাণ
$=\left(\frac{4}{9}+\frac{2}{5}\right) $ অংশ
$=\frac{20+18}{45} $ অংশ
$=\frac{38}{45} $ অংশ

নতুন মিশ্রণে সিরাপ ও জলের পরিমাণের অনুপাত
\[
\begin{array}{l}
=\frac{52}{45}: \frac{38}{45} \\
=52: 38 \\
=26: 19
\end{array}
\]

(2) গণিতের গল্পঃ
দুই প্রকার পিতলে তামা ও দন্তার পরিমাণের অনুপাত $4:5$ এবং $5:1$; এই দুই প্রকার পিতল কী অনুপাতে মেশালে নতুন পিতলে তামা ও দস্তার পরিমাণের অনুপাত $5:4$ হবে।
উত্তরঃ
ধরি, প্রথম প্রকার পিতল $ x$ একক এবং দ্বিতীয় প্রকার পিতল $ y$ একক মেশানো হবে।

প্রথম প্রকার পিতলে তামা ও দস্তার পরিমাণের অনুপাত $4:5$
প্রথম প্রকার $ x $ একক পিতলে
তামার পরিমাণ
$=\frac{4}{9} \times x $ একক
$=\frac{4 x}{9} $ একক

এবং দস্তার পরিমাণ
$\frac{5}{9} \times x $ একক
$=\frac{5 x}{9} $ একক

দ্বিতীয় প্রকার পিতলে তামা ও দস্তার পরিমাণের অনুপাত $5:1$
দ্বিতীয় প্রকার $y$ একক পিতলে
তামার পরিমাণ
$=\frac{5}{6} \times y $ একক
$=\frac{5 y}{6} $ একক

এবং দস্তার পরিমাণ
$=\frac{1}{5} \times y $ একক
$=\frac{y}{6} $ একক

নতুন মিশ্রণে তামার পরিমাণ
$=\left(\frac{4 x}{9}+\frac{5 y}{6}\right) $ একক
$=\left(\frac{8 x+15 y}{18}\right) $ একক

এবং দস্তার পরিমাণ
$=\left(\frac{5 x}{9}+\frac{y}{6}\right) $ একক
$=\left(\frac{10 x+3 y}{18}\right) $ একক

শর্তানুসারে,
\[
\left(\frac{8 x+15 y}{18}\right):\left(\frac{10 x+3 y}{18}\right)=5: 4
\] বা, $ \frac{8 x+15 y}{10 x+3 y}=\frac{5}{4} $
বা, $ 50 x+15 y=32 x+60 y $
বা, $ 50 x-32 x=60 y-15 y $
বা, $ 18 x=45 y $
বা, $ \frac{x}{y}=\frac{45}{18} $
\[
\therefore \quad x: y=5: 2
\]

আরও দেখুনঃ

(3) গণিতের গল্পঃ
দুই প্রকার গৃঁড়ো সাবানে সোডা ও সাবান গুঁড়োর পরিমাণের অনুপাত $ 3: 4 $ এবং $9:5$; এই দুই প্রকার গুঞড়ো সাবান $1:2$ অনুপাতে মেশালে নতুন গু็ড়ো সাবানে সোডা ও সাবান গুঁড়োর পরিমাণের অনুপাত কত হবে?
উত্তরঃ
ধরি, প্রথম প্রকার গুড়ো সাবান $ x $ একক এবং দ্বিতীয় প্রকার গুঁড়ো সাবান $ 2 x $ একক মেশানো হবে।
প্রথম প্রকার গুঁড়ো সাবানে সোডা ও সাবান গুঁড়োর পরিমাণের অনুপাত $3:4$

প্রথম প্রকার গুঁড়ে সাবানে সোডা ও সাবান গুঁড়োর পরিমাণের অনুপাত $3:4$
প্রথম প্রকার $ x $ একক গুডড়ো সাবানে
সোডার পরিমাণ $ =\frac{3}{7} \times x $ একক
$=\frac{3 x}{7} $ একক

এবং সাবান গুঁড়োর পরিমাণ
$=\frac{4}{7} \times x $ একক
$=\frac{4 x}{7} $ একক

দ্বিতীয় প্রকার গুঁড়ো সাবানে সোডা ও সাবান গুঁড়োর পরিমাণের অনুপাত $9:5$
প্রথম প্রকার $ 2 x $ একক গুঁড়ো সাবানে
সোডার পরিমাণ $ =\frac{9}{14} \times 2 x $ একক
$=\frac{9 x}{7} $ একক

এবং সাবান গুঁড়োর পরিমাণ
$=\frac{5}{7} \times 2 x $ একক
$=\frac{5 x}{7} $ একক

নতুন গুঁড়ো সাবানে সোডার পরিমাণ
$=\left(\frac{3 x}{7}+\frac{9 x}{7}\right) $ একক
$=\frac{12 x}{7} $ একক

এবং সাবান গুঁড়োর পরিমাণ
$=\left(\frac{4 x}{7}+\frac{5 x}{7}\right) $ একক
$=\frac{9 x}{7} $ একক

$ \therefore $ নতুন গুঁড়ো সাবানে সোডা ও সাবান গুঁড়োর পরিমাণের অনুপাত
\[
\begin{array}{l}
=\frac{12 x}{7}: \frac{9 x}{7} \\
=12: 9 \\
=4: 3
\end{array}
\]

(4) গণিতের গল্পঃ
দুই প্রকার পিতলে তামা ও দস্তার পরিমাণের অনুপাত $ 2: 3 $ এবং $5:4$ ; এই দুই প্রকার পিতল কী অনুপাতে মেশালে নতুন পিতলে তামা ও দস্তার পরিমাণের অনুপাত $1:1$ হবে।
উত্তর:
ধরি, প্রথম প্রকার পিতল $x$ একক এবং দ্বিতীয় প্রকার পিতল $y$ একক মেশানো হবে।

প্রথম প্রকার পিতলে তামা ও দস্তার পরিমাণের অনুপাত $2:3$

প্রথম প্রকার $x $ একক পিতলে
তামার পরিমাণ
$=\frac{2}{5} \times x $ একক
$=\frac{2 x}{5} $ একক

এবং দস্তার পরিমাণ
$=\frac{3}{5} \times x $ একক
$=\frac{3 x}{5} $ একক

দ্বিতীয় প্রকার পিতলে তামা ও দস্তার পরিমাণের অনুপাত $5:4$

দ্বিতীয় প্রকার $y$ একক পিতলে
তামার পরিমাণ
$=\frac{5}{9} \times y $ একক
$=\frac{5 y}{9} $ একক

এবং দস্তার পরিমাণ
$=\frac{4}{9} \times y $ একক
$=\frac{4 y}{9} $ একক

নতুন মিশ্রণে তামার পরিমাণ
$=\left(\frac{2 x}{5}+\frac{5 y}{9}\right) $ একক
$=\left(\frac{18 x+25 y}{45}\right) $ একক

এবং দস্তার পরিমাণ
$=\left(\frac{3 x}{5}+\frac{4 y}{9}\right) $ একক
$=\left(\frac{27 x+20 y}{45}\right) $ একক

শর্তানুসারে,
\[
\left(\frac{18 x+25 y}{45}\right):\left(\frac{27 x+20 y}{45}\right)=1: 1
\] বা, $ \frac{18 x+25 y}{27 x+20 y}=\frac{1}{1} $
বা, $ 27 x+20 y=18 x+25 y $
বা, $ 27 x-18 x=25 y-20 y $
বা, $ 9 x=5 y $
বা, $ \frac{x}{y}=\frac{5}{9} $
\[
\therefore \quad x: y=5: 9
\]

(5) গণিতের গল্পঃ
দুই প্রকার পিতলে তামা ও দন্তার পরিমাণের অনুপাত $ 4: 3 $ এবং $5:2$ ; এই দুই প্রকার পিতল কী অনুপাতে মেশালে নতুন পিতলে তামা ও দস্তার পরিমাণের অনুপাত $ 9: 5 $ হবে।
উত্তর:
ধরি, প্রথম প্রকার পিতল $x$ একক এবং দ্বিতীয় প্রকার পিতল $y$ একক মেশানো হবে।

প্রথম প্রকার পিতলে তামা ও দস্তার পরিমাণের অনুপাত $4:3$

প্রথম প্রকার $x$ একক পিতলে
তামার পরিমাণ
$=\frac{4}{7} \times x $ একক
$=\frac{4 x}{7} $ একক

এবং দস্তার পরিমাণ
$=\frac{3}{7} \times \boldsymbol{x} $ একক
$=\frac{3 x}{7} $ একক

দ্বিতীয় প্রকার পিতলে তামা ও দন্তার পরিমাণের অনুপাত $5:2$

দ্বিতীয় প্রকার $ y$ একক পিতলে
তামার পরিমাণ
$=\frac{5}{7} \times y $ একক
$=\frac{5 y}{7} $ একক

এবং দস্তার পরিমাণ
$=\frac{2}{7} \times y $ একক
$=\frac{2 y}{7} $ একক

নতুন মিশ্রণে তামার পরিমাণ
$=\left(\frac{4 x}{7}+\frac{5 y}{7}\right) $ একক
$=\left(\frac{4 x+5 y}{7}\right) $ একক

এবং দস্তার পরিমাণ
$=\left(\frac{3 x}{7}+\frac{2 y}{7}\right) $ একক
$=\left(\frac{3 x+2 y}{7}\right) $ একক

শর্তানুসারে,
\[
\left(\frac{4 x+5 y}{7}\right):\left(\frac{3 x+2 y}{7}\right)=9: 5
\]

বা, $ \frac{4 x+5 y}{3 x+2 y}=\frac{9}{5} $
বা, $ 27 x+18 y=20 x+25 y $
বা, $ 27 x-20 x=25 y-18 y $
বা, $ 7 x=7 y $
বা, $ \frac{x}{y}=\frac{7}{7} $
$ \therefore \quad x: y=1: 1 $

আরও দেখুনঃ

13. 700 লিটার একটি মিশ্রণে তিন ধরনের তরলের প্রথম ও দ্বিতীয় ধরনের পরিমাণের অনুপাত 2 : 3 এবং দ্বিতীয় ও তৃতীয় ধরনের পরিমাণের অনুপাত 4 : 5; ওই মিশ্রণে প্রথম ও দ্বিতীয় প্রকার তরল কত পরিমাণে মেশালে নতুন মিশ্রণে তিন প্রকার তরলের পরিমাণের অনুপাত 6 : 5 : 3 হবে তা হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ
প্রথম ও দ্বিতীয় প্রকার তরলের পরিমাণের অনুপাত
$=2: 3=2 \times 4: 3 \times 4=8: 12$

দ্বিতীয় ও তৃতীয় প্রকার তরলের পরিমাণের অনুপাত $=4: 5=4 \times 3: 5 \times 3=12: 15 $

$ \therefore $ প্রথম, দ্বিতীয় ও তৃতীয় প্রকার তরলের পরিমাণের অনুপাত $=8: 12: 15$

700 লিটার মিশ্রণে প্রথম প্রকার তরল আছে
$ =\frac{8}{35} \times 700 $ লিটার $ =160 $ লিটার

700 লিটার মিশ্রণে দ্বিতীয় প্রকার তরল আছে
$ =\frac{12}{35} \times 700 $ লিটার $ =240 $ লিটার

700 লিটার মিশ্রণে তৃতীয় প্রকার তরল আছে
$=\frac{15}{35} \times 700$ লিটার $=300$ লিটার

ধরি, প্রথম প্রকার তরল $x$ লিটার এবং দ্বিতীয় প্রকার তরল $y$ লিটার মেশানো হবে।

$ \therefore $ নতুন মিশ্রণে প্রথম প্রকার তরলের পরিমাণ $=(160+x)$ লিটার
এবং দ্বিতীয় প্রকার তরলের পরিমাণ $= (240+y)$ লিটার

শর্তানুসারে,
$\frac{160+x}{300}=\frac{6}{3}$
বা, $ 480+3 x=1800 $
বা, $ 3 x=1800-480 $
বা, $ 3 x=1320 $
$\therefore x=440 $

14. এক প্রকার সিরাপে জল এবং অবশিষ্টাংশের পরিমাণের অনুপাত 89 : 11; এইরূপ 22 লিটার সিরাপে আর কত লিটার জল মেশালে জল ও অবশিষ্টাংশের পরিমাণের অনুপাত 90 : 10 হবে তা হিসাব করে লিখি ।

সমাধানঃ
সিরাপে জল ও অবশিষ্টাংশের পরিমাণের অনুপাত $89:11$

$22$ লিটার সিরাপে জলের পরিমান
$ =\frac{89}{100} \times 22 $ লিটার
$ =\frac{979}{50} $ লিটার

এবং অবশিষ্টাংশের পরিমান
$ =\frac{11}{100} \times 22 $ লিটার
$ =\frac{121}{50} $ লিটার

ধরি, $x$ লিটার জল মেশাতে হবে
$ \therefore \quad $ নতুন মিশ্রণে জলের পরিমাণ $ =\left(\frac{979}{50}+x\right) $ লিটার
প্রশ্নানুসারে,
\[
\frac{\left(\frac{979}{50}+x\right)}{\frac{121}{50}}=\frac{90}{10}
\]

বা, $ \frac{\left(\frac{979+50 x}{50}\right)}{\frac{121}{50}}=\frac{90}{10} $
বা, $ \frac{979+50 x}{121}=\frac{9}{1} $
বা, $ 979+50 x=1089 $
বা, $ 50 x=1089-979 $
বা, $ 50 x=110 $
$ \therefore \quad x=2.2 $

$ \therefore \quad $ আর $2.2$ লিটার জল মেশালে জল ও অবশিষ্টাংশের পরিমাণের অনুপাত $90:10$ হবে।

আরও দেখুনঃ