Koshe dekhi 15.3 class 9

ত্রিভুজ ও চতুর্ভুজের পরিসীমা ও ক্ষেত্রফল : কষে দেখি - 15.3

1. রাতুল একটি সামান্তরিক এঁকেছে যার ভূমির দৈর্ঘ্য 5 সেমি. এবং উচ্চতা 4 সেমি.। রাতুলের আঁকা সামান্তরিক আকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল হিসাব করি।

সমাধানঃ

রাতুলের আঁকা সামান্তরিক আকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল

= ভূমির দৈর্ঘ্য × উচ্চতা

= 5 সেমি. × 4 সেমি.

= 20 বর্গসেমি.

উত্তরঃ রাতুলের আঁকা সামান্তরিক আকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 20 বর্গসেমি.।

Koshe dekhi 15.3 class 9

ত্রিভুজ ও চতুর্ভুজের পরিসীমা ও ক্ষেত্রফল : কষে দেখি - 15.3

2. একটি সামান্তরিকের ভূমি তার উচ্চতার দ্বিগুণ। যদি সামান্তরিক আকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 98 বর্গ সেমি. হয় তাহলে সামান্তরিকটির দৈর্ঘ্য ও উচ্চতার পরিমাপ হিসাব করি।

সমাধানঃ

ধরি, সামান্তরিকটির উচ্চতা h সেমি

∴ সামান্তরিকটির ভূমির দৈর্ঘ্য = 2h সেমি

প্রশ্নানুসারে,

h × 2h = 98

বা, 2h²= 98

বা, h²= 49

বা, $h=\sqrt{49}$

∴ h = 7

সামান্তরিকটির ভূমির দৈর্ঘ্য = 2 × 7 = 14 সেমি

উত্তরঃ সামান্তরিকটির ভূমির দৈর্ঘ্য 14 সেমি. ও উচ্চতা 7 সেমি.

Koshe dekhi 15.3 class 9

ত্রিভুজ ও চতুর্ভুজের পরিসীমা ও ক্ষেত্রফল : কষে দেখি - 15.3

3. আমাদের বাড়ির পাশে একটি সামান্তরিক আকারের জমি আছে যার সন্নিহিত বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 15 মিটার ও 13 মিটার। যদি এই জমির একটি কর্ণের দৈর্ঘ্য 14 মিটার হয়, তবে হিসাব করে সামান্তরিক আকারের জমির ক্ষেত্রফল লিখি।

সমাধানঃ

ধরি, ABCD একটি সামান্তরিক আকারের জমি যার সন্নিহিত বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে BC = 15 মিটার ও AB = 13 মিটার।

যেহেতু, BD>BC

∴ BD ≠ 14 মিটার

∴ কর্ণের দৈর্ঘ্য AC = 14 মিটার

∴ ΔABC এর অর্ধপরিসীমা (s)

$=\frac{15+13+14}{2}$

= 21 মিটার

∴ ΔABC এর ক্ষেত্রফল

$=\sqrt{s\left ( s-a \right )\left ( s-b \right )\left ( s-c \right )}$

$=\sqrt{21\left ( 21-15 \right )\left ( 21-13 \right )\left ( 21-14 \right )}$

$=\sqrt{21\times 6\times 8\times 7}$

$=\sqrt{7\times 3\times 3\times 2\times 2\times 2\times 2\times 7}$

= 7 × 3 × 2 × 2

= 84 বর্গ মিটার

যেহেতু, সামান্তরিকের কর্ণ সামান্তরিককে দুটি সমান ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট ত্রিভুজে ভাগ করে, সুতরাং সামান্তরিক আকারের জমির ক্ষেত্রফল = 2 × 84 বর্গমিটার = 168 বর্গমিটার।

উত্তরঃ সামান্তরিক আকারের জমির ক্ষেত্রফল 168 বর্গমিটার।

Koshe dekhi 15.3 class 9

ত্রিভুজ ও চতুর্ভুজের পরিসীমা ও ক্ষেত্রফল : কষে দেখি - 15.3

4. পৃথা একটি সামান্তরিক এঁকেছে যার সন্নিহিত বাহুগুলির দৈর্ঘ্য 25 সেমি. ও 15 সেমি. এবং একটি কর্ণের দৈর্ঘ্য 20 সেমি.। হিসাব করে 25 সেমি. বাহুর উপর সামান্তরিকের উচ্চতার পরিমাপ লিখি।

সমাধানঃ

ধরি, ABCD একটি সামান্তরিক যার সন্নিহিত বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে BC = 25 সেমি. ও AB = 15 সেমি.।

যেহেতু, BD>BC

∴ BD ≠ 20 সেমি.

∴ কর্ণের দৈর্ঘ্য AC = 20 সেমি.

∴ ΔABC এর অর্ধপরিসীমা (s)

$=\frac{25+15+20}{2}$

= 30 সেমি.

∴ ΔABC এর ক্ষেত্রফল

$=\sqrt{s\left ( s-a \right )\left ( s-b \right )\left ( s-c \right )}$

$=\sqrt{30\left ( 30-25\right )\left ( 30-15 \right )\left ( 30-20\right )}$

$=\sqrt{30\times 5\times 15\times 10}$

$=\sqrt{3\times 10\times 5\times 3\times 5\times 10}$

= 10 × 3 × 5

= 150 বর্গ সেমি.

সুতরাং,

$\frac{1}{2}\times BC\times AE=150$

বা, $\frac{1}{2}\times 25\times AE=150$

বা, $AE=\frac{150\times 2}{25}$

∴ AE = 12 সেমি.

উত্তরঃ 25 সেমি. বাহুর উপর সামান্তরিকের উচ্চতা 12 সেমি.।

Koshe dekhi 15.3 class 9

ত্রিভুজ ও চতুর্ভুজের পরিসীমা ও ক্ষেত্রফল : কষে দেখি - 15.3

5. একটি সামান্তরিকের দুটি সন্নিহিত বাহুর দৈর্ঘ্য 15 সেমি. ও 12 সেমি.। ক্ষুদ্রতর বাহু দুটির দূরত্ব 7.5 সেমি. হলে, বৃহত্তর বাহু দুটির দূরত্ব হিসাব করি।

সমাধানঃ

ধরি, ABCD একটি সামান্তরিক যার সন্নিহিত বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে BC = 15 সেমি. ও AB = 12 সেমি.।

ক্ষুদ্রতর বাহু দুটি AB ও CD এর মধ্যে দূরত্ব CM = 7.5 সেমি. এবং বৃহত্তর বাহু দুটি AD ও BC এর মধ্যে দূরত্ব AN = x সেমি.

সুতরাং,

$\frac{1}{2}\times AB\times CM=\frac{1}{2}\times BC\times AN$

বা, $\frac{1}{2}\times 12\times 7.5=\frac{1}{2}\times 15\times x$

বা, 12 × 7.5 = 15 × x

বা, $x=\frac{12\times 7.5}{15}$

∴ x = 6 সেমি.

উত্তরঃ বৃহত্তর বাহু দুটির দূরত্ব 6 সেমি.।

Koshe dekhi 15.3 class 9

ত্রিভুজ ও চতুর্ভুজের পরিসীমা ও ক্ষেত্রফল : কষে দেখি - 15.3

6. একটি রম্বসের কর্ণদ্বয়ের পরিমাপ 15 মিটার ও 20 মিটার হলে, উহার পরিসীমা, ক্ষেত্রফল ও উচ্চতা হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ

ধরি, ABCD রম্বসের কর্ণদ্বয় AC = 15 মিটার ও BD = 20 মিটার

আমরা জানি, রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখন্ডিত করে।

∴ সমকোনী ত্রিভূজ AOB এর

$AO=\frac{1}{2}\times AC$

$\therefore AO=\frac{15}{2}$ মিটার এবং

$BO=\frac{1}{2}\times BD$

$\therefore BO=\frac{20}{2}=10$ মিটার

এখন,

AB²= BO²+ AO²

বা, $AB^{2}=\left ( 10 \right )^{2}+\left ( \frac{15}{2} \right )^{2}$

বা, $AB^{2}=100+\frac{225}{4}$

বা, $AB^{2}=\frac{400+225}{4}$

বা, $AB^{2}=\frac{625}{4}$

বা, $AB=\sqrt{\frac{625}{4}}$

$\therefore AB=\frac{25}{2}$

∴ রম্বসের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য $\frac{25}{2}$ মিটার।

∴ রম্বসটির পরিসীমা

$=4\times \frac{25}{2}$

= 50 মিটার এবং

রম্বসটির ক্ষেত্রফল

$=\frac{1}{2}\times AC\times BD$

$=\frac{1}{2}\times 15\times 20$

= 150 বর্গমিটার

ΔABC এর ক্ষেত্রফল

$=\frac{150}{2}$ মিটার

= 75 মিটার

ধরি, রম্বসটির উচ্চতা AP= h মিটার

এখন,

$\frac{1}{2}\times BC\times AP=75$

বা, $\frac{1}{2}\times \frac{25}{2}\times h=75$

বা, $h=\frac{75\times 2\times 2}{25}$

∴ h = 12 মিটার

উত্তরঃ রম্বসটির পরিসীমা 50 মিটার, ক্ষেত্রফল 150 বর্গমিটার এবং উচ্চতা 12 মিটার।

Koshe dekhi 15.3 class 9

ত্রিভুজ ও চতুর্ভুজের পরিসীমা ও ক্ষেত্রফল : কষে দেখি - 15.3

7. একটি রম্বসের পরিসীমা 440 মিটার এবং সমান্তরাল বাহুদুটির মধ্যে দূরত্ব 22 মিটার হলে রম্বস আকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ

প্রদত্ত, রম্বসের পরিসীমা 440 মিটার

∴ রম্বসের বাহুর দৈর্ঘ্য

$=\frac{440}{4}$

= 110 মিটার

এবং সমান্তরাল বাহুদুটির মধ্যে দূরত্ব 22 মিটার

অর্থাৎ, রম্বসের উচ্চতা = 22 মিটার।

∴ রম্বসের ক্ষেত্রফল

= 110 মিটার × 22 মিটার

= 2420 বর্গ মিটার

উত্তরঃ রম্বস আকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 2420 বর্গ মিটার।

Koshe dekhi 15.3 class 9

ত্রিভুজ ও চতুর্ভুজের পরিসীমা ও ক্ষেত্রফল : কষে দেখি - 15.3

8.যদি একটি রম্বসের পরিসীমা 20 সেমি. এবং একটি কর্ণের দৈর্ঘ্য 6 সেমি. হয়, তবে ওই রম্বসের ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ

ধরি, ABCD রম্বসের পরিসীমা 20 সেমি।

∴ রম্বসের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য

$=\frac{20}{4}$ সেমি

= 5 সেমি

এবং রম্বসের একটি কর্ণের দৈর্ঘ্য AC=6 সেমি।

আমরা জানি, রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখন্ডিত করে।

∴ AO = OC $=\frac{6}{2}$ সেমি =3 সেমি

এখন, সমকোণী ত্রিভূজ AOB থেকে পাই,

OB² = AB²− AO²

বা, OB² =5²− 3²

বা, OB² = 25 − 9

বা, OB = √16

∴ OB = 4সেমি

∴ BD = 2 × OB = 2 × 4 সেমি = ৪ সেমি

∴ রম্বসটির ক্ষেত্রফল

$=\frac{1}{2}\times AC\times BD$

$=\frac{1}{2}\times 6\times 8$ বর্গ সেমি

= 24 বর্গ সেমি

উত্তরঃ রম্বসটির ক্ষেত্রফল 24 বর্গ সেমি।

Koshe dekhi 15.3 class 9

ত্রিভুজ ও চতুর্ভুজের পরিসীমা ও ক্ষেত্রফল : কষে দেখি - 15.3

9. একটি ট্রাপিজিয়াম আকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 1400 বর্গ ডেকামিটার। উহার সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যে লম্ব দূরত্ব 20 ডেকামিটার এবং সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্যের অনুপাত 3:4 হলে, ওই বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ

ধরি, ট্রাপিজিয়াম আকার ক্ষেত্রটির বাহুদ্বয় যথাক্রমে 3x ডেকামিটার এবং 4x ডেকামিটার।

প্রশ্নানুসারে,

$\frac{1}{2}\times$ সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের যোগফল × উচ্চতা = 1400

বা, $\frac{1}{2}\times$ (3x + 4x) × 20 = 1400

70x = 1400

বা, $x=\frac{1400}{70}$

∴ x = 20

∴ ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে = 3 × 20 ডেকামিটার = 60 ডেকামিটার এবং 4 × 20 = 80 ডেকামিটার।

উত্তরঃ ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 60 ডেকামিটার এবং 80 ডেকামিটার।

Koshe dekhi 15.3 class 9

ত্রিভুজ ও চতুর্ভুজের পরিসীমা ও ক্ষেত্রফল : কষে দেখি - 15.3

10. 8 সেমি বাহুবিশিষ্ট সুষম ষড়ভুজাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি (সংকেত: সুষম ষড়ভুজের কর্ণগুলি আঁকা হলে ছয়টি সর্বসম সমবাহু ত্রিভুজ পাব)

সমাধানঃ

যেহেতু, সুষম ষড়ভুজের কর্ণগুলি সুষম ষড়ভুজটিকে সমান ছয়টি সর্বসম সমবাহু ত্রিভুজে ভাগ করে সুতরাং,

8 সেমি. বাহুবিশিষ্ট সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল

$=\frac{\sqrt{3}}{4}\times \left (8 \right )^{2}$

$=\frac{\sqrt{3}}{4}\times 8\times 8$

= 16√3 বর্গ সেমি.

∴ সুষম ষড়ভুজাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল

= 6 × 16√3

= 96√3 বর্গ সেমি.

উত্তরঃ সুষম ষড়ভুজাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 96√3 বর্গ সেমি.

Koshe dekhi 15.3 class 9

ত্রিভুজ ও চতুর্ভুজের পরিসীমা ও ক্ষেত্রফল : কষে দেখি - 15.3

11. ABCD চতুর্ভুজের AB =5 মিটার, BC =12 মিটার, CD =14 মিটার, DA =15 মিটার এবং ∠ABC=90° হলে ABCD চতুর্ভুজাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ

ধরি, ABCD চতুর্ভুজের AB = 5 মিটার, BC = 12 মিটার, CD = 14 মিটার, DA = 15 মিটার এবং ∠ABC=90°

∴ সমকোণী ত্রিভূজ ABC থেকে পাই,

AC²= AB² + BC²

বা, AC²= 5² + 12²

বা, AC² = 25 + 144

বা, $AC=\sqrt{169}$

∴ AC = 13

সমকোণী ΔABC এর ক্ষেত্রফল

$=\frac{1}{2}\times 5\times 12$ বর্গ মিটার

= 30 বর্গমিটার

এখন বিষমবাহু ΔACD এর অর্ধপরিসীমা

$=\frac{1}{2}\times \left ( 13+14+15 \right )$ মিটার

= 21 মিটার

∴ ΔACD এর ক্ষেত্রফল

$=\sqrt{21\left ( 21-13 \right )\times \left ( 21-14 \right )\times \left ( 21-15 \right )}$

$=\sqrt{21\times 8\times 7\times 6}$

$=\sqrt{7\times 3\times 2\times 2\times 2\times 7\times 2\times 3}$

= 7 × 3 × 2 × 2

= 84 বর্গমিটার

∴ ABCD চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল = (30 + 84) বর্গমিটার = 114 বর্গমিটার

উত্তরঃ ABCD চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল 114 বর্গমিটার।

Koshe dekhi 15.3 class 9

ত্রিভুজ ও চতুর্ভুজের পরিসীমা ও ক্ষেত্রফল : কষে দেখি - 15.3

12. সাহিন ABCD একটি ট্রাপিজিয়াম এঁকেছে, যার BD কর্ণের দৈর্ঘ্য 11 সেমি. এবং A ও C বিন্দু থেকে BD কর্ণের উপর দুটি লম্ব এঁকেছে যাদের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 5 সেমি. ও 11 সেমি.। হিসাব করে ট্রাপিজিয়াম আকার ক্ষেত্র ABCD -এর ক্ষেত্রফল লিখি।

সমাধানঃ

প্রদত্ত, ABCD একটি ট্রাপিজিয়ামের BD কর্ণের দৈর্ঘ্য 11 সেমি.

ধরি, A ও C বিন্দু থেকে BD কর্ণের উপর অঙ্কিত দুটি লম্বের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে AP = 5 সেমি. ও CR = 11 সেমি.।

এখন, ΔABD এর ক্ষেত্রফল

$=\frac{1}{2}\times BD\times AP$

$=\frac{1}{2}\times 11\times 5$

$=\frac{55}{2}$ বর্গসেমি

আবার,

ΔBDC এর ক্ষেত্রফল

$=\frac{1}{2}\times BD\times CR$

$=\frac{1}{2}\times 11\times 11$

$=\frac{121}{2}$ বর্গসেমি

∴ ABCD -এর ক্ষেত্রফল

$=\left ( \frac{55}{2}+\frac{121}{2} \right )$ বর্গসেমি

$=\frac{55+121}{2}$ বর্গসেমি

$=\frac{176}{2}$ বর্গসেমি

= 88 বর্গসেমি

উত্তরঃ ABCD ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল 88 বর্গসেমি।

Koshe dekhi 15.3 class 9

ত্রিভুজ ও চতুর্ভুজের পরিসীমা ও ক্ষেত্রফল : কষে দেখি - 15.3

13. ABCDE একটি পঞ্চভুজ যার BC বাহুটি AD কর্ণের সমান্তরাল, EP, BC -এর উপর লম্ব এবং EP, AD-কে Q বিন্দুতে ছেদ করেছে ৷ BC = 7 সেমি., AD =13 সেমি., PE =9 সেমি., এবং PQ = ${\color{Blue} \frac{4}{9}}$ PE হলে ABCDE পঞ্চভুজাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ

প্রদত্ত, ABCDE একটি পঞ্চভুজ যার BC বাহুটি AD কর্ণের সমান্তরাল, EP, BC -এর উপর লম্ব এবং EP, AD-কে Q বিন্দুতে ছেদ করেছে ৷

BC = 7 সেমি.,

AD =13 সেমি.,

PE =9 সেমি.,

এবং PQ = $\frac{4}{9}$ PE = $\frac{4}{9}\times 9$ = 4 সেমি.

∴ EQ = (9 − 4) সেমি. = 5 সেমি.

এখন, ABCD ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল

$=\frac{1}{2}\times$ সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের যোগফল × উচ্চতা

$=\frac{1}{2}\times\left ( BC+AD \right )\times PQ$

$=\frac{1}{2}\times\left ( 7+13\right )\times 4$

= 40 বর্গসেমি

যেহেতু, BC//AD এবং EP⊥BC

∴ EQ⊥BD

∴ ΔEAD এর ক্ষেত্রফল

$=\frac{1}{2}\times BD\times EQ$

$=\frac{1}{2}\times 13\times 5$

$=\frac{65}{2}$

= 32.5 বর্গসেমি

∴ ABCDE পঞ্চভুজাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল

= ABCD ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল + ΔEAD এর ক্ষেত্রফল

= (40 + 32.5) বর্গসেমি

= 72.5 বর্গসেমি

উত্তরঃ ABCDE পঞ্চভুজাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 72.5 বর্গসেমি।

Koshe dekhi 15.3 class 9

ত্রিভুজ ও চতুর্ভুজের পরিসীমা ও ক্ষেত্রফল : কষে দেখি - 15.3

14. একটি রম্বসের বাহুর দৈর্ঘ্য ও একটি বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য সমান এবং বর্গক্ষেত্রটির কর্ণের দৈর্ঘ্য 40√2 সেমি.। যদি রম্বসের কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্যের অনুপাত 3:4 হয়, তাহলে রম্বস আকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ

ধরি, রম্বসের বাহুর দৈর্ঘ্য = বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য = x সেমি.।

প্রশ্নানুসারে,

$x\sqrt{2}=40\sqrt{2}$

∴ x = 40

ধরি, রম্বসের কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে AC = 3a সেমি. এবং BD = 4a সেমি.

আমরা জানি, রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখন্ডিত করে।

∴ সমকোনী ত্রিভূজ AOB এর

BO²+ AO²= AB²

বা, $\left ( \frac{3a}{2} \right )^{2}+\left ( \frac{4a}{2} \right )^{2}=\left ( 40 \right )^{2}$

বা, $\frac{9a^{2}}{4}+\frac{16a^{2}}{4}=\left ( 40 \right )^{2}$

বা, $\frac{9a^{2}+16a^{2}}{4}=\left ( 40 \right )^{2}$

বা, $\frac{25a^{2}}{4}=\left ( 40 \right )^{2}$

বা, $\left (\frac{5a}{2} \right )^{2}=\left ( 40 \right )^{2}$

বা, $\frac{5a}{2}=40$

বা, $a=40\times \frac{2}{5}$

∴ a = 16

∴ AC = 3 × 16 = 48 সেমি. এবং

BD = 4 × 16 = 64 সেমি.

∴ ABCD রম্বসটির ক্ষেত্রফল

$=\frac{1}{2}\times AC\times BD$

$=\frac{1}{2}\times 48\times 64$

= 1536 বর্গসেমি.

উত্তরঃ রম্বস আকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 1536 বর্গসেমি.

Koshe dekhi 15.3 class 9

ত্রিভুজ ও চতুর্ভুজের পরিসীমা ও ক্ষেত্রফল : কষে দেখি - 15.3

15. একটি সমদ্বিবাহু ট্রাপিজিয়ামের তির্যক বাহুদ্বয়ের প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য 10 সেমি. এবং সমান্তরাল বাহুদুটির দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 5 সেমি. ও 17 সেমি.। ট্রাপিজিয়াম আকার ক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য ও ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ

ধরি, ABCD সমদ্বিবাহু ট্রাপিজিয়ামের তির্যক বাহুদ্বয় AB = CD = 10 সেমি. এবং সমান্তরাল বাহুদুটির দৈর্ঘ্য যথাক্রমে AD = 5 সেমি. ও BC = 17 সেমি.।

A এবং D বিন্দু থেকে BC বাহুর ওপর যথাক্রমে AP ও DQ লম্ব টানা হল।

যেহেতু, AD//BC

∴ PQ = AD = 5 সেমি.

আবার, ΔABP ও ΔCDQ এর

AB = CD, AP = DQ

∴ BP = CQ $=\frac{1}{2}\left ( 17-5 \right )$ সেমি. = 6 সেমি.

এখন, সমকোণী ত্রিভূজ ABP থেকে পাই,

AP² = AB²− BP²

বা, AP²= 10²− 6²

বা, AP²= 100 − 36

বা, AP = √64

∴ AP = 8 সেমি

আবার, সমকোণী ত্রিভূজ DBQ থেকে পাই,

BQ = BP + PQ = (6 + 5) সেমি = 11 সেমি এবং DQ = AP = 8 সেমি

BD²= BQ² + DQ²

বা, BD²= 11² + 8²

বা, BD²= 121 + 64

∴ $BD=\sqrt{185}$

ABCD ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল

$=\frac{1}{2}\times$ সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের যোগফল × উচ্চতা

$=\frac{1}{2}\times\left ( AD+BC \right )\times AP$

$=\frac{1}{2}\times\left ( 5+17\right )\times 8$

= 88 বর্গসেমি

উত্তরঃ ট্রাপিজিয়াম আকার ক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য ${\color{DarkGreen} \sqrt{185}}$ সেমি ও ক্ষেত্রফল 88 বর্গসেমি ।

Koshe dekhi 15.3 class 9

ত্রিভুজ ও চতুর্ভুজের পরিসীমা ও ক্ষেত্রফল : কষে দেখি - 15.3

16. একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য 19 সেমি. ও 9 সেমি. এবং তির্যক বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য ৪ সেমি. ও 6 সেমি.। ট্রাপিজিয়াম আকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল হিসাব করি।

সমাধানঃ

ধরি, ABCD ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য BC = 19 সেমি. ও AD = 9 সেমি. এবং তির্যক বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য AB = ৪ সেমি. ও CD = 6 সেমি.।

A এবং D বিন্দু থেকে BC বাহুর ওপর যথাক্রমে AP ও DQ লম্ব টানা হল।

যেহেতু, AD//BC

∴ PQ = AD = 9 সেমি. এবং

BP = BC − (PQ + CQ) = 19 − (9 + CQ) = (10 − CQ) সেমি.

এখন, সমকোণী ত্রিভূজ ABP থেকে পাই,

AP² = AB²− BP²

বা, AP²= 8²− BP²

বা, AP²= 64 − BP²…..(i)

আবার, সমকোণী ত্রিভূজ DCQ থেকে পাই,

DQ² = DC²− CQ²

বা, DQ² = 6²− CQ²

বা, DQ²= 36 − CQ²…..(ii)

আবার,

AP = DQ

বা, AP²= DQ²

বা, 64 − BP² = 36 − CQ²

বা, 64 − (10 − CQ)² = 36 − CQ²

বা, 64 − 100 + 20CQ − CQ² = 36 − CQ²

বা, 64 − 100 + 20CQ − CQ² − 36 + CQ²= 0

বা, 20CQ − 72 = 0

বা, 20CQ = 72

বা, $CQ=\frac{72}{20}$

$\therefore CQ=\frac{18}{5}$ সেমি.

(ii) নং সমীকরণে CQ এর মান বসিয়ে পাই,

DQ² = 36− $\left ( \frac{18}{5} \right )^{2}$

বা, DQ² = 36 − $\frac{324}{25}$

বা, DQ²= $\frac{900-324}{25}$

বা, DQ²= $\frac{576}{25}$

বা, DQ= $\frac{24}{5}$

∴ DQ = 4.8 সেমি. = AP

ABCD ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল

$=\frac{1}{2}\times$ সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের যোগফল × উচ্চতা

$=\frac{1}{2}\times\left ( AD+BC \right )\times AP$

$=\frac{1}{2}\times\left ( 9+19\right )\times 4.8$

= 67.2 বর্গসেমি

উত্তরঃ ট্রাপিজিয়াম আকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 67.2 বর্গসেমি ।

Koshe dekhi 15.3 class 9

ত্রিভুজ ও চতুর্ভুজের পরিসীমা ও ক্ষেত্রফল : কষে দেখি - 15.3

17. বহু বিকল্পীয় প্রশ্ন: (M.CQ)

(i) একটি সামান্তরিকের উচ্চতা ভূমির একতৃতীয়াংশ৷ সামান্তরিক আকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 192 বর্গসেমি. হলে সামান্তরিকটির উচ্চতা

(a) 4 সেমি. (b) ৪ সেমি. (C) 16 সেমি. (d) 24 সেমি.

সমাধানঃ

ধরি, সামান্তরিকটির উচ্চতা h সেমি

∴ সামান্তরিকটির ভূমির দৈর্ঘ্য = 3h সেমি

প্রশ্নানুসারে,

h × 3h = 192

বা, 3h²= 192

বা, h²= 64

বা, $h=\sqrt{64}$

∴ h = 8

উত্তরঃ (b) ৪ সেমি.

Koshe dekhi 15.3 class 9

ত্রিভুজ ও চতুর্ভুজের পরিসীমা ও ক্ষেত্রফল : কষে দেখি - 15.3

17. (ii) একটি রম্বসের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য 6 সেমি. এবং একটি কোণের পরিমাপ 60° হলে রম্বস আকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল

(a) 9√3 বর্গ সেমি. (b) 18√3 বর্গ সেমি. (C) 36√3 বর্গ সেমি. (d) 6√3বর্গ সেমি.

সমাধানঃ

ধরি, ABCD রম্বসের বাহুর দৈর্ঘ্য 6 সেমি. এবং ∠ABC = 60°

রম্বসের AC কর্ণ অঙ্কন করলাম

∠ACB = ∠BAC = $\frac{180^{\circ}-60^{\circ}}{2}$ = 60°

AC কর্ণ ABCD রম্বসকে দুটি সমবাহু ত্রিভুজে ভাগ করেছে যাদের বাহুর দৈর্ঘ্য 6 সেমি.

ΔABC এর ক্ষেত্রফল = ΔACD এর ক্ষেত্রফল

$=\frac{\sqrt{3}}{4}\times 6^{2}$

= 9√3 বর্গ সেমি.

∴ ABCD রম্বসের ক্ষেত্রফল

= ΔABC এর ক্ষেত্রফল + ΔACD এর ক্ষেত্রফল

= (9√3 + 9√3) বর্গ সেমি.

= 18√3 বর্গ সেমি.

উত্তরঃ (b) 18√3 বর্গ সেমি.

Koshe dekhi 15.3 class 9

ত্রিভুজ ও চতুর্ভুজের পরিসীমা ও ক্ষেত্রফল : কষে দেখি - 15.3

17. (iii) একটি রম্বসের একটি কর্ণের দৈর্ঘ্য অপর কর্ণটির দৈর্ঘ্যের তিনগুণ। যদি রম্বস আকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 96 বর্গসেমি. হয়, তাহলে বড় কর্ণটির দৈর্ঘ্য

(a) ৪ সেমি. (b) 12 সেমি. (C) 16 সেমি. (d) 24 সেমি.

সমাধানঃ

ধরি, রম্বসের একটি কর্ণের দৈর্ঘ্য h সেমি

∴ অপর কর্ণটির দৈর্ঘ্য = 3h সেমি

প্রশ্নানুসারে,

$\frac{1}{2}\times$ h × 3h = 96

বা, 3h²= 96 × 2

বা, $h^{2}=\frac{96\times 2}{3}$

বা, h²= 64

বা, $h=\sqrt{64}$

∴ h = 8

∴ বড় কর্ণটির দৈর্ঘ্য = 3 × 8 = 24 সেমি

উত্তরঃ (d) 24 সেমি.

Koshe dekhi 15.3 class 9

ত্রিভুজ ও চতুর্ভুজের পরিসীমা ও ক্ষেত্রফল : কষে দেখি - 15.3

17. (iv) একটি রম্বস ও একটি বর্গক্ষেত্র একই ভূমির উপর অবস্থিত। বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল x² বর্গএকক এবং রম্বস আকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল y বর্গ একক হলে

(a) y> x² (b) y < x² (C) y = x²

সমাধানঃ

বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল x² বর্গএকক

∴ বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য = x একক

ধরি, রম্বসের উচ্চতা h একক।

∴ রম্বসের ক্ষেত্রফল

y = রম্বসের ভূমির দৈর্ঘ্য × উচ্চতা

বা, y = xh

স্পষ্টতই,

h < x

বা, hx < x²

∴ y < x²

উত্তরঃ (b) y < x²

Koshe dekhi 15.3 class 9

ত্রিভুজ ও চতুর্ভুজের পরিসীমা ও ক্ষেত্রফল : কষে দেখি - 15.3

17. (v) একটি ট্রাপিজিয়াম আকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 162 বর্গসেমি. এবং উচ্চতা 6 সেমি.। ট্রাপিজিয়ামটির একটি বাহুর দৈর্ঘ্য 23 সেমি. হলে, অপর বাহুর দৈর্ঘ্য

(a) 29 সেমি. (b) 31 সেমি. (C) 32 সেমি. (d) 33 সেমি.

সমাধানঃ

ধরি, ট্রাপিজিয়ামটির অপর বাহুর দৈর্ঘ্য x সেমি.

আমরা জানি,

$\frac{1}{2}\times$ সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের যোগফল × উচ্চতা = ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল

$\frac{1}{2}\times$ (x + 23) × 6 = 162

বা, (x + 23) × 3= 162

বা, $x+23=\frac{162}{3}$

বা, x = 54 − 23

∴ x = 31

উত্তরঃ (b) 31 সেমি.

Koshe dekhi 15.3 class 9

ত্রিভুজ ও চতুর্ভুজের পরিসীমা ও ক্ষেত্রফল : কষে দেখি - 15.3

18. সংক্ষিপ্ত উত্তরভিত্তিক প্রশ্ন :

(i) ABCD সামান্তরিক আকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 96 বর্গ সেমি. ও BD কর্ণের দৈর্ঘ্য 12 সেমি। A বিন্দু থেকে BD কর্ণের উপর লম্বের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধানঃ

ধরি, A বিন্দু থেকে BD কর্ণের উপর লম্ব AP

আমরা জানি, সামান্তরিকের কর্ণ সামান্তরিককে দুটি সমান ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট ত্রিভুজে ভাগ করে।

∴ ΔABD এর ক্ষেত্রফল

$=\frac{96}{2}$

= 48 বর্গ সেমি.

আবার, ΔABD এর ক্ষেত্রফল

$=\frac{1}{2}\times BD\times AP$

$=\frac{1}{2}\times 12\times AP$

= 6AP

সুতরাং,

6AP = 48

বা, $AP=\frac{48}{6}$

∴ AP = 8 সেমি.

উত্তরঃ A বিন্দু থেকে BD কর্ণের উপর লম্বের দৈর্ঘ্য 8 সেমি.

Koshe dekhi 15.3 class 9

ত্রিভুজ ও চতুর্ভুজের পরিসীমা ও ক্ষেত্রফল : কষে দেখি - 15.3

18. (ii) একটি সামান্তরিকের সন্নিহিত বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য 5 সেমি. এবং 3 সেমি.। বৃহত্তর বাহুদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব 2 সেমি. হলে, ক্ষুদ্রতর বাহুদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব কত?

সমাধানঃ

ধরি, ABCD সামান্তরিকের সন্নিহিত বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য AB = 5 সেমি. এবং BC = 3 সেমি.। বৃহত্তর বাহুদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব MN = 2 সেমি. হলে, ক্ষুদ্রতর বাহুদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব PQ = x সেমি.

∴ 3 × PQ = 5 × MN

বা, 3 × x = 5 × 2

বা, $x=\frac{10}{3}$

$\therefore x=3\frac{1}{3}$

উত্তরঃ ক্ষুদ্রতর বাহুদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব ${\color{DarkGreen} 3\frac{1}{3}}$ সেমি.

Koshe dekhi 15.3 class 9

ত্রিভুজ ও চতুর্ভুজের পরিসীমা ও ক্ষেত্রফল : কষে দেখি - 15.3

18. (iii) একটি রম্বসের উচ্চতা 14 সেমি. এবং বাহুর দৈর্ঘ্য 5 সেমি.। রম্বস আকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধানঃ

রম্বস আকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল

= রম্বসের বাহুর দৈর্ঘ্য × উচ্চতা

= 5 সেমি. × 14 সেমি.

= 70 বর্গসেমি.

উত্তরঃ রম্বস আকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 70 বর্গসেমি.

Koshe dekhi 15.3 class 9

ত্রিভুজ ও চতুর্ভুজের পরিসীমা ও ক্ষেত্রফল : কষে দেখি - 15.3

18. (iv) একটি সমদ্বিবাহু ট্রাপিজিয়ামের যেকোনাে সমান্তরাল বাহু সংলগ্ন একটি কোণ 45°; ট্রাপিজিয়ামের তির্যক বাহুর দৈর্ঘ্য 62 সেমি. হলে, সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব কত?

সমাধানঃ

ধরি, ABCD সমদ্বিবাহু ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহু সংলগ্ন ∠ABC = 45°; ট্রাপিজিয়ামের তির্যক বাহু AB = 62 সেমি.

ধরি, A বিন্দু থেকে BC এর ওপর অঙ্কিত লম্ব AP = x সেমি.

ΔABP এর ∠ABC = 45°, ∠APB = 90°

∴ ∠BAP = 180° − (90° + 45°) = 45°

∴ ΔABP একটি সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ যার AP = BP

সুতরাং,

AP² + BP² = AB²

বা, x² + x² = (62)²

বা, 2x² = 62 × 62

বা, $x^{2}=\frac{31\times 2\times 31\times 2}{2}$

বা, x² = 31 × 2 × 31

∴ x = 31√2

উত্তরঃ সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব 31√2 সেমি.

Koshe dekhi 15.3 class 9

ত্রিভুজ ও চতুর্ভুজের পরিসীমা ও ক্ষেত্রফল : কষে দেখি - 15.3

18. (v) ABCD সামান্তরিকের AB = 4 সেমি., BC = 6 সেমি. এবং ∠ABC = 30° হলে ABCD সামান্তরিক আকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধানঃ

প্রদত্ত, ABCD সামান্তরিকের AB = 4 সেমি., BC = 6 সেমি. এবং ∠ABC = 30°

ধরি, A বিন্দু থেকে BC এর ওপর অঙ্কিত লম্ব AE

এখন, সমকোণী ত্রিভুজ ABE থেকে পাই,

$\frac{AE}{AB}=sin 30^{\circ}$

বা, $\frac{AE}{4}=\frac{1}{2}$

বা, $AE=\frac{4}{2}$

∴ AE = 2 সেমি.

ABCD সামান্তরিক আকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল

= BC × AE

= 6 × 2

= 12 বর্গ সেমি.

উত্তরঃ ABCD সামান্তরিক আকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 12 বর্গ সেমি.

Koshe dekhi 15.3 class 9

Support Me

If you like my work then you can Support me by contributing a small amount which will help me a lot to grow my Website. It’s a request to all of you. You can donate me through phone pay / Paytm/ Gpay on this number 7980608289 or by the link below :

and visit Our website : learningscience.co.in

গণিত প্রকাশ (দশম শ্রেণী) সম্পূর্ণ সমাধান

গণিত প্রকাশ (নবম শ্রেণী) সম্পূর্ণ সমাধান

গণিত প্রভা (ষষ্ঠ শ্রেণী) সম্পূর্ণ সমাধান

জীবন বিজ্ঞান (দশম শ্রেণী) (Life Science)

Thank You

koshe dekhi 15.3 class 9