Sat. Jun 22nd, 2024

Koshe dekhi 15.3 class 9

Koshe dekhi 15.3 class 9

ত্রিভুজ ও চতুর্ভুজের পরিসীমা ও ক্ষেত্রফল : কষে দেখি - 15.3

1. রাতুল একটি সামান্তরিক এঁকেছে যার ভূমির দৈর্ঘ্য 5 সেমি. এবং উচ্চতা 4 সেমি.। রাতুলের আঁকা সামান্তরিক আকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল হিসাব করি।

সমাধানঃ 

রাতুলের আঁকা সামান্তরিক আকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল

= ভূমির দৈর্ঘ্য × উচ্চতা

= 5 সেমি. × 4 সেমি.

= 20 বর্গসেমি.

উত্তরঃ রাতুলের আঁকা সামান্তরিক আকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 20 বর্গসেমি.।

Koshe dekhi 15.3 class 9

ত্রিভুজ ও চতুর্ভুজের পরিসীমা ও ক্ষেত্রফল : কষে দেখি - 15.3

2. একটি সামান্তরিকের ভূমি তার উচ্চতার দ্বিগুণ। যদি সামান্তরিক আকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 98 বর্গ সেমি. হয় তাহলে সামান্তরিকটির দৈর্ঘ্য ও উচ্চতার পরিমাপ হিসাব করি।

সমাধানঃ 

ধরি, সামান্তরিকটির উচ্চতা h সেমি 

সামান্তরিকটির ভূমির দৈর্ঘ্য = 2h সেমি 

প্রশ্নানুসারে,

h × 2h = 98

বা, 2h= 98

বা, h= 49

বা, h=\sqrt{49}

∴ h = 7

সামান্তরিকটির ভূমির দৈর্ঘ্য = 2 × 7 = 14 সেমি 

উত্তরঃ সামান্তরিকটির ভূমির দৈর্ঘ্য 14 সেমি. ও উচ্চতা 7 সেমি. 

Koshe dekhi 15.3 class 9

ত্রিভুজ ও চতুর্ভুজের পরিসীমা ও ক্ষেত্রফল : কষে দেখি - 15.3

3. আমাদের বাড়ির পাশে একটি সামান্তরিক আকারের জমি আছে যার সন্নিহিত বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 15 মিটার ও 13 মিটার। যদি এই জমির একটি কর্ণের দৈর্ঘ্য 14 মিটার হয়, তবে হিসাব করে সামান্তরিক আকারের জমির ক্ষেত্রফল লিখি।

সমাধানঃ 

ধরি, ABCD একটি সামান্তরিক আকারের জমি যার সন্নিহিত বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে BC = 15 মিটার ও AB = 13 মিটার।

যেহেতু, BD>BC

∴ BD ≠ 14 মিটার

∴ কর্ণের দৈর্ঘ্য AC = 14 মিটার

∴ ΔABC এর অর্ধপরিসীমা (s)

=\frac{15+13+14}{2}

= 21 মিটার

 

∴ ΔABC এর ক্ষেত্রফল 

=\sqrt{s\left ( s-a \right )\left ( s-b \right )\left ( s-c \right )}

=\sqrt{21\left ( 21-15 \right )\left ( 21-13 \right )\left ( 21-14 \right )}

=\sqrt{21\times 6\times 8\times 7}

=\sqrt{7\times 3\times 3\times 2\times 2\times 2\times 2\times 7}

= 7 × 3 × 2 × 2

= 84 বর্গ মিটার 

যেহেতু, সামান্তরিকের কর্ণ সামান্তরিককে দুটি সমান ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট ত্রিভুজে ভাগ করে, সুতরাং সামান্তরিক আকারের জমির ক্ষেত্রফল = 2 × 84 বর্গমিটার = 168 বর্গমিটার।

উত্তরঃ সামান্তরিক আকারের জমির ক্ষেত্রফল 168 বর্গমিটার।

Koshe dekhi 15.3 class 9

ত্রিভুজ ও চতুর্ভুজের পরিসীমা ও ক্ষেত্রফল : কষে দেখি - 15.3

4. পৃথা একটি সামান্তরিক এঁকেছে যার সন্নিহিত বাহুগুলির দৈর্ঘ্য 25 সেমি. ও 15 সেমি. এবং একটি কর্ণের দৈর্ঘ্য 20 সেমি.। হিসাব করে 25 সেমি. বাহুর উপর সামান্তরিকের উচ্চতার পরিমাপ লিখি।

সমাধানঃ 

ধরি, ABCD একটি সামান্তরিক যার সন্নিহিত বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে BC = 25 সেমি. ও AB = 15 সেমি.।

যেহেতু, BD>BC

∴ BD ≠ 20 সেমি.

∴ কর্ণের দৈর্ঘ্য AC = 20 সেমি.

∴ ΔABC এর অর্ধপরিসীমা (s)

=\frac{25+15+20}{2}

= 30 সেমি.

 

∴ ΔABC এর ক্ষেত্রফল 

=\sqrt{s\left ( s-a \right )\left ( s-b \right )\left ( s-c \right )}

=\sqrt{30\left ( 30-25\right )\left ( 30-15 \right )\left ( 30-20\right )}

=\sqrt{30\times 5\times 15\times 10}

=\sqrt{3\times 10\times 5\times 3\times 5\times 10}

= 10 × 3 × 5

= 150 বর্গ সেমি.

 

সুতরাং,

\frac{1}{2}\times BC\times AE=150

বা, \frac{1}{2}\times 25\times AE=150

বা, AE=\frac{150\times 2}{25}

∴ AE = 12 সেমি.

উত্তরঃ 25 সেমি. বাহুর উপর সামান্তরিকের উচ্চতা 12 সেমি.

Koshe dekhi 15.3 class 9

ত্রিভুজ ও চতুর্ভুজের পরিসীমা ও ক্ষেত্রফল : কষে দেখি - 15.3

5. একটি সামান্তরিকের দুটি সন্নিহিত বাহুর দৈর্ঘ্য 15 সেমি. ও 12 সেমি.। ক্ষুদ্রতর বাহু দুটির দূরত্ব 7.5 সেমি. হলে, বৃহত্তর বাহু দুটির দূরত্ব হিসাব করি।

সমাধানঃ 

ধরি, ABCD একটি সামান্তরিক যার সন্নিহিত বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে BC = 15 সেমি. ও AB = 12 সেমি.।

ক্ষুদ্রতর বাহু দুটি AB ও CD এর মধ্যে দূরত্ব CM = 7.5 সেমি. এবং বৃহত্তর বাহু দুটি AD ও BC এর মধ্যে দূরত্ব AN = x সেমি.

সুতরাং,

\frac{1}{2}\times AB\times CM=\frac{1}{2}\times BC\times AN

বা, \frac{1}{2}\times 12\times 7.5=\frac{1}{2}\times 15\times x

বা, 12 × 7.5 = 15 × x

বা, x=\frac{12\times 7.5}{15}

∴ x = 6 সেমি.

উত্তরঃ বৃহত্তর বাহু দুটির দূরত্ব 6 সেমি.।

Koshe dekhi 15.3 class 9

ত্রিভুজ ও চতুর্ভুজের পরিসীমা ও ক্ষেত্রফল : কষে দেখি - 15.3

6. একটি রম্বসের কর্ণদ্বয়ের পরিমাপ 15 মিটার ও 20 মিটার হলে, উহার পরিসীমা, ক্ষেত্রফল ও উচ্চতা হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ 

ধরি, ABCD রম্বসের কর্ণদ্বয় AC = 15 মিটার ও BD = 20 মিটার

আমরা জানি, রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখন্ডিত করে।

∴ সমকোনী ত্রিভূজ AOB এর

AO=\frac{1}{2}\times AC

\therefore AO=\frac{15}{2}  মিটার এবং 

BO=\frac{1}{2}\times BD

\therefore BO=\frac{20}{2}=10 মিটার

এখন,

AB= BO+ AO2

বা, AB^{2}=\left ( 10 \right )^{2}+\left ( \frac{15}{2} \right )^{2}

বা, AB^{2}=100+\frac{225}{4}

বা, AB^{2}=\frac{400+225}{4}

বা, AB^{2}=\frac{625}{4}

বা, AB=\sqrt{\frac{625}{4}}

\therefore AB=\frac{25}{2}

∴ রম্বসের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য \frac{25}{2} মিটার। 

∴ রম্বসটির পরিসীমা

=4\times \frac{25}{2}

= 50 মিটার এবং

রম্বসটির ক্ষেত্রফল

=\frac{1}{2}\times AC\times BD

=\frac{1}{2}\times 15\times 20

 = 150 বর্গমিটার

ΔABC এর ক্ষেত্রফল

=\frac{150}{2} মিটার

= 75 মিটার

ধরি, রম্বসটির উচ্চতা AP= h মিটার

এখন,

\frac{1}{2}\times BC\times AP=75

বা, \frac{1}{2}\times \frac{25}{2}\times h=75

বা, h=\frac{75\times 2\times 2}{25}

∴ h = 12 মিটার

উত্তরঃ  রম্বসটির পরিসীমা 50 মিটার, ক্ষেত্রফল 150 বর্গমিটার এবং উচ্চতা 12 মিটার।

Koshe dekhi 15.3 class 9

ত্রিভুজ ও চতুর্ভুজের পরিসীমা ও ক্ষেত্রফল : কষে দেখি - 15.3

7. একটি রম্বসের পরিসীমা 440 মিটার এবং সমান্তরাল বাহুদুটির মধ্যে দূরত্ব 22 মিটার হলে রম্বস আকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ 

প্রদত্ত, রম্বসের পরিসীমা 440 মিটার 

রম্বসের বাহুর দৈর্ঘ্য 

=\frac{440}{4}

= 110 মিটার

এবং সমান্তরাল বাহুদুটির মধ্যে দূরত্ব 22 মিটার

অর্থাৎ, রম্বসের উচ্চতা = 22 মিটার।

∴ রম্বসের ক্ষেত্রফল

= 110 মিটার × 22 মিটার

= 2420 বর্গ মিটার 

উত্তরঃ রম্বস আকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 2420 বর্গ মিটার।

Koshe dekhi 15.3 class 9

ত্রিভুজ ও চতুর্ভুজের পরিসীমা ও ক্ষেত্রফল : কষে দেখি - 15.3

8.যদি একটি রম্বসের পরিসীমা 20 সেমি. এবং একটি কর্ণের দৈর্ঘ্য 6 সেমি. হয়, তবে ওই রম্বসের ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ 

ধরি, ABCD রম্বসের পরিসীমা 20 সেমি।

∴ রম্বসের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য

=\frac{20}{4} সেমি

= 5 সেমি

এবং রম্বসের একটি কর্ণের দৈর্ঘ্য AC=6 সেমি।

আমরা জানি, রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখন্ডিত করে।

∴ AO = OC =\frac{6}{2} সেমি =3 সেমি

 

এখন, সমকোণী ত্রিভূজ AOB থেকে পাই,

OB2 = AB2 − AO2

বা, OB2 =52 − 32

বা, OB2 = 25 − 9

বা, OB = √16

∴ OB = 4সেমি

∴ BD = 2 × OB = 2 × 4 সেমি = ৪ সেমি

∴ রম্বসটির ক্ষেত্রফল

=\frac{1}{2}\times AC\times BD

=\frac{1}{2}\times 6\times 8 বর্গ সেমি

= 24 বর্গ সেমি

উত্তরঃ রম্বসটির ক্ষেত্রফল 24 বর্গ সেমি। 

Koshe dekhi 15.3 class 9

ত্রিভুজ ও চতুর্ভুজের পরিসীমা ও ক্ষেত্রফল : কষে দেখি - 15.3

9. একটি ট্রাপিজিয়াম আকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 1400 বর্গ ডেকামিটার। উহার সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যে লম্ব দূরত্ব 20 ডেকামিটার এবং সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্যের অনুপাত 3:4 হলে, ওই বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ 

ধরি, ট্রাপিজিয়াম আকার ক্ষেত্রটির বাহুদ্বয় যথাক্রমে 3x ডেকামিটার এবং 4x ডেকামিটার।

প্রশ্নানুসারে,

\frac{1}{2}\times সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের যোগফল × উচ্চতা = 1400

বা, \frac{1}{2}\times (3x + 4x) × 20 = 1400

70x = 1400

বা, x=\frac{1400}{70}

∴ x = 20

∴ ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে = 3 × 20 ডেকামিটার = 60 ডেকামিটার এবং 4 × 20 = 80 ডেকামিটার।

উত্তরঃ ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 60 ডেকামিটার এবং 80 ডেকামিটার।

Koshe dekhi 15.3 class 9

ত্রিভুজ ও চতুর্ভুজের পরিসীমা ও ক্ষেত্রফল : কষে দেখি - 15.3

10. 8 সেমি বাহুবিশিষ্ট সুষম ষড়ভুজাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি (সংকেত: সুষম ষড়ভুজের কর্ণগুলি আঁকা হলে ছয়টি সর্বসম সমবাহু ত্রিভুজ পাব)

সমাধানঃ 

যেহেতু, সুষম ষড়ভুজের কর্ণগুলি সুষম ষড়ভুজটিকে সমান ছয়টি সর্বসম সমবাহু ত্রিভুজে ভাগ করে সুতরাং,

8 সেমি. বাহুবিশিষ্ট সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল

=\frac{\sqrt{3}}{4}\times \left (8 \right )^{2}

=\frac{\sqrt{3}}{4}\times 8\times 8

= 16√3 বর্গ সেমি.

সুষম ষড়ভুজাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল

= 6 × 16√3

= 96√3 বর্গ সেমি.

উত্তরঃ সুষম ষড়ভুজাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 96√3 বর্গ সেমি.

Koshe dekhi 15.3 class 9

ত্রিভুজ ও চতুর্ভুজের পরিসীমা ও ক্ষেত্রফল : কষে দেখি - 15.3

11. ABCD চতুর্ভুজের AB =5 মিটার, BC =12 মিটার, CD =14 মিটার, DA =15 মিটার এবং ∠ABC=90° হলে ABCD চতুর্ভুজাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ 

ধরি, ABCD চতুর্ভুজের AB = 5 মিটার, BC = 12 মিটার, CD = 14 মিটার, DA = 15 মিটার এবং ∠ABC=90°

∴ সমকোণী ত্রিভূজ ABC থেকে পাই,

AC2 = AB2 + BC2

বা, AC2 = 52 + 122

বা, AC2 = 25 + 144

বা, AC=\sqrt{169}

∴ AC = 13

সমকোণী ΔABC এর ক্ষেত্রফল

 =\frac{1}{2}\times 5\times 12 বর্গ মিটার

= 30 বর্গমিটার

এখন বিষমবাহু ΔACD এর অর্ধপরিসীমা

=\frac{1}{2}\times \left ( 13+14+15 \right ) মিটার

= 21 মিটার

∴ ΔACD এর ক্ষেত্রফল

=\sqrt{21\left ( 21-13 \right )\times \left ( 21-14 \right )\times \left ( 21-15 \right )}

=\sqrt{21\times 8\times 7\times 6}

=\sqrt{7\times 3\times 2\times 2\times 2\times 7\times 2\times 3}

= 7 × 3 × 2 × 2

= 84 বর্গমিটার

∴ ABCD চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল = (30 + 84) বর্গমিটার = 114 বর্গমিটার

উত্তরঃ ABCD চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল  114 বর্গমিটার। 

Koshe dekhi 15.3 class 9

ত্রিভুজ ও চতুর্ভুজের পরিসীমা ও ক্ষেত্রফল : কষে দেখি - 15.3

12. সাহিন ABCD একটি ট্রাপিজিয়াম এঁকেছে, যার BD কর্ণের দৈর্ঘ্য 11 সেমি. এবং A ও C বিন্দু থেকে BD কর্ণের উপর দুটি লম্ব এঁকেছে যাদের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 5 সেমি. ও 11 সেমি.। হিসাব করে ট্রাপিজিয়াম আকার ক্ষেত্র ABCD -এর ক্ষেত্রফল লিখি।

সমাধানঃ 

প্রদত্ত, ABCD একটি ট্রাপিজিয়ামের BD কর্ণের দৈর্ঘ্য 11 সেমি.

ধরি, A ও C বিন্দু থেকে BD কর্ণের উপর অঙ্কিত দুটি লম্বের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে AP = 5 সেমি. ও CR = 11 সেমি.।

 

এখন, ΔABD এর ক্ষেত্রফল 

=\frac{1}{2}\times BD\times AP

=\frac{1}{2}\times 11\times 5

=\frac{55}{2} বর্গসেমি 

 

আবার,

ΔBDC এর ক্ষেত্রফল 

=\frac{1}{2}\times BD\times CR

=\frac{1}{2}\times 11\times 11

=\frac{121}{2} বর্গসেমি 

 

ABCD -এর ক্ষেত্রফল

=\left ( \frac{55}{2}+\frac{121}{2} \right ) বর্গসেমি 

=\frac{55+121}{2} বর্গসেমি 

=\frac{176}{2} বর্গসেমি 

= 88 বর্গসেমি 

উত্তরঃ ABCD ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল 88 বর্গসেমি। 

Koshe dekhi 15.3 class 9

ত্রিভুজ ও চতুর্ভুজের পরিসীমা ও ক্ষেত্রফল : কষে দেখি - 15.3

13. ABCDE একটি পঞ্চভুজ যার BC বাহুটি AD কর্ণের সমান্তরাল, EP, BC -এর উপর লম্ব এবং EP, AD-কে Q বিন্দুতে ছেদ করেছে ৷ BC = 7 সেমি., AD =13 সেমি., PE =9 সেমি., এবং PQ = {\color{Blue} \frac{4}{9}} PE হলে ABCDE পঞ্চভুজাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ 

প্রদত্ত, ABCDE একটি পঞ্চভুজ যার BC বাহুটি AD কর্ণের সমান্তরাল, EP, BC -এর উপর লম্ব এবং EP, AD-কে Q বিন্দুতে ছেদ করেছে ৷

BC = 7 সেমি.,

AD =13 সেমি.,

PE =9 সেমি.,

এবং PQ = \frac{4}{9} PE = \frac{4}{9}\times 9 = 4 সেমি.

∴ EQ = (9 − 4) সেমি. = 5 সেমি.

 

এখন, ABCD ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল

=\frac{1}{2}\times সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের যোগফল × উচ্চতা

=\frac{1}{2}\times\left ( BC+AD \right )\times PQ

=\frac{1}{2}\times\left ( 7+13\right )\times 4

= 40 বর্গসেমি 

 

যেহেতু, BC//AD এবং EP⊥BC

∴ EQ⊥BD

 

∴ ΔEAD এর ক্ষেত্রফল 

=\frac{1}{2}\times BD\times EQ

=\frac{1}{2}\times 13\times 5

=\frac{65}{2}

= 32.5 বর্গসেমি 

 

∴ ABCDE পঞ্চভুজাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল

= ABCD ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল + ΔEAD এর ক্ষেত্রফল 

= (40 + 32.5) বর্গসেমি 

= 72.5 বর্গসেমি 

উত্তরঃ ABCDE পঞ্চভুজাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 72.5 বর্গসেমি।

Koshe dekhi 15.3 class 9

ত্রিভুজ ও চতুর্ভুজের পরিসীমা ও ক্ষেত্রফল : কষে দেখি - 15.3

14. একটি রম্বসের বাহুর দৈর্ঘ্য ও একটি বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য সমান এবং বর্গক্ষেত্রটির কর্ণের দৈর্ঘ্য 40√2 সেমি.। যদি রম্বসের কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্যের অনুপাত 3:4 হয়, তাহলে রম্বস আকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ 

ধরি, রম্বসের বাহুর দৈর্ঘ্য = বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য = x সেমি.।

প্রশ্নানুসারে,

x\sqrt{2}=40\sqrt{2}

∴ x = 40

 

ধরি, রম্বসের কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে AC = 3a সেমি. এবং BD = 4a সেমি.

আমরা জানি, রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখন্ডিত করে।

∴ সমকোনী ত্রিভূজ AOB এর

BO+ AO2 = AB2

বা, \left ( \frac{3a}{2} \right )^{2}+\left ( \frac{4a}{2} \right )^{2}=\left ( 40 \right )^{2}

বা, \frac{9a^{2}}{4}+\frac{16a^{2}}{4}=\left ( 40 \right )^{2}

বা, \frac{9a^{2}+16a^{2}}{4}=\left ( 40 \right )^{2}

বা, \frac{25a^{2}}{4}=\left ( 40 \right )^{2}

বা, \left (\frac{5a}{2} \right )^{2}=\left ( 40 \right )^{2}

বা, \frac{5a}{2}=40

বা, a=40\times \frac{2}{5}

∴ a = 16

 

∴ AC = 3 × 16 = 48 সেমি. এবং 

BD = 4 × 16 = 64 সেমি.

 

∴ ABCD রম্বসটির ক্ষেত্রফল

=\frac{1}{2}\times AC\times BD

=\frac{1}{2}\times 48\times 64

 = 1536 বর্গসেমি.

উত্তরঃ রম্বস আকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 1536 বর্গসেমি.

Koshe dekhi 15.3 class 9

ত্রিভুজ ও চতুর্ভুজের পরিসীমা ও ক্ষেত্রফল : কষে দেখি - 15.3

15. একটি সমদ্বিবাহু ট্রাপিজিয়ামের তির্যক বাহুদ্বয়ের প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য 10 সেমি. এবং সমান্তরাল বাহুদুটির দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 5 সেমি. ও 17 সেমি.। ট্রাপিজিয়াম আকার ক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য ও ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ 

ধরি, ABCD সমদ্বিবাহু ট্রাপিজিয়ামের তির্যক বাহুদ্বয় AB = CD = 10 সেমি. এবং সমান্তরাল বাহুদুটির দৈর্ঘ্য যথাক্রমে AD = 5 সেমি. ও BC = 17 সেমি.।

A এবং D বিন্দু থেকে BC বাহুর ওপর যথাক্রমে AP ও DQ লম্ব টানা হল। 

যেহেতু, AD//BC

∴ PQ = AD = 5 সেমি.

আবার, ΔABP ও ΔCDQ এর 

AB = CD, AP = DQ

∴ BP = CQ =\frac{1}{2}\left ( 17-5 \right ) সেমি. = 6 সেমি.

এখন, সমকোণী ত্রিভূজ ABP থেকে পাই,

AP2 = AB2 − BP2

বা, AP2 = 102 − 62

বা, AP2 = 100 − 36

বা, AP = √64

∴ AP = 8 সেমি

 

আবার, সমকোণী ত্রিভূজ DBQ থেকে পাই,

BQ = BP + PQ = (6 + 5) সেমি = 11 সেমি এবং DQ = AP = 8 সেমি

BD2 = BQ2 + DQ2

বা, BD2 = 112 + 82

বা, BD2 = 121 + 64

BD=\sqrt{185}

 

ABCD ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল

=\frac{1}{2}\times সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের যোগফল × উচ্চতা

=\frac{1}{2}\times\left ( AD+BC \right )\times AP

=\frac{1}{2}\times\left ( 5+17\right )\times 8

= 88 বর্গসেমি 

উত্তরঃ ট্রাপিজিয়াম আকার ক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য {\color{DarkGreen} \sqrt{185}}  সেমি ও ক্ষেত্রফল 88 বর্গসেমি ।

Koshe dekhi 15.3 class 9

ত্রিভুজ ও চতুর্ভুজের পরিসীমা ও ক্ষেত্রফল : কষে দেখি - 15.3

16. একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য 19 সেমি. ও 9 সেমি. এবং তির্যক বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য ৪ সেমি. ও 6 সেমি.। ট্রাপিজিয়াম আকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল হিসাব করি।

সমাধানঃ 

ধরি, ABCD ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য BC = 19 সেমি. ও AD = 9 সেমি. এবং তির্যক বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য AB = ৪ সেমি. ও CD = 6 সেমি.।

A এবং D বিন্দু থেকে BC বাহুর ওপর যথাক্রমে AP ও DQ লম্ব টানা হল। 

যেহেতু, AD//BC

∴ PQ = AD = 9 সেমি. এবং 

BP = BC − (PQ + CQ) = 19 − (9 + CQ) = (10 − CQ) সেমি.

 

এখন, সমকোণী ত্রিভূজ ABP থেকে পাই,

AP2 = AB2 − BP2

বা, AP2 = 82 − BP2

বা, AP2 = 64 − BP…..(i)

 

আবার, সমকোণী ত্রিভূজ DCQ থেকে পাই,

DQ2 = DC2 − CQ2

বা, DQ2 = 62 − CQ2

বা, DQ2 = 36 − CQ2…..(ii)

 

আবার,

AP = DQ

বা, AP2 = DQ2

বা, 64 − BP2 = 36 − CQ2

বা, 64 − (10 − CQ)2 = 36 − CQ2

বা, 64 − 100 + 20CQ − CQ2 = 36 − CQ2

বা, 64 − 100 + 20CQ − CQ2 − 36 + CQ= 0

বা, 20CQ − 72 = 0

বা, 20CQ = 72

বা, CQ=\frac{72}{20}

\therefore CQ=\frac{18}{5} সেমি.

 

(ii) নং সমীকরণে CQ এর মান বসিয়ে পাই,

DQ2 = 36 \left ( \frac{18}{5} \right )^{2}

বা, DQ2 = 36 − \frac{324}{25}

বা, DQ2 = \frac{900-324}{25}

বা, DQ2 = \frac{576}{25}

বা, DQ = \frac{24}{5}

∴ DQ = 4.8 সেমি.  = AP

 

ABCD ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল

=\frac{1}{2}\times সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের যোগফল × উচ্চতা

=\frac{1}{2}\times\left ( AD+BC \right )\times AP

=\frac{1}{2}\times\left ( 9+19\right )\times 4.8

= 67.2 বর্গসেমি 

উত্তরঃ ট্রাপিজিয়াম আকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 67.2 বর্গসেমি ।

Koshe dekhi 15.3 class 9

ত্রিভুজ ও চতুর্ভুজের পরিসীমা ও ক্ষেত্রফল : কষে দেখি - 15.3

17. বহু বিকল্পীয় প্রশ্ন: (M.CQ)

(i) একটি সামান্তরিকের উচ্চতা ভূমির একতৃতীয়াংশ৷ সামান্তরিক আকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 192 বর্গসেমি. হলে সামান্তরিকটির উচ্চতা 

(a) 4 সেমি.   (b) ৪ সেমি.   (C) 16 সেমি.   (d) 24 সেমি.

সমাধানঃ 

ধরি, সামান্তরিকটির উচ্চতা h সেমি 

সামান্তরিকটির ভূমির দৈর্ঘ্য = 3h সেমি 

প্রশ্নানুসারে,

h × 3h = 192

বা, 3h= 192

বা, h= 64

বা, h=\sqrt{64}

∴ h = 8

উত্তরঃ (b) ৪ সেমি.

Koshe dekhi 15.3 class 9

ত্রিভুজ ও চতুর্ভুজের পরিসীমা ও ক্ষেত্রফল : কষে দেখি - 15.3

17. (ii) একটি রম্বসের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য 6 সেমি. এবং একটি কোণের পরিমাপ 60° হলে রম্বস আকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল

(a) 9√3 বর্গ সেমি.  (b) 18√3 বর্গ সেমি.   (C) 36√3 বর্গ সেমি.  (d) 6√3বর্গ সেমি.

সমাধানঃ 

ধরি, ABCD রম্বসের বাহুর দৈর্ঘ্য 6 সেমি. এবং ∠ABC = 60°

রম্বসের AC কর্ণ অঙ্কন করলাম 

∠ACB = ∠BAC = \frac{180^{\circ}-60^{\circ}}{2} = 60°

AC কর্ণ ABCD রম্বসকে দুটি সমবাহু ত্রিভুজে ভাগ করেছে যাদের বাহুর দৈর্ঘ্য 6 সেমি.

ΔABC এর ক্ষেত্রফল = ΔACD এর ক্ষেত্রফল 

=\frac{\sqrt{3}}{4}\times 6^{2}

= 9√3 বর্গ সেমি. 

 

∴ ABCD রম্বসের ক্ষেত্রফল 

= ΔABC এর ক্ষেত্রফল + ΔACD এর ক্ষেত্রফল 

= (9√3 + 9√3) বর্গ সেমি. 

= 18√3 বর্গ সেমি. 

উত্তরঃ (b) 18√3 বর্গ সেমি. 

Koshe dekhi 15.3 class 9

ত্রিভুজ ও চতুর্ভুজের পরিসীমা ও ক্ষেত্রফল : কষে দেখি - 15.3

17. (iii) একটি রম্বসের একটি কর্ণের দৈর্ঘ্য অপর কর্ণটির দৈর্ঘ্যের তিনগুণ। যদি রম্বস আকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 96 বর্গসেমি. হয়, তাহলে বড় কর্ণটির দৈর্ঘ্য

(a) ৪ সেমি.   (b) 12 সেমি.   (C) 16 সেমি.  (d) 24 সেমি.

সমাধানঃ 

ধরি, রম্বসের একটি কর্ণের দৈর্ঘ্য h সেমি 

অপর কর্ণটির দৈর্ঘ্য = 3h সেমি 

প্রশ্নানুসারে,

\frac{1}{2}\times h × 3h = 96 

বা, 3h= 96 × 2

বা, h^{2}=\frac{96\times 2}{3}

বা, h= 64

বা, h=\sqrt{64}

∴ h = 8

বড় কর্ণটির দৈর্ঘ্য = 3 × 8 = 24 সেমি 

উত্তরঃ (d) 24 সেমি.

Koshe dekhi 15.3 class 9

ত্রিভুজ ও চতুর্ভুজের পরিসীমা ও ক্ষেত্রফল : কষে দেখি - 15.3

17. (iv) একটি রম্বস ও একটি বর্গক্ষেত্র একই ভূমির উপর অবস্থিত। বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল x2 বর্গএকক এবং রম্বস আকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল y বর্গ একক হলে

(a) y> x2   (b) y < x2   (C) y = x2

সমাধানঃ 

বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল x2 বর্গএকক 

বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য = x একক 

ধরি, রম্বসের উচ্চতা h একক। 

∴ রম্বসের ক্ষেত্রফল 

y = রম্বসের ভূমির দৈর্ঘ্য × উচ্চতা 

বা, y = xh 

স্পষ্টতই,

h < x

বা, hx < x2

∴ y < x2

উত্তরঃ (b) y < x2 

Koshe dekhi 15.3 class 9

ত্রিভুজ ও চতুর্ভুজের পরিসীমা ও ক্ষেত্রফল : কষে দেখি - 15.3

17. (v) একটি ট্রাপিজিয়াম আকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 162 বর্গসেমি. এবং উচ্চতা 6 সেমি.। ট্রাপিজিয়ামটির একটি বাহুর দৈর্ঘ্য 23 সেমি. হলে, অপর বাহুর দৈর্ঘ্য

(a) 29 সেমি.   (b) 31 সেমি.   (C) 32 সেমি.   (d) 33 সেমি.

সমাধানঃ 

ধরি, ট্রাপিজিয়ামটির অপর বাহুর দৈর্ঘ্য x সেমি.

আমরা জানি,

\frac{1}{2}\times সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের যোগফল × উচ্চতা = ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল

\frac{1}{2}\times (x + 23) × 6 = 162

বা, (x + 23) × 3 = 162

বা, x+23=\frac{162}{3}

বা, x = 54 − 23

∴ x = 31

উত্তরঃ (b) 31 সেমি.

Koshe dekhi 15.3 class 9

ত্রিভুজ ও চতুর্ভুজের পরিসীমা ও ক্ষেত্রফল : কষে দেখি - 15.3

18. সংক্ষিপ্ত উত্তরভিত্তিক প্রশ্ন :

(i) ABCD সামান্তরিক আকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 96 বর্গ সেমি. ও BD কর্ণের দৈর্ঘ্য 12 সেমি। A বিন্দু থেকে BD কর্ণের উপর লম্বের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধানঃ 

ধরি, A বিন্দু থেকে BD কর্ণের উপর লম্ব AP

আমরা জানি, সামান্তরিকের কর্ণ সামান্তরিককে দুটি সমান ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট ত্রিভুজে ভাগ করে। 

∴ ΔABD এর ক্ষেত্রফল 

=\frac{96}{2} 

= 48 বর্গ সেমি.

আবার, ΔABD এর ক্ষেত্রফল 

=\frac{1}{2}\times BD\times AP

=\frac{1}{2}\times 12\times AP

= 6AP

সুতরাং,

6AP = 48

বা, AP=\frac{48}{6}

∴ AP = 8 সেমি.

উত্তরঃ A বিন্দু থেকে BD কর্ণের উপর লম্বের দৈর্ঘ্য 8 সেমি.

Koshe dekhi 15.3 class 9

ত্রিভুজ ও চতুর্ভুজের পরিসীমা ও ক্ষেত্রফল : কষে দেখি - 15.3

18. (ii) একটি সামান্তরিকের সন্নিহিত বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য 5 সেমি. এবং 3 সেমি.। বৃহত্তর বাহুদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব 2 সেমি. হলে, ক্ষুদ্রতর বাহুদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব কত?

সমাধানঃ 

ধরি, ABCD সামান্তরিকের সন্নিহিত বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য AB = 5 সেমি. এবং BC = 3 সেমি.। বৃহত্তর বাহুদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব MN = 2 সেমি. হলে, ক্ষুদ্রতর বাহুদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব PQ = x সেমি.

∴ 3 × PQ = 5 × MN

বা, 3 × x = 5 × 2

বা, x=\frac{10}{3}

\therefore x=3\frac{1}{3}

উত্তরঃ ক্ষুদ্রতর বাহুদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব {\color{DarkGreen} 3\frac{1}{3}} সেমি.

Koshe dekhi 15.3 class 9

ত্রিভুজ ও চতুর্ভুজের পরিসীমা ও ক্ষেত্রফল : কষে দেখি - 15.3

18. (iii) একটি রম্বসের উচ্চতা 14 সেমি. এবং বাহুর দৈর্ঘ্য 5 সেমি.। রম্বস আকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধানঃ 

রম্বস আকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল

= রম্বসের বাহুর দৈর্ঘ্য × উচ্চতা

= 5 সেমি. × 14 সেমি.

= 70 বর্গসেমি.

উত্তরঃ রম্বস আকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 70 বর্গসেমি.

Koshe dekhi 15.3 class 9

ত্রিভুজ ও চতুর্ভুজের পরিসীমা ও ক্ষেত্রফল : কষে দেখি - 15.3

18. (iv) একটি সমদ্বিবাহু ট্রাপিজিয়ামের যেকোনাে সমান্তরাল বাহু সংলগ্ন একটি কোণ 45°; ট্রাপিজিয়ামের তির্যক বাহুর দৈর্ঘ্য 62 সেমি. হলে, সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব কত?

সমাধানঃ 

ধরি, ABCD সমদ্বিবাহু ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহু সংলগ্ন ∠ABC = 45°; ট্রাপিজিয়ামের তির্যক বাহু AB = 62 সেমি.

ধরি, A বিন্দু থেকে BC এর ওপর অঙ্কিত লম্ব AP = x সেমি.

ΔABP এর ∠ABC = 45°, ∠APB = 90°

∴ ∠BAP = 180° − (90° + 45°) = 45°

∴ ΔABP একটি সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ যার AP = BP

সুতরাং,

AP2 + BP2 = AB2

বা, x2 + x2 = (62)2

বা, 2x2 = 62 × 62

বা, x^{2}=\frac{31\times 2\times 31\times 2}{2}

বা, x2 = 31 × 2 × 31

∴ x = 31√2

উত্তরঃ সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব 31√2 সেমি.

Koshe dekhi 15.3 class 9

ত্রিভুজ ও চতুর্ভুজের পরিসীমা ও ক্ষেত্রফল : কষে দেখি - 15.3

18. (v) ABCD সামান্তরিকের AB = 4 সেমি., BC = 6 সেমি. এবং ∠ABC = 30° হলে ABCD সামান্তরিক আকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধানঃ 

প্রদত্ত, ABCD সামান্তরিকের AB = 4 সেমি., BC = 6 সেমি. এবং ∠ABC = 30°

ধরি, A বিন্দু থেকে BC এর ওপর অঙ্কিত লম্ব AE 

এখন, সমকোণী ত্রিভুজ ABE থেকে পাই,

\frac{AE}{AB}=sin 30^{\circ}

বা, \frac{AE}{4}=\frac{1}{2}

বা, AE=\frac{4}{2}

∴ AE = 2 সেমি.

ABCD সামান্তরিক আকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল

= BC × AE

= 6 × 2

= 12 বর্গ সেমি.

উত্তরঃ ABCD সামান্তরিক আকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 12 বর্গ সেমি.

Koshe dekhi 15.3 class 9

Koshe dekhi 15.3 class 9

Support Me

If you like my work then you can Support me by contributing a small amount which will help me a lot to grow my Website. It’s a request to all of you. You can donate me through phone pay / Paytm/ Gpay  on this number 7980608289 or by the link below :

Subscribe my Youtube channel : Science Duniya in Bangla

and    Learning Science

and visit Our website : learningscience.co.in 

গণিত প্রকাশ (দশম শ্রেণী) সম্পূর্ণ সমাধান

গণিত প্রকাশ (নবম শ্রেণী) সম্পূর্ণ সমাধান

গণিত প্রভা (ষষ্ঠ শ্রেণী) সম্পূর্ণ সমাধান

জীবন বিজ্ঞান  (দশম শ্রেণী) (Life Science)

Thank You

koshe dekhi 15.3 class 9

3 thoughts on “Koshe dekhi 15.3 class 9”

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

Insert math as
Block
Inline
Additional settings
Formula color
Text color
#333333
Type math using LaTeX
Preview
\({}\)
Nothing to preview
Insert
error: Content is protected !!