Koshe dekhi 7.4 class 9

বহুপদী সংখ্যামালা : কষে দেখি - 7.4

1. নীচের বহুপদী সংখ্যামালাগুলির মধ্যে কোনগুলির একটি উৎপাদক (x +1) হিসাব করে লিখি।

(i) ${\color{Blue} 2x^{3}+3x^{2}-1}$

সমাধানঃ

x + 1 = 0

∴ x = − 1

(x + 1) রৈখিক বহুপদী সংখ্যামালার শূন্য হল − 1

ধরি,

$f\left ( x \right )=2x^{3}+3x^{2}-1$

এখন,

f (−1)

$=2\times \left ( -1 \right )^{3}+3\times \left ( -1 \right )^{2}-1$

= − 2 + 3 − 1

= 3 − 3

= 0

যেহেতু, f (−1) = 0

${\color{DarkGreen} \therefore 2x^{3}+3x^{2}-1}$ এর একটি উৎপাদক (x + 1)

Koshe dekhi 7.4 class 9

বহুপদী সংখ্যামালা : কষে দেখি - 7.4

(ii) ${\color{Blue} x^{4}+x^{3}-x^{2}+4x+5}$

সমাধানঃ

x + 1 = 0

∴ x = − 1

(x + 1) রৈখিক বহুপদী সংখ্যামালার শূন্য হল − 1

ধরি,

$f\left ( x \right )=x^{4}+x^{3}-x^{2}+4x+5$

এখন,

f (−1)

$=\left ( -1 \right )^{4}+\left ( -1 \right )^{3}-\left ( -1 \right )^{2}+4\times \left ( -1 \right )+5$

= 1 − 1 − 1 − 4 + 5

= 6 − 6

= 0

যেহেতু, f (−1) = 0

${\color{DarkGreen} \therefore x^{4}+x^{3}-x^{2}+4x+5}$ এর একটি উৎপাদক (x + 1)

Koshe dekhi 7.4 class 9

বহুপদী সংখ্যামালা : কষে দেখি - 7.4

(iii) ${\color{Blue} 7x^{3}+x^{2}+7x+1}$

সমাধানঃ

x + 1 = 0

∴ x = − 1

(x + 1) রৈখিক বহুপদী সংখ্যামালার শূন্য হল − 1

ধরি,

$f\left ( x \right )=7x^{3}+x^{2}+7x+1$

এখন,

f (−1)

$=7\times \left ( -1 \right )^{3}+\left ( -1 \right )^{2}+7\times \left ( -1 \right )+1$

= − 7 + 1 − 7 + 1

= 2 − 14

= − 12

যেহেতু, f (−1) ≠ 0

${\color{DarkGreen} \therefore 7x^{3}+x^{2}+7x+1}$ এর একটি উৎপাদক (x + 1) হবে না।

Koshe dekhi 7.4 class 9

বহুপদী সংখ্যামালা : কষে দেখি - 7.4

1.নীচের বহুপদী সংখ্যামালাগুলির মধ্যে কোনগুলির একটি উৎপাদক (x +1) হিসাব করে লিখি।

(iv) ${\color{Blue} 3+3x-5x^{3}-5x^{4}}$

সমাধানঃ

x + 1 = 0

∴ x = − 1

(x + 1) রৈখিক বহুপদী সংখ্যামালার শূন্য হল − 1

ধরি,

$f\left ( x \right )=3+3x-5x^{3}-5x^{4}$

এখন,

f (−1)

$=3+3\times \left ( -1 \right )-5\times \left ( -1 \right )^{3}-5\times \left ( -1 \right )^{4}$

= 3 − 3 + 5 − 5

= 0

যেহেতু, f (−1) = 0

${\color{DarkGreen} \therefore 3+3x-5x^{3}-5x^{4}}$ এর একটি উৎপাদক (x + 1)

Koshe dekhi 7.4 class 9

বহুপদী সংখ্যামালা : কষে দেখি - 7.4

(v) ${\color{Blue} x^{4}+x^{2}+x+1}$

সমাধানঃ

x + 1 = 0

∴ x = − 1

(x + 1) রৈখিক বহুপদী সংখ্যামালার শূন্য হল − 1

ধরি,

$f\left ( x \right )=x^{4}+x^{2}+x+1$

এখন,

f (−1)

$=\left ( -1 \right )^{4}+\left ( -1 \right )^{2}+\left ( -1 \right )+1$

= 1 + 1 − 1 + 1

= 3 − 1

= 2

যেহেতু, f (−1) ≠ 0

${\color{DarkGreen} \therefore x^{4}+x^{2}+x+1}$ এর একটি উৎপাদক (x + 1) হবে না।

Koshe dekhi 7.4 class 9

বহুপদী সংখ্যামালা : কষে দেখি - 7.4

(vi) ${\color{Blue} x^{3}+x^{2}+x+1}$

সমাধানঃ

x +1 = 0

∴ x = − 1

(x +1) রৈখিক বহুপদী সংখ্যামালার শূন্য হল − 1

ধরি,

$f\left ( x \right )=x^{3}+x^{2}+x+1$

এখন,

f (−1)

$=\left ( -1 \right )^{3}+\left ( -1 \right )^{2}+\left ( -1 \right )+1$

= − 1 + 1 − 1 + 1

= 0

যেহেতু, f (−1) = 0

${\color{DarkGreen} \therefore x^{3}+x^{2}+x+1}$ এর একটি উৎপাদক (x + 1)

Koshe dekhi 7.4 class 9

বহুপদী সংখ্যামালা : কষে দেখি - 7.4

2. গুণনীয়ক উপপাদ্য ব্যবহার করে নীচের বহুপদী সংখ্যামালাগুলি f(x)-এর একটি উৎপাদক g(x) কিনা লিখি।

(i) ${\color{Blue} f\left ( x \right )=x^{4}-x^{2}-12}$ এবং g(x) = x + 2

সমাধানঃ

ধরি, g(x) = 0

বা, x + 2 = 0

∴ x = − 2

প্রদত্ত,

$f\left ( x \right )=x^{4}-x^{2}-12$

∴ f (−2)

$=\left ( -2 \right )^{4}-\left ( -2 \right )^{2}-12$

= 16 − 4 − 12

= = 16 − 16

= 0

যেহেতু, f (−2) = 0

∴ f(x) -এর একটি উৎপাদক g(x)

Koshe dekhi 7.4 class 9

বহুপদী সংখ্যামালা : কষে দেখি - 7.4

(ii) ${\color{Blue} f\left ( x \right )=2x^{3}+9x^{2}-11x-30}$ এবং g(x) = x + 5

সমাধানঃ

ধরি, g(x) = 0

বা, x + 5 = 0

∴ x = − 5

প্রদত্ত,

$f\left ( x \right )=2x^{3}+9x^{2}-11x-30$

∴ f (−5)

$=2\times \left ( -5 \right )^{3}+9\times \left ( -5 \right )^{2}-11\times \left ( -5 \right )-30$

= − 250 + 225 + 55 − 30

= 280 − 280

= 0

যেহেতু, f (−5) = 0

∴ f(x) -এর একটি উৎপাদক g(x)

Koshe dekhi 7.4 class 9

বহুপদী সংখ্যামালা : কষে দেখি - 7.4

(iii) ${\color{Blue} f\left ( x \right )=2x^{3}+7x^{2}-24x-45}$ এবং g(x) = x − 3

সমাধানঃ

ধরি, g(x) = 0

বা, x − 3 = 0

∴ x = 3

প্রদত্ত,

$f\left ( x \right )=2x^{3}+7x^{2}-24x-45$

∴ f (3)

$=2\times 3^{3}+7\times 3^{2}-24\times 3-45$

= 54 + 63 − 72 − 45

= 117 − 117

= 0

যেহেতু, f (3) = 0

∴ f(x) -এর একটি উৎপাদক g(x)

Koshe dekhi 7.4 class 9

বহুপদী সংখ্যামালা : কষে দেখি - 7.4

(iv) ${\color{Blue} f\left ( x \right )=3x^{3}+x^{2}-20x+12}$ এবং g(x) = 3x − 2

সমাধানঃ

ধরি, g(x) = 0

বা, 3x − 2 = 0

বা, 3x = 2

$\therefore x=\frac{2}{3}$

প্রদত্ত,

$f\left ( x \right )=3x^{3}+x^{2}-20x+12$

$\therefore f\left ( \frac{2}{3} \right )$

$=3\times \left ( \frac{2}{3} \right )^{3}+\left ( \frac{2}{3} \right )^{2}-20\times \frac{2}{3}+12$

$=3\times \frac{8}{27}+\frac{4}{9}-\frac{40}{3}+12$

$=\frac{8}{9}+\frac{4}{9}-\frac{40}{3}+\frac{12}{1}$

$=\frac{8+4-120+108}{9}$

$=\frac{120-120}{9}$

$=\frac{0}{9}$

= 0

যেহেতু, $f\left ( \frac{2}{3} \right )=0$

∴ f(x) -এর একটি উৎপাদক g(x)

Koshe dekhi 7.4 class 9

বহুপদী সংখ্যামালা : কষে দেখি - 7.4

3. k এর মান কত হলে, x + 2 দ্বারা ${\color{Blue} 2x^{4}+3x^{3}+2kx^{2}+3x+6}$ বহুপদী সংখ্যামালাটি বিভাজ্য হবে হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ

x + 2 = 0

∴ x = − 2

(x + 2) রৈখিক বহুপদী সংখ্যামালার শূন্য হল − 2

ধরি,

$f\left ( x \right )=2x^{4}+3x^{3}+2kx^{2}+3x+6$

এখন,

ভাগশেষ = f (−2)

$=2\times \left ( -2 \right )^{4}+3\times \left ( -2 \right )^{3}+2k\times \left ( -2 \right )^{2}+3\times \left ( -2 \right )+6$

= 32 − 24 + 8k − 6 + 6

= 8 + 8k

যেহেতু, x + 2 দ্বারা $2x^{4}+3x^{3}+2kx^{2}+3x+6$ বহুপদী সংখ্যামালাটি বিভাজ্য,

সুতরাং, ভাগশেষ 0 হবে।

অর্থাৎ, 8 + 8k = 0

বা, 8k = − 8

বা, $k=\frac{-8}{8}$

∴ k = − 1

উত্তরঃ নির্ণেয় k এর মান − 1

Koshe dekhi 7.4 class 9

বহুপদী সংখ্যামালা : কষে দেখি - 7.4

4. k-এর মান কত হলে নীচের বহুপদী সংখ্যামালাগুলি f(x)-এর একটি উৎপাদক g(x) হবে হিসাব করি :

(i) ${\color{Blue} f\left ( x \right )=2x^{3}+9x^{2}+x+k}$ এবং g(x) = x − 1

সমাধানঃ

ধরি, g(x) = 0

বা, x − 1= 0

∴ x = 1

প্রদত্ত,

$f\left ( x \right )=2x^{3}+9x^{2}+x+k$

∴ f (1)

$=2\times 1^{3}+9\times 1^{2}+1+k$

= 2 + 9 + 1 + k

= 12 + k

যেহেতু, f(x) -এর একটি উৎপাদক g(x)

সুতরাং, f(1) = 0 হবে।

অর্থাৎ,

12 + k = 0

∴ k = − 12

উত্তরঃ নির্ণেয় k এর মান − 12

Koshe dekhi 7.4 class 9

বহুপদী সংখ্যামালা : কষে দেখি - 7.4

(ii) ${\color{Blue} f\left ( x \right )=kx^{2}-3x+k}$ এবং g(x) = x − 1

সমাধানঃ

ধরি, g(x) = 0

বা, x − 1= 0

∴ x = 1

প্রদত্ত,

$f\left ( x \right )=kx^{2}-3x+k$

∴ f (1)

$=k\times 1^{2}-3\times 1+k$

= k − 3 + k

= 2k − 3

যেহেতু, f(x) -এর একটি উৎপাদক g(x)

সুতরাং, f(1) = 0 হবে।

অর্থাৎ,

2k − 3 = 0

বা, 2k = 3

$\therefore k=\frac{3}{2}$

উত্তরঃ নির্ণেয় k এর মান ${\color{DarkGreen} \frac{3}{2}}$

Koshe dekhi 7.4 class 9

বহুপদী সংখ্যামালা : কষে দেখি - 7.4

(iii) ${\color{Blue} f\left ( x \right )=2x^{4}+x^{3}-kx^{2}-x+6}$ এবং g(x) = 2x − 3

সমাধানঃ

ধরি, g(x) = 0

বা, 2x − 3 = 0

বা, 2x = 3

$\therefore x=\frac{3}{2}$

প্রদত্ত,

$f\left ( x \right )=2x^{4}+x^{3}-kx^{2}-x+6$

$\therefore f\left ( \frac{3}{2} \right )$

$=2\times \left ( \frac{3}{2} \right )^{4}+\left ( \frac{3}{2} \right )^{3}-k\times \left ( \frac{3}{2} \right )^{2}-\frac{3}{2}+6$

$=2\times \frac{81}{16}+\frac{27}{8}-k\times \frac{9}{4}-\frac{3}{2}+6$

$=\frac{81}{8}+\frac{27}{8}-\frac{9k}{4}-\frac{3}{2}+6$

$=\frac{81+27-18k-12+48}{8}$

$=\frac{144-18k}{8}$

যেহেতু, f (x) -এর একটি উৎপাদক g(x)

সুতরাং, $f\left ( \frac{3}{2} \right )=0$ হবে।

অর্থাৎ,

$\frac{144-18k}{8}=0$

বা, 144 − 18k = 0

বা, − 18k = − 144

বা, $k=\frac{-144}{-18}$

∴ k = 8

উত্তরঃ নির্ণেয় k এর মান 8

Koshe dekhi 7.4 class 9

বহুপদী সংখ্যামালা : কষে দেখি - 7.4

(iv) ${\color{Blue} f\left ( x \right )=2x^{3}+kx^{2}+11x+k+3}$ এবং g(x) = 2x − 1

সমাধানঃ

ধরি, g(x) = 0

বা, 2x − 1 = 0

বা, 2x = 1

$\therefore x=\frac{1}{2}$

প্রদত্ত,

$f\left ( x \right )=2x^{3}+kx^{2}+11x+k+3$

$\therefore f\left ( \frac{1}{2} \right )$

$=2\times \left ( \frac{1}{2} \right )^{3}+k\left ( \frac{1}{2} \right )^{2}+11\times \left ( \frac{1}{2} \right )+k+3$

$=2\times \frac{1}{8}+k\times \frac{1}{4}+\frac{11}{2}+k+3$

$=\frac{1}{4}+\frac{k}{4}+\frac{11}{2}+\frac{k}{1}+\frac{3}{1}$

$=\frac{1+k+22+4k+12}{4}$

$=\frac{35+5k}{4}$

যেহেতু, f (x) -এর একটি উৎপাদক g(x)

সুতরাং, $f\left ( \frac{1}{2} \right )=0$ হবে।

অর্থাৎ,

$\frac{35+5k}{4}=0$

বা, 35 + 5k = 0

বা, 5k = − 35

বা, $k=\frac{-35}{5}$

∴ k = − 7

উত্তরঃ নির্ণেয় k এর মান − 7

Koshe dekhi 7.4 class 9

বহুপদী সংখ্যামালা : কষে দেখি - 7.4

5. ${\color{Blue} ax^{4}+2x^{3}-3x^{2}+bx-4}$ বহুপদী সংখ্যামালার উৎপাদক ${\color{Blue} x^{2}-4}$ হলে a ও b এর মান কত হবে হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ

$x^{2}-4=0$

বা, $x^{2}=4$

বা, $x=\pm \sqrt{4}$

$\therefore x=\pm 2$

$\left ( x^{2}-4 \right )$ রৈখিক বহুপদী সংখ্যামালার শূন্য হল 2 ও −2

ধরি,

$f\left ( x \right )=ax^{4}+2x^{3}-3x^{2}+bx-4$

∴ f (x) কে $\left ( x^{2}-4 \right )$ দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ শূন্য হবে।

এখন,

f (2) = 0

বা, $a\times \left ( 2 \right )^{4}+2\times \left ( 2 \right )^{3}-3\times \left ( 2 \right )^{2}+b\times 2-4=0$

বা, 16a + 16 − 12 + 2b − 4 = 0

বা, 16a + 16 − 16 + 2b = 0

বা, 16a + 2b = 0

বা, 2 (8a + b) = 0

বা, $8a+b=\frac{0}{2}$

বা, 8a + b = 0 ……..(i)

আবার,

f (−2) = 0

বা, $a\times \left ( -2 \right )^{4}+2\times \left ( -2 \right )^{3}-3\times \left ( -2 \right )^{2}+b\times \left ( -2 \right )-4=0$

বা, 16a − 16 − 12 − 2b − 4 = 0

বা, 16a − 2b − 32 = 0

বা, 16a − 2b = 32

বা, 2 (8a – b) = 2 × 16

বা, 8a – b = 16 ………(ii)

(i) নং সমীকরণ + (ii) নং সমীকরণ করে পাই

8a + b + 8a – b = 0 + 16

বা, 16a = 16

বা, $a=\frac{16}{16}$

∴ a = 1

(i) নং সমীকরণে a = 1 বসিয়ে পাই,

8 × 1 + b = 0

∴ b = −8

উত্তরঃ নির্ণেয় a ও b এর মান যথাক্রমে 1 ও − 8

Koshe dekhi 7.4 class 9

বহুপদী সংখ্যামালা : কষে দেখি - 7.4

6. ${\color{Blue} x^{3}+3x^{2}+2ax+b}$ বহুপদী সংখ্যামালার দুটি উৎপাদক (x + 1) এবং (x + 2) হলে, a ও b এর মান কত হবে হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ

x + 1 = 0

বা, x = − 1

এবং

x + 2 = 0

বা, x = − 2

(x + 1) এবং (x + 2) রৈখিক বহুপদী সংখ্যামালার শূন্য হল − 1 ও −2

ধরি,

$f\left ( x \right )=x^{3}+3x^{2}+2ax+b$

∴ f (x) কে (x + 1) এবং (x + 2) দিয়ে ভাগ করলে উভয়ক্ষেত্রেই ভাগশেষ শূন্য হবে।

এখন,

f (− 1) = 0

বা, $\left ( -1 \right )^{3}+3\times \left ( -1 \right )^{2}+2a\times \left ( -1 \right )+b=0$

বা, − 1 + 3 − 2a + b = 0

বা, − 2a + b = − 2

বা, 2a − b = 2 ……..(i)

আবার,

f (−2) = 0

বা, $\left ( -2 \right )^{3}+3\times \left ( -2 \right )^{2}+2a\times \left ( -2 \right )+b=0$

বা, − 8 + 12 − 4a + b = 0

বা, 4 − 4a + b = 0

বা, − 4a + b = − 4

বা, 4a − b = 4 ………(ii)

(ii) নং সমীকরণ থেকে (i) নং সমীকরণ বিয়োগ করে পাই

4a − b − 2a + b= 4 − 2

বা, 2a = 2

বা, $a=\frac{2}{2}$

∴ a = 1

(i) নং সমীকরণে a = 1 বসিয়ে পাই,

2 × 1 − b = 2

বা, − b = 2 − 2

∴ b = 0

উত্তরঃ নির্ণেয় a ও b এর মান যথাক্রমে 1 ও 0

Koshe dekhi 7.4 class 9

বহুপদী সংখ্যামালা : কষে দেখি - 7.4

7. ${\color{Blue} ax^{3}+bx^{2}+x-6}$ বহুপদী সংখ্যামালাকে (x − 2) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ 4 হয় এবং এই বহুপদী সংখ্যামালার একটি উৎপাদক x + 2 হলে, a ও b -এর মান কত হবে হিসাব করি।

সমাধানঃ

x − 2 = 0

বা, x = 2

ধরি,

$f\left ( x \right )=ax^{3}+bx^{2}+x-6$

প্রদত্ত,

f (x) কে (x − 2) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ 4

∴ f (2) = 4

বা, $a\times \left ( 2 \right )^{3}+b\times \left ( 2 \right )^{2}+2-6=4$

বা, 8a + 4b − 4 = 4

বা, 8a + 4b = 4 + 4

বা, 8a + 4b = 8

বা, 4(2a + b) = 4 × 2

বা, 2a + b = 2 ……..(i)

প্রদত্ত,

f (x) এর একটি উৎপাদক (x + 2)

∴ x + 2 = 0

বা, x = − 2

সুতরাং,

∴ f (−2) = 0

বা, $a\times \left ( -2 \right )^{3}+b\times \left ( -2 \right )^{2}-2-6=0$

বা, − 8a + 4b − 8 = 0

বা, − 8a + 4b = 8

বা, 4(−2a + b) = 4 × 2

বা, − 2a + b = 2 ……..(ii)

(i) নং সমীকরণ + (ii) নং সমীকরণ করে পাই

2a + b − 2a + b = 2 + 2

বা, 2b = 4

বা, $b=\frac{4}{2}$

∴ b = 2

(i) নং সমীকরণে b = 2 বসিয়ে পাই,

2a + 2 = 2

বা, 2a = 2 − 2

বা, 2a = 0

∴ a = 0

উত্তরঃ নির্ণেয় a ও b এর মান যথাক্রমে o ও 2

Koshe dekhi 7.4 class 9

বহুপদী সংখ্যামালা : কষে দেখি - 7.4

8. n যেকোনাে ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা (যুগ্ম বা অযুগ্ম) হলে, দেখাই যে, ${\color{Blue} x^{n}-y^{n}}$ বহুপদী সংখ্যামালাটির একটি উৎপাদক x − y.

সমাধানঃ

x − y = 0

বা, x = y

ধরি,

$f\left ( x\right )=x^{n}-y^{n}$

∴ f (y)

$=y^{n}-y^{n}$

= 0

যেহেতু, $x^{n}-y^{n}$ কে x − y দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ 0 হয়,

সুতরাং, $x^{n}-y^{n}$ বহুপদী সংখ্যামালাটির একটি উৎপাদক x − y যখন, n যেকোনাে ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা (যুগ্ম বা অযুগ্ম)। (প্রমাণিত)

ভিন্ন পদ্ধতিঃ

x − y = 0

বা, x = y

ধরি,

$x^{n}-y^{n}$ কে x − y দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল হয় Q এবং ভাগশেষ হয় R

আমরা জানি,

ভাজ্য = ভাজক × ভাগফল + ভাগশেষ

$\therefore x^{n}-y^{n}=\left ( x-y \right )\times Q+R$

বা, $y^{n}-y^{n}=0\times Q+R$ [ x = y বসিয়ে পাই ]

বা, 0 = 0 + R

∴ R = 0

যেহেতু, $x^{n}-y^{n}$ কে x − y দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ 0 হয়

সুতরাং, $x^{n}-y^{n}$ বহুপদী সংখ্যামালাটির একটি উৎপাদক x − y যখন n যেকোনাে ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা (যুগ্ম বা অযুগ্ম)।

(প্রমাণিত)

Koshe dekhi 7.4 class 9

বহুপদী সংখ্যামালা : কষে দেখি - 7.4

9. n যেকোনাে ধনাত্মক অযুগ্ম পূর্ণসংখ্যা হলে, দেখাই যে, ${\color{Blue} x^{n}+y^{n}}$ বহুপদী সংখ্যামালাটির একটি উৎপাদক x + y.

সমাধানঃ

x + y = 0

বা, x = − y

ধরি,

$f\left ( x\right )=x^{n}+y^{n}$

∴ f (−y)

$=\left (-y \right )^{n}+y^{n}$

$=-y^{n}+y^{n}$ [যেহেতু, n অযুগ্ম পূর্ণসংখ্যা]

= 0

যেহেতু, $x^{n}+y^{n}$ কে x + y দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ 0 হয়,

সুতরাং, $x^{n}+y^{n}$ বহুপদী সংখ্যামালাটির একটি উৎপাদক x + y যখন, n যেকোনাে ধনাত্মক অযুগ্ম পূর্ণসংখ্যা। (প্রমাণিত)

Koshe dekhi 7.4 class 9

বহুপদী সংখ্যামালা : কষে দেখি - 7.4

10. n যেকোনাে ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা (যুগ্ম বা অযুগ্ম) হলে, দেখাই যে, ${\color{Blue} x^{n}+y^{n}}$ বহুপদী সংখ্যামালাটির একটি উৎপাদক কখনই x − y হবে না।

সমাধানঃ

x − y = 0

বা, x = y

ধরি,

$f\left ( x\right )=x^{n}+y^{n}$

∴ f (y)

$=y^{n}+y^{n}$

$=2y^{n}\neq 0$

যেহেতু, $x^{n}+y^{n}$ কে x − y দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ 0 হচ্ছে না,

সুতরাং, $x^{n}+y^{n}$ বহুপদী সংখ্যামালাটির একটি উৎপাদক কখনই x − y হবে না যখন, n যেকোনাে ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা (যুগ্ম বা অযুগ্ম)। (প্রমাণিত)

Koshe dekhi 7.4 class 9

বহুপদী সংখ্যামালা : কষে দেখি - 7.4

11. বহু বিকল্পীয় প্রশ্ন (M. C. Q.) :

(i) ${\color{Blue} x^{3}+6x^{2}+4x+k}$ বহুপদী সংখ্যামালাটি (x + 2) দ্বারা বিভাজ্য হলে, k -এর মান

(a) –6

(b) –7

(d) −10

সমাধানঃ

x + 2 = 0

বা, x = − 2

ধরি,

$f\left ( x \right )=x^{3}+6x^{2}+4x+k$

∴ f (x) কে (x + 2) দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ শূন্য হবে।

এখন,

f (−2) = 0

বা, $\left ( -2 \right )^{3}+6\times \left ( -2 \right )^{2}+4\times \left ( -2 \right )+k=0$

বা, − 8 + 24 − 8 + k = 0

বা, 8 + k = 0

∴ k = − 8

উত্তরঃ (C) –8

Koshe dekhi 7.4 class 9

বহুপদী সংখ্যামালা : কষে দেখি - 7.4

11. বহু বিকল্পীয় প্রশ্ন (M. C. Q.) :

(ii) f(x) বহুপদী সংখ্যামালার ${\color{Blue} f\left ( -\frac{1}{2} \right )=0}$ হলে, f(x) এর একটি উৎপাদক হবে

(a) 2x − 1

(b) 2x + 1

(d) x + 1

সমাধানঃ

প্রদত্ত,

$f\left ( -\frac{1}{2} \right )=0$

অর্থাৎ,

$x=-\frac{1}{2}$

বা, 2x = − 1

বা, 2x + 1 = 0

যেহেতু, 2x + 1 = 0

সুতরাং, f(x) এর একটি উৎপাদক হবে 2x + 1

উত্তরঃ (b)

Koshe dekhi 7.4 class 9

বহুপদী সংখ্যামালা : কষে দেখি - 7.4

11. বহু বিকল্পীয় প্রশ্ন (M. C. Q.) :

(iii) f (x) বহুপদী সংখ্যামালার (x − 1) একটি উৎপাদক, কিন্তু g(x) বহুপদী সংখ্যামালার উৎপাদক নয়। সুতরাং (x − 1) একটি উৎপাদক হবে

(a) f(x) g(x)

(b) −f(x) + g(x)

(d) {f(x) + g(x)} g(x)

সমাধানঃ

x − 1 = 0

বা, x = 1

যেহেতু, f (x) বহুপদী সংখ্যামালার (x − 1) একটি উৎপাদক

সুতরাং,

f (1) = 0

আবার,

যেহেতু, g(x) বহুপদী সংখ্যামালার উৎপাদক নয়

সুতরাং,

g(1) ≠ 0

f(x) g(x)

= f (1) g(1) [ যখন, x = 1 ]

= 0 × [≠ 0]

= 0

যেহেতু, f(x) g(x) = 0

∴ f(x) g(x) এর একটি উৎপাদক (x − 1)

উত্তরঃ (a)

Koshe dekhi 7.4 class 9

বহুপদী সংখ্যামালা : কষে দেখি - 7.4

11. বহু বিকল্পীয় প্রশ্ন (M. C. Q.) :

(iv) ${\color{Blue} x^{n}+1}$ বহুপদী সংখ্যামালার (x + 1) একটি উৎপাদক হবে যখন

(a) n একটি অযুগ্ম ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা

(b) n একটি যুগ্ম ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা

(d) n একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা

সমাধানঃ

x + 1 = 0

বা, x = − 1

(x + 1) রৈখিক বহুপদী সংখ্যামালার শূন্য হল −1

ধরি,

$f\left ( x \right )=x^{n}+1$

∴ f (− 1)

$=\left ( -1 \right )^{n}+1$

যদি, n একটি অযুগ্ম ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা হয় তবে

$\left ( -1 \right )^{n}=-1$

সুতরাং,

∴ f (− 1)

= − 1 + 1

= 0

উত্তরঃ (a)

Koshe dekhi 7.4 class 9

বহুপদী সংখ্যামালা : কষে দেখি - 7.4

11. বহু বিকল্পীয় প্রশ্ন (M. C. Q.) :

(v) ${\color{Blue} an^{4}+bn^{3}+cn^{2}+dn+e}$ বহুপদী সংখ্যামালার ${\color{Blue} n^{2}-1}$ উৎপাদক হলে

(a) a + c + e = b + d

(b) a + b + e = c + d

(d) b + c + d = a + e

সমাধানঃ

ধরি,

$f\left ( n\right )=an^{4}+bn^{3}+cn^{2}+dn+e$

$n^{2}-1=0$

বা, $n^{2}=1$

∴ n = ± 1

$\therefore \left (n^{2}-1 \right )$ রৈখিক বহুপদী সংখ্যামালার শূন্য হল 1 ও −1

এখন,

f (1) = 0

বা, $a\times \left ( 1 \right )^{4}+b\times \left ( 1 \right )^{3}+c\times \left ( 1 \right )^{2}+d\times 1+e=0$

বা, a + b + c + d + e = 0

আবার,

f (−1) = 0

বা, $a\times \left ( -1 \right )^{4}+b\times \left ( -1 \right )^{3}+c\times \left ( -1 \right )^{2}+d\times \left (-1 \right )+e=0$

বা, a − b + c − d + e = 0

বা, a + c + e = b + d

উত্তরঃ (a)

Koshe dekhi 7.4 class 9

বহুপদী সংখ্যামালা : কষে দেখি - 7.4

12. সংক্ষিপ্ত উত্তরভিত্তিক প্রশ্ন :

(i) ${\color{Blue} x^{3}+ax^{2}-2x+a-12}$ বহুপদী সংখ্যামালার x + a একটি উৎপাদক হলে, a -এর মান কত হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ

ধরি,

$f\left ( x \right )=x^{3}+ax^{2}-2x+a-12$

x + a = 0

বা, x = −a

∴ (x + a) রৈখিক বহুপদী সংখ্যামালার শূন্য হল −a

যেহেতু, f (x) বহুপদী সংখ্যামালার (x + a) একটি উৎপাদক,

সুতরাং,

f (−a) = 0

বা, $\left ( -a \right )^{3}+a\times \left ( -a \right )^{2}-2\times \left ( -a \right )+a-12=0$

বা, $-a^{3}+a^{3}+2a+a-12=0$

বা, 3a − 12 = 0

বা, 3a = 12

বা, $a=\frac{12}{3}$

∴ a = 4

উত্তরঃ নির্ণেয় a এর মান 4

Koshe dekhi 7.4 class 9

বহুপদী সংখ্যামালা : কষে দেখি - 7.4

12. সংক্ষিপ্ত উত্তরভিত্তিক প্রশ্ন :

(ii) ${\color{Blue} k^{2}x^{3}-kx^{2}+3kx-k}$ বহুপদী সংখ্যামালার x − 3 একটি উৎপাদক হলে, k -এর মান কত হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ

ধরি,

$f\left ( x \right )=k^{2}x^{3}-kx^{2}+3kx-k$

x − 3 = 0

বা, x = 3

∴ (x − 3) রৈখিক বহুপদী সংখ্যামালার শূন্য হল 3

যেহেতু, f (x) বহুপদী সংখ্যামালার (x − 3) একটি উৎপাদক,

সুতরাং,

f (3) = 0

বা, $k^{2}\times \left ( 3 \right )^{3}-k\times \left ( 3 \right )^{2}+3k\times 3-k=0$

বা, $27k^{2}-9k+9k-k=0$

বা, $27k^{2}-k=0$

বা, $k\left ( 27k-1 \right )=0$

দুই বা ততোধিক রাশির গুনফল শূন্য হলে, তারা প্রত্যেকে পৃথক ভাবে শূন্য হয়।

অর্থাৎ,

k = 0

অথবা,

27k − 1 = 0

বা, 27k = 1

$\therefore k=\frac{1}{27}$

উত্তরঃ নির্ণেয় k এর মান 0 অথবা ${\color{DarkGreen} \frac{1}{27}}$

Koshe dekhi 7.4 class 9

বহুপদী সংখ্যামালা : কষে দেখি - 7.4

12. সংক্ষিপ্ত উত্তরভিত্তিক প্রশ্ন :

(iii) f (x) = 2x + 5 হলে, f (x) + f (−x) -এর মান কত হবে লিখি।

সমাধানঃ

f (x) = 2x + 5

2x + 5 = 0

বা, 2x = −5

$\therefore x=-\frac{5}{2}$ এবং $-x=\frac{5}{2}$

f (x) + f (−x)

$=2\times \left ( -\frac{5}{2} \right )+5+2\times \frac{5}{2}+5$

= − 5 + 5 + 5 + 5

= 10

উত্তরঃ নির্ণেয় f (x) + f (−x) -এর মান 10

Koshe dekhi 7.4 class 9

বহুপদী সংখ্যামালা : কষে দেখি - 7.4

12. সংক্ষিপ্ত উত্তরভিত্তিক প্রশ্ন :

(iv) ${\color{Blue} px^{2}+5x+r}$ বহুপদী সংখ্যামালার (x – 2) এবং ${\color{Blue} \left ( x-\frac{1}{2} \right )}$ উভয়েই উৎপাদক হলে, p ও r এর মধ্যে সম্পর্ক হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ

x – 2 = 0

বা, x = 2

আবার,

$x-\frac{1}{2}=0$

বা, $x=\frac{1}{2}$

ধরি,

$f\left ( x \right )=px^{2}+5x+r$

যেহেতু, f (x) বহুপদী সংখ্যামালার (x – 2) এবং $\left ( x-\frac{1}{2} \right )$ উভয়েই উৎপাদক

সুতরাং,

f (2) = 0

বা, $p\times \left ( 2 \right )^{2}+5\times 2+r=0$

বা, 4p + 10 + r = 0

বা, 4p + r = − 10 …….(i)

আবার,

$f\left ( \frac{1}{2} \right )=0$

বা, $p\times \left ( \frac{1}{2} \right )^{2}+5\times \frac{1}{2}+r=0$

বা, $\frac{p}{4}+\frac{5}{2}+r=0$

বা, $\frac{p+10+4r}{4}=0$

বা, p + 10 + 4r = 0 × 4

বা, p + 10 + 4r = 0

বা, p + 4r = − 10 …….(ii)

(i) নং সমীকরণ ও (ii) নং সমীকরণ তুলনা করে পাই,

4p + r = p + 4r

বা, 4p − p = 4r − r

বা, 3 p = 3r

∴ p = r এটাই হল p ও r এর মধ্যে সম্পর্ক।

উত্তরঃ

Koshe dekhi 7.4 class 9

বহুপদী সংখ্যামালা : কষে দেখি - 7.4

12. সংক্ষিপ্ত উত্তরভিত্তিক প্রশ্ন :

(v) f (x) = 2x + 3 রৈখিক বহুপদী সংখ্যামালার শূন্য কত হবে লিখি।

সমাধানঃ

2x + 3 = 0

বা, 2x = −3

$\therefore x=-\frac{3}{2}$

উত্তরঃ f (x) = 2x + 3 রৈখিক বহুপদী সংখ্যামালার শূন্য হবে ${\color{DarkGreen} -\frac{3}{2}}$

Koshe dekhi 7.4 class 9

Support Me

If you like my work then you can Support me by contributing a small amount which will help me a lot to grow my Website. It’s a request to all of you. You can donate me through phone pay / Paytm/ Gpay on this number 7980608289 or by the link below :

and visit Our website : learningscience.co.in

গণিত প্রকাশ (দশম শ্রেণী) সম্পূর্ণ সমাধান

গণিত প্রকাশ (নবম শ্রেণী) সম্পূর্ণ সমাধান

গণিত প্রভা (ষষ্ঠ শ্রেণী) সম্পূর্ণ সমাধান

জীবন বিজ্ঞান (দশম শ্রেণী) (Life Science)

Thank You