Students Request : Math (Class 5 to 10) (Part – 1)

প্রশ্নঃ তিনজন অবসরপ্রাপ্ত ব্যক্তি 19500 টাকা , 27300 টাকা ও 15600 টাকা মূলধন নিয়ে একটি লেদ কারখানা স্থাপন করার এক বছর পরে দেখলেন 43200 টাকা লাভ হয়েছে। ওই লাভের ${\color{Blue} \frac{2}{3}}$ অংশ তারা সমান ভাগে এবং বাকি অংশ মূলধনের অনুপাতে ভাগ করে নিলে কে কত টাকা পাবেন নির্ণয় করাে।

সমাধানঃ

তিনজন অবসরপ্রাপ্ত ব্যক্তির মূলধনের অনুপাত

= প্রথম ব্যক্তির মূলধন : দ্বিতীয় ব্যক্তির মূলধন : তৃতীয় ব্যক্তির মূলধন

= 19500 : 27300 : 15600

= 195 : 273 : 156

= 65 : 91 : 52

= 5 : 7 : 4

প্রথম ব্যক্তির মূলধনের অনুপাতিক ভাগহার

$=\frac{5}{5+7+4}$

$=\frac{5}{16}$

দ্বিতীয় ব্যক্তির মূলধনের অনুপাতিক ভাগহার

$=\frac{7}{5+7+4}$

$=\frac{7}{16}$

তৃতীয় ব্যক্তির মূলধনের অনুপাতিক ভাগহার

$=\frac{4}{5+7+4}$

$=\frac{4}{16}$

প্রদত্ত, এক বছর পরে লাভ হয় = 43200 টাকা

∴ লাভের $\frac{2}{3}$ অংশ

$=43200\times \frac{2}{3}$

= 28800 টাকা

28800 টাকা তিনজন সমান ভাগে ভাগ করে নেয়।

সুতরাং, 28800 টাকা থেকে প্রত্যেকে পায়

$=\frac{28800}{3}$

= 9600 টাকা

লাভের বাকি টাকা

= 43200 টাকা − 28800 টাকা

= 14400 টাকা

সুতরাং, 14400 টাকা থেকে,

প্রথম ব্যক্তি পায়

$=14400\times \frac{5}{16}$

= 4500 টাকা

দ্বিতীয় ব্যক্তি পায়

$=14400\times \frac{7}{16}$

= 6300 টাকা

তৃতীয় ব্যক্তি পায়

$=14400\times \frac{4}{16}$

= 3600 টাকা

∴ প্রথম ব্যক্তি মোট লভ্যাংশ পায় = 9600 টাকা + 4500 টাকা = 14100 টাকা,

দ্বিতীয় ব্যক্তি মোট লভ্যাংশ পায় = 9600 টাকা + 6300 টাকা = 15900 টাকা,

এবং তৃতীয় ব্যক্তি মোট লভ্যাংশ পায় = 9600 টাকা + 3600 টাকা = 13200 টাকা

(উত্তর)

Students Request : Math (Class 5 to 10) (Part – 1)

প্রশ্নঃ যদি 5 জন লােক 9 দিনে 10 বিঘা জমি চাষ করতে পারেন , তবে 30 বিঘা জমি চাষ করতে 25 জন লােকের কত দিন সময় লাগবে ভেদতত্ত্ব প্রয়ােগ করে নির্ণয় করাে ।

সমাধানঃ

ধরি,

লোকসংখ্যা = x জন , সময় = y দিন ও জমির পরিমান = z বিঘা।

জমির পরিমান অপরিবর্তিত থাকলে, লোকসংখ্যা বাড়লে চাষ করার জন্য প্রয়োজনীয় সময় কম লাগবে।

সুতরাং, লোকসংখ্যা সাথে সময় ব্যস্ত সম্পর্কে আছে।

অর্থাৎ,

y ∝ $\frac{1}{x}$ , যখন z ধ্রুবক।

আবার,

লোকসংখ্যা অপরিবর্তিত রেখে, জমির পরিমান বাড়লে, চাষ করার জন্য প্রয়োজনীয় সময় বেশি লাগবে।

সুতরাং, জমির পরিমানের সাথে সময় সরল সম্পর্কে আছে।

অর্থাৎ,

y ∝ z , যখন x ধ্রুবক।

যৌগিক ভেদের উপপাদ্য অনুযায়ী ,

y ∝ $\frac{z}{x}$

বা, $y=k\times \frac{z}{x}$ [ k = অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ]

বা, $k=\frac{xy}{z}$ ……….(i )

(i ) নং সমীকরণে y = 9 , z = 10 এবং x = 5 বসিয়ে পাই,

$k=\frac{5\times 9}{10}$

$\therefore k=\frac{45}{10}$

আবার (i ) নং সমীকরণে x = 25 , z = 30 এবং $k=\frac{45}{10}$ বসিয়ে পাই,

$\frac{45}{10}=\frac{25\times y}{30}$

বা, 25 × 10 × y = 45 × 30

বা, $y=\frac{45\times 30}{25\times 10}$

বা, $y=\frac{27}{5}$

$\therefore y=5\frac{2}{5}$

উত্তরঃ 30 বিঘা জমি চাষ করতে 25 জন লােকের ${\color{DarkGreen} 5\frac{2}{5}}$ দিন সময় লাগবে।

Students Request : Math (Class 5 to 10) (Part – 1)

প্রশ্নঃ কত টাকা বার্ষিক 5% চক্রবৃদ্ধি হার সুদে 2 বছর পরে সুদে -আসলে 3528 টাকা হবে হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ

ধরি,

আসল (p) = x টাকা।

সময় (t) = 2 বছর

চক্রবৃদ্ধি সুদের হার (r) = 5%

সুদে -আসল (A) = 3528 টাকা

আমরা জানি,

$A=p\left ( 1+\frac{r}{100} \right )^{t}$

বা, $3528=x\left ( 1+\frac{5}{100} \right )^{2}$

বা, $3528=x\left ( 1+\frac{1}{20} \right )^{2}$

বা, $3528=x\left ( \frac{21}{20} \right )^{2}$

বা, $3528=x\times \frac{441}{400}$

বা, $x=3528\times \frac{400}{441}$

$\therefore x=3200$

উত্তরঃ নির্ণেয় আসলে পরিমান 3200 টাকা।

Students Request : Math (Class 5 to 10) (Part – 1)

প্রশ্নঃ দুটি ক্রমিক ধনাত্মক অযুগ্ম সংখ্যার গুনফল 143 হলে, সমীকরণ গঠন করে শ্রীধর আচার্যের সূত্র প্রয়োগ করে সংখ্যা দুটি কি কি হবে নির্ণয় করি। সমাধানঃ

ধরি, ক্রমিক ধনাত্মক অযুগ্ম সংখ্যা দুটি যথাক্রমে (2x+1) ও (2x+3)

প্রশ্নানুসারে,

$\left ( 2x+1 \right )\times \left ( 2x+3 \right )=143$

বা, $4x^{2}+6x+2x+3=143$

বা, $4x^{2}+8x-140=0$

বা, $4\left (x^{2}+2x-35 \right )=0$

বা, $\left (x^{2}+2x-35 \right )=\frac{0}{4}=0$ …….(i)

$ax^{2}+bx+c=0$ সমীকরণকে (i) নং সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই,

$a=1,b=2$ ও $c=-35$

শ্রীধর আচার্যের সূত্র প্রয়োগ করে পাই,

$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

$=\frac{-2\pm \sqrt{\left ( 2 \right )^{2}-4\times 1\times \left ( -35 \right )}}{2\times 1}$

$=\frac{-2\pm \sqrt{4+140}}{2}$

$=\frac{-2\pm \sqrt{144}}{2}$

$=\frac{-2\pm 12}{2}$

$=-1\pm 6$

∴ x = – 1 + 6 = 5 x = – 1 – 6 = -7

x ≠ – 7

∴ x = 5

∴ নির্ণেয় সংখ্যা দুটি যথাক্রমে

( 2x + 1 ) = 2 × 5 + 1 = 11 ও

( 2x + 3 ) = 2 × 5 + 3 = 13 (উত্তর)

Students Request : Math (Class 5 to 10) (Part – 1)

প্রশ্নঃ একটি কাজ A 12 দিনে এবং B 18 দিনে শেষ করতে পারে। তাঁরা একত্রে কাজটি শুরু করে, কিন্তু কাজটি শেষ হওয়ার 3 দিন আগে A কাজ ছেড়ে চলে যায়। বাকি কাজটি B শেষ করে.সমস্ত কাজটি শেষ হতে কত দিন লাগবে ?

(A) 8 (B) 9 (C) 6 (D) 3

সমাধানঃ

A B

12 18

36 ( 12 ও 18 এর ল.সা.গু = মোট কাজ )

3 2 (প্রতিদিনের কাজ )

অর্থাৎ, প্রতিদিন A কাজ করে 3 একক ও B কাজ করে 2 একক।

শেষ 3 দিন B একা কাজ করে।

∴ শেষ 3 দিন B একা মোট কাজ করে = 3 × 2 = 6 একক।

বাকি কাজ = 36 – 6 = 30 একক।

(A+B) একত্রে প্রতিদিন কাজ করে = (3+2) = 5 একক।

30 একক কাজ করতে (A+B) একত্রে সময় লাগে $=\frac{30}{5}=6$ দিন।

নির্ণেয় সমস্ত কাজটি শেষ হতে সময় লাগবে = 6 + 3 = 9 দিন

উত্তরঃ (B) 9

Students Request : Math (Class 5 to 10) (Part – 1)

প্রশ্নঃ একটি সমকোণী চৌপলের সমগ্র তলের ক্ষেএফল 192 বর্গসেমি., ঘনফল 144 ঘন সেমি. এবং করণের দৈর্ঘ্য 13 সেমি.। চৌপলের মাএাগুলি নির্ণয় করি।

সমাধানঃ

ধরি,

সমকোণী চৌপলের দৈর্ঘ্য a সেমি. , প্রস্থ b সেমি. ও উচ্চতা c সেমি.

প্রদত্ত,

সমকোণী চৌপলের সমগ্র তলের ক্ষেএফল $2\left ( ab+bc+ca \right )=192$ বর্গসেমি.,

ঘনফল $\left ( abc \right )=144$ ঘন সেমি.

এবং করণের দৈর্ঘ্য $\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}=13$ সেমি.।

প্রশ্নানুসারে,

$\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}=13$

বা, $\left (\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}} \right )^{2}=\left (13 \right )^{2}$

বা, $a^{2}+b^{2}+c^{2}=169$

বা, $\left ( a+b+c \right )^{2}-2\left ( ab+bc+ca \right )=169$

বা, $\left ( a+b+c \right )^{2}-192=169$

বা, $\left ( a+b+c \right )^{2}=169+192$

বা, $a+b+c=\sqrt{361}$

বা, $a+b+c=19$

বা, $a+b=19-c$ ……(i)

এখন,

$abc=144$

বা, $ab=\frac{144}{c}$ ……..(ii)

এবং

$a^{2}+b^{2}+c^{2}=169$

বা, $\left ( a+b \right )^{2}-2ab+c^{2}=169$

বা, $\left ( 19-c \right )^{2}-2\times \frac{144}{c}+c^{2}=169$ [(i) ও (ii) নং সমীকরণ ব্যবহার করে পাই ]

বা, $361-38c+c^{2}-2ab+c^{2}+\frac{288}{c}+c^{2}=169$

বা, $2c^{2}-38c+192+\frac{288}{c}=0$

বা, $2c^{3}-38c^{2}+192c+288=0$

বা, $c^{3}-19c^{2}+96c+144=0$

বা, $c^{3}-3c^{2}-16c^{2}+48c+48c+144=0$

বা, $c^{2}\left ( c-3 \right )-16c\left ( c-3 \right )+48\left ( c-3 \right )=0$

বা, $\left ( c-3\right )\left ( c^{2}-16c+48 \right )=0$

বা, $\left ( c-3 \right )\left ( c-4 \right )\left ( c-12 \right )=0$

দুই বা ততোধিক রাশির গুনফল শূন্য হলে তারা প্রত্যেকে পৃথক পৃথক ভাবে শূন্য হয়।

∴ c – 3 = ০ , c – 4 = ০ ও c – 12 = ০

c = 3 , 4 ও 12

একই ভাবে a = 3 , 4 ও 12 এবং b = 3 , 4 ও 12

$\because a>b>c$

∴ a = 12 , b = 4 ও c = 3

উত্তরঃ নির্ণেয় চৌপলের দৈর্ঘ্য 12 সেমি. , প্রস্থ 4 সেমি. ও উচ্চতা 3 সেমি.

Students Request : Math (Class 5 to 10) (Part – 1)

প্রশ্নঃ যদি ${\color{Blue} \left ( a+b \right )\propto \sqrt{ab}}$ হয়, তবে দেখাও যে, ${\color{Blue} \left ( \sqrt{a}+\sqrt{b} \right )\propto \left ( \sqrt{a}-\sqrt{b} \right )}$

সমাধানঃ

প্রদত্ত,

${\color{Black} \left ( a+b \right )\propto \sqrt{ab}}$

$\left ( a+b \right )=k\sqrt{ab}......(i)$ [k = অশুণ্য ভেদ ধ্রুবক]

বর্গ করে পাই –

$\left ( a+b \right )^{2}=k^{2}\left (\sqrt{ab} \right )^{2}$

$\left ( a-b \right )^{2}+4ab=k^{2}ab$ ${\color{Blue} \left [ \because \left ( a+b \right )^{2}=\left ( a-b \right )^{2}+4ab \right ]}$

$\left ( a-b \right )^{2}=k^{2}ab-4ab$

$\left ( a-b \right )^{2}=\left ( k^{2}-4 \right )ab$

$a-b=\pm \sqrt{k^{2}-4}\cdot \sqrt{ab}$

ধরি, $m=\pm \sqrt{k^{2}-4}=$ অশুণ্য ভেদ ধ্রুবক

$\therefore a-b=m\sqrt{ab}......(ii)$

এখন, (i) + (ii) করে পাই –

$a+b+a-b=k\sqrt{ab}+m\sqrt{ab}$

$2a=\sqrt{ab}\left ( k+m \right )$

$\left ( \sqrt{a} \right )^{2}=\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}\left ( \frac{k+m}{2} \right )$

$\sqrt{a}=\sqrt{b}\left ( \frac{k+m}{2} \right )$

ধরি, $p=\left ( \frac{k+m}{2} \right )=$ অশুণ্য ভেদ ধ্রুবক

$\therefore \sqrt{a}=p\sqrt{b}$

এখন, $\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}$

√a -এর মান বসিয়ে পাই –

$=\frac{p\sqrt{b}+\sqrt{b}}{p\sqrt{b}+\sqrt{b}}$

$=\frac{\sqrt{b}\left ( p+1 \right )}{\sqrt{b}\left ( p-1 \right )}$

$=\frac{\left ( p+1 \right )}{\left ( p-1 \right )}$ = অশুণ্য ভেদ ধ্রুবক

তাহলে, $\because$ আমরা দেখলাম $\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}$ = অশুণ্য ভেদ ধ্রুবক।

$\left ( \sqrt{a}+\sqrt{b} \right )=$ ধ্রুবক $\left ( \sqrt{a}-\sqrt{b} \right )$

$\therefore \left ( \sqrt{a}+\sqrt{b} \right )\propto \left ( \sqrt{a}-\sqrt{b} \right )$ (প্রমাণিত)

Students Request : Math (Class 5 to 10) (Part – 1)

প্রশ্নঃ যদি ${\color{Blue} a=\frac{1}{2+\sqrt{3}}}$ এবং ${\color{Blue} b=\frac{1}{2-\sqrt{3}}}$ হয়, তবে ${\color{Blue} \left ( \frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1} \right )}$ – এর মান কত ?

সমাধানঃ

$\because a=\frac{1}{2+\sqrt{3}}$

হরের করণী নিরসন করে পাই –

$a=\frac{\left ( 2-\sqrt{3} \right )}{\left ( 2+\sqrt{3} \right )\left ( 2-\sqrt{3} \right )}$

$=\frac{\left ( 2-\sqrt{3} \right )}{2^{2}-\sqrt{3}^{2}}$

$=\frac{2-\sqrt{3}}{4-3}$

$\therefore a=2-\sqrt{3}$

একইভাবে,

$b=\frac{\left ( 2+\sqrt{3} \right )}{\left ( 2+\sqrt{3} \right )\left ( 2-\sqrt{3} \right )}$

$=\frac{\left ( 2+\sqrt{3} \right )}{2^{2}-\sqrt{3}^{2}}$

$=\frac{2+\sqrt{3}}{4-3}$

$\therefore b=2+\sqrt{3}$

এখন,

$\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}$

a ও b -এর মান বসিয়ে পাই –

$=\frac{1}{2-\sqrt{3}+1}+\frac{1}{2+\sqrt{3}+1}$

$=\frac{1}{3-\sqrt{3}}+\frac{1}{3+\sqrt{3}}$

$=\frac{3+\sqrt{3}+3-\sqrt{3}}{\left ( 3+\sqrt{3} \right )\left ( 3-\sqrt{3} \right )}$

$=\frac{6}{3^{2}-\sqrt{3}^{2}}$

$=\frac{6}{9-3}\Leftrightarrow \frac{6}{6}=1$

উত্তরঃ ${\color{DarkGreen} \left ( \frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1} \right )}$ -এর মান 1

Students Request : Math (Class 5 to 10) (Part – 1)

প্রশ্নঃ সরল করো : ${\color{Blue} \frac{3\sqrt{20}+2\sqrt{28}+\sqrt{12}}{5\sqrt{45}+2\sqrt{175}+\sqrt{75}}}$

সমাধান :

$\frac{3\sqrt{20}+2\sqrt{28}+\sqrt{12}}{5\sqrt{45}+2\sqrt{175}+\sqrt{75}}$

$=\frac{3\sqrt{2\cdot 2\cdot 5}+2\sqrt{2\cdot 2\cdot 7}+\sqrt{2\cdot 2\cdot 3}}{5\sqrt{3\cdot 3\cdot 5}+2\sqrt{5\cdot 5\cdot 7}+\sqrt{5\cdot 5\cdot 3}}$

$=\frac{3\cdot 2\cdot \sqrt{5}+2\cdot 2\cdot \sqrt{7}+2\cdot \sqrt{3}}{5\cdot 3\cdot \sqrt{5}+2\cdot 5\cdot \sqrt{7}+5\cdot \sqrt{3}}$

$=\frac{6\sqrt{5}+4\sqrt{7}+2\sqrt{3}}{15\sqrt{5}+10\sqrt{7}+5\sqrt{3}}$

$=\frac{2\left ( 3\sqrt{5}+2\sqrt{7}+\sqrt{3} \right )}{5\left ( 3\sqrt{5}+2\sqrt{7}+\sqrt{3} \right )}$

$=\frac{2}{5}$

উত্তরঃ ${\color{DarkGreen} \frac{3\sqrt{20}+2\sqrt{28}+\sqrt{12}}{5\sqrt{45}+2\sqrt{175}+\sqrt{75}}}$ এর সরলতম মান ${\color{DarkGreen} \frac{2}{5}}$

Students Request : Math (Class 5 to 10) (Part – 1)

প্রশ্নঃ একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য ${\color{Blue} \frac{r}{2}}$ একক এবং তির্যক উচ্চতা 2l একক হলে, সর্মগ্রতলের ক্ষেত্রফল –

Ⓐ ${\color{Blue} 2\pi r\left ( l+r \right )}$ বর্গ একক

Ⓑ ${\color{Blue} \pi r\left ( l+\frac{r}{4} \right )}$ বর্গ একক

Ⓓ ${\color{Blue} 2\pi rl}$ বর্গ একক

সমাধান :

প্রদত্ত,

লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য (R) = $\frac{r}{2}$ একক এবং তির্যক উচ্চতা (L) = $2l$ একক

∴ লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল

= πR (R + L)

$=\pi \times \frac{r}{2} \times \left ( \frac{r}{2}+2l \right )$ বর্গ একক

$=\pi \times r \times \left (\frac{1}{2}\times \frac{r}{2}+\frac{1}{2}\times 2l \right )$ বর্গ একক

$=\pi r\left ( \frac{r}{4}+l \right )$ বর্গ একক

উত্তরঃ (b) ${\color{DarkGreen} \pi r\left ( l+\frac{r}{4} \right )}$ বর্গ একক

Students Request : Math (Class 5 to 10) (Part – 1)

প্রশ্নঃ P টাকার বার্ষিক r% চক্রবৃদ্ধি সুদের হারে 2n বছরের সুদের পরিমাণ _______ টাকা।

সমাধান :

P টাকার বার্ষিক r% চক্রবৃদ্ধি সুদের হারে 2n বছরের সুদের পরিমাণ

${\color{DarkGreen} \left ( I \right )=P\left [ \left ( 1+\frac{r}{100} \right )^{2n}-1 \right ]}$ টাকা।

Students Request : Math (Class 5 to 10) (Part – 1)

প্রশ্নঃ O কেন্দ্রীয় বৃত্তের AB একটি ব্যাস , ΔAPB -এর ∠PAB = 45° হলে ∠POB কত ?

সমাধান :

প্রদত্ত, ΔAPB -এর ∠PAB = 45° = ∠PAO

ΔAOP -এর ∠PAO = ∠APO = 45° [ AO = OP = একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ ]

ΔAOP -এর

∠PAO + ∠AOP + ∠APO = 180°

45° + ∠AOP + 45° = 180°

∴ ∠AOP = 180° – 90° = 90°

$\because O$ কেন্দ্রীয় বৃত্তের AB ব্যাস,

সুতারাং, ∠AOB = 180°

∠AOB = ∠AOP + ∠POB

⇒ 180° = 90° + ∠POB

∴ ∠POB = 180° – 90° = 90° (উত্তর)

Students Request : Math (Class 5 to 10) (Part – 1)

প্রশ্নঃ বার্ষিক 7% সরল সুদের হারে কোনো মূলধন 5 বছরের মোট সুদ 2940 টাকা হলে মূলধন কত ?

সমাধান :

প্রদত্ত,

বার্ষিক সরল সুদের হার (r) = 7%

সময় (t) = 5 বছর

মোট সুদ (I) = 2940 টাকা

ধরি, মূলধন = p টাকা।

আমরা জানি,

$I=\frac{ptr}{100}$

বা, $2940=\frac{p\times 5\times 7}{100}$

বা, $2940\times 100=35p$

বা, $p=\frac{2940\times 100}{35}$

$\therefore p=8400$

নির্ণেয় মূলধনের পরিমান 8400 টাকা। (উত্তর)

Students Request : Math (Class 5 to 10) (Part – 1)

প্রশ্নঃ বার্ষিক a% সরল সুদের হারে b টাকায় c মাসের সুদ কত হবে ?

সমাধান :

প্রদত্ত,

বার্ষিক সরল সুদের হার (r) = a%

মূলধন (p) = b টাকা

সময় (t) = c মাস $=\frac{c}{12}$ বছর

ধরি, মোট সুদ = I টাকা।

আমরা জানি,

$I=\frac{ptr}{100}$

বা, $I=\frac{b\times \frac{c}{12}\times a}{100}$

বা, $I=\frac{abc}{12\times 100}$

$\therefore I=\frac{abc}{1200}$

বার্ষিক a% সরল সুদের হারে b টাকায় c মাসের সুদ ${\color{DarkGreen} \frac{abc}{1200}}$ টাকা। (উত্তর)

Students Request : Math (Class 5 to 10) (Part – 1)

প্রশ্নঃ দুই বছরে আসল এবং সুদে – আসলের অনুপাত 5 : 6, তবে বার্ষিক সুদের হার কত হবে ?

সমাধান :

প্রদত্ত,

সময় (t) = 2 বছর

সুদে – আসলের অনুপাত 5 : 6

অর্থাৎ,মূলধন (p) = 5x টাকা

সুদ + আসল = 6x টাকা

∴ সুদ = 6x – 5x = x টাকা ।

ধরি, বার্ষিক সরল সুদের হার = r%

আমরা জানি,

$I=\frac{ptr}{100}$

বা, $x=\frac{5x\times 2\times r}{100}$

বা, $100x=10xr$

$r=\frac{100x}{10x}$

$\therefore r=10%$

নির্ণেয় বার্ষিক সরল সুদের হার 10% (উত্তর)

Students Request : Math (Class 5 to 10) (Part – 1)

প্রশ্নঃ দুই বন্ধু বছরের প্রথমে যথাক্রমে 24000 টাকা এবং 30000 টাকা নিয়ে ব্যবসা শুরু করেন। পাঁচ মাস পর প্রথম বন্ধু আরো 4000 টাকা মূলধন দেন। বছর শেষে 27716 টাকা লাভ হলে কে কত টাকা লভ্যাংশ পাবে ?

সমাধান :

বছরের শুরুতে দুই বন্ধু যথাক্রমে 24000 টাকা ও 30000 টাকা দিয়ে যৌথভাবে ব্যবসা শুরু করেন।

প্রথম বন্ধু পাঁচ মাস পরে ব্যবসায়ে আরও 4000 টাকা দিয়েছিলেন।

যেহেতু, 5 মাস পর প্রথম বন্ধু আরও 4000 টাকা মূলধন দেন, তাই 5 মাসের পর থেকে বাকি (12 − 5) মাস = 7 মাস প্রথম বন্ধুর মূলধনের পরিমাণ হবে = (24000 + 4000 ) টাকা = 28000 টাকা।

প্রথম বন্ধুর, বছরের শেষে যে লভ্যাংশের পরিমাণ হবে, তা যদি প্রত্যেক মাসে পেতে চায় তবে তাকে প্রতিমাসে ব্যবসায় মূলধন নিয়োগ করতে হবে = ( 24000 × 5 ) + [ 28000 × 7 ] = ( 120000 + 196000 ) টাকা = 316000 টাকা।

যেহেতু,দ্বিতীয় বন্ধু বছরের মাঝে কোনো মূলধন নিয়োগ করেনি বা তুলে নেয়নি, তাই দ্বিতীয় বন্ধুর মূলধনের পরিমাণ হবে = 30000 টাকা।

দ্বিতীয় বন্ধুর, বছরের শেষে যে লভ্যাংশের পরিমাণ হবে, তা যদি প্রত্যেক মাসে পেতে চায় তবে অরুনকে প্রতিমাসে ব্যবসায় মূলধন নিয়োগ করতে হবে = ( 30000 × 12 ) টাকা = 360000 টাকা।

বছরের শেষে ব্যবসায়ে লাভ হয় = 27716 টাকা

এখন, প্রথম ও দ্বিতীয় বন্ধুর মূলধনের অনুপাত

= 316000 : 360000

= 316 : 360

= 79 : 90

∴ প্রথম বন্ধুর লভ্যাংশের পরিমান $=27716\times \frac{79}{79+90}=27716\times \frac{79}{169}=12956$ টাকা

এবং দ্বিতীয় বন্ধুর লভ্যাংশের পরিমান $=27716\times \frac{90}{79+90}=27716\times \frac{90}{169}=14760$ টাকা

উত্তরঃ নির্ণেয় বছর শেষে 27716 টাকা লাভ হলে প্রথম বন্ধু 12956 টাকা এবং দ্বিতীয় বন্ধু 14760 টাকা লভ্যাংশ পাবে ।

Students Request : Math (Class 5 to 10) (Part – 1)

প্রশ্নঃ বার্ষিক 4% হার সুদে কত টাকার 2 বছরের সরল সুদ ও চক্রবৃদ্ধি সুদের অন্তর 65 টাকা হবে।

সমাধান :

সরল সুদের ক্ষেত্রে,

মোট সুদ $\left ( I \right )=\frac{ptr}{100}$

বা, $I=\frac{p\times 2\times 4}{100}$

বা, $I=\frac{2p}{25}$

চক্রবৃদ্ধি সুদের ক্ষেত্রে,

মোট সুদ $\left ( I_{1} \right )=p\left [ \left ( 1+\frac{r}{100} \right )^{t} -1\right ]$

বা, $I_{1}=p\left [ \left ( 1+\frac{4}{100} \right )^{2}-1 \right ]$

বা, $I_{1}=p\left [ \left ( 1+\frac{1}{25} \right )^{2}-1 \right ]$

বা, $I_{1}=p\left [ \left ( \frac{26}{25} \right )^{2}-1 \right ]$

বা, $I_{1}=p\left [ \frac{676}{625}-1 \right ]$

বা, $I_{1} =\frac{51p}{625}$

প্রশ্নানুসারে,

$\frac{51p}{625}-\frac{2p}{25}=65$

বা, $\frac{51p-50p}{625}=65$

বা, $\frac{p}{625}=65$

$\therefore p=65\times 625=40625$

উত্তরঃ নির্ণেয় মূলধনের পরিমান 40625 টাকা।

Students Request : Math (Class 5 to 10) (Part – 1)

প্রশ্নঃ A : B = 3 : 2, B : C = 3 : 5 হলে, A : B : C = ?

সমাধান :

A : B = 3 : 2

বা, $\frac{A}{B}=\frac{3}{2}=\frac{3\times 3}{2\times 3}=\frac{9}{6}$

আবার,

B : C = 3 : 5

বা, $\frac{B}{C}=\frac{3}{5}=\frac{3\times 2}{5\times 2}=\frac{6}{10}$

∴ A : B : C = 9 : 6 : 10 (উত্তর)

Students Request : Math (Class 5 to 10) (Part – 1)

প্রশ্নঃ শতকরা বার্ষিক সরল সুদের হার কত হলে কোনো টাকার 4 বছরের সুদ আসলের ${\color{Blue} \frac{8}{25}}$ অংশ হবে তা নির্ণয় করি।

সমাধান :

ধরি, আসল (p) = x টাকা ও বার্ষিক সরল সুদের হার = r%।

সময় (t) = 4 বছর

মোট সুদ (I) = আসলের $\frac{8}{25}$ অংশ $=x\times \frac{8}{25}=\frac{8x}{25}$ টাকা।

আমরা জানি,

$I=\frac{ptr}{100}$

বা, $\frac{8x}{25}=\frac{x\times 4\times r}{100}$

বা, $25r=200$

বা, $r=\frac{200}{25}$

$\therefore r=8$

উত্তর : নির্ণেয় শতকরা বার্ষিক সরল সুদের হার 8%

Students Request : Math (Class 5 to 10) (Part – 1)

প্রশ্নঃ ${\color{Blue} x^{2}-6x+a=0}$ সমীকরণের একটি বীজ 4 হলে, a এর মান হবে –

Ⓐ −4

Ⓑ −2

Ⓒ 4

Ⓓ 8

সমাধান :

$x^{2}-6x+a=0$

প্রদত্ত সমীকরণে $x=4$ বসিয়ে পাই,

$\left ( 4 \right )^{2}-6\times 4+a=0$

বা, $16-24+a=0$

বা, $-8+a=0$

$\therefore a=8$

উত্তরঃ Ⓓ 8

Students Request : Math (Class 5 to 10) (Part – 1)

প্রশ্নঃ অমল এবং বিমল একটি ব্যাবসা শুরু করে। অমল 500 টাকা 9 মাসের জন্য এবং বিমল কিছু টাকা 6 মাসের জন্য বাসাতে নিয়ােজিত করে। ব্যবসায় মােট লাভ হয় 69 টাকা এবং বিমল লাভের 46 টাকা পায়। ব্যাবসাতে বিমলের মূলধন

Ⓐ 1500 টাকা

Ⓑ 3000 টাকা

Ⓓ 6000 টাকা

সমাধান :

ব্যবসায় মোট লাভ হয় 69 টাকা এবং বিমল লাভের 46 টাকা পায়।

∴ অমল পায় = ( 69 – 46 ) টাকা = 23 টাকা

অমল এবং বিমলের লভ্যাংশের অনুপাত

= 23 : 46

= 1 : 2

ধরি, ব্যবসায় বিমল x টাকা নিয়োজিত করেছিল।

প্রশ্নানুসারে,

( 500 × 9 ) : ( x × 6 ) = 1 : 2

বা, $\frac{4500}{6x}=\frac{1}{2}$

বা, 6x = 9000

বা, $x=\frac{9000}{6}$

∴ x = 1500

উত্তরঃ (a) 1500 টাকা

Students Request : Math (Class 5 to 10) (Part – 1)

প্রশ্নঃ চক্রবৃদ্ধি সুদের ক্ষেত্রে প্রতি বছর বার্ষিক চক্রবৃদ্ধি সুদের হার –

Ⓐ সমান

Ⓑ অসমান

Ⓓ কোনটিই নয়

উত্তরঃ Ⓑ অসমান

Students Request : Math (Class 5 to 10) (Part – 1)

প্রশ্নঃ একটি দ্রব্যের বর্তমান মূল্য 100 টাকা।দ্রব্যটির মূল্য প্রতি বছর 10% হ্রাস পায়। 2 বছর পর দ্রব্যটির মূল্য কত হবে ?

সমাধান :

প্রদত্ত,

দ্রব্যটির বর্তমান মূল্য (p) = 100 টাকা

মূল্য হ্রাসের হার (r) = 10%

সময় (t) = 2 বছর

আমরা জানি,

t বছর পর দ্রব্যটির মূল্য হয় $=p\left ( 1-\frac{r}{100} \right )^{t}$ টাকা।

∴ 2 বছর পর দ্রব্যটির মূল্য হবে

$=100\left ( 1-\frac{10}{100} \right )^{2}$ টাকা

$=100\left ( 1-\frac{1}{10} \right )^{2}$ টাকা

$=100\times \left ( \frac{9}{10} \right )^{2}$ টাকা

$=100\times \frac{9}{10}\times \frac{9}{10}$ টাকা

= 81 টাকা।

উত্তর : নির্ণেয় 2 বছর পর দ্রব্যটির মূল্য 81 টাকা হবে।

Students Request : Math (Class 5 to 10) (Part – 1)

প্রশ্নঃ যদি ${\color{Blue} sin2\theta =\frac{1}{2}}$ হয়, তাহলে θ এর মান নির্ণয় করি।

সমাধান :

$sin2\theta =\frac{1}{2}$

বা, $sin2\theta =sin30^{\circ}$

বা, $2\theta =30^{\circ}$

বা, $\theta =\frac{30^{\circ}}{2}$

$\therefore \theta =15^{\circ}$

উত্তর : নির্ণেয় ${\color{DarkGreen} \theta }$ এর মান ${\color{DarkGreen} 15^{\circ}}$

Students Request : Math (Class 5 to 10) (Part – 1)

প্রশ্নঃ ${\color{Blue} \sum_{10}^{i=1}\left ( 10\times i \right )}$ এর মান কত হবে ?

সমাধান :

$\sum_{10}^{i=1}\left ( 10\times i \right )$

$=\left ( 10\times 1 \right )+\left ( 10\times 2 \right )+\left ( 10\times 3 \right )+...\left ( 10\times 10 \right )$ [ $\because$ i = 1 থেকে 10 ]

$=10+20+30+....+100$

$=10\left ( 1+2+3+...+10 \right )$

$=10\times \frac{10\times \left ( 10+1 \right )}{2}$ [ ${\color{Orchid} \because n}$ সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি ${\color{Orchid} \frac{n\left ( n+1 \right )}{2}}$ , যেখানে n = 10 ]

$=10\times \frac{10\times 11}{2}$

${\color{DarkGreen} =550}$ (উত্তর)

Students Request : Math (Class 5 to 10) (Part – 1)

প্রশ্নঃ কোনো ব্যবসায় বিমল 1800 টাকা ও বিপ্লব 9 মাসের জন্য 1000 টাকা খাটাল। উভয়ের লাভের অংশ সমান হলে, বিমলের টাকা কত মাসের জন্য খেটেছিল ?

সমাধান :

যেহেতু, বিমল ও বিপ্লবের লভ্যাংশের পরিমান সমান, তাই উভয়ের মোট মূলধনের পরিমান বিভিন্ন সময়ের জন্য সমান হবে।

ধরি, বিমলের টাকা x মাসের জন্য খেটেছিল।

∴ বিমলের x মাসের মূলধন = বিপ্লবের 9 মাসের মূলধন

বা, $x\times 1800=9\times 1000$

বা, $x=\frac{9\times 1000}{1800}$

$\therefore x=5$

উত্তর : নির্ণেয় বিমলের টাকা 5 মাসের জন্য খেটেছিল।

Students Request : Math (Class 5 to 10) (Part – 1)

Question : If ${\color{Blue} tan2\theta .tan3\theta =1}$ then θ = ?

Solution :

$tan2\theta .tan3\theta =1$

$\Rightarrow tan3\theta=\frac{1}{tan2\theta }$

$\Rightarrow tan3\theta=cot2\theta$

$\Rightarrow tan3\theta=tan\left ( 90^{\circ}- 2\theta\right )$

$\Rightarrow 3\theta=90^{\circ}-2\theta$

$\Rightarrow 5\theta=90^{\circ}$

$\Rightarrow \theta =\frac{90^{\circ}}{5}$

${\color{DarkGreen} \therefore \theta =18}$ (Ans)

Students Request : Math (Class 5 to 10) (Part – 1)

প্রশ্নঃ 5 বছরের মোট সুদ আসলের ${\color{Blue} \frac{1}{5}}$ অংশ হলে, বার্ষিক সরল সুদের হার নির্ণয় করি।

সমাধান :

ধরি, আসল (P) = x টাকা,

বার্ষিক সরল সুদের হার (i) = r%

মোট সুদ (I) = আসলের $\frac{1}{5}$ অংশ $=\left ( x\times \frac{1}{5} \right )=\frac{x}{5}$ টাকা

প্রদত্ত সময় (t) = 5 বছর

আমরা জানি,

$I=\frac{pti}{100}$

বা, $\frac{x}{5}=\frac{x\times 5\times r}{100}$

বা, $\frac{1}{5}=\frac{5r}{100}$

বা, $25r=100$

বা, $r=\frac{100}{25}$

$\therefore r=4$

উত্তর : নির্ণেয় বার্ষিক সরল সুদের হার 4 %

Students Request : Math (Class 5 to 10) (Part – 1)

প্রশ্নঃ ${\color{Blue} ax^{2}+bx+c=0 \left ( a\neq 0 \right )}$ সমীকরণের বীজদ্বয় পরস্পর অনোন্যক হবে যদি

${\color{Blue} i)a=b, ii)a=c, iii)b=c, iv)b^{2}=4ac}$

সমাধান :

ধরি, $ax^{2}+bx+c=0 \left ( a\neq 0 \right )$ সমীকরণের বীজদ্বয় $\alpha$ ও $\frac{1}{\alpha }$

আমরা জানি, বীজদ্বয়ের গুনফল $=\frac{c}{a}$

সুতারাং,

$\alpha \times \frac{1}{\alpha }=\frac{c}{a}$

বা, $1=\frac{c}{a}$

$\therefore a=c$

উত্তর : ${\color{DarkGreen} ii)a=c}$

Students Request : Math (Class 5 to 10) (Part – 1)

প্রশ্নঃ বৃত্তের কেন্দ্র O থেকে 26 সেমি দূরে অবস্থিত P বিন্দু থেকে অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য 10 সেমি হলে, বৃত্তের ব্যাসার্ধ নির্ণয় করি।

সমাধান :

প্রদত্ত, OP = 26 সেমি, PR = 10 সেমি

ধরি, বৃত্তের ব্যাসার্ধ (OR) = x সেমি

সমকোণী ΔOPR এর $\angle ORP=90^{\circ}$

∴ OP = অতিভুজ OR = ভূমি PR = লম্ব

আমরা জানি,

$\left ( OP \right )^{2}=\left ( OR \right )^{2}+\left ( PR \right )^{2}$

বা, $\left ( 26 \right )^{2}=\left ( x \right )^{2}+\left ( 10 \right )^{2}$

বা, $676=x^{2}+100$

বা, $676-100=x^{2}$

বা, $x^{2}=576$

বা, $x=\sqrt{576}$

$\therefore x=24$

উত্তর : নির্ণেয় বৃত্তের ব্যাসার্ধ 24 সেমি।

Students Request : Math (Class 5 to 10) (Part – 1)

প্রশ্নঃ একটি নিরেট চোঙের উচ্চতা 7 সেমি এবং আয়তন 28π ঘনসেমি হলে, চোঙটির বক্রতলের ক্ষেত্রফল হবে (বর্গসেমি) এককে –

${\color{Blue} a)14\pi ,b)28\pi ,c)56\pi ,d)112\pi}$

সমাধান :

ধরি, নিরেট চোঙের ভূমির ব্যাসার্ধ r সেমি।

প্রদত্ত, চোঙের উচ্চতা (h) = 7 সেমি এবং আয়তন $\pi r^{2}h=28\pi$ ঘনসেমি

প্রশ্নানুযায়ী,

$\pi r^{2}h=28\pi$

বা, $r^{2}\times 7=28$

বা, $r^{2}=\frac{28}{7}$

বা, $r^{2}=4$

বা, $r=\pm \sqrt{4}$

$\therefore r=\pm 2$

ব্যাসার্ধ ঋণাত্মক হয় না তাই $r\neq -2$

অর্থাৎ, r = 2 সেমি।

চোঙটির বক্রতলের ক্ষেত্রফল হবে $=2\pi rh=2\times \pi \times 2\times 7=28\pi$ বর্গসেমি

উত্তর : নির্ণেয় চোঙটির বক্রতলের ক্ষেত্রফল 28π বর্গসেমি।

Students Request : Math (Class 5 to 10) (Part – 1)

প্রশ্নঃ একটি গোলকের ব্যাসার্ধ r একক হলে আয়তন হবে –

উত্তর : একটি গোলকের ব্যাসার্ধ r একক হলে আয়তন হবে ${\color{DarkGreen} \frac{4}{3}\pi r^{3}}$ ঘনএকক।

Students Request : Math (Class 5 to 10) (Part – 1)

প্রশ্নঃ যৌগিক গড় মধ্যমা, সংখ্যা গুরুমান হল _ প্রবণতার মাপক।

উত্তর : যৌগিক গড় মধ্যমা, সংখ্যা গুরুমান হল মধ্যগামীতার প্রবণতার মাপক।

Students Request : Math (Class 5 to 10) (Part – 1)

Question : If ${\color{Blue} 2cos3\theta=1 }$ then θ = ?

Solution :

$2cos3\theta=1$

$\Rightarrow cos3\theta=\frac{1}{2}$

$\Rightarrow cos3\theta=cos60^{\circ}$

$\Rightarrow 3\theta=60^{\circ}$

$\Rightarrow \theta =\frac{60^{\circ}}{3}$

${\color{DarkGreen} \therefore \theta =20}$ (Ans)

Students Request : Math (Class 5 to 10) (Part – 1)

Question : If tanA . tanB = tan 45° then sin (A+B) = ?

Solution :

tanA . tanB = tan 45°

tanA . tanB = 1

$\Rightarrow tanA=\frac{1}{tanB}$

$\Rightarrow tanA=cotB$

$\Rightarrow tanA=tan\left ( 90^{\circ} - B \right )$

$\Rightarrow A=\left ( 90^{\circ} - B \right )$

$\Rightarrow A+B=90^{\circ}$

$\Rightarrow sin\left (A+B \right )=sin90^{\circ}$

${\color{DarkGreen} \therefore sin\left (A+B \right )=1}$ (Ans)

Students Request : Math (Class 5 to 10) (Part – 1)

Question : If ${\color{Blue} cos 43^{\circ}=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}}$ then tan 47° = ?

Solution :

$cos 43^{\circ}=cos\left ( 90-47 \right )^{\circ}=sin 47^{\circ}$

$\therefore cos 43^{\circ}=sin47^{\circ}=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$

Perpendicular = AB = x

Hypotenuse = AC = $\sqrt{x^{2}+y^{2}}$

Base = ?

From Pythagoras law, we know that,

$\left ( AB\right )^{2}+\left ( BC \right )^{2}=\left ( AC\right )^{2}$

$\Rightarrow \left ( x\right )^{2}+\left ( BC \right )^{2}=\left ( \sqrt{x^{2}+y^{2}}\right )^{2}$

$\Rightarrow x^{2}+\left ( BC \right )^{2}=x^{2}+y^{2}$

$\Rightarrow \left ( BC \right )^{2}=x^{2}+y^{2}-x^{2}$

$\Rightarrow \left ( BC \right )^{2}=y^{2}$

$\therefore BC=y$

${\color{DarkGreen} \therefore tan47^{\circ}=\frac{AB}{BC}=\frac{x}{y}}$ (Ans)

Students Request : Math (Class 5 to 10) (Part – 1)

Question : Today in our class, 25 students are present out of 40 students. Find the percentage of absent students .

Solution :

Given,

Number of total student = 40

Number of Present students = 25

∴ Number of Absent students = 40 – 25 = 15

∴ The percentage of Absent students

= ( No of Absent students ÷ Total student ) × 100

$=\frac{15}{40}\times 100$

$=\frac{75}{2}$

$=37\frac{1}{2}%$ (Ans.)

Students Request : Math (Class 5 to 10) (Part – 1)

Question : If ${\color{Blue} 2a-\frac{2}{a}+1=0}$ , find ${\color{Blue} a^{3}-\frac{1}{a^{3}}+2=?}$

Solution :

Given,

$2a-\frac{2}{a}+1=0$

$\Rightarrow 2a-\frac{2}{a}=-1$

$\Rightarrow 2\left (a-\frac{1}{a} \right )=-1$

$\Rightarrow \left (a-\frac{1}{a} \right )=-\frac{1}{2}$

$\therefore a^{3}-\frac{1}{a^{3}}+2$

$=\left [ \left ( a-\frac{1}{a} \right )^{3}+3.a.\frac{1}{a}.\left ( a-\frac{1}{a} \right ) \right ]+2$

$=\left [ \left ( -\frac{1}{2} \right )^{3}+3.a.\frac{1}{a}.\left ( -\frac{1}{2} \right ) \right ]+2$

$=-\frac{1}{8}-\frac{3}{2}+2$

$=\frac{-1-12+16}{8}$

$=\frac{3}{8}$ (Ans)

Students Request : Math (Class 5 to 10) (Part – 1)

Question : Find the volume of a cube whose length of each side is ${\color{Blue} p^{2}+q^{2}}$ .

Solution :

Given, length of each side $\left ( a \right )=p^{2}+q^{2}$ unit

We know that,

Volume of a cube is

$=\left (a \right )^{3}$

$=\left ( p^{2}+q^{2} \right )^{3}$

$=\left ( p^{2} \right )^{3}+3\times \left ( p^{2} \right )^{2}\times q^{2} +3\times p^{2} \times \left ( q^{2} \right )^{2}+\left ( q^{2} \right )^{3}$

$=p^{6}+3p^{4}q^{2} +3p^{2}q^{4}+q^{6}$ (Ans)

Students Request : Math (Class 5 to 10) (Part – 1)

প্রশ্নঃ একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙের আয়তন এবং বক্রতলের ক্ষেত্রফলের সাংখ্যমান সমান হলে চোঙটির ব্যসের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি।

সমাধান :

ধরি, লম্ব বৃত্তাকার চোঙের ব্যাসার্ধ r একক ও উচ্চতা h একক।

∴ লম্ব বৃত্তাকার চোঙটির আয়তন $=\pi r^{2}h$ ঘন একক এবং বক্রতলের ক্ষেত্রফল $=2\pi rh$ বর্গ একক।

প্রশ্নানুসারে,

$\pi r^{2}h=2\pi rh$

বা, $r=2$

ব্যাস $=2\times$ ব্যাসার্ধ

$\therefore 2r=2\times 2=4$ একক

উত্তর : নির্ণেয় চোঙটির ব্যসের দৈর্ঘ্য 4 একক।

Students Request : Math (Class 5 to 10) (Part – 1)

প্রশ্নঃ (7x – 5y) : (3x + 4y) = 7 : 11 হলে, x : y এর মান কত হবে নির্ণয় করি।

সমাধান :

(7x – 5y) : (3x + 4y) = 7 : 11

বা, $\frac{7x-5y}{3x+4y}=\frac{7}{11}$

বা, $77x-55y=21x+28y$

বা, $77x-21x=28y+55y$

বা, $56x=83y$

বা, $\frac{x}{y}=\frac{83}{56}$

$\therefore x:y=83:56$

উত্তর : নির্ণেয় x : y এর মান 83 : 56

Students Request : Math (Class 5 to 10) (Part – 1)

Question : The Quantity of Nitrogen, Oxygen and Carbon-di-oxide in the air is 75.6%, 23.04% and 1.36% . Find out the quantity of each in 25 liters of air.

Solution :

Given, Quantity of Nitrogen = 75.6%

∴ The quantity of Nitrogen in 25 liters of air is

$=25\times \frac{75.6}{100}$

$=25\times \frac{756}{100\times 10}$

$=\frac{189}{10}$

= 18.9 liters. (Ans)

Given, Quantity of Oxygen = 23.04%

∴ The quantity of Oxygen in 25 liters of air is

$=25\times \frac{23.04}{100}$

$=25\times \frac{2304}{100\times 100}$

$=\frac{576}{100}$

= 5.76 liters. (Ans)

Given, Quantity of Carbon-di-oxide = 1.36%

∴ The quantity of Carbon-di-oxide in 25 liters of air is

$=25\times \frac{1.36}{100}$

$=25\times \frac{136}{100\times 100}$

$=\frac{34}{100}$

= 0.34 liters. (Ans)

Students Request : Math (Class 5 to 10) (Part – 1)

Question : Prove if angle of a Parallelogram is one right angle,then all other angles of the parallelogram are also right angle.

Solution :

Let, ABCD is a parallelogram whose ∠DAB = 90°

RTP, ∠B = ∠C = ∠D = 90°

Proof : Since, ABCD is a Parallelogram.

∴ AD || BC and AB || DC

Here, AD || BC and AB is transversal .

∴ ∠DAB + ∠ABC = 180°

⇒ 90° + ∠ABC = 180°

∴ ∠ABC = 180° – 90°

= 90°

Again, AB || DC and BC is transversal.

∴ ∠ABC + ∠BCD = 180°

⇒ 90° + ∠BCD = 180°

∴ ∠BCD = 180° – 90°

= 90°

$\because$ Sum of 4 angles of Parallelogram is 360°

∴ Remaining $\angle ACD=360^{\circ}-3\times 90^{\circ}=90^{\circ}$

∴ The remaining angle of Parallelogram is 90° each .(Proved)

Students Request : Math (Class 5 to 10) (Part – 1)

প্রশ্নঃ ${\color{Blue} x=\frac{2\sqrt{15}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}}$ হলে, ${\color{Blue} \frac{x+\sqrt{3}}{x-\sqrt{3}}+\frac{x+\sqrt{5}}{x-\sqrt{5}}}$ -এর মান কত ?

সমাধান :

প্রদত্ত, $x=\frac{2\sqrt{15}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$

$x=\frac{2\sqrt{5}\cdot \sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$

বা, $\frac{x}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$

এখন, যোগ-ভাগ প্রক্রিয়া করে পাই, –

বা, $\frac{x+\sqrt{3}}{x-\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{5}+\left ( \sqrt{5}+\sqrt{3} \right )}{2\sqrt{5}-\left ( \sqrt{5}+\sqrt{3} \right )}$

বা, $\frac{x+\sqrt{3}}{x-\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{5}+\sqrt{5}+\sqrt{3}}{2\sqrt{5}-\sqrt{5}-\sqrt{3}}$

∴ $\frac{x+\sqrt{3}}{x-\sqrt{3}}=\frac{3\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$ ………..(i)

একইভাবে, $\frac{x+\sqrt{5}}{x-\sqrt{5}}=\frac{3\sqrt{3}+\sqrt{5}}{\sqrt{3}-\sqrt{5}}$ ………..(ii)

এখন, $\frac{x+\sqrt{3}}{x-\sqrt{3}}+\frac{x+\sqrt{5}}{x-\sqrt{5}}$

$=\frac{3\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}+\frac{3\sqrt{3}+\sqrt{5}}{\sqrt{3}-\sqrt{5}}$ [(i) ও (ii) নং সমীকরণ ব্যবহার করে]

$=\frac{3\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}-\frac{3\sqrt{3}+\sqrt{5}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$

$=\frac{\left (3\sqrt{5}+\sqrt{3} \right )-\left (3\sqrt{3}+\sqrt{5} \right )}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$

$=\frac{3\sqrt{5}+\sqrt{3}-3\sqrt{3}-\sqrt{5}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$

$=\frac{2\sqrt{5}-2\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$

$=\frac{2\left ( \sqrt{5}-\sqrt{3}\right )}{\left ( \sqrt{5}-\sqrt{3}\right )}$

$=2$ (উত্তর)

Students Request : Math (Class 5 to 10) (Part – 1)

প্রশ্নঃ বার্ষিক 6% চক্রবৃদ্ধি সুদের হারে 30000 টাকার ${\color{Blue} 2\frac{1}{2}}$ বছরের সমূল চক্রবৃদ্ধি কত হবে, নির্ণয় করি।

সমাধান :

প্রদত্ত, আসল (p) = 30000 টাকা,

বার্ষিক চক্রবৃদ্ধি সুদের হার (r) = 6%

সময় (t) = 2 বছর।

আমরা জানি,

t বছর পর সবৃদ্ধিমূল হবে, $A=p\left ( \frac{100+r}{100} \right )^{t}$

∴ 2 বছর পর সবৃদ্ধিমূল হবে, $A=30000\left ( \frac{100+6}{100} \right )^{2}$

$=30000\left ( \frac{106}{100} \right )^{2}$

$=30000\times \frac{106\times 106}{100\times 100}$

$=3\times 106\times 106\Rightarrow 33708$ টাকা।

$\frac{1}{2}$ বছরের ক্ষেত্রে :

আসল (p) = 33708 টাকা

সময় (t) = $\frac{1}{2}$ বছর

বার্ষিক সরল সুদের হার (r) = 6%

আমরা জানি, সরল সুদের পরিমান, $I=\frac{prt}{100}$

$\Rightarrow I=\frac{33708\times 6\times 1}{100\times 2}$

$\therefore I=1011.24$

$2\frac{1}{2}$ বছরের শেষে সবৃদ্ধিমূলের পরিমান (A) = 2 বছরের সবৃদ্ধিমূল + $\frac{1}{2}$ বছরের সুদ

= (33708 + 1011.24) টাকা = 34719.24 টাকা।

উত্তর : $2\frac{1}{2}$ বছরের সমূল চক্রবৃদ্ধি হবে 34719.24 টাকা।

Students Request : Math (Class 5 to 10) (Part – 1)

প্রশ্নঃ যদি বার্ষিক চক্রবৃদ্ধি সুদের হার প্রথম বছর 4% এবং দ্বিতীয় বছর 5% হয়, তবে 25000 টাকার 2 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ নির্ণয় করি।

সমাধান :

প্রথম বছরের ক্ষেত্রে :

প্রদত্ত, আসল (p) = 25000 টাকা,

বার্ষিক সুদের হার (r) = 4%

সময় (t) = 1 বছর।

আমরা জানি,

t বছরের সরল সুদ, $I=\frac{prt}{100}$

$\Rightarrow I=\frac{25000\times 4\times 1}{100}$

$\therefore I=1000$

দ্বিতীয় বছরের ক্ষেত্রে :

আসল (p) = (25000 + 1000) টাকা = 26000 টাকা,

বার্ষিক সুদের হার (r) = 5%

সময় (t) = 1 বছর।

আমরা জানি, $I=\frac{prt}{100}$

$\Rightarrow I=\frac{26000\times 5\times 1}{100}$

$\therefore I=1300$

উত্তর : নির্ণেয় 2 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদের পরিমান = (1000 + 1300) টাকা = 2300 টাকা।

Students Request : Math (Class 5 to 10) (Part – 1)

প্রশ্নঃ 6 মাস অন্তর দেয় বার্ষিক 10% চক্রবৃদ্ধি হার সুদে 1000 টাকার 1 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ নির্ণয় করি।

সমাধান :

∵ 6 মাস অন্তর কিস্তি দেওয়া হয়,

∴ 1 বছরে সুদের পর্ব হবে (n)

$\frac{12}{6}=2$ [ $\because$ 1 বছর = 12 মাস ]

প্রদত্ত, আসল (p) = 1000 টাকা,

বার্ষিক সুদের হার (r) = 10%

সময় (t) = 1 বছর।

আমরা জানি,

t বছর পর সবৃদ্ধিমূল হবে, $A=p\left ( 1+\frac{r}{100n} \right )^{nt}$ [কিস্তির ক্ষেত্রে]

∴ 1 বছর পর সবৃদ্ধিমূল হবে $A=1000\left ( 1+\frac{10}{100\times 2} \right )^{2\times 1}$

$\Rightarrow A=1000\left ( \frac{210}{200} \right )^{2}$

$=1000\times \frac{210\times 210}{200\times 200}$

$=\frac{210\times 21}{4}$

$\therefore A=1102.5$ টাকা

∵ চক্রবৃদ্ধি সুদ = সবৃদ্ধিমূল (A) − আসল (p)

$\Rightarrow I=1102.50-1000.00$

$\therefore I=102.50$

উত্তর : নির্ণেয় চক্রবৃদ্ধি সুদ 102.50 টাকা।

Students Request : Math (Class 5 to 10) (Part – 1)

প্রশ্নঃ বার্ষিক 5% চক্রবৃদ্ধি সুদের হারে 10,000 টাকার 3 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ নির্ণয় করি।

সমাধান :

প্রদত্ত, আসল (p) = 10,000 টাকা,

বার্ষিক চক্রবৃদ্ধি সুদের হার (r) = 5%

সময় (t) = 3 বছর।

আমরা জানি,

t বছর পর সবৃদ্ধিমূল হবে, $A=p\left ( \frac{100+r}{100} \right )^{t}$

∴ 3 বছর পর সবৃদ্ধিমূল হবে, $A=10000\left ( \frac{100+5}{100} \right )^{3}$

$=10000\left ( \frac{110}{100} \right )^{3}$

$=10000\times \frac{11\times 11\times 11}{10\times 10\times 10}$

$=10\times 11\times 11\times 11$

$=13310$ টাকা।

∴ চক্রবৃদ্ধি সুদ = সবৃদ্ধিমূল (A) − আসল (p)

$\therefore I=A-p$

= (13,310 − 10,000) টাকা

= 3,310 টাকা।

উত্তর : নির্ণয় 3 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ 3310 টাকা।

Students Request : Math (Class 5 to 10) (Part – 1)

প্রশ্নঃ কোনো মূলধনের 2 বছরের সরল সুদ ও চক্রবৃদ্ধি সুদ যথাক্রমে 840 টাকা এবং 869.40 টাকা হলে ওই মূলধনের পরিমান ও বার্ষিক সুদের হার হিসাব করে লিখি।

সমাধান :

ধরি, আসল = p টাকা।

বার্ষিক সুদের হার = r%

প্রদত্ত,

সময় (t) = 2 বছর।

2 বছরের সরল সুদ ( I ) = 840 টাকা

2 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ = 869.40 টাকা।

সরল সুদের ক্ষেত্রে :

আমরা জানি,

$I=\frac{prt}{100}$

বা, $840=\frac{pr\times 2}{100}$

বা, $\frac{pr}{100}=\frac{840}{2}$

বা, $\frac{pr}{100}=420$ ….. (i)

চক্রবৃদ্ধি সুদের ক্ষেত্রে :

আমরা জানি,

চক্রবৃদ্ধি সুদ = সবৃদ্ধিমূল (A) − আসল (p)

বা, $869.40=p\left ( 1+\frac{r}{100} \right )^{2}-p$

বা, $869.40=p\left [ \left ( 1+\frac{r}{100} \right )^{2}-1 \right ]$

বা, $869.40=p\left [ \left ( 1+\frac{r}{100} \right )^{2}-1^{2}\right ]$

বা, $869.40=p\left ( 1+\frac{r}{100}+1 \right )\left ( 1+\frac{r}{100}-1 \right )\; \; \; {\color{Blue} \left [ \because a^{2}-b^{2}=\left ( a+b \right )\left ( a-b \right ) \right ]}$