Thu. Jul 18th, 2024

Students Request : Math (Class 5 to 10) (Part – 2)

Students Request : Math (Class 5 to 10) (Part – 2)

 

প্রশ্নঃ তিন বন্ধু যথাক্রমে 6000 টাকা , 8000 টাকা ও 9000 টাকা মূলধন নিয়ে একত্রে একটি ব্যবসা আরম্ভ করল। কয়েক মাস পরে প্রথমজন আরও 3000 টাকা লগ্নি করল। বছরের শেষে মােট 3000 টাকা লাভ হলাে এবং তৃতীয় জন 1080 টাকা লভ্যাংশ পেলাে। প্রথমজন 3000 টাকা কখন লগ্নি করেছিল নির্ণয় করাে।

সমাধানঃ 

ধরি, প্রথমজন  x  মাস পরে ব্যবসায়ে আরও 3000 টাকা লগ্নি করেছিল। 

যেহেতু, x মাস পর প্রথমজন আরও 3000 টাকা মূলধন দেন, তাই x মাসের পর থেকে বাকি (12 − x ) মাস প্রথমজনের মূলধনের পরিমাণ হবে (6000 + 3000 ) টাকা অর্থাৎ, 9000 টাকা।

প্রথমজনের, বছরের শেষে যে লভ্যাংশের পরিমাণ হবে, তা যদি প্রত্যেক মাসে পেতে চায় তবে প্রথমজনকে প্রতিমাসে ব্যবসায় মূলধন নিয়োগ করতে হবে

= ( 6000 × x ) + [ 9000 × (12 − x )] টাকা।

= ( 6000x + 108000 − 9000x ) টাকা

= (108000 − 3000x ) টাকা।

যেহেতু, দ্বিতীয়জন বছরের মাঝে কোনো মূলধন নিয়োগ করেনি বা তুলে নেয়নি, তাই দ্বিতীয়জনের মূলধনের পরিমাণ হবে 8000 টাকা।

দ্বিতীয়জনের, বছরের শেষে যে লভ্যাংশের পরিমাণ হবে, তা যদি প্রত্যেক মাসে পেতে চায় তবে দ্বিতীয়জনকে প্রতিমাসে ব্যবসায় মূলধন নিয়োগ করতে হবে = ( 8000 × 12 ) টাকা = 96000 টাকা।

একইভাবে,

যেহেতু, তৃতীয়জন বছরের মাঝে কোনো মূলধন নিয়োগ করেনি বা তুলে নেয়নি, তাই তৃতীয়জনের মূলধনের পরিমাণ হবে 9000 টাকা।

তৃতীয়জনের, বছরের শেষে যে লভ্যাংশের পরিমাণ হবে, তা যদি প্রত্যেক মাসে পেতে চায় তবে তৃতীয়জনকে প্রতিমাসে ব্যবসায় মূলধন নিয়োগ করতে হবে = ( 9000 × 12 ) টাকা = 108000 টাকা।

 

তিনজনের মূলধনের অনুপাত,

(108000 − 3000x ) : 96000 : 108000

= 3000 (36 x) : 96000 : 108000

= (36 x) : 32 : 36

 

আনুপাতিক সমষ্টি = (36 x) + 32 + 36

= 104 − x

 

যেহেতু, বছরের শেষে ব্যবসায়ে লাভ হয় 3000 টাকা এবং তৃতীয়জন 1080 টাকা লভ্যাংশ পেল। 

\frac{36}{104-x}\times 3000=1080

বা, 36\times 3000=1080\left ( 104-x \right )

বা, 108000=1080\left ( 104-x \right )

বা, 100=104-x

বা, x=104-100

\therefore x=4

উত্তরঃ নির্ণেয় প্রথমজন 4 মাস পরে ব্যবসায়ে আরও 3000 টাকা লগ্নি করেছিলেন।

Students Request : Math (Class 5 to 10) (Part – 2)

Students Request : Math (Class 5 to 10) (Part – 2) 

প্রশ্নঃ একটি আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ 44 মিটার এবং দৈর্ঘ্য প্রস্থের 2.5 গুণ , ওই আয়তক্ষেত্রের সমান পরিসীমাবিশিষ্ট বৃত্তের ব্যাস নির্ণয় কর ?

সমাধানঃ 

প্রদত্ত,

আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ 44 মিটার এবং দৈর্ঘ্য প্রস্থের 2.5 গুণ। 

∴ আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য

= 44 × 2.5  মিটার

=44\times \frac{25}{10}  মিটার

= 110 মিটার

আমরা জানি,

আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা 

= 2 × ( দৈর্ঘ্য + প্রস্থ ) একক 

= 2 × ( 110 + 44 ) মিটার

= 2 × 154 মিটার

ধরি, বৃত্তের ব্যাসার্ধ r মিটার। 

প্রশ্নানুযায়ী,

আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = বৃত্তের পরিসীমা

বা, 2 × 154 = 2πr

বা, 154 = πr

বা, 154=\frac{22}{7}\times r

বা, r=\frac{154\times 7}{22}

∴  r = 49

বৃত্তের ব্যাস

= 2 × ব্যাসার্ধ 

= 2 × 49

= 98 মিটার

উত্তরঃ নির্ণেয় বৃত্তটির ব্যাস 98 মিটার। 

Students Request : Math (Class 5 to 10) (Part – 2)

Students Request : Math (Class 5 to 10) (Part – 2) 

প্রশ্নঃ একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 420  বর্গ সেমি এবং কর্ণ ও দৈর্ঘ্যের যোগফল প্রস্থের 6 গুণ হলে, আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ কত ?

সমাধানঃ 

ধরি, আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য a সেমি এবং প্রস্থ b সেমি। 

∴ আয়তক্ষেত্রটির কর্ণ  =\sqrt{a^{2}+b^{2}}  সেমি । 

প্রশ্নানুসারে,

a × b = 420 

বা, a=\frac{420}{b}  …..(i)

আবার,

\sqrt{a^{2}+b^{2}}+a=6b

বা,  \sqrt{a^{2}+b^{2}}=6b-a

বা, \left (\sqrt{a^{2}+b^{2}} \right )^{2}=\left (6b-a \right )^{2}

বা,  a^{2}+b^{2}=36b^{2}-12ab+a^{2}

বা,  a^{2}+b^{2}-36b^{2}+12ab-a^{2}=0

বা, 12ab-35b^{2}=0

বা,  b\left ( 12a-35b \right )=0

বা, \left ( 12a-35b \right )=0;b\neq 0

বা,  12a=35b

বা, 12\times \frac{420}{b}=35b  [ (i) নং সমীকরণ থেকে পাই ]

বা, 35b^{2}=12\times 420

বা, b^{2}=\frac{12\times 420}{35}

বা, b^{2}=12\times 12

b = 12

উত্তরঃ আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ  12 সেমি। 

Students Request : Math (Class 5 to 10) (Part – 2)

Students Request : Math (Class 5 to 10) (Part – 2)

প্রশ্নঃ বছরের শুরুতে A ও B যথাক্রমে 20000 টাকা এবং 25000 টাকা বিনিয়োগ করে একটি বইয়ের দোকান খোলে।কিছু মাস পর A আরও 10000 টাকা বিনিয়োগ করে। বছরের শেষে 15250 টাকা লাভ হলে B  7500 টাকা পায়। A কত মাস পরে 10000 টাকা বিনিয়োগ করে ?

সমাধানঃ 

ধরি, x মাস পরে 10000 টাকা বিনিয়োগ করে। 

বছরের শেষে A -এর যে লভ্যাংশের পরিমাণ হবে, তা যদি প্রত্যেক মাসে পেতে চায় তবে A কে প্রতিমাসে ব্যবসায় মূলধন নিয়োগ করতে হবে

= [(20000 × 12) + {10000 × (12 − x )}]

= [ 240000 + 120000 − 10000x ]

= [ 360000 − 10000x ] টাকা

বছরের শেষে B -এর যে লভ্যাংশের পরিমাণ হবে, তা যদি প্রত্যেক মাসে পেতে চায় তবে B কে প্রতিমাসে ব্যবসায় মূলধন নিয়োগ করতে হবে

= (25000 × 12) টাকা

= 300000 টাকা

A ও B -এর মূলধনের অনুপাত

= [ 360000 − 10000x ] : 300000

= 10000 [ 36 − x ] : 30 × 10000

= [ 36 − x ] : 30

এখন,

A এর মূলধনের অনুপাতিক ভাগহার

=\frac{36-x}{36-x+30}

=\frac{36-x}{66-x}

এবং B এর মূলধনের অনুপাতিক ভাগহার

=\frac{30}{36-x+30}

=\frac{30}{66-x}

মোট লভ্যাংশের পরিমাণ = 15250 টাকা

সুতরাং, 15250 টাকা থেকে A এর লভ্যাংশ হবে

=15250\times \frac{36-x}{66-x}   টাকা

এবং B এর লভ্যাংশ হবে

=15250\times \frac{30}{66-x} টাকা।

প্রশ্নানুসারে,

15250\times \frac{30}{66-x}=7500

বা, 15250\times 30=7500\times \left ( 66-x \right )

বা, 61 = 66 − x

বা, x = 66 − 61

x = 5

উত্তরঃ A,  5 মাস পরে 10000 টাকা বিনিয়োগ করে। 

Students Request : Math (Class 5 to 10) (Part – 2)

Students Request : Math (Class 5 to 10) (Part – 2)

প্রশ্নঃ {\color{Blue} \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{6}}-\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}}

সমাধানঃ 

\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{6}}-\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}

=\frac{3\sqrt{2}\left (\sqrt{3}-\sqrt{6} \right )}{\left (\sqrt{3}+\sqrt{6} \right )\left (\sqrt{3}-\sqrt{6} \right )}-\frac{4\sqrt{3}\left (\sqrt{6}-\sqrt{2} \right )}{\left (\sqrt{6}-\sqrt{2} \right )\left (\sqrt{6}+\sqrt{2} \right )}+\frac{\sqrt{6}\left (\sqrt{2}-\sqrt{3} \right )}{\left (\sqrt{2}+\sqrt{3} \right )\left (\sqrt{2}-\sqrt{3} \right )} [ করণী নিরসন করে পাই ]

=\frac{3\sqrt{2}\times \sqrt{3}-3\sqrt{2}\times \sqrt{6}}{\left ( \sqrt{3} \right )^{2}-\left ( \sqrt{6} \right )^{2}}-\frac{4\sqrt{3}\times \sqrt{6}-4\sqrt{3}\times \sqrt{2}}{\left ( \sqrt{6} \right )^{2}-\left ( \sqrt{2} \right )^{2}}+\frac{\sqrt{6}\times \sqrt{2}-\sqrt{6}\times \sqrt{3}}{\left ( \sqrt{2} \right )^{2}-\left ( \sqrt{3} \right )^{2}}   {\color{Purple} \left [\because \left ( a+b \right )\left ( a-b \right )=a^{2}-b^{2} \right ]}

=\frac{3\sqrt{6}-6\sqrt{3}}{3-6}-\frac{12\sqrt{2}-4\sqrt{6}}{6-2}+\frac{2\sqrt{3}-3\sqrt{2}}{2-3}

=\frac{3\sqrt{6}-6\sqrt{3}}{-3}-\frac{12\sqrt{2}-4\sqrt{6}}{4}+\frac{2\sqrt{3}-3\sqrt{2}}{-1}

=\frac{3\left (\sqrt{6}-2\sqrt{3} \right )}{-3}-\frac{4\left (3\sqrt{2}-\sqrt{6} \right )}{4}+\frac{2\sqrt{3}-3\sqrt{2}}{-1}

=-\left (\sqrt{6}-2\sqrt{3} \right )-\left (3\sqrt{2}-\sqrt{6} \right )-\left (2\sqrt{3}-3\sqrt{2} \right )

=-\sqrt{6}+2\sqrt{3}-3\sqrt{2}+\sqrt{6}-2\sqrt{3}+3\sqrt{2}

= 0 (উত্তর)

Students Request : Math (Class 5 to 10) (Part – 2)

Students Request : Math (Class 5 to 10) (Part – 2)

প্রশ্নঃ  {\color{Blue} \frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}=a+b\sqrt{35}}  হলে, ab = কত ?

সমাধানঃ 

\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}=a+b\sqrt{35}

বা,   \frac{\left (\sqrt{7}-\sqrt{5} \right )\left (\sqrt{7}-\sqrt{5} \right )}{\left (\sqrt{7}+\sqrt{5} \right )\left (\sqrt{7}-\sqrt{5} \right )}=a+b\sqrt{35}  

বা,  \frac{\left (\sqrt{7} \right )^{2}-\sqrt{7}\times \sqrt{5}-\sqrt{7}\times \sqrt{5}+\left (\sqrt{5} \right )^{2}}{\left (\sqrt{7} \right )^{2}-\sqrt{7}\times \sqrt{5}+\sqrt{7}\times \sqrt{5}-\left (\sqrt{5} \right )^{2}}=a+b\sqrt{35}

বা,  \frac{7-2\sqrt{35}+5}{7-5}=a+b\sqrt{35}

বা, \frac{12-2\sqrt{35}}{2}=a+b\sqrt{35}

বা, \frac{2\left (6-\sqrt{35} \right )}{2}=a+b\sqrt{35}

বা, 6-\sqrt{35}=a+b\sqrt{35}  …..(i)

(i) নং সমীকরণটির উভয়পক্ষ তুলনা করে পাই,

a = 6 ও b = − 1

ab 

= 6 − (− 1)

= 6 + 1

= 7 (উত্তর)

Students Request : Math (Class 5 to 10) (Part – 2)

Students Request : Math (Class 5 to 10) (Part – 2)

ছাত্র-ছাত্রীদের অনুরোধ : ঘনবস্তু সংক্রান্ত বাস্তব সমস্যা/Class - 10

প্রশ্নঃ একটি লম্ববৃত্তাকার ড্রামে কিছু জল আছে। শঙ্কু আকৃতির একটি লোহার টুকরো ওই জলে সম্পূর্ণ ডোবানো হল। শঙ্কুটির উচ্চতা 3 ডেসিমি ও ভূমির ব্যাস 28 সেমি। ড্রামের জলতল 0.64 ডেসিমি উপরে উঠে এলে, ড্রামের ভূমিতলের ব্যাস নির্ণয় করো। 

সমাধানঃ 

প্রদত্ত,

শঙ্কুর উচ্চতা (h)

= 3 ডেসিমি

= 3 × 10 সেমি.

= 30 সেমি.

এবং

 ভূমিতলের ব্যাস (2r) = 28 সেমি.

∴ ব্যাসার্ধ \left ( r \right )=\frac{28}{2}=14 সেমি.

∴ শঙ্কুর আয়তন 

=\frac{1}{3}\pi r^{2}h

=\frac{1}{3}\times \frac{22}{7} \times \left ( 14 \right )^{2}\times 30

=\frac{1}{3}\times \frac{22}{7} \times 14\times 14\times 30

= 6160 ঘন সেমি।

এখন, ড্রামের জলতল উপরে উঠে এসেছে অর্থাৎ উচ্চতা H

= 0.64 ডেসিমি

= 0.64 × 10 সেমি.

= 6.4 সেমি.

ধরি, লম্ববৃত্তকার ড্রাম (অর্থাৎ চোঙ) - এর ব্যাসার্ধ R সেমি। 

জলতলের উচ্চতা 6.4 সেমি হওয়ায় জলের আয়তন হয়েছে 

=\pi R^{2}H

=\pi \times \left ( R \right )^{2}\times 6.4 ঘন সেমি.

প্রশ্নানুসারে,

\pi \times \left ( R \right )^{2}\times 6.4=6160

বা, \frac{22}{7}\times \left ( R \right )^{2}\times \frac{64}{10}=6160

বা, R^{2}=6160\times \frac{7}{22}\times \frac{10}{64}

বা, R^{2}=\frac{1225}{4}

বা, R^{2}=\left (\frac{35}{2} \right )^{2}

\therefore R=\frac{35}{2}

∴ ড্রামের ভূমিতলের ব্যাস

= 2 × R

=2\times \frac{35}{2}

= 35 সেমি (উত্তর)

Students Request : Math (Class 5 to 10) (Part - 2)

Students Request : Math (Class 5 to 10) (Part - 2) 

প্রশ্নঃ {\color{Blue} 905\frac{1}{7}} ঘনসেমি আয়তনের একটি নিরেট কাঠের বল থেকে বৃহত্তম ঘনক কেটে বের করে নিলে ওই ঘনকের আয়তন কত হবে ?

সমাধানঃ 

প্রদত্ত,

নিরেট কাঠের বলের (অর্থাৎ, গোলক ) আয়তন

=905\frac{1}{7} ঘনসেমি

=\frac{905\times 7+1}{7} ঘনসেমি

=\frac{6336}{7} ঘনসেমি

ধরি, গোলকের ব্যাসার্ধ = r সেমি 

আমরা জানি,

গোলকের আয়তন

=\frac{4}{3}\pi r^{3} ঘনসেমি

প্রশ্নানুসারে,

\frac{4}{3}\pi r^{3}=\frac{6336}{7}

বা,  \frac{4}{3}\times \frac{22}{7}\times r^{3}=\frac{6336}{7}

বা,  r^{3}=\frac{6336}{7}\times \frac{3}{4}\times \frac{7}{22}

বা,  r^{3}=216

বা,  r^{3}=\left ( 6 \right )^{3}

∴ r = 6 সেমি 

এখন, কাঠের বল থেকে যদি বৃহত্তম ঘনক কেটে নেওয়া হয়, তাহলে গোলকের ব্যাসের সমান হবে ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য। 

∴ ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য

= গোলকের ব্যাস

= 2 × গোলকের ব্যাসার্ধ 

= 2 × 6

= 12 সেমি 

ধরি, ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য a সেমি 

আমরা জানি,

ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য হয় a\sqrt{3} সেমি। 

\therefore a\sqrt{3}=12

বা,  a=\frac{12}{\sqrt{3}}

বা,  a=\frac{4\times 3}{\sqrt{3}}

বা,  a=\frac{4\times \sqrt{3}\times \sqrt{3}}{\sqrt{3}}

\therefore a=4\sqrt{3} সেমি

অর্থাৎ,ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য 4\sqrt{3} সেমি। 

∴ ঘনকের আয়তন হবে 

=a^{3}  ঘনসেমি

=\left ( 4\sqrt{3} \right )^{3} ঘনসেমি

=4\times 4\times 4\times \sqrt{3}\times \sqrt{3}\times \sqrt{3} ঘনসেমি

=192\sqrt{3} ঘনসেমি (উত্তর)

Students Request : Math (Class 5 to 10) (Part - 2)

Students Request : Math (Class 5 to 10) (Part - 2) 

প্রশ্নঃ একটি নিরেট লম্ব-বৃত্তাকার শঙ্কুর উচ্চতা h, তির্যক উচ্চতা l এবং ভূমির ব্যাস d হলে, \small {\color{Blue} \frac{l^{2}-h^{2}}{d^{2}}} -এর মান কত ?

সমাধানঃ 

আমরা জানি, লম্ব-বৃত্তাকার শঙ্কুর ক্ষেত্রে -

(তির্যক উচ্চতা)² = (উচ্চতা)² + (ব্যাসার্ধ)²

বা, (তির্যক উচ্চতা)² = (উচ্চতা)² + (ব্যাস ÷ 2)²  [∵ ব্যাসার্ধ = (ব্যাস ÷ 2)]

এখন, মান বসিয়ে পাই -

বা, \small l^{2}=h^{2}+\left ( \frac{d}{2} \right )^{2}

বা, \small l^{2}=h^{2}+\frac{d^{2}}{4}

বা, \small l^{2}-h^{2}=\frac{d^{2}}{4}

\small \frac{l^{2}-h^{2}}{d^{2}}=\frac{1}{4}  (উত্তর)

Students Request : Math (Class 5 to 10) (Part - 2)

Students Request : Math (Class 5 to 10) (Part - 2) 

প্রশ্নঃ স্থির জলে একটি নৌকার গতিবেগ 8 কিমি/ঘন্টা। নৌকাটি 5 ঘন্টায় স্রোতের অনুকূলে 15 কিমি এবং স্রোতের প্রতিকূলে 22 কিমি গেলে স্রোতের বেগ কত ? 

সমাধানঃ 

ধরি, স্রোতের বেগ = x কিমি/ঘন্টা 

∴ স্রোতের অনুকূলে নৌকার আপেক্ষিক বেগ = (8 + x) কিমি এবং 

স্রোতের প্রতিকূলে নৌকার আপেক্ষিক বেগ  = (8 − x) কিমি

প্রশ্নানুসারে,

\frac{15}{8+x}+\frac{22}{8-x}=5 [যেহেতু, সময় = দূরত্ব ÷ গতিবেগ ]

বা, \frac{15\left ( 8+x \right )+22\left ( 8-x \right )}{\left ( 8+x \right )\left ( 8-x \right )}=5

বা, \frac{120-15x+176+22x}{8^{2}-x^{2}}=5

বা, \frac{7x+296}{64-x^{2}}=5

বা, 7x+296=320-5x^{2}

বা, 5x^{2}+7x+296-320=0

বা, 5x^{2}+7x-24=0

বা, 5x^{2}+15x-8x-24=0

বা, 5x\left ( x+3 \right )-8\left ( x+3 \right )=0

বা, \left ( x+3 \right )\left ( 5x-8 \right )=0

দুটি  গুনফল শূন্য হলে তারা পৃথক পৃথক ভাবে শূন্য হয়। 

অর্থাৎ, হয় 

x + 3 = 0

x = −3

অথবা,

5x − 8 = 0

বা, 5x = 8

বা, x=\frac{8}{5}

x = 1.6

যেহেতু, স্রোতের বেগ ঋণাত্মক  হতে পারে না তাই,

x\neq -3

উত্তরঃ স্রোতের বেগ  1.6 কিমি/ঘন্টা 

Students Request : Math (Class 5 to 10) (Part - 2)

Students Request : Math (Class 5 to 10) (Part - 2) 

প্রশ্নঃ {\color{Blue} ax^{2}+bx+c=0} দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয়ের অনুপাত 1 : r হয় তবে দেখাও যে  {\color{Blue} \frac{\left ( r+1 \right )^{2}}{r}=\frac{b^{2}}{ac}} 

সমাধানঃ 

ধরি, দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি বীজ α ও β

প্রশ্নানুসারে,

α : β = 1 : r

বা, \frac{\alpha }{\beta }=\frac{1}{r}

∴ β = αr

এখন বীজদ্বয়ের সমষ্টি 

\alpha +\beta =-\frac{b}{a}

বা, \alpha +\alpha r =-\frac{b}{a} {\color{Blue} \left [ \because \beta =\alpha r \right ]}

বা, \alpha\left ( 1+r \right )=-\frac{b}{a}

বা, \alpha =-\frac{b}{a\left ( 1+r \right )}

বা, \alpha^{2} =\frac{b^{2}}{a^{2}\left ( 1+r \right )^{2}}   [বর্গ  করে পাই ]

আবার বীজদ্বয়ের গুনফল 

\alpha \beta =\frac{c}{a}

বা, \alpha \times \left ( \alpha r \right )=\frac{c}{a}

বা, \alpha ^{2}r=\frac{c}{a}

বা, \frac{b^{2}}{a^{2}\left ( 1+r \right )^{2}}\times r=\frac{c}{a}

বা, \frac{b^{2}r}{a\left ( 1+r \right )^{2}}=c

বা, \frac{a\left ( 1+r \right )^{2}}{b^{2}r}=\frac{1}{c}

 \therefore \frac{\left ( 1+r \right )^{2}}{r}=\frac{b^{2}}{ac} (প্রমাণিত )

Students Request : Math (Class 5 to 10) (Part - 2)

Students Request : Math (Class 5 to 10) (Part - 2) 

প্রশ্নঃ কিছু পরিমাণ টাকার একই বার্ষিক শতকরা সরল সুদের হারে 3 বছরে সবৃদ্ধিমূল (সুদে-আসলে) 496 টাকা এবং 5 বছরের সবৃদ্ধিমূল 560 টাকা হলে, ওই টাকার পরিমাণ এবং বার্ষিক শতকরা সরল সুদের হার নির্ণয় করে লিখি। 

সমাধানঃ 

প্রশ্নানুযায়ী,   

আসল + 5 বছরের সুদ =  560 টাকা।......(i)                   

আসল + 3 বছরের সুদ =  496 টাকা।..... (ii)

(i) নং সমীকরণ থেকে (ii) নং সমীকরণ বিয়োগ করে পাই ,

∴ 2 বছরের সুদ = 64 টাকা।

∴ 1 বছরের সুদ =  \small \frac{64}{2} ⇒  32 টাকা।

∴ 3 বছরের সুদ = 32 × 3 ⇒ 96 টাকা।

∴ আসল (p) = (3 বছরের সুদ-আসল – 3 বছরের সুদ)

= (496  – 96) টাকা

= 400 টাকা ।

 

এখন,

সময় (t) = 3 বছর ।

সুদ (I) = 96 টাকা ।

ধরি, বার্ষিক সুদের হার =r %

আমরা জানি,  \small I = \frac{prt}{100}

মান বসিয়ে পাই-

\small \Rightarrow 96 = \frac{400\times r\times 3}{100}

\small \therefore r = \frac{96\times 100}{400\times 3}\Rightarrow 8

r = 8%

উত্তর :নির্ণেয় মূলধন 400 টাকা ও বার্ষিক সরল সুদের হার 8%

Students Request : Math (Class 5 to 10) (Part - 2)

Students Request : Math (Class 5 to 10) (Part - 2) 

প্রশ্নঃ 10টি কামান প্রতি 5 মিনিটে  3 বার গোলা ছুড়ে \small {\color{Blue} 1\frac{1}{2}} ঘন্টায়  270 টি টার্গেট বিদ্ধ করলে 25 টি কামান প্রতি 6 মিনিটে  5 বার গোলা ছুড়ে 1 ঘন্টায় কটি টার্গেট বিদ্ধ করতে পারবে ?

সমাধানঃ 

ধরি, কামানের সংখ্যা = x ; সময় = t ; টার্গেটের সংখ্যা = y  এবং গোলার সংখ্যা = z

এখন,

yx  যখন  t, z  স্থির 

y t  যখন  x, z  স্থির 

yz  যখন  x, t  স্থির 

∴ যৌগিক ভেদের উপপাদ্য অনুযায়ী,

y ∝ xtz  যখন  t, x, z  চলসংখ্যা 

y = k (xtz) [k = অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ]  ......(i)

এখন, (i) নং সমীকরণে

x = 10 টি , \small t=1\frac{1}{2} ঘন্টা \small =\frac{3}{2} ঘন্টা, y = 270 টি এবং \small z=\frac{3}{5}\times 60=36 টি বসিয়ে পাই,

\small 270=k\times \left ( 10\times \frac{3}{2}\times 36 \right )

বা, \small k=\frac{270\times 2}{10\times 3\times 36}

\small \therefore k=\frac{1}{2}

আবার, (i) নং সমীকরণে

x = 25 টি , t = 1 ঘন্টা, y = 270 টি, \small k=\frac{1}{2} এবং \small z=\frac{5}{6}\times 60=50 টি বসিয়ে পাই,

\small y=\frac{1}{2}\times \left ( 25\times 1\times 50 \right )

\small \therefore y=625

 উত্তরঃ কামানটি 625 টি টার্গেট বিদ্ধ করতে পারবে। 

Students Request : Math (Class 5 to 10) (Part - 2)

Students Request : Math (Class 5 to 10) (Part - 2) 

প্রশ্নঃ সমাধান করো : \small {\color{Blue} \frac{x+\sqrt{x^{2}-1}}{x-\sqrt{x^{2}-1}}+\frac{x-\sqrt{x^{2}-1}}{x+\sqrt{x^{2}-1}}=14}

সমাধানঃ 

\small \frac{x+\sqrt{x^{2}-1}}{x-\sqrt{x^{2}-1}}+\frac{x-\sqrt{x^{2}-1}}{x+\sqrt{x^{2}-1}}=14

বা, \small \frac{\left ( x+\sqrt{x^{2}-1} \right )^{2}+\left ( x-\sqrt{x^{2}-1} \right )^{2}}{\left ( x+\sqrt{x^{2}-1} \right )\cdot \left ( x-\sqrt{x^{2}-1} \right )}=14

এখন, যদি  \small {\color{Blue} a=x} এবং  \small {\color{Blue} b=\sqrt{x^{2}-1}}  হয়, তবে 

(a + b)² + (ab)² = 2(a² − b²)  এবং  (a + b).(ab) = a² − b²  -এর সূত্র প্রয়োগ করে পাই-

বা, \small \frac{2\left \{ \left ( x \right )^{2}+\left ( \sqrt{x^{2}-1} \right )^{2} \right \}}{\left ( x \right )^{2}-\left ( \sqrt{x^{2}-1} \right )^{2}}=14

বা, \small \frac{2\left ( x^{2}+x^{2}-1 \right )}{x^{2}-\left ( x^{2}-1 \right )}=14

বা, \small \frac{2\left ( x^{2}+x^{2}-1 \right )}{x^{2}-x^{2}+1}=14

বা, \small \frac{2\left ( 2x^{2}-1 \right )}{1}=14

বা, \small 4x^{2}-2=14

বা, \small 4x^{2}=14+2\Rightarrow 16

বা, \small x^{2}=\frac{16}{4}=4

বা, \small x=\pm \sqrt{4}

\small \therefore x=\pm 2   (উত্তর)

Students Request : Math (Class 5 to 10) (Part - 2)

Students Request : Math (Class 5 to 10) (Part - 2) 

প্রশ্নঃ \small {\color{Blue} x=5+2\sqrt{6}}  এবং  \small {\color{Blue} x-y=4\sqrt{6}}  হলে,  \small {\color{Blue} x^{2}+y^{2}} -এর মান নির্ণয় করো। 

সমাধানঃ 

\small x-y=4\sqrt{6}

x -এর মান বসিয়ে পাই-

বা, \small 5+2\sqrt{6}-y=4\sqrt{6}

বা, \small 5+2\sqrt{6}-4\sqrt{6}=y

\small \therefore y=5-2\sqrt{6}

 

এখন,  x  ও  y -এর যোগফল,

\small x+y=\left ( 5+2\sqrt{6} \right )+\left ( 5-2\sqrt{6} \right )

বা, \small x+y=5+2\sqrt{6}+5-2\sqrt{6}

\small {\color{Blue} \therefore x+y=10}

 

এখন,  x  ও  y -এর গুনফল,

\small x\times y=\left ( 5+2\sqrt{6} \right ).\left ( 5-2\sqrt{6} \right )

বা, \small xy=\left (5 \right )^{2}-\left ( 2\sqrt{6} \right )^{2}

বা, \small xy=25-\left ( 4\times 6 \right )

\small {\color{Blue} \therefore xy=1}

 

এখন, \small x^{2}+y^{2}

a² + b² -এর সূত্র প্রয়োগ করে পাই-

\small =\left ( x+y \right )^{2}-2xy

মান বসিয়ে পাই-

\small =\left ( 10 \right )^{2}-2\times 1

\small =100-2

\small \therefore x^{2}+y^{2}=98  (উত্তর)

Students Request : Math (Class 5 to 10) (Part - 2) 

প্রশ্নঃ \small {\color{Blue} x=\frac{\sqrt{a+1}+\sqrt{a-1}}{\sqrt{a+1}-\sqrt{a-1}},\; y=\frac{\sqrt{a+1}-\sqrt{a-1}}{\sqrt{a+1}+\sqrt{a-1}}}  হলে,  \small {\color{Blue} \frac{x^{2}-xy+y^{2}}{x^{2}+xy+y^{2}}} -এর মান কত ?

সমাধানঃ 

x  ও  y -এর যোগফল,

\small x+y=\frac{\left ( \sqrt{a+1}+\sqrt{a-1} \right )}{\left ( \sqrt{a+1}-\sqrt{a-1} \right )}+\frac{\left ( \sqrt{a+1}-\sqrt{a-1} \right )}{\left ( \sqrt{a+1}+\sqrt{a-1} \right )}

বা, \small x+y=\frac{\left ( \sqrt{a+1}+\sqrt{a-1} \right )^{2}+\left ( \sqrt{a+1}-\sqrt{a-1} \right )^{2}}{\left ( \sqrt{a+1}+\sqrt{a-1} \right ).\left ( \sqrt{a+1}-\sqrt{a-1} \right )}

বা, \inline \small x+y=\frac{\left ( \sqrt{a+1} \right )^{2}+2\sqrt{\left ( a+1 \right )\left ( a-1 \right )}+\left ( \sqrt{a-1} \right )^{2}+\left ( \sqrt{a+1} \right )^{2}-2\sqrt{\left ( a+1 \right )\left ( a-1 \right )}+\left ( \sqrt{a-1} \right )^{2}}{\left ( \sqrt{a+1} \right )^{2}-\left ( \sqrt{a-1} \right )^{2}}

বা, \small x+y=\frac{2\left ( \sqrt{a+1} \right )^{2}+2\left ( \sqrt{a-1} \right )^{2}}{\left ( a+1 \right )-\left ( a-1 \right )}

বা, \small x+y=\frac{2\left ( a+1 \right )+2\left ( a-1 \right )}{a+1-a+1}

বা, \small x+y=\frac{2a+2+2a-2}{2}

বা, \small x+y=\frac{4a}{2}

\small {\color{Blue} \therefore x+y=2a}

 

এখন,  x  ও  y -এর গুনফল,

\small x\times y=\frac{\left ( \sqrt{a+1}+\sqrt{a-1} \right )}{\left ( \sqrt{a+1}-\sqrt{a-1} \right )}\times \frac{\left ( \sqrt{a+1}-\sqrt{a-1} \right )}{\left ( \sqrt{a+1}+\sqrt{a-1} \right )}

\small {\color{Blue} \therefore xy=1}

 

এখন, \small x^{2}+y^{2} -এর মান,

a² + b² -এর সূত্র প্রয়োগ করে পাই-

\small =\left ( x+y \right )^{2}-2xy

মান বসিয়ে পাই-

\small =\left ( 2a \right )^{2}-2\times 1

\small =4a^{2}-2

\small {\color{Blue} \therefore x^{2}+y^{2}=4a^{2}-2}

 

এখন, \small \frac{x^{2}-xy+y^{2}}{x^{2}+xy+y^{2}}

\small =\frac{\left ( x^{2}+y^{2} \right )-xy}{\left ( x^{2}+y^{2} \right )+xy}

মান বসিয়ে পাই-

\small =\frac{\left ( 4a^{2}-2 \right )-1}{\left ( 4a^{2}-2 \right )+1}

\small =\frac{4a^{2}-2-1}{4a^{2}-2+1}

\small =\frac{4a^{2}-3}{4a^{2}-1}

\small {\color{Blue} \therefore \frac{x^{2}-xy+y^{2}}{x^{2}+xy+y^{2}}=\frac{4a^{2}-3}{4a^{2}-1}}  (উত্তর)

Students Request : Math (Class 5 to 10) (Part - 2) 

প্রশ্নঃ \small {\color{Blue} x=\sqrt{\frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}-1}}}  হয়, তাহলে প্রমান করো, \small {\color{Blue} x^{2}-x-1=0}

সমাধানঃ 

\small x=\sqrt{\frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}-1}}

হরের করণী নিরসন করে পাই-

বা, \small x=\sqrt{\frac{\left ( \sqrt{5}+1 \right )^{2}}{\left ( \sqrt{5}-1 \right )\left ( \sqrt{5}+1 \right )}}

বা, \small x=\sqrt{\frac{\left ( \sqrt{5}+1 \right )^{2}}{\left ( \sqrt{5} \right )^{2}-\left ( 1 \right )^{2}}}

বা, \small x=\sqrt{\frac{\left ( \sqrt{5}+1 \right )^{2}}{4}}

\small \therefore x=\frac{\left ( \sqrt{5}+1 \right )}{2}

 

এখন, \small x^{2}-x-1

x  -এর মান বসিয়ে পাই-

\small =\left ( \frac{\sqrt{5}+1}{2} \right )^{2}-\frac{\left (\sqrt{5}+1 \right )}{2}-1

\small =\frac{\left ( \sqrt{5}+1 \right )^{2}}{4}-\frac{\left ( \sqrt{5}+1 \right )}{2}-1

\small =\frac{\left ( \sqrt{5} \right )^{2}-2.\sqrt{5}.1+1^{2}}{4}-\frac{\left ( \sqrt{5}+1 \right )}{2}-1

\small =\frac{5-2\sqrt{5}+1}{4}-\frac{\left ( \sqrt{5}+1 \right )}{2}-1

\small =\frac{\left (6-2\sqrt{5} \right )}{4}-\frac{\left ( \sqrt{5}+1 \right )}{2}-1

\small =\frac{\left ( 6-2\sqrt{5} \right )-2\times \left ( \sqrt{5}+1 \right )-4}{4}

\small =\frac{6-2\sqrt{5}-2\sqrt{5}-2-4}{4}

\small =\frac{0}{4}

\small =0

সুতরাং, \small x^{2}-x-1=0  (প্রমাণিত)

Students Request : Math (Class 5 to 10) (Part - 2) 

প্রশ্নঃ \small {\color{Blue} x^{2}-x=k\left ( 2x-1 \right )} সমীকরণের বীজদ্বয়ের সমষ্টি শুন্য হলে, k -এর মান কত ?

সমাধানঃ 

\small x^{2}-x=k\left ( 2x-1 \right )

 বা, \small x^{2}-x=2kx-k

 বা, \small x^{2}-x-2kx+k=0

∴  \small x^{2}-\left (1+2k \right )x+k=0......(i)

\small ax^{2}+bx+c=0......(ii)

(i) ও (ii) নং সমীকরণ দুটিকে তুলনা করে পাই-

a = 1; b = − (1 + 2k);  এবং  c = k

যেহেতু, বীজদ্বয়ের সমষ্টি = 0

\small \therefore \frac{-b}{a}=0  [ \small {\color{Blue} \because } বীজদ্বয়ের সমষ্টি = \small {\color{Blue} \frac{-b}{a}} ]

মান বসিয়ে পাই-

বা, \small -\left [\frac{-\left ( 1+2k \right )}{1} \right ]=0

বা, \small 1+2k=0

বা, \small 2k=-1

\small k=\frac{-1}{2}  (উত্তর)

উত্তরঃ নির্ণেয়  \small {\color{DarkGreen} k=\frac{-1}{2}}

Students Request : Math (Class 5 to 10) (Part - 2) 

প্রশ্নঃ 5 মিটার উচ্চতাবিশিষ্ট একটি লম্ববৃত্তাকার চোঙাকৃতি ট্যাঙ্ক জলপূর্ণ আছে। 8 সেমি দৈর্ঘ্যের ব্যাসের একটি পাইপ দিয়ে মিনিটে 225 মিটার বেগে জল বের করা হয়, তাহলে 45 মিনিটে ট্যাঙ্কটির সমস্ত জল বেরিয়ে যায়। ট্যাঙ্কটির ব্যাসের দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ 

যদি ধরে নেওয়া হয় যে 8 সেমি. ব্যাসের (2r = 8) পাইপটি 225 মিটার বা, 22500 সেমি. লম্বা, তাহলে 1 মিনিটে যে আয়তনের জল ট্যাঙ্ক থেকে বেরিয়ে যায় তা পাইপটির আয়তনের সমান হবে।

এখন, পাইপটির আয়তন,
= π × (ব্যাসার্ধ)² × পাইপটির দৈর্ঘ্য

= π × (4)² × 22500  ঘনসেমি.   [পাইপের ব্যাসার্ধ = 8/2 = 4 সেমি.]

= π × 16 × 22500  ঘনসেমি. 

সুতরাং, 45 মিনিটে যে আয়তনের জল পাইপ দিয়ে বেরিয়ে যায় তার আয়তন,
= 45 × পাইপের আয়তন
= 45 × (π × 16 × 22500)  ঘনসেমি.

ধরি, লম্ব-বৃত্তাকার ট্যাঙ্কের ভূমির ব্যাসার্ধ R সেমি
ট্যাঙ্কটির উচ্চতা = 5 মিটার অর্থ্যাৎ, 500 সেমি (প্রদত্ত)

অতএব, লম্ব-বৃত্তাকার ট্যাঙ্কের জলের মোট আয়তন,
= π × (ট্যাঙ্কের ব্যাসার্ধ)² × ট্যাঙ্কের উচ্চতা
= π × R² × 500  ঘনসেমি

এখন,
যেহেতু, লম্ব-বৃত্তাকার ট্যাঙ্কের জলের মোট আয়তন = 45 মিনিটে যে আয়তনের জল পাইপ দিয়ে বেরিয়ে যায় তার আয়তন

সুতরাং, π × R² × 500  ঘনসেমি = 45 × (π × 16 × 22500)  ঘনসেমি.

বা, \small R^{2}=\frac{45\times \pi \times 16\times 22500}{\pi \times 500}

বা, \small R^{2}=32400

বা, \small R=\sqrt{324\times 100}

\small \therefore R=18\times 10\Rightarrow 180  সেমি.

এখন, পাইপটির ব্যাসের দৈর্ঘ্য,

= 2R অর্থ্যাৎ,

= 2 × 180 সেমি.

 = 360 সেমি. বা, 3.6 মিটার  (উত্তর)

 

উত্তরঃ নির্ণেয় ট্যাঙ্কটির ব্যাসের দৈর্ঘ্য  3.6 মিটার। 

Students Request : Math (Class 5 to 10) (Part - 2) 

প্রশ্নঃ তিন অংক বিশিষ্ট একটি সংখ্যার শতকের অংকটি দশকের অংকের দ্বিগুন এবং এককের অংকের চারগুন। সংখ্যাটি উল্টে লেখাতে তার মান 297 হ্রাস পেল। সংখ্যাটি নির্ণয় করো।

সমাধানঃ 

ধরি, শতকের অংকটি হলো  4x

∴ দশকের অংকটি হবে = 2x এবং এককের অংকটি হবে = x

সুতরাং, সংখ্যাটি হবে-

= 100 × (শতকের অঙ্ক) + 10 × (দশকের অঙ্ক) + 1 × (এককের অঙ্ক)

\small =100\times (4x) + 10\times (2x) + 1\times (x)

\small =400x+20x+x

\small =421x

 

এখন, সংখ্যাটি উল্টে লিখলে যে নতুন সংখ্যাটি পাওয়া যাবে, সেটি হবে -
= 100 × (এককের অঙ্ক) + 10 × (দশকের অঙ্ক) + 1 × (শতকের অঙ্ক)

\small = 100\times (x) + 10\times (2x) + 1\times (4x)

\small =100x+20x+4x

\small =124x

 

প্রশ্নানুসারে,

প্রকৃত সংখ্যা − নতুন সংখ্যা = 297

বা, \small 421x-124x=297

বা, \small 297x=297

বা, \small x=\frac{297}{297}

\small \therefore x=1

 

অতএব, নির্ণেয় প্রকৃত সংখ্যাটি হলো,

= 421x

= 421 × 1  [{\color{Blue} \because x=1}]

= 421 (উত্তর)

 

উত্তরঃ নির্ণেয় সংখ্যাটি হলো 421

Students Request : Math (Class 5 to 10) (Part - 2) 

প্রশ্নঃ যদি এক ব্যক্তি বার্ষিক 6% হার সরল সুদে একটি ব্যাঙ্ক থেকে 60,000 টাকা ধার করলেন। 3 বছর পর 30,000 টাকা তিনি ব্যাংকে শোধ করলেন। আরও 2 বছর পর তিনি ব্যাংকের পুরো ঋণ শোধ করতে চাইলে তখন তাকে মোট কত টাকা মেটাতে হবে ?

সমাধানঃ 

প্রদত্ত,
আসলে পরিমান, P = 60,000
বার্ষিক সুদের হার, r = 6%
সময়, t = 5 বছর

সুতরাং, 5 বছর শেষে সরল সুদের পরিমান হবে,

\small {\color{Blue} I=\frac{P\times t\times r}{100}}

মান বসিয়ে পাই -

\small I=\frac{60000\times 5\times 6}{100}

বা, \small I=600\times 30

\small \therefore I=18000 টাকা 

 

এখন, সুদ-আসলের পরিমান = সুদ + আসল

∴ সুদ-আসলের পরিমান = 18000 + 60000

= 78000 টাকা

 

যেহেতু, ব্যাক্তিটি 3 বছর পর ব্যাঙ্কের 30,000 টাকা শোধ করেছিলেন।

অতএব, ব্যাঙ্কের সমস্ত ঋণ শোধ করতে হলে ব্যাক্তিটিকে বাকি = (78,000 − 30,000) টাকা অর্থ্যাৎ, 48,000 টাকা 2 বছরে মেটাতে হবে। (উত্তর)

 

উত্তরঃ ব্যাংকের পুরো ঋণ শোধ করতে চাইলে তখন ব্যাক্তিটিকে 2 বছরে 48,000 টাকা মেটাতে হবে। 

Students Request : Math (Class 5 to 10) (Part - 2) 

প্রশ্নঃ যদি ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) সমীকরণটির দুটি বীজ  α  ও  β  হয়, তবে যে সমীকরণের দুটি বীজ  {\color{Blue} \frac{\alpha }{\beta }}  ও  {\color{Blue} \frac{\beta }{\alpha }}  তার সমীকরণ নির্ণয় করো। 

সমাধানঃ 

যেহেতু  ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) সমীকরণের দুটি বীজ  α  ও  β

∴ বীজ দুটির যোগফল, \alpha +\beta =-\frac{b}{a}  এবং 

বীজ দুটির গুনফল, \alpha \cdot \beta =\frac{c}{a}

 

এখন, \alpha ^{2}+\beta ^{2}

=\left ( \alpha +\beta \right )^{2}-2\cdot \alpha \cdot \beta

মান বসিয়ে পাই -

=\left ( -\frac{b}{a} \right )^{2}-2\times \frac{c}{a}

=\frac{b^{2}}{a^{2}}-\frac{2c}{a}

=\frac{b^{2}-2ac}{a^{2}}

\therefore \alpha ^{2}+\beta ^{2}=\frac{b^{2}-2ac}{a^{2}}

 

এখন, \frac{\alpha }{\beta }+\frac{\beta }{\alpha }

=\frac{\alpha ^{2}+\beta ^{2}}{\alpha \cdot \beta }

মান বসিয়ে পাই -

=\frac{\left (\frac{b^{2}-2ac}{a^{2}} \right )}{\left (\frac{c}{a} \right )}

=\frac{b^{2}-2ac}{a^{2}}\times \frac{a}{c}

\therefore \frac{\alpha }{\beta }+\frac{\beta }{\alpha }=\frac{b^{2}-2ac}{ac}

 

এখন, যে দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি বীজ  \frac{\alpha }{\beta }  ও  \frac{\beta }{\alpha }  সেটি হবে,-

x^{2}-\left ( \frac{\alpha }{\beta }+\frac{\beta }{\alpha } \right )x+\left ( \frac{\alpha }{\beta }\times \frac{\beta }{\alpha } \right )=0

মান বসিয়ে পাই -

x^{2}-\left ( \frac{b^{2}-2ac}{ac} \right )x+1=0

উপরের সমীকরণটির প্রতিটি পদকে  ac  দ্বারা গুণ করে পাই -

acx^{2}-\left ( b^{2}-2ac \right )x+ac=0  (উত্তর)

 

উত্তরঃ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণটি হলো  {\color{DarkGreen} acx^{2}-\left ( b^{2}-2ac \right )x+ac=0}

Students Request : Math (Class 5 to 10) (Part - 2) 

প্রশ্নঃ xy এবং yz  হলে, প্রমাণ করো যে,  x² + y² + z² ∝ xyyz + zx

সমাধানঃ 

প্রদত্ত, yz

সুতরাং, y = k1z

আবার, xy

সুতরাং, x = k2y = k2(k1z)  [{\color{Blue} \because }y = k1z]

x = k2k1z

[ k1  ও  k2  অশুন্য ভেদ ধ্রুবক ]

 

এখন,

\frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{xy-yz+zx}

x  ও  y  -এর মান বসিয়ে পাই-

=\frac{\left ( k_{1}k_{2}z \right )^{2}+\left ( k_{1}z \right )^{2}+z^{2}}{\left ( k_{1}k_{2}z \right )\times \left ( k_{1}z \right )-\left ( k_{1}z \right )\times \left (z \right )+\left (z \right )\times \left ( k_{1}k_{2}z \right )}

=\frac{k_{1}^{2}\cdot k_{2}^{2}\cdot z^{2}+k_{1}^{2}\cdot z^{2}+z^{2}}{k_{1}^{2}\cdot k_{2}\cdot z^{2}-k_{1}\cdot z^{2}+z^{2}\cdot k_{1}\cdot k_{2}}

=\frac{z^{2}\left (k_{1}^{2}\cdot k_{2}^{2}+k_{1}^{2}+1 \right )}{z^{2}\left (k_{1}^{2}\cdot k_{2}-k_{1}+k_{1}\cdot k_{2} \right )}

=\frac{\left (k_{1}^{2}\cdot k_{2}^{2}+k_{1}^{2}+1 \right )}{\left (k_{1}^{2}\cdot k_{2}-k_{1}+k_{1}\cdot k_{2} \right )}

= ধ্রুবক

 

সুতরাং, আমরা পেলাম যে, \frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{xy-yz+zx} = ধ্রুবক

∴ (x² + y² + z²) =  ধ্রুবক × (xyyz + zx)

অর্থ্যাৎ, x² + y² + z² ∝ xyyz + zx  (প্রমাণিত)

Students Request : Math (Class 5 to 10) (Part - 2) 

প্রশ্নঃ সরল করো :{\color{Blue} \sqrt{7}\left ( \sqrt{5}-\sqrt{2} \right )-\sqrt{5}\left ( \sqrt{7}-\sqrt{2} \right )+\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{7}}}

সমাধানঃ 

\sqrt{7}\left ( \sqrt{5}-\sqrt{2} \right )-\sqrt{5}\left ( \sqrt{7}-\sqrt{2} \right )+\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{7}}

=\sqrt{7}\left ( \sqrt{5}-\sqrt{2} \right )-\sqrt{5}\left ( \sqrt{7}-\sqrt{2} \right )+\frac{2\sqrt{2}\left ( \sqrt{5}-\sqrt{7} \right )}{\left (\sqrt{5}+\sqrt{7} \right )\left ( \sqrt{5}-\sqrt{7} \right )}

=\sqrt{7}\left ( \sqrt{5}-\sqrt{2} \right )-\sqrt{5}\left ( \sqrt{7}-\sqrt{2} \right )+\frac{2\sqrt{2}\left ( \sqrt{5}-\sqrt{7} \right )}{\left (\sqrt{5} \right )^{2}-\left ( \sqrt{7} \right )^{2}}

=\sqrt{7}\left ( \sqrt{5}-\sqrt{2} \right )-\sqrt{5}\left ( \sqrt{7}-\sqrt{2} \right )+\frac{2\sqrt{2}\left ( \sqrt{5}-\sqrt{7} \right )}{5-7}

=\sqrt{7}\left ( \sqrt{5}-\sqrt{2} \right )-\sqrt{5}\left ( \sqrt{7}-\sqrt{2} \right )+\frac{2\sqrt{2}\left ( \sqrt{5}-\sqrt{7} \right )}{-2}

=\sqrt{7}\left ( \sqrt{5}-\sqrt{2} \right )-\sqrt{5}\left ( \sqrt{7}-\sqrt{2} \right )-\sqrt{2}\left ( \sqrt{5}-\sqrt{7} \right )

=\sqrt{35}-\sqrt{14}-\sqrt{35}+\sqrt{10}-\sqrt{10}+\sqrt{14}

=0  (উত্তর)

উত্তরঃ নির্ণেয় {\color{DarkGreen} \sqrt{7}\left ( \sqrt{5}-\sqrt{2} \right )-\sqrt{5}\left ( \sqrt{7}-\sqrt{2} \right )+\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{7}}} -এর সরলতম মান  0

Students Request : Math (Class 5 to 10) (Part - 2) 

প্রশ্নঃ শ্রীধর আচার্যের সূত্র প্রয়োগে সমাধান করো : {\color{Blue} \frac{1}{x-2}+\frac{1}{x-3}+\frac{1}{x-4}=0}

সমাধানঃ 

\frac{1}{x-2}+\frac{1}{x-3}+\frac{1}{x-4}=0

বা, \frac{1}{x-2}+\frac{1}{x-3}=-\frac{1}{x-4}

বা, \frac{\left ( x-3 \right )+\left ( x-2 \right )}{\left ( x-2 \right )\left ( x-3 \right )}=\frac{1}{4-x}

বা, \frac{x-3+x-2}{\left ( x^{2}-3x-2x+6 \right )}=\frac{1}{4-x}

বা, \frac{2x-5}{x^{2}-5x+6}=\frac{1}{4-x}

বা, \left ( x^{2}-5x+6 \right )\times 1=\left ( 2x-5 \right )\left ( 4-x \right )

বা, x^{2}-5x+6=8x-2x^{2}-20+5x

বা, x^{2}+2x^{2}-5x-5x-8x+6+20=0

বা, 3x^{2}-18x+26=0\; ........(i)

ax^{2}+bx+c=0\; ........(ii)

 

এখন, (i) নং সমীকরণটিকে (ii) নং সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই -

a=3;b=-18;c=26

 

শ্রীধর আচার্যের সূত্রানুযায়ী,

x=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

এখন, a,bc -এর মান বসিয়ে পাই -

x=\frac{-\left ( -18 \right )\pm \sqrt{\left ( -18 \right )^{2}-\left (4\times 3\times 26 \right )}}{2\times 3}

বা, x=\frac{18\pm \sqrt{324-312}}{6}

বা, x=\frac{18\pm \sqrt{12}}{6}

বা, x=\frac{18\pm 2\sqrt{3}}{6}\; \; {\color{Blue} \left [ \because \sqrt{12}=\sqrt{2\times 2\times 3} =2\sqrt{3}\right ]}

বা, x=\frac{2\left ( 9\pm \sqrt{3} \right )}{6}

বা, x=\frac{9\pm \sqrt{3}}{3}

সুতরাং, x=\left (\frac{9+\sqrt{3}}{3} \right );\; \left (\frac{9-\sqrt{3}}{3} \right )

উত্তরঃ নির্ণেয় সমাধান : {\color{DarkGreen} \left (\frac{9+\sqrt{3}}{3} \right )} ও {\color{DarkGreen} \left (\frac{9-\sqrt{3}}{3} \right )}

Students Request : Math (Class 5 to 10) (Part - 2) 

প্রশ্নঃ {\color{Blue} 2x^{2}+kx+4=0} সমীকরণের একটি বীজ 2 হলে,অপর বীজটি কত ?

সমাধানঃ 

ধরি, 2x^{2}+kx+4=0 সমীকরণের অপর বীজটি হলো  x

 

2x^{2}+kx+4=0 সমীকরণের,

x² -এর সহগ = 2

x -এর সহগ = k

ধ্রুবক = 4

 

\because আমরা জানি, বীজদুটির গুনফল = (ধ্রুবক ÷ x² এর সহগ)

x\times 2=\left ( 4\div2 \right )

বা, x\times 2=2

বা, x=\frac{2}{2}

\therefore x=1

 

উত্তরঃ নির্ণেয় {\color{DarkGreen} 2x^{2}+kx+4=0} সমীকরণের অপর বীজটি হল 1

Students Request : Math (Class 5 to 10) (Part - 2) 

ছাত্র-ছাত্রীদের অনুরোধ : বৃত্তের স্পর্শক সংক্রান্ত উপপাদ্য/Class - 10

প্রশ্নঃ দুটি বৃত্ত পরস্পরকে C বিন্দুতে বহিঃস্পর্শ করে। AB বৃত্ত দুটির একটি সাধারণ স্পর্শক যা বৃত্ত দুটিকে A ও B বিন্দুতে স্পর্শ করে। ∠ACB -এর পরিমাপ -

(A) 60°

(B) 45°

(C) 30°

(D) 90°

সমাধান : 

tangent of circle

\because AP = PC (একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ)

∠PAC = ∠APC = x (ধরি)

 

একইভাবে,

\because CQ = BQ (একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ)

∴ ∠QBC = ∠QCB = y (ধরি)

 

আবার, যেহেতু AB স্পর্শকের উপর PA এবং QB হলো স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ। 

∴ PA, QB ⊥ AB অর্থ্যাৎ, ∠PAB = ∠QBA = 90°

যেহেতু, আমরা জানি, দুটি বৃত্তের সরল সাধারণ স্পর্শক বৃত্ত দুটির কেন্দ্রের সংযোজক সরলরেখার সমান্তরাল হয়।  

\because AB\parallel PQ অর্থ্যাৎ, ∠APC = ∠CQB = ∠PAB = ∠QBA

∠APC = ∠CQB = 90° [{\color{Blue} \because} ∠PAB = 90°]

 

\because ΔAPC এর বহিঃকোণ ∠ACQ এবং অন্তঃস্থ বিপরীত কোণ দুটি হলো ∠APC ও ∠PAC.

∴ ∠ACQ = ∠APC + ∠PAC

বা, ∠ACB + ∠QCB = ∠APC + ∠PAC

বা, ∠ACB = ∠APC + ∠PAC − ∠QCB .....(i)

 

আবার,

\because ΔBQC এর বহিঃকোণ ∠BCP এবং অন্তঃস্থ বিপরীত কোণ দুটি হলো ∠CQB ও ∠BQC.

∴ ∠BCP = ∠CQB + ∠BQC

বা, ∠ACB + ∠ACP = ∠CQB + ∠BQC

বা, ∠ACB = ∠CQB + ∠BQC − ∠ACP .....(ii)

 

এখন, (i) + (ii) করে পাই -

∠ACB + ∠ACB = ∠APC + ∠PAC − ∠QCB + ∠CQB + ∠BQC − ∠ACP

বা, 2∠ACB = ∠APC + ∠PAC − ∠QCB + ∠QCB + ∠BQC − ∠PAC

বা, 2∠ACB = 90° + xy + 90° + yx  [ মান বসিয়ে পাই ]

বা, 2∠ACB = 180°

∴ ∠ACB = 90°

উত্তরঃ (D) 90°

Students Request : Math (Class 5 to 10) (Part - 2) 

প্রশ্নঃ একটি আয়তক্ষেত্রের ও একটি বর্গক্ষেত্রের প্রত্যেকটির পরিসীমা 80 সেমি। বর্গক্ষেত্রের ও আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের পার্থক্য 100 বর্গসেমি। আয়তক্ষেত্রের বাহুরগুলির দৈর্ঘ্য হয় 

(A) 35 সেমি 5 সেমি

(B) 32 সেমি 8 সেমি

(C) 30 সেমি 10 সেমি

(D) 28 সেমি 12 সেমি

সমাধান :

ধরি, আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য a সেমি ও প্রস্থ b সেমি এবং বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য x সেমি। 

প্রশ্নানুসারে,

2\left ( a+b \right )=80

বা, a+b=\frac{80}{2}

 \therefore a=40-b

আবার,

4x=80

বা, x=\frac{80}{4}

\therefore x=20

শর্তানুসারে,

x^{2}-ab=100

বা, \left ( 20 \right )^{2}-\left ( 40-b \right )b=100

বা, 400-40b+b^{2}=100

বা, b^{2}-40b+300=0

বা, b^{2}-30b-10b+300=0

বা, b\left ( b-30 \right )-10\left ( b-30 \right )=0

বা, \left ( b-30 \right )\left ( b-10 \right )=0

∴ b = 30 বা 10 ও a = 10 বা 30 

যেহেতু, আয়তক্ষেত্রের a > b তাই, a = 30 ও  b = 10

উত্তরঃ (C) 30 সেমি 10 সেমি

Students Request : Math (Class 5 to 10) (Part - 2) 

প্রশ্নঃ একটি কাজ A 12 দিনে ও B 18 দিনে শেষ করতে পারে। তারা একত্রে কাজটি শুরু করে, কিন্তু কাজটি শেষ হওয়ার 3 দিন আগে A কাজ ছেড়ে চলে যায়। বাকি কাজটি  B শেষ  করে। সমস্ত কাজটি শেষ হতে কত দিন লাগবে ?

(A) 8

(B) 9

(C) 6

(D) 3

সমাধানঃ 

36 ( 12 ও 18 এর ল.সা.গু = মোট কাজ )

( A + B + C ) একদিনে মোট কাজ করে = ( 6 + 5 + 4 ) = 15 একক 

যেহেতু,কাজ শেষ হওয়ার 3 দিন আগে A কাজ ছেড়ে চলে যায় 

অর্থাৎ, শেষ 3 দিন B একা কাজ করেছে। 

সুতরাং, শেষ 3 দিন B একা কাজ করেছে = 3 × 2 = 6 একক 

বাকি কাজ = ( 36 - 6 ) = 30 একক। 

30 একক কাজ A ও B এর একত্রে করতে সময় লাগে =\frac{30}{3+2}=\frac{30}{5}=6 দিন। 

∴ সমস্ত কাজটি শেষ হতে সময় লাগবে = ( 6 + 3 ) = 9 দিন। 

উত্তরঃ (B) 9

Students Request : Math (Class 5 to 10) (Part - 2) 

প্রশ্নঃ 7∗82 , 83∗9, 147∗ সংখ্যাগুলি 9 দ্বারা বিভাজ্য হলে ∗ চিহ্নিত স্থান গুলি যথাক্রমে হবে 

(A) 2, 3, 5

(B) 4, 2, 8

(C) 0, 9, 2

(D) 1, 7, 6

সমাধানঃ 

আমরা জানি , কোন সংখ্যার একক গুলির যোগফল 9 দ্বারা বিভাজ্য হলে, সমগ্র সংখ্যাটি 9 দ্বারা বিভাজ্য হয়। 

7∗82 = 7 + a + 8 + 2 = 17 + a

a = 1 হলে সংখ্যাটির যোগফল ( = 17 + 1 = 18 ) 9 দ্বারা বিভাজ্য হয় 

∴ সংখ্যাটি হয় 7182

, 83∗9 = 8 + 3 + b + 9 = 20 + b

b = 7 হলে সংখ্যাটির যোগফল ( = 20 + 7 = 27 ) 9 দ্বারা বিভাজ্য হয় 

∴ সংখ্যাটি হয় 8379

147∗ = 1 + 4 + 7 + c = 12 + c

c = 6 হলে সংখ্যাটির যোগফল ( = 12 + 6 = 18 ) 9 দ্বারা বিভাজ্য হয় 

∴ সংখ্যাটি হয় 1476

উত্তরঃ (D) 1, 7, 6

Students Request : Math (Class 5 to 10) (Part - 2) 

প্রশ্নঃ 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 87, 89, 97 এখানে 26 টি সংখ্যার 

(A) সবকটিই মৌলিক 

(B) একটি বাদে সবকটিই মৌলিক 

(C) দুটি বাদে সবকটিই মৌলিক 

(D) তিনটি বাদে সবকটিই মৌলিক 

সমাধানঃ 

যেহেতু প্রত্যেকটি সংখ্যা কেবলমাত্র এবং সেই সংখ্যা ছাড়া অন্য কোনো সংখ্যা দ্বারা বিভাজ্য নয় তাই, প্রত্যেকটি সংখ্যায় মৌলিক সংখ্যা। 

উত্তরঃ (A) সবকটিই মৌলিক 

Students Request : Math (Class 5 to 10) (Part - 2) 

প্রশ্নঃ {\color{Blue} \left ( 4\frac{3}{29} \right )\times \left ( 4\frac{3}{29} \right )^{2}+3\times \left ( 4\frac{3}{29} \right )^{2}\times \left ( 6\frac{26}{29} \right )+3\times \left ( 4\frac{3}{29} \right )\times \left ( 6\frac{26}{29} \right )^{2}+\left ( 6\frac{26}{29} \right )^{2}\times \left ( 6\frac{26}{29} \right )=?}

সমাধানঃ 

\left ( 4\frac{3}{29} \right )\times \left ( 4\frac{3}{29} \right )^{2}+3\times \left ( 4\frac{3}{29} \right )^{2}\times \left ( 6\frac{26}{29} \right )+3\times \left ( 4\frac{3}{29} \right )\times \left ( 6\frac{26}{29} \right )^{2}+\left ( 6\frac{26}{29} \right )^{2}\times \left ( 6\frac{26}{29} \right )

ধরি, 

4\frac{3}{29}=a,6\frac{26}{29}=b

এখন,

a\times a^{2}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{2}\times b [ মান বসিয়ে পাই ]

=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}

=\left ( a+b \right )^{3}

=\left ( 4\frac{3}{29} +6\frac{26}{29}\right )^{3} [ মান বসিয়ে পাই ]

=\left ( 4+\frac{3}{29} +6+\frac{26}{29}\right )^{3}

=\left ( 10+\frac{3+26}{29} \right )^{3}

=\left ( 10+\frac{29}{29} \right )^{3}

=\left ( 10+1 \right )^{3}

=\left ( 11 \right )^{3}

 = 1331

উত্তরঃ নির্ণেয় মান 1331

Students Request : Math (Class 5 to 10) (Part - 2) 

প্রশ্নঃ {\color{Blue} \left ( 7.001-1 \right )\left ( 7.001+3 \right )\left ( 7.001-2 \right )\left ( 7.001-6 \right )+96=?}

সমাধানঃ 

\left ( 7.001-1 \right )\left ( 7.001+3 \right )\left ( 7.001-2 \right )\left ( 7.001-6 \right )+96

=6.001\times 10.001\times 5.001\times 1.001+96

=300.000000000001+96

 = 396 (উত্তর)

Students Request : Math (Class 5 to 10) (Part - 2) 

প্রশ্নঃ A ও B যথাক্রমে 3000 টাকা ও 5000 টাকা দিয়ে একটি ব্যবসা শুরু করল। 6 মাস পরে A ব্যবসায়ে আরও 4000 টাকা দিল কিন্তু ঐ সময় B 1000 টাকা তুলে নিল। এক বছরে 6175 টাকা লাভ হলে A ও B -এর লভ্যাংশ নির্ণয় করো। 

সমাধানঃ 

যেহেতু, 6 মাস পর A আরও 4000 টাকা মূলধন দেন, তাই 6 মাসের পর থেকে বাকি (12 − 6) অর্থাৎ, 6 মাস A এর মূলধনের পরিমাণ হবে

= (3000 + 4000) টাকা

= 7000 টাকা।

বছরের শেষে A -এর যে লভ্যাংশের পরিমাণ হবে, তা যদি প্রত্যেক মাসে পেতে চায় তবে A কে প্রতিমাসে ব্যবসায় মূলধন নিয়োগ করতে হবে

= (3000 × 6) + (7000 × 6)

= ( 18000 + 42000)

= 60000 টাকা

যেহেতু, 6 মাস পর B  1000 টাকা তুলে নিলেন, তাই B -এর মূলধনের পরিমাণ হবে = (5000 - 1000) টাকা = 4000 টাকা।

বছরের শেষে B -এর যে লভ্যাংশের পরিমাণ হবে, তা যদি প্রত্যেক মাসে পেতে চায় তবে B কে প্রতিমাসে ব্যবসায় মূলধন নিয়োগ করতে হবে

= (5000 × 6) + (4000 × 6) টাকা

=( 30000 + 24000 )

= 54000 টাকা।

A ও B -এর মূলধনের অনুপাত

= 60000 : 54000

= 60 : 54

= 10 : 9

এখন,

A এর মূলধনের অনুপাতিক ভাগহার

=\frac{10}{10+9}= \frac{10}{19} 

এবং B এর মূলধনের অনুপাতিক ভাগহার

=\frac{9}{10+9}= \frac{9}{19}  

মোট লভ্যাংশের পরিমাণ = 6175 টাকা

সুতরাং,

6175 টাকা থেকে A এর লভ্যাংশ হবে

=6175\times \frac{10}{19}=3250 টাকা

এবং B এর লভ্যাংশ হবে

=6175\times \frac{9}{19}=2925 টাকা।

উত্তরঃ নির্ণেয় A ও B -এর লভ্যাংশ যথাক্রমে 3250 টাকা ও 2925 টাকা। 

Students Request : Math (Class 5 to 10) (Part - 2) 

প্রশ্নঃ বছরের শুরুতে একটি যৌথ ব্যবসায় A ও B এর মূলধনের অনুপাত 2:3 এবং B ও C এর মূলধনের অনুপাত 4:5 ; বছরের শেষে C এর প্রাপ্য লভ্যাংশ 300 টাকা হলে A এর প্রাপ্য লভ্যাংশ কত হবে ?

সমাধানঃ 

প্রদত্ত,

A ও B এর মূলধনের অনুপাত 2:3

অর্থাৎ, \frac{A}{B}=\frac{2}{3}=\frac{2\times 4}{3\times 4}=\frac{8}{12}

এবং B ও C এর মূলধনের অনুপাত 4:5

অর্থাৎ, \frac{B}{C}=\frac{4}{5}=\frac{4\times 3}{5\times 3}=\frac{12}{15}

সুতরাং,

A : B : C = 8 : 12 : 15

ধরি, A এর লভ্যাংশ 8x

B  এর লভ্যাংশ 12x

ও C এর লভ্যাংশ 15x

প্রদত্ত, C এর প্রাপ্য লভ্যাংশ 300 টাকা। 

প্রশ্নানুসারে,

15x=300

বা,  x=\frac{300}{15}

\therefore x=20

A এর প্রাপ্য লভ্যাংশ = 8x = 8 × 20 = 160 টাকা।

উত্তরঃ নির্ণেয় A এর প্রাপ্য লভ্যাংশ 160 টাকা।

Students Request : Math (Class 5 to 10) (Part - 2) 

প্রশ্নঃ তিনটি ভিন্ন সংখ্যার মধ্যে দুটি করে নিয়ে গুন্ করলে গুনফল যথাক্রমে 42, 84 ও 72 হয়। সংখ্যা তিনটির ল.সা.গু কত ?

(A) 84

(B) 724

(C) 420

(D) 504

সমাধানঃ 

ধরি, সংখ্যা তিনটি যথাক্রমে a, b ও c

প্রশ্নানুসারে,

a × b = 42  .......(i)

b × c = 84  .......(ii)

c × a = 72  .......(iii)

এখন,

ab = 42

বা, \frac{72}{c}\times \frac{84}{c}=42  [(ii) ও (iii) নং সমীকরণ থেকে পাই ] 

বা, \frac{72\times 84}{42}=c^{2}

বা, 144=c^{2}

\therefore c=12

\therefore a=\frac{72}{12}=6b=\frac{84}{12}=7

6, 7 ও 12 সংখ্যা তিনটির ল.সা.গু = 6 × 7 ×2 = 84

উত্তর : (A) 84

Students Request : Math (Class 5 to 10) (Part - 2) 

প্রশ্নঃ সরল করুন :

{\color{Blue} \left ( \frac{\frac{1}{9}\times \frac{1}{9}+\frac{9}{10}\times \frac{9}{10}}{\frac{1}{9}\times \frac{1}{9}-\frac{9}{10}\times \frac{9}{10}}-\frac{\frac{1}{9}\times \frac{1}{9}-\frac{9}{10}\times \frac{9}{10}}{\frac{1}{9}\times \frac{1}{9}+\frac{9}{10}\times \frac{9}{10}} \right ) \div \left ( \frac{\frac{1}{9}+\frac{9}{10}}{\frac{1}{9}-\frac{9}{10}} -\frac{\frac{1}{9}-\frac{9}{10}}{\frac{1}{9}+\frac{9}{10}}\right )\times \left ( \frac{\frac{1}{9}}{\frac{9}{10}}+\frac{\frac{9}{10}}{\frac{1}{9}} \right )}

(A) 0

(B) {\color{Blue} \frac{81}{100}}

(C) 1

(D) 2

 

সমাধানঃ 

\left ( \frac{\frac{1}{9}\times \frac{1}{9}+\frac{9}{10}\times \frac{9}{10}}{\frac{1}{9}\times \frac{1}{9}-\frac{9}{10}\times \frac{9}{10}}-\frac{\frac{1}{9}\times \frac{1}{9}-\frac{9}{10}\times \frac{9}{10}}{\frac{1}{9}\times \frac{1}{9}+\frac{9}{10}\times \frac{9}{10}} \right ) \div \left ( \frac{\frac{1}{9}+\frac{9}{10}}{\frac{1}{9}-\frac{9}{10}} -\frac{\frac{1}{9}-\frac{9}{10}}{\frac{1}{9}+\frac{9}{10}}\right )\times \left ( \frac{\frac{1}{9}}{\frac{9}{10}}+\frac{\frac{9}{10}}{\frac{1}{9}} \right )

ধরি,

\frac{1}{9}=a,\frac{9}{10}=b

এখন,

\left ( \frac{a^{2}+b^{2}}{a^{2}-b^{2}}-\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}+b^{2}} \right )\div\left ( \frac{a+b}{a-b}-\frac{a-b}{a+b} \right )\times \left ( \frac{a}{b}+\frac{b}{a} \right )

=\left [ \frac{\left ( a^{2}+b^{2} \right )^{2}-\left ( a^{2}-b^{2} \right )^{2}}{\left ( a^{2}-b^{2} \right )\left ( a^{2}+b^{2} \right )} \right ]\div \left [ \frac{\left ( a+b \right )^{2}-\left ( a-b \right )^{2}}{\left ( a-b \right )\left ( a+b \right )} \right ]\times \left ( \frac{a^{2}+b^{2}}{ab} \right )

=\left [ \frac{4a^{2}b^{2}}{\left ( a^{2}-b^{2} \right )\left ( a^{2} +b^{2}\right )} \right ]\div \left [ \frac{4ab}{a^{2}-b^{2}} \right ]\times \left ( \frac{a^{2}+b^{2}}{ab} \right )

=\left [ \frac{4a^{2}b^{2}}{\left ( a^{2}-b^{2} \right )\left ( a^{2} +b^{2}\right )} \right ]\times \left [ \frac{a^{2}-b^{2}}{4ab} \right ]\times \left ( \frac{a^{2}+b^{2}}{ab} \right )

= 1

 উত্তর : (C) 1

Students Request : Math (Class 5 to 10) (Part - 2) 

প্রশ্নঃ 2 জন পূর্ণবয়স্ক ব্যক্তি ও 3 জন বালক কোনো একটি কাজের {\color{Blue} \frac{3}{4}} অংশ 6 দিনে সম্পন্ন করে। 3 জন পূর্ণবয়স্ক ব্যক্তি ও 5 জন বালক ওই কাজের {\color{Blue} \frac{19}{24}} অংশ 4 দিনে সম্পন্ন করে। একজন বালক কত সময়ে ওই কাজ সম্পন্ন করবে ?

সমাধানঃ 

ধরি, 1 জন ব্যক্তি একাকী x দিনে সমগ্র কাজটি (অর্থাৎ 1 অংশ) এবং একই পরিমান কাজটি শেষ করতে 1 জন বালকের y দিন সময় প্রয়োজন। 

সুতরাং,

1 জন ব্যক্তি x দিনে কাজটির  1 অংশ সম্পন্ন করে, 

1 জন ব্যক্তি 1 দিনে কাজটির  \frac{1}{x} অংশ সম্পন্ন করে,

2 জন ব্যক্তি 1 দিনে কাজটির  \frac{2}{x} অংশ সম্পন্ন করে,

2 জন ব্যক্তি 6 দিনে কাজটির =\frac{2}{x}\times 6=\frac{12}{x}  অংশ সম্পন্ন করে। 

একইভাবে, 3 জন বালক 6 দিনে কাজটির =\frac{3}{y}\times 6=\frac{18}{y} অংশ সম্পন্ন করে। 

আবার,

3 জন ব্যক্তি 4 দিনে কাজটির =\frac{3}{x}\times 4=\frac{12}{x}  অংশ সম্পন্ন করে। 

5 জন বালক 4 দিনে কাজটির =\frac{5}{y}\times 4=\frac{20}{y} অংশ সম্পন্ন করে। 

প্রশ্নানুযায়ী,

\frac{12}{x}+\frac{18}{y}=\frac{3}{4}.....(i)

\frac{12}{x}+\frac{20}{y}=\frac{19}{24}.....(ii)

[ (ii) − (i) করে পাই ]

\frac{12}{x}+\frac{20}{y}-\frac{12}{x}-\frac{18}{y}=\frac{19}{24}-\frac{3}{4}

বা, \frac{20}{y}-\frac{18}{y}=\frac{19}{24}-\frac{3}{4}

বা, \frac{20-18}{y}=\frac{19-18}{24}

বা, \frac{2}{y}=\frac{1}{24}

বা, y = 2 × 24

∴ y = 48

 উত্তরঃ একজন বালক 48 দিনে সম্পূর্ণ কাজ সম্পন্ন করবে। 

Students Request : Math (Class 5 to 10) (Part - 2)

Students Request : Math (Class 5 to 10) (Part - 2)

 

প্রশ্নঃ সরল করুন :

{\color{Blue} \frac{\left (\frac{1}{9}+\frac{1}{11} \right )\left (\frac{1}{9}+\frac{1}{11}-\frac{1}{13} \right )}{\frac{1}{9}\times \frac{1}{11} }+\frac{\left (\frac{1}{11}+\frac{1}{13} \right )\left (\frac{1}{11}+\frac{1}{13}-\frac{1}{9} \right )}{\frac{1}{11}\times \frac{1}{13} }+\frac{\left (\frac{1}{13}+\frac{1}{9} \right )\left (\frac{1}{13}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11} \right )}{\frac{1}{13}\times \frac{1}{9} }}

(A) 0

(B) 6

(C) 4

(D) 2

সমাধানঃ 

\frac{\left (\frac{1}{9}+\frac{1}{11} \right )\left (\frac{1}{9}+\frac{1}{11}-\frac{1}{13} \right )}{\frac{1}{9}\times \frac{1}{11} }+\frac{\left (\frac{1}{11}+\frac{1}{13} \right )\left (\frac{1}{11}+\frac{1}{13}-\frac{1}{9} \right )}{\frac{1}{11}\times \frac{1}{13} }+\frac{\left (\frac{1}{13}+\frac{1}{9} \right )\left (\frac{1}{13}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11} \right )}{\frac{1}{13}\times \frac{1}{9} }

 

ধরি, \frac{1}{9}=a,\frac{1}{11}=b,\frac{1}{13}=c

এখন,

\frac{\left (a+b \right )\left ( a+b-c \right )}{ab}+\frac{\left (b+c \right )\left ( b+c-a \right )}{bc}+\frac{\left (c+a \right )\left ( c+a-b \right )}{ca}

=\frac{c\left ( a+b \right )\left ( a+b-c \right )+a\left ( b+c \right )\left ( b+c-a \right )+b\left ( c+a \right )\left ( c+a-b \right )}{abc}

=\frac{a^{2}c+abc-ac^{2}+abc+b^{2}c-bc^{2}+ab^{2}+abc-a^{2}b+abc+ac^{2}-a^{2}c+bc^{2}+abc-b^{2}c+abc+a^{2}b-ab^{2}}{abc}

=\frac{6abc}{abc}

= 6

উত্তরঃ (B) 6

Students Request : Math (Class 5 to 10) (Part - 2)

Students Request : Math (Class 5 to 10) (Part - 2)

প্রশ্নঃ {\color{Blue} x=\frac{\sqrt{3}}{2}}  হলে,  {\color{Blue} \frac{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}}  -এর মান কত ?

সমাধানঃ 

\because x=\frac{\sqrt{3}}{2}

বা, x^{2}=\left ( \frac{\sqrt{3}}{2} \right )^{2}  [ বর্গ করে পাই ]

বা, x^{2}=\frac{3}{4}

বা, 1-x^{2}=1-\frac{3}{4}  [ 1 থেকে বিয়োগ করে পাই ]

বা, 1-x^{2}=\frac{4-3}{4}

\therefore 1-x^{2}=\frac{1}{4}{\color{Blue}\; ......\left ( i \right )}

 

এখন, 

\frac{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}

হরের করণী নিরসণ করে পাই-

=\frac{\left ( \sqrt{1+x}+\sqrt{1-x} \right )^{2}}{\left ( \sqrt{1+x}+\sqrt{1-x} \right )\left ( \sqrt{1+x}-\sqrt{1-x} \right )}

=\frac{\left ( \sqrt{1+x} \right )^{2}+\left ( \sqrt{1-x} \right )^{2}+2\sqrt{\left ( 1+x \right )\left ( 1-x \right )}}{\left ( \sqrt{1+x} \right )^{2}-\left ( \sqrt{1-x} \right )^{2}}

=\frac{1+x+1-x+2\sqrt{1-x^{2}}}{\left (1+x \right )-\left ( 1-x \right )}

=\frac{2+2\sqrt{1-x^{2}}}{1+x-1+x}

=\frac{2\left ( 1+\sqrt{1-x^{2}} \right )}{2x}

=\frac{1+\sqrt{1-x^{2}}}{x}

(1 − x²) এবং x -এর মান বসিয়ে পাই-

=\frac{1+\sqrt{\frac{1}{4}}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}

=\frac{\left (1+\frac{1}{2} \right )}{\left (\frac{\sqrt{3}}{2} \right )}

=\frac{\left (\frac{2+1}{2} \right )}{\left (\frac{\sqrt{3}}{2} \right )}

=\frac{\left (\frac{3}{2} \right )}{\left (\frac{\sqrt{3}}{2} \right )}

=\frac{3}{2}\div \frac{\sqrt{3}}{2}

=\frac{3}{2}\times \frac{2}{\sqrt{3}}

=\frac{3}{\sqrt{3}}

হরের করণী নিরসণ করে পাই-

=\frac{3}{\sqrt{3}}\times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}

=\frac{3\sqrt{3}}{3}

=\sqrt{3}  

উত্তরঃ নির্ণেয় {\color{DarkGreen} \frac{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}}  -এর মান  {\color{DarkGreen} \sqrt{3}}

Students Request : Math (Class 5 to 10) (Part - 2) 

প্রশ্নঃ {\color{Blue} 100000+10000+1000+100+10+1+\frac{1}{10}+\frac{1}{100}+\frac{1}{1000}+\frac{1}{10000}+\frac{1}{100000}=?}

(A) 11111.111111

(B) 111111.11111

(C) 111101.01111

(D) 101111.01101

সমাধানঃ 

100000+10000+1000+100+10+1+\frac{1}{10}+\frac{1}{100}+\frac{1}{1000}+\frac{1}{10000}+\frac{1}{100000}

=111111+0.1+0.01+0.001+0.0001+0.00001

=111111+0.11111

=111111.11111

উত্তরঃ (B) 111111.11111

Students Request : Math (Class 5 to 10) (Part - 2) 

প্রশ্নঃ {\color{Blue} \left ( 4\frac{3}{29} \right )\times \left ( 4\frac{3}{29} \right )^{2}+3\times \left ( 4\frac{3}{29} \right )^{2}\times 6\frac{26}{29}+3\times \left ( 4\frac{3}{29} \right )\times \left (6\frac{26}{29} \right )^{2}+\left (6\frac{26}{29} \right )^{2}\times \left ( 6\frac{26}{29} \right )=?}

সমাধানঃ 

\left ( 4\frac{3}{29} \right )\times \left ( 4\frac{3}{29} \right )^{2}+3\times \left ( 4\frac{3}{29} \right )^{2}\times 6\frac{26}{29}+3\times \left ( 4\frac{3}{29} \right )\times \left (6\frac{26}{29} \right )^{2}+\left (6\frac{26}{29} \right )^{2}\times \left ( 6\frac{26}{29} \right )

=\left ( 4\frac{3}{29} \right )^{3}+3\times \left ( 4\frac{3}{29} \right )^{2}\times 6\frac{26}{29}+3\times \left ( 4\frac{3}{29} \right )\times \left (6\frac{26}{29} \right )^{2}+\left (6\frac{26}{29} \right )^{3}

=\left ( 4\frac{3}{29}+6\frac{26}{29} \right )^{3}{\color{Blue} \left [ \because a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}=\left ( a+b \right )^{3} \right ]}

=\left ( 4+\frac{3}{29}+6+\frac{26}{29} \right )^{3}{\color{Blue} \left [\because a\frac{b}{c}=a+\frac{b}{c} \right ]}

=10+\frac{3+26}{29}

=10+\frac{29}{29}

=11

উত্তরঃ নির্ণেয় সরলতম মান 11 

Students Request : Math (Class 5 to 10) (Part - 2) 

প্রশ্নঃ In a 180 liter mixture there is 16.66% alcohol and remaining water. How much alcohol must be added so that the new mixture will contain 62.5% alcohol in it ?

সমাধানঃ 

Quantity of alcohol in 180 lit is =180\times \frac{16.66}{100}=180\times \frac{1666}{100\times 100}=29.988 lit.

Now, let, quantity of alcohol to be added be x lit.

∴ Now, quantity of alcohol = ( 29.988 + x ) lit.

Total quantity of mixture become = ( 180 + x ) lit.

ATP,

\frac{29.988+x}{180+x}\times 100=62.5

\Rightarrow 2998.8+100x=62.5\left ( 180+x \right )

\Rightarrow 100x-62.5x=11250-2998.8

\Rightarrow 37.5x=18748.8

\Rightarrow x=\frac{18748.8}{37.5}

\therefore x=499.968\simeq 500 lit.

Answer : 500 lit. alcohol must be added 

Students Request : Math (Class 5 to 10) (Part - 2) 

প্রশ্নঃ 48 টি সন্দেশ ও 64 টি রসগোল্লা না ভেঙে সমান ভাবে কত বেশি জন কে দেয়া যেতে পারে ?

সমাধানঃ 

48 কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করলে হয় = 2 × 2 × 2 × 2 × 3

64 কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করলে হয় = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2

∴ 48 ও 64 এর গ.সা. গু = 16

উত্তরঃ নির্ণেয় 48 টি সন্দেশ ও 64 টি রসগোল্লা না ভেঙে সমান ভাবে 16 জন কে দেয়া যেতে পারে। 

Students Request : Math (Class 5 to 10) (Part - 2) 

প্রশ্নঃ একজন ঝাড়ুদার এই চুক্তিতে নিযুক্ত হল যে,যে দিন সে কাজ করবে সে দিনের মজুরি 50 টাকা করে পাবে। কিন্তু যে দিন সে অনুপস্থিত থাকবে সে দিন মজুরি তো পাবেই না বরং 10 টাকা করে জরিমানা দিতে হবে 30 দিন পর সে 1140 টাকা পেল। সে কত দিন অনুপস্থিত ছিল ?

(A) 9 দিন

(B) 5 দিন

(C) 4 দিন

(D) 6 দিন

সমাধানঃ 

30 দিন পুরো কাজ করলে ঝাড়ুদার মোট টাকা পেত = 30 × 50 = 1500 টাকা। 

কিন্তু সে কিছু দিন অনুপস্থিত থাকায় মোট পেয়েছে = 1140 টাকা। 

∴ অনুপস্থিতির জন্য টাকা কাটা হয়েছে = ( 1500 - 1140 ) টাকা = 360 টাকা। 

যেদিন গুলি সে অনুপস্থিত ছিল, সেই দিনগুলির প্রত্যেকটি দিনের জন্য  মাইনে কাটা হয়েছে = একদিনের দিনের মাইনে + একদিনের জরিমানা = ( 50 + 10 ) টাকা = 60 টাকা করে। 

∴ সে অনুপস্থিত ছিল =\frac{360}{60}=6 দিন। 

উত্তরঃ (D) 6 দিন। 

Students Request : Math (Class 5 to 10) (Part - 2)

Students Request : Math (Class 5 to 10) (Part - 2)

প্রশ্নঃ X এবং Y - এর দূরত্ব 270 কিমি।  9 টায়  A, X থেকে  Y - এর দিকে এবং B, Y থেকে X - এর দিকে যেতে শুরু করে। যদি A এবং  B - এর গতিবেগ যথাক্রমে ঘন্টায় 50 কিমি এবং ঘন্টায় 40 কিমি হয়, তবে কখন তাদের সাক্ষাৎ হবে ? 

(A) সকাল 11 টায়  

(B) দুপুর 12 টায় 

(C) দুপুর 1 টায় 

(D) দুপুর 2 টায় 

সমাধানঃ 

প্রদত্ত,

A  - এর গতিবেগ ঘন্টায় 50 কিমি

এবং B - এর গতিবেগ ঘন্টায় 40 কিমি। 

X এবং Y - এর দূরত্ব 270 কিমি।

∴ A এবং  B - এর সাক্ষাৎ হবে

= ( অতিক্রান্ত দূরত্ব ÷ মোট গতিবেগ )

  =\frac{270}{50+40}=\frac{270}{90}=3 ঘন্টা পর। 

অর্থাৎ,সকাল 9 টা + 3 ঘন্টা = দুপুর 12 টা

উত্তরঃ (B) দুপুর 12 টায় । 

Students Request : Math (Class 5 to 10) (Part - 2)

Students Request : Math (Class 5 to 10) (Part - 2) 

প্রশ্নঃ A, B ও C  একাকী একটি কাজ যথাক্রমে 20 দিন, 24 দিন ও 30 দিনে শেষ করতে পারে। তারা কাজটি 5400 টাকায় করতে সম্মত হল এবং তারা একসঙ্গে কাজটি শুরু করল।কিন্তু কাজ শেষ হওয়ার 2 দিন আগে B এবং কাজটি শেষ হওয়ার 5 দিন আগে C কাজ ছেড়ে চলে গেল। বাকি কাজ A শেষ করল। তাহলে কাজটি করার জন্য A কত টাকা পাবে ?

(A) 2700 টাকা

(B) 5400 টাকা

(C) 1600 টাকা

(D) 3600 টাকা

সমাধানঃ 

A         B         C

20       24       30

           120 ( 20, 24 ও 30 এর ল.সা.গু = মোট কাজ )

6          5          4 ( প্রত্যেকের একদিনের কাজ )

( A + B + C ) একদিনে মোট কাজ করে

= ( 6 + 5 + 4 )

= 15 একক 

যেহেতু,কাজ শেষ হওয়ার 2 দিন আগে B এবং কাজটি শেষ হওয়ার 5 দিন আগে C কাজ ছেড়ে চলে গেল।

অর্থাৎ, শেষ 2 দিন A একা কাজ করেছে। 

সুতরাং,

শেষ 2 দিন A একা কাজ করেছে

= 2 × 6

= 12 একক 

এবং C চলে যাওয়ার পর দিন A ও B একত্রে কাজ করে

= ( 5 - 2 ) দিন

= 3 দিন

∴ 3 দিনে A ও B একত্রে কাজ করেছে

= 3 × ( 6 + 5 ) = 3 × 11

= 33 একক 

বাকি কাজ

= 120 - ( 12 + 33 ) একক

= 120 - 45

= 75 একক

75 একক কাজ ( A + B  + C ) একত্রে করে

=\frac{75}{6+5+4}=\frac{75}{15}=5 দিনে। 

∴ A কাজ করে মোট = ( 5 + 3 + 2 ) = 10 দিন,

B কাজ করে মোট = ( 5 + 3  ) = 8 দিন 

এবং C কাজ করে মোট = 5  দিন।

অর্থাৎ, A এর কাজের পরিমান = 10 × 6 = 60 একক,

B এর কাজের পরিমান = 8 × 5 = 40 একক

এবং C এর কাজের পরিমান = 5 × 4 = 20 একক

A,B ও C এর কাজের পরিমানের অনুপাত

= 60 : 40 : 20

= 3 : 2 : 1

∴ A পাবে 5400\times \frac{3}{3+2+1}=5400\times \frac{3}{6}=2700 টাকা

উত্তরঃ (A) 2700 টাকা

Students Request : Math (Class 5 to 10) (Part - 2)

Students Request : Math (Class 5 to 10) (Part - 2)

প্রশ্নঃ 101001.01011 = ?

সমাধানঃ 

101001.01011 

=100000+1000+1+0.01011

=100000+1000+1+\frac{1}{100}+\frac{1}{10000}+\frac{1}{100000}  (উত্তর) 

Students Request : Math (Class 5 to 10) (Part - 2) 

প্রশ্নঃ In a triangle ABC, AB = AC = 20 cm. ∠BAC = 30° .What will be the area of the triangle ?

সমাধানঃ 

The area of the triangle is

=\frac{AB\times AC\times sinBAC}{2}

=\frac{20\times 20\times sin30^{\circ}}{2}

=\frac{400\times \frac{1}{2}}{2}

=\frac{200}{2}

= 100 sq. cm. (Answer)  

Students Request : Math (Class 5 to 10) (Part - 2)

Students Request : Math (Class 5 to 10) (Part - 2)

Thank You

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

Insert math as
Block
Inline
Additional settings
Formula color
Text color
#333333
Type math using LaTeX
Preview
\({}\)
Nothing to preview
Insert
error: Content is protected !!