বীজগণিতের সূত্র

বীজগণিতের সাধারণ সূত্র সমূহ

সূত্র – 1 : $\small \left ( a+b \right )^{2}$ -এর দুটি সূত্র আছে,

$\small 1)\; a^{2}+2ab+b^{2}$

$\small 2)\; \left (a-b \right )^{2}+4ab$

সূত্র – 2 : $\small \left ( a-b \right )^{2}$ -এর দুটি সূত্র আছে,

$\small 1)\; a^{2}-2ab+b^{2}$

$\small 2)\; \left (a+b \right )^{2}-4ab$

সূত্র – 3 : $\small \left ( a+b \right )^{3}$ -এর দুটি সূত্র আছে,

$\small 1)\; a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}$

$\small 2)\; a^{3}+b^{3}+3ab(a+b)$

সূত্র – 4 : $\small \left ( a-b \right )^{3}$ -এর দুটি সূত্র আছে,

$\small 1)\; a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}$

$\small 2)\; a^{3}-b^{3}-3ab(a-b)$

সূত্র – 5 : $\small \left (a^{2}+b^{2} \right )$ -এর তিনটি সূত্র আছে,

$\small 1)\; \left ( a+b \right )^{2}-2ab$

$\small 2)\; \left ( a-b \right )^{2}+2ab$

$\small 3)\; \frac{1}{2}\left [\left ( a+b \right )^{2}+\left ( a-b \right )^{2} \right ]$

সূত্র – 6 : $\small \left (a^{2}-b^{2} \right )$ -এর একটি সূত্র আছে,

$\small 1)\; \left ( a+b \right )\left ( a-b \right )$

সূত্র – 7 : $\small a^{3}+b^{3}$ -এর দুটি সূত্র আছে,

$\small 1)\; \left ( a+b \right )^{3}-3ab\left ( a+b \right )$

$\small 2)\; \left ( a+b \right )\left ( a^{2}-ab+b^{2} \right )$

সূত্র -8 : $\small a^{3}-b^{3}$ -এর দুটি সূত্র আছে,

$\small 1)\; \left ( a-b \right )^{3}+3ab\left ( a-b \right )$

$\small 2)\; \left ( a-b \right )\left ( a^{2}+ab+b^{2} \right )$

সূত্র – 9 : $\small 4ab$ -এর একটি সূত্র আছে,

$\small 1)\; \left ( a+b \right )^{2}-\left ( a-b \right )^{2}$

সূত্র – 10 : $\small ab$ -এর একটি সূত্র আছে,

$\small 1)\; \left ( \frac{a+b}{2} \right )^{2}-\left ( \frac{a-b}{2} \right )^{2}$

সূত্র – 11 : $\small \left ( a+b+c \right )^{2}$ -এর একটি সূত্র আছে,

$\small 1)\; a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ca$

সূত্র – 12 : $\small a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc$ -এর দুটি সূত্র আছে,

$\small 1)\; \left ( a+b+c \right )\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca \right )$

$\small 2)\; \frac{1}{2}\left [\left ( a+b+c \right )\left \{ \left ( a-b \right )^{2}+\left ( b-c \right )^{2}+\left ( c-a \right )^{2} \right \} \right ]$

সমাধানঃ গণিত প্রকাশ – X

সূচক

সূত্র – 1 : $\small a^{m}\times a^{n}\Leftrightarrow a^{m+n}$

[যেখানে, a হলো যে কোনো বাস্তব সংখ্যা এবং m ও n হলো যে কোনো ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা]

সূত্র – 2 : $\small a^{m}\div a^{n}$ বা $\small \frac{a^{m}}{a^{n}}\Leftrightarrow a^{m-n}$

[যেখানে, a হলো শুন্য ছাড়া যে কোনো বাস্তব সংখ্যা এবং m ও n হলো যে কোনো ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা]

সূত্র – 3 : $\small \left ( a^{m} \right )^{n}\Leftrightarrow \left ( a^{n} \right )^{m}\Leftrightarrow a^{m\times n}$

[যেখানে, a হলো যে কোনো বাস্তব সংখ্যা এবং m ও n হলো যে কোনো ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা]

সূত্র – 4 : $\small \left ( ab \right )^{m}\Leftrightarrow a^{m}\times b^{m}$

[যেখানে, a ও b হলো যে কোনো বাস্তব সংখ্যা এবং m ও n হলো যে কোনো ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা]

সূত্র – 5 : $\small \left (\frac{a}{b} \right )^{m}\Leftrightarrow \frac{a^{m}}{b^{m}}$

[যেখানে, a ও b (b ≠ 0) হলো বাস্তব সংখ্যা এবং m ও n হলো যে কোনো ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা]

সূত্র – 6 : $\small a^{-1}\Leftrightarrow \frac{1}{a}$

[যেখানে, a হলো শুন্য ছাড়া যে কোনো বাস্তব সংখ্যা]

সূত্র – 7 : $\small a^{-m}\Leftrightarrow \frac{1}{a^{m}}$

[যেখানে, a হলো শুন্য ছাড়া যে কোনো বাস্তব সংখ্যা এবং m হলো যে কোনো ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা]

সূত্র – 8 : $\small a^{m}\Leftrightarrow \frac{1}{a^{-m}}$

সূত্র – 9 : $\small a^{\frac{m}{n}}\Leftrightarrow \sqrt[n]{a^{m}}$

[যেখানে, a হলো শুন্য ছাড়া যে কোনো বাস্তব সংখ্যা এবং m ও n (n ≠ 0) হলো যে কোনো ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা]

সূত্র – 10 : $\small a^{0}=1$

[যেখানে, a হলো শুন্য ছাড়া যে কোনো বাস্তব সংখ্যা]

সূত্র – 11 : যদি $\small a^{m}=b^{n}$ হয়, তবে $\small a=\left ( b^{n} \right )^{\frac{1}{m}}$ হবে।

[যেখানে, a ও b হলো যে কোনো বাস্তব সংখ্যা এবং m (m ≠ 0) ও n হলো যে কোনো ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা]

সূত্র – 12 : যদি $\small a^{m}=a^{n}$ হয়, তবে $\small m=n$ হবে।

[যেখানে, a ও b হলো শুন্য ছাড়া যে কোনো বাস্তব সংখ্যা এবং m ও n হলো যে কোনো ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা]

সূত্র – 13 : যদি $\small a^{m}=b^{m}$ হয়, তবে $\small a=b$ হবে।

[যেখানে, a ও b হলো শুন্য ছাড়া যে কোনো বাস্তব সংখ্যা এবং m হলো শুন্য ছাড়া যে কোনো ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা]

সূত্র – 14 : যদি $\small \left (\frac{a}{b} \right )^{m}=1$ হয়, তবে $\small m=0$ হবে।

[যেখানে, a ও b শুন্য ছাড়া হলো যে কোনো বাস্তব সংখ্যা]

সূত্র – 15 : যদি $\small \left (a\cdot b \right )^{m}=1$ হয়, তবে $\small m=0$ হবে।

[যেখানে, a ও b শুন্য ছাড়া হলো যে কোনো বাস্তব সংখ্যা]

সমাধানঃ গণিত প্রকাশ – X

অনুপাত ও সমানুপাত

সূত্র – 1 : a : b অনুপাতের প্রথম পদ অর্থ্যাৎ, a কে পূর্বপদ (Antecedent) এবং শেষ পদ অর্থ্যাৎ, b কে উত্তরপদ (Consequent) বলা হয়।

যেমনঃ 3 : 5 অনুপাতের পূর্বপদ হলো 3 এবং উত্তরপদ হলো 5

সূত্র – 2 : a : b অনুপাতটি যদি এমন হয় যে a = b , তাহলে a : b অনুপাতটিকে সম্যানুপাত (raito of equality) বলা হবে।

যেমনঃ 3 : 3 অথবা 1 : 1 হলো সামান্যুপাতের উদাহরণ।

সূত্র – 3 : a : b অনুপাতটি যদি এমন হয় যে a ≠ b , তাহলে a : b অনুপাতটিকে বৈষাম্যানুপাত (raito of inequality) বলা হবে।

যেমনঃ 2 : 3 অথবা 1 : 4 হলো বৈষাম্যানুপাতের উদাহরণ।

সূত্র – 4 : যদি a : b অনুপাতের পূর্বপদ > উত্তরপদ অর্থ্যাৎ, a > b হয়, তাহলে a : b অনুপাতটির মান 1 -এর থেকে বেশি হবে এবং তখন a : b অনুপাতটিকে বলা হবে “গুরু অনুপাত” (ratio of greater inequality)।

যেমনঃ 5 : 3 অনুপাতের পূর্বপদ > উত্তরপদ অর্থ্যাৎ, 5 > 3, তাই 5 : 3 অনুপাতের মান 1 -এর থেকে বেশি এবং এই কারণে 5 : 3 অনুপাতটি হবে গুরু অনুপাত।

সূত্র – 5 : যদি a : b অনুপাতের পূর্বপদ < উত্তরপদ অর্থ্যাৎ, a < b হয়, তাহলে a : b অনুপাতটির মান 1 -এর থেকে কম হবে এবং তখন a : b অনুপাতটিকে বলা হবে “লঘু অনুপাত” (ratio of less inequality)।

যেমনঃ 5 : 7 অনুপাতের পূর্বপদ < উত্তরপদ অর্থ্যাৎ, 5 < 7, তাই 5 : 7 অনুপাতের মান 1 -এর থেকে কম এবং এই কারণে 5 : 7 অনুপাতটি হবে লঘু অনুপাত।

∗সূত্র – 6 : a : b অনুপাতের ব্যস্ত অনুপাত বা বিপরীত অনুপাত হলো b : a

যেমনঃ 5 : 7 অনুপাতের ব্যস্ত অনুপাত হলো 7 : 5

∗∗সূত্র – 7 : a : b; c : d এবং e : f -এর মিশ্র অনুপাত (Mixed Ratio) বা যৌগিক অনুপাত (Compound Ratio) হলো (a × c × e) : (b × d × f)

যেমনঃ 5 : 7; 3 : 8 এবং 2 : 5 -এর যৌগিক অনুপাত হলো (5 × 3 × 2) : (7 × 8 × 5) অর্থ্যাৎ, 30 : 280 = 3 : 28

সূত্র – 8 : a : b অনুপাতের দ্বিতীয়ক (Duplicate) হলো $\dpi{100} \small a^{2}:b^{2}$

যেমনঃ 2 : 3 অনুপাতের দ্বিতীয়ক হলো $\small 2^{2}:3^{2}$ অর্থ্যাৎ, 4 : 9

সূত্র – 9 : a : b অনুপাতের তৃতীয়ক (Triplicate) হলো $\dpi{100} \small a^{3}: b^{3}$

যেমনঃ 2 : 3 অনুপাতের তৃতীয়ক হলো $\dpi{100} \small 2^{3}:3^{3}$ অর্থ্যাৎ, 8 : 27

∗∗সূত্র – 10 : a, b, c ও d বাস্তব সংখ্যা চারটির (b, d ≠ 0) মধ্যে প্রথম দুটি সংখ্যার অনুপাত (অর্থ্যাৎ, a : b) ও শেষের দুটি সংখ্যার অনুপাত (অর্থ্যাৎ, c : d) যদি সমান হয়, তাহলে a, b, c ও d সংখ্যাগুলিকে বলা হবে সমানুপাতী বা a, b, c ও d সংখ্যাগুলিকে বলা হবে সমানুপাতে আছে এবং সংখ্যাগুলিকে a : b : : c : d বা a : b = c : d এইভাবে লিখতে হয়।

a ও d পদ দুটিকে বলা হয় প্রান্তীয় পদ (Extremes); d কে বলা হয় চতুর্থ সমানুপাত বা চতুর্থ পদ এবং b ও c পদ দুটিকে বলা হয় মধ্যপদ (Means)

যেমনঃ 4, 16, 5 ও 20 বাস্তব সংখ্যা চারটিকে বলা হয় সমানুপাতী। কারণ এক্ষেত্রে $\small \frac{4}{16}=\frac{5}{20}$ ; তাই 4, 16, 5 ও 20 বাস্তব সংখ্যা চারটিকে লেখা যায় 4 : 16 : : 5 : 20

সমাধানঃ গণিত প্রকাশ – X

বীজগণিতের সূত্র

বীজগণিতের সূত্র