Wed. Apr 24th, 2024

বীজগণিতের সূত্র

বীজগণিতের সূত্র

বীজগণিতের সাধারণ সূত্র সমূহ

সূত্র – 1 : \small \left ( a+b \right )^{2} -এর দুটি সূত্র আছে,

\small 1)\; a^{2}+2ab+b^{2}

\small 2)\; \left (a-b \right )^{2}+4ab

 

সূত্র – 2 : \small \left ( a-b \right )^{2} -এর দুটি সূত্র আছে,

\small 1)\; a^{2}-2ab+b^{2}

\small 2)\; \left (a+b \right )^{2}-4ab

 

সূত্র – 3 : \small \left ( a+b \right )^{3} -এর দুটি সূত্র আছে,

\small 1)\; a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}

\small 2)\; a^{3}+b^{3}+3ab(a+b)

 

সূত্র – 4 : \small \left ( a-b \right )^{3} -এর দুটি সূত্র আছে,

\small 1)\; a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}

\small 2)\; a^{3}-b^{3}-3ab(a-b)

 

সূত্র – 5 : \small \left (a^{2}+b^{2} \right ) -এর তিনটি সূত্র আছে,

\small 1)\; \left ( a+b \right )^{2}-2ab

\small 2)\; \left ( a-b \right )^{2}+2ab

\small 3)\; \frac{1}{2}\left [\left ( a+b \right )^{2}+\left ( a-b \right )^{2} \right ]

 

সূত্র – 6 : \small \left (a^{2}-b^{2} \right ) -এর একটি সূত্র আছে,

\small 1)\; \left ( a+b \right )\left ( a-b \right )

 

সূত্র – 7 : \small a^{3}+b^{3} -এর দুটি সূত্র আছে,

\small 1)\; \left ( a+b \right )^{3}-3ab\left ( a+b \right )

\small 2)\; \left ( a+b \right )\left ( a^{2}-ab+b^{2} \right )

 

সূত্র -8 : \small a^{3}-b^{3} -এর দুটি সূত্র আছে,

\small 1)\; \left ( a-b \right )^{3}+3ab\left ( a-b \right )

\small 2)\; \left ( a-b \right )\left ( a^{2}+ab+b^{2} \right )

 

সূত্র – 9 : \small 4ab -এর একটি সূত্র আছে,

\small 1)\; \left ( a+b \right )^{2}-\left ( a-b \right )^{2}

 

সূত্র – 10 : \small ab -এর একটি সূত্র আছে,

\small 1)\; \left ( \frac{a+b}{2} \right )^{2}-\left ( \frac{a-b}{2} \right )^{2}

 

সূত্র – 11 : \small \left ( a+b+c \right )^{2} -এর একটি সূত্র আছে,

\small 1)\; a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ca

 

সূত্র – 12 : \small a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc -এর দুটি সূত্র আছে,

\small 1)\; \left ( a+b+c \right )\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca \right )

\small 2)\; \frac{1}{2}\left [\left ( a+b+c \right )\left \{ \left ( a-b \right )^{2}+\left ( b-c \right )^{2}+\left ( c-a \right )^{2} \right \} \right ]

সমাধানঃ গণিত প্রকাশ – X

সূচক

সূত্র – 1 : \small a^{m}\times a^{n}\Leftrightarrow a^{m+n}

[যেখানে,  a  হলো যে কোনো বাস্তব সংখ্যা এবং   n  হলো যে কোনো ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা]

 

সূত্র – 2 : \small a^{m}\div a^{n}  বা  \small \frac{a^{m}}{a^{n}}\Leftrightarrow a^{m-n}    

[যেখানে,  a  হলো শুন্য ছাড়া যে কোনো বাস্তব সংখ্যা এবং   n  হলো যে কোনো ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা]

 

সূত্র – 3 : \small \left ( a^{m} \right )^{n}\Leftrightarrow \left ( a^{n} \right )^{m}\Leftrightarrow a^{m\times n}    

[যেখানে,  a  হলো যে কোনো বাস্তব সংখ্যা এবং   n  হলো যে কোনো ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা]

 

সূত্র – 4 : \small \left ( ab \right )^{m}\Leftrightarrow a^{m}\times b^{m}    

[যেখানে,  a  ও  b  হলো  যে কোনো বাস্তব সংখ্যা এবং   n  হলো যে কোনো ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা]

 

সূত্র – 5 : \small \left (\frac{a}{b} \right )^{m}\Leftrightarrow \frac{a^{m}}{b^{m}}    

[যেখানে,  a  ও  b (b ≠ 0) হলো  বাস্তব সংখ্যা এবং   n  হলো যে কোনো ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা]

 

সূত্র – 6 : \small a^{-1}\Leftrightarrow \frac{1}{a}    

[যেখানে,  a  হলো শুন্য ছাড়া যে কোনো বাস্তব সংখ্যা]

 

সূত্র – 7 : \small a^{-m}\Leftrightarrow \frac{1}{a^{m}}    

[যেখানে,  a  হলো শুন্য ছাড়া যে কোনো বাস্তব সংখ্যা এবং  হলো যে কোনো ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা]

 

সূত্র – 8 : \small a^{m}\Leftrightarrow \frac{1}{a^{-m}}  

[যেখানে,  a  হলো শুন্য ছাড়া যে কোনো বাস্তব সংখ্যা এবং  হলো যে কোনো ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা]

 

সূত্র – 9 : \small a^{\frac{m}{n}}\Leftrightarrow \sqrt[n]{a^{m}}   

[যেখানে,  a  হলো শুন্য ছাড়া যে কোনো বাস্তব সংখ্যা এবং  ও  n  (n ≠ 0) হলো যে কোনো ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা]

 

সূত্র – 10 : \small a^{0}=1     

[যেখানে,  a  হলো শুন্য ছাড়া যে কোনো বাস্তব সংখ্যা]

 

সূত্র – 11 : যদি  \small a^{m}=b^{n}  হয়, তবে   \small a=\left ( b^{n} \right )^{\frac{1}{m}}  হবে। 

[যেখানে,  a  ও  b হলো যে কোনো বাস্তব সংখ্যা  এবং  m (m ≠ 0) ও  n  হলো যে কোনো ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা]

 

সূত্র – 12 : যদি  \small a^{m}=a^{n}  হয়, তবে  \small m=n  হবে। 

[যেখানে,  a  ও  b হলো শুন্য ছাড়া যে কোনো বাস্তব সংখ্যা  এবং  m   n  হলো যে কোনো ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা]

 

সূত্র – 13 : যদি  \small a^{m}=b^{m}  হয়, তবে  \small a=b  হবে। 

[যেখানে,  a  ও  b হলো শুন্য ছাড়া যে কোনো বাস্তব সংখ্যা  এবং  m  হলো শুন্য ছাড়া যে কোনো ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা]

 

সূত্র – 14 : যদি  \small \left (\frac{a}{b} \right )^{m}=1  হয়, তবে  \small m=0  হবে। 

[যেখানে,  a  ও  b  শুন্য ছাড়া হলো যে কোনো বাস্তব সংখ্যা]

 

সূত্র – 15 : যদি  \small \left (a\cdot b \right )^{m}=1  হয়, তবে  \small m=0  হবে। 

[যেখানে,  a  ও  b  শুন্য ছাড়া হলো যে কোনো বাস্তব সংখ্যা]

সমাধানঃ গণিত প্রকাশ – X

অনুপাত ও সমানুপাত 

সূত্র – 1 : a : b  অনুপাতের প্রথম পদ অর্থ্যাৎ,  a  কে পূর্বপদ (Antecedent) এবং শেষ পদ অর্থ্যাৎ,  b  কে উত্তরপদ (Consequent) বলা হয়। 

যেমনঃ 3 : 5 অনুপাতের পূর্বপদ হলো  3  এবং  উত্তরপদ হলো  5

 

সূত্র – 2 : a : b  অনুপাতটি যদি এমন হয় যে  a = b , তাহলে  a : b  অনুপাতটিকে সম্যানুপাত (raito of equality) বলা হবে। 

যেমনঃ 3 : 3  অথবা  1 : 1  হলো সামান্যুপাতের উদাহরণ।

 

সূত্র – 3 : a : b  অনুপাতটি যদি এমন হয় যে  ab , তাহলে  a : b  অনুপাতটিকে বৈষাম্যানুপাত (raito of inequality) বলা হবে। 

যেমনঃ 2 : 3  অথবা  1 : 4  হলো বৈষাম্যানুপাতের উদাহরণ।

 

সূত্র – 4 : যদি  a : b  অনুপাতের  পূর্বপদ > উত্তরপদ অর্থ্যাৎ,  a > b  হয়, তাহলে  a : b  অনুপাতটির মান  1  -এর থেকে বেশি হবে এবং তখন  a : b  অনুপাতটিকে বলা হবে “গুরু অনুপাত” (ratio of greater inequality)। 

যেমনঃ 5 : 3  অনুপাতের পূর্বপদ > উত্তরপদ অর্থ্যাৎ,  5 > 3, তাই   5 : 3  অনুপাতের মান  1  -এর থেকে বেশি এবং এই কারণে  5 : 3  অনুপাতটি হবে গুরু অনুপাত।

 

সূত্র – 5 : যদি  a : b  অনুপাতের  পূর্বপদ < উত্তরপদ  অর্থ্যাৎ,  a < b  হয়, তাহলে  a : b  অনুপাতটির মান  1  -এর থেকে কম হবে এবং তখন  a : b  অনুপাতটিকে বলা হবে “লঘু অনুপাত” (ratio of less inequality)। 

যেমনঃ 5 : 7  অনুপাতের পূর্বপদ < উত্তরপদ অর্থ্যাৎ,  5 < 7, তাই   5 : 7  অনুপাতের মান  1  -এর থেকে কম এবং এই কারণে  5 : 7  অনুপাতটি হবে লঘু অনুপাত। 

 

∗সূত্র – 6 : a : b  অনুপাতের ব্যস্ত অনুপাত বা বিপরীত অনুপাত হলো  b : a

যেমনঃ 5 : 7  অনুপাতের ব্যস্ত অনুপাত হলো  7 : 5

 

∗∗সূত্র – 7 : a : bc : d  এবং  e : f  -এর মিশ্র অনুপাত (Mixed Ratio) বা যৌগিক অনুপাত (Compound Ratio) হলো  (a × c × e) :  (b × d × f)

যেমনঃ 5 : 7;  3 : 8  এবং  2 : 5 -এর যৌগিক অনুপাত হলো  (5 × 3 × 2) :  (7 × 8 × 5)  অর্থ্যাৎ,  30 : 280 = 3 : 28

 

সূত্র – 8 : a : b  অনুপাতের দ্বিতীয়ক (Duplicate) হলো \dpi{100} \small a^{2}:b^{2}

যেমনঃ 2 : 3 অনুপাতের দ্বিতীয়ক হলো  \small 2^{2}:3^{2}  অর্থ্যাৎ,  4 : 9

 

সূত্র – 9 : a : b  অনুপাতের তৃতীয়ক (Triplicate) হলো  \dpi{100} \small a^{3}: b^{3} 

যেমনঃ 2 : 3 অনুপাতের তৃতীয়ক হলো  \dpi{100} \small 2^{3}:3^{3} অর্থ্যাৎ,  8 : 27

 

∗∗সূত্র – 10 : a, b, c  ও  d  বাস্তব সংখ্যা চারটির (b, d ≠ 0) মধ্যে প্রথম দুটি সংখ্যার অনুপাত (অর্থ্যাৎ, a : b) ও শেষের দুটি সংখ্যার অনুপাত (অর্থ্যাৎ, c : d) যদি সমান হয়, তাহলে  a, b, c  ও  d  সংখ্যাগুলিকে বলা হবে সমানুপাতী বা  a, b, c  ও  d  সংখ্যাগুলিকে বলা হবে সমানুপাতে আছে এবং সংখ্যাগুলিকে  a : b : : c : d  বা  a : b = c : d  এইভাবে লিখতে হয়। 

a  ও  পদ দুটিকে বলা হয় প্রান্তীয় পদ (Extremes);  d কে বলা হয় চতুর্থ সমানুপাত বা চতুর্থ পদ এবং  b  ও  c  পদ দুটিকে বলা হয় মধ্যপদ (Means)

যেমনঃ 4, 16, 5  ও  20 বাস্তব সংখ্যা চারটিকে বলা হয় সমানুপাতী। কারণ এক্ষেত্রে  \small \frac{4}{16}=\frac{5}{20} ; তাই  4, 16, 5  ও  20 বাস্তব সংখ্যা চারটিকে লেখা যায়  4 : 16 : : 5 : 20

সমাধানঃ গণিত প্রকাশ – X

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

Insert math as
Block
Inline
Additional settings
Formula color
Text color
#333333
Type math using LaTeX
Preview
\({}\)
Nothing to preview
Insert
error: Content is protected !!