Koshe Dekhi 1.2 Class 10

Koshe dekhi 1.2 class 10

একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ : কষে দেখি - 1.2

Q1. নীচের প্রতিক্ষেত্রে প্রদত্ত মানগুলি প্রদত্ত দ্বিঘাত সমীকরণের বীজ কিনা যাচাই করে লিখি:

(i) ${{x}^{2}}+x+1=0,\quad \quad 1$ ও $-1$

সমাধান :

যদি 1 এবং − 1 দ্বিঘাত সমীকরণের বীজ হতে হয়, তবে $x=1$ এবং $x=-1$ মানে দ্বিঘাত সমীকরণটিকে সিদ্ধ

হতে হবে।

এখন, $x=1$ হলে, $x^{2}+x+1$ এর মান হবে,

$=1^{2}+1+1$

$=3\neq 0$

অর্থাৎ, $x=1$ এ দ্বিঘাত সমীকরণটি সিদ্ধ হল না।

সুতরাং, 1 প্রদত্ত দ্বিঘাত সমীকরণটির

$\left ({{x}^{2}}+x+1=0 \right )$ বীজ হওয়া সম্ভব নয়।

আবার,

$x=-1$ হলে, $x^{2}+x+1$ এর মান হবে,

$=\left (-1 \right )^{2}+\left (-1 \right )+1$

$=1-1+1$

$=1\neq 0$

অর্থাৎ, $x=-1$ এ দ্বিঘাত সমীকরণটি সিদ্ধ হল না।

সুতরাং, − 1 প্রদত্ত দ্বিঘাত সমীকরণটির $\left ({{x}^{2}}+x+1=0 \right )$ বীজ হওয়া সম্ভব নয়।

উত্তর : 1 এবং − 1 দ্বিঘাত সমীকরণের বীজ হওয়া সম্ভব নয়।

একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ : কষে দেখি - 1.2

(ii) $8{{x}^{2}}+7x=0,\quad \quad 0$ ও $-2$

সমাধান :

যদি 0 এবং − 2 দ্বিঘাত সমীকরণের বীজ হতে হয়, তবে $x=0$ এবং $x=-2$ মানে দ্বিঘাত সমীকরণটিকে সিদ্ধ

হতে হবে।

এখন, $x=0$ হলে, $8x^{2}+7x$ এর মান হবে,

$=8\left (0 \right )^{2}+7\left (0 \right )$

$=0$

অর্থাৎ, $x=0$ এ দ্বিঘাত সমীকরণটি সিদ্ধ হল।

সুতরাং, 0 প্রদত্ত দ্বিঘাত সমীকরণটির $\left ({8{x}^{2}}+7x=0 \right )$ একটি বীজ হওয়া সম্ভব।

আবার,

$x=-2$ হলে, $8x^{2}+7x$ এর মান হবে,

$=8\left (-2 \right )^{2}+7\left (-2 \right )$

$=8\times 4-14$

$=32-14$

$=18\neq 0$

অর্থাৎ, $x=-2$ এ দ্বিঘাত সমীকরণটি সিদ্ধ হল না।

সুতরাং, − 2 প্রদত্ত দ্বিঘাত সমীকরণটির $\left ({8{x}^{2}}+7x=0 \right )$ বীজ হওয়া সম্ভব নয়।

উত্তর : 0 দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বীজ হওয়া সম্ভব কিন্তু − 2 দ্বিঘাত সমীকরণের বীজ হওয়া সম্ভব নয়।

একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ : কষে দেখি - 1.2

(iii) $x+\frac{1}{x}=\frac{13}{6},\quad \quad \frac{5}{6}$ ও $\frac{4}{3}$

সমাধান :

যদি $\frac{5}{6}$ এবং $\frac{4}{3}$ দ্বিঘাত সমীকরণের বীজ হতে হয়, তবে $x=\frac{5}{6}$ এবং $x=\frac{4}{3}$ মানে দ্বিঘাত সমীকরণটিকে সিদ্ধ হতে

হবে।

এখন, $x=\frac{5}{6}$ হলে, $x+\frac{1}{x}$ এর মান হবে,

$=\frac{5}{6}+\frac{1}{\left ( \frac{5}{6} \right )}$

$=\frac{5}{6}+\left ( 1\div \frac{5}{6} \right )$

$=\frac{5}{6}+\left ( 1\times \frac{6}{5} \right )$

$=\frac{5}{6}+\frac{6}{5}$

$=\frac{\left ( 5\times 5 \right )+\left ( 6\times 6 \right )}{30}$

$=\frac{25+36}{30}$

$=\frac{61}{30}\neq \frac{13}{6}$

অর্থাৎ, $x=\frac{5}{6}$ এ দ্বিঘাত সমীকরণটি সিদ্ধ হল না।

সুতরাং, $\frac{5}{6}$ প্রদত্ত দ্বিঘাত সমীকরণটির $\left (x+\frac{1}{x}=\frac{13}{6} \right )$ বীজ হওয়া সম্ভব নয়।

আবার,

$x=\frac{4}{3}$ হলে, $x+\frac{1}{x}$ এর মান হবে,

$=\frac{4}{3}+\frac{1}{\left ( \frac{4}{3} \right )}$

$=\frac{4}{3}+\left ( 1\div \frac{4}{3} \right )$

$=\frac{4}{3}+\left ( 1\times \frac{3}{4} \right )$

$=\frac{4}{3}+\frac{3}{4}$

$=\frac{\left ( 4\times 4 \right )+\left ( 3\times 3 \right )}{12}$

$=\frac{16+9}{12}$

$=\frac{25}{12}\neq \frac{13}{6}$

অর্থাৎ, $x=\frac{4}{3}$ এ দ্বিঘাত সমীকরণটি সিদ্ধ হল না।

সুতরাং, $\frac{4}{3}$ প্রদত্ত দ্বিঘাত সমীকরণটির $\left (x+\frac{1}{x}=\frac{13}{6} \right )$ বীজ হওয়া সম্ভব নয়।

উত্তর : ${\color{DarkGreen} \frac{5}{6}}$ এবং ${\color{DarkGreen} \frac{4}{3}}$ দ্বিঘাত সমীকরণের বীজ হওয়া সম্ভব নয়।

একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ : কষে দেখি - 1.2

(iv) ${{x}^{2}}-\sqrt{3}x-6=0,\quad \quad -\sqrt{3}$ ও $2\sqrt{3}$

সমাধান :

যদি $-\sqrt{3}$ এবং $2\sqrt{3}$ দ্বিঘাত সমীকরণের বীজ হতে হয়, তবে $x=-\sqrt{3}$ এবং $x=2\sqrt{3}$ মানে দ্বিঘাত

সমীকরণটিকে সিদ্ধ হতে হবে।

এখন, $x=-\sqrt{3}$ হলে, $x^{2}-\sqrt{3}x-6$ এর মান হবে,

$=\left ( -\sqrt{3} \right )^{2}-\sqrt{3}\left ( -\sqrt{3} \right )-6$

$=3+3-6\; \; \; {\color{Blue} \left [ \because \left ( -\sqrt{3} \right )^{2}=\left ( -\sqrt{3} \right )\times \left ( -\sqrt{3} \right )=3 \right ]}$

$=6-6\Rightarrow 0$

অর্থাৎ, $x=-\sqrt{3}$ এ দ্বিঘাত সমীকরণটি সিদ্ধ হল।

সুতরাং, $-\sqrt{3}$ প্রদত্ত দ্বিঘাত সমীকরণটির $\left ({{x}^{2}}-\sqrt{3}x-6=0 \right )$ বীজ হওয়া সম্ভব।

আবার,

$x=2\sqrt{3}$ হলে, $x^{2}-\sqrt{3}x-6$ এর মান হবে,

$=\left ( 2\sqrt{3} \right )^{2}-\sqrt{3}\left ( 2\sqrt{3} \right )-6$

$=\left (4\times 3 \right )-\left ( 2\times 3 \right )-6\; \; \; {\color{Blue} \left [ \because \left ( 2\sqrt{3} \right )^{2}=2\sqrt{3}\times 2\sqrt{3}=4\times 3 \right ]}$

$=12-6-6$

$=6-6\Rightarrow 0$

অর্থাৎ, $x=2\sqrt{3}$ এ দ্বিঘাত সমীকরণটি সিদ্ধ হল।

সুতরাং, $2\sqrt{3}$ প্রদত্ত দ্বিঘাত সমীকরণটির $\left ({{x}^{2}}-\sqrt{3}x-6=0 \right )$ বীজ হওয়া সম্ভব।

উত্তর : ${\color{DarkGreen} -\sqrt{3}}$ এবং ${\color{DarkGreen} 2\sqrt{3}}$ দ্বিঘাত সমীকরণের বীজ হওয়া সম্ভব।

একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ : কষে দেখি - 1.2

Q2. (i) k -এর কোন মানের জন্য $7{{x}^{2}}+kx-3=0$ দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বীজ $\frac{2}{3}$ হবে হিসাব করে লিখি।

সমাধান :

যেহেতু, $\frac{2}{3}$ হল $7{{x}^{2}}+kx-3=0$ দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বীজ।

$x$ এর পরিবর্তে আমরা $\frac{2}{3}$ বসাতে পারব।

∴ $7{{x}^{2}}+kx-3=0$ দ্বিঘাত সমীকরণে $x=\frac{2}{3}$ বসিয়ে পাই,

$7\left ( \frac{2}{3} \right )^{2}+k\left ( \frac{2}{3} \right )-3=0$

বা, $7\left ( \frac{4}{9} \right )+k\left ( \frac{2}{3} \right )-3=0$

বা, $\frac{28}{9}+k\left ( \frac{2}{3} \right )-3=0$

বা, $k\left ( \frac{2}{3} \right )=3-\frac{28}{9}$

বা, $k\left ( \frac{2}{3} \right )=\frac{\left ( 3\times 9 \right )-28}{9}$

বা, $k\left ( \frac{2}{3} \right )=\frac{27-28}{9}$

বা, $k\left ( \frac{2}{3} \right )=\frac{-1}{9}$

বা, $k=-\left ( \frac{1}{9}\times \frac{3}{2} \right )$

$\therefore k=-\frac{1}{6}$

উত্তর : নির্ণেয় k এর মান ${\color{DarkGreen} -\frac{1}{6}}$

একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ : কষে দেখি - 1.2

Q2. (ii) k -এর কোন মানের জন্য ${{x}^{2}}+3ax+k=0$ দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বীজ $-a$ হবে হিসাব

করে লিখি।

সমাধান :

যেহেতু, $-a$ হল ${{x}^{2}}+3ax+k=0$ দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বীজ।

$x$ এর পরিবর্তে আমরা $-a$ বসাতে পারব।

∴ ${{x}^{2}}+3ax+k=0$ দ্বিঘাত সমীকরণে $x=-a$ বসিয়ে পাই,

${{\left ( -a \right )}^{2}}+3a\left (-a \right )+k=0$

বা, $a^{2}-3a^{2}+k=0$

বা, $-2a^{2}+k=0$

$\therefore k=2a^{2}$

উত্তর : নির্ণেয় k এর মান ${\color{DarkGreen} 2a^{2}}$

একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ : কষে দেখি - 1.2

Q3. যদি $ax^{2}+7x+b=0$ দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি বীজ $\frac{2}{3}$ ও $-3$ হয় তবে a ও b -এর মান নির্ণয় করি।

সমাধান :

যেহেতু, $\frac{2}{3}$ হল $ax^{2}+7x+b=0$ দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বীজ।

$x$ এর পরিবর্তে আমরা $\frac{2}{3}$ বসাতে পারব।

∴ $ax^{2}+7x+b=0$ দ্বিঘাত সমীকরণে $x=\frac{2}{3}$ বসিয়ে পাই,

$a\left (\frac{2}{3} \right )^{2}+7\left (\frac{2}{3} \right )+b=0$

বা, $a\left ( \frac{4}{9} \right )+\frac{14}{3}+b=0$

বা, $\frac{4a}{9}+\frac{14}{3}+b=0$

প্রত্যেকটি পদকে 9 (3 ও 9 এর ল. সা. গু.) দ্বারা গুন করে পাই,

বা, $\left ( \frac{4a}{9}\times 9 \right )+\left ( \frac{14}{3}\times 9 \right )+b\times 9=0\times 9$

বা, $4a+42+9b=0$

${\color{Blue} \therefore 4a+9b=-42\; \; \; .....\left ( i \right )}$

আবার,

যেহেতু, $-3$ হল $ax^{2}+7x+b=0$ দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বীজ।

$x$ এর পরিবর্তে আমরা $-3$ বসাতে পারব।

∴ $ax^{2}+7x+b=0$ দ্বিঘাত সমীকরণে $x=-3$ বসিয়ে পাই,

$a\left (-3 \right )^{2}+7\left (-3 \right )+b=0$

বা, $9a-21+b=0$

${\color{Blue} \therefore b=21-9a\; \; \; ....\left ( ii \right )}$

এখন, (i) নং সমীকরণে $b=21-9a$ বসিয়ে পাই,

$4a+9\left ( 21-9a \right )=-42$

$4a+189-81a=-42$

$-77a=-42-189$

$77a=42+189$

$a=\frac{231}{77}$

${\color{Magenta} \therefore a=3}$

এখন, (ii) নং সমীকরণে $a=3$ বসিয়ে পাই,

$b=21-9\left ( 3 \right )$

$b=21-27$

${\color{Magenta} \therefore b=-6}$

উত্তর : নির্ণেয় ${\color{DarkGreen} a=3,b=-6}$

একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ : কষে দেখি - 1.2

Q4. সমাধান করি :

(i) $3{{y}^{2}}-20=160-2{{y}^{2}}$

সমাধান :

$3{{y}^{2}}-20=160-2{{y}^{2}}$

$\Rightarrow 3y^{2}+2y^{2}=160+20$

$\Rightarrow 5y^{2}=180$

$\Rightarrow y^{2}=\frac{180}{5}=36$

$\therefore y=\pm \sqrt{36}=\pm 6$

উত্তরঃ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণের সমাধান 6, − 6.

একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ : কষে দেখি - 1.2

Q4. সমাধান করি :

(ii) ${{\left( 2x+1 \right)}^{2}}+{{\left( x+1 \right)}^{2}}=6x+47$

সমাধান :

${{\left( 2x+1 \right)}^{2}}+{{\left( x+1 \right)}^{2}}=6x+47$

$\Rightarrow \left ( 2x \right )^{2}+2.2x.1+\left ( 1 \right )^{2}+\left ( x \right )^{2}+2.x.1+\left ( 1 \right )^{2}=6x+47$

$\Rightarrow 4x^{2}+4x+1+x^{2}+2x+1=6x+47$

$\Rightarrow 5x^{2}+6x+2-6x-47=0$

$\Rightarrow 5x^{2}=45$

$\Rightarrow x^{2}=\frac{45}{5}=9$

$\therefore x=\pm \sqrt{9}=\pm 3$

উত্তরঃ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণের সমাধান 3, − 3.

একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ : কষে দেখি - 1.2

Q4. সমাধান করি :

(iii) $\left( x-7 \right)\left( x-9 \right)=195$

সমাধান :

$\left( x-7 \right)\left( x-9 \right)=195$

$\Rightarrow x^{2}-9x-7x+63=195$

$\Rightarrow x^{2}-16x+63-195=0$

$\Rightarrow x^{2}-16x-132=0$

$\Rightarrow x^{2}-22x+6x-132=0$

$\Rightarrow x\left ( x-22 \right )+6\left ( x-22 \right )=0$

$\Rightarrow \left ( x-22 \right )\left ( x+6 \right )=0$

$\because$ দুটি রাশির গুণফল শূন্য হলে তারা পৃথক পৃথক ভাবে শূন্য হয়,

$\therefore \left ( x-22 \right )=0$

$\Rightarrow x=22$

অথবা,

$\therefore \left ( x+6 \right )=0$

$\Rightarrow x=-6$

উত্তরঃ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণের সমাধান 22, − 6.

একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ : কষে দেখি - 1.2

Q4. সমাধান করি :

(iv) $3x-\frac{24}{x}=\frac{x}{3},\quad x\ne 0$

সমাধান :

$3x-\frac{24}{x}=\frac{x}{3}$

$\Rightarrow 3x-\frac{24}{x}-\frac{x}{3}=0$

$\Rightarrow \frac{9x^{2}-72-x^{2}}{3x}=0$

$\Rightarrow 8x^{2}-72=0$ $\left [ \because x\neq 0 \right ]$

$\Rightarrow 8x^{2}=72$

$\Rightarrow x^{2}=\frac{72}{8}=9$

$\therefore x=\pm \sqrt{9}=\pm 3$

উত্তরঃ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণের সমাধান 3, − 3.

একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ : কষে দেখি - 1.2

Q4. সমাধান করি :

(v) $\frac{x}{3}+\frac{3}{x}=\frac{15}{x},\quad x\ne 0$

সমাধান :

$\frac{x}{3}+\frac{3}{x}=\frac{15}{x}$

$\Rightarrow \frac{x}{3}+\frac{3}{x}-\frac{15}{x}=0$

$\Rightarrow \frac{x^{2}+9-45}{3x}=0$

$\Rightarrow x^{2}-36=0\left [ \because x\neq 0 \right ]$

$\Rightarrow x^{2}=36$

$\therefore x=\pm \sqrt{36}=\pm 6$

উত্তরঃ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণের সমাধান 6, − 6.

একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ : কষে দেখি - 1.2

Q4. সমাধান করি :

(vi) $10x-\frac{1}{x}=3,\quad x\ne 0$

সমাধান :

$10x-\frac{1}{x}=3$

$\Rightarrow 10x-\frac{1}{x}-3=0$

$\Rightarrow \frac{10x^{2}-1-3x}{x}=0$

$\Rightarrow 10x^{2}-3x-1=0\left [ \because x\neq 0 \right ]$

$\Rightarrow 10x^{2}-5x+2x-1=0$

$\Rightarrow 5x\left ( 2x-1 \right )+1\left ( 2x-1 \right )=0$

$\Rightarrow \left ( 2x-1 \right )\left ( 5x+1 \right )=0$

$\because$ দুটি রাশির গুণফল শূন্য হলে তারা পৃথক পৃথক ভাবে শূন্য হয়,

$\therefore \left ( 2x-1 \right )=0$

$\Rightarrow 2x=1$

$\therefore x=\frac{1}{2}$

অথবা,

$\left ( 5x+1 \right )=0$

$\Rightarrow 5x=-1$

$\therefore x=-\frac{1}{5}$

উত্তরঃ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণের সমাধান ${\color{DarkGreen} \frac{1}{2},-\frac{1}{5}.}$

একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ : কষে দেখি - 1.2

Q4. সমাধান করি :

(vii) $\frac{2}{{{x}^{2}}}-\frac{5}{x}+2=0,\quad x\ne 0$

সমাধান :

$\frac{2}{{{x}^{2}}}-\frac{5}{x}+2=0$

$\Rightarrow \frac{2-5x+2x^{2}}{x^{2}}=0$

$\Rightarrow 2x^{2}-5x+2=0\left [ \because x\neq 0 \right ]$

$\Rightarrow 2x^{2}-4x-x+2=0$

$\Rightarrow 2x\left ( x-2 \right )-1\left ( x-2 \right )=0$

$\Rightarrow \left ( x-2 \right )\left ( 2x-1 \right )=0$

$\because$ দুটি রাশির গুণফল শূন্য হলে তারা পৃথক পৃথক ভাবে শূন্য হয়,

$\therefore \left ( x-2 \right )=0$
বা, $x=2$

অথবা,

$2x-1=0$

বা, $2x=1$

$\therefore x=\frac{1}{2}$

উত্তরঃ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণের সমাধান ${\color{DarkGreen} \frac{1}{2},2}.$

Koshe dekhi 1.2 class 10

একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ : কষে দেখি - 1.2

Q4. সমাধান করি :

(viii) $\frac{\left( x-2 \right)}{\left( x+2 \right)}+6\left( \frac{x-2}{x-6} \right)=1,\quad x\ne -2,6$

সমাধান :

$\frac{\left( x-2 \right)}{\left( x+2 \right)}+6\left( \frac{x-2}{x-6} \right)=1$

$\Rightarrow \frac{x-2}{x+2}+6\left ( \frac{x-2}{x-6} \right )-1=0$

$\Rightarrow \frac{\left ( x-2 \right )\left ( x-6 \right )+6\left ( x-2 \right )\left ( x+2 \right )-\left ( x+2 \right )\left ( x-6 \right )}{\left ( x+2 \right )\left ( x-6 \right )}=0$

$\Rightarrow x^{2}-6x-2x+12+6x^{2}+12x-12x-24-x^{2}+6x-2x+12=0\times \left [ \left ( x+2 \right )\left ( x-6 \right ) \right ]$

$\Rightarrow 6x^{2}-4x=0$

$\Rightarrow 2x\left ( 3x-2 \right )=0$

$\because$ দুটি রাশির গুণফল শূন্য হলে তারা পৃথক পৃথক ভাবে শূন্য হয়,

অর্থাৎ,

$2x=0$

$\therefore x=\frac{0}{2}=0$

অথবা,

$3x-2=0$

$\Rightarrow 3x=2$

$\therefore x=\frac{2}{3}$

উত্তরঃ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণের সমাধান ${\color{DarkGreen} x=0,\frac{2}{3}}$ .

Koshe dekhi 1.2 class 10

একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ : কষে দেখি - 1.2

Q4. সমাধান করি :

(ix) $\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x+5}=\frac{1}{6},\quad x\ne 3,-5$

সমাধান :

$\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x+5}=\frac{1}{6}$

$\Rightarrow \frac{\left ( x+5 \right )-\left ( x-3 \right )}{\left ( x-3 \right )\left ( x+5 \right )}=\frac{1}{6}$

$\Rightarrow \frac{x+5-x+3}{x^{2}+5x-3x-15}=\frac{1}{6}$

$\Rightarrow x^{2}+2x-15=48$

$\Rightarrow x^{2}+2x-63=0$

$\Rightarrow x^{2}+9x-7x-63=0$

$\Rightarrow x\left ( x+9 \right )-7\left ( x+9 \right )=0$

$\Rightarrow \left ( x+9 \right )\left ( x-7 \right )=0$

$\because$ দুটি রাশির গুণফল শূন্য হলে তারা পৃথক পৃথক ভাবে শূন্য হয়,

অর্থাৎ,

$x+9=0$

$\therefore x=-9$

অথবা,

$x-7=0$

$\therefore x=7$

উত্তরঃ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণের সমাধান ${\color{DarkGreen} 7,-9.}$

Koshe dekhi 1.2 class 10

একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ : কষে দেখি - 1.2

Q4. সমাধান করি :

(x) $\frac{x}{x+1}+\frac{x+1}{x}=2\frac{1}{12},\quad x\ne 0,-1$

সমাধান :

$\frac{x}{x+1}+\frac{x+1}{x}=2\frac{1}{12}$

$\Rightarrow \frac{x^{2}+\left ( x+1 \right )^{2}}{x\left ( x+1 \right )}=\frac{25}{12}$

$\Rightarrow \frac{x^{2}+x^{2}+x+x+1}{x^{2}+x}=\frac{25}{12}$

$\Rightarrow 25x^{2}+25x=24x^{2}+24x+12$

$\Rightarrow 25x^{2}-24x^{2}+25x-24x-12=0$

$\Rightarrow x^{2}+x-12=0$

$\Rightarrow x^{2}+4x-3x-12=0$

$\Rightarrow x\left ( x+4 \right )-3\left ( x+4 \right )=0$

$\Rightarrow \left ( x+4 \right )\left ( x-3 \right )=0$

$\because$ দুটি রাশির গুণফল শূন্য হলে তারা পৃথক পৃথক ভাবে শূন্য হয়,

অর্থাৎ,

$x+4=0$

$\therefore x=-4$

অথবা,
$x-3=0$
$\therefore x=3$

উত্তরঃ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণের সমাধান ${\color{DarkGreen} 3,-4.}$

Koshe dekhi 1.2 class 10

একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ : কষে দেখি - 1.2

Q4. সমাধান করি :

(xi) $\frac{ax+b}{a+bx}=\frac{cx+d}{c+dx},\quad \left[ a\ne b,\ c\ne d \right],\quad x\ne -\frac{a}{b},-\frac{c}{d}$

সমাধান :

$\frac{ax+b}{a+bx}=\frac{cx+d}{c+dx}$

$\Rightarrow \frac{ax+b}{a+bx}-\frac{cx+d}{c+dx}=0$

$\Rightarrow \frac{\left ( ax+b \right )\left ( c+dx \right )-\left ( cx+d \right )\left ( a+bx \right )}{\left ( a+bx \right )\left ( c+dx \right )}=0$

$\Rightarrow acx+adx^{2}+bc+bdx-acx-bcx^{2}-ad-bdx=0\times \left ( a+bx \right )\left ( c+dx \right )$

$\Rightarrow adx^{2}-bcx^{2}+bc-ad=0$

$\Rightarrow x^{2}\left ( ad-bc \right )-1\left ( ad-bc \right )=0$

$\Rightarrow \left ( ad-bc \right )\left ( x^{2}-1 \right )=0$

$\Rightarrow \left ( x^{2}-1 \right )=\frac{0}{\left ( ad-bc \right )}$

$\Rightarrow \left ( x^{2}-1 \right )=0$

$\Rightarrow x^{2}=1$

$\therefore x=\pm \sqrt{1}=\pm 1$

উত্তরঃ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণের সমাধান ${\color{DarkGreen} 1,-1.}$

Koshe dekhi 1.2 class 10

একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ : কষে দেখি - 1.2

Q4. সমাধান করি :

(xii) $\left( 2x+1 \right)+\frac{3}{\left( 2x+1 \right)}=4,\quad x\ne -\frac{1}{2}$

সমাধান :

$\left( 2x+1 \right)+\frac{3}{\left( 2x+1 \right)}=4$

$\Rightarrow \frac{\left ( 2x+1 \right )^{2}+3}{2x+1}=4$

$\Rightarrow 4x^{2}+4x+1+3=8x+4$

$\Rightarrow 4x^{2}+4x+4-8x-4=0$

$\Rightarrow 4x^{2}-4x=0$

$\Rightarrow 4x\left ( x-1 \right )=0$

$\because$ দুটি রাশির গুণফল শূন্য হলে তারা পৃথক পৃথক ভাবে শূন্য হয়,

অর্থাৎ,
$4x=0$
$\therefore x=\frac{0}{4}=0$

অথবা,
$x-1=0$
$\therefore x=1$

উত্তরঃ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণের সমাধান ${\color{DarkGreen} 0,1.}$

Koshe dekhi 1.2 class 10

একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ : কষে দেখি - 1.2

Q4. সমাধান করি :

(xiii) $\frac{x+1}{2}+\frac{2}{x+1}=\frac{x+1}{3}+\frac{3}{x+1}-\frac{5}{6},\quad x\ne -1$

সমাধান :

$\frac{x+1}{2}+\frac{2}{x+1}=\frac{x+1}{3}+\frac{3}{x+1}-\frac{5}{6}$

$\Rightarrow \frac{x+1}{2}-\frac{x+1}{3}+\frac{5}{6}=\frac{3}{x+1}-\frac{2}{x+1}$

$\Rightarrow \frac{3\left ( x+1 \right )-2\left ( x+1 \right )+5}{6}=\frac{3-2}{x+1}$

$\Rightarrow \frac{3x+3-2x-2+5}{6}=\frac{1}{x+1}$

$\Rightarrow \frac{x+6}{6}=\frac{1}{x+1}$

$\Rightarrow \left ( x+6 \right )\left ( x+1 \right )=6$

$\Rightarrow x^{2}+x+6x+6-6=0$

$\Rightarrow x^{2}+7x=0$

$\Rightarrow x\left ( x+7 \right )=0$

$\because$ দুটি রাশির গুণফল শূন্য হলে তারা পৃথক পৃথক ভাবে শূন্য হয়,

অর্থাৎ,

$\therefore x=0$

অথবা,

$x+7=0$

$\therefore x=-7$

উত্তরঃ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণের সমাধান ${\color{DarkGreen} 0,7.}$

Koshe dekhi 1.2 class 10

একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ : কষে দেখি - 1.2

Q4. সমাধান করি :

(xiv) $\frac{12x+17}{3x+1}-\frac{2x+15}{x+7}=3\frac{1}{5},\quad x\ne -\frac{1}{3},-7$

সমাধান :

$\frac{12x+17}{3x+1}-\frac{2x+15}{x+7}=3\frac{1}{5}$

$\Rightarrow \frac{\left ( 12x+17 \right )\left ( x+7 \right )-\left ( 2x+15 \right )\left ( 3x+1 \right )}{\left ( 3x+1 \right )\left ( x+7 \right )}=\frac{16}{5}$

$\Rightarrow \frac{12x^{2}+84x+17x+119-6x^{2}-2x-45x-15}{3x^{2}+21x+x+7}=\frac{16}{5}$

$\Rightarrow \frac{6x^{2}+54x+104}{3x^{2}+22x+7}=\frac{16}{5}$

$\Rightarrow 48x^{2}+352x+112=30x^{2}+270x+520$

$\Rightarrow 48x^{2}-30x^{2}+352x-270x+112-520=0$

$\Rightarrow 18x^{2}+82x-408=0$

$\Rightarrow 2\left ( 9x^{2}+41x-204 \right )=0$

$\Rightarrow 9x^{2}+41x-204=\frac{0}{2}=0$

$\Rightarrow 9x^{2}+68x-27x-204=0$

$\Rightarrow x\left ( 9x+68 \right )-3\left ( 9x+68 \right )=0$

$\Rightarrow \left ( 9x+68 \right )\left ( x-3 \right )=0$

$\because$ দুটি রাশির গুণফল শূন্য হলে তারা পৃথক পৃথক ভাবে শূন্য হয়,

অর্থাৎ,

$9x+68=0$

$\Rightarrow 9x=-68$

$\therefore x=-\frac{68}{9}$

অথবা,

$x-3=0$

$\therefore x=3$

উত্তরঃ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণের সমাধান ${\color{DarkGreen} 3,-\frac{68}{9}.}$

Koshe dekhi 1.2 class 10

একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ : কষে দেখি - 1.2

Q4. সমাধান করি :

(xv) $\frac{x+3}{x-3}+6\left( \frac{x-3}{x+3} \right)=5,\quad x\ne 3,-3$

সমাধান :

$\frac{x+3}{x-3}+6\left( \frac{x-3}{x+3} \right)=5$

ধরি,

$\frac{x+3}{x-3}=a$

$\therefore a+\frac{6}{a}-5=0$
$\Rightarrow \frac{a^{2}+6-5a}{a}=0$

$\Rightarrow a^{2}-5a+6=0\times a=0$

$\Rightarrow a^{2}-3a-2a+6=0$

$\Rightarrow a\left ( a-3 \right )-2\left ( a-3 \right )=0$

$\Rightarrow \left ( a-3 \right )\left ( a-2 \right )=0$

$\because$ দুটি রাশির গুণফল শূন্য হলে তারা পৃথক পৃথক ভাবে শূন্য হয়,

অর্থাৎ,

$a+3=0$

$\Rightarrow a=3$

$\Rightarrow \frac{x+3}{x-3}=3$ $\left [ \because a=\frac{x+3}{x-3} \right ]$

$\Rightarrow 3\left ( x-3 \right )=1\left ( x+3 \right )$

$\Rightarrow 3x-x=3+9$

$\Rightarrow 2x=12$

$\therefore x=\frac{12}{2}=6$

অথবা,

$a-2=0$

$\Rightarrow a=2$

$\Rightarrow \frac{x+3}{x-3}=2$ $\left [ \because a=\frac{x+3}{x-3} \right ]$

$\Rightarrow 2\left ( x-3 \right )=1\left ( x+3 \right )$

$\Rightarrow 2x-6=x+3$

$\Rightarrow 2x-x=6+3$

$\therefore x=9$

উত্তরঃ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণের সমাধান ${\color{DarkGreen} 6,9.}$

Koshe dekhi 1.2 class 10

একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ : কষে দেখি - 1.2

Q4. সমাধান করি :
(xvi) $\frac{1}{a+b+x}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{x},\quad x\ne 0,-\left( a+b \right)$

সমাধান :

$\frac{1}{a+b+x}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{x}$

$\Rightarrow \frac{1}{a+b+x}-\frac{1}{x}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$

$\Rightarrow \frac{x-a-b-x}{x\left ( a+b+x \right )}=\frac{b+a}{ab}$

$\Rightarrow \frac{-\left ( a+b \right )}{ax+bx+x^{2}}=\frac{a+b}{ab}$

$\Rightarrow \frac{-1}{ax+bx+x^{2}}=\frac{1}{ab}$

$\Rightarrow ax+bx+x^{2}=-ab$

$\Rightarrow x^{2}+ax+bx+ab=0$

$\Rightarrow x\left ( x+a \right )+b\left ( x+a \right )=0$

$\Rightarrow \left ( x+a \right )\left ( x+b \right )=0$

$\because$ দুটি রাশির গুণফল শূন্য হলে তারা পৃথক পৃথক ভাবে শূন্য হয়,

অর্থাৎ,
$x+a=0$
$\therefore x=-a$

অথবা,
$x+b=0$
$\therefore x=-b$

উত্তরঃ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণের সমাধান ${\color{DarkGreen} -a,-b.}$

Koshe dekhi 1.2 class 10

একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ : কষে দেখি - 1.2

Q4. সমাধান করি :

(xvii) ${{\left( \frac{x+a}{x-a} \right)}^{2}}-5\left( \frac{x+a}{x-a} \right)+6=0,\quad x\ne a$

সমাধান :

${{\left( \frac{x+a}{x-a} \right)}^{2}}-5\left( \frac{x+a}{x-a} \right)+6=0$

ধরি,

$\frac{x+a}{x-a}=p$

$\Rightarrow p^{2}-5p+6=0$

$\Rightarrow p^{2}-3p-2p+6=0$

$\Rightarrow p\left ( p-3 \right )-2\left ( p-3 \right )=0$

$\Rightarrow \left ( p-3 \right )\left ( p-2 \right )=0$

$\because$ দুটি রাশির গুণফল শূন্য হলে তারা পৃথক পৃথক ভাবে শূন্য হয়,

অর্থাৎ,

$p-3=0$

$\Rightarrow p=3$

$\Rightarrow \frac{x+a}{x-a}=3 \left [ \because p=\frac{x+a}{x-a} \right ]$

$\Rightarrow 3\left ( x-a \right )=x+a$

$\Rightarrow 3x-3a=x+a$

$\Rightarrow 3x-x=3a+a$

$\Rightarrow 2x=4a$

$\therefore x=\frac{4a}{2}=2a$

অথবা,

$p-2=0$

$\Rightarrow p=2$

$\Rightarrow \frac{x+a}{x-a}=2 \left [ \because p=\frac{x+a}{x-a} \right ]$

$\Rightarrow 2\left ( x-a \right )=1\left ( x+a \right )$

$\Rightarrow 2x-2a=x+a$

$\Rightarrow 2x-x=2a+a$

$\therefore x=3a$

উত্তরঃ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণের সমাধান ${\color{DarkGreen} 2a,3a.}$

Koshe dekhi 1.2 class 10

একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ : কষে দেখি - 1.2

Q4. সমাধান করি :

(xviii) $\frac{1}{x}-\frac{1}{x+b}=\frac{1}{a}-\frac{1}{a+b},\quad x\ne 0,-b$

সমাধান :
$\frac{1}{x}-\frac{1}{x+b}=\frac{1}{a}-\frac{1}{a+b}$

$\Rightarrow \frac{x+b-x}{x\left ( x+b \right )}=\frac{a+b-a}{a\left ( a+b \right )}$

$\Rightarrow \frac{b}{x\left ( x+b \right )}=\frac{b}{a\left ( a+b \right )}$

$\Rightarrow \frac{1}{\left ( x^{2}+bx \right )}=\frac{1}{\left ( a^{2}+ab \right )}$

$\Rightarrow x^{2}+bx=a^{2}+ab$

$\Rightarrow x^{2}-a^{2}+bx-ab=0$

$\Rightarrow \left ( x+a \right )\left ( x-a \right )+b\left ( x-a \right )=0$

$\Rightarrow \left ( x-a \right )\left ( x+a+b \right )=0$

$\because$ দুটি রাশির গুণফল শূন্য হলে তারা পৃথক পৃথক ভাবে শূন্য হয়,

অর্থাৎ,
$x-a=0$
$\therefore x=a$

অথবা,
$x+a+b=0$
$\therefore x=-a-b=-\left ( a+b \right )$

উত্তরঃ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণের সমাধান ${\color{DarkGreen} a,-\left ( a+b \right ).}$

Koshe dekhi 1.2 class 10

একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ : কষে দেখি - 1.2

Q4. সমাধান করি :

(xix) $\frac{1}{\left( x-1 \right)\left( x-2 \right)}+\frac{1}{\left( x-2 \right)\left( x-3 \right)}+\frac{1}{\left( x-3 \right)\left( x-4 \right)}=\frac{1}{6},\quad x\ne 1,2,3,4$

সমাধান :

$\frac{1}{\left( x-1 \right)\left( x-2 \right)}+\frac{1}{\left( x-2 \right)\left( x-3 \right)}+\frac{1}{\left( x-3 \right)\left( x-4 \right)}=\frac{1}{6}$

$\Rightarrow \frac{1}{x-2}-\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x-2}+\frac{1}{x-4}-\frac{1}{x-3}=\frac{1}{6}$

$\Rightarrow \frac{1}{x-4}-\frac{1}{x-1}=\frac{1}{6}$

$\Rightarrow \frac{x-1-x-4}{\left ( x-4 \right )\left ( x-1 \right )}=\frac{1}{6}$

$\Rightarrow \frac{3}{x^{2}-x-4x+4}=\frac{1}{6}$

$\Rightarrow \frac{3}{x^{2}-5x+4}=\frac{1}{6}$

$\Rightarrow x^{2}-5x+4=18$

$\Rightarrow x^{2}-5x+4-18=0$

$\Rightarrow x^{2}-5x-14=0$

$\Rightarrow x^{2}-7x+2x-14=0$

$\Rightarrow x\left ( x-7 \right )+2\left ( x-7 \right )=0$

$\Rightarrow \left ( x-7 \right )\left ( x+2 \right )=0$

$\because$ দুটি রাশির গুণফল শূন্য হলে তারা পৃথক পৃথক ভাবে শূন্য হয়,

অর্থাৎ,
$x-7=0$
$\therefore x=7$

অথবা,
$x+2=0$
$\therefore x=-2$

উত্তরঃ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণের সমাধান ${\color{DarkGreen} 7,-2.}$

Koshe dekhi 1.2 class 10

একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ : কষে দেখি - 1.2

Q4. সমাধান করি :

(xx) $\frac{a}{x-a}+\frac{b}{x-b}=\frac{2c}{x-c},\quad x\ne a,b,c$

সমাধান :

$\frac{a}{x-a}+\frac{b}{x-b}=\frac{2c}{x-c}$

$\Rightarrow \frac{a}{x-a}+\frac{b}{x-b}=\frac{c}{x-c}+\frac{c}{x-c}$

$\Rightarrow \frac{a}{x-a}-\frac{c}{x-c}=\frac{c}{x-c}-\frac{b}{x-b}$

$\Rightarrow \frac{a\left ( x-c \right )-c\left ( x-a \right )}{\left ( x-a \right )\left ( x-c \right )}=\frac{c\left ( x-b \right )-b\left ( x-c \right )}{\left ( x-c \right )\left ( x-b \right )}$