Wed. Jun 26th, 2024
 

Koshe Dekhi 23.2 Class 10

koshe dekhi 23.2 class 10

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি : কষে দেখি - 23.2

Q1. আমাদের বাড়ির জানালায় একটি মই ভূমির সঙ্গে 60° কোণে রাখা আছে। মইটি 2\sqrt{3} মিটার লম্বা হলে আমাদের এই জানালাটি ভূমি থেকে কত উপরে আছে ছবি এঁকে হিসাব করে লিখি।

সমাধান :

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি : কষে দেখি - 23.2

AB = ?

আমরা জানি,

sin \theta

বা, sin\theta =\frac{AB}{AC}

বা, sin60^{\circ}=\frac{AB}{2\sqrt{3}}

বা, \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{AB}{2\sqrt{3}} {\color{Blue} \left [ \because sin60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2} \right ]}

বা, AB=\sqrt{3}\times \sqrt{3}

∴ AB = 3

উত্তরঃ  নির্ণেয় জানালাটি ভূমি থেকে  3 মিটার উপরে আছে।

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি : কষে দেখি - 23.2

Q2. ABC সমকোণী ত্রিভুজের \angle B সমকোণ। AB=8\sqrt{3} সেমি এবং BC = 8 সেমি হলে  \angle ACB\angle BAC এর মান হিসাব করে লিখি।

সমাধান :

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি : কষে দেখি - 23.2

আমরা জানি,

tan \theta

tan\angle ACB=\frac{AB}{BC}

বা, tan\angle ACB=\frac{8\sqrt{3}}{8}

বা, tan\angle ACB=\sqrt{3}

বা, tan\angle ACB=tan60^{\circ} {\color{Blue} \left [ \because tan60^{\circ}=\sqrt{3} \right ]}

\therefore \angle ACB=60^{\circ}

এবং

tan\angle BAC=\frac{BC}{AB}

বা, tan\angle BAC=\frac{8}{8\sqrt{3}}

বা, tan\angle BAC=\frac{1}{\sqrt{3}}

বা, tan\angle BAC=tan30^{\circ} {\color{Blue} \left [ \because tan30^{\circ}=\frac{1}{\sqrt{3}} \right ]}

\therefore \angle BAC=30^{\circ}

উত্তরঃ  নির্ণেয়, {\color{DarkGreen} \angle ACB=60^{\circ};\angle BAC=30^{\circ}}

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি : কষে দেখি - 23.2

Q3. ABC সমকোণী ত্রিভুজের \angle B=90^{\circ},\angle A=30^{\circ} এবং AC = 20 সেমি.। BC ও AB বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।

সমাধান :

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি : কষে দেখি - 23.2

আমরা জানি,

sin \theta

sin\angle BAC=\frac{BC}{AC}

\Rightarrow sin30{^{\circ}}=\frac{BC}{20}

\Rightarrow \frac{1}{2}=\frac{BC}{20}  {\color{Blue} [\because sin30^{\circ}=\frac{1}{2}]}

\Rightarrow 2BC=20

\Rightarrow BC=\frac{20}{2}

\therefore BC=10  সেমি.

আবার,

আমরা জানি,

cos \theta

cos\angle BAC =\frac{AB}{AC}

\Rightarrow cos30^{\circ}=\frac{AB}{20}

\Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{AB}{20}\; \; {\color{Blue} [\because cos30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}]}

\Rightarrow 2AB=20\sqrt{3} \\

\Rightarrow AB=\frac{20\sqrt{3}}{2}

\therefore AB=10\sqrt{3}  সেমি.

উত্তরঃ  নির্ণেয়,  AB = {\color{DarkGreen} 10\sqrt{3}}  সেমি.  এবং  BC = 10 সেমি.। 

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি : কষে দেখি - 23.2

Q4. PQR সমকোণী ত্রিভুজের \angle Q=90^{\circ},\angle R=45^{\circ}; যদি PR = 3\sqrt{2} মিটার হয়, তাহলে PQ ও QR বাহুদ্বয়ের দৈঘ্য নির্ণয় করি।

সমাধান :

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি : কষে দেখি - 23.2

আমরা জানি,

sin \theta

sin\angle QRP=\frac{PQ}{PR}

\Rightarrow sin45{^{\circ}}=\frac{PQ}{3\sqrt{2}}

\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{PQ}{3\sqrt{2}} {\color{Blue} [\because sin45^{\circ}=\frac{1}{\sqrt {2}}]}

\Rightarrow \sqrt {2}PQ=3 \sqrt {2}

\Rightarrow PQ=\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{2}}

\therefore PQ=3  সেমি.

আবার, যেহেতু,  \Delta PQR  একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ, যার  PQ = QR. [\because \angle R=\angle P=45^{\circ}]

∴ PQ = QR = 3 সেমি.।

উত্তরঃ  নির্ণেয়,  PQ = QR = 3 সেমি.। 

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি : কষে দেখি - 23.2

Q5. মান নির্ণয় করি :  (i) {{\sin }^{2}}45{}^\circ -\text{cose}{{\text{c}}^{2}}60{}^\circ +{{\sec }^{2}}30{}^\circ

সমাধান :

প্রদত্ত,

{{\sin }^{2}}45{}^\circ -\text{cose}{{\text{c}}^{2}}60{}^\circ +{{\sec }^{2}}30{}^\circ

=\left ( \frac{1}{\sqrt{2}} \right )^{2}-\left ( \frac{2}{\sqrt{3}} \right )^{2}+\left ( \frac{2}{\sqrt{3}} \right )^{2} {\color{Blue} \left [ \because sin45^{\circ}=\frac{1}{\sqrt{2}}, cosec60^{\circ}=\frac{2}{\sqrt{3}}, sec30^{\circ}=\frac{2}{\sqrt{3}} \right ]}

=\left ( \frac{1}{\sqrt{2}} \right )^{2}

=\frac{1}{\sqrt{2}}\times \frac{1}{\sqrt{2}}

=\frac{1}{2}

উত্তরঃ নির্ণেয় {\color{DarkGreen} {{\sin }^{2}}45{}^\circ -\text{cose}{{\text{c}}^{2}}60{}^\circ +{{\sec }^{2}}30{}^\circ} এর মান  {\color{DarkGreen} \frac{1}{2}} 

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি : কষে দেখি - 23.2

Q5. মান নির্ণয় করি :  (ii) {{\sec }^{2}}45{}^\circ -{{\cot }^{2}}45{}^\circ -{{\sin }^{2}}30{}^\circ -{{\sin }^{2}}60{}^\circ

সমাধান :

প্রদত্ত

{{\sec }^{2}}45{}^\circ -{{\cot }^{2}}45{}^\circ -{{\sin }^{2}}30{}^\circ -{{\sin }^{2}}60{}^\circ

=\left ( \sqrt{2} \right )^{2}-\left ( 1 \right )^{2}-\left ( \frac{1}{2} \right )^{2}-\left ( \frac{\sqrt{3}}{2} \right )^{2}

=2-1-\frac{1}{4}-\frac{3}{4}

=\frac{8-4-1-3}{4}

=\frac{8-8}{4}

=\frac{0}{4}

= 0

উত্তরঃ নির্ণেয় {\color{DarkGreen} {{\sec }^{2}}45{}^\circ -{{\cot }^{2}}45{}^\circ -{{\sin }^{2}}30{}^\circ -{{\sin }^{2}}60{}^\circ} এর মান 0

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি : কষে দেখি - 23.2

Q5. মান নির্ণয় করি :  (iii) 3{{\tan }^{2}}45{}^\circ -{{\sin }^{2}}60{}^\circ -\frac{1}{3}{{\cot }^{2}}30{}^\circ -\frac{1}{8}{{\sec }^{2}}45{}^\circ

সমাধান :

প্রদত্ত

3{{\tan }^{2}}45{}^\circ -{{\sin }^{2}}60{}^\circ -\frac{1}{3}{{\cot }^{2}}30{}^\circ -\frac{1}{8}{{\sec }^{2}}45{}^\circ

=3\times \left ( 1 \right )^{2}-\left ( \frac{\sqrt{3}}{2} \right )^{2}-\frac{1}{3}\times \left ( \sqrt{3} \right )^{2}-\frac{1}{8}\times \left ( \sqrt{2} \right )^{2}

=3-\frac{3}{4}-\frac{1}{3}\times 3-\frac{1}{8}\times 2

=3-\frac{3}{4}-1-\frac{1}{4}

=\frac{12-3-4-1}{4}

=\frac{12-8}{4}

=\frac{4}{4}

= 1

উত্তরঃ নির্ণেয় {\color{DarkGreen} 3{{\tan }^{2}}45{}^\circ -{{\sin }^{2}}60{}^\circ -\frac{1}{3}{{\cot }^{2}}30{}^\circ -\frac{1}{8}{{\sec }^{2}}45{}^\circ} এর মান 1 

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি : কষে দেখি - 23.2

Q5. মান নির্ণয় করি :  (iv) \frac{4}{3}{{\cot }^{2}}30{}^\circ +3{{\sin }^{2}}60{}^\circ -2\text{cose}{{\text{c}}^{2}}60{}^\circ -\frac{3}{4}{{\tan }^{2}}30{}^\circ

সমাধান :

প্রদত্ত

\frac{4}{3}{{\cot }^{2}}30{}^\circ +3{{\sin }^{2}}60{}^\circ -2\text{cose}{{\text{c}}^{2}}60{}^\circ -\frac{3}{4}{{\tan }^{2}}30{}^\circ

=\frac{4}{3}\times \left ( \sqrt{3} \right )^{2}+3\times \left ( \frac{\sqrt{3}}{2} \right )^{2}-2\times \left ( \frac{2}{\sqrt{3}} \right )^{2}-\frac{3}{4}\times \left ( \frac{1}{\sqrt{3}} \right )^{2}

=\frac{4}{3}\times 3+3\times \frac{3}{4}-2\times \frac{4}{3}-\frac{3}{4}\times \frac{1}{3}

=4+\frac{9}{4}-\frac{8}{3}-\frac{1}{4}

=\frac{48+27-32-3}{12}

=\frac{75-35}{12}

=\frac{40}{12}

=\frac{10}{3}

=3\frac{1}{3}

উত্তরঃ নির্ণেয় {\color{DarkGreen} \frac{4}{3}{{\cot }^{2}}30{}^\circ +3{{\sin }^{2}}60{}^\circ -2\text{cose}{{\text{c}}^{2}}60{}^\circ -\frac{3}{4}{{\tan }^{2}}30{}^\circ} এর মান {\color{DarkGreen} 3\frac{1}{3}}

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি : কষে দেখি - 23.2

Q5. মান নির্ণয় করি :  (v) \frac{\frac{1}{3}\cos 30{}^\circ }{\frac{1}{2}\sin 45{}^\circ }+\frac{\tan 60{}^\circ }{\cos 30{}^\circ }

সমাধান :

প্রদত্ত

\frac{\frac{1}{3}\cos 30{}^\circ }{\frac{1}{2}\sin 45{}^\circ }+\frac{\tan 60{}^\circ }{\cos 30{}^\circ }

=\frac{\frac{1}{3}\times \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}\times \frac{1}{\sqrt{2}}}+\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} {\color{Blue} \left [ \because cos30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}, sin45^{\circ}=\frac{1}{\sqrt{2}}, tan60^{\circ}=\sqrt{3}, cos30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2} \right ]}

=\frac{\frac{1}{2\sqrt{3}}}{\frac{1}{2\sqrt{2}}}+\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}

=\left ( \frac{1}{2\sqrt{3}}\times \frac{2\sqrt{2}}{1} \right )+\left ( \sqrt{3}\times \frac{2}{\sqrt{3}} \right )

=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}+2

=\frac{\sqrt{2}+2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}

=\frac{\sqrt{3}\left (\sqrt{2}+2\sqrt{3} \right )}{\sqrt{3}\times \sqrt{3}}  { লব ও হর উভয়কে {\color{Blue} \sqrt{3}} দিয়ে গুন্ করে পাই ]

=\frac{\sqrt{6}+6}{3}

উত্তরঃ নির্ণেয় {\color{DarkGreen} \frac{\frac{1}{3}\cos 30{}^\circ }{\frac{1}{2}\sin 45{}^\circ }+\frac{\tan 60{}^\circ }{\cos 30{}^\circ }} এর মান {\color{DarkGreen} \frac{\sqrt{6}+6}{3}}

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি : কষে দেখি - 23.2

Q5. মান নির্ণয় করি :  (vi) {{\cot }^{2}}30{}^\circ -2{{\cos }^{2}}60{}^\circ -\frac{3}{4}{{\sec }^{2}}45{}^\circ -4{{\sin }^{2}}30{}^\circ

সমাধান :

প্রদত্ত,

{{\cot }^{2}}30{}^\circ -2{{\cos }^{2}}60{}^\circ -\frac{3}{4}{{\sec }^{2}}45{}^\circ -4{{\sin }^{2}}30{}^\circ

=\left ( \sqrt{3} \right )^{2}-2\times \left ( \frac{1}{2} \right )^{2}-\frac{3}{4}\times \left ( \sqrt{2} \right )^{2}-4\times \left ( \frac{1}{2} \right )^{2}

=3-2\times \frac{1}{4}-\frac{3}{4}\times 2-4\times \frac{1}{4}

=3-\frac{1}{2}-\frac{3}{2}-1

=\frac{6-1-3-2}{2}

=\frac{6-6}{2}

=\frac{0}{2}=0

উত্তরঃ নির্ণেয় {\color{DarkGreen} {{\cot }^{2}}30{}^\circ -2{{\cos }^{2}}60{}^\circ -\frac{3}{4}{{\sec }^{2}}45{}^\circ -4{{\sin }^{2}}30{}^\circ} এর মান 0 .

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি : কষে দেখি - 23.2

Q5. মান নির্ণয় করি :  (vii) {{\sec }^{2}}60{}^\circ -{{\cot }^{2}}30{}^\circ -\frac{2\tan 30{}^\circ \text{cosec}60{}^\circ }{1+{{\tan }^{2}}30{}^\circ }

সমাধান :

প্রদত্ত

{{\sec }^{2}}60{}^\circ -{{\cot }^{2}}30{}^\circ -\frac{2\tan 30{}^\circ \text{cosec}60{}^\circ }{1+{{\tan }^{2}}30{}^\circ }

=\left ( \sqrt{3} \right )^{2}-2\times \left ( \frac{1}{2} \right )^{2}-\frac{3}{4}\times \left ( \sqrt{2} \right )^{2}-4\times \left ( \frac{1}{2} \right )^{2}

=3-\frac{1}{2}-\frac{3}{2}-1

=\frac{6-1-3-2}{2}

=\frac{6-6}{2}

=\frac{0}{2}=0

উত্তরঃ নির্ণেয় {\color{DarkGreen} {{\sec }^{2}}60{}^\circ -{{\cot }^{2}}30{}^\circ -\frac{2\tan 30{}^\circ \text{cosec}60{}^\circ }{1+{{\tan }^{2}}30{}^\circ }} এর মান 0 .

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি : কষে দেখি - 23.2

Q5. মান নির্ণয় করি :  (viii) \frac{\tan 60{}^\circ -\tan 30{}^\circ }{1+\tan 60{}^\circ \tan 30{}^\circ }+\cos 60{}^\circ \cos 30{}^\circ +\sin 60{}^\circ \sin 30{}^\circ

সমাধান :

প্রদত্ত

\frac{\tan 60{}^\circ -\tan 30{}^\circ }{1+\tan 60{}^\circ \tan 30{}^\circ }+\cos 60{}^\circ \cos 30{}^\circ +\sin 60{}^\circ \sin 30{}^\circ

=\frac{\sqrt{3}-\frac{1}{\sqrt{3}}}{1+\sqrt{3}\times \frac{1}{\sqrt{3}}}+\frac{1}{2}\times \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\times \frac{1}{2}

=\frac{\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}}}{1+1}+\frac{\sqrt{3}}{4}+\frac{\sqrt{3}}{4}

=\frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{3}}+\frac{2\sqrt{3}}{4}

=\frac{\sqrt{3}\left (\sqrt{3}-1 \right )}{\sqrt{3}\times 2\sqrt{3}}+\frac{2\sqrt{3}}{4}

=\frac{3-\sqrt{3}}{6}+\frac{2\sqrt{3}}{4}

=\frac{2\left ( 3-\sqrt{3} \right )+3\times 2\sqrt{3}}{12}

=\frac{6-2\sqrt{3}+6\sqrt{3}}{12}

=\frac{6+4\sqrt{3}}{12}

=\frac{2\left ( 3+2\sqrt{3} \right )}{2\times 6}

=\frac{\left ( 3+2\sqrt{3} \right )}{6}

উত্তরঃ নির্ণেয় {\color{DarkGreen} \frac{\tan 60{}^\circ -\tan 30{}^\circ }{1+\tan 60{}^\circ \tan 30{}^\circ }+\cos 60{}^\circ \cos 30{}^\circ +\sin 60{}^\circ \sin 30{}^\circ} এর মান {\color{DarkGreen} \frac{\left ( 3+2\sqrt{3} \right )}{6}}

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি : কষে দেখি - 23.2

Q5. মান নির্ণয় করি :  (ix) \frac{1-{{\sin }^{2}}30{}^\circ }{1+{{\sin }^{2}}45{}^\circ }\times \frac{{{\cos }^{2}}60{}^\circ +{{\cos }^{2}}30{}^\circ }{\text{cose}{{\text{c}}^{2}}90{}^\circ -{{\cot }^{2}}90{}^\circ }\div \left( \sin 60{}^\circ \tan 30{}^\circ \right)

সমাধান :

প্রদত্ত

\frac{1-{{\sin }^{2}}30{}^\circ }{1+{{\sin }^{2}}45{}^\circ }\times \frac{{{\cos }^{2}}60{}^\circ +{{\cos }^{2}}30{}^\circ }{\text{cose}{{\text{c}}^{2}}90{}^\circ -{{\cot }^{2}}90{}^\circ }\div \left( \sin 60{}^\circ \tan 30{}^\circ \right)

=\frac{1-\left ( \frac{1}{2} \right )^{2}}{1+\left ( \frac{1}{\sqrt{2}} \right )^{2}}\times \frac{\left ( \frac{1}{2} \right )^{2}+\left ( \frac{\sqrt{3}}{2} \right )^{2}}{\left ( 1 \right )^{2}-\left ( 0 \right )^{2}} \div \left( \frac{\sqrt{3}}{2}\times \frac{1}{\sqrt{3}} \right)

=\frac{1-\frac{1}{4}}{1+\frac{1}{2}}\times \frac{\frac{1}{4}+\frac{3}{4}}{1} \div \frac{1}{2}

=\frac{\frac{3}{4}}{\frac{3}{2}}\times \frac{\frac{4}{4}}{1} \div \frac{1}{2}

=\frac{3}{4}\times \frac{2}{3}\times \frac{1}{1}\times \frac{2}{1}

= 1

উত্তরঃ নির্ণেয় {\color{DarkGreen} \frac{1-{{\sin }^{2}}30{}^\circ }{1+{{\sin }^{2}}45{}^\circ }\times \frac{{{\cos }^{2}}60{}^\circ +{{\cos }^{2}}30{}^\circ }{\text{cose}{{\text{c}}^{2}}90{}^\circ -{{\cot }^{2}}90{}^\circ }\div \left( \sin 60{}^\circ \tan 30{}^\circ \right)} এর মান 1 .

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি : কষে দেখি - 23.2

Q6. দেখাই যে, 

 (i) {{\sin }^{2}}45{}^\circ +{{\cos }^{2}}45{}^\circ =1

সমাধান :

বামপক্ষ : 

{{\sin }^{2}}45{}^\circ +{{\cos }^{2}}45{}^\circ

=\left ( \frac{1}{\sqrt{2}} \right )^{2}+\left ( \frac{1}{\sqrt{2}} \right )^{2} {\color{Blue} \left [ \because sin45^{\circ}=\frac{1}{\sqrt{2}},cos45^{\circ}=\frac{1}{\sqrt{2}} \right ]}

=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}

=\frac{1+1}{2}

=\frac{2}{2}

= 1

ডানপক্ষ :

1

∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ (প্রমাণিত)

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি : কষে দেখি - 23.2

Q6. দেখাই যে,  

(ii) \cos 60{}^\circ ={{\cos }^{2}}30{}^\circ -{{\sin }^{2}}30{}^\circ

সমাধান :

বামপক্ষ : 

\cos 60{}^\circ

=\frac{1}{2}

ডানপক্ষ :

{{\cos }^{2}}30{}^\circ -{{\sin }^{2}}30{}^\circ

=\left ( \frac{\sqrt{3}}{2} \right )^{2}-\left ( \frac{1}{2} \right )^{2}

=\frac{3}{4}-\frac{1}{4}

=\frac{3-1}{4}

=\frac{2}{4}

=\frac{1}{2}

বামপক্ষ = ডানপক্ষ (প্রমাণিত)

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি : কষে দেখি - 23.2

Q6. দেখাই যে, 

(iii) \frac{2\tan 30{}^\circ }{1-{{\tan }^{2}}30{}^\circ }=\sqrt{3}

সমাধান :

বামপক্ষ : 

\frac{2\tan 30{}^\circ }{1-{{\tan }^{2}}30{}^\circ }

=\frac{2\times \frac{1}{\sqrt{3}}}{1-\left ( \frac{1}{\sqrt{3}} \right )^{2}}

=\frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{1-\frac{1}{3}}

=\frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{\frac{3-1}{3}}

=\frac{2}{\sqrt{3}}\times \frac{3}{2}

=\sqrt{3}

ডানপক্ষ :

\sqrt{3}

বামপক্ষ = ডানপক্ষ (প্রমাণিত)

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি : কষে দেখি - 23.2

Q6. দেখাই যে,  

(iv) \sqrt{\frac{1+\cos 30{}^\circ }{1-\cos 30{}^\circ }}=\sec 60{}^\circ +\tan 60{}^\circ

সমাধান :

বামপক্ষ : 

\sqrt{\frac{1+\cos 30{}^\circ }{1-\cos 30{}^\circ }}

=\sqrt{\frac{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}}

=\sqrt{\frac{\frac{2+\sqrt{3}}{2}}{\frac{2-\sqrt{3}}{2}}}

=\sqrt{\frac{2+\sqrt{3}}{2}\times \frac{2}{2-\sqrt{3}}}

=\sqrt{\frac{\left (2+\sqrt{3} \right )\left (2+\sqrt{3} \right )}{\left (2-\sqrt{3} \right )\left (2+\sqrt{3} \right )}}

=\frac{2+\sqrt{3}}{\sqrt{2^{2}-\left ( \sqrt{3} \right )^{2}}}

=\frac{2+\sqrt{3}}{ \sqrt{4-3}}

=\frac{2+\sqrt{3}}{ \sqrt{1}}

=2+\sqrt{3}

ডানপক্ষ :

\sec 60{}^\circ +\tan 60{}^\circ

=2+\sqrt{3}

বামপক্ষ = ডানপক্ষ (প্রমাণিত)

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি : কষে দেখি - 23.2

Q6. দেখাই যে,  

(v) \frac{2{{\tan }^{2}}30{}^\circ }{1-{{\tan }^{2}}30{}^\circ }+{{\sec }^{2}}45{}^\circ -{{\cot }^{2}}45{}^\circ =\sec 60{}^\circ

সমাধান :

বামপক্ষ : 

\frac{2{{\tan }^{2}}30{}^\circ }{1-{{\tan }^{2}}30{}^\circ }+{{\sec }^{2}}45{}^\circ -{{\cot }^{2}}45{}^\circ

=\frac{2\times \left ( \frac{1}{\sqrt{3}} \right )^{2}}{1-\left ( \frac{1}{\sqrt{3}} \right )^{2}}+\left ( \sqrt{2} \right )^{2}-\left ( 1 \right )^{2}

=\frac{\frac{2}{3}}{1-\frac{1}{3}}+2-1

=\frac{2}{3}\times \frac{3}{2}+1

= 1 + 1

= 2

ডানপক্ষ :

\sec 60{}^\circ

= 2

বামপক্ষ = ডানপক্ষ (প্রমাণিত)

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি : কষে দেখি - 23.2

Q6. দেখাই যে,  

(vi) {{\tan }^{2}}\frac{\pi }{4}\sin \frac{\pi }{3}\tan \frac{\pi }{6}{{\tan }^{2}}\frac{\pi }{3}=1\frac{1}{2}

সমাধান :

বামপক্ষ : 

{{\tan }^{2}}\frac{\pi }{4}\sin \frac{\pi }{3}\tan \frac{\pi }{6}{{\tan }^{2}}\frac{\pi }{3}=1\frac{1}{2}

=tan^{2}\frac{180^{\circ}}{4}sin\frac{180^{\circ}}{3}tan\frac{180^{\circ}}{6}tan^{2}\frac{180^{\circ}}{3} {\color{Blue} \left [ \because \pi =180^{\circ} \right ]}

=tan^{2}45^{\circ}sin60^{\circ}tan30^{\circ}tan^{2}60^{\circ}

=\left ( 1 \right )^{2}\times \frac{\sqrt{3}}{2}\times \frac{1}{\sqrt{3}}\times \left ( \sqrt{3} \right )^{2}

=1\times \frac{1}{2}\times 3

=\frac{3}{2}

=1\frac{1}{2}

ডানপক্ষ :

1\frac{1}{2}

∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ (প্রমাণিত)

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি : কষে দেখি - 23.2

Q6. দেখাই যে,  

(vii) \sin \frac{\pi }{3}\tan \frac{\pi }{6}+\sin \frac{\pi }{2}\cos \frac{\pi }{3}=2{{\sin }^{2}}\frac{\pi }{4}

সমাধান :

বামপক্ষ : 

\sin \frac{\pi }{3}\tan \frac{\pi }{6}+\sin \frac{\pi }{2}\cos \frac{\pi }{3}

=sin\frac{180^{\circ}}{3}tan\frac{180^{\circ}}{6}+sin\frac{180^{\circ}}{2}cos\frac{180^{\circ}}{3} {\color{Blue} \left [ \because \pi =180^{\circ} \right ]}

=sin60^{\circ}tan30^{\circ}+sin90^{\circ}cos60^{\circ}

=\frac{\sqrt{3}}{2}\times \frac{1}{\sqrt{3}}+1\times \frac{1}{2}

=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}

= 1

ডানপক্ষ :

2{{\sin }^{2}}\frac{\pi }{4}

=2sin^{2}\left ( \frac{180^{\circ}}{4} \right )

=2sin^{2}45^{\circ}

=2\times \left ( \frac{1}{\sqrt{2}} \right )^{2} {\color{Blue} \left [ \because sin45^{\circ}=\frac{1}{\sqrt{2}} \right ]}

=2\times \frac{1}{2}

= 1

∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ (প্রমাণিত)

koshe dekhi 23.2 class 10

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি : কষে দেখি - 23.2

Q7. (i)  x\sin 45{}^\circ \cos 45{}^\circ \tan 60{}^\circ ={{\tan }^{2}}45{}^\circ -\cos 60{}^\circ হলে, x -এর মান নির্ণয় করি।

সমাধান :

প্রদত্ত, 

x\sin 45{}^\circ \cos 45{}^\circ \tan 60{}^\circ ={{\tan }^{2}}45{}^\circ -\cos 60{}^\circ

বা, x\times \frac{1}{\sqrt{2}}\times \frac{1}{\sqrt{2}}\times \sqrt{3}=\left ( 1 \right )^{2}-\frac{1}{2}

বা,  \frac{\sqrt{3}x}{2}=1-\frac{1}{2}

বা,  \frac{\sqrt{3}x}{2}=\frac{1}{2}

বা,  \sqrt{3}x=1

\therefore x=\frac{1}{\sqrt{3}}

উত্তরঃ নির্ণেয় x -এর মান {\color{DarkGreen} \frac{1}{\sqrt{3}}}

koshe dekhi 23.2 class 10

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি : কষে দেখি - 23.2

Q7. (ii)  x\sin 60{}^\circ {{\cos }^{2}}30{}^\circ =\frac{{{\tan }^{2}}45{}^\circ \sec 60{}^\circ }{\text{cosec}60{}^\circ } হলে,  x -এর মান নির্ণয় করি।

সমাধান :

প্রদত্ত,

x\sin 60{}^\circ {{\cos }^{2}}30{}^\circ =\frac{{{\tan }^{2}}45{}^\circ \sec 60{}^\circ }{\text{cosec}60{}^\circ }

বা, x\times \frac{\sqrt{3}}{2}\times \left ( \frac{\sqrt{3}}{2} \right )^{2}=\frac{\left ( 1 \right )^{2}\times 2}{\frac{2}{\sqrt{3}}}

বা,   \frac{3\sqrt{3}x}{8}=2\times \frac{\sqrt{3}}{2}

বা,  \frac{3x}{8}=1

\therefore x=\frac{8}{3}=2\frac{2}{3}

উত্তরঃ নির্ণেয় x -এর মান {\color{DarkGreen} 2\frac{2}{3}} .

koshe dekhi 23.2 class 10

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি : কষে দেখি - 23.2

Q7. (iii)  {{x}^{2}}={{\sin }^{2}}30{}^\circ +4{{\cot }^{2}}45{}^\circ -{{\sec }^{2}}60{}^\circ হলে, x -এর মান নির্ণয় করি।

সমাধান :

প্রদত্ত,  {{x}^{2}}={{\sin }^{2}}30{}^\circ +4{{\cot }^{2}}45{}^\circ -{{\sec }^{2}}60{}^\circ

বা, x^{2}=\left ( \frac{1}{2} \right )^{2}+4\left ( 1 \right )^{2}-\left ( 2 \right )^{2}

বা, x^{2}=\frac{1}{4}+4-4

বা, x^{2}=\frac{1}{4}

বা,x=\pm \sqrt{\frac{1}{4}}

\therefore x=\frac{1}{2}

উত্তরঃ নির্ণেয় x -এর মান {\color{DarkGreen} \frac{1}{2}}.

koshe dekhi 23.2 class 10

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি : কষে দেখি - 23.2

Q8. x\tan 30{}^\circ +y\cot 60{}^\circ =0 এবং 2x-y\tan 45{}^\circ =1 হলে  x  ও  y  এর মান হিসাব করে লিখি।

সমাধান :

প্রদত্ত,

  x\tan 30{}^\circ +y\cot 60{}^\circ =0

বা, x\times \frac{1}{\sqrt{3}}+y\times \frac{1}{\sqrt{3}}=0

বা, \frac{1}{\sqrt{3}}\left ( x+y \right )=0

বা, x+y=0\times \sqrt{3}

বা, x+y=0 ……….(i)

প্রদত্ত,

  2x-y\tan 45{}^\circ =1

বা, 2x-y\times 1=1 {\color{Blue} \left [ \because tan45^{\circ}=1 \right ]}

বা, 2x-y=1 ……….(ii)

(1) নং ও (2) নং সমীকরণ যোগ করে পাই,

x+y+2x-y=0+1

বা, 3x = 1 

\therefore x=\frac{1}{3}

(1) নং সমীকরণে  {\color{Blue} x=\frac{1}{3}} বসিয়ে পাই,

\frac{1}{3}+y=0

\therefore y=-\frac{1}{3}

উত্তরঃ নির্ণেয় {\color{DarkGreen} x=\frac{1}{3};y=-\frac{1}{3}}

koshe dekhi 23.2 class 10

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি : কষে দেখি - 23.2

Q9. যদি A = B = 45° হয়, তবে যাচাই করি যে,

(i) \sin \left( A+B \right)=\sin A\cos B+\cos A\sin B

সমাধান :

বামপক্ষ : 

sin\left ( A+B \right )

A  ও  B  এর মান (= 45°) বসিয়ে পাই,

\Rightarrow sin\left ( 45^{\circ}+45^{\circ} \right )

=sin90^{\circ}

=1\; \; [\because sin90^{\circ}=1]

ডানপক্ষ :

sinA.cosB+cosA.sinB

A  ও  B  এর মান (= 45°) বসিয়ে পাই,

=sin45^{\circ}.cos45^{\circ}+cos45^{\circ}.sin45^{\circ}

=\left ( \frac{1}{\sqrt{2}} \right ).\left ( \frac{1}{\sqrt{2}} \right )+\left ( \frac{1}{\sqrt{2}} \right ).\left ( \frac{1}{\sqrt{2}} \right )\; \; [\because sin45^{\circ}=cos45^{\circ}=\frac{1}{\sqrt{2}}]

=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\Rightarrow \frac{1+1}{2}\Rightarrow \frac{2}{2}=1

{\color{DarkGreen} \therefore \sin \left( A+B \right)=\sin A\cos B+\cos A\sin B}  (প্রমানিত)

koshe dekhi 23.2 class 10

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি : কষে দেখি - 23.2

Q9. যদি A = B = 45° হয়, তবে যাচাই করি যে,

(ii) \cos \left( A+B \right)=\cos A\cos B-\sin A\sin B

সমাধান :

বামপক্ষ : 

cos\left ( A+B \right )

A  ও  B  এর মান (= 45°) বসিয়ে পাই,

\Rightarrow cos\left ( 45^{\circ}+45^{\circ} \right )

=cos90^{\circ}

=0\; \; [\because cos90^{\circ}=0]

ডানপক্ষ :

cosA.cosB-sinA.sinB

A  ও  B  এর মান (= 45°) বসিয়ে পাই,

=cos45^{\circ}.cos45^{\circ}-sin45^{\circ}.sin45^{\circ}

=\left ( \frac{1}{\sqrt{2}} \right ).\left ( \frac{1}{\sqrt{2}} \right )-\left ( \frac{1}{\sqrt{2}} \right ).\left ( \frac{1}{\sqrt{2}} \right )\; \; {\color{Blue} [\because sin45^{\circ}=cos45^{\circ}=\frac{1}{\sqrt{2}}]}

=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\Rightarrow 0

 {\color{DarkGreen} \cos \left( A+B \right)=\cos A\cos B-\sin A\sin B} (প্রমানিত)

koshe dekhi 23.2 class 10

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি : কষে দেখি - 23.2

Q10. (i) ABC সমবাহু ত্রিভুজের BD একটি মধ্যমা। প্রমাণ করি যে, \tan \angle ABD=\cot \angle BAD

সমাধান :

 

 

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি : কষে দেখি - 23.2

\because BD হলো সমবাহু  \Delta ABC  এর মধ্যমা।

BD \bot AC  অর্থাৎ  \angle BDA=90^{\circ}

\Delta ABD  এর  \angle BAD+\angle ABD=180^{\circ}-\angle BDA

অর্থাৎ,  \angle BAD+\angle ABD=180^{\circ}-90^{\circ}\Rightarrow 90^{\circ}

\therefore \angle ABD=90^{\circ}-\angle BAD

এখন,  সমকোণী  \Delta ABD  এর  tan\angle ABD\Rightarrow tan\left ( 90^{\circ}-\angle BAD \right )\; \; [\because \angle ABD=90^{\circ}-\angle BAD]

{\color{DarkGreen} \therefore tan\angle ABD=cot\angle BAD\; \; \;} {\color{Blue} [\because tan\left ( 90^{\circ}- \theta \right )=cot \theta]} (প্রমানিত)

koshe dekhi 23.2 class 10

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি : কষে দেখি - 23.2

Q10. (ii) ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের AB = AC এবং \angle BAC={{90}^{\circ }};\angle BAC এর সমদ্বিখণ্ডক BC বাহুকে D বিন্দুতে ছেদ করে।

প্রমাণ করি যে, \frac{sec\angle ACD}{sin\angle CAD}=cosec^{2}\angle CAD

সমাধান :

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি : কষে দেখি - 23.2

\because ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ  এবং  AD হলো  \angle BAC  এর সমদ্বিখণ্ডক।

AD \bot BC অর্থাৎ  \angle ADC=90^{\circ}

\Delta ADC  এর \angle CAD+\angle ACD=180^{\circ}-\angle ADC\Rightarrow 180^{\circ}-90^{\circ}

অর্থাৎ, \angle CAD+\angle ACD=90^{\circ}

\angle ACD=90^{\circ}-\angle CAD

এখন,  সমকোণী  \Delta ADC  এর    \frac{sec\angle ACD}{sin\angle CAD}\Rightarrow \frac{sec\left ( 90^{\circ}-\angle CAD \right )}{sin\angle CAD}\; \; [\because \angle ACD=90^{\circ}-\angle CAD]

\Rightarrow \frac{cosec\angle CAD}{sin\angle CAD}\; \; \; [\because sec\left ( 90^{\circ}- \theta)=cosec \theta \right]

\Rightarrow cosec^{2}\angle CAD\; \; \; [\because \frac{1}{sin \theta}=cosec \theta]

 {\color{DarkGreen} \frac{sec\angle ACD}{sin\angle CAD}=cosec^{2}\angle CAD} (প্রমানিত)

koshe dekhi 23.2 class 10

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি : কষে দেখি - 23.2

Q11. \theta \left( 0{}^\circ \le \theta \le {{90}^{\circ }} \right) -এর কোণ মান/মানগুলির জন্য 2{{\cos }^{2}}\theta -3\cos \theta +1=0 সত্য হবে নির্ণয় করি।

সমাধান :

প্রদত্ত,  2{{\cos }^{2}}\theta -3\cos \theta +1=0

\Rightarrow 2cos^{2}\theta -\left ( 2+1 \right )cos\theta +1=0

\Rightarrow 2cos^{2} \theta-2cos \theta-cos \theta+1=0

\Rightarrow 2cos \theta\left ( cos \theta -1 \right )-\left ( cos \theta -1 \right )=0

\Rightarrow \left ( cos \theta -1 \right )\left ( 2cos \theta -1 \right )=0

হয়,  cos \theta -1 =0

\Rightarrow cos \theta=1

\Rightarrow cos \theta=cos0^{\circ}

\therefore \theta=0^{\circ}

অথবা, 2cos \theta - 1=0

\Rightarrow 2cos \theta=1

\Rightarrow cos \theta=\frac{1}{2}\Rightarrow cos60^{\circ}

\therefore \theta=60^{\circ}

উত্তরঃ নির্ণেয়,  {\color{DarkGreen} \theta=0^{\circ};60^{\circ}}

koshe dekhi 23.2 class 10

 

koshe dekhi 23.2 class 10

Thank You

2 thoughts on “Koshe Dekhi 23.2 Class 10”

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

Insert math as
Block
Inline
Additional settings
Formula color
Text color
#333333
Type math using LaTeX
Preview
\({}\)
Nothing to preview
Insert
error: Content is protected !!