Koshe Dekhi 24 Class 10

koshe dekhi 24 class 10

পূরক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত : কষে দেখি - 24

Q1. মান নির্ণয় করি : (i) $\frac{\sin 38{}^\circ }{\cos 52{}^\circ }$

সমাধান :

প্রদত্ত,

$\frac{\sin 38{}^\circ }{\cos 52{}^\circ }$

$=\frac{sin\left ( 90^{\circ}-52^{\circ} \right )}{cos52^{\circ}}$

$=\frac{cos52^{\circ}}{cos52^{\circ}} {\color{Blue}\left [ \because sin\left ( 90^{\circ}-\theta \right )=cos\theta \right ] }$

= 1

koshe dekhi 24 class 10

পূরক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত : কষে দেখি - 24

Q1. মান নির্ণয় করি : (ii) $\frac{\text{cosec}79{}^\circ }{\sec 11{}^\circ }$

সমাধান :

প্রদত্ত,

$\frac{\text {cosec}\, 79{}^\circ }{\sec 11{}^\circ }$

$=\frac{\text{cosec}\left (90{}^\circ -11^{\circ} \right )}{\sec 11{}^\circ }$

$=\frac{sec 11^{\circ}}{sec 11^{\circ}} {\color{Blue} \left [ \because cosec\left ( 90^{\circ}-\theta \right )=sec\theta \right ]}$

= 1

koshe dekhi 24 class 10

পূরক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত : কষে দেখি - 24

Q1. মান নির্ণয় করি : (iii) $\frac{\tan 27{}^\circ }{\cot 63{}^\circ }$

সমাধান :

প্রদত্ত,

$\frac{\tan 27{}^\circ }{\cot 63{}^\circ }$

$=\frac{tan\left ( 90^{\circ}-63^{\circ} \right ) }{\cot 63{}^\circ }$

$=\frac{\cot 63{}^\circ }{\cot 63{}^\circ } {\color{Blue} \left [ \because tan\left ( 90^{\circ}-\theta \right )=cot\theta \right ]}$

= 1

koshe dekhi 24 class 10

পূরক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত : কষে দেখি - 24

Q2. দেখাই যে : (i) $sin66^{\circ}-cos24^{\circ}=0$

সমাধান :

বামপক্ষ :

$sin66^{\circ}-cos24^{\circ}$

$=sin\left (90^{\circ}-24^{\circ} \right )-cos24^{\circ}$

$=cos24^{\circ}-cos24^{\circ} {\color{Blue} \left [ \because sin\left ( 90^{\circ}-\theta \right )=cos\theta \right ]}$

= 0

ডানপক্ষ :

∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ (প্রমানিত)

koshe dekhi 24 class 10

পূরক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত : কষে দেখি - 24

Q2. দেখাই যে : (ii) $cos^{2}57 \degree + cos^{2}33 \degree=1$

সমাধান :

বামপক্ষ :

$cos^{2}57 \degree + cos^{2}33 \degree$

$=cos^{2}\left (90 \degree -33 \degree \right ) + cos^{2}33 \degree$

$=sin^{2}33 \degree + cos^{2}33 \degree {\color{Blue} \left [ \because cos^{2}\left ( 90^{\circ}-\theta \right )=sin^{2}\theta \right ]}$

= 1 ${\color{Blue} \left [ \because sin^{2}\theta +cos^{2}\theta =1 \right ]}$

ডানপক্ষ :

∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ (প্রমানিত)

koshe dekhi 24 class 10

পূরক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত : কষে দেখি - 24

Q2. দেখাই যে : (iii) $cos^{2}75 \degree - sin^{2}15 \degree = 0$

সমাধান :

বামপক্ষ :

$cos^{2}75 \degree-sin^{2}15 \degree$

$=cos^{2}\left ( 90-15 \right )\degree-sin^{2}15 \degree$

$=sin^{2}15 \degree-sin^{2}15 \degree$ ${\color{Blue} [\because cos\left ( 90-\theta \right )=sin \theta]}$

$=0$

ডানপক্ষ :

∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ (প্রমানিত)

koshe dekhi 24 class 10

পূরক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত : কষে দেখি - 24

Q2. দেখাই যে : (iv) $cosec^{2}48 - tan^{2}42 \degree = 1$

সমাধান :

বামপক্ষ :

$cosec^{2}48 - tan^{2}42 \degree$

$=cosec^{2}\left ( 90 \degree - 42 \degree \right ) - tan^{2}42 \degree$

$=sec^{2}42 \degree - tan^{2}42 \degree {\color{Blue} \left [ \because cosec^{2}\left ( 90-\theta \right )=sec^{2}\theta \right ]}$

= 1 ${\color{Blue} [\because sec^{2}\theta -tan^{2}\theta =1]}$

ডানপক্ষ :

∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ (প্রমানিত)

koshe dekhi 24 class 10

পূরক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত : কষে দেখি - 24

Q2. দেখাই যে : (v) $sec70 \degree sin20 \degree + cos20 \degree cosec70 \degree = 2$

সমাধান :

বামপক্ষ :

$sec70 \degree.sin20 \degree +cos20 \degree.cosec70 \degree$

$=sec\left ( 90-20 \right ) \degree.sin20 \degree + cos20 \degree.cosec\left ( 90-20 \right ) \degree$

$=cosec20 \degree.sin20 \degree + cos20 \degree.sec20 \degree$ ${\color{Blue} [\because cosec\left ( 90-\theta \right )=sec \theta; \; sec\left ( 90-\theta \right )=cosec \theta]}$

$=\frac{1}{sin20 \degree}\times sin20 \degree+cos20 \degree \times \frac{1}{cos20 \degree}$ ${\color{Blue} [\because cosec \theta=\frac{1}{sin \theta};\; \; sec \theta=\frac{1}{cos \theta}]}$

$=1+1$

$=2$

ডানপক্ষ :

∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ (প্রমানিত)

koshe dekhi 24 class 10

পূরক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত : কষে দেখি - 24

Q3. যদি $\large \alpha$ ও $\large \beta$ কোন দুটি পরস্পর পূরক কোন হয়, তাহলে দেখাই যে,

(i) $\dpi{100} \large {{\sin }^{2}}\alpha +{{\sin }^{2}}\beta =1$

সমাধান :

বামপক্ষ :

$sin^{2} \alpha + sin^{2} \beta$

$=sin^{2} \alpha + sin^{2}\left ( 90-\alpha \right )$ ${\color{Blue} [\because \alpha +\beta =90 \degree;\Rightarrow \beta =90 \degree - \alpha ]}$

$=sin^{2}\alpha +cos^{2}\alpha$ ${\color{Blue} [\because sin\left ( 90-\alpha \right )=cos\alpha ]}$

$=1{\color{Blue} [\because sin^{2}\theta +cos^{2}\theta =1]}$

ডানপক্ষ :

∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ (প্রমানিত)

koshe dekhi 24 class 10

পূরক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত : কষে দেখি - 24

Q3. যদি $\large \alpha$ ও $\large \beta$ কোন দুটি পরস্পর পূরক কোন হয়, তাহলে দেখাই যে,

(ii) $\cot \beta +\cos \beta =\frac{\cos \beta }{\cos \alpha }\left( 1+\sin \beta \right)$

সমাধান :

বামপক্ষ :

$cot\beta +cos\beta$

ডানপক্ষ :

$\frac{cos\beta }{cos\alpha }\left ( 1+sin\beta \right )$

$=\frac{cos\beta }{cos\left ( 90-\beta \right )}\left ( 1+sin\beta \right )$ ${\color{Blue} [\because \alpha +\beta =90 \degree;\Rightarrow \alpha =90 \degree - \beta ]}$

$=\frac{cos\beta }{sin\beta }\left ( 1+sin\beta \right )$ ${\color{Blue} [\because cos\left ( 90-\theta \right )=sin\theta }]$

$=\frac{cos\beta }{sin\beta }\times 1+\frac{cos\beta }{sin\beta }\times sin\beta$

$=\frac{cos\beta }{sin\beta }+cos\beta$

$=cot\beta +cos\beta$ ${\color{Blue} [\because \frac{cos\beta }{sin\beta }=cot\beta ]}$

∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ (প্রমানিত)

koshe dekhi 24 class 10

পূরক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত : কষে দেখি - 24

Q3. যদি $\large \alpha$ ও $\large \beta$ কোন দুটি পরস্পর পূরক কোন হয়, তাহলে দেখাই যে,

(iii) $\frac{\sec \alpha }{\cos \alpha }-{{\cot }^{2}}\beta =1$

সমাধান :

বামপক্ষ :

$\frac{sec\alpha }{cos\alpha }-cot^{2}\beta$

$=\frac{sec\alpha }{\left ( \frac{1}{sec\alpha } \right )}-cot^{2}\left ( 90-\alpha \right )$ ${\color{Blue} [\because \alpha +\beta =90 \degree;\Rightarrow \beta =90 \degree - \alpha ]}$

$=sec\alpha \times \frac{sec\alpha }{1}-tan^{2}\alpha$ ${\color{Blue} [\because cot\left ( 90-\theta \right )=tan\theta ]}$

$=sec^{2}\alpha -tan^{2}\alpha$

$=1$ ${\color{Blue} [\because sec^{2}\theta -tan^{2}\theta =1]}$

ডানপক্ষ :

∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ (প্রমানিত)

koshe dekhi 24 class 10

পূরক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত : কষে দেখি - 24

Q4. যদি $\sin 17{}^\circ =\frac{x}{y}$ হয়, তাহলে দেখাই যে, $\sec 17{}^\circ -\sin 73{}^\circ =\frac{{{x}^{2}}}{y\sqrt{{{y}^{2}}-{{x}^{2}}}}$

সমাধান :

প্রদত্ত, $\sin 17{}^\circ =\frac{x}{y}$

$\because cos\theta =\sqrt{1-sin^{2} \theta}$

$\therefore cos17 \degree=\sqrt{1-sin^{2}17 \degree}$

এখন, $\sin 17{}^\circ =\frac{x}{y}$ বসিয়ে পাই,

$\Rightarrow cos17 \degree=\sqrt{1-\left ( \frac{x}{y} \right )^{2}}$

$\Rightarrow cos17^{\circ}=\sqrt{1-\frac{x^{2}}{y^{2}}}$

$\Rightarrow cos17 \degree=\sqrt{\frac{y^{2}-x^{2}}{y^{2}}}$

$\therefore cos17^{\circ}=\frac{\sqrt{y^{2}-x^{2}}}{y}$

আবার, $\because sec\theta =\frac{1}{cos\theta }$

$\therefore sec17 \degree=\frac{1}{cos17 \degree}\Rightarrow \frac{y}{\sqrt{y^{2}-x^{2}}}$

বামপক্ষ : $sec17 \degree - sin73 \degree$

$=sec17 \degree-sin\left ( 90-17 \right ) \degree$

$=sec17 \degree-cos17 \degree$ ${\color{Blue} [\because sin\left ( 90-\theta \right )=cos\theta ]}$

এখন, $sec17 \degree$ ও $cos17 \degree$ এর মান বসিয়ে পাই,

$=\frac{y}{\sqrt{y^{2}-x^{2}}}-\frac{\sqrt{y^{2}-x^{2}}}{y}$

$=\frac{y^{2}-\left ( \sqrt{y^{2}-x^{2}} \right )^{2}}{y\sqrt{y^{2}-x^{2}}}$

$=\frac{y^{2}-\left ( y^{2}-x^{2} \right )}{y\sqrt{y^{2}-x^{2}}}$

$=\frac{y^{2}-y^{2}+x^{2}}{y\sqrt{y^{2}-x^{2}}}$

$=\frac{x^{2}}{y\sqrt{y^{2}-x^{2}}}$

ডানপক্ষ :

$\frac{x^{2}}{y\sqrt{y^{2}-x^{2}}}$

∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ (প্রমানিত)

koshe dekhi 24 class 10

পূরক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত : কষে দেখি - 24

Q5. দেখাই যে, ${{\sec }^{2}}12{}^\circ -\frac{1}{{{\tan }^{2}}78{}^\circ }=1$

সমাধান :

বামপক্ষ : ${{\sec }^{2}}12{}^\circ -\frac{1}{{{\tan }^{2}}78{}^\circ }$

$=sec^{2}12 \degree - cot^{2}78 \degree$ ${\color{Blue} [\because cot \theta= \frac{1}{tan \theta}]}$

$=sec^{2}12 \degree - cot^{2}\left ( 90-12 \right ) \degree$

$=sec^{2}12 \degree - tan^{2}12 \degree$ ${\color{Blue} [\because cot\left ( 90-\theta \right )=tan\theta ]}$

$=1$ ${\color{Blue} [\because sec^{2}\theta -tan^{2}\theta =1]}$

ডানপক্ষ :

∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ (প্রমানিত)

koshe dekhi 24 class 10

পূরক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত : কষে দেখি - 24

Q6. $\angle A +\angle B=90 \degree$ হলে, দেখাই যে, $1+\frac{\tan A}{\tan B}={{\sec }^{2}}A$

সমাধান :

বামপক্ষ : $1+\frac{tanA}{tanB}$

$=1+\frac{tanA}{tan\left ( 90-A \right )}$ ${\color{Blue} [\because A+B=90 \degree; \Rightarrow B=90 \degree-A]}$

$=1+\frac{tanA}{cotA}$ ${\color{Blue} [\because tan\left ( 90-\theta \right )=cot\theta ]}$

$=1+\left ( tanA\times \frac{1}{cotA} \right )$

$=1+\left ( tanA\times tanA \right )$ ${\color{Blue} [\because \frac{1}{cot\theta }=tan\theta ]}$

$=1+tan^{2}A$

$=sec^{2}A$ ${\color{Blue} [\because sec^{2}\theta -tan^{2}\theta =1;\Rightarrow sec^{2}\theta =1+tan^{2}\theta ]}$

ডানপক্ষ :

$sec^{2}A$

∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ (প্রমানিত)

পূরক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত : কষে দেখি - 24

Q7. দেখাই যে, $cosec^{2}22 \degree cot^{2}68 \degree = sin^{2}22 \degree + sin^{2}68 \degree + cot^{2}68 \degree$

সমাধান :

বামপক্ষ : $cosec^{2}22 \degree.cot^{2}68 \degree$

$=cosec^{2}\left ( 90-68 \right )\degree\times cot^{2}68 \degree$

$=sec^{2}68 \degree\times cot^{2}68 \degree$ ${\color{Blue} [\because cosec\left ( 90-\theta \right )=sec\theta]}$

$=\frac{1}{cos^{2}68 \degree}\times \frac{cos^{2}68 \degree}{sin^{2}68 \degree}$ ${\color{Blue} [\because sec \theta= \frac{1}{cos \theta};\; cot\theta =\frac{cos\theta}{sin\theta}]}$

$=\frac{1}{sin^{2}68 \degree}$

$=cosec^{2}68 \degree$ ${\color{Blue} [\because cosec\theta =\frac{1}{sin\theta}]}$

ডানপক্ষ : $sin^{2}22 \degree+sin^{2}68 \degree+cot^{2}68 \degree$

$=sin^{2}\left ( 90-68 \right )\degree+sin^{2}68 \degree+cot^{2}68 \degree$

$=cos^{2}68 \degree+sin^{2}68 \degree+cot^{2}68 \degree$ ${\color{Blue} [\because sin\left ( 90-\theta \right )=cos\theta]}$

$=1+cot^{2}68 \degree$ ${\color{Blue} [\because sin^{2}\theta+cos^{2}\theta=1]}$

$=cosec^{2}68 \degree$ ${\color{Blue} [\because cosec^{2}\theta-cot^{2}\theta=1;\; \Rightarrow cosec^{2}\theta=1+cot^{2}\theta]}$

∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ (প্রমানিত)

পূরক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত : কষে দেখি - 24

Q8. যদি $\angle P + \angle Q = 90 \degree$ হয়, তবে দেখাই যে, $\sqrt{\frac{\sin P}{\cos Q}-\sin P\cos Q}=\cos P$

সমাধান :

বামপক্ষ : $\sqrt{\frac{\sin P}{\cos Q}-\sin P\cos Q}$

$=\sqrt{\frac{sinP}{cos\left ( 90-P \right )}-sinP.cos\left ( 90-P \right )}$ ${\color{Blue} [\because P+Q=90\degree;\; \Rightarrow Q=90\degree-P]}$

$=\sqrt{\frac{sinP}{sinP}-sinP.sinP}$ ${\color{Blue} [\because cos\left ( 90-\theta \right )=sin\theta]}$

$=\sqrt{1-sin^{2}P}$

$=\sqrt{cos^{2}P}$ ${\color{Blue} [\because sin^{2}\theta +cos^{2}\theta =1;\; \Rightarrow cos^{2}\theta =1-sin^{2}\theta ]}$

$=cosP$

ডানপক্ষ :

$cosP$

∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ (প্রমানিত)

পূরক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত : কষে দেখি - 24

Q9. প্রমান করি যে, $cot12 \degree.cot38 \degree.cot52 \degree.cot78 \degree.cot60 \degree = \frac{1}{\sqrt 3}$

সমাধান :

বামপক্ষ : $cot12 \degree.cot38 \degree.cot52 \degree.cot78 \degree.cot60 \degree$

$=cot12 \degree.cot38 \degree.cot\left ( 90-38 \right )\degree.cot\left ( 90-12 \right )\degree.\left ( \frac{1}{\sqrt{3}} \right )$ ${\color{Blue} [\because cot60 \degree=\frac{1}{\sqrt 3}]}$

$=cot12 \degree.cot38 \degree.tan38 \degree.tan12 \degree.\left ( \frac{1}{\sqrt{3}} \right )$ ${\color{Blue} [\because cot\left ( 90-\theta \right )=tan\theta ]}$

$= \left ( cot12 \degree.tan12 \degree \right ).\left ( cot38 \degree.tan38 \degree \right ).\left ( \frac{1}{\sqrt{3}} \right )$

$=\left (1 \right ).\left ( 1 \right ).\left ( \frac{1}{\sqrt{3}} \right )$ ${\color{Blue} [\because tan\theta .cot\theta =1]}$

$=\frac{1}{\sqrt{3}}$

ডানপক্ষ :

$\frac{1}{\sqrt{3}}$

∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ (প্রমানিত)

পূরক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত : কষে দেখি - 24

Q10. O কেন্দ্রীয় যে কোনো একটি বৃত্তের AOB একটি ব্যাস এবং বৃত্তের উপর C যে কোনো একটি বিন্দু। এবার A, C; B, C এবং O, C যুক্ত করে দেখাই যে,

(i) $\tan \angle ABC=\cot \angle ACO$

সমাধান :

পূরক কোনের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত : কষে দেখি - 24

$\because$ $\Delta ACO$ এর,

OA = OC [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]

∴ $\angle CAO= \angle ACO$

আবার, $\because$ AOB হলো O কেন্দ্রীয় বৃত্তের ব্যাস এবং C বৃত্তের উপর যে কোনো একটি বিন্দু।

$\angle ACB=90 \degree$ [অর্ধবৃত্তস্থ কোন]

সুতরাং, $\angle CAB$ ও $\angle ABC$ পরস্পর পূরক কোন

অর্থাৎ, $\angle CAB+\angle ABC=90 \degree$

$\Rightarrow \angle CAO+\angle ABC=90 \degree\; \; {\color{Blue} [\because \angle CAB= \angle CAO]}$

$\Rightarrow \angle ACO+\angle ABC=90 \degree\; \; {\color{Blue} [\because \angle CAO= \angle ACO]}$

$\therefore \angle ABC=90 \degree - \angle ACO$

এখন, $tan \angle ABC=tan\left ( 90 - \angle ACO \right )$

$\therefore tan \angle ABC=cot \angle ACO\; \; \; {\color{Blue} [\because tan\left ( 90-\theta \right )=cot\theta ]}$ (প্রমানিত)

পূরক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত : কষে দেখি - 24

(ii) ${{\sin }^{2}}\angle BCO+{{\sin }^{2}}\angle ACO=1$

সমাধান :

$\because$ AOB হলো O কেন্দ্রীয় বৃত্তের ব্যাস এবং C বৃত্তের উপর যে কোনো একটি বিন্দু।

$\angle ACB=90 \degree$ [অর্ধবৃত্তস্থ কোন]

$\therefore \angle ACO+\angle BCO=90 \degree$

$\therefore \angle ACO=90 \degree - \angle BCO$

এখন, ${{\sin }^{2}}\angle BCO+{{\sin }^{2}}\angle ACO$

$=sin^{2}\angle BCO+sin^{2}\left ( 90 \degree - \angle BCO \right )$ ${\color{Blue} [\because \angle ACO=90 \degree - \angle BCO]}$

$=sin^{2}\angle BCO+cos^{2}\angle BCO$ ${\color{Blue} [\because sin\left ( 90- \theta \right )=cos \theta]}$

$=1$ ${\color{Blue} [\because sin^{2}\theta+cos^{2}\theta=1]}$ (প্রমানিত)

পূরক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত : কষে দেখি - 24

(iii) $\text{cose}{{\text{c}}^{2}}\angle CAB-1={{\tan }^{2}}\angle ABC$

সমাধান :

$\because$ AOB হলো O কেন্দ্রীয় বৃত্তের ব্যাস এবং C বৃত্তের উপর যে কোনো একটি বিন্দু।

$\angle ACB=90 \degree$ [অর্ধবৃত্তস্থ কোন]

সুতরাং, $\angle CAB$ ও $\angle ABC$ পরস্পর পূরক কোন

অর্থাৎ, $\angle CAB+\angle ABC=90 \degree$

$\Rightarrow {\color{Magenta} \angle CAB=90-\angle ABC}$

বামপক্ষ : $cosec^{2}\angle CAB-1$

$=cosec^{2}\left ( 90-\angle ABC \right )-1$ ${\color{Blue} [\because \angle CAB=90-\angle ABC]}$

$=sec^{2}\angle ABC-1$ ${\color{Blue} [\because cosec\left ( 90-\theta \right )=sec\theta ]}$

$=tan^{2}\angle ABC\; \; \; {\color{Blue} [\because sec^{2}\theta -tan^{2}\theta =1;\Rightarrow sec^{2}\theta -1=tan^{2}\theta ]}$

ডানপক্ষ :

$tan^{2}\angle ABC$

∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ (প্রমানিত)

পূরক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত : কষে দেখি - 24

Q11. ABCD একটি আয়তকার চিত্র। A, C যুক্ত করে প্রমান করি যে,

(i) $\tan \angle ACD=\cot \angle ACB$

সমাধান :

$\because$ ABCD একটি আয়তকার চিত্র।

$\therefore \angle BCD=90 \degree$

অর্থাৎ, $\angle ACD$ ও $\angle ACB$ পরস্পর পূরক কোণ।

$\therefore \angle ACD+\angle ACB=90 \degree$

$\Rightarrow \angle ACD=90 \degree-\angle ACB$

এখন, $tan\angle ACD$

$=tan\left ( 90-\angle ACB \right )\; \; {\color{Blue} [\because \angle ACD=90-\angle ACB]}$

$=cot\angle ACB\; \; \; {\color{Blue} [\because tan\left ( 90-\theta \right )=cot\theta ]}$

∴ $\tan \angle ACD=\cot \angle ACB$ (প্রমানিত)

পূরক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত : কষে দেখি - 24

Q11. ABCD একটি আয়তকার চিত্র। A, C যুক্ত করে প্রমান করি যে,

(ii) ${{\tan }^{2}}\angle CAD+1=\frac{1}{{{\sin }^{2}}\angle BAC}$

সমাধান :

$\because$ ABCD একটি আয়তকার চিত্র।

$\therefore \angle BAD=90 \degree$

অর্থাৎ, $\angle CAD$ ও $\angle BAC$ পরস্পর পূরক কোণ।

$\therefore \angle CAD+\angle BAC=90 \degree$

$\Rightarrow \angle CAD=90 \degree-\angle BAC$

এখন, $tan^{2}\angle CAD+1$

$=sec^{2}\angle CAD\; \; {\color{Blue} [\because sec^{2}\theta -tan^{2}\theta =1;\; \Rightarrow sec^{2}\theta =tan^{2}\theta +1]}$

$=sec^{2}\left ( 90-\angle BAC \right )\; \; {\color{Blue} [\because \angle CAD=90-\angle BAC]}$

$=cosec^{2}\angle BAC\; \; {\color{Blue} [\because sec\left ( 90-\theta \right )=cosec\theta ]}$

$=\frac{1}{sin^{2}\angle BAC}\; \; {\color{Blue} [\because cosec\theta =\frac{1}{sin\theta }]}$

ডানপক্ষ :

$=\frac{1}{sin^{2}\angle BAC}$

∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ (প্রমানিত)

পূরক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত : কষে দেখি - 24

Q12. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)

(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন: (M.C.Q.):

(i) $\left ( \sin 43{}^\circ \cos 47{}^\circ +\cos 43{}^\circ \sin 47{}^\circ \right )$ এর মান

(a) 0

(b) 1

(d) $\cos 4{}^\circ$

সমাধান : (b) 1

$\left ( \sin 43{}^\circ \cos 47{}^\circ +\cos 43{}^\circ \sin 47{}^\circ \right )$

$=sin43 \degree.cos\left ( 90-43 \right ) \degree+cos43 \degree.sin\left ( 90-43 \right ) \degree$

$=sin43 \degree.sin43 \degree + cos43 \degree.cos43 \degree$ ${\color{Blue} [\because sin\left ( 90- \theta \right )=cos \theta;\; cos\left ( 90 - \theta \right )=sin \theta]}$

$=sin^{2}43 \degree + cos^{2}43 \degree$

$=1$ ${\color{Blue} [\because sin^{2}\theta+cos^{2}\theta=1]}$

পূরক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত : কষে দেখি - 24

Q12. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)

(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন: (M.C.Q.):

(ii) $\left( \frac{\tan 35{}^\circ }{\cot 55{}^\circ }+\frac{\cot 78{}^\circ }{\tan 12{}^\circ } \right)$ এর মান

(a) 0

(b) 1

(d) কোনটিই নয়।

সমাধান : (c) 2

$\frac{tan35 \degree}{cot55 \degree}+\frac{cot78 \degree}{tan12 \degree}$

$=\frac{tan35 \degree}{cot\left ( 90 -35 \right ) \degree}+\frac{cot\left ( 90 - 12 \right ) \degree}{tan12 \degree}$

$=\frac{tan35 \degree}{tan35 \degree}+\frac{tan12 \degree}{tan12 \degree}\; \; {\color{Blue} [\because cot\left ( 90 - \theta \right )=tan \theta]}$

$=1+1\Rightarrow 2$ (c)

পূরক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত : কষে দেখি - 24

Q12. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)

(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন: (M.C.Q.):

(iii) $\left\{ \cos \left( 40{}^\circ +\theta \right)-\sin \left( 50{}^\circ -\theta \right) \right\}$ এর মান

(a) $2\cos \theta$

(b) $7\sin \theta$

(d) 1

সমাধান : (c) 0

$\left\{ \cos \left( 40{}^\circ +\theta \right)-\sin \left( 50{}^\circ -\theta \right) \right\}$

$=cos\left ( 40^{\circ}+\theta \right )-sin\left \{ \left ( 90-40 \right )-\theta \right \}$

$=cos\left ( 40+\theta \right )-sin\left ( 90-40-\theta \right )$

$=cos\left ( 40+\theta \right )-sin\left \{ 90-\left ( 40+\theta \right ) \right \}$

$=cos\left ( 40+\theta \right )-cos\left ( 40+\theta \right )$ ${\color{Blue} [\because sin\left ( 90- \theta \right )=cos \theta]}$

$=0$ (c)

পূরক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত : কষে দেখি - 24

Q12. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)

(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন: (M.C.Q.):

(iv) ABC একটি ত্রিভুজ, $\sin \left( \frac{B+C}{2} \right)=$

(a) $\sin \frac{A}{2}$

(b) $\cos \frac{A}{2}$

(d) $\cos A$

সমাধান : (b) ${\color{Red} cos\frac{A}{2}}$

$\because$ ABC একটি ত্রিভুজ।

∴ $\angle A+\angle B+\angle C=180 \degree$

অর্থাৎ, $\angle B+\angle C=180 \degree-\angle A$

$\Rightarrow \frac{\angle B+\angle C}{2}=\frac{180 \degree -\angle A}{2}$

$\Rightarrow \left ( \frac{B+C}{2} \right )=\left ( \frac{180}{2}-\frac{A}{2} \right )$

$\Rightarrow \left ( \frac{B+C}{2} \right )=\left ( 90-\frac{A}{2} \right )$

এখন, $sin\left ( \frac{B+C}{2} \right )$

$=sin\left ( 90-\frac{A}{2} \right )$

$=cos\frac{A}{2}$ (b) ${\color{Blue} [\because sin\left ( 90- \theta \right )=cos \theta]}$

পূরক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত : কষে দেখি - 24

Q12. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)

(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন: (M.C.Q.):

(v) $A+B=90{}^\circ$ এবং $\tan A=\frac{3}{4}$ হলে, $\cot B$ এর মান,

(a) $\frac{3}{4}$

(b) $\frac{4}{3}$

(d) $\frac{4}{5}$

সমাধান : (a) ${\color{Red} \frac{3}{4}}$

$cotB$

$=cot\left ( 90-A \right )$

$=tanA$ ${\color{Blue} [\because cot\left ( 90-\theta \right )=tan\theta ]}$

$=\frac{3}{4}$ (a) [প্রদত্ত, ${\color{Blue} tanA=\frac{3}{4}}$ ]

পূরক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত : কষে দেখি - 24

Q12. (B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখি :

(i) $\cos 54{}^\circ$ এবং $\sin 36{}^\circ$ এর মান সমান।

সমাধান : সত্য

$\cos 54{}^\circ$

$=cos\left ( 90-36 \right )\degree$

$=sin36 \degree$ ${\color{Blue} [\because cos\left ( 90- \theta \right )=sin \theta]}$

∴ $\cos 54{}^\circ$ এবং $\sin 36{}^\circ$ এর মান সমান। (সত্য)

পূরক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত : কষে দেখি - 24

Q12. (B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখি :

(ii) $\sin 12{}^\circ -\cos 78{}^\circ$ এর সরলতম মান 1

সমাধান : মিথ্যা

$\sin 12{}^\circ -\cos 78{}^\circ$

$=sin12 \degree - cos\left ( 90 -12 \right )\degree$

$=sin12 \degree - sin12 \degree$ ${\color{Blue} [\because cos\left ( 90- \theta \right )=sin \theta]}$

$=0$

∴ $\sin 12{}^\circ -\cos 78{}^\circ$ এর সরলতম মান 1 (মিথ্যা)

পূরক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত : কষে দেখি - 24

Q12. (C) শূন্যস্থান পূরণ করি :

(i) $\left ( \tan 15{}^\circ \times \tan 45{}^\circ \times \tan 60{}^\circ \times \tan 75{}^\circ \right )$ –এর মান _________।

সমাধান : ${\color{Red} \sqrt{3}}$

$tan15 \degree\times tan45 \degree\times tan60 \degree\times tan75 \degree$

$=\left ( tan15 \degree \right )\times \left ( 1 \right )\times \left ( \sqrt{3} \right )\times \left \{ tan\left ( 90-15 \right )\degree \right \}$ ${\color{Blue} [\because tan45 \degree =1;tan60 \degree =\sqrt{3}]}$

$=\left ( tan15 \degree \right )\times \left ( \sqrt{3} \right )\times \left ( cot15 \degree \right )$ ${\color{Blue} [\because tan\left ( 90-\theta \right )=cot\theta ]}$

$=\left ( tan15 \degree \times cot15 \degree \right )\times \sqrt{3}$

$=1\times \sqrt{3} \; \; {\color{Blue} [\because tan\theta \times cot\theta =1]}$

$=\sqrt{3}$ (Answer)

পূরক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত : কষে দেখি - 24

Q12. (C) শূন্যস্থান পূরণ করি :

(ii) $\left ( \sin 12{}^\circ \times \cos 18{}^\circ \times \sec 78{}^\circ \times \text{cosec}72{}^\circ \right )$ -এর মান __________।

সমাধান : 1

$sin12 \degree\times cos18 \degree\times sec78 \degree\times cosec72 \degree$

$=sin12 \degree\times cos18 \degree\times sec\left ( 90-12 \right )\degree\times cosec\left (90-18 \right ) \degree$

$=sin12 \degree\times cos18 \degree\times cosec12 \degree\times sec18 \degree$ ${\color{Blue} [\because sec\left ( 90-\theta \right )=cosec\theta ;\; \; cosec\left ( 90-\theta \right )=sec\theta ]}$

$=\left ( sin12 \degree\times cosec12 \degree \right )\times \left ( cos18 \degree\times sec18 \degree \right )$

$=\left ( 1 \right )\times \left ( 1 \right ) \; \; {\color{Blue} [\because sin\theta \times cosec\theta =1;\; cos\theta \times sec\theta =1]}$

$=1$ (Answer)

পূরক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত : কষে দেখি - 24

Q12. (C) শূন্যস্থান পূরণ করি :

(iii) A ও B পরস্পর পূরক কোণ হলে, sin A = ________।

সমাধান : ${\color{Red} cosB}$

$\because$ প্রদত্ত, A ও B পরস্পর পূরক কোণ।

অর্থাৎ, A + B = 90°

$\Rightarrow A=90-B$

এখন, $sinA$

$=sin\left ( 90-B \right )\; \; {\color{Blue} [\because A=90-B]}$

$=cosB\; \; \; {\color{Blue} [\because sin\left ( 90- \theta \right )=cos \theta]}$ (Answer)

পূরক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত : কষে দেখি - 24

Q13. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.) :

(i) $\sin 10\theta =\cos 8\theta$ এবং $10\theta$ ধনাত্মক সূক্ষ্মকোণ হলে, $\tan 9\theta$ -এর মান নির্ণয় করি।

সমাধান :

প্রদত্ত, $\sin 10\theta =\cos 8\theta$

$\Rightarrow sin10\theta=sin\left ( 90-8\theta \right )\; \; {\color{Blue} [\because cos \theta=sin\left ( 90- \theta \right )]}$

$\Rightarrow 10 \theta=90-8 \theta$

$\Rightarrow 10 \theta+8 \theta=90 \degree$

$\Rightarrow 18 \theta=90 \degree$

$\Rightarrow \theta =\frac{90}{18}\Rightarrow 5 \degree$

এখন, $\tan 9\theta$

$=tan\left ( 9\times 5 \right ) \degree$

$=tan45 \degree\Rightarrow 1\; \; \; {\color{Blue} [\because tan45 \degree=1]}$ (Answer)

পূরক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত : কষে দেখি - 24

Q13. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.) :

(ii) $\tan 4\theta .\tan 6\theta =1$ এবং $6\theta$ ধনাত্মক সূক্ষ্মকোণ হলে, $\theta$ – এর মান নির্ণয় করি।

সমাধান :

প্রদত্ত, $\tan 4\theta .\tan 6\theta =1$

$\Rightarrow tan6 \theta=\frac{1}{tan4 \theta}$

$\Rightarrow tan6 \theta=cot4 \theta\; \; \; {\color{Blue} [\because \frac{1}{tan\theta }=cot\theta ]}$

$\Rightarrow tan6 \theta=tan\left ( 90-4 \theta \right )\; \; \; {\color{Blue} [\because cot \theta=tan\left ( 90-\theta \right )]}$

$\Rightarrow 6 \theta=90-4 \theta$

$\Rightarrow 6 \theta+4 \theta=90 \degree$

$\Rightarrow 10 \theta=90 \degree$

$\Rightarrow \theta =\frac{90}{10}\Rightarrow 9 \degree$ (Answer)

পূরক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত : কষে দেখি - 24

Q13. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.) :

(iii) $\frac{2{{\sin }^{2}}63{}^\circ +1+2{{\sin }^{2}}27{}^\circ }{3{{\cos }^{2}}17{}^\circ -2+3{{\cos }^{2}}73{}^\circ }$ -এর মান নির্ণয় করি।

সমাধান :

প্রদত্ত, $\frac{2{{\sin }^{2}}63{}^\circ +1+2{{\sin }^{2}}27{}^\circ }{3{{\cos }^{2}}17{}^\circ -2+3{{\cos }^{2}}73{}^\circ }$

$=\frac{2sin^{2}63 \degree+1+2sin^{2}\left (90-63 \right ) \degree}{3cos^{2}\left ( 90-73 \right )-2+3cos^{2}73 \degree}$

$=\frac{2sin^{2}63 \degree+1+2cos^{2}63 \degree}{3sin^{2}73 \degree-2+3cos^{2}73 \degree}\; \; {\color{Blue} [\because sin\left ( 90-\theta \right )=cos\theta ;cos\left ( 90-\theta \right )=sin\theta ]}$

$=\frac{2\left ( sin^{2}63 \degree+cos^{2}63 \degree \right )+1}{3\left ( sin^{2}73 \degree+cos^{2}73 \degree \right )-2}$

$=\frac{2\times \left ( 1 \right )+1}{3\times \left ( 1 \right )-2}\; \; \; {\color{Blue} [\because sin^{2}\theta +cos^{2}\theta =1]}$

$=\frac{2+1}{3-2}\Rightarrow \frac{3}{1}=3$ (Answer)

পূরক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত : কষে দেখি - 24

Q13. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.) :

(iv) $\left( \tan 1{}^\circ \times \tan 2{}^\circ \times \tan 3{}^\circ .......\tan 89{}^\circ \right)$ -এর মান নির্ণয় করি।

সমাধান :

প্রদত্ত,

$\left( \tan 1{}^\circ \times \tan 2{}^\circ \times \tan 3{}^\circ .......\tan 89{}^\circ \right)$

$=tan1 \degree. tan2 \degree. tan3 \degree... tan45 \degree ... tan87\degree. tan88 \degree. tan89 \degree$

$=tan1 \degree.tan2 \degree.tan3 \degree... \left ( 1 \right ) ... tan\left ( 90-3 \right )\degree.tan\left ( 90-2 \right )\degree.tan\left ( 90-1 \right )\degree$

$=tan1 \degree.tan2 \degree.tan3 \degree...\left ( 1 \right )...cot3\degree.cot2 \degree.cot1 \degree\; \; {\color{Blue} [\because tan\left ( 90-\theta \right )=cot \theta]}$

$=\left ( tan1 \degree.cot1 \degree \right ).\left ( tan2 \degree.cot2 \degree \right ).\left ( tan3 \degree.cot3 \degree \right )...\left ( tan44 \degree.cot44 \degree \right ).\left ( 1 \right )$

$=\left ( 1 \right ).\left ( 1 \right ).\left ( 1 \right )....\left ( 1 \right )\; \; \; {\color{Blue} [\because tan\theta .cot\theta =1]}$

$=1$ (Answer)

পূরক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত : কষে দেখি - 24

Q13. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.) :

(v) $\sec 5A=\text{cosec}\left( A+36{}^\circ \right)$ এবং $5A$ ধনাত্মক সূক্ষ্মকোণ হলে, $A$ -এর মান নির্ণয় করি।

সমাধান :

প্রদত্ত, $\sec 5A=\text{cosec}\left( A+36{}^\circ \right)$

$\Rightarrow cosec\left ( 90-5A \right )=cosec\left ( A+36 \degree \right )\: \: \: {\color{Blue} [\because sec\theta =cosec\left ( 90-\theta \right )]}$