Sun. Feb 25th, 2024

Koshe Dekhi 24 Class 10

koshe dekhi 24 class 10

পূরক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত : কষে দেখি - 24

Q1. মান নির্ণয় করি :  (i) \frac{\sin 38{}^\circ }{\cos 52{}^\circ }

সমাধান :

প্রদত্ত,

  \frac{\sin 38{}^\circ }{\cos 52{}^\circ }

=\frac{sin\left ( 90^{\circ}-52^{\circ} \right )}{cos52^{\circ}}

=\frac{cos52^{\circ}}{cos52^{\circ}} {\color{Blue}\left [ \because sin\left ( 90^{\circ}-\theta \right )=cos\theta \right ] }

= 1

koshe dekhi 24 class 10

পূরক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত : কষে দেখি - 24

Q1. মান নির্ণয় করি :  (ii) \frac{\text{cosec}79{}^\circ }{\sec 11{}^\circ }

সমাধান :

প্রদত্ত,

\frac{\text {cosec}\, 79{}^\circ }{\sec 11{}^\circ }

=\frac{\text{cosec}\left (90{}^\circ -11^{\circ} \right )}{\sec 11{}^\circ }

=\frac{sec 11^{\circ}}{sec 11^{\circ}} {\color{Blue} \left [ \because cosec\left ( 90^{\circ}-\theta \right )=sec\theta \right ]}

= 1

koshe dekhi 24 class 10

পূরক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত : কষে দেখি - 24

Q1. মান নির্ণয় করি :  (iii) \frac{\tan 27{}^\circ }{\cot 63{}^\circ }

সমাধান :

প্রদত্ত, 

\frac{\tan 27{}^\circ }{\cot 63{}^\circ }

=\frac{tan\left ( 90^{\circ}-63^{\circ} \right ) }{\cot 63{}^\circ }

=\frac{\cot 63{}^\circ }{\cot 63{}^\circ } {\color{Blue} \left [ \because tan\left ( 90^{\circ}-\theta \right )=cot\theta \right ]}

= 1

koshe dekhi 24 class 10

পূরক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত : কষে দেখি - 24

Q2. দেখাই যে : (i) sin66^{\circ}-cos24^{\circ}=0

সমাধান :

বামপক্ষ :

sin66^{\circ}-cos24^{\circ}

=sin\left (90^{\circ}-24^{\circ} \right )-cos24^{\circ}

=cos24^{\circ}-cos24^{\circ} {\color{Blue} \left [ \because sin\left ( 90^{\circ}-\theta \right )=cos\theta \right ]}

= 0

ডানপক্ষ :

0

বামপক্ষ = ডানপক্ষ  (প্রমানিত)

koshe dekhi 24 class 10

পূরক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত : কষে দেখি - 24

Q2. দেখাই যে : (ii) cos^{2}57 \degree + cos^{2}33 \degree=1

সমাধান :

বামপক্ষ :

cos^{2}57 \degree + cos^{2}33 \degree

=cos^{2}\left (90 \degree -33 \degree \right ) + cos^{2}33 \degree

=sin^{2}33 \degree + cos^{2}33 \degree {\color{Blue} \left [ \because cos^{2}\left ( 90^{\circ}-\theta \right )=sin^{2}\theta \right ]}

= 1 {\color{Blue} \left [ \because sin^{2}\theta +cos^{2}\theta =1 \right ]}

ডানপক্ষ :

1

বামপক্ষ = ডানপক্ষ  (প্রমানিত)

koshe dekhi 24 class 10

পূরক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত : কষে দেখি - 24

Q2. দেখাই যে :  (iii) cos^{2}75 \degree - sin^{2}15 \degree = 0

সমাধান :

বামপক্ষ :

cos^{2}75 \degree-sin^{2}15 \degree

=cos^{2}\left ( 90-15 \right )\degree-sin^{2}15 \degree

=sin^{2}15 \degree-sin^{2}15 \degree    {\color{Blue} [\because cos\left ( 90-\theta \right )=sin \theta]}

=0

ডানপক্ষ :

0

বামপক্ষ = ডানপক্ষ  (প্রমানিত)

koshe dekhi 24 class 10

পূরক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত : কষে দেখি - 24

Q2. দেখাই যে :  (iv) cosec^{2}48 - tan^{2}42 \degree = 1

সমাধান :

বামপক্ষ :

cosec^{2}48 - tan^{2}42 \degree

=cosec^{2}\left ( 90 \degree - 42 \degree \right ) - tan^{2}42 \degree

=sec^{2}42 \degree - tan^{2}42 \degree {\color{Blue} \left [ \because cosec^{2}\left ( 90-\theta \right )=sec^{2}\theta \right ]}

= 1   {\color{Blue} [\because sec^{2}\theta -tan^{2}\theta =1]}

ডানপক্ষ :

1

বামপক্ষ = ডানপক্ষ  (প্রমানিত)

koshe dekhi 24 class 10

পূরক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত : কষে দেখি - 24

Q2. দেখাই যে :  (v) sec70 \degree sin20 \degree + cos20 \degree cosec70 \degree = 2

সমাধান :

বামপক্ষ :

sec70 \degree.sin20 \degree +cos20 \degree.cosec70 \degree

=sec\left ( 90-20 \right ) \degree.sin20 \degree + cos20 \degree.cosec\left ( 90-20 \right ) \degree

=cosec20 \degree.sin20 \degree + cos20 \degree.sec20 \degree {\color{Blue} [\because cosec\left ( 90-\theta \right )=sec \theta; \; sec\left ( 90-\theta \right )=cosec \theta]}

=\frac{1}{sin20 \degree}\times sin20 \degree+cos20 \degree \times \frac{1}{cos20 \degree} {\color{Blue} [\because cosec \theta=\frac{1}{sin \theta};\; \; sec \theta=\frac{1}{cos \theta}]}

=1+1

=2

ডানপক্ষ :

2

বামপক্ষ = ডানপক্ষ  (প্রমানিত)

koshe dekhi 24 class 10

পূরক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত : কষে দেখি - 24

Q3. যদি   \large \alpha\large \beta কোন দুটি পরস্পর পূরক কোন হয়, তাহলে দেখাই যে,

(i) \dpi{100} \large {{\sin }^{2}}\alpha +{{\sin }^{2}}\beta =1

সমাধান :

বামপক্ষ :

sin^{2} \alpha + sin^{2} \beta

=sin^{2} \alpha + sin^{2}\left ( 90-\alpha \right )   {\color{Blue} [\because \alpha +\beta =90 \degree;\Rightarrow \beta =90 \degree - \alpha ]}

=sin^{2}\alpha +cos^{2}\alpha {\color{Blue} [\because sin\left ( 90-\alpha \right )=cos\alpha ]}

=1{\color{Blue} [\because sin^{2}\theta +cos^{2}\theta =1]}

ডানপক্ষ :

1

বামপক্ষ = ডানপক্ষ  (প্রমানিত)

koshe dekhi 24 class 10

পূরক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত : কষে দেখি - 24

Q3. যদি   \large \alpha\large \beta কোন দুটি পরস্পর পূরক কোন হয়, তাহলে দেখাই যে,

(ii) \cot \beta +\cos \beta =\frac{\cos \beta }{\cos \alpha }\left( 1+\sin \beta \right)

সমাধান :

বামপক্ষ :

cot\beta +cos\beta

ডানপক্ষ :

\frac{cos\beta }{cos\alpha }\left ( 1+sin\beta \right )

=\frac{cos\beta }{cos\left ( 90-\beta \right )}\left ( 1+sin\beta \right )  {\color{Blue} [\because \alpha +\beta =90 \degree;\Rightarrow \alpha =90 \degree - \beta ]}

=\frac{cos\beta }{sin\beta }\left ( 1+sin\beta \right )  {\color{Blue} [\because cos\left ( 90-\theta \right )=sin\theta }]

=\frac{cos\beta }{sin\beta }\times 1+\frac{cos\beta }{sin\beta }\times sin\beta

=\frac{cos\beta }{sin\beta }+cos\beta

=cot\beta +cos\beta    {\color{Blue} [\because \frac{cos\beta }{sin\beta }=cot\beta ]}

বামপক্ষ = ডানপক্ষ  (প্রমানিত)

koshe dekhi 24 class 10

পূরক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত : কষে দেখি - 24

Q3. যদি   \large \alpha\large \beta কোন দুটি পরস্পর পূরক কোন হয়, তাহলে দেখাই যে,

(iii) \frac{\sec \alpha }{\cos \alpha }-{{\cot }^{2}}\beta =1

সমাধান :

বামপক্ষ :

\frac{sec\alpha }{cos\alpha }-cot^{2}\beta

=\frac{sec\alpha }{\left ( \frac{1}{sec\alpha } \right )}-cot^{2}\left ( 90-\alpha \right )    {\color{Blue} [\because \alpha +\beta =90 \degree;\Rightarrow \beta =90 \degree - \alpha ]}

=sec\alpha \times \frac{sec\alpha }{1}-tan^{2}\alpha    {\color{Blue} [\because cot\left ( 90-\theta \right )=tan\theta ]}

=sec^{2}\alpha -tan^{2}\alpha

=1  {\color{Blue} [\because sec^{2}\theta -tan^{2}\theta =1]}

ডানপক্ষ :

1

বামপক্ষ = ডানপক্ষ  (প্রমানিত)

koshe dekhi 24 class 10

পূরক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত : কষে দেখি - 24

Q4. যদি  \sin 17{}^\circ =\frac{x}{y}  হয়, তাহলে দেখাই যে, \sec 17{}^\circ -\sin 73{}^\circ =\frac{{{x}^{2}}}{y\sqrt{{{y}^{2}}-{{x}^{2}}}}

সমাধান :

প্রদত্ত,  \sin 17{}^\circ =\frac{x}{y}

\because cos\theta =\sqrt{1-sin^{2} \theta}

\therefore cos17 \degree=\sqrt{1-sin^{2}17 \degree}

এখন,  \sin 17{}^\circ =\frac{x}{y}  বসিয়ে পাই,

\Rightarrow cos17 \degree=\sqrt{1-\left ( \frac{x}{y} \right )^{2}}

\Rightarrow cos17^{\circ}=\sqrt{1-\frac{x^{2}}{y^{2}}}

\Rightarrow cos17 \degree=\sqrt{\frac{y^{2}-x^{2}}{y^{2}}}

\therefore cos17^{\circ}=\frac{\sqrt{y^{2}-x^{2}}}{y}

আবার,  \because sec\theta =\frac{1}{cos\theta }

\therefore sec17 \degree=\frac{1}{cos17 \degree}\Rightarrow \frac{y}{\sqrt{y^{2}-x^{2}}}

বামপক্ষ :  sec17 \degree - sin73 \degree

=sec17 \degree-sin\left ( 90-17 \right ) \degree

=sec17 \degree-cos17 \degree {\color{Blue} [\because sin\left ( 90-\theta \right )=cos\theta ]}

এখন,  sec17 \degree  ও  cos17 \degree  এর মান বসিয়ে পাই,

=\frac{y}{\sqrt{y^{2}-x^{2}}}-\frac{\sqrt{y^{2}-x^{2}}}{y}

=\frac{y^{2}-\left ( \sqrt{y^{2}-x^{2}} \right )^{2}}{y\sqrt{y^{2}-x^{2}}}

=\frac{y^{2}-\left ( y^{2}-x^{2} \right )}{y\sqrt{y^{2}-x^{2}}}

=\frac{y^{2}-y^{2}+x^{2}}{y\sqrt{y^{2}-x^{2}}}

=\frac{x^{2}}{y\sqrt{y^{2}-x^{2}}}

ডানপক্ষ :

\frac{x^{2}}{y\sqrt{y^{2}-x^{2}}}

∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ  (প্রমানিত)

koshe dekhi 24 class 10

পূরক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত : কষে দেখি - 24

Q5. দেখাই যে, {{\sec }^{2}}12{}^\circ -\frac{1}{{{\tan }^{2}}78{}^\circ }=1

সমাধান :

বামপক্ষ : {{\sec }^{2}}12{}^\circ -\frac{1}{{{\tan }^{2}}78{}^\circ }

=sec^{2}12 \degree - cot^{2}78 \degree     {\color{Blue} [\because cot \theta= \frac{1}{tan \theta}]}

=sec^{2}12 \degree - cot^{2}\left ( 90-12 \right ) \degree

=sec^{2}12 \degree - tan^{2}12 \degree    {\color{Blue} [\because cot\left ( 90-\theta \right )=tan\theta ]}

=1    {\color{Blue} [\because sec^{2}\theta -tan^{2}\theta =1]}

ডানপক্ষ :

1

∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ  (প্রমানিত)

koshe dekhi 24 class 10

পূরক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত : কষে দেখি - 24

Q6. \angle A +\angle B=90 \degree হলে, দেখাই যে, 1+\frac{\tan A}{\tan B}={{\sec }^{2}}A

সমাধান :

বামপক্ষ : 1+\frac{tanA}{tanB}

=1+\frac{tanA}{tan\left ( 90-A \right )}    {\color{Blue} [\because A+B=90 \degree; \Rightarrow B=90 \degree-A]}

=1+\frac{tanA}{cotA}  {\color{Blue} [\because tan\left ( 90-\theta \right )=cot\theta ]}

=1+\left ( tanA\times \frac{1}{cotA} \right )

=1+\left ( tanA\times tanA \right )  {\color{Blue} [\because \frac{1}{cot\theta }=tan\theta ]}

=1+tan^{2}A

=sec^{2}A  {\color{Blue} [\because sec^{2}\theta -tan^{2}\theta =1;\Rightarrow sec^{2}\theta =1+tan^{2}\theta ]}

ডানপক্ষ :

sec^{2}A

∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ  (প্রমানিত)

পূরক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত : কষে দেখি - 24

Q7. দেখাই যে,  cosec^{2}22 \degree cot^{2}68 \degree = sin^{2}22 \degree + sin^{2}68 \degree + cot^{2}68 \degree

সমাধান :

বামপক্ষ : cosec^{2}22 \degree.cot^{2}68 \degree

=cosec^{2}\left ( 90-68 \right )\degree\times cot^{2}68 \degree

=sec^{2}68 \degree\times cot^{2}68 \degree    {\color{Blue} [\because cosec\left ( 90-\theta \right )=sec\theta]}

=\frac{1}{cos^{2}68 \degree}\times \frac{cos^{2}68 \degree}{sin^{2}68 \degree}    {\color{Blue} [\because sec \theta= \frac{1}{cos \theta};\; cot\theta =\frac{cos\theta}{sin\theta}]}

=\frac{1}{sin^{2}68 \degree}

=cosec^{2}68 \degree    {\color{Blue} [\because cosec\theta =\frac{1}{sin\theta}]}

ডানপক্ষ : sin^{2}22 \degree+sin^{2}68 \degree+cot^{2}68 \degree

=sin^{2}\left ( 90-68 \right )\degree+sin^{2}68 \degree+cot^{2}68 \degree

=cos^{2}68 \degree+sin^{2}68 \degree+cot^{2}68 \degree    {\color{Blue} [\because sin\left ( 90-\theta \right )=cos\theta]}

=1+cot^{2}68 \degree    {\color{Blue} [\because sin^{2}\theta+cos^{2}\theta=1]}

=cosec^{2}68 \degree      {\color{Blue} [\because cosec^{2}\theta-cot^{2}\theta=1;\; \Rightarrow cosec^{2}\theta=1+cot^{2}\theta]}

∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ  (প্রমানিত)

পূরক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত : কষে দেখি - 24

Q8. যদি  \angle P + \angle Q = 90 \degree হয়, তবে দেখাই যে, \sqrt{\frac{\sin P}{\cos Q}-\sin P\cos Q}=\cos P

সমাধান :

বামপক্ষ :  \sqrt{\frac{\sin P}{\cos Q}-\sin P\cos Q}

=\sqrt{\frac{sinP}{cos\left ( 90-P \right )}-sinP.cos\left ( 90-P \right )} {\color{Blue} [\because P+Q=90\degree;\; \Rightarrow Q=90\degree-P]}

=\sqrt{\frac{sinP}{sinP}-sinP.sinP}    {\color{Blue} [\because cos\left ( 90-\theta \right )=sin\theta]}

=\sqrt{1-sin^{2}P}

=\sqrt{cos^{2}P}    {\color{Blue} [\because sin^{2}\theta +cos^{2}\theta =1;\; \Rightarrow cos^{2}\theta =1-sin^{2}\theta ]}

=cosP

ডানপক্ষ :

cosP

∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ  (প্রমানিত)

পূরক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত : কষে দেখি - 24

Q9. প্রমান করি যে, cot12 \degree.cot38 \degree.cot52 \degree.cot78 \degree.cot60 \degree = \frac{1}{\sqrt 3}

সমাধান :

বামপক্ষ : 

=cot12 \degree.cot38 \degree.cot\left ( 90-38 \right )\degree.cot\left ( 90-12 \right )\degree.\left ( \frac{1}{\sqrt{3}} \right )   {\color{Blue} [\because cot60 \degree=\frac{1}{\sqrt 3}]}

=cot12 \degree.cot38 \degree.tan38 \degree.tan12 \degree.\left ( \frac{1}{\sqrt{3}} \right )    {\color{Blue} [\because cot\left ( 90-\theta \right )=tan\theta ]}

= \left ( cot12 \degree.tan12 \degree \right ).\left ( cot38 \degree.tan38 \degree \right ).\left ( \frac{1}{\sqrt{3}} \right )

=\left (1 \right ).\left ( 1 \right ).\left ( \frac{1}{\sqrt{3}} \right )    {\color{Blue} [\because tan\theta .cot\theta =1]}

=\frac{1}{\sqrt{3}}

ডানপক্ষ :

\frac{1}{\sqrt{3}}

∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ  (প্রমানিত)

পূরক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত : কষে দেখি - 24

Q10. O কেন্দ্রীয় যে কোনো একটি বৃত্তের AOB একটি ব্যাস এবং বৃত্তের উপর C যে কোনো একটি বিন্দু। এবার A, C; B, C এবং O, C যুক্ত করে দেখাই যে,

(i) \tan \angle ABC=\cot \angle ACO

সমাধান :

পূরক কোনের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত : কষে দেখি - 24

\because \Delta ACO  এর, 

OA = OC [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]

∴  \angle CAO= \angle ACO

আবার,  \because  AOB হলো O কেন্দ্রীয় বৃত্তের ব্যাস এবং C বৃত্তের উপর যে কোনো একটি বিন্দু।

\angle ACB=90 \degree   [অর্ধবৃত্তস্থ কোন]

সুতরাং,  \angle CAB  ও  \angle ABC  পরস্পর পূরক কোন

অর্থাৎ,  \angle CAB+\angle ABC=90 \degree

\Rightarrow \angle CAO+\angle ABC=90 \degree\; \; {\color{Blue} [\because \angle CAB= \angle CAO]}

\Rightarrow \angle ACO+\angle ABC=90 \degree\; \; {\color{Blue} [\because \angle CAO= \angle ACO]}

\therefore \angle ABC=90 \degree - \angle ACO

এখন,  tan \angle ABC=tan\left ( 90 - \angle ACO \right )

\therefore tan \angle ABC=cot \angle ACO\; \; \; {\color{Blue} [\because tan\left ( 90-\theta \right )=cot\theta ]} (প্রমানিত)

পূরক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত : কষে দেখি - 24

Q10. O কেন্দ্রীয় যে কোনো একটি বৃত্তের AOB একটি ব্যাস এবং বৃত্তের উপর C যে কোনো একটি বিন্দু। এবার A, C; B, C এবং O, C যুক্ত করে দেখাই যে,

(ii) {{\sin }^{2}}\angle BCO+{{\sin }^{2}}\angle ACO=1

সমাধান : পূরক কোনের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত : কষে দেখি - 24

\because  AOB হলো O কেন্দ্রীয় বৃত্তের ব্যাস এবং C বৃত্তের উপর যে কোনো একটি বিন্দু।

\angle ACB=90 \degree   [অর্ধবৃত্তস্থ কোন]

\therefore \angle ACO+\angle BCO=90 \degree

\therefore \angle ACO=90 \degree - \angle BCO

এখন,  {{\sin }^{2}}\angle BCO+{{\sin }^{2}}\angle ACO

=sin^{2}\angle BCO+sin^{2}\left ( 90 \degree - \angle BCO \right ) {\color{Blue} [\because \angle ACO=90 \degree - \angle BCO]}

=sin^{2}\angle BCO+cos^{2}\angle BCO {\color{Blue} [\because sin\left ( 90- \theta \right )=cos \theta]}

=1    {\color{Blue} [\because sin^{2}\theta+cos^{2}\theta=1]}   (প্রমানিত)

পূরক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত : কষে দেখি - 24

Q10. O কেন্দ্রীয় যে কোনো একটি বৃত্তের AOB একটি ব্যাস এবং বৃত্তের উপর C যে কোনো একটি বিন্দু। এবার A, C; B, C এবং O, C যুক্ত করে দেখাই যে,

(iii) \text{cose}{{\text{c}}^{2}}\angle CAB-1={{\tan }^{2}}\angle ABC

সমাধান : পূরক কোনের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত : কষে দেখি - 24

\because  AOB হলো O কেন্দ্রীয় বৃত্তের ব্যাস এবং C বৃত্তের উপর যে কোনো একটি বিন্দু।

\angle ACB=90 \degree   [অর্ধবৃত্তস্থ কোন]

সুতরাং,  \angle CAB  ও  \angle ABC  পরস্পর পূরক কোন

অর্থাৎ,  \angle CAB+\angle ABC=90 \degree

\Rightarrow {\color{Magenta} \angle CAB=90-\angle ABC}

বামপক্ষ :  cosec^{2}\angle CAB-1

=cosec^{2}\left ( 90-\angle ABC \right )-1 {\color{Blue} [\because \angle CAB=90-\angle ABC]}

=sec^{2}\angle ABC-1 {\color{Blue} [\because cosec\left ( 90-\theta \right )=sec\theta ]}

=tan^{2}\angle ABC\; \; \; {\color{Blue} [\because sec^{2}\theta -tan^{2}\theta =1;\Rightarrow sec^{2}\theta -1=tan^{2}\theta ]}

ডানপক্ষ :

tan^{2}\angle ABC

∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ  (প্রমানিত)

পূরক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত : কষে দেখি - 24

Q11. ABCD একটি আয়তকার চিত্র। A, C যুক্ত করে প্রমান করি যে,

(i) \tan \angle ACD=\cot \angle ACB

সমাধান :  পূরক কোনের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত : কষে দেখি - 24

\because  ABCD একটি আয়তকার চিত্র।

\therefore \angle BCD=90 \degree

অর্থাৎ,  \angle ACD  ও  \angle ACB  পরস্পর পূরক কোণ।

\therefore \angle ACD+\angle ACB=90 \degree

\Rightarrow \angle ACD=90 \degree-\angle ACB

এখন,  tan\angle ACD

=tan\left ( 90-\angle ACB \right )\; \; {\color{Blue} [\because \angle ACD=90-\angle ACB]}

=cot\angle ACB\; \; \; {\color{Blue} [\because tan\left ( 90-\theta \right )=cot\theta ]}

∴  \tan \angle ACD=\cot \angle ACB (প্রমানিত)

পূরক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত : কষে দেখি - 24

Q11. ABCD একটি আয়তকার চিত্র। A, C যুক্ত করে প্রমান করি যে,

(ii) {{\tan }^{2}}\angle CAD+1=\frac{1}{{{\sin }^{2}}\angle BAC}

সমাধান :  পূরক কোনের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত : কষে দেখি - 24

\because  ABCD একটি আয়তকার চিত্র।

\therefore \angle BAD=90 \degree

অর্থাৎ,  \angle CAD  ও  \angle BAC  পরস্পর পূরক কোণ।

\therefore \angle CAD+\angle BAC=90 \degree

\Rightarrow \angle CAD=90 \degree-\angle BAC

এখন,  tan^{2}\angle CAD+1

=sec^{2}\angle CAD\; \; {\color{Blue} [\because sec^{2}\theta -tan^{2}\theta =1;\; \Rightarrow sec^{2}\theta =tan^{2}\theta +1]}

=sec^{2}\left ( 90-\angle BAC \right )\; \; {\color{Blue} [\because \angle CAD=90-\angle BAC]}

=cosec^{2}\angle BAC\; \; {\color{Blue} [\because sec\left ( 90-\theta \right )=cosec\theta ]}

=\frac{1}{sin^{2}\angle BAC}\; \; {\color{Blue} [\because cosec\theta =\frac{1}{sin\theta }]}

ডানপক্ষ :  

=\frac{1}{sin^{2}\angle BAC}

∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ  (প্রমানিত)

পূরক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত : কষে দেখি - 24

Q12. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)

(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন: (M.C.Q.):

(i) \left ( \sin 43{}^\circ \cos 47{}^\circ +\cos 43{}^\circ \sin 47{}^\circ \right ) এর মান

(a) 0            

(b) 1    

(c) \sin 4{}^\circ       

(d) \cos 4{}^\circ

সমাধান : (b) 1 

\left ( \sin 43{}^\circ \cos 47{}^\circ +\cos 43{}^\circ \sin 47{}^\circ \right )

=sin43 \degree.cos\left ( 90-43 \right ) \degree+cos43 \degree.sin\left ( 90-43 \right ) \degree

=sin43 \degree.sin43 \degree + cos43 \degree.cos43 \degree {\color{Blue} [\because sin\left ( 90- \theta \right )=cos \theta;\; cos\left ( 90 - \theta \right )=sin \theta]}

=sin^{2}43 \degree + cos^{2}43 \degree

=1   {\color{Blue} [\because sin^{2}\theta+cos^{2}\theta=1]}

পূরক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত : কষে দেখি - 24

Q12. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)

(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন: (M.C.Q.):

(ii) \left( \frac{\tan 35{}^\circ }{\cot 55{}^\circ }+\frac{\cot 78{}^\circ }{\tan 12{}^\circ } \right) এর মান

(a) 0           

(b) 1             

(c) 2               

(d) কোনটিই নয়।

সমাধান : (c) 2

\frac{tan35 \degree}{cot55 \degree}+\frac{cot78 \degree}{tan12 \degree}

=\frac{tan35 \degree}{cot\left ( 90 -35 \right ) \degree}+\frac{cot\left ( 90 - 12 \right ) \degree}{tan12 \degree}

=\frac{tan35 \degree}{tan35 \degree}+\frac{tan12 \degree}{tan12 \degree}\; \; {\color{Blue} [\because cot\left ( 90 - \theta \right )=tan \theta]}

=1+1\Rightarrow 2 (c)

পূরক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত : কষে দেখি - 24

Q12. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)

(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন: (M.C.Q.):

(iii) \left\{ \cos \left( 40{}^\circ +\theta \right)-\sin \left( 50{}^\circ -\theta \right) \right\} এর মান

(a) 2\cos \theta      

(b) 7\sin \theta     

(c) 0           

(d) 1

সমাধান :  (c) 0 

\left\{ \cos \left( 40{}^\circ +\theta \right)-\sin \left( 50{}^\circ -\theta \right) \right\}

=cos\left ( 40^{\circ}+\theta \right )-sin\left \{ \left ( 90-40 \right )-\theta \right \}

=cos\left ( 40+\theta \right )-sin\left ( 90-40-\theta \right )

=cos\left ( 40+\theta \right )-sin\left \{ 90-\left ( 40+\theta \right ) \right \}

=cos\left ( 40+\theta \right )-cos\left ( 40+\theta \right ) {\color{Blue} [\because sin\left ( 90- \theta \right )=cos \theta]}

=0 (c)

পূরক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত : কষে দেখি - 24

Q12. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)

(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন: (M.C.Q.):

(iv) ABC একটি ত্রিভুজ, \sin \left( \frac{B+C}{2} \right)=

(a) \sin \frac{A}{2}         

(b) \cos \frac{A}{2}        

(c) \sin A         

(d) \cos A

সমাধান :  (b) {\color{Red} cos\frac{A}{2}}

\because  ABC একটি ত্রিভুজ।

∴  \angle A+\angle B+\angle C=180 \degree

অর্থাৎ,  \angle B+\angle C=180 \degree-\angle A

\Rightarrow \frac{\angle B+\angle C}{2}=\frac{180 \degree -\angle A}{2}

\Rightarrow \left ( \frac{B+C}{2} \right )=\left ( \frac{180}{2}-\frac{A}{2} \right )

\Rightarrow \left ( \frac{B+C}{2} \right )=\left ( 90-\frac{A}{2} \right )

এখন,  sin\left ( \frac{B+C}{2} \right )

=sin\left ( 90-\frac{A}{2} \right )

=cos\frac{A}{2} (b)  {\color{Blue} [\because sin\left ( 90- \theta \right )=cos \theta]}

পূরক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত : কষে দেখি - 24

Q12. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)

(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন: (M.C.Q.):

(v) A+B=90{}^\circ এবং  \tan A=\frac{3}{4}  হলে, \cot B এর মান,

(a) \frac{3}{4}

(b) \frac{4}{3}               

(c) \frac{3}{5}                  

(d) \frac{4}{5}

সমাধান :  (a) {\color{Red} \frac{3}{4}}

cotB

=cot\left ( 90-A \right )

=tanA {\color{Blue} [\because cot\left ( 90-\theta \right )=tan\theta ]}

=\frac{3}{4} (a) [প্রদত্ত,  {\color{Blue} tanA=\frac{3}{4}}]

পূরক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত : কষে দেখি - 24

Q12. (B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখি :

(i) \cos 54{}^\circ এবং \sin 36{}^\circ এর মান সমান।

সমাধান : সত্য

\cos 54{}^\circ

=cos\left ( 90-36 \right )\degree

=sin36 \degree  {\color{Blue} [\because cos\left ( 90- \theta \right )=sin \theta]}

\cos 54{}^\circ এবং \sin 36{}^\circ এর মান সমান। (সত্য)

পূরক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত : কষে দেখি - 24

Q12. (B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখি :

(ii) \sin 12{}^\circ -\cos 78{}^\circ এর সরলতম মান 1

সমাধান : মিথ্যা

\sin 12{}^\circ -\cos 78{}^\circ

=sin12 \degree - cos\left ( 90 -12 \right )\degree

=sin12 \degree - sin12 \degree {\color{Blue} [\because cos\left ( 90- \theta \right )=sin \theta]}

=0

∴  \sin 12{}^\circ -\cos 78{}^\circ এর সরলতম মান 1 (মিথ্যা)

পূরক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত : কষে দেখি - 24

Q12. (C) শূন্যস্থান পূরণ করি :

(i) \left ( \tan 15{}^\circ \times \tan 45{}^\circ \times \tan 60{}^\circ \times \tan 75{}^\circ \right ) –এর মান _________। 

সমাধান :  {\color{Red} \sqrt{3}}

tan15 \degree\times tan45 \degree\times tan60 \degree\times tan75 \degree

=\left ( tan15 \degree \right )\times \left ( 1 \right )\times \left ( \sqrt{3} \right )\times \left \{ tan\left ( 90-15 \right )\degree \right \}  {\color{Blue} [\because tan45 \degree =1;tan60 \degree =\sqrt{3}]}

=\left ( tan15 \degree \right )\times \left ( \sqrt{3} \right )\times \left ( cot15 \degree \right ) {\color{Blue} [\because tan\left ( 90-\theta \right )=cot\theta ]}

=\left ( tan15 \degree \times cot15 \degree \right )\times \sqrt{3}

=1\times \sqrt{3} \; \; {\color{Blue} [\because tan\theta \times cot\theta =1]}

=\sqrt{3} (Answer)

পূরক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত : কষে দেখি - 24

Q12. (C) শূন্যস্থান পূরণ করি :

(ii) \left ( \sin 12{}^\circ \times \cos 18{}^\circ \times \sec 78{}^\circ \times \text{cosec}72{}^\circ \right ) -এর মান __________। 

সমাধান :  1

sin12 \degree\times cos18 \degree\times sec78 \degree\times cosec72 \degree

=sin12 \degree\times cos18 \degree\times sec\left ( 90-12 \right )\degree\times cosec\left (90-18 \right ) \degree

=sin12 \degree\times cos18 \degree\times cosec12 \degree\times sec18 \degree {\color{Blue} [\because sec\left ( 90-\theta \right )=cosec\theta ;\; \; cosec\left ( 90-\theta \right )=sec\theta ]}

=\left ( sin12 \degree\times cosec12 \degree \right )\times \left ( cos18 \degree\times sec18 \degree \right )

=\left ( 1 \right )\times \left ( 1 \right ) \; \; {\color{Blue} [\because sin\theta \times cosec\theta =1;\; cos\theta \times sec\theta =1]}

=1 (Answer)

পূরক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত : কষে দেখি - 24

Q12. (C) শূন্যস্থান পূরণ করি :

(iii) A  ও B পরস্পর পূরক কোণ হলে, sin A = ________।

সমাধান :  {\color{Red} cosB}

\becauseপ্রদত্ত, A  ও B পরস্পর পূরক কোণ।

অর্থাৎ,  A + B = 90°

\Rightarrow A=90-B

এখন,  sinA

=sin\left ( 90-B \right )\; \; {\color{Blue} [\because A=90-B]}

=cosB\; \; \; {\color{Blue} [\because sin\left ( 90- \theta \right )=cos \theta]} (Answer)

পূরক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত : কষে দেখি - 24

Q13. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.) :

(i) \sin 10\theta =\cos 8\theta এবং 10\theta ধনাত্মক সূক্ষ্মকোণ হলে, \tan 9\theta -এর মান নির্ণয় করি।

সমাধান :

প্রদত্ত,  \sin 10\theta =\cos 8\theta

\Rightarrow sin10\theta=sin\left ( 90-8\theta \right )\; \; {\color{Blue} [\because cos \theta=sin\left ( 90- \theta \right )]}

\Rightarrow 10 \theta=90-8 \theta

\Rightarrow 10 \theta+8 \theta=90 \degree

\Rightarrow 18 \theta=90 \degree

\Rightarrow \theta =\frac{90}{18}\Rightarrow 5 \degree

এখন,  \tan 9\theta

=tan\left ( 9\times 5 \right ) \degree

=tan45 \degree\Rightarrow 1\; \; \; {\color{Blue} [\because tan45 \degree=1]}  (Answer)

পূরক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত : কষে দেখি - 24

Q13. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.) :

(ii) \tan 4\theta .\tan 6\theta =1 এবং 6\theta ধনাত্মক সূক্ষ্মকোণ হলে, \theta – এর মান নির্ণয় করি।

সমাধান :

প্রদত্ত,  \tan 4\theta .\tan 6\theta =1

\Rightarrow tan6 \theta=\frac{1}{tan4 \theta}

\Rightarrow tan6 \theta=cot4 \theta\; \; \; {\color{Blue} [\because \frac{1}{tan\theta }=cot\theta ]}

\Rightarrow tan6 \theta=tan\left ( 90-4 \theta \right )\; \; \; {\color{Blue} [\because cot \theta=tan\left ( 90-\theta \right )]}

\Rightarrow 6 \theta=90-4 \theta

\Rightarrow 6 \theta+4 \theta=90 \degree

\Rightarrow 10 \theta=90 \degree

\Rightarrow \theta =\frac{90}{10}\Rightarrow 9 \degree (Answer)

পূরক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত : কষে দেখি - 24

Q13. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.) :

(iii) \frac{2{{\sin }^{2}}63{}^\circ +1+2{{\sin }^{2}}27{}^\circ }{3{{\cos }^{2}}17{}^\circ -2+3{{\cos }^{2}}73{}^\circ } -এর মান নির্ণয় করি।

সমাধান :

প্রদত্ত,  \frac{2{{\sin }^{2}}63{}^\circ +1+2{{\sin }^{2}}27{}^\circ }{3{{\cos }^{2}}17{}^\circ -2+3{{\cos }^{2}}73{}^\circ }

=\frac{2sin^{2}63 \degree+1+2sin^{2}\left (90-63 \right ) \degree}{3cos^{2}\left ( 90-73 \right )-2+3cos^{2}73 \degree}

=\frac{2sin^{2}63 \degree+1+2cos^{2}63 \degree}{3sin^{2}73 \degree-2+3cos^{2}73 \degree}\; \; {\color{Blue} [\because sin\left ( 90-\theta \right )=cos\theta ;cos\left ( 90-\theta \right )=sin\theta ]}

=\frac{2\left ( sin^{2}63 \degree+cos^{2}63 \degree \right )+1}{3\left ( sin^{2}73 \degree+cos^{2}73 \degree \right )-2}

=\frac{2\times \left ( 1 \right )+1}{3\times \left ( 1 \right )-2}\; \; \; {\color{Blue} [\because sin^{2}\theta +cos^{2}\theta =1]}

=\frac{2+1}{3-2}\Rightarrow \frac{3}{1}=3 (Answer)

পূরক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত : কষে দেখি - 24

Q13. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.) :

(iv) \left( \tan 1{}^\circ \times \tan 2{}^\circ \times \tan 3{}^\circ .......\tan 89{}^\circ \right) -এর মান নির্ণয় করি।

সমাধান :

প্রদত্ত, 

\left( \tan 1{}^\circ \times \tan 2{}^\circ \times \tan 3{}^\circ .......\tan 89{}^\circ \right)

=tan1 \degree. tan2 \degree. tan3 \degree... tan45 \degree ... tan87\degree. tan88 \degree. tan89 \degree

=tan1 \degree.tan2 \degree.tan3 \degree... \left ( 1 \right ) ... tan\left ( 90-3 \right )\degree.tan\left ( 90-2 \right )\degree.tan\left ( 90-1 \right )\degree

=tan1 \degree.tan2 \degree.tan3 \degree...\left ( 1 \right )...cot3\degree.cot2 \degree.cot1 \degree\; \; {\color{Blue} [\because tan\left ( 90-\theta \right )=cot \theta]}

=\left ( tan1 \degree.cot1 \degree \right ).\left ( tan2 \degree.cot2 \degree \right ).\left ( tan3 \degree.cot3 \degree \right )...\left ( tan44 \degree.cot44 \degree \right ).\left ( 1 \right )

=\left ( 1 \right ).\left ( 1 \right ).\left ( 1 \right )....\left ( 1 \right )\; \; \; {\color{Blue} [\because tan\theta .cot\theta =1]}

=1 (Answer)

পূরক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত : কষে দেখি - 24

Q13. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.) :

(v) \sec 5A=\text{cosec}\left( A+36{}^\circ \right) এবং 5A ধনাত্মক সূক্ষ্মকোণ হলে, A -এর মান নির্ণয় করি।

সমাধান :

প্রদত্ত,  \sec 5A=\text{cosec}\left( A+36{}^\circ \right)

\Rightarrow cosec\left ( 90-5A \right )=cosec\left ( A+36 \degree \right )\: \: \: {\color{Blue} [\because sec\theta =cosec\left ( 90-\theta \right )]}

\Rightarrow 90\degree-5A=A+36 \degree

\Rightarrow 90 \degree-36 \degree=A+5A

\Rightarrow 6A=54 \degree

\Rightarrow A=\frac{54}{6}\Rightarrow 9 \degree (Answer)

koshe dekhi 24 class 10

Thank You

One thought on “Koshe Dekhi 24 Class 10”

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

Insert math as
Block
Inline
Additional settings
Formula color
Text color
#333333
Type math using LaTeX
Preview
\({}\)
Nothing to preview
Insert
error: Content is protected !!