Koshe Dekhi 23.3 Class 10

koshe dekhi 23.3 class 10

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি : কষে দেখি - 23.3

Q1. (i) ${\color{Blue} \sin \theta =\frac{4}{5}}$ হলে, ${\color{Blue} \frac{cosec \theta }{1+\cot \theta }}$ -এর মান নির্ণয় করে লিখি।

সমাধানঃ

প্রদত্ত, $\sin \theta =\frac{4}{5}$

এখন যেহেতু,

$sin \theta$

ধরি, লম্ব = 4k এবং অতিভুজ = 5k

পিথাগোরাসের সমীকরণ অনুযায়ী,

(লম্ব)² + (ভূমি)² = (অতিভুজ)²

বা, (4k)² + (ভূমি)² = (5k)²

বা, 16k² + (ভূমি)² = 25k²

বা, (ভূমি)² = 25k² − 16k²

বা, (ভূমি)² = 9k²

বা, ভূমি = $\sqrt{9k^{2}}=3k$

এখন যেহেতু,

$cosec \theta$

$\therefore cosec\theta =\frac{5k}{4k}=\frac{5}{4}$

আবার যেহেতু,

$cot \theta$

$\therefore cot\theta =\frac{3k}{4k}=\frac{3}{4}$

এখন,

$\frac{cosec\theta }{1+cot\theta }$

$=\frac{\frac{5}{4}}{1+\frac{3}{4}}$ [cosecθ ও cotθ এর মান বসিয়ে পাই]

$=\frac{\frac{5}{4}}{\frac{4+3}{4}}$

$=\frac{\frac{5}{4}}{\frac{7}{4}}$

$=\frac{5}{4}\times \frac{4}{7}$

$=\frac{5}{7}$ (উত্তর)

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি : কষে দেখি - 23.3

Q1. (ii) যদি ${\color{Blue} \tan \theta =\frac{3}{4}}$ হয়, তবে দেখাই যে, ${\color{Blue} \sqrt{\frac{1-\sin \theta }{1+\sin \theta }}=\frac{1}{2}}$

সমাধানঃ

প্রদত্ত, $\tan \theta =\frac{3}{4}$

এখন যেহেতু,

$tan \theta$

ধরি, লম্ব = 3k এবং ভূমি = 4k

পিথাগোরাসের সমীকরণ অনুযায়ী,

(লম্ব)² + (ভূমি)² = (অতিভুজ)²

বা, (3k)² + (4k)² = (অতিভুজ)²

বা, 9k² + 16k² = (অতিভুজ)²

বা, (অতিভুজ)² = 25k²

বা, অতিভুজ = $\sqrt{25k^{2}}\Rightarrow 5k$

আমরা জানি,

$sin \theta$

$\therefore sin\theta =\frac{3k}{5k}\Rightarrow \frac{3}{5}$

এখন,

$1-sin \theta$

$=1-\frac{3}{5}$

$=\frac{5-3}{5}$

$=\frac{2}{5}$

আবার,

$1+sin \theta$

$=1+\frac{3}{5}$

$=\frac{5+3}{5}$

$=\frac{8}{5}$

বামপক্ষ :

$\sqrt{\frac{1-sin\theta}{1+sin\theta}}$

$\large =\sqrt{\frac{\frac{2}{5}}{\frac{8}{5}}}$

$=\sqrt{\frac{2}{5}\times \frac{5}{8}}$

$=\sqrt{\frac{1}{4}}$

$=\frac{1}{2}$

= ডানপক্ষ

∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ (প্রমানিত)

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি : কষে দেখি - 23.3

Q1. (iii) tanθ = 1 হলে, ${\color{Blue} \frac{8\sin \theta +5\cos \theta }{{{\sin }^{3}}\theta -2{{\cos }^{3}}\theta +7\cos \theta }}$ -এর মান নির্ণয় করি।

সমাধানঃ

প্রদত্ত,

tanθ = 1

বা, tanθ = tan45° [ ${\color{Blue} \because }$ tan45° = 1]

∴ θ = 45°

এখন,

sinθ

= sin45°

$=\frac{1}{\sqrt{2}}$

এবং

cosθ

= cos45°

$=\frac{1}{\sqrt{2}}$

নির্ণেয় $\frac{8\sin \theta +5\cos \theta }{{{\sin }^{3}}\theta -2{{\cos }^{3}}\theta +7\cos \theta }$ -এর মান

$=\frac{8\sin 45^{\circ} +5\cos 45^{\circ} }{{{\sin }^{3}}45^{\circ} -2{{\cos }^{3}}45^{\circ} +7\cos 45^{\circ} }$

$=\frac{8\times \frac{1}{\sqrt{2}} +5\times \frac{1}{\sqrt{2}}}{\left (\frac{1}{\sqrt{2}} \right )^{3}-2\times \left (\frac{1}{\sqrt{2}} \right )^{3}+7\times \frac{1}{\sqrt{2}}}$

$=\frac{\frac{13}{\sqrt{2}}}{\frac{1}{2\sqrt{2}}-2\times \frac{1}{2\sqrt{2}} +\frac{7}{\sqrt{2}}}$

$=\frac{\frac{13}{\sqrt{2}}}{\frac{1}{2\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}} +\frac{7}{\sqrt{2}}}$

$=\frac{\frac{13}{\sqrt{2}}}{\frac{1-2+14}{2\sqrt{2}}}$

$=\frac{\frac{13}{\sqrt{2}}}{\frac{13}{2\sqrt{2}}}$

$=\frac{13}{\sqrt{2}}\times \frac{2\sqrt{2}}{13}$

= 2 (উত্তর)

koshe dekhi 23.3 class 10

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি : কষে দেখি - 23.3

Q2. (i) cosecθ এবং tanθ কে sinθ -এর মাধ্যমে প্রকাশ করি।

সমাধানঃ

cosecθ কে sinθ -এর মাধ্যমে প্রকাশ :

cosecθ

$=\frac{1}{sin\theta }$ (উত্তর)

এবং

tanθ কে sinθ -এর মাধ্যমে প্রকাশ :

tanθ

$=\frac{sin\theta }{cos\theta }$

$=\frac{sin\theta }{\sqrt{1-sin^{2}\theta} }$ ${\color{Blue} \left [\because sin^{2}\theta +cos^{2}\theta =1 \right ]}$

(উত্তর)

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি : কষে দেখি - 23.3

Q2. (ii) cosecθ এবং tanθ কে cosθ -এর মাধ্যমে লিখি।

সমাধানঃ

cosecθ কে cosθ -এর মাধ্যমে প্রকাশ :

cosecθ

$=\frac{1}{sin\theta }$

$=\frac{1}{\sqrt{1-cos^{2}\theta} }$ ${\color{Blue} \left [\because sin^{2}\theta +cos^{2}\theta =1 \right ]}$

এবং

tanθ কে cosθ -এর মাধ্যমে প্রকাশ :

tanθ

$=\frac{sin\theta }{cos\theta }$

$=\frac{\sqrt{1-cos^{2}\theta } }{cos\theta }$ ${\color{Blue} \left [\because sin^{2}\theta +cos^{2}\theta =1 \right ]}$

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি : কষে দেখি - 23.3

Q3. (i) secθ + tanθ = 2 হলে, (secθ − tanθ) -এর মান নির্ণয় করি।

সমাধানঃ

আমরা জানি,

$sec^{2}\theta -tan^{2}\theta =1$

বা, (secθ + tanθ) (secθ − tanθ) = 1

${\color{Blue} \left [ \because a^{2}-b^{2}=\left ( a+b \right )\left ( a-b \right ) \right ]}$

বা, 2 × (secθ − tanθ) = 1 [secθ + tanθ = 2 বসিয়ে পাই]

${\color{DarkGreen} \therefore sec\theta -tan\theta =\frac{1}{2}}$ (উত্তর)

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি : কষে দেখি - 23.3

Q3. (ii) ${\color{Blue} cosec\theta -cot\theta =\sqrt{2}-1}$ হলে, cosecθ + cotθ -এর মান হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ

আমরা জানি,

$cosec^{2}\theta -cot^{2}\theta =1$

বা, (cosecθ + cotθ) (cosecθ − cotθ) = 1

${\color{Blue} \left [ \because a^{2}-b^{2}=\left ( a+b \right )\left ( a-b \right ) \right ]}$

বা, $\left ( cosec\theta + cot\theta \right )\times \left ( \sqrt{2}-1 \right )=1$

[ ${\color{Blue} cosec\theta -cot\theta =\sqrt{2}-1}$ বসিয়ে পাই ]

বা, $\left ( cosec\theta +cot\theta \right )=\frac{1}{\sqrt{2}-1}$

বা, $\left ( cosec\theta +cot\theta \right )=\frac{\left (\sqrt{2}+1 \right )}{\left (\sqrt{2}-1 \right )\left (\sqrt{2}+1 \right )}$

[ করণী নিরসন করে পাই ]

বা, $\left ( cosec\theta +cot\theta \right )=\frac{\left (\sqrt{2}+1 \right )}{\left (2-1 \right )}$

${\color{DarkGreen} \therefore \left ( cosec\theta +cot\theta \right )=\sqrt{2}+1}$ (উত্তর)

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি : কষে দেখি - 23.3

Q3. (iii) sinθ + cosθ = 1 হলে, sinθ × cosθ -এর মান নির্ণয় করি।

সমাধানঃ

আমরা জানি,

$sin^{2}\theta +cos^{2}\theta =1$

বা, $\left ( sin\theta +cos\theta \right )^{2}-2\times sin\theta \times cos\theta =1$

বা, $\left ( 1 \right )^{2}-2\times sin\theta \times cos\theta =1$

[ sinθ + cosθ = 1 বসিয়ে পাই ]

বা, $-2\times sin\theta \times cos\theta =1-1$

বা, $sin\theta \times cos\theta =\frac{0}{-2}$

${\color{DarkGreen} \therefore sin\theta \times cos\theta =0}$ (উত্তর)

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি : কষে দেখি - 23.3

Q3. (iv) tanθ + cotθ = 2 হলে, (tanθ − cotθ) -এর মান লিখি।

সমাধানঃ

প্রদত্ত,

tanθ + cotθ = 2

বা, $tan\theta +\frac{1}{tan\theta}=2$

বা, $\frac{tan^{2}\theta+1}{tan\theta}=2$

বা, $tan^{2}\theta+1=2tan\theta$

বা, $tan^{2}\theta-2tan\theta+1=0$

বা, (tanθ − 1) = 0

বা, tanθ = 1

বা, tanθ = tan45°

∴ θ = 45°

∴ (tanθ − cotθ) -এর মান

= tan45° − cot45°

= 1 − 1

= 0 (উত্তর)

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি : কষে দেখি - 23.3

Q3. (v) ${\color{Blue} \sin \theta -\cos \theta =\frac{7}{13}}$ হলে, (sinθ + cosθ) -এর মান নির্ণয় করি।

সমাধানঃ

আমরা জানি,

$sin^{2}\theta +cos^{2}\theta =1$

বা, $\left ( sin\theta -cos\theta \right )^{2}+2sin\theta cos\theta =1$

${\color{Blue} \left [\because a^{2}+b^{2}=\left ( a-b \right )^{2}+2ab \right ]}$

বা, $\left ( \frac{7}{13} \right )^{2}+2sin\theta cos\theta =1$

বা, $\frac{49}{169}+2sin\theta cos\theta =1$

বা, $2sin\theta cos\theta =1-\frac{49}{169}$

বা, $2sin\theta cos\theta =\frac{169-49}{169}$

বা, $2sin\theta cos\theta =\frac{120}{169}$

আবার,

$sin^{2}\theta +cos^{2}\theta =1$

বা, $\left ( sin\theta +cos\theta \right )^{2}-2sin\theta cos\theta =1$

${\color{Blue} \left [\because a^{2}+b^{2}=\left ( a+b \right )^{2}-2ab \right ]}$

বা, $\left ( sin\theta +cos\theta \right )^{2}-\frac{120}{169} =1$

বা, $\left ( sin\theta +cos\theta \right )^{2}=1+\frac{120}{169}$

বা, $\left ( sin\theta +cos\theta \right )^{2}=\frac{289}{169}$

বা, $\left ( sin\theta +cos\theta \right )=\sqrt{\frac{289}{169}}$

${\color{DarkGreen} \therefore \left ( sin\theta +cos\theta \right )=\frac{17}{13}}$ (উত্তর)

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি : কষে দেখি - 23.3

Q3. (vi) ${\color{Blue} \sin \theta \times \cos \theta =\frac{1}{2}}$ হলে, (sinθ + cosθ) -এর মান হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ

আমরা জানি,

$sin^{2}\theta +cos^{2}\theta =1$

বা, $\left ( sin\theta +cos\theta \right )^{2}-2sin\theta cos\theta =1$

${\color{Blue} \left [\because a^{2}+b^{2}=\left ( a+b \right )^{2}-2ab \right ]}$

বা, $\left ( sin\theta +cos\theta \right )^{2}-2\times \frac{1}{2} =1$

বা, $\left ( sin\theta +cos\theta \right )^{2}-1 =1$

বা, $\left ( sin\theta +cos\theta \right )^{2}=2$

${\color{DarkGreen} \therefore \left ( sin\theta +cos\theta \right )=\sqrt{2}}$ (উত্তর)

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি : কষে দেখি - 23.3

Q3. (vii) ${\color{Blue} sec\theta -tan\theta =\frac{1}{\sqrt{3}}}$ হলে, secθ এবং tanθ উভয়ের মান নির্ণয় করি।

সমাধানঃ

$sec\theta -tan\theta =\frac{1}{\sqrt{3}}$ ……(i)

আমরা জানি,

$sec^{2}\theta -tan^{2}\theta =1$

বা, (secθ + tanθ) (secθ − tanθ) = 1

${\color{Blue} \left [ \because a^{2}-b^{2}=\left ( a+b \right )\left ( a-b \right ) \right ]}$

বা, $\left (sec\theta +tan\theta \right )\times \frac{1}{\sqrt{3}} =1$

[ ${\color{Blue} sec\theta -tan\theta =\frac{1}{\sqrt{3}}}$ বসিয়ে পাই]

$sec\theta +tan\theta =\sqrt{3}$ ……(ii)

(i) নং সমীকরণ ও (ii) নং সমীকরণ যোগ করে পাই,

$sec\theta -tan\theta +sec\theta +tan\theta=\frac{1}{\sqrt{3}}+\sqrt{3}$

বা, $2sec\theta=\frac{1+3}{\sqrt{3}}$

বা, $2sec\theta=\frac{4}{\sqrt{3}}$

${\color{DarkGreen} \therefore sec\theta=\frac{2}{\sqrt{3}}}$ (উত্তর)

আবার,

(i) নং সমীকরণ থেকে (ii) নং সমীকরণ বিয়োগ করে পাই,

$sec\theta -tan\theta -sec\theta -tan\theta=\frac{1}{\sqrt{3}}-\sqrt{3}$

বা, $-2tan\theta=\frac{1-3}{\sqrt{3}}$

বা, $-2tan\theta=\frac{-2}{\sqrt{3}}$

${\color{DarkGreen} \therefore tan\theta=\frac{1}{\sqrt{3}}}$ (উত্তর)

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি : কষে দেখি - 23.3

Q3. (viii) ${\color{Blue} cosec\theta +cot \theta =\sqrt{3}}$ হলে, cosecθ এবং cotθ – এর মান নির্ণয় করি।

সমাধানঃ

$cosec\theta +cot \theta =\sqrt{3}$ …….(i)

আমরা জানি,

$cosec^{2}\theta -cot^{2}\theta =1$

বা, (cosecθ + cotθ) (cosecθ − cotθ) = 1

${\color{Blue} \left [ \because a^{2}-b^{2}=\left ( a+b \right )\left ( a-b \right ) \right ]}$

বা, $\sqrt{3}\times \left (cosec\theta -cot\theta \right )=1$

[ ${\color{Blue} cosec\theta +cot \theta =\sqrt{3}}$ বসিয়ে পাই]

$cosec\theta -cot\theta =\frac{1}{\sqrt{3}}$ ……(ii)

(i) নং সমীকরণ ও (ii) নং সমীকরণ যোগ করে পাই,

$cosec\theta +cot\theta+cosec\theta -cot\theta =\sqrt{3}+\frac{1}{\sqrt{3}}$

বা, $2cosec\theta=\frac{3+1}{\sqrt{3}}$

বা, $2cosec\theta=\frac{4}{\sqrt{3}}$

${\color{DarkGreen} \therefore cosec\theta=\frac{2}{\sqrt{3}}}$ (উত্তর)

আবার,

(i) নং সমীকরণ থেকে (ii) নং সমীকরণ বিয়োগ করে পাই,

$cosec\theta +cot\theta -cosec\theta +cot\theta =\sqrt{3}-\frac{1}{\sqrt{3}}$

বা, $2cot\theta=\frac{3-1}{\sqrt{3}}$

বা, $2cot\theta=\frac{2}{\sqrt{3}}$

${\color{DarkGreen} \therefore cot\theta=\frac{1}{\sqrt{3}}}$ (উত্তর)

koshe dekhi 23.3 class 10

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি : কষে দেখি - 23.3

Q3. (ix) ${\color{Blue} \frac{\sin \theta +\cos \theta }{\sin \theta -\cos \theta }=7}$ হলে, tanθ -এর মান হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ

$\frac{\sin \theta +\cos \theta }{\sin \theta -\cos \theta }=7$

বা, 7sinθ − 7cosθ = sinθ + cosθ

বা, 7sinθ − sinθ = cosθ + 7cosθ

বা, 6sinθ = 8cosθ

বা, $\frac{sin\theta }{cos\theta }=\frac{8}{6}$

${\color{DarkGreen} \therefore tan\theta =\frac{4}{3}}$ (উত্তর)

koshe dekhi 23.3 class 10

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি : কষে দেখি - 23.3

Q3. (x) ${\color{Blue} \frac{cosec\theta +sin\theta }{cosec\theta -sin \theta }=\frac{5}{3}}$ হলে, sinθ -এর মান হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ

$\frac{cosec\theta +sin\theta }{cosec\theta -sin \theta }=\frac{5}{3}$

বা, 5cosecθ − 5sinθ = 3cosecθ + 3sinθ

বা, 5cosecθ − 3cosecθ = 5sinθ + 3sinθ

বা, 2cosecθ = 8sinθ

বা, $2\times \frac{1}{sin\theta }=8sin\theta$

বা, $\frac{2}{8}=sin^{2}\theta$

বা, $sin^{2}\theta=\frac{1}{4}$

বা, $sin\theta=\sqrt{\frac{1}{4}}$

[ θ সূক্ষকোণের জন্য sinθ ধনাত্মক ]

${\color{DarkGreen} \therefore sin\theta =\frac{1}{2}}$ (উত্তর)

koshe dekhi 23.3 class 10

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি : কষে দেখি - 23.3

Q3. (xi) ${\color{Blue} \sec \theta +\cos \theta =\frac{5}{2}}$ হলে, (secθ − cosθ) -এর মান হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ

$\sec \theta +\cos \theta =\frac{5}{2}$

বা, $\frac{1}{cos\theta }+\cos \theta =\frac{5}{2}$

বা, $\frac{1+cos^{2}\theta}{cos\theta }=\frac{5}{2}$

বা, $2+2cos^{2}\theta=5cos\theta$

বা, $2cos^{2}\theta-5cos\theta+2=0$

বা, $2cos^{2}\theta-4cos\theta-cos\theta+2=0$

বা, 2cosθ (cosθ − 2) − 1 (cosθ − 2) = 0

বা, (cosθ − 2) (2cosθ − 1) = 0

দুই বা ততোধিক রাশির গুনফল শূন্য হলে তারা পৃথক পৃথক ভাবে শূন্য হয়।

অর্থাৎ,

(cosθ − 2) = 0

বা, cosθ = 2

আবার,

(2cosθ − 1) = 0

বা, 2cosθ = 1

∴ $cos\theta =\frac{1}{2}$

∴ (secθ − cosθ) -এর মান

$=\frac{1}{cos\theta }-cos\theta$

$=\frac{1}{2}-2$ [যখন cosθ = 2]

$=-\frac{3}{2}$

আবার,

∴ (secθ − cosθ) -এর মান

$=\frac{1}{cos\theta }-cos\theta$

$=2-\frac{1}{2}$ [যখন ${\color{Blue} cos\theta =\frac{1}{2}}$ ]

$=\frac{3}{2}$ (উত্তর)

koshe dekhi 23.3 class 10

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি : কষে দেখি - 23.3

Q3. (xii) ${\color{Blue} 5\sin^{2}\theta +4\cos^{2}\theta =\frac{9}{2}}$ সম্পর্কটি থেকে tanθ -এর মান নির্ণয় করি।

সমাধানঃ

$5\sin^{2}\theta +4\cos^{2}\theta =\frac{9}{2}$

বা, $10\sin^{2}\theta +8\cos^{2}\theta =9$

বা, $10\sin^{2}\theta +8\cos^{2}\theta =9\times 1$

বা, $10\sin^{2}\theta +8\cos^{2}\theta =9\times \left (\sin^{2}\theta +\cos^{2}\theta \right )$

বা, $10\sin^{2}\theta +8\cos^{2}\theta =9\sin^{2}\theta +9\cos^{2}\theta$

বা, $10\sin^{2}\theta -9\sin^{2}\theta =9\cos^{2}\theta-8\cos^{2}\theta$

বা, $\sin^{2}\theta=\cos^{2}\theta$

বা, $\frac{sin^{2}\theta}{\cos^{2}\theta}=1$

বা, $tan^{2}\theta=1$

বা, $tan\theta=\pm \sqrt{1}$

∴ tanθ = ±1 (উত্তর)

koshe dekhi 23.3 class 10

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি : কষে দেখি - 23.3

Q3. (xiii) ${\color{Blue} tan^{2}\theta +cot^{2}\theta =\frac{10}{3}}$ হলে, (tanθ + cotθ) এবং (tanθ − cotθ) এর মান নির্ণয় করি এবং সেখান থেকে tanθ -এর মান হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ

$tan^{2}\theta +cot^{2}\theta =\frac{10}{3}$

বা, $\left (tan\theta +cot\theta \right )^{2}-2tan\theta cot\theta =\frac{10}{3}$

${\color{Blue} \left [\because a^{2}+b^{2}=\left ( a+b \right )^{2}-2ab \right ]}$

বা, $\left (tan\theta +cot\theta \right )^{2}-2\times 1 =\frac{10}{3}$

বা, $\left (tan\theta +cot\theta \right )^{2}=\frac{10}{3}+2$

বা, $\left (tan\theta +cot\theta \right )^{2}=\frac{10+6}{3}$

বা, $\left (tan\theta +cot\theta \right )^{2}=\frac{16}{3}$

বা, $\left (tan\theta +cot\theta \right )=\pm \sqrt{\frac{16}{3}}$

${\color{DarkGreen} \therefore \left (tan\theta +cot\theta \right )=\pm {\frac{4}{\sqrt3}}}$ (উত্তর)

$tan^{2}\theta +cot^{2}\theta =\frac{10}{3}$

বা, $\left (tan\theta -cot\theta \right )^{2}+2tan\theta cot\theta =\frac{10}{3}$

${\color{Blue} \left [\because a^{2}+b^{2}=\left ( a-b \right )^{2}+2ab \right ]}$

বা, $\left (tan\theta -cot\theta \right )^{2}+2\times 1 =\frac{10}{3}$

বা, $\left (tan\theta -cot\theta \right )^{2}=\frac{10}{3}-2$

বা, $\left (tan\theta -cot\theta \right )^{2}=\frac{10-6}{3}$

বা, $\left (tan\theta -cot\theta \right )^{2}=\frac{4}{3}$

বা, $\left (tan\theta -cot\theta \right )=\pm \sqrt{\frac{4}{3}}$

${\color{DarkGreen} \therefore \left (tan\theta -cot\theta \right )=\pm {\frac{2}{\sqrt3}}}$ (উত্তর)

ধরি, θ সূক্ষকোণ তাই ধনাত্মক মান নিয়ে পাই,

$\left (tan\theta +cot\theta \right )={\frac{4}{\sqrt3}}$ ……..(i)

$\left (tan\theta -cot\theta \right )={\frac{2}{\sqrt3}}$ ……..(ii)

(i) + (ii) করে পাই,

$tan\theta +cot\theta+tan\theta -cot\theta={\frac{4}{\sqrt3}}+{\frac{2}{\sqrt3}}$

$2tan\theta ={\frac{6}{\sqrt3}}$

$tan\theta ={\frac{3}{\sqrt3}}$

${\color{DarkGreen} \therefore tan\theta =\sqrt3}$ (উত্তর)

koshe dekhi 23.3 class 10

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি : কষে দেখি - 23.3

Q3. (xiv) ${\color{Blue} sec^{2}\theta +tan^{2}\theta =\frac{13}{12}}$ হলে, ${\color{Blue} \left( sec^{4}\theta -tan^{4}\theta \right)}$ -এর মান হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ

$\left( sec^{4}\theta -tan^{4}\theta \right)$

$=\left( sec^{2}\theta +tan^{2}\theta \right)\left( sec^{2}\theta -tan^{2}\theta \right)$

${\color{Blue} \left [ \because a^{2}-b^{2}=\left ( a+b \right )\left ( a-b \right ) \right ]}$

$=\frac{13}{12}\times 1$

${\color{DarkGreen} =\frac{13}{12}}$ (উত্তর)

koshe dekhi 23.3 class 10

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি : কষে দেখি - 23.3

Q4. (i) PQR ত্রিভজে ∠Q সমকোণ। ${\color{Blue} PR=\sqrt{5}}$ একক এবং PQ − RQ = 1 একক হলে, (cosP − cosR) এর মান নির্ণয় করি।

সমাধানঃ

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি : কষে দেখি - 23.3

যেহেতু,

$cos \theta$

এবং P কোণের সাপেক্ষে,

ভূমি = PQ ও অতিভুজ = PR

$\therefore cosP=\frac{PQ}{PR}$

একইভাবে, R কোণের সাপেক্ষে,

ভূমি = RQ এবং অতিভুজ = PR

$\therefore cosR=\frac{RQ}{PR}$

∴ (cosP − cosR) এর মান

$=\frac{PQ}{PR}-\frac{RQ}{PR}$

$=\frac{PQ-RQ}{PR}$

${\color{DarkGreen} =\frac{1}{\sqrt{5}}}$ (উত্তর)

koshe dekhi 23.3 class 10

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি : কষে দেখি - 23.3

Q4. (ii) XYZ ত্রিভূজে $\angle Y$ সমকোণ। ${\color{Blue} XY=2\sqrt{3}}$ একক এবং XZ − YZ = 2 একক হলে, secX − tanX এর মান নির্ণয় করি।

সমাধানঃ

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি : কষে দেখি - 23.3

যেহেতু,

$sec \theta$

এবং X কোণের সাপেক্ষে,

ভূমি = XY ও অতিভুজ = XZ

$\therefore secX=\frac{XZ}{XY}$

একইভাবে,

$tan \theta$

এবং X কোণের সাপেক্ষে,

লম্ব = YZ ও ভূমি = XY

$\therefore tanX=\frac{YZ}{XY}$

∴ secX − tanX এর মান

$=\frac{XZ}{XY}-\frac{YZ}{XY}$

$=\frac{XZ-YZ}{XY}$

$=\frac{2}{2\sqrt{3}}$

${\color{DarkGreen} =\frac{1}{\sqrt{3}}}$ (উত্তর)

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি : কষে দেখি - 23.3

Q5. সম্পর্কগুলি থেকে θ কে অপনয়ন করি :

(i) x = 2 sinθ , y = 3 cosθ

সমাধানঃ

x = 2 sinθ

বা, $\frac{x}{2}=sin\theta$

বা, $\left (\frac{x}{2} \right )^{2}=\left (sin\theta \right )^{2}$

বা, $\frac{x^{2}}{4}=sin^{2}\theta$ …….(i)

আবার,

y = 3 cosθ

বা, $\frac{y}{3}=cos\theta$

বা, $\left (\frac{y}{3} \right )^{2}=\left (cos\theta \right )^{2}$

বা, $\frac{y^{2}}{9}=cos^{2}\theta$ …….(ii)

(i) ও (ii) নং সমীকরণ দুটিকে যোগ করে পাই,

$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=sin^{2}\theta+cos^{2}\theta$

${\color{DarkGreen} \therefore \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1}$ (উত্তর)

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি : কষে দেখি - 23.3

Q5. সম্পর্কগুলি থেকে θ কে অপনয়ন করি :

(ii) ${\color{Blue} 5x=3sec \theta ,y=3tan \theta}$

সমাধানঃ

$5x=3sec \theta$

বা, $\frac{5x}{3}=sec\theta$

বা, $\left (\frac{5x}{3} \right )^{2}=\left (sec\theta \right )^{2}$

বা, $\frac{25x^{2}}{9}=sec^{2}\theta$ …….(i)

আবার,

$y=3tan \theta$

বা, $\frac{y}{3}=tan\theta$

বা, $\left (\frac{y}{3} \right )^{2}=\left (tan\theta \right )^{2}$

বা, $\frac{y^{2}}{9}=tan^{2}\theta$ …….(ii)

(i) নং সমীকরণ থেকে (ii) নং সমীকরণ বিয়োগ করে পাই,

$\frac{25x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{9}=sec^{2}\theta-tan^{2}\theta$

বা, $\frac{25x^{2}-y^{2}}{9}=1$

${\color{DarkGreen} \therefore 25x^{2}-y^{2}=9}$ (উত্তর)

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি : কষে দেখি - 23.3

Q6. (i) যদি ${\color{Blue} sin \alpha =\frac{5}{13}}$ হয়, তাহলে দেখাই যে, ${\color{Blue} tan \alpha +sec \alpha =1.5}$

সমাধানঃ

প্রদত্ত,

$sin \alpha =\frac{5}{13}$

যেহেতু,

$sin \theta$

∴ ধরি, লম্ব = 5k এবং অতিভুজ = 13k

পিথাগোরাসের সমীকরণ অনুযায়ী,

(লম্ব)² + (ভূমি)² = (অতিভুজ)²

বা, (5k)² + (ভূমি)² = (13k)²

বা, 25k² + (ভূমি)² = 169k²

বা, (ভূমি)² = 169k² − 25k²

বা, (ভূমি)² = 144k²

বা, ভূমি = $\sqrt{144k^{2}}=12k$

আবার,

$tan \theta$

এবং

$sec \theta$

এখন,

tanα + secα

$=\frac{5k}{12k}+\frac{13k}{12k}$

$=\frac{5k+13k}{12k}$

$=\frac{18k}{12k}$

$=\frac{3}{2}$

= 1.5 (প্রমানিত)

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি : কষে দেখি - 23.3

Q6. (ii) যদি ${\color{Blue} tanA=\frac{n}{m}}$ হয়, তাহলে sinA এবং secA উভয়ের মান লিখি।

সমাধানঃ

প্রদত্ত,

$tanA=\frac{n}{m}$

আমরা জানি,

$tan \theta$

∴ ধরি, লম্ব = nk এবং ভূমি = mk

পিথাগোরাসের সমীকরণ অনুযায়ী,

(লম্ব)² + (ভূমি)² = (অতিভুজ)²

বা, (nk)² + (mk)² = (অতিভুজ)²

বা, n²k² + m²k² = (অতিভুজ)²

বা, (অতিভুজ)² = k²(n² + m²)

বা, অতিভুজ = $\sqrt{k^{2}(n^{2}+m^{2})}=k\sqrt{(n^{2}+m^{2})}$

আবার,

আমরা জানি,

$sin \theta$

∴ sinA এর মান

$=\frac{nk}{k\left (\sqrt{n^{2}+m^{2}} \right )}$

${\color{DarkGreen} =\frac{n}{\left (\sqrt{n^{2}+m^{2}} \right )}}$ (উত্তর)

এবং

$sec \theta$

∴ secA এর মান

$=\frac{k\left (\sqrt{n^{2}+m^{2}} \right )}{mk}$

${\color{DarkGreen} =\frac{\left (\sqrt{n^{2}+m^{2}} \right )}{m}}$ (উত্তর)

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি : কষে দেখি - 23.3

Q6. (iii) যদি ${\color{Blue} \cos \theta =\frac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}}}$ হয়, তাহলে দেখাই যে, xsinθ = ycosθ

সমাধানঃ

প্রদত্ত,

$\cos \theta =\frac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}}$

$cos \theta$

ধরি, ভূমি = xk এবং অতিভুজ $=k\sqrt{x^{2}+y^{2}}$

পিথাগোরাসের সমীকরণ অনুযায়ী,

(লম্ব)² + (ভূমি)² = (অতিভুজ)²

বা, (লম্ব)² + (xk)² $=\left (k\sqrt{x^{2}+y^{2}} \right )^{2}$

বা, (লম্ব)² + x²k² = k²(x² + y²)

বা, (লম্ব)² = k²(x² + y²) − x²k²

বা, (লম্ব)² = x²k²+ k²y² − x²k²

বা, (লম্ব)² = k²y²

বা, লম্ব = $\sqrt{k^{2}y^{2}}$

∴ লম্ব = yk

আমরা জানি,

$sin \theta$

বামপক্ষ :

x sinθ

$=x\times \frac{yk}{k\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$

$=\frac{xy}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$

ডানপক্ষ :

y cosθ

$=y\times \frac{x}{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}$

$=\frac{xy}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$

বামপক্ষ = ডানপক্ষ (প্রমানিত)

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি : কষে দেখি - 23.3

Q6. (iv) যদি ${\color{Blue} \sin \alpha =\frac{{{a}^{2}}-{{b}^{2}}}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}$ হয়, তাহলে দেখাই যে, ${\color{Blue} \cot \alpha =\frac{2ab}{{{a}^{2}}-{{b}^{2}}}}$

সমাধানঃ

প্রদত্ত,

$sin\alpha =\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}$

যেহেতু,

$sin \theta$

∴ ধরি, লম্ব = (a² − b²)k এবং অতিভুজ = (a² + b²)k

পিথাগোরাসের সমীকরণ অনুযায়ী,

(লম্ব)² + (ভূমি)² = (অতিভুজ)²

বা, {(a² − b²)k}² + (ভূমি)² = {(a² + b²)k}²

বা, (a² − b²)²k² + (ভূমি)² = (a² + b²)²k²

বা, (ভূমি)² = (a² + b²)²k² − (a² − b²)²k²

বা, (ভূমি)² = k²{(a² + b²)² −(a² − b²)²}

বা, (ভূমি)² = k²(4a²b²) [∵ (a + b)² −(a − b)² = 4ab]

বা, ভূমি = $\sqrt{k^{2}(4a^{2}b^{2})}$

∴ ভূমি = 2abk

আবার আমরা জানি,

$cot \theta$

∴ cotα

$=\frac{2abk}{\left ( a^{2}-b^{2} \right )k}$

${\color{DarkGreen} =\frac{2ab}{\left ( a^{2}-b^{2} \right )}}$ (প্রমানিত)

koshe dekhi 23.3 class 10

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি : কষে দেখি - 23.3

Q6. (v) যদি ${\color{Blue} \frac{sin\theta}{x}=\frac{cos\theta}{y}}$ হয়, তাহলে দেখাই যে, ${\color{Blue} sin\theta-cos\theta =\frac{x-y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}}$

সমাধানঃ

ধরি,

$\frac{sin\theta}{x}=\frac{cos\theta}{y}=k$

∴ sinθ = xk, cosθ = yk

আমরা জানি,

$sin^{2}\theta +cos^{2}\theta =1$

বা, $\left ( xk \right )^{2}+\left ( yk \right )^{2}=1$

বা, $x^{2}k^{2}+y^{2}k^{2}=1$

বা, $k^{2}\left (x^{2}+y^{2} \right )=1$

বা, $k^{2}=\frac{1}{\left (x^{2}+y^{2} \right )}$

বা, $k=\frac{1}{\sqrt{\left (x^{2}+y^{2} \right )}}$

বামপক্ষ :

sinθ − cosθ

= xk − yk

= k (x − y)

$=\frac{1}{\sqrt{\left (x^{2}+y^{2} \right )}}\times \left ( x-y \right )$

$=\frac{\left ( x-y \right )}{\sqrt{\left (x^{2}+y^{2} \right )}}$

= ডানপক্ষ (প্রমানিত)

koshe dekhi 23.3 class 10

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি : কষে দেখি - 23.3

Q6. (vi) যদি ${\color{Blue} \left( 1+4{x}^{2} \right)cosA=4x}$ হয়, তাহলে দেখাই যে, ${\color{Blue} cosecA+cotA=\frac{1+2x}{1-2x}}$

সমাধানঃ

প্রদত্ত,

$\left( 1+4{x}^{2} \right)cosA=4x$

বা, $cosA=\frac{4x}{\left( 1+4{x}^{2} \right)}$

আমরা জানি,

$cos \theta$

∴ ধরি, ভূমি = 4xk এবং অতিভুজ = k(1 + 4x²)

পিথাগোরাসের সমীকরণ অনুযায়ী,

(লম্ব)² + (ভূমি)² = (অতিভুজ)²

বা, (লম্ব)² + (4xk)² = {k(1 + 4x²)}²

বা, (লম্ব)² + 16x²k² = k²(1 + 4x²)²

বা, (লম্ব)² = k²(1 + 4x²)² − 16x²k²

বা, (লম্ব)² = k²{(1 + 4x²)² − 16x²}

বা, (লম্ব)² = k²{(1 + 4x²)² − 4.1.4x²}

বা, (লম্ব)² = k²(1 − 4x²)² ${\color{Blue} \left [ \because \left ( a+b \right )^{2}-4ab=\left ( a-b \right )^{2} \right ]}$

বা, লম্ব = $\sqrt{k^{2}\left ( 1-4x^{2} \right )^{2}}$

∴ লম্ব $=k\left ( 1-4x^{2} \right )$

আবার আমরা জানি,

$cosec \theta$

এবং

$cot \theta$

বামপক্ষ :

cosecA + cotA

$=\frac{k\left ( 1+4x^{2} \right )}{k\left ( 1-4x^{2} \right )}+\frac{4xk}{k\left ( 1-4x^{2} \right )}$

$=\frac{k\left ( 1+4x^{2} \right )+4xk}{k\left ( 1-4x^{2} \right )}$

$=\frac{k\left [\left ( 1+4x^{2} \right )+4x \right ]}{k\left ( 1-4x^{2} \right )}$

$=\frac{\left [\left ( 1+4x^{2} \right )+4x \right ]}{\left ( 1-4x^{2} \right )}$

$=\frac{\left [\left (1 \right )^{2}+\left ( 2x \right )^{2} \right ]+4x}{\left [\left (1 \right )^{2}-\left ( 2x \right )^{2} \right ]}$

$=\frac{\left ( 1+2x \right )^{2}-4x+4x}{\left ( 1+2x \right )\left ( 1-2x \right )}$

$=\frac{\left ( 1+2x \right )^{2}}{\left ( 1+2x \right )\left ( 1-2x \right )}$

$=\frac{\left ( 1+2x \right )}{\left ( 1-2x \right )}$

= ডানপক্ষ (প্রমানিত)

koshe dekhi 23.3 class 10

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি : কষে দেখি - 23.3

Q7. যদি x = a sinθ এবং y = b tanθ হয়, তাহলে প্রমান করি, ${\color{Blue} \frac{a^{2}}{x^{2}}-\frac{b^{2}}{y^{2}}=1}$

সমাধানঃ

x = a sinθ

বা, $\frac{1}{sin\theta }=\frac{a}{x}$

বা, $cosec\theta =\frac{a}{x}$

বা, $cosec^{2}\theta =\frac{a^{2}}{x^{2}}$ …….(i)

আবার,

y = b tanθ

বা, $\frac{1}{tan\theta }=\frac{b}{y}$

বা, $cot\theta =\frac{b}{y}$

বা, $cot^{2}\theta =\frac{b^{2}}{y^{2}}$ …….(ii)

(i) নং সমীকরণ থেকে (ii) নং সমীকরণ বিয়োগ করে পাই,

$cosec^{2}\theta -cot^{2}\theta =\frac{a^{2}}{x^{2}}-\frac{b^{2}}{y^{2}}$

বা, $1=\frac{a^{2}}{x^{2}}-\frac{b^{2}}{y^{2}}$

${\color{Blue} [\because cosec^{2}\theta -cot^{2}\theta=1]}$

${\color{DarkGreen} \therefore \frac{a^{2}}{x^{2}}-\frac{b^{2}}{y^{2}}=1}$ (প্রমানিত)

koshe dekhi 23.3 class 10

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি : কষে দেখি - 23.3

Q৪. যদি ${\color{Blue} sin\theta +sin^{2}\theta =1}$ হয়, তাহলে প্রমান করি যে, ${\color{Blue} {cos^{2}}\theta +{cos^{4}}\theta =1}$

সমাধানঃ

প্রদত্ত,

sinθ + sin²θ = 1

বা, sinθ = 1 − sin²θ

বা, sinθ = cos²θ ${\color{Blue} \left [\because sin^{2}\theta +cos^{2}\theta=1 \right ]}$

এখন,

বামপক্ষ :

${cos^{2}}\theta +{cos^{4}}\theta$

$={cos^{2}}\theta +\left ({cos^{2}}\theta \right )^{2}$

$=sin\theta +\left (sin\theta \right )^{2}$

= sinθ + sin²θ

= 1

= ডানপক্ষ (প্রমানিত)

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি : কষে দেখি - 23.3

Q9. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.) :

(A) বহুবিকল্পনীয় প্রশ্ন (M.C.Q.) :

(i) যদি 3x = cosec α এবং ${\color{Blue} \frac{3}{x}=cot\alpha}$ হয়, তাহলে ${\color{Blue} 3\left( {x}^{2}-\frac{1}{x^{2}} \right)}$ -এর মান

(a) ${\color{Blue} \frac{1}{27}}$

(b) ${\color{Blue} \frac{1}{81}}$

(d) ${\color{Blue} \frac{1}{9}}$

সমাধানঃ

আমরা জানি,

cosec²α − cot²α = 1

cosecα ও cotα এর মান বসিয়ে পাই,

$\left ( 3x \right )^{2}-\left ( \frac{3}{x} \right )^{2}=1$

বা, $9x^{2}-\frac{9}{x^{2}}=1$

বা, $9\left ( x^{2}-\frac{1}{x^{2}} \right )=1$

বা, $3\times 3\left ( x^{2}-\frac{1}{x^{2}} \right )=1$

${\color{DarkGreen} \therefore 3\left ( x^{2}-\frac{1}{x^{2}} \right )=\frac{1}{3}}$

উত্তরঃ (c)

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি : কষে দেখি - 23.3

Q9.(A) (ii) যদি 2x = sec A এবং ${\color{Blue} \frac{2}{x}=tan A}$ হয়, তাহলে ${\color{Blue} 2\left( {x}^{2}-\frac{1}{{x}^{2}} \right)}$ -এর মান

(a) ${\color{Blue} \frac{1}{2}}$

(b) ${\color{Blue} \frac{1}{4}}$

(d) ${\color{Blue} \frac{1}{16}}$

সমাধানঃ

আমরা জানি,

sec²A − tan²A = 1

secA ও tanA এর মান বসিয়ে পাই,

$\left ( 2x \right )^{2}-\left ( \frac{2}{x} \right )^{2}=1$

বা, $4x^{2}-\frac{4}{x^{2}}=1$

বা, $4\left ( x^{2}-\frac{1}{x^{2}} \right )=1$

বা, $2\times 2\left ( x^{2}-\frac{1}{x^{2}} \right )=1$

${\color{DarkGreen} \therefore 2\left ( x^{2}-\frac{1}{x^{2}} \right )=\frac{1}{2}}$

উত্তরঃ (a)

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি : কষে দেখি - 23.3

Q9.(A) (iii) tan α + cot α = 2 হলে, ${\color{Blue} tan^{13}\alpha +cot^{13}\alpha}$ এর মান

(a) 1

(b) 0

(d) কোনোটিই নয়

সমাধানঃ

প্রদত্ত,

tanα + cotα = 2

বা, $tan\alpha +\frac{1}{tan\alpha }=2$

বা, $\frac{tan^{2}\alpha +1}{tan\alpha }=2$

বা, $tan^{2}\alpha +1=2tan\alpha$

বা, $tan^{2}\alpha -2tan\alpha+1=0$

বা, $\left (tan\alpha -1 \right )^{2}=0$

বা, tanα − 1 = 0

∴ tanα = 1

$tan^{13}\alpha +cot^{13}\alpha$

$=tan^{13}\alpha +\frac{1}{tan^{13}\alpha}$

$=\left (tan\alpha \right )^{13} +\left (\frac{1}{tan\alpha} \right )^{13}$

$=\left ( 1 \right )^{13} +\left (\frac{1}{1} \right )^{13}$

= 1 + 1

= 2

উত্তরঃ (c)

koshe dekhi 23.3 class 10

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি : কষে দেখি - 23.3

Q9.(A) (iv) যদি ${\color{Blue} sin\theta -cos\theta =0\left ( 0^{\circ}\leq \theta \leq 90^{\circ} \right )}$ এবং secθ + cosecθ = x হয়, তাহলে x এর মান

(a) 1

(b) 2

(d) ${\color{Blue} 2\sqrt{2}}$

সমাধানঃ

প্রদত্ত,

sinθ − cosθ = 0

বা, sinθ = cosθ

বা, $\frac{1}{cosec\theta }=\frac{1}{sec\theta }$

∴ cosecθ = secθ

আবার আমরা জানি,

sin²θ + cos²θ = 1

বা, sin²θ + sin²θ = 1 [যেহেতু, sinθ = cosθ]

বা, 2sin²θ = 1

বা, $sin^{2}\theta =\frac{1}{2}$

বা, $sin\theta =\frac{1}{\sqrt{2}}$

বা, sinθ = sin45°

∴ θ = 45°

প্রদত্ত,

secθ + cosecθ = x

বা, sec45° + cosec45° = x

বা, $\sqrt{2}+\sqrt{2}=x$

${\color{DarkGreen} \therefore x=2\sqrt{2}}$

উত্তরঃ (d)

koshe dekhi 23.3 class 10

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি : কষে দেখি - 23.3

Q9.(A) (v) 2 cos 3θ = 1 হলে, θ এর মান

(a) 10°

(b) 15°

(d) 30°

সমাধানঃ

প্রদত্ত,

2 cos3θ = 1

$cos3\theta =\frac{1}{2}$

cos3θ = cos60°

3θ = 60°

$\theta =\frac{60^{\circ}}{3}$

∴ θ = 20°

উত্তরঃ (c)

koshe dekhi 23.3 class 10

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি : কষে দেখি - 23.3

(B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখি :

(i) যদি ${\color{Blue} 0^{\circ}\leq \alpha \leq 90^{\circ}}$ হয়, তাহলে ${\color{Blue} \left( sec^{2}\alpha +cos^{2}\alpha \right)}$ -এর সর্বনিম্ন মান 2

সমাধানঃ

আমরা জানি,

a sec²θ + b cos²θ এর সর্বনিম্ন মান $2\sqrt{ab}$ যেখানে a এবং b যথাক্রমে sec²θ ও cos²θ এর সহগ।

নির্ণেয়, sec²α + cos²α রাশিমালার সর্বনিম্ন মানের ক্ষেত্রে a = 1 এবং b = 1

∴ sec²α + cos²α রাশিমালার সর্বনিম্ন মান

$=2\sqrt{ab}$

$=2\sqrt{1\times 1}$

= 2

অর্থাৎ, প্রদত্ত উক্তিটি সত্য।

koshe dekhi 23.3 class 10

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি : কষে দেখি - 23.3

(B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখি :

(ii) ${\color{Blue} \left(cos0^\circ \times cos1^\circ \times cos2^\circ \times cos3^\circ \times .....cos90^\circ \right)}$ এর মান 1

সমাধানঃ

$\left(cos0^\circ \times cos1^\circ \times cos2^\circ \times cos3^\circ \times .....cos90^\circ \right)$

$=\left(cos0^{\circ}\times cos1^{\circ} \times cos2^{\circ} \times cos3^{\circ} \times .....\times 0 \right)$ [ ∵ cos90° = 0]

= 0

অর্থাৎ, প্রদত্ত উক্তিটি মিথ্যা।

koshe dekhi 23.3 class 10

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি : কষে দেখি - 23.3

(C) শূন্যস্থান পূরণ করি :

(i) ${\color{Blue} \left( \frac{4}{sec^{2}\theta }+\frac{1}{1+{cot^{2}}\theta }+3{sin^{2}}\theta \right)}$ – এর মান _________ ।

সমাধানঃ

$\left( \frac{4}{sec^{2}\theta }+\frac{1}{1+{cot^{2}}\theta }+3{sin^{2}}\theta \right)$

$=4cos^{2}\theta +\frac{1}{cosec^{2}\theta }+3sin^{2}\theta$

${\color{Blue} \left [\because cosec^{2}\theta -{cot^{2}}\theta=1 \right ]}$

$=4cos^{2}\theta +sin^{2}\theta+3sin^{2}\theta$

$=4cos^{2}\theta +4sin^{2}\theta$

$=4\left (cos^{2}\theta +sin^{2}\theta \right )$

= 4 × 1

= 4 (উত্তর)

koshe dekhi 23.3 class 10

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি : কষে দেখি - 23.3

(C) শূন্যস্থান পূরণ করি :

(ii) ${\color{Blue} sin\left ( \theta -30^{\circ} \right )=\frac{1}{2}}$ হলে, cosθ -এর মান _________ ।

সমাধানঃ

$sin\left ( \theta -30^{\circ} \right )=\frac{1}{2}$

বা, sin (θ − 30°) = sin 30°

বা, (θ − 30°) = 30°

বা, θ = 30°+ 30°

∴ θ = 60°

∴ cosθ -এর মান

= cos60°

${\color{DarkGreen} =\frac{1}{2}}$ (উত্তর)

koshe dekhi 23.3 class 10

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি : কষে দেখি - 23.3

(C) শূন্যস্থান পূরণ করি :

(iii) ${\color{Blue} cos^{2}\theta -sin^{2}\theta =\frac{1}{2}}$ হলে, ${\color{Blue} cos^{4}\theta -sin^{4}\theta}$ এর মান _________ ।

সমাধানঃ

$cos^{4}\theta -sin^{4}\theta$

$=\left (cos^{2}\theta \right )^{2} -\left (sin^{2}\theta \right )^{2}$

$=\left (cos^{2}\theta +sin^{2}\theta \right )\left (cos^{2}\theta -sin^{2}\theta \right )$

${\color{Blue} \left [ \because a^{2}-b^{2}=\left ( a+b \right )\left ( a-b \right ) \right ]}$

$=1\times \frac{1}{2}$

${\color{DarkGreen} =\frac{1}{2}}$ (উত্তর)

koshe dekhi 23.3 class 10

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি : কষে দেখি - 23.3

Q10. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.) :

(i) যদি ${\color{Blue} rcos \theta =2\sqrt{3},rsin \theta =2}$ এবং 0° < θ < 90° হয়, তাহলে r ও θ এর মান নির্ণয় করি।

সমাধানঃ

$rcos \theta =2\sqrt{3}$

উভয়পক্ষে বর্গ করে পাই,

বা, $r^{2}cos^{2} \theta =12$ …… (i)

আবার,

r sinθ = 2

উভয়পক্ষে বর্গ করে পাই,

বা, $r^{2}sin^{2}\theta =4$ .. …. (ii)

(i) ও (ii) যোগ করে পাই,

$r^{2}cos^{2} \theta +r^{2}sin^{2} \theta=12+4$

বা, $r^{2}\left (cos^{2} \theta +sin^{2} \theta \right )=16$

বা, r²× 1 = 16

বা, r² = 16

∴ r = 4 (উত্তর)

প্রদত্ত,

rsinθ = 2

বা, 4 × sinθ = 2

বা, $sin\theta =\frac{2}{4}$

বা, $sin\theta =\frac{1}{2}$

বা, sinθ = sin 30°

∴ θ = 30° (উত্তর)

koshe dekhi 23.3 class 10

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি : কষে দেখি - 23.3

Q10. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.) :

(ii) যদি sin A + sin B = 2 হয়, যেখানে 0°≤ A ≤ 90° এবং 0°≤ B ≤ 90° তাহলে (cos A + cos B) এর মান নির্ণয় করি।

সমাধানঃ

যেহেতু, আমরা জানি, sinθ এর সর্বোচ্চ মান 1 , যেখানে θ = 90°

∴ sinA + sinB = 2 সম্ভব হবে যদি sinA = sinB = 1 হয়।

অর্থাৎ, A = B = 90º

সুতরাং, cosA = cosB = cos90º = 0

নির্ণেয় (cos A + cos B) এর মান

= 0 + 0

= 0 (উত্তর)

koshe dekhi 23.3 class 10

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি : কষে দেখি - 23.3

Q10. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.) :

(iii) যদি 0°< θ < 90° হয়, তাহলে ${\color{Blue} \left( 9tan^{2}\theta +4cot^{2}\theta \right)}$ -এর সর্বনিন্ম মান নির্ণয় করি।

সমাধানঃ

আমরা জানি, a tan²θ + b cot²θ এর সর্বনিম্ন মান $2\sqrt{ab}$ যেখানে a এবং b যথাক্রমে tan²θ ও cot²θ এর সহগ।

নির্ণেয়, 9 tan²θ +4 cot²θ রাশিমালার সর্বনিম্ন মানের ক্ষেত্রে a = 9 এবং b = 4

∴ 9 tan²θ +4 cot²θ রাশিমালার সর্বনিম্ন মান

$=2\sqrt{ab}$

$=2\sqrt{9\times 4}$

= 2 × 3 × 2

= 12 (উত্তর)

koshe dekhi 23.3 class 10

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি : কষে দেখি - 23.3

Q10. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.) :

(iv) ${\color{Blue} \left( sin^{6}\alpha +cos^{6}\alpha +3sin^{2}\alpha cos^{2}\alpha \right)}$ -এর মান নির্ণয় করি।

সমাধানঃ

$\left( sin^{6}\alpha +cos^{6}\alpha +3sin^{2}\alpha cos^{2}\alpha \right)$

$=\left (sin^{2}\alpha \right )^{3} +\left (cos^{2}\alpha \right )^{3} +3sin^{2}\alpha cos^{2}\alpha$

$=\left (sin^{2}\alpha +cos^{2}\alpha \right )^{3} -3sin^{2}\alpha cos^{2}\alpha\left (sin^{2}\alpha +cos^{2}\alpha \right )+3sin^{2}\alpha cos^{2}\alpha$

${\color{Blue} \left [ \because a^{3}+b^{3}=\left ( a+b \right )^{3}-3ab\left ( a+b \right ) \right ]}$

$=\left (1 \right )^{3} -3sin^{2}\alpha cos^{2}\alpha\times \left (1 \right )+3sin^{2}\alpha cos^{2}\alpha$

$=1-3sin^{2}\alpha cos^{2}\alpha+3sin^{2}\alpha cos^{2}\alpha$

= 1 (উত্তর)

koshe dekhi 23.3 class 10

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি : কষে দেখি - 23.3

Q10. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.) :

(v) যদি cosec²θ = 2 cot θ এবং 0°< θ < 90° হয়, তাহলে θ এর মান নির্ণয় করি।

সমাধানঃ

cosec²θ = 2 cot θ

বা, 1 + cot²θ = 2 cot θ

বা, cot²θ − 2 cot θ + 1 = 0

বা, (cot θ − 1)²= 0

বা, cot θ − 1 = 0

বা, cot θ = 1

বা, cot θ = cot 45°

∴ θ = 45° (উত্তর)

koshe dekhi 23.3 class 10

Thank You

kose dekhi 23.3 class 10

Koshe Dekhi 23.3 Class 10

Koshe Dekhi 23.3 Class 10

koshe dekhi 23.3 class 10

koshe dekhi 23.3 class 10

Related Post

WBCHSE – Let us Work Out 26.4 – WB Class 10

WBCHSE – Let us Work Out 26.1 – WB Class 10

Koshe Dekhi 21 Class 10

Leave a Reply Cancel reply

You missed

Notification Out: RRB NTPC Recruitment 2024

CITL-001 Solved Assignment 2024-25

CIT-003 Solved Assignment 2024-25

CIT-002 Solved Assignment 2024-25