Skip to content

Koshe Dekhi 23.3 Class 10

koshe dekhi 23.3 class 10
 

Koshe Dekhi 23.3 Class 10

koshe dekhi 23.3 class 10

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি : কষে দেখি - 23.3

Q1. (i)  {\color{Blue} \sin \theta =\frac{4}{5}}  হলে,  {\color{Blue} \frac{cosec \theta }{1+\cot \theta }} -এর মান নির্ণয় করে লিখি।

সমাধানঃ 

প্রদত্ত,  \sin \theta =\frac{4}{5}

এখন যেহেতু,

sin \theta

ধরি, লম্ব = 4k  এবং অতিভুজ = 5k  

পিথাগোরাসের সমীকরণ অনুযায়ী, 

(লম্ব)² + (ভূমি)² = (অতিভুজ)²

বা, (4k)² + (ভূমি)² = (5k)²

বা, 16k² + (ভূমি)² = 25k²

বা, (ভূমি)² = 25k² − 16k²

বা, (ভূমি)² = 9k²

বা, ভূমি = \sqrt{9k^{2}}=3k

 

এখন যেহেতু,

cosec \theta

\therefore cosec\theta =\frac{5k}{4k}=\frac{5}{4}

আবার যেহেতু,

cot \theta

\therefore cot\theta =\frac{3k}{4k}=\frac{3}{4}

 

এখন,

\frac{cosec\theta }{1+cot\theta }

=\frac{\frac{5}{4}}{1+\frac{3}{4}}   [cosecθ ও cotθ এর মান বসিয়ে পাই]

=\frac{\frac{5}{4}}{\frac{4+3}{4}}

=\frac{\frac{5}{4}}{\frac{7}{4}}

=\frac{5}{4}\times \frac{4}{7}

=\frac{5}{7}  (উত্তর)

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি : কষে দেখি - 23.3

Q1. (ii) যদি {\color{Blue} \tan \theta =\frac{3}{4}}  হয়, তবে দেখাই যে, {\color{Blue} \sqrt{\frac{1-\sin \theta }{1+\sin \theta }}=\frac{1}{2}}

সমাধানঃ 

প্রদত্ত, \tan \theta =\frac{3}{4}

এখন যেহেতু,

 tan \theta

ধরি,  লম্ব = 3k  এবং  ভূমি = 4k  

 

পিথাগোরাসের সমীকরণ অনুযায়ী, 

(লম্ব)² + (ভূমি)² = (অতিভুজ)²

বা, (3k)² + (4k)² = (অতিভুজ)²

বা, 9k² + 16k² = (অতিভুজ)²

বা, (অতিভুজ)² = 25k²

বা, অতিভুজ = \sqrt{25k^{2}}\Rightarrow 5k

 

আমরা জানি,

sin \theta

\therefore sin\theta =\frac{3k}{5k}\Rightarrow \frac{3}{5}

 

এখন,

1-sin \theta

=1-\frac{3}{5}

=\frac{5-3}{5}

=\frac{2}{5}

 

আবার,

1+sin \theta

=1+\frac{3}{5}

=\frac{5+3}{5}

=\frac{8}{5}

 

বামপক্ষ : 

\sqrt{\frac{1-sin\theta}{1+sin\theta}}

\large =\sqrt{\frac{\frac{2}{5}}{\frac{8}{5}}}

=\sqrt{\frac{2}{5}\times \frac{5}{8}}

=\sqrt{\frac{1}{4}}

=\frac{1}{2}

= ডানপক্ষ

∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ (প্রমানিত)

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি : কষে দেখি - 23.3

Q1. (iii)  tanθ = 1  হলে, {\color{Blue} \frac{8\sin \theta +5\cos \theta }{{{\sin }^{3}}\theta -2{{\cos }^{3}}\theta +7\cos \theta }} -এর মান নির্ণয় করি।

সমাধানঃ 

প্রদত্ত, 

tanθ = 1

বা, tanθ = tan45°  [ {\color{Blue} \because } tan45° = 1]

∴ θ = 45°

 

এখন, 

sinθ

= sin45°

=\frac{1}{\sqrt{2}}

এবং 

cosθ

= cos45°

=\frac{1}{\sqrt{2}}

 

নির্ণেয় \frac{8\sin \theta +5\cos \theta }{{{\sin }^{3}}\theta -2{{\cos }^{3}}\theta +7\cos \theta } -এর মান

=\frac{8\sin 45^{\circ} +5\cos 45^{\circ} }{{{\sin }^{3}}45^{\circ} -2{{\cos }^{3}}45^{\circ} +7\cos 45^{\circ} }

=\frac{8\times \frac{1}{\sqrt{2}} +5\times \frac{1}{\sqrt{2}}}{\left (\frac{1}{\sqrt{2}} \right )^{3}-2\times \left (\frac{1}{\sqrt{2}} \right )^{3}+7\times \frac{1}{\sqrt{2}}}

=\frac{\frac{13}{\sqrt{2}}}{\frac{1}{2\sqrt{2}}-2\times \frac{1}{2\sqrt{2}} +\frac{7}{\sqrt{2}}}

=\frac{\frac{13}{\sqrt{2}}}{\frac{1}{2\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}} +\frac{7}{\sqrt{2}}}

=\frac{\frac{13}{\sqrt{2}}}{\frac{1-2+14}{2\sqrt{2}}}

=\frac{\frac{13}{\sqrt{2}}}{\frac{13}{2\sqrt{2}}}

=\frac{13}{\sqrt{2}}\times \frac{2\sqrt{2}}{13}

= 2 (উত্তর)

koshe dekhi 23.3 class 10

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি : কষে দেখি - 23.3

Q2. (i) cosecθ এবং tanθ কে  sinθ -এর মাধ্যমে প্রকাশ করি।

সমাধানঃ 

cosecθ কে sinθ -এর মাধ্যমে প্রকাশ :

cosecθ

=\frac{1}{sin\theta } (উত্তর)

এবং 

tanθ কে sinθ -এর মাধ্যমে প্রকাশ :

tanθ

=\frac{sin\theta }{cos\theta }

=\frac{sin\theta }{\sqrt{1-sin^{2}\theta} } {\color{Blue} \left [\because sin^{2}\theta +cos^{2}\theta =1 \right ]}

(উত্তর)

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি : কষে দেখি - 23.3

Q2. (ii) cosecθ এবং tanθ কে  cosθ -এর মাধ্যমে লিখি।

সমাধানঃ 

cosecθ কে  cosθ -এর মাধ্যমে প্রকাশ :

cosecθ

=\frac{1}{sin\theta }

=\frac{1}{\sqrt{1-cos^{2}\theta} } {\color{Blue} \left [\because sin^{2}\theta +cos^{2}\theta =1 \right ]}

 

এবং

tanθ কে  cosθ -এর মাধ্যমে প্রকাশ :

tanθ

=\frac{sin\theta }{cos\theta }

=\frac{\sqrt{1-cos^{2}\theta } }{cos\theta } {\color{Blue} \left [\because sin^{2}\theta +cos^{2}\theta =1 \right ]}

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি : কষে দেখি - 23.3

Q3. (i)  secθ + tanθ = 2  হলে,  (secθ − tanθ) -এর মান নির্ণয় করি।

সমাধানঃ 

আমরা জানি, 

sec^{2}\theta -tan^{2}\theta =1

বা, (secθ + tanθ) (secθ − tanθ) = 1

{\color{Blue} \left [ \because a^{2}-b^{2}=\left ( a+b \right )\left ( a-b \right ) \right ]}

বা, 2 × (secθ − tanθ) = 1 [secθ + tanθ = 2 বসিয়ে পাই]

{\color{DarkGreen} \therefore sec\theta -tan\theta =\frac{1}{2}}  (উত্তর)

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি : কষে দেখি - 23.3

Q3. (ii) {\color{Blue} cosec\theta -cot\theta =\sqrt{2}-1} হলে, cosecθ + cotθ -এর মান হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ 

আমরা জানি, 

cosec^{2}\theta -cot^{2}\theta =1

বা, (cosecθ + cotθ) (cosecθ − cotθ) = 1

{\color{Blue} \left [ \because a^{2}-b^{2}=\left ( a+b \right )\left ( a-b \right ) \right ]}

বা, \left ( cosec\theta + cot\theta \right )\times \left ( \sqrt{2}-1 \right )=1

[ {\color{Blue} cosec\theta -cot\theta =\sqrt{2}-1} বসিয়ে পাই ]

বা, \left ( cosec\theta +cot\theta \right )=\frac{1}{\sqrt{2}-1}

বা, \left ( cosec\theta +cot\theta \right )=\frac{\left (\sqrt{2}+1 \right )}{\left (\sqrt{2}-1 \right )\left (\sqrt{2}+1 \right )}

[ করণী নিরসন করে পাই ]

বা, \left ( cosec\theta +cot\theta \right )=\frac{\left (\sqrt{2}+1 \right )}{\left (2-1 \right )}

{\color{DarkGreen} \therefore \left ( cosec\theta +cot\theta \right )=\sqrt{2}+1} (উত্তর)

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি : কষে দেখি - 23.3

Q3. (iii)  sinθ + cosθ = 1  হলে,  sinθ × cosθ  -এর মান নির্ণয় করি।

সমাধানঃ 

আমরা জানি, 

sin^{2}\theta +cos^{2}\theta =1

বা, \left ( sin\theta +cos\theta \right )^{2}-2\times sin\theta \times cos\theta =1

বা, \left ( 1 \right )^{2}-2\times sin\theta \times cos\theta =1

[ sinθ + cosθ = 1  বসিয়ে পাই ] 

বা, -2\times sin\theta \times cos\theta =1-1

বা, sin\theta \times cos\theta =\frac{0}{-2}

{\color{DarkGreen} \therefore sin\theta \times cos\theta =0} (উত্তর)

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি : কষে দেখি - 23.3

Q3. (iv) tanθ + cotθ = 2  হলে,  (tanθ − cotθ) -এর মান লিখি।

সমাধানঃ 

প্রদত্ত, 

tanθ + cotθ = 2

বা, tan\theta +\frac{1}{tan\theta}=2

বা, \frac{tan^{2}\theta+1}{tan\theta}=2

বা, tan^{2}\theta+1=2tan\theta

বা, tan^{2}\theta-2tan\theta+1=0

বা, (tanθ − 1) = 0

বা, tanθ = 1

বা, tanθ = tan45°

∴ θ = 45°

 

∴ (tanθ − cotθ) -এর মান

= tan45° − cot45°

= 1 − 1

= 0 (উত্তর)

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি : কষে দেখি - 23.3

Q3. (v) {\color{Blue} \sin \theta -\cos \theta =\frac{7}{13}} হলে, (sinθ + cosθ) -এর মান নির্ণয় করি।

সমাধানঃ 

আমরা জানি, 

sin^{2}\theta +cos^{2}\theta =1

বা, \left ( sin\theta -cos\theta \right )^{2}+2sin\theta cos\theta =1

{\color{Blue} \left [\because a^{2}+b^{2}=\left ( a-b \right )^{2}+2ab \right ]}

বা, \left ( \frac{7}{13} \right )^{2}+2sin\theta cos\theta =1

বা, \frac{49}{169}+2sin\theta cos\theta =1

বা, 2sin\theta cos\theta =1-\frac{49}{169}

বা, 2sin\theta cos\theta =\frac{169-49}{169}

বা, 2sin\theta cos\theta =\frac{120}{169}

 

আবার,

sin^{2}\theta +cos^{2}\theta =1

বা, \left ( sin\theta +cos\theta \right )^{2}-2sin\theta cos\theta =1

{\color{Blue} \left [\because a^{2}+b^{2}=\left ( a+b \right )^{2}-2ab \right ]}

বা, \left ( sin\theta +cos\theta \right )^{2}-\frac{120}{169} =1

বা, \left ( sin\theta +cos\theta \right )^{2}=1+\frac{120}{169}

বা, \left ( sin\theta +cos\theta \right )^{2}=\frac{289}{169}

বা, \left ( sin\theta +cos\theta \right )=\sqrt{\frac{289}{169}}

{\color{DarkGreen} \therefore \left ( sin\theta +cos\theta \right )=\frac{17}{13}} (উত্তর)

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি : কষে দেখি - 23.3

Q3. (vi) {\color{Blue} \sin \theta \times \cos \theta =\frac{1}{2}}  হলে, (sinθ + cosθ) -এর মান হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ 

আমরা জানি,

sin^{2}\theta +cos^{2}\theta =1

বা, \left ( sin\theta +cos\theta \right )^{2}-2sin\theta cos\theta =1

{\color{Blue} \left [\because a^{2}+b^{2}=\left ( a+b \right )^{2}-2ab \right ]}

বা, \left ( sin\theta +cos\theta \right )^{2}-2\times \frac{1}{2} =1

বা, \left ( sin\theta +cos\theta \right )^{2}-1 =1

বা, \left ( sin\theta +cos\theta \right )^{2}=2

{\color{DarkGreen} \therefore \left ( sin\theta +cos\theta \right )=\sqrt{2}} (উত্তর)

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি : কষে দেখি - 23.3

Q3. (vii) {\color{Blue} sec\theta -tan\theta =\frac{1}{\sqrt{3}}} হলে,  secθ  এবং  tanθ উভয়ের মান নির্ণয় করি।

সমাধানঃ 

sec\theta -tan\theta =\frac{1}{\sqrt{3}} ……(i)

আমরা জানি, 

sec^{2}\theta -tan^{2}\theta =1

বা, (secθ + tanθ) (secθ − tanθ) = 1

{\color{Blue} \left [ \because a^{2}-b^{2}=\left ( a+b \right )\left ( a-b \right ) \right ]}

বা, \left (sec\theta +tan\theta \right )\times \frac{1}{\sqrt{3}} =1 

[{\color{Blue} sec\theta -tan\theta =\frac{1}{\sqrt{3}}} বসিয়ে পাই]

sec\theta +tan\theta =\sqrt{3}  ……(ii)

 

(i) নং সমীকরণ ও (ii) নং সমীকরণ যোগ করে পাই,

sec\theta -tan\theta +sec\theta +tan\theta=\frac{1}{\sqrt{3}}+\sqrt{3}

বা, 2sec\theta=\frac{1+3}{\sqrt{3}}

বা, 2sec\theta=\frac{4}{\sqrt{3}}

{\color{DarkGreen} \therefore sec\theta=\frac{2}{\sqrt{3}}} (উত্তর)

 

আবার,

(i) নং সমীকরণ থেকে (ii) নং সমীকরণ বিয়োগ করে পাই,

sec\theta -tan\theta -sec\theta -tan\theta=\frac{1}{\sqrt{3}}-\sqrt{3}

বা, -2tan\theta=\frac{1-3}{\sqrt{3}}

বা, -2tan\theta=\frac{-2}{\sqrt{3}}

{\color{DarkGreen} \therefore tan\theta=\frac{1}{\sqrt{3}}} (উত্তর)

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি : কষে দেখি - 23.3

Q3. (viii) {\color{Blue} cosec\theta +cot \theta =\sqrt{3}} হলে, cosecθ এবং cotθ – এর মান নির্ণয় করি।

সমাধানঃ 

cosec\theta +cot \theta =\sqrt{3} …….(i)

আমরা জানি, 

cosec^{2}\theta -cot^{2}\theta =1

বা, (cosecθ + cotθ) (cosecθ − cotθ) = 1

{\color{Blue} \left [ \because a^{2}-b^{2}=\left ( a+b \right )\left ( a-b \right ) \right ]}

বা, \sqrt{3}\times \left (cosec\theta -cot\theta \right )=1 

[ {\color{Blue} cosec\theta +cot \theta =\sqrt{3}} বসিয়ে পাই]

cosec\theta -cot\theta =\frac{1}{\sqrt{3}} ……(ii)

 

(i) নং সমীকরণ ও (ii) নং সমীকরণ যোগ করে পাই,

cosec\theta +cot\theta+cosec\theta -cot\theta =\sqrt{3}+\frac{1}{\sqrt{3}}

বা, 2cosec\theta=\frac{3+1}{\sqrt{3}}

বা, 2cosec\theta=\frac{4}{\sqrt{3}}

{\color{DarkGreen} \therefore cosec\theta=\frac{2}{\sqrt{3}}} (উত্তর)

 

আবার,

(i) নং সমীকরণ থেকে (ii) নং সমীকরণ বিয়োগ করে পাই,

cosec\theta +cot\theta -cosec\theta +cot\theta =\sqrt{3}-\frac{1}{\sqrt{3}}

বা, 2cot\theta=\frac{3-1}{\sqrt{3}}

বা, 2cot\theta=\frac{2}{\sqrt{3}}

{\color{DarkGreen} \therefore cot\theta=\frac{1}{\sqrt{3}}} (উত্তর)

koshe dekhi 23.3 class 10

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি : কষে দেখি - 23.3

Q3. (ix) {\color{Blue} \frac{\sin \theta +\cos \theta }{\sin \theta -\cos \theta }=7} হলে, tanθ -এর মান হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ 

\frac{\sin \theta +\cos \theta }{\sin \theta -\cos \theta }=7

বা, 7sinθ − 7cosθ = sinθ + cosθ

বা, 7sinθ − sinθ = cosθ + 7cosθ

বা, 6sinθ = 8cosθ

বা, \frac{sin\theta }{cos\theta }=\frac{8}{6}

{\color{DarkGreen} \therefore tan\theta =\frac{4}{3}} (উত্তর)

koshe dekhi 23.3 class 10

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি : কষে দেখি - 23.3

Q3. (x) {\color{Blue} \frac{cosec\theta +sin\theta }{cosec\theta -sin \theta }=\frac{5}{3}} হলে,  sinθ -এর মান হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ 

\frac{cosec\theta +sin\theta }{cosec\theta -sin \theta }=\frac{5}{3}

বা, 5cosecθ − 5sinθ = 3cosecθ + 3sinθ 

বা, 5cosecθ − 3cosecθ = 5sinθ + 3sinθ 

বা, 2cosecθ = 8sinθ

বা, 2\times \frac{1}{sin\theta }=8sin\theta

বা, \frac{2}{8}=sin^{2}\theta

বা, sin^{2}\theta=\frac{1}{4}

বা, sin\theta=\sqrt{\frac{1}{4}}

[ θ সূক্ষকোণের জন্য sinθ ধনাত্মক ]

{\color{DarkGreen} \therefore sin\theta =\frac{1}{2}} (উত্তর)

koshe dekhi 23.3 class 10

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি : কষে দেখি - 23.3

Q3. (xi) {\color{Blue} \sec \theta +\cos \theta =\frac{5}{2}} হলে, (secθ − cosθ) -এর মান হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ 

\sec \theta +\cos \theta =\frac{5}{2}

বা, \frac{1}{cos\theta }+\cos \theta =\frac{5}{2}

বা, \frac{1+cos^{2}\theta}{cos\theta }=\frac{5}{2}

বা, 2+2cos^{2}\theta=5cos\theta

বা, 2cos^{2}\theta-5cos\theta+2=0

বা, 2cos^{2}\theta-4cos\theta-cos\theta+2=0

বা, 2cosθ (cosθ − 2) − 1 (cosθ − 2) = 0

বা, (cosθ − 2) (2cosθ − 1) = 0

দুই বা ততোধিক রাশির গুনফল শূন্য হলে তারা পৃথক পৃথক ভাবে শূন্য হয়। 

অর্থাৎ,

(cosθ − 2) = 0

বা, cosθ = 2

আবার,

(2cosθ − 1) = 0

বা, 2cosθ = 1

∴ cos\theta =\frac{1}{2}

∴ (secθ − cosθ) -এর মান

=\frac{1}{cos\theta }-cos\theta

=\frac{1}{2}-2 [যখন cosθ = 2]

=-\frac{3}{2}

 

আবার,

∴ (secθ − cosθ) -এর মান

=\frac{1}{cos\theta }-cos\theta

=2-\frac{1}{2} [যখন {\color{Blue} cos\theta =\frac{1}{2}}]

=\frac{3}{2} (উত্তর)

koshe dekhi 23.3 class 10

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি : কষে দেখি - 23.3

Q3. (xii) {\color{Blue} 5\sin^{2}\theta +4\cos^{2}\theta =\frac{9}{2}}  সম্পর্কটি থেকে tanθ -এর মান নির্ণয় করি।

সমাধানঃ 

5\sin^{2}\theta +4\cos^{2}\theta =\frac{9}{2}

বা, 10\sin^{2}\theta +8\cos^{2}\theta =9

বা, 10\sin^{2}\theta +8\cos^{2}\theta =9\times 1

বা, 10\sin^{2}\theta +8\cos^{2}\theta =9\times \left (\sin^{2}\theta +\cos^{2}\theta \right )

বা, 10\sin^{2}\theta +8\cos^{2}\theta =9\sin^{2}\theta +9\cos^{2}\theta

বা, 10\sin^{2}\theta -9\sin^{2}\theta =9\cos^{2}\theta-8\cos^{2}\theta

বা, \sin^{2}\theta=\cos^{2}\theta

বা, \frac{sin^{2}\theta}{\cos^{2}\theta}=1

বা, tan^{2}\theta=1

বা, tan\theta=\pm \sqrt{1}

∴ tanθ = ±1 (উত্তর)

koshe dekhi 23.3 class 10

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি : কষে দেখি - 23.3

Q3. (xiii) {\color{Blue} tan^{2}\theta +cot^{2}\theta =\frac{10}{3}} হলে, (tanθ + cotθ) এবং (tanθ − cotθ) এর মান নির্ণয় করি এবং সেখান থেকে tanθ -এর মান হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ 

tan^{2}\theta +cot^{2}\theta =\frac{10}{3}

বা, \left (tan\theta +cot\theta \right )^{2}-2tan\theta cot\theta =\frac{10}{3}

{\color{Blue} \left [\because a^{2}+b^{2}=\left ( a+b \right )^{2}-2ab \right ]}

বা, \left (tan\theta +cot\theta \right )^{2}-2\times 1 =\frac{10}{3}

বা, \left (tan\theta +cot\theta \right )^{2}=\frac{10}{3}+2

বা, \left (tan\theta +cot\theta \right )^{2}=\frac{10+6}{3}

বা, \left (tan\theta +cot\theta \right )^{2}=\frac{16}{3}

বা, \left (tan\theta +cot\theta \right )=\pm \sqrt{\frac{16}{3}}

{\color{DarkGreen} \therefore \left (tan\theta +cot\theta \right )=\pm {\frac{4}{\sqrt3}}} (উত্তর)

 

tan^{2}\theta +cot^{2}\theta =\frac{10}{3}

বা, \left (tan\theta -cot\theta \right )^{2}+2tan\theta cot\theta =\frac{10}{3}

{\color{Blue} \left [\because a^{2}+b^{2}=\left ( a-b \right )^{2}+2ab \right ]}

বা, \left (tan\theta -cot\theta \right )^{2}+2\times 1 =\frac{10}{3}

বা, \left (tan\theta -cot\theta \right )^{2}=\frac{10}{3}-2

বা, \left (tan\theta -cot\theta \right )^{2}=\frac{10-6}{3}

বা, \left (tan\theta -cot\theta \right )^{2}=\frac{4}{3}

বা, \left (tan\theta -cot\theta \right )=\pm \sqrt{\frac{4}{3}}

{\color{DarkGreen} \therefore \left (tan\theta -cot\theta \right )=\pm {\frac{2}{\sqrt3}}} (উত্তর)

 

ধরি, θ সূক্ষকোণ তাই ধনাত্মক মান নিয়ে পাই,

\left (tan\theta +cot\theta \right )={\frac{4}{\sqrt3}} ……..(i)

\left (tan\theta -cot\theta \right )={\frac{2}{\sqrt3}} ……..(ii)

(i) + (ii) করে পাই,

tan\theta +cot\theta+tan\theta -cot\theta={\frac{4}{\sqrt3}}+{\frac{2}{\sqrt3}}

2tan\theta ={\frac{6}{\sqrt3}}

tan\theta ={\frac{3}{\sqrt3}}

{\color{DarkGreen} \therefore tan\theta =\sqrt3} (উত্তর)

koshe dekhi 23.3 class 10

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি : কষে দেখি - 23.3

Q3. (xiv) {\color{Blue} sec^{2}\theta +tan^{2}\theta =\frac{13}{12}} হলে, {\color{Blue} \left( sec^{4}\theta -tan^{4}\theta \right)} -এর মান হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ 

\left( sec^{4}\theta -tan^{4}\theta \right)

=\left( sec^{2}\theta +tan^{2}\theta \right)\left( sec^{2}\theta -tan^{2}\theta \right)

{\color{Blue} \left [ \because a^{2}-b^{2}=\left ( a+b \right )\left ( a-b \right ) \right ]}

=\frac{13}{12}\times 1

{\color{DarkGreen} =\frac{13}{12}} (উত্তর)

koshe dekhi 23.3 class 10

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি : কষে দেখি - 23.3

Q4. (i) PQR ত্রিভজে ∠Q সমকোণ। {\color{Blue} PR=\sqrt{5}} একক এবং PQ − RQ = 1 একক হলে,  (cosP − cosR) এর মান নির্ণয় করি।

সমাধানঃ 

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি : কষে দেখি - 23.3

যেহেতু,

 cos \theta

এবং P কোণের সাপেক্ষে, 

ভূমি = PQ ও অতিভুজ = PR

\therefore cosP=\frac{PQ}{PR}

একইভাবে,  R কোণের সাপেক্ষে, 

ভূমি = RQ এবং অতিভুজ = PR

\therefore cosR=\frac{RQ}{PR}

 

∴ (cosP − cosR) এর মান

=\frac{PQ}{PR}-\frac{RQ}{PR}

=\frac{PQ-RQ}{PR}

{\color{DarkGreen} =\frac{1}{\sqrt{5}}} (উত্তর)

koshe dekhi 23.3 class 10

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি : কষে দেখি - 23.3

Q4. (ii) XYZ ত্রিভূজে \angle Y সমকোণ। {\color{Blue} XY=2\sqrt{3}} একক এবং XZ − YZ = 2 একক হলে,  secX − tanX এর মান নির্ণয় করি।

সমাধানঃ 

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি : কষে দেখি - 23.3

যেহেতু,

 sec \theta

এবং X কোণের সাপেক্ষে,

  ভূমি = XY ও অতিভুজ = XZ

\therefore secX=\frac{XZ}{XY}

একইভাবে,

   tan \theta

এবং X  কোণের সাপেক্ষে, 

লম্ব = YZ ও ভূমি = XY

\therefore tanX=\frac{YZ}{XY}

 

∴ secX − tanX এর মান

=\frac{XZ}{XY}-\frac{YZ}{XY}

=\frac{XZ-YZ}{XY}

=\frac{2}{2\sqrt{3}}

{\color{DarkGreen} =\frac{1}{\sqrt{3}}} (উত্তর)

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি : কষে দেখি - 23.3

Q5. সম্পর্কগুলি থেকে θ কে অপনয়ন করি :

(i) x = 2 sinθ , y = 3 cosθ

সমাধানঃ 

x = 2 sinθ

বা, \frac{x}{2}=sin\theta

বা, \left (\frac{x}{2} \right )^{2}=\left (sin\theta \right )^{2}

বা, \frac{x^{2}}{4}=sin^{2}\theta  …….(i)

 

আবার, 

y = 3 cosθ 

 

বা, \frac{y}{3}=cos\theta

বা, \left (\frac{y}{3} \right )^{2}=\left (cos\theta \right )^{2}

বা, \frac{y^{2}}{9}=cos^{2}\theta  …….(ii)

 

(i)  ও  (ii) নং সমীকরণ দুটিকে যোগ করে পাই,

\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=sin^{2}\theta+cos^{2}\theta

{\color{DarkGreen} \therefore \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1} (উত্তর)

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি : কষে দেখি - 23.3

Q5. সম্পর্কগুলি থেকে θ কে অপনয়ন করি :

(ii) {\color{Blue} 5x=3sec \theta ,y=3tan \theta}

সমাধানঃ 

5x=3sec \theta

বা, \frac{5x}{3}=sec\theta

বা, \left (\frac{5x}{3} \right )^{2}=\left (sec\theta \right )^{2}

বা, \frac{25x^{2}}{9}=sec^{2}\theta  …….(i)

 

আবার,  

y=3tan \theta

বা, \frac{y}{3}=tan\theta

বা, \left (\frac{y}{3} \right )^{2}=\left (tan\theta \right )^{2}

বা, \frac{y^{2}}{9}=tan^{2}\theta  …….(ii)

 

(i) নং সমীকরণ থেকে (ii) নং সমীকরণ বিয়োগ করে পাই,

\frac{25x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{9}=sec^{2}\theta-tan^{2}\theta

বা, \frac{25x^{2}-y^{2}}{9}=1

{\color{DarkGreen} \therefore 25x^{2}-y^{2}=9} (উত্তর)

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি : কষে দেখি - 23.3

Q6. (i) যদি  {\color{Blue} sin \alpha =\frac{5}{13}} হয়, তাহলে দেখাই যে, {\color{Blue} tan \alpha +sec \alpha =1.5}

সমাধানঃ 

প্রদত্ত,

sin \alpha =\frac{5}{13}

যেহেতু,

 sin \theta

∴ ধরি, লম্ব = 5k এবং অতিভুজ = 13k

পিথাগোরাসের সমীকরণ অনুযায়ী,

(লম্ব)² + (ভূমি)² = (অতিভুজ)²

বা, (5k)² + (ভূমি)² = (13k)²

বা, 25k² + (ভূমি)² = 169k²

বা, (ভূমি)² = 169k² − 25k²

বা, (ভূমি)² = 144k²

বা, ভূমি = \sqrt{144k^{2}}=12k

 

আবার,

 tan \theta

এবং

sec \theta

 

এখন,

tanα + secα

=\frac{5k}{12k}+\frac{13k}{12k}

=\frac{5k+13k}{12k}

=\frac{18k}{12k}

=\frac{3}{2}

= 1.5 (প্রমানিত)

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি : কষে দেখি - 23.3

Q6. (ii) যদি {\color{Blue} tanA=\frac{n}{m}} হয়, তাহলে  sinA এবং secA উভয়ের মান লিখি।

সমাধানঃ 

প্রদত্ত,

tanA=\frac{n}{m}

আমরা জানি,

tan \theta

∴ ধরি, লম্ব = nk এবং ভূমি = mk

পিথাগোরাসের সমীকরণ অনুযায়ী,

(লম্ব)² + (ভূমি)² = (অতিভুজ)²

বা, (nk)² + (mk)² = (অতিভুজ)²

বা, n²k² + m²k² = (অতিভুজ)²

বা, (অতিভুজ)² = k²(n² + m²)

বা, অতিভুজ = \sqrt{k^{2}(n^{2}+m^{2})}=k\sqrt{(n^{2}+m^{2})}

 

আবার,

 আমরা জানি,

sin \theta 

∴ sinA এর মান 

=\frac{nk}{k\left (\sqrt{n^{2}+m^{2}} \right )}

{\color{DarkGreen} =\frac{n}{\left (\sqrt{n^{2}+m^{2}} \right )}} (উত্তর)

 

এবং

sec \theta

∴ secA এর মান 

=\frac{k\left (\sqrt{n^{2}+m^{2}} \right )}{mk}

{\color{DarkGreen} =\frac{\left (\sqrt{n^{2}+m^{2}} \right )}{m}} (উত্তর)

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি : কষে দেখি - 23.3

Q6. (iii) যদি  {\color{Blue} \cos \theta =\frac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}}}  হয়, তাহলে দেখাই যে, xsinθ = ycosθ

সমাধানঃ

প্রদত্ত,

\cos \theta =\frac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}}

 cos \theta

ধরি, ভূমি = xk  এবং অতিভুজ =k\sqrt{x^{2}+y^{2}}

পিথাগোরাসের সমীকরণ অনুযায়ী,

(লম্ব)² + (ভূমি)² = (অতিভুজ)²

বা, (লম্ব)² + (xk)²  =\left (k\sqrt{x^{2}+y^{2}} \right )^{2}

বা, (লম্ব)² + x²k² = k²(x² + y²)

বা, (লম্ব)² = k²(x² + y²) − x²k²

বা, (লম্ব)² = x²k²+ k²y² − x²k²

বা, (লম্ব)² = k²y²

বা, লম্ব = \sqrt{k^{2}y^{2}}

∴ লম্ব = yk

 

আমরা জানি,

sin \theta

 

বামপক্ষ : 

x sinθ

=x\times \frac{yk}{k\sqrt{x^{2}+y^{2}}}

=\frac{xy}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}

ডানপক্ষ :

y cosθ

=y\times \frac{x}{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}

=\frac{xy}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}

বামপক্ষ = ডানপক্ষ (প্রমানিত)

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি : কষে দেখি - 23.3

Q6. (iv) যদি  {\color{Blue} \sin \alpha =\frac{{{a}^{2}}-{{b}^{2}}}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}} হয়, তাহলে দেখাই যে, {\color{Blue} \cot \alpha =\frac{2ab}{{{a}^{2}}-{{b}^{2}}}}

সমাধানঃ

প্রদত্ত, 

sin\alpha =\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}

যেহেতু,

 sin \theta

∴ ধরি, লম্ব = (a² − b²)k এবং অতিভুজ = (a² + b²)k

পিথাগোরাসের সমীকরণ অনুযায়ী,

(লম্ব)² + (ভূমি)² = (অতিভুজ)²

বা, {(a² − b²)k}² + (ভূমি)² = {(a² + b²)k}²

বা, (a² − b²)²k² + (ভূমি)² = (a² + b²)²k²

বা, (ভূমি)² = (a² + b²)²k² − (a² − b²)²k²

বা, (ভূমি)² = k²{(a² + b²)² −(a² − b²)²}

বা, (ভূমি)² = k²(4a²b²) [∵ (a + b)² −(a − b)² = 4ab]

বা, ভূমি = \sqrt{k^{2}(4a^{2}b^{2})}

∴ ভূমি = 2abk

 

আবার আমরা জানি,

  cot \theta

∴ cotα

=\frac{2abk}{\left ( a^{2}-b^{2} \right )k}

{\color{DarkGreen} =\frac{2ab}{\left ( a^{2}-b^{2} \right )}} (প্রমানিত)

koshe dekhi 23.3 class 10

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি : কষে দেখি - 23.3

Q6. (v) যদি  {\color{Blue} \frac{sin\theta}{x}=\frac{cos\theta}{y}} হয়, তাহলে দেখাই যে, {\color{Blue} sin\theta-cos\theta =\frac{x-y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}}

সমাধানঃ

ধরি, 

\frac{sin\theta}{x}=\frac{cos\theta}{y}=k

∴ sinθ = xk, cosθ = yk

আমরা জানি,

sin^{2}\theta +cos^{2}\theta =1

বা, \left ( xk \right )^{2}+\left ( yk \right )^{2}=1

বা, x^{2}k^{2}+y^{2}k^{2}=1

বা, k^{2}\left (x^{2}+y^{2} \right )=1

বা, k^{2}=\frac{1}{\left (x^{2}+y^{2} \right )}

বা, k=\frac{1}{\sqrt{\left (x^{2}+y^{2} \right )}}

 

বামপক্ষ :

sinθ − cosθ

= xk − yk

= k (x − y)

=\frac{1}{\sqrt{\left (x^{2}+y^{2} \right )}}\times \left ( x-y \right )

=\frac{\left ( x-y \right )}{\sqrt{\left (x^{2}+y^{2} \right )}}

= ডানপক্ষ (প্রমানিত)

koshe dekhi 23.3 class 10

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি : কষে দেখি - 23.3

Q6. (vi) যদি {\color{Blue} \left( 1+4{x}^{2} \right)cosA=4x} হয়, তাহলে দেখাই যে, {\color{Blue} cosecA+cotA=\frac{1+2x}{1-2x}}

সমাধানঃ

প্রদত্ত, 

\left( 1+4{x}^{2} \right)cosA=4x

বা, cosA=\frac{4x}{\left( 1+4{x}^{2} \right)}

আমরা জানি,

cos \theta

∴ ধরি, ভূমি = 4xk এবং অতিভুজ = k(1 + 4x²)

পিথাগোরাসের সমীকরণ অনুযায়ী,

(লম্ব)² + (ভূমি)² = (অতিভুজ)²

বা, (লম্ব)² + (4xk)² = {k(1 + 4x²)}²

বা, (লম্ব)² + 16x²k² = k²(1 + 4x²)²

বা, (লম্ব)² = k²(1 + 4x²)² − 16x²k²

বা, (লম্ব)² = k²{(1 + 4x²)²  − 16x²}

বা, (লম্ব)² = k²{(1 + 4x²)²  − 4.1.4x²}

বা, (লম্ব)² = k²(1 − 4x²)² {\color{Blue} \left [ \because \left ( a+b \right )^{2}-4ab=\left ( a-b \right )^{2} \right ]}

বা, লম্ব = \sqrt{k^{2}\left ( 1-4x^{2} \right )^{2}}

∴ লম্ব =k\left ( 1-4x^{2} \right )

 

আবার আমরা জানি,

cosec \theta

এবং

cot \theta

বামপক্ষ :

cosecA + cotA

=\frac{k\left ( 1+4x^{2} \right )}{k\left ( 1-4x^{2} \right )}+\frac{4xk}{k\left ( 1-4x^{2} \right )}

=\frac{k\left ( 1+4x^{2} \right )+4xk}{k\left ( 1-4x^{2} \right )}

=\frac{k\left [\left ( 1+4x^{2} \right )+4x \right ]}{k\left ( 1-4x^{2} \right )}

=\frac{\left [\left ( 1+4x^{2} \right )+4x \right ]}{\left ( 1-4x^{2} \right )}

=\frac{\left [\left (1 \right )^{2}+\left ( 2x \right )^{2} \right ]+4x}{\left [\left (1 \right )^{2}-\left ( 2x \right )^{2} \right ]}

=\frac{\left ( 1+2x \right )^{2}-4x+4x}{\left ( 1+2x \right )\left ( 1-2x \right )}

=\frac{\left ( 1+2x \right )^{2}}{\left ( 1+2x \right )\left ( 1-2x \right )}

=\frac{\left ( 1+2x \right )}{\left ( 1-2x \right )}

= ডানপক্ষ (প্রমানিত)

koshe dekhi 23.3 class 10

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি : কষে দেখি - 23.3

Q7. যদি x = a sinθ এবং y = b tanθ হয়, তাহলে প্রমান করি, {\color{Blue} \frac{a^{2}}{x^{2}}-\frac{b^{2}}{y^{2}}=1}

সমাধানঃ

x = a sinθ

বা, \frac{1}{sin\theta }=\frac{a}{x}

বা, cosec\theta =\frac{a}{x}

বা, cosec^{2}\theta =\frac{a^{2}}{x^{2}}  …….(i)

আবার,  

y = b tanθ

বা, \frac{1}{tan\theta }=\frac{b}{y}

বা, cot\theta =\frac{b}{y}

বা, cot^{2}\theta =\frac{b^{2}}{y^{2}} …….(ii)

(i) নং সমীকরণ থেকে (ii) নং সমীকরণ বিয়োগ করে পাই,

cosec^{2}\theta -cot^{2}\theta =\frac{a^{2}}{x^{2}}-\frac{b^{2}}{y^{2}}

বা, 1=\frac{a^{2}}{x^{2}}-\frac{b^{2}}{y^{2}} 

{\color{Blue} [\because cosec^{2}\theta -cot^{2}\theta=1]}

{\color{DarkGreen} \therefore \frac{a^{2}}{x^{2}}-\frac{b^{2}}{y^{2}}=1} (প্রমানিত)

koshe dekhi 23.3 class 10

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি : কষে দেখি - 23.3

Q৪. যদি  {\color{Blue} sin\theta +sin^{2}\theta =1} হয়, তাহলে প্রমান করি যে, {\color{Blue} {cos^{2}}\theta +{cos^{4}}\theta =1}

সমাধানঃ

প্রদত্ত, 

sinθ + sin²θ = 1

বা, sinθ = 1 − sin²θ

বা, sinθ = cos²θ {\color{Blue} \left [\because sin^{2}\theta +cos^{2}\theta=1 \right ]}

 

এখন, 

বামপক্ষ : 

{cos^{2}}\theta +{cos^{4}}\theta

={cos^{2}}\theta +\left ({cos^{2}}\theta \right )^{2}

=sin\theta +\left (sin\theta \right )^{2}

= sinθ + sin²θ

= 1

= ডানপক্ষ (প্রমানিত)

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি : কষে দেখি - 23.3

Q9. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.) :

(A) বহুবিকল্পনীয় প্রশ্ন (M.C.Q.) :

(i) যদি 3x = cosec α এবং {\color{Blue} \frac{3}{x}=cot\alpha} হয়, তাহলে {\color{Blue} 3\left( {x}^{2}-\frac{1}{x^{2}} \right)} -এর মান

(a) {\color{Blue} \frac{1}{27}}

(b) {\color{Blue} \frac{1}{81}}

(c) {\color{Blue} \frac{1}{3}} 

(d) {\color{Blue} \frac{1}{9}}

সমাধানঃ 

আমরা জানি, 

cosec²α − cot²α = 1

cosecα ও cotα এর মান বসিয়ে পাই, 

\left ( 3x \right )^{2}-\left ( \frac{3}{x} \right )^{2}=1

বা, 9x^{2}-\frac{9}{x^{2}}=1

বা, 9\left ( x^{2}-\frac{1}{x^{2}} \right )=1

বা, 3\times 3\left ( x^{2}-\frac{1}{x^{2}} \right )=1

{\color{DarkGreen} \therefore 3\left ( x^{2}-\frac{1}{x^{2}} \right )=\frac{1}{3}}

উত্তরঃ (c)

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি : কষে দেখি - 23.3

Q9.(A) (ii) যদি 2x = sec A এবং {\color{Blue} \frac{2}{x}=tan A} হয়, তাহলে {\color{Blue} 2\left( {x}^{2}-\frac{1}{{x}^{2}} \right)} -এর মান

(a) {\color{Blue} \frac{1}{2}}

(b) {\color{Blue} \frac{1}{4}} 

(c) {\color{Blue} \frac{1}{8}}  

(d) {\color{Blue} \frac{1}{16}}

সমাধানঃ

আমরা জানি,

 sec²A − tan²A = 1

secA ও tanA এর মান বসিয়ে পাই, 

\left ( 2x \right )^{2}-\left ( \frac{2}{x} \right )^{2}=1

বা, 4x^{2}-\frac{4}{x^{2}}=1

বা, 4\left ( x^{2}-\frac{1}{x^{2}} \right )=1

বা, 2\times 2\left ( x^{2}-\frac{1}{x^{2}} \right )=1

{\color{DarkGreen} \therefore 2\left ( x^{2}-\frac{1}{x^{2}} \right )=\frac{1}{2}}

উত্তরঃ (a)

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি : কষে দেখি - 23.3

Q9.(A) (iii) tan α + cot α = 2 হলে, {\color{Blue} tan^{13}\alpha +cot^{13}\alpha}  এর মান   

(a) 1

(b) 0

(c) 2

(d) কোনোটিই নয়

সমাধানঃ

প্রদত্ত,

tanα + cotα = 2

বা, tan\alpha +\frac{1}{tan\alpha }=2

বা, \frac{tan^{2}\alpha +1}{tan\alpha }=2

বা, tan^{2}\alpha +1=2tan\alpha

বা, tan^{2}\alpha -2tan\alpha+1=0

বা, \left (tan\alpha -1 \right )^{2}=0

বা, tanα − 1 = 0

∴ tanα = 1

 

tan^{13}\alpha +cot^{13}\alpha

=tan^{13}\alpha +\frac{1}{tan^{13}\alpha}

=\left (tan\alpha \right )^{13} +\left (\frac{1}{tan\alpha} \right )^{13}

=\left ( 1 \right )^{13} +\left (\frac{1}{1} \right )^{13}

= 1 + 1

= 2

উত্তরঃ (c)

koshe dekhi 23.3 class 10

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি : কষে দেখি - 23.3

Q9.(A) (iv) যদি {\color{Blue} sin\theta -cos\theta =0\left ( 0^{\circ}\leq \theta \leq 90^{\circ} \right )} এবং  secθ + cosecθ = x হয়, তাহলে x এর মান

(a) 1

(b) 2

(c) {\color{Blue} \sqrt{2}}

(d) {\color{Blue} 2\sqrt{2}}

সমাধানঃ

প্রদত্ত,

sinθ − cosθ = 0

বা, sinθ = cosθ

বা, \frac{1}{cosec\theta }=\frac{1}{sec\theta }

∴ cosecθ = secθ 

 

আবার আমরা জানি,

sin²θ + cos²θ = 1

বা, sin²θ + sin²θ = 1 [যেহেতু, sinθ = cosθ]

বা, 2sin²θ = 1

বা, sin^{2}\theta =\frac{1}{2}

বা, sin\theta =\frac{1}{\sqrt{2}}

বা, sinθ = sin45°

∴ θ = 45°

 

প্রদত্ত,

secθ + cosecθ = x

বা, sec45° + cosec45° = x

বা, \sqrt{2}+\sqrt{2}=x

{\color{DarkGreen} \therefore x=2\sqrt{2}}

উত্তরঃ (d)

koshe dekhi 23.3 class 10

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি : কষে দেখি - 23.3

Q9.(A) (v) 2 cos 3θ = 1 হলে, θ এর মান

(a) 10°

(b) 15°

(c) 20°

(d) 30°

সমাধানঃ

প্রদত্ত,

2 cos3θ = 1

cos3\theta =\frac{1}{2}

cos3θ = cos60°

3θ = 60°

\theta =\frac{60^{\circ}}{3}

∴ θ = 20°

উত্তরঃ (c)

koshe dekhi 23.3 class 10

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি : কষে দেখি - 23.3

(B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখি :

(i) যদি  {\color{Blue} 0^{\circ}\leq \alpha \leq 90^{\circ}} হয়, তাহলে {\color{Blue} \left( sec^{2}\alpha +cos^{2}\alpha \right)} -এর সর্বনিম্ন মান 2

সমাধানঃ

আমরা জানি,

a sec²θ + b cos²θ এর সর্বনিম্ন মান  2\sqrt{ab}  যেখানে a এবং  b যথাক্রমে sec²θ ও cos²θ  এর সহগ।

নির্ণেয়, sec²α + cos²α রাশিমালার সর্বনিম্ন মানের ক্ষেত্রে  a = 1 এবং b = 1

∴ sec²α + cos²α রাশিমালার সর্বনিম্ন মান 

=2\sqrt{ab}

=2\sqrt{1\times 1}

= 2

অর্থাৎ, প্রদত্ত উক্তিটি সত্য।

koshe dekhi 23.3 class 10

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি : কষে দেখি - 23.3

(B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখি :

(ii)  {\color{Blue} \left(cos0^\circ \times cos1^\circ \times cos2^\circ \times cos3^\circ \times .....cos90^\circ \right)} এর মান 1

সমাধানঃ

\left(cos0^\circ \times cos1^\circ \times cos2^\circ \times cos3^\circ \times .....cos90^\circ \right)

=\left(cos0^{\circ}\times cos1^{\circ} \times cos2^{\circ} \times cos3^{\circ} \times .....\times 0 \right) [ ∵ cos90° = 0]

= 0 

 অর্থাৎ, প্রদত্ত উক্তিটি মিথ্যা।

koshe dekhi 23.3 class 10

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি : কষে দেখি - 23.3

(C) শূন্যস্থান পূরণ করি :

(i) {\color{Blue} \left( \frac{4}{sec^{2}\theta }+\frac{1}{1+{cot^{2}}\theta }+3{sin^{2}}\theta \right)} – এর মান _________ । 

সমাধানঃ

\left( \frac{4}{sec^{2}\theta }+\frac{1}{1+{cot^{2}}\theta }+3{sin^{2}}\theta \right)

=4cos^{2}\theta +\frac{1}{cosec^{2}\theta }+3sin^{2}\theta 

{\color{Blue} \left [\because cosec^{2}\theta -{cot^{2}}\theta=1 \right ]}

=4cos^{2}\theta +sin^{2}\theta+3sin^{2}\theta

=4cos^{2}\theta +4sin^{2}\theta

=4\left (cos^{2}\theta +sin^{2}\theta \right )

= 4 × 1

= 4 (উত্তর)

koshe dekhi 23.3 class 10

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি : কষে দেখি - 23.3

(C) শূন্যস্থান পূরণ করি :

(ii) {\color{Blue} sin\left ( \theta -30^{\circ} \right )=\frac{1}{2}} হলে, cosθ -এর মান _________ । 

সমাধানঃ

sin\left ( \theta -30^{\circ} \right )=\frac{1}{2}

বা, sin (θ − 30°) = sin 30°

বা, (θ − 30°) = 30°

বা, θ = 30°+ 30°

∴ θ = 60°

∴ cosθ -এর মান

= cos60°

{\color{DarkGreen} =\frac{1}{2}} (উত্তর)

koshe dekhi 23.3 class 10

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি : কষে দেখি - 23.3

(C) শূন্যস্থান পূরণ করি :

(iii) {\color{Blue} cos^{2}\theta -sin^{2}\theta =\frac{1}{2}} হলে, {\color{Blue} cos^{4}\theta -sin^{4}\theta} এর মান _________ । 

সমাধানঃ

cos^{4}\theta -sin^{4}\theta

=\left (cos^{2}\theta \right )^{2} -\left (sin^{2}\theta \right )^{2}

=\left (cos^{2}\theta +sin^{2}\theta \right )\left (cos^{2}\theta -sin^{2}\theta \right )

{\color{Blue} \left [ \because a^{2}-b^{2}=\left ( a+b \right )\left ( a-b \right ) \right ]}

=1\times \frac{1}{2}

{\color{DarkGreen} =\frac{1}{2}} (উত্তর)

koshe dekhi 23.3 class 10

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি : কষে দেখি - 23.3

Q10. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.) :

(i) যদি {\color{Blue} rcos \theta =2\sqrt{3},rsin \theta =2} এবং 0° < θ < 90° হয়, তাহলে r ও θ এর মান নির্ণয় করি।

সমাধানঃ

rcos \theta =2\sqrt{3}

উভয়পক্ষে বর্গ করে পাই,

বা, r^{2}cos^{2} \theta =12  …… (i)

আবার,

r sinθ = 2

উভয়পক্ষে বর্গ করে পাই,

বা, r^{2}sin^{2}\theta =4 .. …. (ii)

 

(i) ও (ii) যোগ করে পাই,

r^{2}cos^{2} \theta +r^{2}sin^{2} \theta=12+4

বা, r^{2}\left (cos^{2} \theta +sin^{2} \theta \right )=16

বা, r2 × 1 = 16

বা, r2  = 16

∴ r = 4 (উত্তর)

 

প্রদত্ত,

rsinθ = 2

বা, 4 × sinθ = 2  

বা, sin\theta =\frac{2}{4}

বা, sin\theta =\frac{1}{2}

বা, sinθ = sin 30°

∴ θ = 30° (উত্তর)

koshe dekhi 23.3 class 10

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি : কষে দেখি - 23.3

Q10. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.) :

(ii) যদি sin A + sin B = 2 হয়, যেখানে 0°≤ A ≤ 90° এবং  0°≤ B ≤ 90° তাহলে  (cos A + cos B) এর মান নির্ণয় করি।

সমাধানঃ

যেহেতু, আমরা জানি, sinθ এর সর্বোচ্চ মান  1 , যেখানে  θ = 90°

∴ sinA + sinB = 2 সম্ভব হবে যদি  sinA = sinB = 1 হয়।

অর্থাৎ, A = B = 90º

সুতরাং, cosA = cosB = cos90º = 0

নির্ণেয় (cos A + cos B) এর মান

= 0 + 0

= 0 (উত্তর)

koshe dekhi 23.3 class 10

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি : কষে দেখি - 23.3

Q10. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.) :

(iii) যদি 0°< θ < 90° হয়, তাহলে {\color{Blue} \left( 9tan^{2}\theta +4cot^{2}\theta \right)} -এর সর্বনিন্ম মান নির্ণয় করি।

সমাধানঃ

আমরা জানি, a tan²θ + b cot²θ এর সর্বনিম্ন মান  2\sqrt{ab}  যেখানে  a এবং  b  যথাক্রমে  tan²θ  ও  cot²θ  এর সহগ।

নির্ণেয়, 9 tan²θ +4 cot²θ রাশিমালার সর্বনিম্ন মানের ক্ষেত্রে  a = 9 এবং b = 4

∴  9 tan²θ +4 cot²θ রাশিমালার সর্বনিম্ন মান 

=2\sqrt{ab}

=2\sqrt{9\times 4}

= 2 × 3 × 2

= 12 (উত্তর)

koshe dekhi 23.3 class 10

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি : কষে দেখি - 23.3

Q10. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.) :

(iv) {\color{Blue} \left( sin^{6}\alpha +cos^{6}\alpha +3sin^{2}\alpha cos^{2}\alpha \right)} -এর মান নির্ণয় করি।

সমাধানঃ

\left( sin^{6}\alpha +cos^{6}\alpha +3sin^{2}\alpha cos^{2}\alpha \right)

=\left (sin^{2}\alpha \right )^{3} +\left (cos^{2}\alpha \right )^{3} +3sin^{2}\alpha cos^{2}\alpha

=\left (sin^{2}\alpha +cos^{2}\alpha \right )^{3} -3sin^{2}\alpha cos^{2}\alpha\left (sin^{2}\alpha +cos^{2}\alpha \right )+3sin^{2}\alpha cos^{2}\alpha

{\color{Blue} \left [ \because a^{3}+b^{3}=\left ( a+b \right )^{3}-3ab\left ( a+b \right ) \right ]}

=\left (1 \right )^{3} -3sin^{2}\alpha cos^{2}\alpha\times \left (1 \right )+3sin^{2}\alpha cos^{2}\alpha

=1-3sin^{2}\alpha cos^{2}\alpha+3sin^{2}\alpha cos^{2}\alpha

= 1 (উত্তর)

koshe dekhi 23.3 class 10

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি : কষে দেখি - 23.3

Q10. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.) :

(v) যদি cosec2 θ = 2 cot θ এবং 0°< θ < 90° হয়, তাহলে θ এর মান নির্ণয় করি।

সমাধানঃ

cosec2 θ = 2 cot θ

বা, 1 + cot2 θ = 2 cot θ

বা, cot2 θ − 2 cot θ + 1 = 0

বা, (cot θ − 1)2 = 0

বা, cot θ − 1 = 0

বা, cot θ = 1

বা, cot θ = cot 45°

∴ θ = 45° (উত্তর)

koshe dekhi 23.3 class 10

koshe dekhi 23.3 class 10

Thank You

kose dekhi 23.3 class 10

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

Insert math as
Block
Inline
Additional settings
Formula color
Text color
#333333
Type math using LaTeX
Preview
\({}\)
Nothing to preview
Insert
error: Content is protected !!