Fri. May 17th, 2024
 

Koshe Dekhi 23.1 Class 10

koshe dekhi 23.1 class 10

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি : কষে দেখি - 23.1

Q1. একটি সমকোণী ত্রিভুজ ABC এঁকেছি যার অতিভুজ AB = 10 সেমি., ভূমি BC = 8 সেমি. এবং লম্ব AC = 6 সেমি.। ∠ABC এর  Sine এবং Tangent -এর মান নির্ণয় করি।

উত্তরঃ \small sin\angle ABC=\frac{3}{5}  এবং  \small tan\angle ABC=\frac{3}{4}

সমাধানঃ

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি : কষে দেখি - 23.1

∵ অতিভুজ = AB = 10 সেমি.

\small \bg_white \angle ACB=90 \degree

এখন, ΔABC -এর, ABC  -এর সাপেক্ষে  লম্ব = AC = 6 সেমি., ভূমি = BC = 8 সেমি.

 

∵  আমরা জানি,

sin \theta

∴ ∠ABC -এর সাপেক্ষে  Sine,

\small sin\angle ABC=\frac{6}{10}\Leftrightarrow \frac{3}{5}

\small sin\angle ABC=\frac{3}{5}  (উত্তর)

 

∵  আমরা জানি,

  tan \theta

∴ ∠ABC -এর সাপেক্ষে  Tangent,

\small tan\angle ABC=\frac{6}{8}\Leftrightarrow \frac{3}{4}

\small tan\angle ABC=\frac{3}{4}  (উত্তর)

 

koshe dekhi 23.1 class 10

 

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি : কষে দেখি - 23.1

Q2. সোমা একটি সমকোণী ত্রিভুজ ABC এঁকেছে যার  ∠ABC = 90°, AB = 24 সেমি. এবং BC = 7 সেমি.। হিসাব করে sinA, cosA, tanA ও  cosecA – এর মান লিখি।

উত্তরঃ \small sin A=\frac{7}{25}; \small cos A=\frac{24}{25}; \small tan A=\frac{7}{24} এবং  \small cosec A=\frac{25}{7}

সমাধানঃ

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি : কষে দেখি - 23.1

\small \bg_white \angle ABC=90 \degree

∴  অতিভুজ = AC

A -এর সাপেক্ষে,  লম্ব = BC = 7 সেমি., ভূমি = AB = 24 সেমি.

 

পিথাগোরাসের সমীকরণ অনুযায়ী,

(লম্ব)² + (ভূমি)² = (অতিভুজ)²

বা, (BC)² + (AB)² = (AC

বা, (7)² + (24)² = (AC

বা, 49 + 576 = (AC

বা, (AC)² = 625

বা, \small AC=\sqrt{625}\Rightarrow 25 সেমি.

অতিভুজ = AC = 25 সেমি.

 

এখন, যেহেতু

 sin \theta

∴ ∠A -এর সাপেক্ষে  Sine,

\small sinA=\frac{BC}{AC}

\small \therefore sin A=\frac{7}{25} (উত্তর)

 

আবার, যেহেতু

cos \theta

∴ ∠A -এর সাপেক্ষে  Cosine,

\small cosA=\frac{AB}{AC}

\small \therefore cos A=\frac{24}{25} (উত্তর)

 

আবার, যেহেতু

tan \theta

∴ ∠A -এর সাপেক্ষে  Tangent,

\small tanA=\frac{BC}{AB}

\small \therefore tan A=\frac{7}{24} (উত্তর)

 

আবার, যেহেতু

cosec \theta

∴ ∠A -এর সাপেক্ষে  Cosecant,

\small cosecA=\frac{AC}{BC}

\small \therefore cosec A=\frac{25}{7} (উত্তর)

 

koshe dekhi 23.1 class 10

 

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি : কষে দেখি - 23.1

Q3. যদি ABC একটি সমকোণী ত্রিভুজের ∠C = 90°, BC = 21 একক এবং AB = 29 একক হয়, তাহলে sinA, cosA, sinB  ও  cosB – এর মান নির্ণয় করি।

উত্তরঃ \small sin A=\frac{21}{29}; \small cos A=\frac{20}{29}; \small sinB=\frac{20}{29} এবং  \small cosB=\frac{21}{29}

সমাধানঃ

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি : কষে দেখি - 23.1

\small \bg_white \angle ACB=90 \degree

∴  অতিভুজ = AB = 29 সেমি.

পিথাগোরাসের সমীকরণ অনুযায়ী,

(লম্ব)² + (ভূমি)² = (অতিভুজ)²

বা, (BC)² + (AC)² = (AB

বা, (21)² + (AC)² = (29)²

বা, 441 + (AC)² = 841

বা, (AC)² = 841 − 441

বা, (AC)² = 400

বা, \small AC=\sqrt{400}\Rightarrow 20 সেমি.

∴ অতিভুজ = AB = 29 সেমি. এবং ∠A  এর সাপেক্ষে,  লম্ব = BC = 21 সেমি., ভূমি = AC = 20 সেমি.

এখন, যেহেতু

sin \theta

∴ ∠A -এর সাপেক্ষে  Sine,

\small sinA=\frac{BC}{AB}

\small \therefore sin A=\frac{21}{29} (উত্তর)

 

আবার, যেহেতু

cos \theta

∴ ∠A -এর সাপেক্ষে  Cosine,

\small cosA=\frac{AC}{AB}

\small \therefore cos A=\frac{20}{29} (উত্তর)

 

আবার, অতিভুজ = AB = 29 সেমি. এবং ∠B  এর সাপেক্ষে,  লম্ব = AC = 20 সেমি., ভূমি = BC = 21 সেমি.

এখন, যেহেতু

sin \theta

∴ ∠B -এর সাপেক্ষে  Sine,

\small sinB=\frac{AC}{AB}

\small \therefore sin B=\frac{20}{29} (উত্তর)

 

আবার, যেহেতু

cos \theta

∴ ∠B -এর সাপেক্ষে  Cosine,

\small cosA=\frac{BC}{AB}

\small \therefore cos B=\frac{21}{29} (উত্তর)

 

koshe dekhi 23.1 class 10

 

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি : কষে দেখি - 23.1

Q4. যদি \small {\color{Blue} cos\theta =\frac{7}{25}} হয়, তাহলে θ কোণের সকল ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের মান নির্ণয় করি।

উত্তরঃ \small sin\theta =\frac{24}{25}; \small cosec\theta =\frac{25}{24}; \small sec\theta =\frac{25}{7}; \small tan\theta =\frac{24}{7}  এবং  \small cot\theta =\frac{7}{24}

সমাধানঃ

প্রদত্ত,  cos\theta =\frac{7}{25}

এখন, যেহেতু

cos \theta

∴ ধরি,  ভূমি = 7k  এবং  অতিভুজ = 25k

পিথাগোরাসের সমীকরণ অনুযায়ী,

(লম্ব)² + (ভূমি)² = (অতিভুজ)²

বা, (লম্ব)² + (7k)² = (25k

বা, (লম্ব)² + 49 = 625

বা, (লম্ব)² = 625 − 49

বা, (লম্ব)² = 576

বা, লম্ব = \bg_white \sqrt{576k^{2}}\Rightarrow 24k

 

θ কোণের সাপেক্ষে,

লম্ব = 24k,

ভূমি = 7k  এবং 

অতিভুজ = 25k

 

∵ আমরা জানি,

sin \theta

\small \therefore sin\theta =\frac{24k}{25k}\Leftrightarrow \frac{24}{25} (উত্তর)

 

∵ আমরা জানি,

cosec \theta

\small \therefore cosec\theta =\frac{25k}{24k}\Leftrightarrow \frac{25}{24} (উত্তর)

 

∵ আমরা জানি,

sec \theta

\small \therefore sec\theta =\frac{25k}{7k}\Leftrightarrow \frac{25}{7} (উত্তর)

 

∵ আমরা জানি,

tan \theta

\small \therefore tan\theta =\frac{24k}{7k}\Leftrightarrow \frac{24}{7} (উত্তর)

 

∵ আমরা জানি,

cot \theta

\small \therefore cot\theta =\frac{7k}{24k}\Leftrightarrow \frac{7}{24} (উত্তর)

 

koshe dekhi 23.1 class 10

 

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি : কষে দেখি - 23.1

Q5. যদি  cotθ = 2 হয়, তাহলে  tanθ  ও  secθ -এর মান নির্ণয় করি এবং দেখাই  1 + tan²θ = sec²θ.

উত্তরঃ \small tan \theta =\frac{1}{2}  এবং  \small sec \theta = \frac{\sqrt{5}}{2}

সমাধানঃ

প্রদত্ত, cotθ = 2 \bg_white \Rightarrow \frac{2}{1}

cot \theta

∴ ধরি,  ভূমি = 2k এবং লম্ব = k

পিথাগোরাসের সমীকরণ অনুযায়ী,

(লম্ব)² + (ভূমি)² = (অতিভুজ)²

বা, (k)² + (2k)² = (অতিভুজ)²

বা, k² + 4 = (অতিভুজ)²

বা, (অতিভুজ)² = 5

বা, অতিভুজ = \bg_white \sqrt{5k^{2}}\Rightarrow k\sqrt{5}

θ কোণের সাপেক্ষে,

লম্ব = k,

ভূমি = 2k  এবং 

অতিভুজ = \small \mathbf{k\sqrt{5}}

∵ আমরা জানি,

tan \theta

\small tan\theta =\frac{k}{2k}\Leftrightarrow \frac{1}{2} (উত্তর)

∵ আমরা জানি,

sec \theta

\small sec\theta =\frac{k\sqrt{5}}{2k}\Leftrightarrow \frac{\sqrt{5}}{2} (উত্তর)

 

বামপক্ষ :

1 + tan²θ

\small =1+\left ( \frac{1}{2} \right )^{2}   [ \small {\color{Blue} \because tan\theta =\frac{1}{2}} ]

\small =1+\frac{1}{4}

\small =\frac{\left (1\times 4 \right )+1}{4}

\small =\frac{4+1}{4}

\small =\frac{5}{4}

ডানপক্ষ :

sec²θ

\small =\left ( \frac{\sqrt{5}}{2} \right )^{2} [ \small {\color{Blue} \because sec\theta =\frac{\sqrt{5}}{2}} ]

\small =\frac{5}{4}

∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ (প্রমানিত)

 

koshe dekhi 23.1 class 10

 

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি : কষে দেখি - 23.1

Q6.  cosθ = 0.6  হলে, দেখাই যে  5 sinθ − 3 tanθ = 0.

উত্তরঃ sin ABC = 25°  এবং  tan ABC =

সমাধানঃ

প্রদত্ত,  \small cos \theta = 0.6\Leftrightarrow \frac{6}{10}=\frac{3}{5}

এখন, যেহেতু 

cos \theta

∴ ধরি,  ভূমি = 3k  এবং  অতিভুজ = 5k

পিথাগোরাসের সমীকরণ অনুযায়ী,

(লম্ব)² + (ভূমি)² = (অতিভুজ)²

বা, (লম্ব)² + (3k)² = (5k)²

বা, (লম্ব)² + 3²k² = 25

বা, (লম্ব)² = 25k² − 9

বা, (লম্ব)² = 16

বা, লম্ব = \small \bg_white \sqrt{16k^{2}}\Rightarrow 4k

 

θ কোণের সাপেক্ষে,

লম্ব = 4k,

ভূমি = 3k  এবং 

অতিভুজ = 5k

∵ আমরা জানি,

sin \theta

\small sin \theta = \frac{4k}{5k}\Leftrightarrow \frac{4}{5}

 

∵ আমরা জানি,

tan \theta

\small tan \theta = \frac{4k}{3k}\Leftrightarrow \frac{4}{3}

 

বামপক্ষ :

5 sinθ − 3 tanθ

মান বসিয়ে পাই –

\small =5\times \left (\frac{4}{5} \right )-3\times \left (\frac{4}{3} \right )

\small =4-3

\small =1 = ডানপক্ষ (প্রমানিত)

 

koshe dekhi 23.1 class 10

 

[/su_box]

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি : কষে দেখি - 23.1

Q7. যদি \small {\color{Blue} cotA=\frac{4}{7.5}} হয়, তাহলে  cosA  এবং  cosecA  এর মান নির্ণয় করি এবং দেখাই যে 1 + cot²A = cosec²A.

উত্তরঃ sin ABC = 25°  এবং  tan ABC =

সমাধানঃ

প্রদত্ত, cotA=\frac{4}{7.5}  \bg_white \Rightarrow \frac{40}{75}\Rightarrow \frac{8}{15}

 cot \theta

∴ ধরি,  ভূমি = 8k এবং লম্ব = 15k

পিথাগোরাসের সমীকরণ অনুযায়ী,

(লম্ব)² + (ভূমি)² = (অতিভুজ)²

বা, (15k)² + (8k)² = (অতিভুজ)²

বা, 225k² + 64k² = (অতিভুজ)²

বা, (অতিভুজ)² = 289k²

বা, অতিভুজ  =\sqrt{289k^{2}}=17k

আমরা জানি,

cos \theta

\small \therefore cosA=\frac{8k}{17k}=\frac{8}{17}

(উত্তর)

 

এবং

cosec \theta

\therefore cosecA=\frac{17k}{15k}=\frac{17}{15}

(উত্তর)

 

বামপক্ষ : 

1 + cot²A

=1+\left ( \frac{8}{15} \right )^{2}

=1+\frac{64}{225}

=\frac{225+64}{225}

=\frac{289}{225}

ডানপক্ষ :

cosec²A

=\left ( \frac{17}{15} \right )^{2}

=\frac{289}{225}

বামপক্ষ = ডানপক্ষ (প্রমানিত)

 

koshe dekhi 23.1 class 10

 

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি : কষে দেখি - 23.1

Q8. যদি \small {\color{Blue} sinC=\frac{2}{3}} হয়, তবে  cosC × cosecC -এর মান হিসাব করে লিখি।

উত্তরঃ sin ABC = 25°  এবং  tan ABC =

সমাধানঃ

প্রদত্ত, sinC=\frac{2}{3}

যেহেতু,

sin \theta

ধরি,  লম্ব = 2k  এবং অতিভুজ = 3k

পিথাগোরাসের সমীকরণ অনুযায়ী, 

(লম্ব)² + (ভূমি)² = (অতিভুজ)²

বা, (2k)² + (ভূমি)² = (3k)²

বা, 4 + (ভূমি)² = 9k²

বা, (ভূমি)² = 9k² − 4k²

বা, (ভূমি)² = 5k²

বা, ভূমি = \sqrt{5k^{2}}\Rightarrow k\sqrt{5}

আমরা জানি, 

cos \theta

\small \therefore cosC=\frac{k\sqrt{5}}{3k}

               \small =\frac{\sqrt{5}}{3}

আবার,

আমরা জানি, 

 cosec \theta

\small \therefore cosecC=\frac{3k}{2k}

                  \small =\frac{3}{2}

এখন,

নির্ণেয়, cosC × cosecC

\small =\frac{\sqrt{5}}{3}\times \frac{3}{2} \small =\frac{\sqrt{5}}{2} Answer

 

koshe dekhi 23.1 class 10

 

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি : কষে দেখি - 23.1

Q9. নীচের বিবৃতিগুলো সত্য না মিথ্যা তা যুক্তি সহকারে লিখি।

(i) tanA -এর মান সর্বদা 1 অপেক্ষা বড়ো।

উত্তরঃ প্রদত্ত বিবৃতিটি মিথ্যা

ব্যাখ্যা :

tan \theta

সুতরাং, যখন  লম্ব > ভূমি হবে, তখন  tanA  এর মান  1  অপেক্ষা বড়ো হবে।

যখন  লম্ব = ভূমি হবে, তখন  tanA  এর মান  1  এর সমান হবে।

যখন  লম্ব < ভূমি হবে, তখন  tanA এর মান 1 অপেক্ষা ছোট হবে।

tanA -এর মান  1  এর সমান, বড়ো বা ছোট  হতে পারে কিন্তু প্রদত্ত বিবৃতিটি হলো “tanA -এর মান সর্বদা 1 অপেক্ষা বড়ো

∴ প্রদত্ত উক্তিটি মিথ্যা

koshe dekhi 23.1 class 10

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি : কষে দেখি - 23.1

Q9. নীচের বিবৃতিগুলো সত্য না মিথ্যা তা যুক্তি সহকারে লিখি।

(ii) cotA -এর মান সর্বদা 1 অপেক্ষা ছোটো।

উত্তরঃ প্রদত্ত বিবৃতিটি মিথ্যা

ব্যাখ্যা :

cot \theta

সুতরাং, যখন  ভূমি > লম্ব হবে, তখন  cotA  এর মান  1  অপেক্ষা বড়ো হবে।

যখন  ভূমি = লম্ব  হবে, তখন  cotA  এর মান  1  এর সমান হবে।

যখন  ভূমি < লম্ব  হবে, তখন  cotA  এর মান 1 অপেক্ষা ছোট হবে।

cotA -এর মান  1  এর সমান, বড়ো বা ছোট  হতে পারে কিন্তু প্রদত্ত বিবৃতিটি হলো “cotA -এর মান সর্বদা 1 অপেক্ষা ছোটো”

∴ প্রদত্ত উক্তিটি মিথ্যা

koshe dekhi 23.1 class 10

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি : কষে দেখি - 23.1

Q9. নীচের বিবৃতিগুলো সত্য না মিথ্যা তা যুক্তি সহকারে লিখি।

(iii) একটি কোণ θ এর জন্য \small {\color{Blue} sin\theta =\frac{4}{3}} হতে পারে।

উত্তরঃ প্রদত্ত বিবৃতিটি মিথ্যা

ব্যাখ্যা :

sin \theta

 এবং কোন সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজই হলো সবচেয়ে বড়ো বাহু

sinθ এর মান  1  অপেক্ষা ছোট কিন্তু প্রদত্ত  sin\theta =\frac{4}{3}  অর্থাৎ  1  অপেক্ষা বড়ো।

সুতরাং, প্রদত্ত উক্তিটি কোণ θ এর জন্য মিথ্যা

koshe dekhi 23.1 class 10

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি : কষে দেখি - 23.1

Q9. নীচের বিবৃতিগুলো সত্য না মিথ্যা তা যুক্তি সহকারে লিখি।

(iv) একটি কোণ  α  এর জন্য \small {\color{Blue} sec\alpha =\frac{12}{5}}  হতে পারে।

উত্তরঃ প্রদত্ত বিবৃতিটি সত্য

ব্যাখ্যা :

 sec \theta 

এবং কোন সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজই হলো সবচেয়ে বড়ো বাহু

secθ এর মান  1  অপেক্ষা বড়ো এবং প্রদত্ত  sec\alpha =\frac{12}{5}  অর্থাৎ  1  অপেক্ষা বড়ো।

সুতরাং, প্রদত্ত উক্তিটি কোণ α এর জন্য সত্য

koshe dekhi 23.1 class 10

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি : কষে দেখি - 23.1

Q9. নীচের বিবৃতিগুলো সত্য না মিথ্যা তা যুক্তি সহকারে লিখি।

(v) একটি কোণ  β(Beta) এর জন্য \small {\color{Blue} cosec\beta =\frac{5}{13}} হতে পারে।

উত্তরঃ প্রদত্ত বিবৃতিটি মিথ্যা

ব্যাখ্যা :

cosec \theta 

এবং কোন সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজই হলো সবচেয়ে বড়ো বাহু

cosecβ এর মান সর্বদা  1  অপেক্ষা বড়ো কিন্তু প্রদত্ত  cosec\beta =\frac{5}{13}  অর্থাৎ  1  অপেক্ষা ছোট।

সুতরাং, প্রদত্ত উক্তিটি কোণ β এর জন্য মিথ্যা

koshe dekhi 23.1 class 10

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি : কষে দেখি - 23.1

Q9. নীচের বিবৃতিগুলো সত্য না মিথ্যা তা যুক্তি সহকারে লিখি।

(vi) একটি কোণ  θ  এর জন্য \small {\color{Blue} cos\theta =\frac{3}{5}}  হতে পারে।

উত্তরঃ প্রদত্ত বিবৃতিটি সত্য।

ব্যাখ্যা :

cos \theta 

এবং কোন সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজই হলো সবচেয়ে বড়ো বাহু

cosθ এর মান  1  অপেক্ষা ছোট এবং প্রদত্ত  cos\theta =\frac{3}{5}  অর্থাৎ  1  অপেক্ষা ছোট।

সুতরাং, প্রদত্ত উক্তিটি কোণ  θ  এর  জন্য  সত্য

 

koshe dekhi 23.1 class 10

koshe dekhi 23.1 class 10

Thank You

2 thoughts on “Koshe Dekhi 23.1 Class 10”

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

Insert math as
Block
Inline
Additional settings
Formula color
Text color
#333333
Type math using LaTeX
Preview
\({}\)
Nothing to preview
Insert
error: Content is protected !!