Koshe Dekhi 7.2 Class 10

Table of Contents

Koshe Dekhi 7.2 Class 10

Q1. পাশের ছবিতে ∠DBA = 40°, ∠BAC = 60° এবং ∠CAD = 20°; ∠DCA ও ∠BAC -এর মান নির্ণয় করি। ∠BAD ও ∠DCB -এর মানের সমষ্টি কত হবে হিসাব করে দেখি। বৃত্তস্থ কোন সম্পর্কিত উপপাদ্য

সমাধান :

koshe dekhi 7.2_Q1

koshe dekhi 7.2 class 10

Q2. পাশের চিত্রে AOB বৃত্তের ব্যাস এবং O বৃত্তের কেন্দ্র। OC ব্যাসার্ধ AB এর উপর লম্ব। যদি উপচাপ CB -এর উপর কোনো বিন্দু P হয়, তবে ∠BAC ও ∠APC -এর মান হিসাব করে লিখি। বৃত্তস্থ কোন সম্পর্কিত উপপাদ্য

সমাধান :

koshe dekhi 7.2_Q2

koshe dekhi 7.2 class 10

Q3. ABC ত্রিভুজের O লম্ববিন্দু এবং BC -এর উপর অঙ্কিত লম্ব AD -কে বর্ধিত করলে ΔABC -এর পরিবৃত্তকে G বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করি যে, OD = DG.

সমাধান :

কষে দেখি 7.2 Q3

ΔABC -এর তিনটি লম্ব সমদ্বিখন্ডক AD, BE এবং CF পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করেছে। AD কে বর্ধিত করলে তা পরিবৃত্তকে G বিন্দুতে ছেদ করে।

প্রমান করতে হবে যে, OD = DG

অঙ্কনঃ G, C এবং G, B যুক্ত করা হল।

প্রমানঃ AB উপচাপের ওপর অবস্থিত বৃত্তস্থ কোণ ∠ACB ও ∠AGB

∠ACB = ∠AGB (একই বৃত্তচাপ দ্বারা গঠিত সকল বৃত্তস্থ কোণের মান সমান)

অর্থাৎ, ∠ECD = ∠BGD

চতুর্ভূজ EODC -এর ∠OEC এবং ∠ODC উভয়েই সমকোণ।

∴ ∠ECD + ∠EOD = 180° —– (i)

আবার, BE সরলরেখার ওপর O বিন্দুতে OD দন্ডায়মান।

∴ ∠BOD + ∠EOD = 180° —– (ii)

(i) এবং (ii) নং সমীকরন দুটি তুলনা করে পাই,

∠ECD + ∠EOD = ∠BOD + ∠EOD

অর্থাৎ, ∠ECD = ∠BOD

আবার, ∠ECD = ∠BGD

∴ ∠BOD = ∠BGD

এখন ΔBOD এবং ΔBGD এর মধ্যে

∠BOD = ∠BGD [প্রমানিত]

∠BDO = ∠BDG [উভয়েই সমকোণ]

এবং BD সাধারন বাহু

∴ ΔBOD ≅ ΔBGD [A-A-S সর্বসমতা আনুসারে]

∴ OD = DG [সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপবাহু] (প্রমানিত)

Support Me

If you like my work then you can Support me by contributing a small amount which will help me a lot to grow my channel. It’s a request to all of you. You can donate me through phone pay / Paytm/ Gpay on this number 7980608289 or by the link below :

koshe dekhi 7.2 class 10

Q4. ΔABC -এর অন্তবৃত্তের কেন্দ্র I; বর্ধিত AI ত্রিভুজের পরিবৃত্তকে P বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করি যে, PB = PC = PI.

সমাধান :

কষে দেখি 7.2 Q4

ΔABC এর অন্তঃকেন্দ্র I এবং বর্ধিত AI, ΔABC এর পরিবৃত্তকে P বিন্দুতে ছেদ করেছে।

প্রমান করতে হবে যে, PB = PC = PI

অঙ্কনঃ P, B; P, C; B, I এবং C, I যুক্ত করা হল।

প্রমানঃ ∵ I, ΔABC -এর অন্তঃকেন্দ্র

∴ AI, BI ও CI হল যথাক্রমে ΔABC -এর ∠BAC, ∠ABC ও ∠ACB কোণগুলির সমদ্বিখন্ডক।

আবার, ∵ ΔABC এর পরিবৃত্তের PC বৃত্তচাপ দ্বারা গঠিত দুটি বৃত্তস্থ কোণ ∠PBC এবং ∠PAC

∴ ∠PBC = ∠PAC [একই বৃত্তচাপ দ্বারা গঠিত সকল বৃত্তস্থ কোণের মান সমান]

আবার ∠PAC = $\frac{1}{2}$ ∠BAC [∵ AP, ∠BAC এর সমদ্বিখন্ডক]

∴ ∠PAC = ∠PBC = $\frac{1}{2}$ ∠BAC = ∠PAC

এখন ∠IBP = ∠IBC + ∠PBC

∠IBP = $\frac{1}{2}$ ∠ABC + $\frac{1}{2}$ ∠BAC —–(i) [∵ IB, ∠ABC -এর সমদ্বিখন্ডক হওয়ার কারণে ∠IBC = ${\color{Blue} \frac{1}{2}}$ ∠ABC]

আবার, যেহেতু, ΔABI এর বহিঃস্থ কোণ ∠BIP ও অন্তঃস্থ বিপরীত কোণ দুটি হল ∠IBA ও ∠IAB

∴ ∠BIP = ∠IBA + ∠IAB

∠BIP = $\frac{1}{2}$ ∠ABC + $\frac{1}{2}$ ∠BAC —– (ii)

(i) এবং (ii) নং সমীকরন দুটি তুলনা করে পাই,

∠IBP = ∠BIP

এখন যা পেলাম, তা হল ΔIBP -এর ∠IBP = ∠BIP

∴ PB = PI [কোনও ত্রিভুজের সমান কোণগুলির বিপরীত বাহুগুলি সমান হয়]

অনুরূপভাবে, ΔIPC থেকে প্রমান করা যায় যে, PC = PI

∴ PB = PC = PI (প্রমানিত)

koshe dekhi 7.2 class 10

Q5. তিমির দুটি বৃত্ত এঁকেছে যারা পরস্পরকে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করেছে। P বিন্দু দিয়ে দুটি সরলরেখা টানলাম যারা একটি বৃত্তকে A, B বিন্দুতে এবং অপর বৃত্তকে যথাক্রমে C, D বিন্দুতে ছেদ করল। প্রমাণ করি যে, ∠AQC = ∠BQD .

সমাধান :

koshe dekhi 7.2_Q5

ধরি, M এবং N কেন্দ্রীয় দুটি বৃত্ত পরস্পরকে P এবং Q বিন্দুতে ছেদ করেছে। P বিন্দুতে দুটি সরলরেখা M কেন্দ্রীয় বৃত্তকে যথাক্রমে A, B এবং N কেন্দ্রীয় বৃত্তকে C, D বিন্দুতে ছেদ করেছে।

প্রমান করতে হবে যে, ∠AQC = ∠BQD

প্রমানঃ ∵ M কেন্দ্রীয় বৃত্তের ক্ষেত্রে, ∠PAQ ও ∠PBQ হল একই বৃত্তাংশস্থ কোণ সমূহ।

∠PAQ = ∠PBQ [∵ একইবৃত্তাংশস্থ সকল কোণের মান সমান]

আবার, ∵ N কেন্দ্রীয় বৃত্তের ক্ষেত্রে, ∠PCQ ও ∠PDQ হল একই বৃত্তাংশস্থ কোণ সমূহ।

∠PCQ = ∠PDQ [∵ একইবৃত্তাংশস্থ সকল কোণের মান সমান]

এখন, ∠PAQ + ∠PCQ = ∠PBQ + ∠PDQ —– (i)

ΔACQ এর ক্ষেত্রে,

∠AQC = 180° – (∠PAQ + ∠PCQ) [ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি 180°]

বা, ∠AQC = 180° – (∠PBQ + ∠PDQ) [ (i) নং সমীকরণ ব্যবহার করে পেলাম]

∴ ∠AQC = ∠BQD [∵ ΔBQD এর ক্ষেত্রে, ∠BQD = 180° – (∠PBQ + ∠PDQ) ] (প্রমানিত)

koshe dekhi 7.2 class 10

Q6. একটি বৃত্তের AB ও CD জ্যা দুটি পরস্পর লম্ব | AB ও CD জ্যা দুটির ছেদবিন্দু P থেকে AD এর উপর অঙ্কিত লম্বকে বর্ধিত করলে সেটি BC -কে E বিন্দুতে ছেদ করে, তবে প্রমাণ করি যে, E, BC -এর মধ্যবিন্দু।

সমাধান :

koshe dekhi 7.2_Q6

AB এবং CD জ্যা দুটি পরস্পরকে P বিন্দুতে ছেদ করেছে। P বিন্দু দিয়ে AD এর ওপর PF হলো লম্ব। FP কে বর্ধিত করলে তা BC কে E বিন্দুতে ছেদ করে।

প্রমান করতে হবে যে, E, BC এর মধ্যবিন্দু।

প্রমানঃ যেহেতু সমকোণী ΔFPD -এর PF ⊥ FD

∴ ∠FPD = 90° – ∠FDP ——(i)

আবার, যেহেতু সমকোণী ΔAPD -এর AP ⊥ PD

∴ ∠PAD = 90° – ∠ADP

অর্থাৎ, ∠PAD = 90° – ∠FDP [∠ADP ও ∠FDP একই কোণ]

∴ ∠FPD = ∠PAD —– (ii) [(i) ও (ii) নং সমীকরণ দুটি তুলনা করে পেলাম]

অনুরূপভাবে, ∠APF = ∠FDP —– (iii)

AC উপচাপ দ্বারা গঠিত দুটি বৃত্তস্থ কোণ হলো ∠ADC ও ∠ABC

∴ ∠ADC = ∠ABC

আবার, DB উপচাপ দ্বারা গঠিত দুটি বৃত্তস্থ কোণ হলো ∠D AB ও ∠BCD

∠DAB = ∠BCD

অর্থাৎ, ∠PAD = ∠PCE —– (iv) [∠DAB ও ∠PAD একই কোণ এবং ∠BCD ও ∠PCE একই কোণ]

এখন, (ii) ও (iv) নং সমীকরণ দুটি তুলনা করে পাই-

∠FPD = ∠PCE —— (v)

এখন, ΔCPE -এর

∠PCE = ∠PAD [(iv) নং সমীকরণ অনুসারে]

∠CPE = ∠FPD [বিপ্রতীপ কোণ]

∴ ∠CPE = ∠PCE [(v) নং সমীকরণ অনুসারে]

সুতরাং, CE = PE —– (vi) [ত্রিভুজের যে দুটি বাহুর দৈর্ঘ্য সমান তাদের বিপরীত কোনগুলি সমান হয়]

অনুরূপভাবে, ΔPEB থেকে প্রমাণ করা যায় যে, BE = PE —— (vii)

এখন, (vi) এবং (vii) সমীকরন দুটি তুলনা করে পাই, CE = BE.

অর্থাৎ, E, BC এর মধ্যবিন্দু। (প্রমানিত)

koshe dekhi 7.2 class 10

Q7. যদি ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের AB = DC হয়, তবে প্রমাণ করি যে, AC = BD হবে।

সমাধান :

koshe dekhi 7.2_Q7

বৃত্তের AB এবং DC দুটি সমান দৈর্ঘ্যের জ্যা।

প্রমান করতে হবে যে, AC = BD

অঙ্কনঃ A, C এবং B, D যুক্ত করা হল। AC এবং BD পরস্পরকে P বিন্দুতে ছেদ করল।

প্রমানঃ যেহেতু, BC উপচাপ দ্বারা গঠিত দুটি বৃত্তস্থ কোণ হলো ∠BAC এবং ∠BDC

∴ ∠BAC = ∠BDC [একই বৃত্তচাপ দ্বারা গঠিত সকল বৃত্তস্থ কোণের মান সমান]

অর্থাৎ, ∠BAP = ∠PDC —– (i)

এখন, যেহেতু ΔAPB এবং ΔDPC -এর

AB = DC [স্বীকারানুসারে]

∠APB = ∠DPC [বিপ্রতীপ কোণ সমূহ]

∠BAP = ∠PDC [(i) সমীকরণ অনুসারে]

ΔAPB ≅ ΔDPC [S-A-A সর্বসমতা অনুসারে]

AP = DP এবং PB = PC [সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ বাহু সমূহ]

এখন, AP + PC = DP + PB

অর্থাৎ, AC = BD (প্রমানিত)

koshe dekhi 7.2 class 10

Q8. O কেন্দ্রীয় বৃত্তে OA ব্যাসার্ধ এবং AQ একটি জ্যা। বৃত্তের উপর C একটি বিন্দু। O, A, C বিন্দুগামী বৃত্ত AQ জ্যা-কে P বিন্দুতে ছেদ করে।

সমাধান :

koshe dekhi 7.2_Q8

O কেন্দ্রীয় বৃত্তের OA ব্যাসার্ধ এবং AQ হলো একটি জ্যা। বৃত্তের ওপর C যেকোনাে একটি বিন্দু। O, A, C বিন্দুগামী বৃত্ত AQ জ্যা কে P বিন্দুতে ছেদ করেছে।

প্রমান করতে হবে যে, CP = PQ

অঙ্কনঃ O, Q ; O, C এবং C, Q যুক্ত করা হল।

প্রমানঃ ΔOAQ -এর

OA = OQ [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]

∴ ∠OAQ = ∠OQA [ত্রিভুজের যে দুটি বাহুর দৈর্ঘ্য সমান তাদের বিপরীত কোনগুলি সমান হয়]

অর্থাৎ, ∠PAO = ∠OQP —–(i)

আবার, O, A, C বিন্দুগামী বৃত্তের OP উপচাপ দ্বারা গঠিত দুটি বৃত্তস্থ কোণ ∠OCP এবং ∠PAO

∴ ∠OCP = ∠PAO —– (ii) [একই বৃত্তচাপ দ্বারা গঠিত সকল বৃত্তস্থ কোণের মান সমান]

এখন, (i) ও (ii) নং সমীকরণ দুটি তুলনা করে পাই,

∠OCP = ∠OQP ——(iii)

এখন, ΔOCQ -এর

OC = OQ [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]

∴ ∠OCQ = ∠OQC [ত্রিভুজের যে দুটি বাহুর দৈর্ঘ্য সমান তাদের বিপরীত কোনগুলি সমান হয়]

অর্থাৎ, ∠OCP + ∠PCQ = ∠OQP + ∠PQC [∵ ∠OCQ = ∠OCP + ∠PCQ এবং ∠OQC = ∠OQP + ∠PQC]

∴ ∠OQP + ∠PCQ = ∠OQP + ∠PQC [(iii) নং সমীকরনের মান বসিয়ে পেলাম]

∠PCQ = ∠PQC [(i) নং সমীকরন থেকে পাই]

এখন, যেহেতু ΔPCQ -এর ∠PCQ = ∠PQC

∴ CP = PQ [ত্রিভুজের যে দুটি বাহুর দৈর্ঘ্য সমান তাদের বিপরীত কোনগুলি সমান হয়] (প্রমানিত)

koshe dekhi 7.2 class 10

Q9. একটি বৃত্তে ABC ত্রিভুজটি অন্তর্লিখিত। AX, BY এবং CZ যথাক্রমে ∠BAC, ∠ABC ও ∠ACB -এর সমদ্বিখণ্ডক এবং বৃত্তে যথাক্রমে X, Y, Z বিন্দুতে মিলিত হয়। প্রমাণ করি যে, AX, YZ এর উপর লম্ব।

সমাধান :

koshe dekhi 7.2_Q9

ΔABC বৃত্তের আন্তর্লিখিত। AX, BY এবং CZ যথাক্রমে ∠BAC, ∠ABC ও ∠ACB -এর সমদ্বিখন্ডক তিনটি যথাক্রমে X, Y, Z বিন্দুতে মিলিত হয় এবং আরো ধরি AX ও YZ পরস্পরকে P বিন্দুতে ছেদ করে।

প্রমান করতে হবে যে, AX, YZ এর ওপর লম্ব।

অঙ্কনঃ X, Y যুক্ত করা হল।

প্রমানঃ AY উপচাপ দ্বারা গঠিত দুটি বৃত্তস্থ কোণ ∠AXY এবং ∠ABY

∴ ∠AXY = ∠ABY — (i) [একই বৃত্তচাপ দ্বারা গঠিত সকল বৃত্তস্থ কোণের মান সমান]

আবার, BZ উপচাপ দ্বারা গঠিত দুটি বৃত্তস্থ কোণ ∠BYZ এবং ∠BCZ

∴ ∠BYZ = ∠BCZ — (ii) [একই বৃত্তচাপ দ্বারা গঠিত সকল বৃত্তস্থ কোণের মান সমান]

আবার, BX উপচাপ দ্বারা গঠিত দুটি বৃত্তস্থ কোণ ∠BYX এবং ∠BAX

∴ ∠BYX = ∠BAX — (iii) [একই বৃত্তচাপ দ্বারা গঠিত সকল বৃত্তস্থ কোণের মান সমান]

এখন, ΔPXY -এর, ∠PYX + ∠PXY

= ∠BYZ + ∠BYX + ∠AXY

= ∠BCZ + ∠BAX + ∠ABY [(ii) ও (iii) নং সমীকরণ ব্যবহার করে পেলাম]

= ½ ∠BCA + ½ ∠BAC+ ½ ∠ABC [AX, BY এবং CZ যথাক্রমে ∠BAC, ∠ABC ও ∠ACB -এর সমদ্বিখন্ডক]

= ½ (∠BCA + ∠BAC + ∠ABC)

= ½ × 180° [ত্রিভুজের তিনটি কোণের যোগফল 180°]

= 90°

∴ ∠PYX + ∠PXY = 90° —–(iv)

এখন, ΔPXY -এর,

∠XPY = 180° – (∠PYX + ∠PXY)

= 180° – 90° [(iv) নং সমীকরণ ব্যবহার করে পেলাম]

= 90°

অর্থাৎ, AX, YZ এর ওপর লম্ব। (প্রমানিত)

koshe dekhi 7.2 class 10

Q10. একটি বৃত্তে ABC ত্রিভুজটি অন্তর্লিখিত। ∠BAC, ∠ABC ও ∠ACB -এর সমদ্বিখণ্ডক বৃত্তে যথাক্রমে X, Y ও Z বিন্দুতে মিলিত হয়। প্রমাণ করি ΔXYZ এর, $\small {\color{Blue} \angle YXZ={{90}^{\circ }}-\frac{\angle BAC}{2}}$ .

সমাধান :

koshe dekhi 7.2_Q10

ধরি, ΔABC ত্রিভূজটি বৃত্তে অন্তর্লিখিত। ∠BAC, ∠ABC ও ∠ACB এর সমদ্বিখন্ডক বৃত্তের যথাক্রমে X, Y ও Z বিন্দুতে মিলিত হয়।

প্রমান করতে হবে যে, ΔXYZ এর, $\angle YXZ=90^{\circ}-\frac{\angle BAC}{2}$

প্রমানঃ ΔABC -এর

∠ABC + ∠ACB = 180° – ∠BAC ——(i)

AZ উপচাপ দ্বারা গঠিত দুটি বৃত্তস্থ কোণ ∠AXZ এবং ∠ACZ

∴ ∠AXZ = ∠ACZ ——- (ii) [একই বৃত্তচাপ দ্বারা গঠিত সকল বৃত্তস্থ কোণের মান সমান]

AY উপচাপ দ্বারা গঠিত দুটি বৃত্তস্থ কোণ ∠YXA এবং ∠ABY

∴ ∠YXA = ∠ABY —— (iii) [একই বৃত্তচাপ দ্বারা গঠিত সকল বৃত্তস্থ কোণের মান সমান]

এখন, ΔXYZ -এর,

∠YXZ = ∠YXA + ∠AXZ

বা, ∠YXZ = ∠ABY + ∠ACZ [(ii) এবং (iii) নং সমীকরণ ব্যবহার করে পেলাম]

বা, $\angle YXZ=\frac{1}{2}\, \angle ABC+\frac{1}{2}\, \angle ACB$ [∠ABC ও ∠ACB – এর সমদ্বিখণ্ডক যথাক্রমে BY ও CZ]

বা, $\angle YXZ=\frac{1}{2}\, \left (\angle ABC+\angle ACB \right )$

বা, $\angle YXZ=\frac{1}{2}\, \left ( 180^{\circ}-\angle BAC \right )$ [(i) নং সমীকরনের মান বসিয়ে পেলাম]

$\therefore \angle YXZ=90^{\circ}-\frac{\angle BAC}{2}$ (প্রমানিত)

koshe dekhi 7.2 class 10

Q11. ΔABC -এর A বিন্দু থেকে BC বাহুর উপর অঙ্কিত লম্ব BC বাহুকে D বিন্দুতে এবং B বিন্দু থেকে CA বাহুর উপর অঙ্কিত লম্ব CA বাহুকে E বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করি যে, A, B, D, E বিন্দু চারটি সমবৃত্তস্থ।

সমাধান :

koshe dekhi 7.2_Q11

ΔABC এর A বিন্দু থেকে BC বাহুর উপর অঙ্কিত লম্ব BC বাহুকে D বিন্দুতে এবং B বিন্দু থেকে CA বাহুর উপর অঙ্কিত লম্ব CA বাহুকে Eবিন্দুতে ছেদ করে।

প্রমান করতে হবে যে, A, B, D, E সমবৃত্তস্থ।

অঙ্কনঃ D, E যুক্ত করা হল।

প্রমানঃ ΔEBC এবং ΔADC থেকে পাই,

∠BEC = ∠ADC [প্রতিটি কোণের মান 1 সমকোণ]

∠ECD সাধারন কোণ

∴ অবশিষ্ট ∠EBC = অবশিষ্ট ∠DAC

অর্থাৎ, ∠EBD = ∠DAE

যেহেতু, DE সরল রেখাংশের একই পার্শ্বে অপর দুই বিন্দু B এবং A তে দুটি সমান কোণ উৎপন্ন হয়েছে, তাই A, B, D, E সমবৃত্তস্থ। (প্রমানিত)

koshe dekhi 7.2 class 10

Q12. অতি সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)

(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q.) :

(i) পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র; ∠ACB = 30°, ∠ABC = 60°, ∠DAB = 35° এবং ∠DBC = x° হলে, x -এর মান বৃত্তস্থ কোন সম্পর্কিত উপপাদ্য

(a) 35

(b) 70

(d) 55

উত্তরঃ সঠিক নির্বাচনটি হবে (d) 55

ব্যাখ্যা : ∠BAC = 90° [অর্ধবৃত্তস্থ কোণ]

আবার, ∠DAC + ∠DAB = ∠BAC

∴ ∠DAC = ∠BAC − ∠DAB

= 90° − 35°

∴ ∠DAC = 55°

আবার, ∠DAC = ∠DBC [একই বৃত্ত্যাংশস্থ কোণ]

∴ ∠DBC = x = 55° ….. (d) (উত্তর)

Q12. অতি সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)

(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q.) :

(ii) পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র। ∠BAD = 65°, ∠BDC = 45° হলে, ∠CBD -এর মান বৃত্তস্থ কোন সম্পর্কিত উপপাদ্য

(a) 65°

(b) 45°

(d) 20°

উত্তরঃ সঠিক নির্বাচনটি হবে (d) 20°

ব্যাখ্যা :

koshe dekhi 7.2 class 10

Q12. অতি সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)

(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q.) :

(iii) পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র। ∠AEB = 110° এবং ∠CBE = 30° হলে, ∠ADB -এর মান বৃত্তস্থ কোন সম্পর্কিত উপপাদ্য

(a) 70°

(b) 60°

(d) 90°

উত্তরঃ সঠিক নির্বাচনটি হবে (c) 80°

ব্যাখ্যা :

koshe dekhi 7.2 class 10

Q12. অতি সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)

(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q.) :

(iv) পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র। ∠BCD = 28°, ∠AEC = 38° হলে, ∠AXB -এর মান বৃত্তস্থ কোন সম্পর্কিত উপপাদ্য

(a) 56°

(b) 86°

(d) 28°

উত্তরঃ সঠিক নির্বাচনটি হবে (b) 86°

ব্যাখ্যা :

Support Me

koshe dekhi 7.2 class 10

Q12. অতি সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)

(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q.) :

(v) পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র এবং AB ব্যাস। AB ∥ CD. ∠ABC = 25° হলে, ∠CED -এর মান বৃত্তস্থ কোন সম্পর্কিত উপপাদ্য

(a) 80°

(b) 50°

(d) 40°

উত্তরঃ সঠিক নির্বাচনটি হবে (d) 40°

ব্যাখ্যা :

B, E ও A, E যুক্ত করা হলো।

যেহেতু, AB ∥ CD এবং CB ভেদক।

∴ ∠ABC = ∠BCD [একান্তর কোণ]

অর্থাৎ, ∠BCD = 25° [যেহেতু, ∠ABC = 25°]

এখন, ∠BCD = ∠BED [একই বৃত্ত্যাংশস্থ কোণ]

∴ ∠BED = 25° [যেহেতু, ∠BCD = 25°]

একইভাবে, ∠ABC = ∠AEC [একই বৃত্ত্যাংশস্থ কোণ]

∴ ∠AEC = 25° [যেহেতু, ∠ABC = 25°]

আবার, যেহেতু, AB হলো ব্যাস এবং E বৃত্তের উপরে অবস্থিত যে কোনো একটি বিন্দু।

∴ ∠AEB = 90° [অর্ধবৃত্তস্থ কোণ]

এখন, ∠CED = ∠AEB − (∠AEC + ∠BED)

বা, ∠CED = 90° − (25° + 25°)

∴ ∠CED = 40° …….(d) (উত্তর)

koshe dekhi 7.2 class 10

12 (B) সত্য বা মিথ্যা লিখি :

(i) পাশের চিত্রে AD ও BE যথাক্রমে ABC ত্রিভুজের BC ও AC বাহুর উপর লম্ব। A, B, D, E বিন্দু চারটি সমবৃত্তস্থ। বৃত্তস্থ কোন সম্পর্কিত উপপাদ্য

উত্তরঃ প্রদত্ত বিবৃতিটি সত্য।

ব্যাখ্যা :

যেহেতু, AD ⊥ BC এবং AE ⊥ AC

∴ ∠ABC = 90° এবং ∠AEB = 90°

এখন, যেহেতু ∠ABC = ∠AEB

∴ ∠ABC ও ∠AEB কোণ দুটিকে আমরা বলতে পারি সমবৃত্তস্থ কোণ এবং AB হলো বৃত্তটির ব্যাস।

সুতরাং, এটা প্রমাণিত হলো যে, A, B, D, E বিন্দু চারটি একই বৃত্তের উপরে অবস্থিত অর্থাৎ সমবৃত্তস্থ।

Support Me

12 (B) সত্য বা মিথ্যা লিখি :

(ii) ABC ত্রিভুজের AB = AC ; BE ও CF যথাক্রমে ∠ABC ও ∠ACB -এর সমদ্বিখণ্ডক এবং AC ও AB বাহুকে যথাক্রমে E ও F বিন্দুতে ছেদ করে। B, C, E, F বিন্দু চারটি সমবৃত্তস্থ নয়।

উত্তরঃ প্রদত্ত বিবৃতিটি মিথ্যা।

ব্যাখ্যা :

যেহেতু ΔABC -এর AB = AC

∠ACB = ∠ABC [ত্রিভুজের যে দুটি বাহু সমান তাদের বিপরীত কোণগুলি সমান হয়]

বা, 2 ∠BCF = 2 ∠CBE [CF ও BE যথাক্রমে ∠ACB ও ∠ABC -এর সমদ্বিখণ্ডক]

∴ ∠BCF = ∠CBE

এখন, ΔBCF ও ΔCBE -এর থেকে পাই,

∠BCF = ∠CBE

∠CBF = ∠BCE

সুতরাং, অবশিষ্ট ∠BFC = অবশিষ্ট ∠BEC

এখন, যেহেতু আমরা পেলাম ∠BFC = ∠BEC

∴ বলা যায় যে, ∠BFC ও ∠BEC কোণ দুটি হলো সমবৃত্তস্থ।

সুতরাং, B, C, E, F বিন্দু চারটি একই বৃত্তের উপর অবস্থিত হবে অর্থাৎ সমবৃত্তস্থ ।

koshe dekhi 7.2 class 10

12 (C) শূন্যস্থান পূরণ করি :

(i) একই বৃত্তাংশস্থ বৃত্তস্থ কোণ _______।

উত্তরঃ একই বৃত্তাংশস্থ বৃত্তস্থ কোণ সমান।

12 (C) শূন্যস্থান পূরণ করি :

(ii) দুটি বিন্দুর সংযোজক সরলরেখাংশ তার একই পার্শ্বে অপর দুটি বিন্দুতে সমান সম্মুখ কোণ উৎপন্ন করলে বিন্দু চারটি _______ হবে।

উত্তরঃ দুটি বিন্দুর সংযোজক সরলরেখাংশ তার একই পার্শ্বে অপর দুটি বিন্দুতে সমান সম্মুখ কোণ উৎপন্ন করলে বিন্দু চারটি সমবৃত্তস্থ হবে।

12 (C) শূন্যস্থান পূরণ করি :

(iii) একই বৃত্তে দুটি চাপ দ্বারা উৎপন্ন বৃত্তস্থ কোণ দুটি সমান হলে চাপ দুটির দৈর্ঘ্য _______।

উত্তরঃ একই বৃত্তে দুটি চাপ দ্বারা উৎপন্ন বৃত্তস্থ কোণ দুটি সমান হলে চাপ দুটির দৈর্ঘ্য সমান হবে ।

koshe dekhi 7.2 class 10

Q13. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)

(i) পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র, AC ব্যাস এবং জ্যা DE ও ব্যাস AC সমান্তরাল। ∠CBD = 60° হলে, ∠CDE -এর মান নির্ণয় করি। বৃত্তস্থ কোন সম্পর্কিত উপপাদ্য

উত্তরঃ ∠CDE = 30°

ব্যাখ্যাঃ

A, B যুক্ত হলো।

এখন, ∠ABC = 90° [অর্ধবৃত্তস্থ কোণ]

সুতরাং, ∠ABD = ∠ABC − ∠CBD

বা, ∠ABD = 90° − 60°

∴ ∠ABD = 30°

আবার, ∠ABD = ∠ACD [একই বৃত্ত্যাংশস্থ কোণ]

∴ ∠ACD = 30°

এখন, যেহেতু AC ∥ DE এবং CD ভেদক।

∴ ∠ACD = ∠CDE [একান্তর কোণ]

অর্থাৎ, ∠CDE = 30° [যেহেতু, ∠ACD = 30°] (উত্তর)

koshe dekhi 7.2 class 10

Q13. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)

(ii) পাশের চিত্রে ∠PQR -এর সমদ্বিখণ্ডক QS; ∠SQR = 35° এবং ∠PRQ = 32° হলে , ∠QSR -এর মান নির্ণয় করি। বৃত্তস্থ কোন সম্পর্কিত উপপাদ্য

উত্তরঃ ∠QSR = 78°

ব্যাখ্যাঃ

∠PQR = 2 ∠SQR [যেহেতু ∠PQR -এর সমদ্বিখণ্ডক QS]

বা, ∠PQR = 2 × 35°

∴ ∠PQR = 70°

এখন, ΔPQR -এর

∠QPR = 180° − (∠PQR + ∠PRQ)

বা, ∠QPR = 180° − (70° + 32°)

∴ ∠QPR = 78°

আবার, ∠QPR = ∠QSR [একই বৃত্ত্যাংশস্থ কোণ]

∴ ∠QSR = 78° …… (উত্তর)

koshe dekhi 7.2 class 10

Q13. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)

(iii) পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র এবং AB ব্যাস। AB ও CD পরস্পর লম্ব এবং ∠ADC = 50° ; ∠CAD -এর মান নির্ণয় করি। বৃত্তস্থ কোন সম্পর্কিত উপপাদ্য

উত্তরঃ ∠CAD = 80°

ব্যাখ্যাঃ ধরা যাক, AB ও CD জ্যা দুটি পরপস্পরকে P বিন্দুতে ছেদ করেছে।

∠ADC = ∠ABC [একই বৃত্ত্যাংশস্থ কোণ]

∴ ∠ABC = 50° [যেহেতু ∠ADC = 50°]

আবার, ∠ACB = 90° [অর্ধবৃত্তস্থ কোণ]

এখন, ΔABC -এর

∠CAB = 180° − (∠ACB + ∠ABC)

বা, ∠CAB = 180° − (90° + 50°)

∴ ∠CAB = 40°

আবার, ∠APD = 90° [যেহেতু AB ও CD পরস্পর P বিন্দুতে লম্ব]

এখন, ΔAPD -এর

∠DAP = 180° − (∠APD + ∠ADC)

বা, ∠DAB = 180° − (90° + 50°)

∴ ∠DAB = 40°

এখন, ∠CAD = ∠CAB + ∠DAB

বা, ∠CAD = 40° + 40°

∴ ∠CAD = 80° …….. (উত্তর)

koshe dekhi 7.2 class 10

Q13. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)

(iv) পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র এবং AB = AC; ∠ABC = 32° হলে, ∠BDC -এর মান নির্ণয় করি। বৃত্তস্থ কোন সম্পর্কিত উপপাদ্য

উত্তরঃ ∠BDC = 64°

ব্যাখ্যাঃ ΔABC -এর AB = AC

∴ ∠ABC = ∠ACB [কোনো ত্রিভুজের যে দুটি বাহু সমান তাদের বিপরীত কোণগুলি সমান হয়]

সুতরাং, ∠ACB = 32° [যেহেতু ∠ABC = 32°]

এখন, ∠ADB = ∠ACB = 32° [একই বৃত্ত্যাংশস্থ কোণ]

এবং ∠ADC = ∠ABC = 32° [একই বৃত্ত্যাংশস্থ কোণ]

সুতরাং, ∠BDC = ∠ADC + ∠ADB

বা, ∠BDC = 32° + 32°

∴ ∠BDC = 64° …….. (উত্তর)

Q13. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)

(v) পাশের চিত্রে BX ও CY যথাক্রমে ∠ABC ও ∠ACB -এর সমদ্বিখণ্ডক। AB = AC এবং BY = 4 সেমি. হলে, AX -এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি। বৃত্তস্থ কোন সম্পর্কিত উপপাদ্য

উত্তরঃ AX -এর দৈর্ঘ্য 4 সেমি।

ব্যাখ্যাঃ যেহেতু ΔABC -এর AB = AC

∴ ∠ABC = ∠ACB [কোনো ত্রিভুজের যে দুটি বাহু সমান তাদের বিপরীত কোণগুলি সমান হয়]

আবার, যেহেতু BX হলো ∠ABC -এর সমদ্বিখণ্ডক।

∴ ∠ABC = 2 ∠ABX …… (i)

একইভাবে, ∠ACB = 2 ∠BCY …… (ii)

আবার, যেহেতু ∠ABC = ∠ACB

বা, 2 ∠ABX = 2 ∠BCY [(i) ও (ii) নং সমীকরণ দুটি থেকে পেলাম]

∴ ∠ABX = ∠BCY

এখন, যেহেতু AX ও BY উপচাপ দুটি দ্বারা গঠিত দুটি বৃত্তস্থ কোণ হলো যথাক্রমে ∠ABX ও ∠BCY যারা পরপস্পর সমান।

∴ AX = BY

সুতরাং, AX = 4 সেমি [যেহেতু BY = 4 সেমি] …….. (উত্তর)