Q1. পাশের ছবির PQRS বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে X বিন্দুতে এমনভাবে ছেদ করেছে যে  ∠PRS = 65°   এবং  ∠RQS = 45°; ∠SQP  ও  ∠RSP -এর মান হিসাব করে লিখি।

উত্তর : ∠SQP = 45°  এবং  ∠RSP = 90°

সমাধানঃ

উত্তর : ∠BAC = 35°

সমাধানঃ

উত্তর : ∠RQS = 40° ও ∠QTR = 25°

সমাধানঃ

সমাধানঃ

সমাধানঃ

সমাধানঃ

সমাধানঃ

সমাধানঃ

সমাধানঃ

বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ ABCD -এর ∠BDC -এর বহির্দ্বিখণ্ডক DE জ্যা। 

প্রমাণ করতে হবে যে, AE  হলো ∠BAC -এর বহির্দ্বিখণ্ডক।

অঙ্কনঃ CD কে Y পর্যন্ত এবং BA কে  X  পর্যন্ত বর্ধিত করা হল।

প্রমাণঃ বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ AEDB থেকে পাই,

∠EAX = ∠EDB — (i) [যেহেতু, বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বহিঃস্থ কোন বিপরীত অন্তঃস্থ কোনের সমান]

আবার যেহেতু, ED হলো ∠BDC -এর বহির্দ্বিখণ্ডক। 

∴ ∠EDB = ∠EDY —- (ii)

এখন (i) ও (ii) নং সমীকরণ তুলনা করে পাই,

∠EAX  = ∠EDY —-(iii)

আবার, বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ ACDE থেকে পাই,

∠EDY = ∠EAC —- (iv) [যেহেতু, বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বহিঃস্থ কোন বিপরীত অন্তঃস্থ কোনের সমান]

(iii) ও (iv) নং সমীকরণ তুলনা করে পাই,

∠EAX = ∠EAC

অর্থাৎ, EA, ∠BAC -এর বহির্দ্বিখণ্ডক।(প্রমানিত)

সমাধানঃ

ABC ত্রিভুজের AC ও AB বাহুর উপর BE ও CF লম্ব।

প্রমাণ করতে হবে যে, B, C, E, F বিন্দু সমবৃত্তস্থ। অতঃপর প্রমাণ করতে হবে যে, ΔAEF  ও ΔABC -এর দুটি করে কোণ সমান।

অঙ্কনঃ E, F যুক্ত করা হল।

প্রমাণঃ যেহেতু, BE ⊥ AC, CF ⊥ AB [দেওয়া আছে]

∴ ∠BFC = 90°, ∠BEC = 90°

এখন, ∠BFE + ∠BCE = ∠BFC + ∠CFE + ∠BCF + ∠ECF

বা, ∠BFE + ∠BCE = 90° + ∠CFE + (90° – ∠CBF) + ∠ECF [∵ ∠BCF = 90° – ∠CBF]

বা, ∠BFE + ∠BCE = 180° + ∠CFE – (∠FBE + ∠CBE) + ∠ECF [∵ ∠CBF = ∠FBE + ∠CBE]

বা, ∠BFE + ∠BCE = 180° + ∠CFE – ∠FBE – ∠CBE + ∠ECF

বা, ∠BFE + ∠BCE = 180° [∵ ∠CFE = ∠CBE, ∠FBE = ∠ECF]

∴ BCEF বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ।

∴ B, C, E, F বিন্দু চারটি সমবৃত্তস্থ।

আবার, ∵ BCEF বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের

বহিঃস্থ কোণ ∠FEA = অন্তস্থ বিপরীত ∠CBF এবং

বহিঃস্থ কোণ ∠AFE = অন্তস্থ বিপরীত ∠BCE

∴ △AEF ও △ABC -এর

∠FEA = ∠CBA  এবং  ∠AFE = ∠BCA

∴ △AEF ও △ABC -এর দুটি করে কোণ সমান। (প্রমানিত)

সমাধানঃ

ABCD সামান্তরিকের A ও B বিন্দুগামী একটি বৃত্ত AD ও BC কে যথাক্রমে E ও F বিন্দুতে ছেদ করেছে।

প্রমাণ করতে হবে যে, E, F, C, D সমবৃত্তস্থ।

অঙ্কনঃ E, F যুক্ত করা হল।

প্রমাণঃ যেহেতু  ABFE বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ।

∴ ∠BAE + ∠BFE = 180°  —— (i) [বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণ দুটির যোগফল 180°]

আবার, BC বাহুর ওপর F বিন্দুতে EF দন্ডায়মান 

∴ ∠BFE + ∠EFC = 180° —— (ii)

এখন, (i) ও (ii) নং সমীকরণ থেকে পাই –

∠BAE + ∠BFE = ∠BFE + ∠EFC

অর্থাৎ, ∠BAE = ∠EFC —— (iii)

আবার, যেহেতু  ABCD সামন্তরিক 

∴ ∠BAD + ∠ADC = 180°

বা, ∠BAE + ∠EDC = 180° [∵ ∠BAD = ∠BAE (একই কোণ); ∠ADC = ∠EDC (একই কোণ)]

বা, ∠EFC + ∠EDC = 180° [(iii) নং সমীকরণ অনুসারে]

এখন, আমরা যা পেলাম, DEFC চতুর্ভুজের

∠EFC + ∠EDC = 180°

∴ EFCD একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ।

∴ E, F, C, D বিন্দু চারটি সমবৃত্তস্থ।(প্রমানিত)

সমাধানঃ

ABCD একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ যার AB ও DC বাহু দুটিকে বর্ধিত করলে তারা P বিন্দুতে এবং AD ও BC বাহু দুটিকে বর্ধিত করলে তারা R বিন্দুতে ছেদ করে। ΔBCP ও ΔCDR -এর পরিবৃত্তদ্বয় T বিন্দুতে ছেদ করে।

প্রমাণ করতে হবে যে, P, T, R বিন্দু তিনটি সমরেখ।

অঙ্কনঃ P, T; C, T  ও  R, T যুক্ত করা হল।

প্রমাণঃ যেহেতু AR বাহুর ওপর D বিন্দুতে DC দন্ডায়মান 

∴ ∠RDC + ∠ADC = 180° —- (i)

আবার, ∵ DCTR বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ।

∴ ∠RTC + ∠RDC = 180° —- (ii) [বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণ দুটির যোগফল 180°]

এখন, (i) ও (ii) নং সমীকরণ থেকে পাই –

∴ ∠RTC + ∠RDC = ∠RDC + ∠ADC

∴ ∠RTC = ∠ADC —– (iii)

যেহেতু AP বাহুর ওপর B বিন্দুতে BC দন্ডায়মান 

∴ ∠PBC + ∠ABC = 180° —- (iv)

আবার, ∵ BCTP বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ 

∴ ∠PBC + ∠PTC = 180° —– (v) [বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণ দুটির যোগফল 180°]

এখন, (iv) ও (v) নং সমীকরণ থেকে পাই –

∠PBC + ∠ABC = ∠PBC + ∠PTC

∴ ∠PTC = ∠ABC ——- (vi)

এখন, (iii) ও (vi) নং সমীকরণ যোগ করে পাই –

∠RTC + ∠PTC = ∠ADC + ∠ABC

∴ ∠RTC + ∠PTC = 180° [∵ ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের ∠ADC ও  ∠ABC হলো দুটি বিপরীত কোণ]

এখন, আমরা যা পেলাম ∠PTC ও ∠RTC কোণ দুটির যোগফল 180° এবং একটি সাধারণ বাহু হলো CT.

∴ PT ও TR একই সরলরেখায় অবস্থিত।

P, T, R সমরেখ।(প্রমানিত)

সমাধানঃ

ধরি, ΔABC -এর A, B ও C বিন্দু তিনটি দিয়ে তাদের বিপরীত বাহুর ওপর অঙ্কিত লম্ব তিনটি হলো যথাক্রমে AD, BE ও CF যারা পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করেছে। D, E; E, F; F, D যোগ করা হল।

প্রমাণ করতে হবে যে, O বিন্দুটি পাদত্রিভুজ ΔDEF -এর অন্তঃকেন্দ্র।

প্রমাণঃ যেহেতু আমরা জানি, কোনো সূক্ষকোণী ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুগুলি থেকে তার বিপরীত বাহুর ওপর লম্ব অঙ্কন করলে তা পাদত্রিভুজের কোনগুলিকে সমদ্বিখন্ডিত করে। 

সুতরাং, ∠FDE -এর অন্তঃসমদ্বিখণ্ডক  হলো AD, ∠DFE -এর অন্তঃসমদ্বিখণ্ডক  হলো CF এবং ∠DEF -এর অন্তঃসমদ্বিখণ্ডক  হলো BE.

আবার, আমরা জানি যে, কোনো ত্রিভুজের কোনগুলির অন্তঃসমদ্বিখণ্ডকগুলি সমবিন্দু হয় এবং সেই নিদৃষ্ট বিন্দুটি হলো অন্তঃকেন্দ্র। 

∴ পাদত্রিভুজ ΔDEF -এর অন্তঃকেন্দ্র হলো O. (প্রমানিত)

সমাধানঃ

ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের AC, ∠BAD -এর  অন্তঃসমদ্বিখণ্ডক। AD কে E বিন্দু পর্যন্ত এমনভাবে বর্ধিত করা হলো যাতে DE = AB হয়।

প্রমাণ করতে হবে যে, CE = CA

অঙ্কনঃ B, D যুক্ত করা হল।

প্রমাণঃ যেহেতু BC উপচাপ দ্বারা গঠিত দুটি বৃত্তস্থ কোণ হলো ∠BAC ও ∠BDC.

∴ ∠BAC = ∠BDC  —- (i) [একই বৃত্যাংশস্থ সকল কোণের মান সমান হয়]

একইভাবে, যেহেতু DC উপচাপ দ্বারা গঠিত দুটি বৃত্তস্থ কোণ হলো ∠CAD ও ∠DBC.

∴ ∠CAD = ∠DBC —- (ii) [একই বৃত্যাংশস্থ সকল কোণের মান সমান হয়]

আবার, ∠BAC = ∠CAD [∵ প্রদত্ত আছে AC, ∠BAD -এর সমদ্বিখণ্ডক]

সুতরাং, ∠BDC = ∠DBC [(i) ও (ii) নং সমীকরণ ব্যবহার করে পেলাম]

এখন, আমরা যা পেলাম, ΔBDC -এর ∠BDC = ∠DBC

∴ BC = CD —– (iii)

আবার, যেহেতু AE সরলরেখাংশের ওপর D বিন্দুতে DE দন্ডায়মান 

∴ ∠CDE + ∠ADC = 180° —– (iv)

আবার, ∠ADC + ∠ABC = 180°  —- (v) [∵ ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভূজ]

এখন, (iv) ও (v) নং সমীকরণ দুটি থেকে লেখা যায় –

∠CDE + ∠ADC = ∠ADC + ∠ABC

∴ ∠CDE = ∠ABC —- (vi) 

এখন, ΔCED ও ΔABC থেকে পাই –

DE = AB [প্রদত্ত আছে]

∠CDE = ∠ABC [(vi) নং সমীকরণ অনুসারে]

এবং CD = BC  [(iii) নং সমীকরণ অনুসারে]

∴ ΔCED ≅ ΔABC [‘S-A-S’ সর্বসমতার সূত্রানুসারে]

সুতরাং, CE = CA [সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ বাহুদ্বয়] (প্রমানিত)

সমাধানঃ

দুটি বৃত্তের মধ্যে একটি বৃত্ত অপর বৃত্তের কেন্দ্র O বিন্দুগামী। বৃত্ত দুটি পরস্পরকে A ও B বিন্দুতে ছেদ করেছে। A বিন্দুগামী একটি সরলরেখা O বিন্দুগামী বৃত্তকে P বিন্দুতে এবং O কেন্দ্রীয় বৃত্তকে R বিন্দুতে ছেদ করেছে। P, B ও R, B যুক্ত করা হলো। 

প্রমাণ করতে হবে যে, PR = PB

অঙ্কনঃ B, R; B, P; B, O; O, R এবং A, O যুক্ত করা হল।

প্রমাণঃ  যেহেতু AB চাপের উপর ∠AOB হলো কেন্দ্রস্থ কোণ ও ∠ARB হলো বৃত্তস্থ কোণ।

∴ ∠AOB = 2∠ARB

আবার, যেহেতু  AOBP বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ।

∴ ∠AOB + ∠APB = 180°

বা, 2∠ARB + ∠APB = 180° ………(i)

আবার △BPR -এর

∠BRP + ∠RPB + ∠PBR = 180° ………(ii)

(i) নং ও (ii) নং থেকে পাই,

2∠ARB + ∠APB = ∠BRP + ∠RPB + ∠PBR

বা, 2∠BRP + ∠RPB = ∠BRP + ∠RPB + ∠PBR [∠ARB = ∠BRP; ∠APB = ∠RPB]

বা, ∠BRP = ∠PBR

সুতরাং, আমরা পেলাম ΔPBR -এর  ∠BRP = ∠PBR

∴ PR = PB  (প্রমাণিত)

সমাধানঃ

ধরি, ABCDE একটি সুষম পঞ্চভুজ।

প্রমাণ করতে হবে যে, ABCDE এর যেকোনো চারটি শীর্ষবিন্দু সমবৃত্তস্থ।

অঙ্কনঃ  A, C; B, D; E, C এবং E, B যুক্ত করা হল।

প্রমাণঃ  যেহেতু, ABCDE একটি পঞ্চভুজ।

∴ ΔABC, ΔACE ও ΔEBD সমবাহু ত্রিভুজ।

অর্থাৎ, ∠BAC = ∠EAC = ∠EDB = 60°

এখন, যেহেতু  ABDE চতুর্ভুজের

∠BAE + ∠EDB = ∠BAC + ∠EAC + ∠EDB

বা, ∠BAE + ∠EDB = 60° + 60° + 60°

বা, ∠BAE + ∠EDB = 180°

∴ ABDE বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ।

∴ A, B, D, E সমবৃত্তস্থ।

সুতরাং, সুষম পঞ্চভুজের যে-কোনো চারটি শীর্ষবিন্দু সমবৃত্তস্থ। (প্রমাণিত)

(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q.):

(i) পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র এবং AB ব্যাস। ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ। ∠ADC = 120° হলে,  ∠BAC -এর মান

(a) 50°

(b) 60°

(c) 30°

(d) 40°

উত্তর : ∠BAC = 30° —- (c)

ব্যাখ্যাঃ যেহেতু ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণ দুটি হলো ∠ADC  ও  ∠ABC

∴ ∠ABC + ∠ADC = 180° [বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণ দুটির যোগফল 180°]

বা, ∠ABC + 120° = 180°  [∵ ∠ADC = 120°]

বা, ∠ABC = 180° – 120°

∴ ∠ABC = 60° —- (i)

 

আবার, যেহেতু AB হলো বৃত্তটির ব্যাস এবং C হলো বৃত্তের ওপর অবস্থিত যেকোনো একটি বিন্দু।

∴ ∠ACB = 90° —- (ii) [অর্ধবৃত্তস্থ কোণ]

 

এখন, ΔABC -এর থেকে পাই –

∠ABC + ∠ACB + ∠BAC = 180° [ত্রিভুজের তিনটি কোণের যোগফল 180°]

বা, 60° + 90° + ∠BAC = 180° [(i) ও (ii) নং সমীকরণ ব্যবহার করলাম]

বা, ∠BAC = 180° – (90° + 60°)

বা, ∠BAC = 180° – 150°

∴ ∠BAC = 30° (উত্তর)

(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q.):

(ii) পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র এবং AB ব্যাস। ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ। ∠ABC = 65°, ∠DAC = 40° হলে, ∠BCD -এর মান

(a) 75°

(b) 105°

(c) 115°

(d) 80°

উত্তর : ∠BCD = 115°  —- (c)

ব্যাখ্যাঃ যেহেতু AB হলো বৃত্তটির ব্যাস এবং C হলো বৃত্তের ওপর অবস্থিত যেকোনো একটি বিন্দু।

∴ ∠ACB = 90° [অর্ধবৃত্তস্থ কোণ]

 

এখন, ΔABC -এর থেকে পাই –

∠ACB + ∠ABC + ∠BAC = 180° [ত্রিভুজের তিনটি কোণের যোগফল 180°]

বা, 90° + 65° + ∠BAC = 180° [∠ACB = 90°; ∠ABC = 65°]

বা, ∠BAC = 180° – (90° + 65°)

বা, ∠BAC = 180° – 155°

∴ ∠BAC = 25°

 

এখন, ∠BAD = ∠BAC + ∠DAC 

বা, ∠BAD = 25° + 40° [∠DAC = 40°; ∠BAC = 25°]

∴ ∠BAD = 65°

 

আবার, যেহেতু ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণ দুটি হলো ∠BCD  ও  ∠BAD

∴ ∠BCD + ∠BAD = 180° [বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণ দুটির যোগফল 180°]

বা, ∠BCD + 65° = 180°  [∵ ∠BAD = 65°]

বা, ∠BCD = 180° – 65°

∴ ∠BCD = 115° (উত্তর)

(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q.):

(iii) পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র এবং AB বৃত্তের ব্যাস। ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ যার AB || DC এবং ∠BAC = 25°  হলে, ∠DAC -এর মান

(a) 50°

(b) 25°

(c) 130°

(d) 40°

উত্তর : ∠DAC = 40° —- (d)

ব্যাখ্যাঃ যেহেতু AB হলো বৃত্তটির ব্যাস এবং C হলো বৃত্তের ওপর অবস্থিত যেকোনো একটি বিন্দু।

∴ ∠ACB = 90° [অর্ধবৃত্তস্থ কোণ]

 

আবার, যেহেতু  AB || DC এবং AC ভেদক 

∴ ∠BAC = ∠ACD [একান্তর কোণ]

অর্থাৎ, ∠ACD = 25° [∵ ∠BAC = 25°]

 

এখন, ∠BCD = ∠ACB + ∠ACD

বা, ∠BCD = 90° + 25° [∠ACB = 90°; ∠ACD = 25°]

∴ ∠BCD = 115°

 

আবার, যেহেতু ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণ দুটি হলো ∠BCD  ও  ∠BAD

∴ ∠BCD + ∠BAD = 180° [বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণ দুটির যোগফল 180°]

বা, (∠DAC + ∠BAC) + ∠BAD = 180°

বা, ∠DAC + 25° + 115° = 180° [∵ ∠BAC = 25°; ∠BCD = 115°]

∴ ∠DAC  = 40° (উত্তর)

(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q.):

(iv) পাশের চিত্রে ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ। BA -কে F বিন্দু পর্যন্ত বর্ধিত করা হলো। AE || CD, ∠ABC = 92° এবং  ∠FAE = 20°  হলে, ∠BCD -এর মান

(a) 20°

(b) 88°

(c) 108°

(d) 72°

উত্তর : ∠BCD = 108° —- (c)

ব্যাখ্যাঃ যেহেতু ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণ দুটি হলো ∠ABC ও ∠ADC

∴ ∠ABC + ∠ADC = 180° [বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণ দুটির যোগফল 180°]

বা, ∠ADC + 92° = 180° [∵ ∠ADC = 92° ]

বা, ∠ADC = 180° – 92°

∴ ∠ADC = 88°

 

আবার, যেহেতু AE ∥ CD এবং AD ভেদক

∴ ∠ADC = একান্তর ∠DAE = 88°

এখন, ∠DAF = 88° + 20° = 108°

যেহেতু ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বহিঃস্থ ∠DAF = অন্তস্থ বিপরীত ∠BCD

∴ ∠BCD = 108°  (উত্তর)

(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q.):

(v) পাশের চিত্রে দুটি বৃত্ত পরস্পরকে C ও D বিন্দুতে ছেদ করে। D ও C বিন্দুগামী দুটি সরলরেখা একটি বৃত্তকে যথাক্রমে A ও B বিন্দুতে এবং অপর বৃত্তকে E ও F বিন্দুতে ছেদ করে। ∠DAB = 75°  হলে, ∠DEF -এর মান

(a) 75°

(b) 70°

(c) 60°

(d) 105°

উত্তর : ∠DEF = 105° —– (d)

ব্যাখ্যাঃ

C, D যুক্ত করা হল।

এখন, যেহেতু ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণ দুটি হলো ∠DAB ও ∠BCD 

∴ ∠DAB + ∠BCD = 180° [বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণ দুটির যোগফল 180°]

বা, 75° + ∠BCD = 180° [∵ ∠DAB = 75° ]

বা, ∠BCD = 180° – 75°

∴ ∠BCD = 105°

 

আবার, যেহেতু DCFE বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বহিঃস্থ ∠BCD = অন্তস্থ বিপরীত ∠DEF 

∴ ∠DEF = 105° (উত্তর)

(i) একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণ পরস্পর পূরক।

উত্তর : বিবৃতিটি মিথ্যা। 

Note : বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোনগুলো পরপস্পর সম্পূরক। 

17 (B) সত্য / মিথ্যা লিখি :

(ii) একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের একটি বাহুকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ বিপরীত অন্তঃস্থ কোণের সমান হয়।

উত্তর : বিবৃতিটি সত্য। 

(i) একটি চতুর্ভুজের বিপরীত কোণদ্বয় পরস্পর সম্পূরক হলে চতুর্ভুজের শীর্ষবিন্দুগুলি ________।

উত্তর : একটি চতুর্ভুজের বিপরীত কোণদ্বয় পরস্পর সম্পূরক হলে চতুর্ভুজের শীর্ষবিন্দুগুলি সমবৃত্তস্থ।

17(C) শূন্যস্থান পূরণ করি :

(ii) একটি বৃত্তস্থ সামান্তরিক একটি __________ চিত্র।

উত্তর : একটি বৃত্তস্থ সামান্তরিক একটি আয়তকার চিত্র।

17(C) শূন্যস্থান পূরণ করি :

(iii) একটি বর্গাকার চিত্রের শীর্ষবিন্দুগুলি __________।

উত্তর : একটি বর্গাকার চিত্রের শীর্ষবিন্দুগুলি সমবৃত্তস্থ।

(i) পাশের চিত্রে P ও Q কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তদুটি B ও C বিন্দুতে ছেদ করেছে। ACD একটি সরলরেখাংশ। ∠ARB = 150°, ∠BQD = x°  হলে,  x -এর মান নির্ণয় করি।

উত্তর : x -এর মান 60°

ব্যাখ্যাঃ যেহেতু ARBC বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বহিঃস্থ ∠BCD = অন্তস্থ বিপরীত ∠ARB  

∴ ∠BCD = 150° [∵ ∠ARB = 150° (প্রদত্ত)]

 

আবার, BD বৃত্তচাপের দ্বারা গঠিত সম্মুখ কেন্দ্রস্থ কোণ প্রবৃদ্ধ ∠BQD ও বৃত্তস্থ কোণ ∠BCD

∴ প্রবৃদ্ধ ∠BQD = 2∠BCD

বা, প্রবৃদ্ধ ∠BQD = 2 × 150° [∵ ∠BCD = 150°]

∴ প্রবৃদ্ধ ∠BQD = 300°

এখন, ∠BQD = 360° – প্রবৃদ্ধ ∠BQD

বা, ∠BQD = 360° – 300°

∴ x = 60° (উত্তর)

(ii) পাশের চিত্রে দুটি বৃত্ত পরস্পর P ও Q বিন্দুতে ছেদ করে।  ∠QAD = 80°  এবং ∠PDA = 84°  হলে,  ∠QBC  ও  ∠BCP -এর মান নির্ণয় করি।

উত্তর : ∠QBC = 100° এবং ∠BCP = 96°

ব্যাখ্যাঃ যেহেতু AQPD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণ দুটি হলো ∠PDA ও ∠AQP

∴ ∠PDA + ∠AQP = 180° [বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণ দুটির যোগফল 180°]

বা, 84° + ∠AQP = 180° [∵ ∠PDA = 84° (প্রদত্ত)]

বা, ∠AQP = 180° – 84° 

∴ ∠AQP = 96°

 

আবার, BCPQ বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বহিঃস্থ ∠AQP = অন্তস্থ বিপরীত ∠BCP

∴ ∠BCP = 96° [যেহেতু, ∠AQP = 96°] (উত্তর)

 

আবার, যেহেতু AQPD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণ দুটি হলো ∠QAD ও ∠DPQ

∴ ∠QAD + ∠DPQ  = 180° [বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণ দুটির যোগফল 180°]

বা, 80° + ∠DPQ = 180° [∵ ∠QAD = 80° (প্রদত্ত)]

বা, ∠DPQ  = 180° – 80° 

∴ ∠DPQ  = 100°

 

আবার, BCPQ বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বহিঃস্থ ∠DPQ = অন্তস্থ বিপরীত ∠QBC

∴ ∠QBC = 100° [যেহেতু, ∠DPQ = 100°] (উত্তর)

(iii) পাশের চিত্রে, ∠BAD = 60°, ∠ABC = 80°  হলে,  ∠DPC  এবং ∠BQC -এর মান নির্ণয় করি।

উত্তর : ∠DPC = 40° এবং ∠BQC = 20°

ব্যাখ্যাঃ যেহেতু, ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণ দুটি হলো ∠ABC ও ∠ADC

∴ ∠ABC + ∠ADC = 180° [বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণ দুটির যোগফল 180°]

বা, ∠ADC = 180° – 80°  [∵ ∠ABC = 80° (প্রদত্ত)]

∴ ∠ADC  = 100° —- (i)

 

এখন, ΔABP থেকে পাই –

∠APC + ∠PAB + ∠PBA = 180° [যেহেতু, ত্রিভুজের তিনটি কোণের যোগফল 180°]

বা, ∠BQC + ∠BAD + ∠ABC = 180° [∵ ∠APC = ∠DPC (একই কোণ); ∠PAB = ∠BAD (একই কোণ); ∠PBA = ∠ABC (একই কোণ)]

বা, ∠DPC + 60° + 80° = 180° [∠BAD = 60° ; ∠ABC = 80° (প্রদত্ত)]

বা, ∠DPC = 180° – (60° + 80°) 

∴ ∠DPC = 40°  (উত্তর)

 

একইভাবে, ΔADQ থেকে পাই –

∠AQD + ∠QAD + ∠ADQ = 180° [যেহেতু, ত্রিভুজের তিনটি কোণের যোগফল 180°]

বা, ∠BQC + ∠BAD + ∠ADC = 180° [∵ ∠AQD = ∠BQC (একই কোণ); ∠QAD = ∠BAD (একই কোণ); ∠ADQ = ∠ADC (একই কোণ)]

বা, ∠BQC + 60° + 100° = 180° [∠BAD = 60° ; ∠ADC = 100° (i) নং সমীকরণ অনুসারে]

বা, ∠BQC = 180° – (60° + 100°) 

∴ ∠BQC = 20°  (উত্তর)

(iv) পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র এবং AC ব্যাস। ∠AOB = 80°  এবং ∠ACE = 10° হলে, ∠BED -এর মান নির্ণয় করি।

উত্তর : ∠BED = 100°

ব্যাখ্যাঃ ∠BOC = 180° − ∠AOB [যেহেতু, AC হলো একটি সরলরেখাংশ]

বা, ∠BOC = 180° − 80°

∴ ∠BOC = 100°

এখন, ΔBOC -এর OB = OC [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]

∴ ∠OBC = ∠OCB [ত্রিভুজের যে দুটি বাহুর দৈর্ঘ্য সমান তাদের বিপরীত কোণ সমান]

∴

∴ ∠OCB = 40°

 

আবার, যেহেতু BC উপচাপ দ্বারা গঠিত সম্মুখ কেন্দ্রস্থ কোণ ∠BOC ও বৃত্তস্থ কোণ হলো ∠BEC.

∴ ∠BEC = ½ × ∠BOC

                = ½ × 100°

                = 50°

∴ ∠BEC = 50°

আবার, যেহেতু BE || CD এবং EC ভেদক 

∴ ∠BEC = একান্তর ∠DCE

অর্থাৎ, ∠DCE = 50° [যেহেতু, ∠BEC = 50°]

 

এখন, ∠BCD = ∠OCB + ∠ACE + ∠DCE

বা, ∠BCD = 40° + 10° + 50°

∴ ∠BCD = 100°

 

আবার, ∠BED = ∠BCD  [BCDE বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ]

∴ ∠BED = 100° (উত্তর)

(v) পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র এবং AB বৃত্তের ব্যাস। ∠AOD = 140°  এবং ∠CAB = 50°  হলে,  ∠BED -এর মান নির্ণয় করি।

উত্তর : ∠BED = 20°

ব্যাখ্যাঃ যেহেতু, ABD বৃত্তচাপ দ্বারা গঠিত সম্মুখ কেন্দ্রস্থ কোণ প্রবৃদ্ধ ∠AOD ও বৃত্তস্থ কোণ হলো ∠ACD.

∴ ∠ACD = ½ × প্রবৃদ্ধ ∠AOD

                = ½ × (360° − ∠AOD)

                = ½ × (360° − 140°)

                = 110°

∴ ∠ACD = 110° অর্থাৎ, ∠ACE = 110°

এখন, ΔACE -এর 

∠AEC = 180° − (∠ACE + ∠CAE)

বা, ∠AEC = 180° − (110° + 50°)

∴ ∠AEC = 20° অর্থাৎ, ∠BED = 20° (উত্তর)