Class 7 Koshe Dekhi 6.3

1. মনে মনে হিসাব করি :

(i) 3a × 4b = ___

সমাধানঃ

3a × 4b

= 12ab (উত্তর)

(ii) 12ab ÷ 3a = ____

সমাধানঃ

12ab ÷ 3a

= 4b (উত্তর)

(iii) 12ab ÷ ____ = 4ab

সমাধানঃ

12ab ÷ x = 4ab

বা, $x=\frac{4ab}{12ab}$

${\color{DarkGreen} \therefore x=\frac{1}{3}}$ (উত্তর)

(iv) (−x²) × x =____

সমাধানঃ

(−x²) × x

= −x³(উত্তর)

(v) 9x² ÷ 3x²= ____

সমাধানঃ

9x² ÷ 3x²

= 3 (উত্তর)

(vi) x² × x² = ____

সমাধানঃ

x² × x²

= x⁴(উত্তর)

(vii) x² × ____ = 1

সমাধানঃ

x² × ____ = 1

বা, x² × a = 1

${\color{DarkGreen} \therefore a=\frac{1}{x^{2}}}$ (উত্তর)

(viii) 0 ÷ ab = ____

সমাধানঃ

0 ÷ ab

= 0 (উত্তর)

(ix) 4a² b² c² × ____ = 0

সমাধানঃ

4a² b² c² × ____ = 0

বা, 4a² b² c² × x = 0

বা, $x=\frac{0}{4a^{2}b^{2}c^{2}}$

∴ x = 0 (উত্তর)

(x) 3ab ÷ ____ = a

সমাধানঃ

3ab ÷ ____ = a

বা, 3ab ÷ x = a

বা, $x=\frac{a}{3ab}$

${\color{DarkGreen} \therefore x=\frac{1}{3b}}$ (উত্তর)

(xi) x⁰ × y = ____

সমাধানঃ

x⁰ × y

= 1 × y

= y (উত্তর)

(xii) x ÷ 0 = ____

সমাধানঃ

x ÷ 0

= ∞ (উত্তর)

2. গুণ করি :

[প্রতিক্ষেত্রে বীজগাণিতিক সংখ্যা x, y, z, a, b, c, m, n, s, t ও u কারও মান শূন্য নয়।]

(a) 2x²× (−3y) × 6z

সমাধানঃ

2x²× (−3y) × 6z

= − 36x²yz (উত্তর)

(b) 7xy² × 8x² y × xy

সমাধানঃ

7xy² × 8x² y × xy

= 56x⁴ y⁴(উত্তর)

সমাধানঃ

(−3a²) × (4a² b) × (−2)

= 24a⁴b (উত্তর)

(d) ${\color{Blue} \left ( -2mn \right )\times \frac{1}{6}m^{2}n^{2}\times 13m^{4}n^{4}}$

সমাধানঃ

$\left ( -2mn \right )\times \frac{1}{6}m^{2}n^{2}\times 13m^{4}n^{4}$

${\color{DarkGreen} =-\frac{13}{3}m^{7}n^{7}}$ (উত্তর)

(e) ${\color{Blue} \frac{2}{3}x^{2}y\times \frac{3}{5}xy^{2}}$

সমাধানঃ

$\frac{2}{3}x^{2}y\times \frac{3}{5}xy^{2}$

${\color{DarkGreen} =\frac{2}{5}x^{3}y^{3}}$ (উত্তর)

(f) ${\color{Blue} \left ( -\frac{18}{5}x^{2}z \right )\times \left ( -\frac{25}{6}xz^{2}y \right )}$

সমাধানঃ

$\left ( -\frac{18}{5}x^{2}z \right )\times \left ( -\frac{25}{6}xz^{2}y \right )$

= 15x³ y z³(উত্তর)

(g) ${\color{Blue} \left ( -\frac{3}{5}s^{2}t \right )\times \left ( \frac{15}{7}st^{2}u \right )\times \left ( \frac{7}{9}su^{2} \right )}$

সমাধানঃ

$\left ( -\frac{3}{5}s^{2}t \right )\times \left ( \frac{15}{7}st^{2}u \right )\times \left ( \frac{7}{9}su^{2} \right )$

= − s⁴ t³u³(উত্তর)

(h) ${\color{Blue} \left ( \frac{4}{3}x^{2}yz \right )\times \left ( \frac{1}{3}y^{2}zx \right )\times \left ( -6xyz^{2} \right )}$

সমাধানঃ

$\left ( \frac{4}{3}x^{2}yz \right )\times \left ( \frac{1}{3}y^{2}zx \right )\times \left ( -6xyz^{2} \right )$

${\color{DarkGreen} =-\frac{8}{3}x^{4}y^{4}z^{4}}$ (উত্তর)

(i) 4a (3a + 7b)

সমাধানঃ

4a (3a + 7b)

= 12a² + 28ab (উত্তর)

(j) 8a² (2a + 5b)

সমাধানঃ

8a² (2a + 5b)

= 16a³ +40a²b (উত্তর)

(k) −17x² × (3x − 4)

সমাধানঃ

−17x² × (3x − 4)

= − 51x³+ 68x²(উত্তর)

(l) ${\color{Blue} \frac{2}{3}abc\left ( a^{2}+b^{2}-3c^{2} \right )}$

সমাধানঃ

$\frac{2}{3}abc\left ( a^{2}+b^{2}-3c^{2} \right )$

${\color{DarkGreen} =\frac{2}{3}a^{3}bc+\frac{2}{3}ab^{3}c-2abc^{3}}$ (উত্তর)

(m) 2 × 5x (10x²y − 100xy²)

সমাধানঃ

2 × 5x (10x²y − 100xy²)

= 100x³y − 1000x²y²(উত্তর)

(n) (2x + 3y) (5x − y)

সমাধানঃ

(2x + 3y) (5x − y)

= 10x² −2xy + 15xy −3y²

= 10x² + 13xy −3y²(উত্তর)

(o) (a² − b²) (2b − 6a)

সমাধানঃ

(a² − b²) (2b − 6a)

= 2a²b −6a³ −2b³ + 6ab²(উত্তর)

(p) (x + 2) (3x + 1)

সমাধানঃ

(x + 2) (3x + 1)

= 3x² + x + 6x + 2

= 3x² + 7x + 2 (উত্তর)

3. [ প্রতিক্ষেত্রে কোনাে বীজগাণিতিক সংখ্যার মান শূন্য নয়।]

(i) সীমা প্রতি সারিতে 3x টি চারাগাছ লাগিয়েছে। এইরকম 2x টি সারিতে সীমা কতগুলি চারাগাছ লাগিয়েছে হিসাব করি।

সমাধানঃ

প্রতি সারিতে চারাগাছ লাগিয়েছে 3x টি

∴ 2x টি সারিতে সীমা চারাগাছ লাগিয়েছে

= 3x × 2x

= 6x²টি

উত্তরঃ 2x টি সারিতে সীমা 6x²টি চারাগাছ লাগিয়েছে।

(ii) একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য (4x + 1)মিটার এবং প্রস্থ 3x মিটার। আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত হিসাব করি।

সমাধানঃ

আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য (4x + 1)মিটার এবং প্রস্থ 3x মিটার।

আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল

= (4x + 1)মিটার × 3x মিটার

= (12x² + 3x) বর্গমিটার

উত্তরঃ আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল (12x² + 3x) বর্গমিটার।

(iii) এখন 1 ডজন কলার দাম আগের থেকে 6 টাকা বেড়েছে। আগে 1 ডজন কলার দাম x টাকা থাকলে, এখন 2x ডজন কলা কিনতে কত টাকা লাগবে হিসাব করি।

সমাধানঃ

আগে 1 ডজন কলার দাম x টাকা,

এখন 1 ডজন কলার দাম (x + 6) টাকা

∴ 2x ডজন কলার দাম

= 2x × (x + 6) টাকা

= (2x² + 12x) টাকা

উত্তরঃ এখন 2x ডজন কলা কিনতে (2x² + 12x) টাকা লাগবে।

(iv) একটি বর্গাকার ক্ষেত্রের প্রতিবাহুর দৈর্ঘ্য 7x সেমি. হলে, বর্গাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত দেখি।

সমাধানঃ

বর্গাকার ক্ষেত্রের প্রতিবাহুর দৈর্ঘ্য 7x সেমি. হলে,

বর্গাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল

= 7x × 7x

= 49x² বর্গ সেমি

উত্তরঃ বর্গাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 49x² বর্গ সেমি।

(v) আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 8x² বর্গ একক। দৈর্ঘ্য 4x একক হলে, প্রস্থ কত হতে পারে হিসাব করি।

সমাধানঃ

আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 8x² বর্গ একক।

দৈর্ঘ্য 4x একক

ধরি, প্রস্থ y একক

প্রশ্নানুসারে,

4x × y = 8x²

বা, $y=\frac{8x^{2}}{4x}$

∴ y = 2x

উত্তরঃ আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ 2x একক।

(vi) সুশােভন 9y দিনে 729y⁴ টি ঘুড়ি বিক্রি করেছে। সে গড়ে প্রতিদিন কতগুলি ঘুড়ি বিক্রি করেছে হিসাব করি।

সমাধানঃ

সুশােভন 9y দিনে 729y⁴ টি ঘুড়ি বিক্রি করেছে।

সে গড়ে প্রতিদিন ঘুড়ি বিক্রি করেছে

= 729y⁴÷ 9y

= 81y³ টি

উত্তরঃ সে গড়ে প্রতিদিন 81y³ টি ঘুড়ি বিক্রি করেছে।

4. প্রথম বীজগাণিতিক সংখ্যামালাকে দ্বিতীয় বীজগাণিতিক সংখ্যামালা দিয়ে ভাগ করি।

[ প্রতিক্ষেত্রে কোনাে বীজগাণিতিক সংখ্যার মান শূন্য নয়।]

(i) 8x³ b, x² b

সমাধানঃ

8x³ b ÷ x² b

= 8x (উত্তর)

(ii) −9xy³ , xy

সমাধানঃ

−9xy³ ÷ xy

= −9x²(উত্তর)

(iii) −15x² y⁴ z²,−x² yz²

সমাধানঃ

−15x² y⁴ z²÷ −x² yz²

= 15y³(উত্তর)

(iv) 21l³ m³ n³ , − 4l⁴mn

সমাধানঃ

21l³ m³ n³ ÷ − 4l⁴mn

${\color{DarkGreen} =-\frac{21m^{2}n^{2}}{4l}}$ (উত্তর)

(v) (5a²−7ab²), a

সমাধানঃ

(5a²−7ab²) ÷ a

= 5a −7b²(উত্তর)

(vi) (− 48 x⁹ + 12 x⁶), 3x⁴

সমাধানঃ

(− 48 x⁹ + 12 x⁶) ÷ 3x⁴

$=\frac{-48x^{9}+12x^{6}}{3x^{4}}$

$=\frac{-48x^{9}}{3x^{4}}+\frac{12x^{6}}{3x^{4}}$

= −16x⁵ + 4x²(উত্তর)

(vii) 15m² n + 20m² n², 5mn

সমাধানঃ

15m² n + 20m² n²÷ 5mn

$=\frac{15m^{2}n+20m^{2}n^{2}}{5mn}$

$=\frac{15m^{2}n}{5mn}+\frac{20m^{2}n^{2}}{5mn}$

= 3m + 4mn (উত্তর)

(viii) 36a⁵b² − 24a²b⁵,−4a² b²

সমাধানঃ

36a⁵b² − 24a²b⁵÷ −4a² b²

$=\frac{36a^{5}b^{2}-24a^{2}b^{5}}{-4a^{2}b^{2}}$

$=\frac{36a^{5}b^{2}}{-4a^{2}b^{2}}-\frac{24a^{2}b^{5}}{-4a^{2}b^{2}}$

= −9a³ + 6b³(উত্তর)

(ix) 3pqr + 6p² qr² − 9p³ q² r³, − 3pqr

সমাধানঃ

3pqr + 6p² qr² − 9p³ q² r³÷ − 3pqr

$=\frac{3pqr+6p^{2}qr^{2}-9p^{3}q^{2}r^{3}}{-3pqr}$

$=\frac{3pqr}{-3pqr}+\frac{6p^{2}qr^{2}}{-3pqr}-\frac{9p^{3}q^{2}r^{3}}{-3pqr}$

= −1 −2pr + 3p² qr²(উত্তর)

(x) m²n⁴ + m³ n³ − m⁴n² , − m⁴n⁴

সমাধানঃ

m²n⁴ + m³ n³ − m⁴n² ÷ − m⁴n⁴

$=\frac{m^{2}n^{4}+m^{3}n^{3}-m^{4}n^{2}}{-m^{4}n^{4}}$

$=\frac{m^{2}n^{4}}{-m^{4}n^{4}}+\frac{m^{3}n^{3}}{-m^{4}n^{4}}-\frac{-m^{4}n^{2}}{-m^{4}n^{4}}$

${\color{DarkGreen} =-\frac{1}{m^{2}}-\frac{1}{mn}-\frac{1}{m^{2}}}$ (উত্তর)

5. সরল করি :

(i) a (b − c) +b (c − a) + c (a − b)

সমাধানঃ

a (b − c) + b (c − a) + c (a − b)

= ab − ac + bc − ab + ac −bc

= 0 (উত্তর)

(ii) a (b − c) − b (c − a) − c (a − b)

সমাধানঃ

a (b − c) − b (c − a) − c (a − b)

= ab − ac − bc + ab − ac + bc

= 2ab − 2ac

= 2a (b− c) (উত্তর)

(iii) x (x + 4) + 2x (x − 3) − 3x²

সমাধানঃ

x (x + 4) + 2x (x − 3) − 3x²

= x² + 4x + 2x² − 6x −3x²

= −2x (উত্তর)

(iv) 3x² + x (x + 2) − 3x (2x + 1)

সমাধানঃ

3x² + x (x + 2) − 3x (2x + 1)

= 3x² + x² + 2x − 6x² − 3x

= − 2x² − x

= −x (2x + 1) (উত্তর)

(v) (a + b)(a − b) + (b + c)(b − c) + (c + a) (c − a)

সমাধানঃ

(a + b)(a − b) + (b + c)(b − c) + (c + a) (c − a)

= a² − b² +b²− c²+ c²− a²

= 0 (উত্তর)

(vi) (a² + b²) (a² − b²) + (b ²+ c² ) (b² − c²) + (c² + a²) (c² − a²)

সমাধানঃ

(a² + b²) (a² − b²) + (b ²+ c² ) (b² − c²) + (c² + a²) (c² − a²)

= a⁴ − b⁴+ b⁴ − c⁴ + c⁴− a⁴

= 0 (উত্তর)