Wed. Apr 24th, 2024

Koshe dekhi 1.5 class 10

Koshe dekhi 1.5 class 10

একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ : কষে দেখি - 1.5

Q1. নীচের দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয়ের প্রকৃতি লিখি –

(i) {\color{DarkRed} 2{{x}^{2}}+7x+3=0}

সমাধানঃ

2x^{2}+7x+3=0 সমীকরণটিকে ax^{2}+bx+c=0 সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই, 

a=2,b=7,c=3 

\therefore b^{2}-4ac=\left ( 7 \right )^{2}-4\times 2\times 3=49-24=25>0

\because b^{2}-4ac>0

সুতারাং, 

উত্তরঃ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয়ের প্রকৃতি হবে বাস্তব ও অসমান। 

একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ : কষে দেখি - 1.5

Q1. নীচের দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয়ের প্রকৃতি লিখি –

(ii)  {\color{DarkRed} 3{{x}^{2}}-2\sqrt{6}x+2=0} 

সমাধানঃ

3x^{2}-2\sqrt{6}x+2=0 সমীকরণটিকে ax^{2}+bx+c=0 সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই, 

a=3,b=-2\sqrt{6},c=2

\therefore b^{2}-4ac=\left ( -2\sqrt{6} \right )^{2}-4\times 3\times 2=24-24=0

\because b^{2}-4ac=0

সুতারাং, 

উত্তরঃ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয়ের প্রকৃতি হবে বাস্তব ও সমান। 

Koshe dekhi 1.5 class 10

একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ : কষে দেখি - 1.5

Q1. নীচের দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয়ের প্রকৃতি লিখি –

(iii) {\color{DarkRed} 2{{x}^{2}}-7x+9=0}

সমাধানঃ

2x^{2}-7x+9=0 সমীকরণটিকে ax^{2}+bx+c=0 সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই, 

a=2,b=-7,c=9

\therefore b^{2}-4ac=\left ( -7 \right )^{2}-4\times 2\times 9=49-72=-23<0

\because b^{2}-4ac<0

সুতারাং, 

সমীকরণটির কোন বাস্তব বীজ পাওয়া যাবে না।

উত্তরঃ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয়ের প্রকৃতি হবে অবাস্তব ও কাল্পনিক। 

Koshe dekhi 1.5 class 10

একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ : কষে দেখি - 1.5

Q1. নীচের দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয়ের প্রকৃতি লিখি –

(iv) {\color{DarkRed} \frac{2}{5}{{x}^{2}}-\frac{2}{3}x+1=0}

সমাধানঃ

\frac{2}{5}x^{2}-\frac{2}{3}x+1=0 সমীকরণটিকে ax^{2}+bx+c=0 সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই, 

a=\frac{2}{5},b=-\frac{2}{3},c=1

\therefore b^{2}-4ac=\left ( -\frac{2}{3} \right )^{2}-4\times \frac{2}{5}\times 1

=\frac{4}{9}-\frac{8}{5}

=\frac{20-72}{45}

=-\frac{52}{45}<0

\because b^{2}-4ac<0

সুতারাং, 

সমীকরণটির কোন বাস্তব বীজ পাওয়া যাবে না।

উত্তরঃ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয়ের প্রকৃতি হবে অবাস্তব ও কাল্পনিক। 

Koshe dekhi 1.5 class 10

একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ : কষে দেখি - 1.5

Q2. k এর কোন মান / মানগুলির জন্য নীচের দ্বিঘাত সমীকরণের বাস্তব ও সমান বীজ থাকবে হিসাব করে লিখি –

(i) {\color{DarkRed} 49{{x}^{2}}+kx+1=0}

সমাধানঃ

49x^{2}+kx+1=0 সমীকরণটিকে ax^{2}+bx+c=0 সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই, 

a=49,b=k,c=1

\because বীজদ্বয় বাস্তব ও সমান,

সুতারাং,

\therefore b^{2}-4ac=0

বা, k^{2}-4\times 49\times 1=0

বা, k^{2}=196

বা, k=\pm \sqrt{196}

\therefore k=\pm 14

উত্তরঃ নির্ণেয়  k  এর মান  {\color{DarkGreen} \pm 14}  এর জন্য দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব ও সমান হবে।

Koshe dekhi 1.5 class 10

একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ : কষে দেখি - 1.5

Q2. k এর কোন মান / মানগুলির জন্য নীচের দ্বিঘাত সমীকরণের বাস্তব ও সমান বীজ থাকবে হিসাব করে লিখি –

(ii) {\color{DarkRed} 3{{x}^{2}}-5x+2k=0}

সমাধানঃ

3x^{2}-5x+2k=0 সমীকরণটিকে ax^{2}+bx+c=0 সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই, 

a=3,b=-5,c=2k

\because বীজদ্বয় বাস্তব ও সমান,

সুতারাং,

\therefore b^{2}-4ac=0

বা, \left ( -5 \right )^{2}-4\times 3\times 2k=0

বা, 25-24k=0

বা, -24k=-25

বা, 24k=25

\therefore k=\frac{25}{24}

 উত্তরঃ নির্ণেয়  k  এর মান  {\color{DarkGreen} \frac{25}{24}}  এর জন্য প্রদত্ত দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব ও সমান হবে।

Koshe dekhi 1.5 class 10

একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ : কষে দেখি - 1.5

Q2. k এর কোন মান / মানগুলির জন্য নীচের দ্বিঘাত সমীকরণের বাস্তব ও সমান বীজ থাকবে হিসাব করে লিখি –

(iii) {\color{DarkRed} 9{{x}^{2}}-24x+k=0}

সমাধানঃ

9x^{2}-24x+k=0 সমীকরণটিকে ax^{2}+bx+c=0 সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই, 

a=9,b=-24,c=k

\because বীজদ্বয় বাস্তব ও সমান,

সুতারাং,

\therefore b^{2}-4ac=0

বা, \left ( -24 \right )^{2}-4\times 9\times k=0

বা, 576-36k=0

বা, -36k=-576

বা, 36k=576

\therefore k=\frac{576}{36}=16

 উত্তরঃ নির্ণেয়  k  এর মান  16 এর জন্য প্রদত্ত দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব ও সমান হবে।

Koshe dekhi 1.5 class 10

একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ : কষে দেখি - 1.5

Q2. k এর কোন মান / মানগুলির জন্য নীচের দ্বিঘাত সমীকরণের বাস্তব ও সমান বীজ থাকবে হিসাব করে লিখি –

(iv) {\color{DarkRed} 2{{x}^{2}}+3x+k=0}

সমাধানঃ

2x^{2}+3x+k=0 সমীকরণটিকে ax^{2}+bx+c=0 সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই, 

a=2,b=3,c=k

\because বীজদ্বয় বাস্তব ও সমান,

সুতারাং,

\therefore b^{2}-4ac=0

বা, \left ( 3 \right )^{2}-4\times 2\times k=0

বা, 9-8k=0

বা, -8k=-9

বা, 8k=9

\therefore k=\frac{9}{8}

 উত্তরঃ নির্ণেয়  এর মান  {\color{DarkGreen} \frac{9}{8}}  এর জন্য প্রদত্ত দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব ও সমান হবে।

একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ : কষে দেখি - 1.5

Q2. k এর কোন মান / মানগুলির জন্য নীচের দ্বিঘাত সমীকরণের বাস্তব ও সমান বীজ থাকবে হিসাব করে লিখি –

(v) {\color{DarkRed} {{x}^{2}}-2\left( 5+2k \right)x+3\left( 7+10k \right)=0}

সমাধানঃ

{{x}^{2}}-2\left( 5+2k \right)x+3\left( 7+10k \right)=0

বা, x^{2}-\left (10+4k \right )x+\left ( 21+30k \right )=0

x^{2}-\left (10+4k \right )x+\left ( 21+30k \right )=0  সমীকরণটিকে ax^{2}+bx+c=0 সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই, 

a=1,b=-\left ( 10+4k \right )=\left ( -10-4k \right ),c=\left ( 21+30k \right )

\because বীজদ্বয় বাস্তব ও সমান,

সুতারাং,

\therefore b^{2}-4ac=0

বা, \left ( -10-4k \right )^{2}-4\times 1\times \left ( 21+30k \right )=0

বা, 100+80k+16k^{2}-84-120k=0

বা, 16k^{2}-40k+16=0

বা, 8\left ( 2k^{2}-5k+2 \right )=0

বা, 2k^{2}-5k+2=\frac{0}{8}=0

বা, 2k^{2}-4k-k+2=0

বা, 2k\left ( k-2 \right )-1\left ( k-2 \right )=0

বা, \left ( k-2 \right )\left ( 2k-1 \right )=0

দুই বা ততোধিক রাশির গুণফল শূন্য হলে তারা প্রত্যেকে পৃথক পৃথক ভাবে শূন্য হয়।

অর্থাৎ,

\left ( k-2 \right )=0

\therefore k=2

অথবা,

\left ( 2k-1 \right )=0

বা, 2k=1

\therefore k=\frac{1}{2}

 উত্তরঃ নির্ণেয় k এর মান  2 ও {\color{DarkGreen} \frac{1}{2}} এর জন্য প্রদত্ত দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব ও সমান হবে।

একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ : কষে দেখি - 1.5

Q2. k এর কোন মান / মানগুলির জন্য নীচের দ্বিঘাত সমীকরণের বাস্তব ও সমান বীজ থাকবে হিসাব করে লিখি –

(vi) {\color{DarkRed} \left ( 3k+1 \right )x^{2}+2\left ( k+1 \right )x+k=0}

সমাধানঃ

 \left ( 3k+1 \right )x^{2}+2\left ( k+1 \right )x+k=0

 \left ( 3k+1 \right )x^{2}+2\left ( k+1 \right )x+k=0  সমীকরণটিকে ax^{2}+bx+c=0 সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই, 

a=\left ( 3k+1 \right ),b=\left ( 2k+2 \right ),c=k

\because বীজদ্বয় বাস্তব ও সমান,

সুতারাং,

\therefore b^{2}-4ac=0

বা, \left ( 2k+2 \right )^{2}-4\times \left ( 3k+1 \right )\times k=0

বা, 4k^{2}+8k+4-12k^{2}-4k=0

বা, -8k^{2}+4k+4=0

বা, -4\left ( 2k^{2}-k-1 \right )=0

বা, 2k^{2}-k-1=\frac{0}{-4}=0

বা, 2k^{2}-2k+k-1=0

বা, 2k\left ( k-1 \right )+1\left ( k-1 \right )=0

বা, \left ( k-1 \right )\left ( 2k+1 \right )=0

দুই বা ততোধিক রাশির গুণফল শূন্য হলে তারা প্রত্যেকে পৃথক পৃথক ভাবে শূন্য হয়।

অর্থাৎ,

\left ( k-1 \right )=0

\therefore k=1

অথবা,

\left ( 2k+1 \right )=0

বা, 2k=-1

\therefore k=-\frac{1}{2}

 উত্তরঃ নির্ণেয়  k  এর মান  1  ও  {\color{DarkGreen} -\frac{1}{2}}  এর জন্য প্রদত্ত দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব ও সমান হবে।

একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ : কষে দেখি - 1.5

Q3. নীচে প্রদত্ত বীজদ্বয় দ্বারা দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন করি –

(i)  4, 2

সমাধানঃ

আমরা জানি,  x  চলসংখ্যা বিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণটি হবে,

x² − (বীজ দুটির যোগফল)x + (বীজ দুটির গুনফল) = 0

সুতরাং,  যে দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি বীজ  4  ও  2, সেই সমীকরণটি হবে –

x^{2}-\left ( 4+2 \right )x+\left ( 4\times 2 \right )=0

x^{2}-6x+8=0 

 উত্তরঃ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণটি হল {\color{DarkGreen} x^{2}-6x+8=0}

অন্যভাবে :

x=4 , x=2

বা, \left ( x-4 \right )=0 , \left ( x-2 \right )=0

সুতরাং,  যে দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি বীজ  4  ও  2, সেই সমীকরণটি হবে –

\therefore \left ( x-4 \right )\left ( x-2 \right )=0

বা, x^{2}-4x-2x+8=0

বা, x^{2}-6x+8=0

 উত্তরঃ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণটি হল {\color{DarkGreen} x^{2}-6x+8=0}

একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ : কষে দেখি - 1.5

Q3. নীচে প্রদত্ত বীজদ্বয় দ্বারা দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন করি –

(ii)  − 4, − 3

সমাধানঃ

আমরা জানি,  x  চলসংখ্যা বিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণটি হবে,

x² − (বীজ দুটির যোগফল)x + (বীজ দুটির গুনফল) = 0

সুতরাং,  যে দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি বীজ  −4  ও  −3, সেই সমীকরণটি হবে –

x^{2}-\left \{ \left ( -4 \right )+\left ( -3 \right ) \right \}x+\left \{ \left ( -4 \right )\times \left ( -3 \right ) \right \}=0

বা, x^{2}-\left (-7 \right )x+12=0

x^{2}+7x+12=0

 উত্তরঃ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণটি হল {\color{DarkGreen} x^{2}+7x+12=0}

অন্যভাবে :

x=-4 , x=-3

বা, \left ( x+4 \right )=0 , \left ( x+3 \right )=0

সুতরাং,  যে দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি বীজ  −4  ও  −3, সেই সমীকরণটি হবে –

\therefore \left ( x+4 \right )\left ( x+3 \right )=0

বা, x^{2}+4x+3x+12=0

বা, x^{2}+7x+12=0

 উত্তরঃনির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণটি হল {\color{DarkGreen} x^{2}+7x+12=0}

একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ : কষে দেখি - 1.5

Q3. নীচে প্রদত্ত বীজদ্বয় দ্বারা দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন করি –

(iii)  − 4, 3

সমাধানঃ

আমরা জানি,  x  চলসংখ্যা বিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণটি হবে,

x² − (বীজ দুটির যোগফল)x + (বীজ দুটির গুনফল) = 0

সুতরাং,  যে দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি বীজ  −4  ও  3, সেই সমীকরণটি হবে –

x^{2}-\left \{ \left ( -4 \right )+3 \right \}x+\left \{ \left ( -4 \right )\times 3 \right \}=0

বা, x^{2}-\left (-1 \right )x+\left (-12 \right )=0

x^{2}+x-12=0

 উত্তরঃ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণটি হল {\color{DarkGreen} x^{2}+x-12=0}

অন্যভাবে :

x=-4 , x=3

বা, \left ( x+4 \right )=0 , \left ( x-3 \right )=0

সুতরাং,  যে দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি বীজ  −4  ও  3, সেই সমীকরণটি হবে –

\therefore \left ( x+4 \right )\left ( x-3 \right )=0

বা, x^{2}+4x-3x-12=0

বা, x^{2}+x-12=0

 উত্তরঃ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণটি হল {\color{DarkGreen} x^{2}+x-12=0}

একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ : কষে দেখি - 1.5

Q3. নীচে প্রদত্ত বীজদ্বয় দ্বারা দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন করি –

(iv)  5, − 3

সমাধানঃ

আমরা জানি,  x  চলসংখ্যা বিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণটি হবে,

x² − (বীজ দুটির যোগফল)x + (বীজ দুটির গুনফল) = 0

সুতরাং,  যে দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি বীজ  5  ও  −3, সেই সমীকরণটি হবে –

x^{2}-\left \{ 5+\left ( -3 \right ) \right \}x+\left \{ 5\times \left ( -3 \right ) \right \}=0

বা, x^{2}-2x+\left (-15 \right )=0

x^{2}-2x-15=0

উত্তরঃ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণটি হল {\color{DarkGreen} x^{2}-2x-15=0}

অন্যভাবে :

x=5 , x=-3

বা, \left ( x-5 \right )=0 , \left ( x+3 \right )=0

সুতরাং,  যে দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি বীজ  5  ও  −3, সেই সমীকরণটি হবে –

\therefore \left ( x-5 \right )\left ( x+3 \right )=0

বা, x^{2}-5x+3x-15=0

বা, x^{2}-2x-15=0

 উত্তরঃ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণটি হল {\color{DarkGreen} x^{2}-2x-15=0}

একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ : কষে দেখি - 1.5

Q4.  m  এর মান কত হলে,  {\color{DarkRed} 4{{x}^{2}}+4\left( 3m-1 \right)x+\left( m+7 \right)=0}  দ্বিঘাত সমীকরণের বীজ দুটি পরস্পর অন্যোন্যক হবে।

সমাধানঃ

ধরি, দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় \alpha\frac{1}{\alpha }

আমরা জানি,

দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয়ের গুণফল = দুটি বীজের গুনফল

সুতরাং,  \alpha \times \frac{1}{\alpha }=\frac{m+7}{4}

বা, 1=\frac{m+7}{4}

বা, m+7=4

বা, m=4-7

\therefore m=-3

 উত্তরঃ নির্ণেয়  m  এর মান  −3

একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ : কষে দেখি - 1.5

Q5.  {\color{DarkRed} \left( b-c \right){{x}^{2}}+\left( c-a \right)x+\left( a-b \right)=0}  দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় সমান হলে, প্রমাণ করি যে, {\color{DarkRed} 2b=a+c}

সমাধানঃ

\left( b-c \right){{x}^{2}}+\left( c-a \right)x+\left( a-b \right)=0  দ্বিঘাত সমীকরণটিকে Ax^{2}+Bx+C=0  সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই, 

A=\left ( b-c \right ),B=\left ( c-a \right ),C=\left ( a-b \right )

\left( b-c \right){{x}^{2}}+\left( c-a \right)x+\left( a-b \right)=0  দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় সমান ।

অর্থাৎ, নিরূপক \left ( B^{2}-4AC \right )=0

বা, \left ( c-a \right )^{2}-4\times \left ( b-c \right )\left ( a-b \right )=0

বা, c^{2}-2ac+a^{2}-4\left ( ab-b^{2}-ac+bc \right )=0

বা, c^{2}-2ac+a^{2}-4ab+4b^{2}+4ac-4bc=0

বা, c^{2}+2ac+a^{2}-4ab-4bc+4b^{2}=0

বা, \left ( c+a \right )^{2}-2\left ( a+c \right ).2b+\left ( 2b \right )^{2}=0

বা, \left ( c+a-2b \right )^{2}=0

বা, a+c-2b=0

বা, a+c=2b

\therefore 2b=a+c ( প্রমানিত )

একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ : কষে দেখি - 1.5

Q6.  {\color{DarkRed} \left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right){{x}^{2}}+2\left( ac+bd \right)x+\left( {{c}^{2}}+{{d}^{2}} \right)=0}  দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় সমান হলে, প্রমাণ করি যে,  {\color{DarkRed} \frac{a}{b}=\frac{c}{d}}

সমাধানঃ

\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right){{x}^{2}}+2\left( ac+bd \right)x+\left( {{c}^{2}}+{{d}^{2}} \right)=0  দ্বিঘাত সমীকরণটিকে Ax^{2}+Bx+C=0 সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই, 

A=\left ( a^{2}+b^{2} \right ),B=2\left ( ac+bd \right ),C=\left ( c^{2}+d^{2} \right )

\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right){{x}^{2}}+2\left( ac+bd \right)x+\left( {{c}^{2}}+{{d}^{2}} \right)=0 দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় সমান ।

অর্থাৎ, নিরূপক \left ( B^{2}-4AC \right )=0

বা, \left \{ 2\left ( ac+bd \right ) \right \}^{2}-4\times \left ( a^{2}+b^{2} \right )\left ( c^{2}+d^{2} \right )=0

বা, 4a^{2}c^{2}+8abcd+4b^{2}d^{2}-4a^{2}c^{2}-4a^{2}d^{2}-4b^{2}c^{2}-4b^{2}d^{2}=0

বা, 8abcd-4a^{2}d^{2}-4b^{2}c^{2}=0

বা, -4\left ( a^{2}d^{2}-2\times ad\times bc+b^{2}c^{2} \right )=0

বা, \left ( a^{2}d^{2}-2\times ad\times bc+b^{2}c^{2} \right )=0

বা, \left ( ad-bc \right )^{2}=0

বা, ad-bc=0

বা, ad=bc

\therefore \frac{a}{b}=\frac{c}{d} ( প্রমানিত )

একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ : কষে দেখি - 1.5

Q7. প্রমান করি যে,  {\color{DarkRed} 2\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right){{x}^{2}}+2\left( a+b \right)x+1=0}  দ্বিঘাত সমীকরণের কোনো বাস্তব বীজ থাকবে না, যদি  ab হয়।

সমাধানঃ

2\left ( a^{2}+b^{2} \right )x^{2}+2\left ( a+b \right )x+1=0  দ্বিঘাত সমীকরণটিকে  Ax^{2}+Bx+C=0\: \: \: \left ( A\neq 0 \right )  দ্বিঘাত সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই,

A=2\left ( a^{2}+b^{2} \right );\; \; B=2\left ( a+b \right );\: \: C=1

এখন, আমরা জানি, দ্বিঘাত সমীকরণের কোনো বাস্তব বীজ থাকবে না, যদি

নিয়ামক বা নিরূপক, B^{2}-4AC<0  হয়।

এখন, উপরের অসমীকরণটিতে B, A ও C এর মান বসিয়ে পাই,

\left \{ 2\left ( a+b \right ) \right \}^{2}-4\times 2\left ( a^{2}+b^{2} \right )\times 1<0

4\left ( a+b \right )^{2}-8\left ( a^{2}+b^{2} \right )<0

4\left ( a^{2}+2ab+b^{2} \right )-8a^{2}-8b^{2}<0

4a^{2}+8ab+4b^{2}-8a^{2}-8b^{2}<0

-4a^{2}+8ab-4b^{2}<0

-a^{2}+2ab-b^{2}<0

a^{2}-2ab+b^{2}>0 [যদি, −x < −y হয়, তবে  x > y  হবে]

\left ( a-b \right )^{2}>0

a-b>0

a>b

অর্থাৎ,  a\neq b  (প্রমানিত)

Koshe dekhi 1.5 class 10

একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ : কষে দেখি - 1.5

Q8.   {\color{DarkRed} 5{{x}^{2}}+2x-3=0}  দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি বীজ  α  ও  β হলে, নিম্নলিখিত গুলির মান নির্ণয় করি।

(i) {\color{DarkRed} {{\alpha }^{2}}+{{\beta }^{2}}}

(ii) {\color{DarkRed} {{\alpha }^{3}}+{{\beta }^{3}}}

(iii) {\color{DarkRed} \frac{1}{\alpha }+\frac{1}{\beta }}

(iv) {\color{DarkRed} \frac{{{\alpha }^{2}}}{\beta }+\frac{{{\beta }^{2}}}{\alpha }}

সমাধানঃ  

  5{{x}^{2}}+2x-3=0 সমীকরণটিকে ax^{2}+bx+c=0 সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই, 

a=5,b=2,c=-3

  5{{x}^{2}}+2x-3=0  দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি বীজ  α  ও  β হলে, 

\alpha +\beta =-\frac{b}{a}=-\frac{2}{5}

এবং,

\alpha \times \beta=\frac{c}{a} =-\frac{3}{5}

\therefore \alpha ^{2}+\beta ^{2}

=\left ( \alpha +\beta \right )^{2}-2\alpha \beta

=\left ( -\frac{2}{5} \right )^{2}-2\left ( -\frac{3}{5} \right )

=\frac{4}{25}+\frac{6}{5}

=\frac{4+30}{25}

=\frac{34}{25} ( উত্তর )

 

(ii)  {{\alpha }^{3}}+{{\beta }^{3}}

সমাধানঃ

  5{{x}^{2}}+2x-3=0 সমীকরণটিকে ax^{2}+bx+c=0 সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই, 

a=5,b=2,c=-3

  5{{x}^{2}}+2x-3=0  দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি বীজ  α  ও  β হলে,

\alpha +\beta =-\frac{b}{a}=-\frac{2}{5}

এবং,

\alpha \times \beta=\frac{c}{a} =-\frac{3}{5}

\therefore {{\alpha }^{3}}+{{\beta }^{3}}

=\left ( \alpha +\beta \right )^{3}-3\alpha \beta \left ( \alpha +\beta \right )

=\left (-\frac{2}{5} \right )^{3}-3\times \left ( -\frac{3}{5} \right )\times \left ( -\frac{2}{5} \right )

=-\frac{8}{125}-\frac{18}{25}

=\frac{-8-90}{125}

=-\frac{98}{125}  ( উত্তর )

 

(iii)  \frac{1}{\alpha }+\frac{1}{\beta }

সমাধানঃ

  5{{x}^{2}}+2x-3=0 সমীকরণটিকে ax^{2}+bx+c=0 সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই, 

a=5,b=2,c=-3

  5{{x}^{2}}+2x-3=0  দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি বীজ  α  ও  β হলে,

\alpha +\beta =-\frac{b}{a}=-\frac{2}{5}

এবং,

\alpha \times \beta=\frac{c}{a} =-\frac{3}{5}

\therefore \frac{1}{\alpha }+\frac{1}{\beta }

=\frac{\beta +\alpha }{\alpha \beta }

=\frac{-\frac{2}{5}}{-\frac{3}{5}}

=\frac{2}{3} ( উত্তর )

 

(iv)  \frac{{{\alpha }^{2}}}{\beta }+\frac{{{\beta }^{2}}}{\alpha }

সমাধানঃ

  5{{x}^{2}}+2x-3=0 সমীকরণটিকে ax^{2}+bx+c=0 সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই, 

a=5,b=2,c=-3

  5{{x}^{2}}+2x-3=0  দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি বীজ  α  ও  β হলে,

\alpha +\beta =-\frac{b}{a}=-\frac{2}{5}

এবং,

\alpha \times \beta=\frac{c}{a} =-\frac{3}{5}

\therefore \frac{{{\alpha }^{2}}}{\beta }+\frac{{{\beta }^{2}}}{\alpha }

=\frac{\alpha ^{3}+\beta ^{3}}{\alpha \beta }

=\frac{\left ( \alpha +\beta \right )^{3}-3\alpha \beta \left ( \alpha +\beta \right )}{\alpha \beta }

=\frac{\left (- \frac{2}{5} \right )^{3}-3\times \left ( -\frac{3}{5} \right )\times \left ( -\frac{2}{5} \right )}{\left ( -\frac{3}{5} \right )}

=\frac{-\frac{8}{125}-\frac{18}{25}}{-\frac{3}{5}}

=\frac{-\frac{98}{125}}{-\frac{3}{5}}

=\left ( -\frac{98}{125} \right )\times \left ( -\frac{5}{3} \right )

=\frac{98}{75}  ( উত্তর )

Koshe dekhi 1.5 class 10

একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ : কষে দেখি - 1.5

Q9.  {\color{DarkRed} a{{x}^{2}}+bx+c=0}  সমীকরণটির একটি বীজ অপরটির দ্বিগুন হলে, দেখাই যে,  {\color{DarkRed} 2{{b}^{2}}=9ac} 

সমাধানঃ

a{{x}^{2}}+bx+c=0  দ্বিঘাত সমীকরণটিকে Ax^{2}+Bx+C=0  সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই, 

A=a,B=b,C=c

ধরি, প্রদত্ত সমীকরণটির একটি বীজ \alpha ও অপর বীজটি 2\alpha

\therefore \alpha +2\alpha =-\frac{B}{A}=-\frac{b}{a}

3\alpha =-\frac{b}{a}

\alpha =-\frac{b}{3a}

আবার,

\alpha \times 2\alpha =\frac{C}{A}=\frac{c}{a}

বা, 2\alpha ^{2}=\frac{c}{a}

বা, 2\left ( -\frac{b}{3a} \right )^{2}=\frac{c}{a}

বা, \frac{2b^{2}}{9a^{2}}=\frac{c}{a}

বা, 2ab^{2}=9a^{2}c

2b^{2}=9ac ( প্রমানিত )

একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ : কষে দেখি - 1.5

Q10. যে সমীকরণের বীজগুলি  {\color{DarkRed} {{x}^{2}}+px+1=0}  সমীকরণের বীজগুলির অন্যোন্যক, সেই সমীকরণটি গঠন করি।

সমাধানঃ

{{x}^{2}}+px+1=0  সমীকরণটিকে ax^{2}+bx+c=0 সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই, 

a=1,b=p,c=1

{{x}^{2}}+px+1=0    দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি বীজ  α  ও  β হলে,

\alpha+\beta =-\frac{b}{a}=-\frac{p}{1}=-p\alpha \beta =\frac{c}{a}=\frac{1}{1}=1

নতুন সমীকরণের বীজদ্বয়  \frac{1}{\alpha }  ও  \frac{1}{\beta }

\therefore \frac{1}{\alpha }+\frac{1}{\beta }=\frac{\beta +\alpha }{\alpha \beta }=\frac{-p}{1}=-p

আবার, 

\frac{1}{\alpha }\times \frac{1}{\beta }=\frac{1}{\alpha \beta }=\frac{1}{1}=1

∴ নতুন সমীকরণটি হবে 

x^{2}-\left ( \frac{1}{\alpha }+\frac{1}{\beta } \right )x+\left ( \frac{1}{\alpha }\times \frac{1}{\beta } \right )=0

বা, x^{2}-\left ( -p \right )x+1=0

x^{2}+px+1=0  ( উত্তর )

একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ : কষে দেখি - 1.5

Q11.  {\color{DarkRed} {{x}^{2}}+x+1=0}  সমীকরণটির বীজগুলির বর্গ যে সমীকরণের বীজ, সেই সমীকরণটি নির্ণয় করি।

সমাধানঃ

{{x}^{2}}+x+1=0   সমীকরণটিকে ax^{2}+bx+c=0 সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই, 

a=1,b=1,c=1

{{x}^{2}}+x+1=0     দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি বীজ  α  ও  β হলে,

\alpha+\beta =-\frac{b}{a}=-\frac{1}{1}=-1\alpha \beta =\frac{c}{a}=\frac{1}{1}=1

নতুন সমীকরণের বীজদ্বয় \alpha ^{2}\beta ^{2}

\therefore \alpha ^{2}+\beta ^{2}

=\left ( \alpha +\beta \right )^{2}-2\alpha \beta

=\left ( -1 \right )^{2}-2\times 1

=1-2=-1

∴ নতুন সমীকরণটি হবে 

x^{2}-\left ( \alpha ^{2}+\beta ^{2} \right )x+\alpha ^{2}\beta ^{2}=0

বা, x^{2}-\left ( -1 \right )x+\left ( 1 \right )^{2}=0

x^{2}+x+1=0  ( উত্তর )

একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ : কষে দেখি - 1.5

Q12. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.) :

(A) বাহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q.)

(i)  {{x}^{2}}-6x+2=0  সমীকরণের বীজদ্বয়ের সমষ্টি

(a) 2

(b) − 2

(c) 6

(d) − 6

সমাধানঃ

ধরি, {{x}^{2}}-6x+2=0  সমীকরণের বীজদ্বয়  \alpha  ও  \beta

∴ বীজদ্বয়ের সমষ্টি,  \alpha +\beta =-\frac{\left (-6 \right )}{1}\Rightarrow 6 

উত্তরঃ (c) 6

একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ : কষে দেখি - 1.5

(ii)  {{x}^{2}}-3x+k=10 সমীকরণের বীজদ্বয়ের গুণফল  − 2  হলে,  k এর মান

(a) − 2

(b) − 8

(c) 8

(d) 12

সমাধানঃ

ধরি,   {{x}^{2}}-3x+k=10  সমীকরণের বীজদ্বয় \alpha\beta

প্রশ্নানুসারে,

\alpha\times \beta =-2

বা, \frac{k}{1}=-2 {\color{Blue} \left [ \because \alpha \beta =\frac{c}{a}=\frac{k}{1} \right ]}

 \therefore k=-2

উত্তরঃ (a) − 2

একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ : কষে দেখি - 1.5

(iii) a{{x}^{2}}+bx+c=0\quad \left( a\ne 0 \right)  সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব এবং অসমান হলে,  {{b}^{2}}-4ac  হবে

(a) >0

(b) =0

(c) <0

(d) কোনোটিই নয়

সমাধানঃ

a{{x}^{2}}+bx+c=0\quad \left( a\ne 0 \right)  সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব এবং অসমান হলে, 

b^{2}-4ac>0 হবে।

উত্তরঃ(a) >0

একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ : কষে দেখি - 1.5

(iv)  a{{x}^{2}}+bx+c=0\quad \left( a\ne 0 \right)  সমীকরণের বীজদ্বয় সমান হলে,

(a) c=-\frac{b}{a}

(b) c=\frac{b}{a}

(c) c=-\frac{b^{2}}{4a}

(d) c=\frac{b^{2}}{4a}

সমাধানঃ

a{{x}^{2}}+bx+c=0\quad \left( a\ne 0 \right)  সমীকরণের বীজদ্বয় সমান হলে,

b^{2}-4ac=0

বা, b^{2}=4ac

বা, \frac{b^{2}}{4a}=c

উত্তরঃ (d) {\color{DarkGreen} c=\frac{b^{2}}{4a}}

একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ : কষে দেখি - 1.5

(v)  3{{x}^{2}}+8x+2=0  সমীকরণের বীজদ্বয়  α  এবং  β  হলে,  \left( \frac{1}{\alpha }+\frac{1}{\beta } \right)  এর মান

(a) -\frac{3}{8}

(b)  \frac{2}{3}

(c) − 4

(d) 4

সমাধানঃ

  3{{x}^{2}}+8x+2=0  সমীকরণের বীজদ্বয়  α  এবং  β  হলে,

\alpha +\beta =-\frac{8}{3}  ও \alpha \beta =\frac{2}{3}

\frac{1}{\alpha }+\frac{1}{\beta }

=\frac{\beta +\alpha }{\alpha \beta }

=\frac{-\frac{8}{3}}{\frac{2}{3}}

=\left ( -\frac{8}{3} \right )\times \frac{3}{2}

=-4

উত্তরঃ (c) − 4

Koshe dekhi 1.5 class 10

একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ : কষে দেখি - 1.5

(B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখি :

(i)  {{x}^{2}}+x+1=0  সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব।

সমাধানঃ

{{x}^{2}}+x+1=0   সমীকরণটিকে ax^{2}+bx+c=0 সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই, 

a=1,b=1,c=1

b^{2}-4ac=\left ( 1 \right )^{2}-4\times 1\times 1=-3

\because b^{2}-4ac<0

\therefore {{x}^{2}}+x+1=0 সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব নয়।

উত্তরঃ বিবৃতিটি মিথ্যা।

Koshe dekhi 1.5 class 10

একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ : কষে দেখি - 1.5

(ii)  {{x}^{2}}-x+2=0  সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব নয়।

সমাধানঃ

{{x}^{2}}-x+2=0  সমীকরণটিকে ax^{2}+bx+c=0 সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই, 

a=1,b=-1,c=2

b^{2}-4ac=\left ( -1 \right )^{2}-4\times 1\times 2=1-8=-7<0

\because b^{2}-4ac<0

\therefore {{x}^{2}}-x+2=0 সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব নয়।

উত্তরঃ বিবৃতিটি সত্য ।

Koshe dekhi 1.5 class 10

একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ : কষে দেখি - 1.5

(C) শূন্যস্থান পূরণ করি :

(i)  7{{x}^{2}}-12x+18=0  সমীকরণের বীজদ্বয়ের সমষ্টি এবং গুনফলের অনুপাত _______।

সমাধানঃ

7x^{2}-12x+18=0   সমীকরণটিকে ax^{2}+bx+c=0 সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই, 

a=7,b=-12,c=18

7x^{2}-12x+18=0   দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি বীজ  α  ও  β হলে,

\alpha+\beta =-\frac{b}{a}=-\frac{-12}{7}=\frac{12}{7}\alpha \beta =\frac{c}{a}=\frac{18}{7}

\left ( \alpha +\beta \right ):\alpha \beta =\frac{\alpha +\beta }{\alpha\beta }=\frac{\frac{12}{7}}{\frac{18}{7}}=\frac{12}{7}\times \frac{7}{18}=\frac{2}{3}=2:3

উত্তরঃ {\color{DarkGreen} 2:3}

Koshe dekhi 1.5 class 10

একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ : কষে দেখি - 1.5

(ii)  a{{x}^{2}}+bx+c=0\quad \left( a\ne 0 \right)  সমীকরণের বীজদ্বয় পরস্পর অন্যোন্যক হলে, c = _____.

সমাধানঃ

ধরি, a{{x}^{2}}+bx+c=0\quad \left( a\ne 0 \right)  সমীকরণের বীজদ্বয় \alpha\frac{1}{\alpha }

বীজদ্বয়ের গুনফল  =\frac{c}{a}

বা, \alpha \times \left ( \frac{1}{\alpha } \right )=\frac{c}{a}

বা, 1=\frac{c}{a}

 \therefore c=a

উত্তরঃ {\color{DarkGreen} a}

Koshe dekhi 1.5 class 10

একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ : কষে দেখি - 1.5

(iii)  a{{x}^{2}}+bx+c=0\quad \left( a\ne 0 \right)  সমীকরণের বীজদ্বয় পরস্পর অন্যোন্যক এবং বিপরীত (ঋণাত্বক) হলে,  a + c = _________।

সমাধানঃ

ধরি, a{{x}^{2}}+bx+c=0\quad \left( a\ne 0 \right)  সমীকরণের বীজদ্বয় \alpha ও  -\frac{1}{\alpha }

বীজদ্বয়ের গুনফল  =\frac{c}{a}

বা, \alpha \times \left ( -\frac{1}{\alpha } \right )=\frac{c}{a}

বা, -1=\frac{c}{a}

বা, c=-a

\therefore a+c=0

উত্তরঃ {\color{DarkGreen} 0} 

Koshe dekhi 1.5 class 10

একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ : কষে দেখি - 1.5

Q13. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)

(i) একটি দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয়ের  সমষ্টি 14 এবং গুণফল 24 হলে, দ্বিঘাত সমীকরণটি লিখি।

সমাধানঃ

আমরা জানি, x চলসংখ্যা বিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণটি হবে,

x² − (বীজ দুটির যোগফল)x + (বীজ দুটির গুনফল) = 0

x^{2}-14x+24=0

উত্তরঃ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণটি হল {\color{DarkGreen} x^{2}-14x+24=0}

একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ : কষে দেখি - 1.5

(ii)  k{{x}^{2}}+2x+3k=0\quad \left( k\ne 0 \right)  সমীকরণের বীজ দ্বযের সমষ্টি এবং গুণফল সমান হলে, k এর মান লিখি।

সমাধানঃ

ধরি, k{{x}^{2}}+2x+3k=0\quad \left( k\ne 0 \right) সমীকরণের বীজদ্বয় \alpha\beta

kx^{2}+2x+3k=0 সমীকরণটিকে ax^{2}+bx+c=0 সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই,

a=k,b=2,c=3k

\therefore \alpha +\beta =-\frac{b}{a}=-\frac{2}{k}\alpha \beta =\frac{c}{a}=\frac{3k}{k}=3

 প্রশ্নানুসারে,

\alpha +\beta =\alpha \beta

বা, -\frac{2}{k}=3

\therefore k=-\frac{2}{3}

উত্তরঃ নির্ণেয়  k  এর মান {\color{DarkGreen} -\frac{2}{3}}

Koshe dekhi 1.5 class 10

একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ : কষে দেখি - 1.5

(iii)  {{x}^{2}}-22x+105=0  সমীকরণের বীজদ্বয়  α  এবং  β হলে, (α – β) এর মান লিখি।

সমাধানঃ
{{x}^{2}}-22x+105=0 সমীকরণটিকে ax^{2}+bx+c=0 সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই,

a=1,b=-22,c=105

 দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি বীজ α ও β হলে,

\alpha+\beta =-\frac{b}{a}=-\frac{-22}{1}=22\alpha \beta =\frac{c}{a}=\frac{105}{1}=105

\left ( \alpha -\beta \right )^{2}

=\left ( \alpha +\beta \right )^{2}-4\alpha \beta

=\left ( 22 \right )^{2}-4\times 105

=484-420

=64

\therefore \left ( \alpha -\beta \right )=\pm \sqrt{64}=\pm 8

উত্তরঃ নির্ণেয়  {\color{DarkGreen} \left ( \alpha -\beta \right )} এর মান  {\color{DarkGreen} \pm 8}

Koshe dekhi 1.5 class 10

একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ : কষে দেখি - 1.5

(iv)  {{x}^{2}}-x=k\left( 2x-1 \right)  সমীকরণের বীজদ্বয়ের সমষ্টি শূন্য হলে,  k এর মান লিখি।

সমাধানঃ

  {{x}^{2}}-x=k\left( 2x-1 \right) 

বা, x^{2}-x=2kx-k

বা, x^{2}-x-2kx+k=0

বা, x^{2}-\left ( 2k+1 \right )x+k=0

x^{2}-\left ( 2k+1 \right )x+k=0  সমীকরণটিকে ax^{2}+bx+c=0 সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই,

a=1,b=-\left ( 2k+1 \right ),c=k

 দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি বীজ α ও β হলে,

\alpha+\beta =-\frac{b}{a}=-\frac{-\left ( 2k+1 \right )}{1}=2k+1

প্রশ্নানুসারে,

\alpha +\beta =0

বা, \left ( 2k+1 \right )=0

বা, 2k=-1

\therefore k=-\frac{1}{2}

উত্তরঃ নির্ণেয়  k  এর মান {\color{DarkGreen} -\frac{1}{2}}

Koshe dekhi 1.5 class 10

একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ : কষে দেখি - 1.5

(v)  {{x}^{2}}+bx+12=0  এবং   {{x}^{2}}+bx+q=0  সমীকরণদ্বয়ের একটি বীজ  2  হলে,  q এর মান লিখি।

সমাধানঃ

  {{x}^{2}}+bx+12=0 সমীকরণে x=2 বসিয়ে পাই,

\left ( 2 \right )^{2}+2\times b+12=0

বা, 2b+16=0

বা, 2b=-16

\therefore b=-\frac{16}{2}=-8

{{x}^{2}}+bx+q=0 সমীকরণে x=2  ও  b=-8  বসিয়ে পাই,

\left ( 2 \right )^{2}+2\times \left ( -8 \right )+q=0

বা, 4-16+q=0

বা, -12+q=0

\therefore q=12

উত্তরঃ নির্ণেয়  q  এর মান 12 ।

Koshe dekhi 1.5 class 10

Thank You 

5 thoughts on “Koshe dekhi 1.5 class 10”

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

Insert math as
Block
Inline
Additional settings
Formula color
Text color
#333333
Type math using LaTeX
Preview
\({}\)
Nothing to preview
Insert
error: Content is protected !!