Koshe dekhi 19 class 10

ঘনবস্তু সংক্রান্ত বাস্তব সমস্যা : কষে দেখি – 19

Q1. আনোয়ারদের বাড়ির সামনে একটি নিরেট লোহার স্তম্ভ আছে যার নীচের অংশে লম্ব বৃত্তাকার চোঙ আকৃতির এবং উপরের অংশে শঙ্কু আকৃতির। এদের ভূমিতলের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 20 সেমি., চোঙাকৃতি অংশের উচ্চতা 2.8 মিটার এবং শঙ্কু আকৃতি অংশের উচ্চতা 42 সেমি.। 1 ঘন সেমি. লোহার ওজন 7.5 গ্রাম হলে, লোহার স্তম্ভের ওজন কত হবে তা হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ

প্রদত্ত,

ভূমিতলের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 20 সেমি.

∴ ব্যাসার্ধ $\fn_jvn \left ( r \right )=\frac{20}{2}=10$ সেমি.

চোঙাকৃতি অংশের উচ্চতা $\fn_jvn \left ( h_{1} \right )=2.8$ মিটার $\fn_jvn =2.8\times 100=280$ সেমি.

শঙ্কু আকৃতি অংশের উচ্চতা $\fn_jvn \left ( h_{2} \right )=42$ সেমি.

∴ চোঙাকৃতি অংশের আয়তন

$=\pi r^{2}h$

$=\frac{22}{7}\times \left ( 10 \right )^{2}\times 280$

$=22\times 100\times 40$

$=88000$ ঘন সেমি

এবং শঙ্কু আকৃতি অংশের আয়তন

$=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$

$=\frac{1}{3}\times \frac{22}{7}\times \left ( 10 \right )^{2}\times 42$

$=22\times 100\times 2$

$=4400$ ঘন সেমি।

∴ সমগ্র লোহার স্তম্ভটির আয়তন = (88000 + 4400) = 92400 ঘন সেমি

এবং লোহার স্তম্ভটির ওজন = (92400 × 7.5) = 693000 গ্রাম = 693 কেজি।

উত্তরঃ নির্ণেয় লোহার স্তম্ভটির ওজন 693 কেজি হবে।

ঘনবস্তু সংক্রান্ত বাস্তব সমস্যা : কষে দেখি – 19

Q2. একটি নিরেট লম্ববৃত্তাকার শঙ্কুর উচ্চতা 20 সেমি. এবং তির্যক উচ্চতা 25 সেমি.। শঙ্কুটির সমান আয়তনবিশিষ্ট একটি নিরেট লম্ববৃত্তাকার চোঙের উচ্চতা 15 সেমি. হলে, চোঙটির ভূমিতলের ব্যাসের দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ

প্রদত্ত,

নিরেট লম্ববৃত্তাকার শঙ্কুর উচ্চতা (H) = 20 সেমি. এবং তির্যক উচ্চতা (l) = 25 সেমি.

এবং নিরেট লম্ববৃত্তাকার চোঙের উচ্চতা (h) = 15 সেমি.।

∴ লম্ববৃত্তাকার শঙ্কুর ব্যাসার্ধ

$r=\sqrt{l^{2}-H^{2}}$

$=\sqrt{\left ( 25 \right )^{2}-\left ( 20 \right )^{2}}$

$=\sqrt{625-400}$

$=\sqrt{225}$

= 15 সেমি.

∴ লম্ববৃত্তাকার শঙ্কুর আয়তন

$=\frac{1}{3}\pi r^{2}H$

$=\frac{1}{3}\times \pi \times \left ( 15 \right )^{2}\times 20$

= 1500π ঘন সেমি।

ধরি, চোঙটির ভূমিতলের ব্যাসার্ধ = x সেমি।

∴ লম্ববৃত্তাকার চোঙটির আয়তন

$=\pi r^{2}h$

$=\pi \times \left ( x \right )^{2}\times 15$

$=15\pi x^{2}$ ঘন সেমি.

প্রশ্নানুসারে,

$15\pi x^{2}=1500\pi$

বা, $x^{2}=100$

বা, $x=\sqrt{100}$

∴ x = 10

∴ চোঙটির ভূমিতলের ব্যাস = 2 × 10 = 20 সেমি.।

উত্তরঃ নির্ণেয় লম্ববৃত্তাকার চোঙটির ভূমিতলের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 20 সেমি.।

ঘনবস্তু সংক্রান্ত বাস্তব সমস্যা : কষে দেখি – 19

Q3. 24 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসবিশিষ্ট একটি লম্ববৃত্তাকার চোঙাকৃতি পাত্রে কিছু জল আছে। 6 সেমি. দৈর্ঘ্যের ভূমিতলের ব্যাস ও 4 সেমি. উচ্চতাবিশিষ্ট 60 টি নিরেট শঙ্কু আকৃতির লোহার টুকরো ওই জলে সম্পূর্ণভাবে নিমজ্জিত করলে, জলতলের উচ্চতা কতটা বৃদ্ধি পাবে হিসাব করে লেখো।

সমাধানঃ

প্রদত্ত,

লম্ববৃত্তাকার চোঙাকৃতি পাত্রের ব্যাস (2R) = 24 সেমি.

∴ চোঙাকৃতি পাত্রের ব্যাসার্ধ $\left ( R \right )=\frac{24}{2}=12$ সেমি.

60 টি নিরেট শঙ্কু আকৃতির লোহার টুকরোর প্রত্যেকটির ভূমিতলের ব্যাস (2r) = 6 সেমি.

∴ ব্যাসার্ধ $\left ( r \right )=\frac{6}{2}=3$ সেমি.

এবং উচ্চতা (h) = 4 সেমি.

∴ 60 টি নিরেট শঙ্কু আকৃতির লোহার টুকরোর মোট আয়তন

$=60\times \frac{1}{3}\pi r^{2}h$

$=60\times \frac{1}{3}\times \pi \times \left ( 3 \right )^{2}\times 34$

$=720\pi$ ঘন সেমি।

ধরি, জলতলের উচ্চতা H সেমি বৃদ্ধি পাবে।

জলতলের উচ্চতা H সেমি বৃদ্ধি পাওয়ায় জলের আয়তন হয়েছে

$=\pi R^{2}H$

$=\pi \times \left ( 12 \right )^{2}\times H$

$=144\pi H$ ঘন সেমি.

প্রশ্নানুসারে,

$144\pi H=720\pi$

বা, $H=\frac{720}{144}$

∴ H = 5

উত্তরঃ নির্ণেয় জলতলের উচ্চতা 5 সেমি. বৃদ্ধি পাবে।

ঘনবস্তু সংক্রান্ত বাস্তব সমস্যা : কষে দেখি – 19

Q4. একই দৈর্ঘ্যের ভূমিতলের ব্যাসার্ধ এবং একই উচ্চতা বিশিষ্ট একটি নিরেট শঙ্কু ও একটি নিরেট লম্ববৃত্তাকার চোঙের বক্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত 5 : 8 হলে, উহাদের ভূমির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য ও উচ্চতার অনুপাত নির্ণয় করি।

সমাধানঃ

ধরি,

নিরেট শঙ্কু ও নিরেট লম্ববৃত্তাকার চোঙের ভূমিতলের ব্যাসার্ধ r একক এবং উচ্চতা h একক।

∴ নিরেট শঙ্কুর বক্রতলের ক্ষেত্রফল $=\pi rl=\pi r\sqrt{r^{2}+h^{2}}$ বর্গ একক এবং

লম্ববৃত্তাকার চোঙের বক্রতলের ক্ষেত্রফল $=2\pi rh$ বর্গ একক।

প্রশ্নানুসারে,

$\pi r\sqrt{r^{2}+h^{2}}:2\pi rh=5:8$

বা, $\frac{\sqrt{r^{2}+h^{2}}}{2h}=\frac{5}{8}$

উভয়পক্ষে বর্গ করে পাই,

বা, $\left (\frac{\sqrt{r^{2}+h^{2}}}{2h} \right )^{2}=\left (\frac{5}{8} \right )^{2}$

বা, $\frac {r^{2}+h^{2}}{4h^{2}}=\frac{25}{64}$

বা, $64r^{2}+64h^{2}=100h^{2}$

বা, $64r^{2}=100h^{2}-64h^{2}$

বা, $64r^{2}=36h^{2}$

বা, $\frac{r^{2}}{h^{2}}=\frac{36}{64}$

বা, $\left ( \frac{r}{h} \right )^{2}=\left (\frac{6}{8} \right )^{2}$

বা, $\frac{r}{h}=\frac{3}{4}$

বা, $r:h=3:4$

উত্তরঃ নির্ণেয় নিরেট শঙ্কু ও নিরেট লম্ববৃত্তাকার চোঙের ভূমিতলের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য ও উচ্চতার অনুপাত 3 : 4

ঘনবস্তু সংক্রান্ত বাস্তব সমস্যা : কষে দেখি – 19

Q5. 8 সেমি দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের একটি নিরেট লোহার গোলককে গলিয়ে 1 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসের কয়টি নিরেট গুলি পাওয়া যাবে হিসাব করে দেখি।

সমাধানঃ

বড়ো নিরেট লোহার গোলকের ব্যাসার্ধ (R) = 8 সেমি

∴ বড়ো গোলকের আয়তন $=\frac{4}{3}\pi R^{3}$ ঘন সেমি $=\frac{4}{3}\pi \times \left ( 8 \right )^{3}$ ঘন সেমি।

ছোট নিরেট গুলির ব্যাসের দৈর্ঘ্য (2r) = 1 সেমি

∴ ছোট নিরেট গুলির ব্যাসার্ধ $\left ( r \right )=\frac{1}{2}$ সেমি

এবং আয়তন $=\frac{4}{3}\pi r^{3}$ ঘন সেমি $=\frac{4}{3}\pi \times \left ( \frac{1}{2} \right )^{3}=\frac{1}{6}\pi$ ঘন সেমি।

∴ 1 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসের নিরেট গুলি পাওয়া যাবে

$=\frac{\frac{4}{3}\pi \times \left ( 8 \right )^{3}}{\frac{1}{6}\pi }$

$=\frac{4}{3}\times 512\times \frac{6}{1}$

= 4096

উত্তরঃ নির্ণেয় নিরেট লোহার গোলককে গলিয়ে 1 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসের 4096টি নিরেট গুলি পাওয়া যাবে।

ঘনবস্তু সংক্রান্ত বাস্তব সমস্যা : কষে দেখি – 19

Q6. একটি নিরেট লম্ববৃত্তাকার লোহার দণ্ডের ভূমিতলের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 32 সেমি. এবং দৈর্ঘ্য 35 সেমি.। দণ্ডটি গলিয়ে 8 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধ ও 28 সেমি. উচ্চতা বিশিষ্ট কতগুলি নিরেট শঙ্কু তৈরি করা যাবে তা হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ

লোহার দণ্ডের ভূমিতলের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য (R) = 32 সেমি. এবং দৈর্ঘ্য (H) = 35 সেমি.।

∴ লোহার দণ্ডটির আয়তন $=\pi R^{2}H=\pi\times \left ( 32 \right )^{2} \times 35$ ঘন সেমি।

নিরেট শঙ্কুর ব্যাসার্ধ (r) = 8 সেমি. ও উচ্চতা (h) = 28 সেমি.

∴ লম্ববৃত্তাকার শঙ্কুর আয়তন

$=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$

$=\frac{1}{3}\times \pi \times \left ( 8 \right )^{2}\times 28$ ঘন সেমি।

∴ নিরেট শঙ্কু তৈরি করা যাবে

$=\frac{\pi \times \left ( 32 \right )^{2}\times 35}{\frac{1}{3}\times \pi \times \left ( 8 \right )^{2}\times 28}$

$=\frac{32\times 32\times 35\times 3}{8 \times 8 \times 28}$

= 60

উত্তরঃ নির্ণেয় 60 টি নিরেট শঙ্কু তৈরি করা যাবে।

ঘনবস্তু সংক্রান্ত বাস্তব সমস্যা : কষে দেখি – 19

Q7. 4.2 ডেসিমি. দৈর্ঘ্যের ধার বিশিষ্ট একটি নিরেট কাঠের ঘনক থেকে সবচেয়ে কম কাঠ নষ্ট করে যে নিরেট লম্ববৃত্তাকার শঙ্কু পাওয়া যাবে তার আয়তন নির্ণয় করি।

সমাধানঃ

নিরেট লম্ববৃত্তাকার শঙ্কুর ব্যাস(2r) এবং উচ্চতা(h) হবে 4.2 ডেসিমি.

∴ লম্ববৃত্তাকার শঙ্কুর আয়তন হবে

$=\frac{1}{3}\pi \times \left ( \frac{4.2}{2} \right )^{2}\times 4.2$

$=\frac{1}{3}\times \frac{22}{7}\times 2.1\times 2.1\times 4.2$

= 19.404 ঘন সেমি.।

উত্তরঃ নির্ণেয় লম্ববৃত্তাকার শঙ্কুর আয়তন হবে 19.404 ঘন সেমি.।

ঘনবস্তু সংক্রান্ত বাস্তব সমস্যা : কষে দেখি – 19

Q8. একটি নিরেট গোলক ও একটি নিরেট লম্ববৃত্তাকার চোঙের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য সমান এবং তাদের ঘনফলও সমান হলে, চোঙটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য ও উচ্চতার অনুপাত হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ

ধরি, নিরেট গোলক ও একটি নিরেট লম্ববৃত্তাকার চোঙের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য = r একক

এবং গোলকের ঘনফল $=\frac{4}{3}\pi r^{3}$ ঘন একক ও লম্ববৃত্তাকার চোঙের ঘনফল $=\pi r^{2}h$ ঘন একক।

প্রশ্নানুসারে,

$\frac{4}{3}\pi r^{3}=\pi r^{2}h$

বা, 4r = 3h

বা, $\frac{r}{h}=\frac{3}{4}$

$\therefore r:h=3:4$

উত্তরঃ নির্ণেয় চোঙটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য ও উচ্চতার অনুপাত 3 : 4

ঘনবস্তু সংক্রান্ত বাস্তব সমস্যা : কষে দেখি – 19

Q9. 6.6 ডেসিমি. দীর্ঘ, 4.2 ডেসিমি প্রশস্ত এবং 1.4 ডেসিমি. পুরু একটি তামার নিরেট আয়তঘনাকার টুকরো গলিয়ে 2.1 ডেসিমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসের কয়টি নিরেট গোলক ঢালাই করা যাবে এবং প্রতিটি গোলকে কত ঘন ডেসিমি. ধাতু থাকবে হিসাব করে দেখি।

সমাধানঃ

প্রদত্ত, তামার নিরেট আয়তঘনাকার টুকরোর

দৈর্ঘ্য (l) = 6.6 ডেসিমি.

প্রস্থ (b) = 4.2 ডেসিমি

এবং পুরু (d) = 1.4 ডেসিমি.

∴ আয়তঘনাকার টুকরোর আয়তন

$=lbd$ ঘন ডেসিমি.

$=6.6\times 4.2\times 1.4$ ঘন ডেসিমি.

= 38.808 ঘন ডেসিমি.

নিরেট গোলকের ব্যাস (2r) = 2.1 ডেসিমি.

∴ ব্যাসার্ধ $r=\frac{2.1}{2}$ ডেসিমি.

∴ প্রতিটি গোলকের আয়তন

$=\frac{4}{3}\pi r^{3}$ ঘন ডেসিমি.

$=\frac{4}{3}\times \frac{22}{7}\times \left ( \frac{2.1}{2} \right )^{3}$

$=\frac{4}{3}\times \frac{22}{7}\times \frac{21\times 21\times 21}{2\times 2\times 2\times 10\times 10\times 10}$

$=\frac{4851}{1000}$

= 4.851 ঘন ডেসিমি.

∴ গোলকের সংখ্যা $=\frac{38.808}{4.851}=\frac{38808}{4851}=8$ টি

উত্তরঃ নির্ণেয় 8 টি নিরেট গোলক ঢালাই করা যাবে এবং প্রতিটি গোলকে 4.851 ঘন ডেসিমি. ধাতু থাকবে।

ঘনবস্তু সংক্রান্ত বাস্তব সমস্যা : কষে দেখি – 19

Q10. 4.2 সেমি, দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের একটি সোনার নিরেট গোলক পিটিয়ে 2.৪ সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসের একটি নিরেট লম্ববৃত্তাকার দণ্ড তৈরি করা হলে, দণ্ডটির দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি।

সমাধানঃ

প্রদত্ত, সোনার নিরেট গোলকের ব্যাসার্ধ (R) = 4.2 সেমি.

∴ গোলকের আয়তন

$=\frac{4}{3}\pi r^{3}$ ঘন সেমি.

$=\frac{4}{3}\pi \left ( 4.2 \right )^{3}$ ঘন সেমি.

নিরেট লম্ববৃত্তাকার দন্ডের ব্যাস (2r) = 2.৪ সেমি.

∴ ব্যাসার্ধ $r=\frac{2.8}{2}$ সেমি.

ধরি, লম্ববৃত্তাকার দণ্ডটির দৈর্ঘ্য = h সেমি.

∴ নিরেট লম্ববৃত্তাকার দন্ডের আয়তন

$=\pi r^{2}h$ ঘন সেমি.

$=\pi \times \left ( \frac{2.8}{2} \right )^{2}\times h$ ঘন সেমি.

প্রশ্নানুসারে,

$\pi \times \left ( \frac{2.8}{2} \right )^{2}\times h=\frac{4}{3}\pi \times \left ( 4.2 \right )^{3}$

বা, $\left (1.4 \right )^{2}\times h=\frac{4}{3}\times 4.2\times 4.2\times 4.2$

বা, $h=\frac{4\times 4.2\times 4.2\times 4.2}{3\times 1.4\times 1.4}$

$\therefore h=50.4$ সেমি.

উত্তরঃ নির্ণেয় লম্ববৃত্তাকার দণ্ডটির দৈর্ঘ্য 50.4 সেমি.।

Koshe dekhi 19 class 10

ঘনবস্তু সংক্রান্ত বাস্তব সমস্যা : কষে দেখি – 19

Q11. 6 ডেসিমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসের একটি নিরেট রৌপ্য গোলক গলিয়ে 1 ডেসিমি. লম্বা একটি নিরেট লম্ববৃত্তাকার দন্ড তৈরি করা হলে, দণ্ডটির ব্যাসের দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ

প্রদত্ত, নিরেট রৌপ্য গোলকের ব্যাস (2R) = 6 ডেসিমি.

∴ ব্যাসার্ধ $R=\frac{6}{2}=3$ ডেসিমি.

∴ গোলকের আয়তন

$=\frac{4}{3}\pi R^{3}$ ঘন ডেসিমি.

$=\frac{4}{3}\pi \left ( 3 \right )^{3}$ ঘন ডেসিমি.

$=36\pi$ ঘন ডেসিমি.

নিরেট লম্ববৃত্তাকার দন্ডের দৈর্ঘ্য (h) = 1 ডেসিমি.

ধরি, লম্ববৃত্তাকার দণ্ডটির ব্যাসার্ধ = r ডেসিমি.

∴ নিরেট লম্ববৃত্তাকার দন্ডের আয়তন

$=\pi r^{2}h$ ঘন ডেসিমি.

$=\pi \times r^{2}\times 1$ ঘন ডেসিমি.

$=\pi r^{2}$ ঘন ডেসিমি.

প্রশ্নানুসারে,

$\pi r^{2}=36\pi$

$r^{2}=\left ( 6 \right )^{2}$

∴ r = 6 ডেসিমি.

∴ দণ্ডটির ব্যাসের দৈর্ঘ্য = 2 × ব্যাসার্ধ = 2 × 6 = 12 ডেসিমি.

উত্তরঃ নির্ণেয় নিরেট লম্ববৃত্তাকার দণ্ডটির ব্যাসের দৈর্ঘ্য 12 ডেসিমি.

ঘনবস্তু সংক্রান্ত বাস্তব সমস্যা : কষে দেখি – 19

Q12. একটি নিরেট লম্ববৃত্তাকার দন্ডের প্রস্থচ্ছেদের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 3.2 ডেসিমি.। সেই দণ্ডটি গলিয়ে 21 টি নিরেট গোলক তৈরি করা হলো। গোলকগুলির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 8 সেমি হয়, তবে দণ্ডটির দৈর্ঘ্য কত ছিল তা হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ

প্রদত্ত, নিরেট লম্ববৃত্তাকার দন্ডের প্রস্থচ্ছেদের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য (R) = 3.2 ডেসিমি.

ধরি, লম্ববৃত্তাকার দণ্ডটির দৈর্ঘ্য = h ডেসিমি.

∴ নিরেট লম্ববৃত্তাকার দন্ডের আয়তন

$=\pi R^{2}h$ ঘন ডেসিমি.

$=\pi \times \left ( 3.2 \right )^{2}\times h$ ঘন ডেসিমি.

$=\pi \times \left ( \frac{32}{10} \right )^{2}\times h$ ঘন ডেসিমি.

$=\frac{256}{25}\pi h$ ঘন ডেসিমি.

21 টি গোলকের প্রত্যেকটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য (r) = 8 সেমি

∴ গোলকগুলির আয়তন

$=21\times \frac{4}{3}\pi r^{3}$ ঘন সেমি.

$=21\times \frac{4}{3}\pi \times \left ( 8 \right )^{3}$ ঘন সেমি.

$=14336\pi$ ঘন সেমি.

$=\frac{14336\pi }{1000}$ ঘন ডেসিমি.

প্রশ্নানুসারে,

$\frac{256}{25}\pi h=\frac {14336}{1000}\pi$

বা, $h=\frac{14336\times 25}{256\times 1000}$

∴ h = 1.4

উত্তরঃ নির্ণেয় দণ্ডটির দৈর্ঘ্য 1.4 ডেসিমি.।

ঘনবস্তু সংক্রান্ত বাস্তব সমস্যা : কষে দেখি – 19

Q13. 21 ডেসিমি. দীর্ঘ, 11 ডেসিমি. প্রশস্ত এবং 6 ডেসিমি. গভীর একটি চৌবাচ্চা অর্ধেক জলপূর্ণ আছে। এখন সেই চোবাচ্চায় যদি 21 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসের 100 টি লোহার গোলক সম্পূর্ণ ডুবিয়ে দেওয়া হয়, তবে জলতল কত ডেসিমি. উঠবে তা হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ

প্রদত্ত, চৌবাচ্চার

দৈর্ঘ্য (l) = 21 ডেসিমি.

প্রস্থ (b) = 11 ডেসিমি

এবং গভীর (d) = 6 ডেসিমি.

ধরি, চৌবাচ্চার জলতল h ডেসিমি. উপরে উঠবে।

∴ জলতলের আয়তন হবে = 21 × 11 × h ঘন ডেসিমি.।

লোহার গোলকের ব্যাসের দৈর্ঘ্য (2r) = 21 সেমি.

∴ ব্যাসার্ধ $r=\frac{21}{2}$ সেমি. $=\frac{21}{2\times 10}=\frac{21}{20}$ ডেসিমি.

∴ 100 টি লোহার গোলকের আয়তন

$=100\times \frac{4}{3}\pi \times \left ( \frac{21}{20} \right )^{3}$ ঘন ডেসিমি.

প্রশ্নানুসারে,

$21\times 11\times h=100\times \frac{4}{3}\pi \times \left ( \frac{21}{20} \right )^{3}$

বা, $h=\frac{100\times 4\times 22\times 21\times 21\times 21}{3\times 7\times 20\times 20\times 20\times 21\times 11}$

বা, $h=\frac{21}{10}$

∴ h = 2.1 ডেসিমি.

উত্তরঃ নির্ণেয় চৌবাচ্চার জলতল 2.1 ডেসিমি. উপরে উঠবে।

ঘনবস্তু সংক্রান্ত বাস্তব সমস্যা : কষে দেখি – 19

Q14. সমান ভূমিতলের ব্যাস এবং সমান উচ্চতাবিশিষ্ট একটি নিরেট শঙ্কু ও একটি নিরেট অর্ধগোলক এবং একটি নিরেট চোঙের আয়তনের অনুপাত নির্ণয় করি।

সমাধানঃ

বস্তু তিনটির ব্যাসের দৈর্ঘ্য সমান।

অর্থাৎ, ব্যাসার্ধ ও সমান।

ধরি,

নিরেট শঙ্কু, নিরেট অর্ধগোলক এবং নিরেট লম্ববৃত্তাকার চোঙের ভূমিতলের ব্যাসার্ধ r একক।

অর্ধগোলকের উচ্চতা = অর্ধগোলকের ব্যাসার্ধ = r একক।

সুতরাং, শঙ্কু ও অর্ধগোলকের উচ্চতা (h) = r একক।

∴ নিরেট শঙ্কুর আয়তন

$=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$ ঘন একক

$=\frac{1}{3}\pi r^{3} {\color{DarkOrange}[ \because h=r]}$ ঘন একক,

অর্ধগোলকের আয়তন

$=\frac{2}{3}\pi r^{3}$ ঘন একক,

লম্ববৃত্তাকার চোঙের আয়তন

$=\pi r^{2}h$ ঘন একক

$=\pi r^{3} {\color{DarkOrange}[ \because h=r]}$ ঘন একক

নিরেট শঙ্কু, নিরেট অর্ধগোলক এবং নিরেট চোঙের আয়তনের অনুপাত

$=\frac{1}{3}\pi r^{3}:\frac{2}{3}\pi r^{3}:\pi r^{3}$

$=\frac{1}{3}:\frac{2}{3}:1$

$=\frac{1}{3}\times 3:\frac{2}{3}\times 3:1\times 3$

$=1:2:3$

উত্তরঃ নির্ণেয় নিরেট শঙ্কু, নিরেট অর্ধগোলক এবং নিরেট চোঙের আয়তনের অনুপাত 1 : 2 : 3

ঘনবস্তু সংক্রান্ত বাস্তব সমস্যা : কষে দেখি – 19

Q15. 1 সেমি, পুরু সীসার পাতের তৈরি একটি ফাঁপা গোলকের বাইরের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 6 সেমি.। গোলকটি গলিয়ে 2 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার দণ্ড তৈরি করা হলে, দন্ডটির দৈর্ঘ্য কত হবে হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ

1 সেমি, পুরু সীসার পাতের তৈরি একটি ফাঁপা গোলকের বাইরের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য (R) = 6 সেমি.

∴ ভিতরের ব্যাসার্ধ (r) = ( 6 – 1 ) = 5 সেমি.

ফাঁপা গোলকের আয়তন

$=\frac{4}{3}\pi \left ( R^{3}-r^{3} \right )$

$=\frac{4}{3}\pi \left ( 6^{3}-5^{3} \right )$

$=\frac{4}{3}\pi \times 91$ ঘন সেমি.

ধরি, নিরেট লম্ব বৃত্তাকার দন্ডটির দৈর্ঘ্য = h সেমি.

দন্ডটির ব্যাসার্ধ $\left ( r_{1} \right )=2$ সেমি.

∴ দন্ডটির আয়তন

$=\pi r_{1}^{2}h$

$=\pi \times \left ( 2 \right )^{2}\times h$

$=4\pi h$

প্রশ্নানুসারে,

$4\pi h=\frac{4}{3}\pi \times 91$

বা, $h=\frac{91}{3}$

$\therefore h=30\frac{1}{3}$

উত্তরঃ নির্ণেয় নিরেট লম্ব বৃত্তাকার দন্ডটির দৈর্ঘ্য ${\color{DarkGreen} 30\frac{1}{3}}$ সেমি.

ঘনবস্তু সংক্রান্ত বাস্তব সমস্যা : কষে দেখি – 19

Q16. 2 মিটার লম্বা একটি আয়াতঘনাকার কাঠের লগের প্রস্থচ্ছেদ বর্গাকার এবং তার প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য 14 ডেসিমি.। সবচেয়ে কম কাঠ নষ্ট করে ওই লগটিকে যদি একটি লম্ববৃত্তাকার গুড়িতে পরিণত করা যায়, তবে তাতে কত ঘনমিটার কাঠ থাকবে এবং কত ঘনমিটার কাঠ নষ্ট হবে হিসাব করি।

[ উত্তর সংকেত : বর্গাকার চিত্রের অন্তর্লিখিত পরিবৃত্ত হলে, বৃত্তের ব্যসের দৈর্ঘ্য বর্গাকার চিত্রের বাহুর দৈর্ঘ্যের সমান। ]

সমাধানঃ

∵ আয়াতঘনাকার কাঠের লগের প্রস্থচ্ছেদ বর্গাকার এবং তার প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য 14 ডেসিমি.

∴ লম্ববৃত্তাকার গুড়ির ভূমির ব্যাসের দৈর্ঘ্য (2r) = আয়াতঘনাকার কাঠের লগের বর্গাকার প্রস্থচ্ছেদের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য = 14 ডেসিমি.

∴ ব্যাসার্ধর দৈর্ঘ্য (r) $=\frac{14}{2}=7$ ডেসিমি. $=0.7$ মিটার

লম্ববৃত্তাকার গুড়ির দৈর্ঘ্য = আয়াতঘনাকার কাঠের লগের দৈর্ঘ্য = 2 মিটার

2 মিটার লম্বা এবং 14 ডেসিমি. অর্থাৎ 1.4 মিটার বর্গাকার প্রস্থচ্ছেদ যুক্ত আয়াতঘনাকার কাঠের লগের আয়তন –

= (বর্গাকার প্রস্থচ্ছেদের ক্ষেত্রফল) × (কাঠের লগের দৈর্ঘ্য)

= (1.4 মি. × 1.4 মি.) × 2 মি.

= 3.92 ঘন মি.

2 মিটার লম্বা এবং 0.7 মিটার বৃত্তাকার প্রস্থচ্ছেদ যুক্ত লম্ববৃত্তাকার কাঠের গুড়ির আয়তন –

= (বৃত্তাকার প্রস্থচ্ছেদের ক্ষেত্রফল) × (কাঠের গুড়ির দৈর্ঘ্য)

= $\pi\times \left ( 0.7 \right )^{2}$ মি.²× 2 মি.

= 3.08 ঘন মি. (উত্তর)

আয়াতঘনাকার কাঠের লগটিকে লম্ববৃত্তাকার কাঠের গুড়িতে পরিণত করলে যে পরিমান কাঠ নষ্ট হবে তার আয়তন –

= আয়াতঘনাকার কাঠের আয়তন − লম্ববৃত্তাকার কাঠের গুড়ির আয়তন

= 3.92 ঘন মি. − 3.08 ঘন মি.

= 0.84 ঘন মি. (উত্তর)

উত্তরঃ নির্ণেয় সবচেয়ে কম কাঠ নষ্ট করে ওই লগটিকে যদি একটি লম্ববৃত্তাকার গুড়িতে পরিণত করা যায়, তবে তাতে 3.08 ঘনমিটার কাঠ থাকবে এবং 0.84 ঘনমিটার কাঠ নষ্ট হবে।

ঘনবস্তু সংক্রান্ত বাস্তব সমস্যা : কষে দেখি – 19

Q17. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.) :

(A) বহুবিকল্পীয় ভিত্তিক প্রশ্ন (M.C.Q.) :

(i) r একক দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট একটি নিরেট গোলককে গলিয়ে r একক উচ্চতার একটি নিরেট লম্ববৃত্তাকার শঙ্কু তৈরি করা হলো। শঙ্কুটির ভূমির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য

(a) 2r একক

(b) 3r একক

(d) 4r একক

উত্তরঃ (a) 2r একক

সমাধানঃ

r একক দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট একটি নিরেট গোলকের আয়তন $=\frac{4}{3}\pi r^{3}$ ঘন একক।

নিরেট লম্ববৃত্তাকার শঙ্কুটির উচ্চতা (h) = r একক

ধরি, শঙ্কুটির ভূমির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য (R) = x একক।

শঙ্কুটির আয়তন $=\frac{1}{3}\pi R^{2}h=\frac{1}{3}\pi x^{2}r$ ঘন একক।

প্রশ্নানুসারে,

$\frac{1}{3}\pi x^{2}r=\frac{4}{3}\pi r^{3}$

বা, $x^{2}==4r^{2}$

বা, $x=\sqrt{4r^{2}}$

∴ x = 2r

ঘনবস্তু সংক্রান্ত বাস্তব সমস্যা : কষে দেখি – 19

Q17. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.) :

(A) বহুবিকল্পীয় ভিত্তিক প্রশ্ন (M.C.Q.) :

(ii) একটি নিরেট লম্ববৃত্তাকার শঙ্কুকে গলিয়ে একই দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট একটি নিরেট লম্ববৃত্তাকার চোঙ তৈরি করা হলো যার উচ্চতা 5 সেমি.। শঙ্কুটির উচ্চতা

(a) 10 সেমি.

(b) 15 সেমি,

(d) 24 সেমি.

উত্তরঃ (b) 15 সেমি.।

সমাধানঃ

প্রদত্ত, নিরেট লম্ববৃত্তাকার চোঙের এবং শঙ্কুর ব্যাসার্ধ = r সেমি.।

নিরেট লম্ববৃত্তাকার চোঙের উচ্চতা(h) = 5 সেমি.।

ধরি, লম্ববৃত্তাকার শঙ্কুটির উচ্চতা = H সেমি.।

নিরেট লম্ববৃত্তাকার চোঙের আয়তন $=\pi r^{2}h=\pi r^{2}\times 5$ ঘন সেমি. এবং

শঙ্কুর আয়তন $=\frac{1}{3}\pi r^{2}H$ ঘন সেমি.।

প্রশ্নানুসারে,

$\frac{1}{3}\pi r^{2}H=\pi r^{2}\times 5$

বা, $\frac{H}{3}=5$

∴ H = 15

∴ লম্ববৃত্তাকার শঙ্কুটির উচ্চতা 15 সেমি.

ঘনবস্তু সংক্রান্ত বাস্তব সমস্যা : কষে দেখি – 19

Q17. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.) :

(A) বহুবিকল্পীয় ভিত্তিক প্রশ্ন (M.C.Q.) :

(iii) একটি লম্ববৃত্তাকার চোঙের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য r একক এবং উচ্চতা 2r একক। চোঙটির মধ্যে সর্ববৃহৎ যে গোলকটি রাখা যাবে তার ব্যাসের দৈর্ঘ্য

(a) r একক

(b) 2r একক

(d) 4r একক

উত্তরঃ (b) 2r একক

সমাধানঃ

প্রদত্ত,

লম্ববৃত্তাকার চোঙের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য r একক

এবং উচ্চতা 2r একক।

∴ চোঙটির ব্যাস $\fn_jvn =2\times$ ব্যাসার্ধ $\fn_jvn =2\times r=2r$ একক।

চোঙটির মধ্যে সর্ববৃহৎ যে গোলকটি রাখা যাবে তার ব্যাসের দৈর্ঘ্য ও চোঙটির ব্যাসের দৈর্ঘ্য সমান হবে।

∴ গোলকটির ব্যাস $\fn_jvn =2r$ একক।

ঘনবস্তু সংক্রান্ত বাস্তব সমস্যা : কষে দেখি – 19

Q17. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.) :

(A) বহুবিকল্পীয় ভিত্তিক প্রশ্ন (M.C.Q.) :

(iv) r একক দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট একটি নিরেট অর্ধগোলক থেকে সর্ববৃহৎ যে নিরেট শঙ্কু কেটে নেওয়া যাবে তার আয়তন

(a) ${\color{Blue} 4\pi r^{3}}$ ঘন একক

(b) ${\color{Blue} 3\pi r^{3}}$ ঘন একক

(d) ${\color{Blue} \frac{\pi r^{3}}{3}}$ ঘন একক

উত্তরঃ (d) ${\color{DarkGreen} \frac{\pi r^{3}}{3}}$ ঘন একক।

সমাধানঃ

r একক দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট একটি নিরেট অর্ধগোলক থেকে সর্ববৃহৎ যে নিরেট শঙ্কু কেটে নেওয়া যাবে

তার ব্যাসার্ধ ও উচ্চতা উভয়ই হবে r একক।

∴ শঙ্কুটির আয়তন হবে $=\frac{1}{3}\pi \times r^{2}\times r=\frac{1}{3}\pi r^{3}$ ঘন একক।

ঘনবস্তু সংক্রান্ত বাস্তব সমস্যা : কষে দেখি – 19

Q17. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.) :

(A) বহুবিকল্পীয় ভিত্তিক প্রশ্ন (M.C.Q.) :

(v) $x$ একক দৈর্ঘ্যের ধারবিশিষ্ট একটি নিরেট ঘনক থেকে সর্ববৃহৎ একটি নিরেট গোলক কেটে নেওয়া হলে, গোলকের ব্যাসের দৈর্ঘ্য

(a) x একক

(b) 2x একক

(d) 4x একক।

উত্তরঃ (a) x একক।

সমাধানঃ

x একক দৈর্ঘ্যের ধারবিশিষ্ট একটি নিরেট ঘনক থেকে সর্ববৃহৎ একটি নিরেট গোলক কেটে নেওয়া হলে, গোলকের ব্যাসের দৈর্ঘ্য x একক।

ঘনবস্তু সংক্রান্ত বাস্তব সমস্যা : কষে দেখি – 19

Q17. (B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখি :

(i) দুটি একই ধরনের নিরেট অর্ধগোলক যাদের ভূমিতলের প্রত্যেকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য r একক এবং তা ভূমি বরাবর জোড়া হলে, মিলিত ঘনবস্তুর সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল হবে ${\color{Blue} 6\pi r^{2}}$ বর্গ একক।

উত্তরঃ বিবৃতিটি মিথ্যা।

সমাধানঃ

অর্ধগোলকদুটিকে ভূমি বরাবর জোড়া হলে, মিলিত ঘনবস্তু একটি পূর্ণ গোলকের আকার ধারণ করবে।

আমরা জানি, পূর্ণ গোলকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল $=4\pi r^{2}$ বর্গ একক।

ঘনবস্তু সংক্রান্ত বাস্তব সমস্যা : কষে দেখি – 19

Q17. (B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখি :

(ii) একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর ভূমিতলের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য r একক এবং উচ্চতা h একক এবং তির্যক উচ্চতা $l$ একক। শঙ্কুটির ভূমিতলকে একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার চোঙের ভূমিতল বরাবর জুড়ে দেওয়া হলো। যদি চোঙের ও শঙ্কুর ভূমিতলের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য এবং উচ্চতা একই হয় তবে মিলিত ঘনবস্তুর সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল ${\color{Blue} \left ( \pi rl+2\pi rh+2\pi r^{2} \right )}$ বর্গ একক।

উত্তরঃ বিবৃতিটি মিথ্যা।

সমাধানঃ

প্রদত্ত, শঙ্কুটির ভূমিতলকে একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার চোঙের ভূমিতল বরাবর জোড়া,

তাই মিলিত ঘনবস্তুর সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল হবে

= শঙ্কুর বক্রতলের ক্ষেত্রফল + চোঙের বক্রতলের ক্ষেত্রফল + চোঙের একটি বৃত্তাকার সমতলের ক্ষেত্রফল

$=\left ( \pi rl+2\pi rh+\pi r^{2} \right )$ বর্গ একক।

ঘনবস্তু সংক্রান্ত বাস্তব সমস্যা : কষে দেখি – 19

Q17. (C) শূন্যস্থান পূরণ করি :

(i) একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার চোঙ ও দুটি অর্ধগোলকের ভূমিতলের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য সমান। দুটি অর্ধগোলককে চোঙটির দুটি সমতলে আটকে দেওয়া হলে নতুন ঘনবস্তুর সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = একটি অর্ধগোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল + _________ বক্রতলের ক্ষেত্রফল + অপর অর্ধগোলকটির বক্রতলের ক্ষেত্রফল।

সমাধানঃ

একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার চোঙ ও দুটি অর্ধগোলকের ভূমিতলের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য সমান। দুটি অর্ধগোলককে চোঙটির দুটি সমতলে আটকে দেওয়া হলে নতুন ঘনবস্তুর সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = একটি অর্ধগোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল + লম্ব বৃত্তাকার চোঙ-এর বক্রতলের ক্ষেত্রফল + অপর অর্ধগোলকটির বক্রতলের ক্ষেত্রফল।

ঘনবস্তু সংক্রান্ত বাস্তব সমস্যা : কষে দেখি – 19

Q17. (C) শূন্যস্থান পূরণ করি :

(ii) একমুখ কাটা একটি পেনসিলের আকার শঙ্কু ও _______ সমন্বয়।

সমাধানঃ একমুখ কাটা একটি পেনসিলের আকার শঙ্কু ও চোঙ -এর সমন্বয়।

ঘনবস্তু সংক্রান্ত বাস্তব সমস্যা : কষে দেখি – 19

Q17. (C) শূন্যস্থান পূরণ করি :

(iii) একটি নিরেট গোলককে গলিয়ে একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার চোঙ তৈরি করা হলো। গোলক ও চোঙের আয়তন _______ ।

সমাধানঃ একটি নিরেট গোলককে গলিয়ে একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার চোঙ তৈরি করা হলো। গোলক ও চোঙের আয়তন সমান হবে।

ঘনবস্তু সংক্রান্ত বাস্তব সমস্যা : কষে দেখি – 19

Q18. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.) :

(i) একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুকে গলিয়ে একটি নিরেট লম্ববৃত্তাকার চোঙ তৈরি করা হলো। উভয়ের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য সমান। যদি শঙ্কুর উচ্চতা 15 সেমি. হয়, তাহলে নিরেট চোঙের উচ্চতা কত হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ

ধরি, নিরেট লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু এবং নিরেট লম্ববৃত্তাকার চোঙ উভয়ের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য r সেমি. এবং নিরেট চোঙের উচ্চতা H সেমি.

প্রদত্ত, শঙ্কুর উচ্চতা (h) = 15 সেমি.

প্রশ্নানুসারে,

লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর আয়তন = লম্ববৃত্তাকার চোঙের আয়তন

বা, $\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\pi r^{2}H$

বা, $\frac{1}{3}\pi r^{2}\times 15=\pi r^{2}H$

বা, $5\pi r^{2}=\pi r^{2}H$

∴ H = 5

উত্তরঃ নিরেট লম্ববৃত্তাকার চোঙের উচ্চতা 5 সেমি.।

ঘনবস্তু সংক্রান্ত বাস্তব সমস্যা : কষে দেখি – 19

Q18. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.) :

(ii) একটি নিরেট লম্ববৃত্তাকার শঙ্কু এবং একটি নিরেট গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য সমান এবং আয়তন সমান। গোলকের ব্যাসের দৈর্ঘ্য এবং শঙ্কুর উচ্চতায় অনুপাত কত তা হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ

ধরি, নিরেট লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু এবং নিরেট গোলক উভয়ের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য r সেমি. এবং নিরেট শঙ্কুর উচ্চতা h সেমি.

∴ গোলকের ব্যাসের দৈর্ঘ্য = 2 × ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য = 2 × r = 2r সেমি.

প্রশ্নানুসারে,

লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর আয়তন = গোলকের আয়তন

বা, $\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{4}{3}\pi r^{3}$

বা, $h=4r$

বা, $\frac{h}{2r}=\frac{2}{1}$

বা, $\frac{2r}{h}=\frac{1}{2}$

∴ 2r : h = 1 : 2

উত্তরঃ নির্ণেয় গোলকের ব্যাসের দৈর্ঘ্য এবং শঙ্কুর উচ্চতায় অনুপাত 1 : 2

ঘনবস্তু সংক্রান্ত বাস্তব সমস্যা : কষে দেখি – 19

Q18. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.) :

(iii) সমান দৈর্ঘ্যের ব্যাস এবং সমান উচ্চতা বিশিষ্ট নিরেট লম্ববৃত্তাকার চোঙ, নিরেট লম্ববৃত্তাকার শঙ্কু এবং নিরেট গোলকের আয়তনের অনুপাত কত তা লিখি।

সমাধানঃ

নিরেট লম্ববৃত্তাকার চোঙ, নিরেট লম্ববৃত্তাকার শঙ্কু এবং নিরেট গোলকের ব্যসের দৈর্ঘ্য সমান।

∴ ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য সমান।

ধরি, ব্যাসার্ধ = r একক।

∴ গোলকের উচ্চতা = গোলকের ব্যাসের দৈর্ঘ্য = 2 × ব্যাসার্ধ = 2r একক।

প্রশ্নানুসারে,

গোলকের উচ্চতা = চোঙের উচ্চতা = 2r একক।

∴ নিরেট লম্ববৃত্তাকার চোঙ, নিরেট লম্ববৃত্তাকার শঙ্কু এবং নিরেট গোলকের আয়তনের অনুপাত

$=\pi r^{2}\times 2r:\frac{1}{3}\pi r^{2}\times 2r:\frac{4}{3}\pi r^{3}$

$=2:\frac{2}{3}:\frac{4}{3}$

$=2\times 3:\frac{2}{3}\times 3:\frac{4}{3}\times 3$

= 6 : 2 : 4

= 3 : 1 : 2

উত্তরঃ নির্ণেয় নিরেট লম্ববৃত্তাকার চোঙ, নিরেট লম্ববৃত্তাকার শঙ্কু এবং নিরেট গোলকের আয়তনের অনুপাত 3 : 1 : 2

ঘনবস্তু সংক্রান্ত বাস্তব সমস্যা : কষে দেখি – 19

Q18. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.) :

(iv) একটি ঘনবস্তুর নীচের অংশ অর্ধগোলক আকারের এবং উপরের অংশ লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু আকারের। যদি দুটি অংশের তলের ক্ষেত্রফল সমান হয়, তাহলে ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য এবং শঙ্কুর উচ্চতার অনুপাত হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ

ধরি, অর্ধগোলক ও লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য = r একক এবং শঙ্কুর উচ্চতা = h একক।

∴ শঙ্কুর উচ্চতা $\left ( l \right )=\sqrt{r^{2}+h^{2}}$ একক।

প্রশ্নানুসারে,

অর্ধগোলকের তলের ক্ষেত্রফল = শঙ্কুর তলের ক্ষেত্রফল

বা, $2\pi r^{2}=\pi r\sqrt{r^{2}+h^{2}}$

বা, $2r=\sqrt{r^{2}+h^{2}}$

উভয় পক্ষে বর্গ করে পাই,

বা, $\left (2r \right )^{2}=\left (\sqrt{r^{2}+h^{2}} \right )^{2}$

বা, $4r^{2}={r^{2}+h^{2}}$

বা, $4r^{2}-{r^{2}=h^{2}}$

বা, $3r^{2}=h^{2}$

বা, $\frac{r^{2}}{h^{2}}=\frac{1}{3}$

বা, $\frac{r}{h}=\sqrt{\frac{1}{3}}$

$\therefore r:h=1:\sqrt{3}$

উত্তরঃ নির্ণেয় অর্ধগোলক ও লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য এবং শঙ্কুর উচ্চতার অনুপাত ${\color{DarkGreen} 1:\sqrt{3}}$

ঘনবস্তু সংক্রান্ত বাস্তব সমস্যা : কষে দেখি – 19

Q18. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.) :

(v) একটি নিরেট লম্ববৃত্তাকার শঙ্কুর ভূমিতলের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য একটি নিরেট গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের সমান। গোলকের আয়তন শঙ্কুর আয়তনের দ্বিগুণ হলে, শঙ্কুর উচ্চতা এবং ভূমিতলের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের অনুপাত কত তা লিখি।

সমাধানঃ

প্রদত্ত,নিরেট লম্ববৃত্তাকার শঙ্কুর ভূমিতলের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য একটি নিরেট গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের সমান।

ধরি, শঙ্কুর উচ্চতা = h একক এবং ভূমিতলের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য = r একক।

∴ গোলকের আয়তন $=\frac{4}{3}\pi r^{3}$ ঘন একক এবং শঙ্কুর আয়তন $=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$ ঘন একক।

প্রশ্নানুসারে,

$2\times \frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{4}{3}\pi r^{3}$

বা, h = 2r

বা, $\frac{h}{r}=\frac{2}{1}$

∴ h : r = 2 : 1

উত্তরঃ নির্ণেয় শঙ্কুর উচ্চতা এবং ভূমিতলের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের অনুপাত 2 : 1

koshe dekhi 19 class 10

Support Me

If you like my work then you can Support me by contributing a small amount which will help me a lot to grow my Website. It’s a request to all of you. You can donate me through phone pay / Paytm/ Gpay on this number 7980608289 or by the link below :

and visit Our website : learningscience.co.in

গণিত প্রকাশ (দশম শ্রেণী) সম্পূর্ণ সমাধান

গণিত প্রকাশ (নবম শ্রেণী) সম্পূর্ণ সমাধান

গণিত প্রভা (ষষ্ঠ শ্রেণী) সম্পূর্ণ সমাধান

জীবন বিজ্ঞান (দশম শ্রেণী) (Life Science)

Thank You

Koshe dekhi 19 class 10, Koshe dekhi 19 class 10, Koshe dekhi 19 class 10, Koshe dekhi 19 class 10, Koshe dekhi 19 class 10, Koshe dekhi 19 class 10, Koshe dekhi 19 class 10, Koshe dekhi 19 class 10, Koshe dekhi 19 class 10, Koshe dekhi 19 class 10, Koshe dekhi 19 class 10, Koshe dekhi 19 class 10, Koshe dekhi 19 class 10, Koshe dekhi 19 class 10, Koshe dekhi 19 class 10, Koshe dekhi 19 class 10, Koshe dekhi 19 class 10, Koshe dekhi 19 class 10, Koshe dekhi 19 class 10, Koshe dekhi 19 class 10, Koshe dekhi 19 class 10, Koshe dekhi 19 class 10, Koshe dekhi 19 class 10, Koshe dekhi 19 class 10, Koshe dekhi 19 class 10, Koshe dekhi 19 class 10, Koshe dekhi 19 class 10, Koshe dekhi 19 class 10, Koshe dekhi 19 class 10, Koshe dekhi 19 class 10,

Koshe dekhi 19 class 10

Koshe dekhi 19 class 10

Koshe dekhi 19 class 10

koshe dekhi 19 class 10

Support Me

Related Post

WBCHSE – Let us Work Out 26.4 – WB Class 10

WBCHSE – Let us Work Out 26.1 – WB Class 10

Koshe Dekhi 21 Class 10

Leave a Reply Cancel reply

You missed

Notification Out: RRB NTPC Recruitment 2024

CITL-001 Solved Assignment 2024-25

CIT-003 Solved Assignment 2024-25

CIT-002 Solved Assignment 2024-25