Koshe Dekhi 5.1 class 10

Q1. নীচের রাশিগুলি অনুপাতে প্রকাশ করি ও অনুপাতগুলি সাম্যানুপাত, লঘু অনুপাত না গুরু অনুপাত বুঝে লিখি।

(i) 4 মাস এবং 1 বছর 6 মাস

সমাধানঃ

4 মাস : 1 বছর 6 মাস

= 4 মাস : ( 1 × 12 + 6 ) মাস [ ${\color{Blue} \because }$ 1 বছর = 12 মাস ]

= 4 : 18

= 2 : 9

$\because \frac{2}{9}<1$ তাই নির্ণেয় অনুপাতটি লঘু অনুপাত। (উত্তর)

(ii) 75 পয়সা এবং 1 টাকা 25 পয়সা

সমাধানঃ

75 পয়সা : 1 টাকা 25 পয়সা

= 75 পয়সা : ( 1 × 100 + 25 ) পয়সা [ ${\color{Blue} \because }$ 1 টাকা = 100 পয়সা ]

= 75 : 125

= 3 : 5

$\because \frac{3}{5}<1$ তাই নির্ণেয় অনুপাতটি লঘু অনুপাত। (উত্তর)

(iii) 60 সেমি. এবং 0.6 মিটার

সমাধানঃ

60 সেমি. : 0.6 মিটার

= 60 সেমি. : 0.6 × 100 সেমি. [ ${\color{Blue} \because }$ 1 মিটার = 100 সেমি. ]

= 60 : 60

= 1 : 1

$\because \frac{1}{1}=1$ তাই নির্ণেয় অনুপাতটি সাম্যানুপাত । (উত্তর)

(iv) 1.2 কিগ্রা. এবং 60 গ্রাম

সমাধানঃ

1.2 কিগ্রা. এবং 60 গ্রাম

= (1.2 × 1000) গ্রাম : 60 গ্রাম [ ${\color{Blue} \because }$ 1 কিগ্রা. = 1000 গ্রাম]

= 1200 : 60

= 20 : 1

$\because \frac{20}{1}>1$ তাই নির্ণেয় অনুপাতটি গুরু অনুপাত। (উত্তর)

Q2 (i) p কিগ্রা. ও q গ্রামের অনুপাতটি লিখি।

সমাধানঃ

p কিগ্রা. : q গ্রাম

= (p × 1000) গ্রাম : q গ্রাম [ ${\color{Blue} \because }$ 1 কিগ্রা. = 1000 গ্রাম]

= 1000p : q (উত্তর)

Q2 (ii) x দিন ও z মাসের মধ্যে অনুপাত নির্ণয় কখন সম্ভব হবে লিখি।

সমাধানঃ

x দিন ও z মাসের মধ্যে অনুপাত নির্ণয় তখনই সম্ভব হবে যখন দুটি রাশির এককই সমান হবে অর্থাৎ, রাশি দুটির একক হয় দিনে অথবা মাসে রূপান্তরিত করা হবে। (উত্তর)

Q2 (iii) একটি অনুপাত ও তার ব্যস্ত অনুপাতের মিশ্র অনুপাত কী ধরনের অনুপাত হবে লিখি।

সমাধানঃ

একটি অনুপাত ও তার ব্যস্ত অনুপাতের মিশ্র অনুপাত সাম্যানুপাত হবে। (উত্তর)

Q2 (iv) ${\color{Blue} \frac{a}{b}:c,\quad \frac{b}{c}:a,\quad \frac{c}{a}:b}$ এর মিশ্র অনুপাত নির্ণয় করি।

সমাধানঃ

$\frac{a}{b}:c,\quad \frac{b}{c}:a,\quad \frac{c}{a}:b$ এর মিশ্র অনুপাত হবে

$=\frac{a}{b}\times \frac{b}{c}\times \frac{c}{a}:c\times a\times b$

= 1 : abc (উত্তর)

Q2 (v) ${\color{Blue} x^{2}:yz}$ এবং কোন অনুপাতের মিশ্র অনুপাত ${\color{Blue} xy:z^{2}}$ হবে হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ

ধরি, অনুপাতটি হবে a : b

$\therefore x^{2}\times a:yz\times b=xy:z^{2}$

বা, $x^{2}a:yzb=xy:z^{2}$

বা, $\frac{x^{2}a}{yzb}=\frac{xy}{z^{2}}$

বা, $\frac{xa}{yb}=\frac{y}{z}$

বা, $\frac{a}{b}=\frac{y^{2}}{xz}$

$\therefore a:b=y^{2}:xz$

উত্তরঃ নির্ণেয় ${\color{DarkGreen} x^{2}:yz}$ ও ${\color{DarkGreen} y^{2}:xz}$ অনুপাতের মিশ্র অনুপাত ${\color{DarkGreen} xy:z^{2}}$ হবে।

Q2 (vi) ${\color{Blue} {{x}^{2}}:\frac{yz}{x},\ {{y}^{2}}:\frac{zx}{y},\ {{z}^{2}}:\frac{yx}{z}}$ অনুপাতগুলির ব্যস্ত অনুপাতগুলির যৌগিক অনুপাত নির্ণয় করি।

সমাধানঃ

$x^{2}:\frac{yz}{x}$ এর ব্যস্ত অনুপাত $=\frac{yz}{x}:x^{2}$

$y^{2}:\frac{xz}{y}$ এর ব্যস্ত অনুপাত $=\frac{xz}{y}:y^{2}$

$z^{2}:\frac{yx}{z}$ এর ব্যস্ত অনুপাত $=\frac{yx}{z}:z^{2}$

∴ ব্যস্ত অনুপাতগুলির যৌগিক অনুপাতটি হল

$=\frac{yz}{x}\times \frac{xz}{y}\times \frac{yx}{z}:x^{2}\times y^{2}\times z^{2}$

$=xyz:x^{2}y^{2}z^{2}$

=1:xyz

উত্তরঃ নির্ণেয় ${\color{DarkGreen} {{x}^{2}}:\frac{yz}{x},\ {{y}^{2}}:\frac{zx}{y},\ {{z}^{2}}:\frac{yx}{z}}$ অনুপাতগুলির ব্যস্ত অনুপাতগুলির যৌগিক অনুপাতটি হল ${\color{DarkGreen} 1:xyz}$

Q3. নিন্মলিখিতগুলির মিশ্র অনুপাত বা যৌগিক অনুপাত নির্ণয় করি :

(i) 4 : 5, 5 : 7 এবং 9 : 11

সমাধানঃ

4 : 5, 5 : 7 এবং 9 : 11 এর মিশ্র অনুপাতটি হল

= ( 4 × 5 × 9 ) : ( 5 × 7 × 11 )

= 180 : 385

= 36 : 77 (উত্তর)

Q3 (ii) ${\color{Blue} \left( x+y \right):\left( x-y \right),\ \left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right):{{\left( x+y \right)}^{2}}}$ এবং ${\color{Blue} {{\left( {{x}^{2}}-{{y}^{2}} \right)}^{2}}:\left( {{x}^{4}}-{{y}^{4}} \right)}$

সমাধানঃ

$\left( x+y \right):\left( x-y \right),\ \left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right):{{\left( x+y \right)}^{2}}$ এবং ${{\left( {{x}^{2}}-{{y}^{2}} \right)}^{2}}:\left( {{x}^{4}}-{{y}^{4}} \right)$ এর মিশ্র অনুপাতটি হল

$=\left( x+y \right)\times \left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)\times \left( {{x}^{2}}-{{y}^{2}} \right)^{2}:\left( x-y \right)\times {{\left( x+y \right)}^{2}}\times \left ( x^{4}-y^{4} \right )$

$=\left( x+y \right)\times \left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)\times \left [\left( x+y \right)\left ( x-y \right ) \right ]^{2}:\left( x-y \right)\times {{\left( x+y \right)}^{2}}\times \left ( x^{2}-y^{2} \right )\times \left ( x^{2}+y^{2} \right )$

$=\left( x+y \right)\times \left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)\times \left( x+y \right)^{2}\times \left ( x-y \right )^{2}:\left( x-y \right)\times {{\left( x+y \right)}^{2}}\times \left ( x-y \right )\times \left ( x+y \right )\times \left ( x^{2}+y^{2} \right )$

$=\left( x+y \right)^{3}\times \left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)\times \left ( x-y \right )^{2}:\left( x-y \right)^{2}\times {{\left( x+y \right)}^{3}}\times \left ( x^{2}+y^{2} \right )$

= 1 : 1 (উত্তর)

Q4 (i) A : B = 6 : 7 এবং B : C = 8 : 7 হলে, A : C নির্ণয় করি।

সমাধানঃ

A : B = 6 : 7

বা, $\frac{A}{B}=\frac{6}{7}$

এবং

B : C = 8 : 7

বা, $\frac{B}{C}=\frac{8}{7}$

$\therefore \frac{A}{C}=\frac{A}{B}\times \frac{B}{C}=\frac{6}{7}\times \frac{8}{7}=\frac{48}{49}$

উত্তরঃ নির্ণেয় A : C = 48 : 49

Q4 (ii) A : B = 2 : 3, B : C = 4 : 5 এবং C : D = 6:7 হলে, A : D নির্ণয় করি।

সমাধানঃ

A : B = 2 : 3

বা, $\frac{A}{B}=\frac{2}{3}$

B : C = 4 : 5

বা, $\frac{B}{C}=\frac{4}{5}$

এবং

C : D = 6 : 7

বা, $\frac{C}{D}=\frac{6}{7}$

$\therefore \frac{A}{D}=\frac{A}{B}\times \frac{B}{C}\times \frac{C}{D}=\frac{2}{3}\times \frac{4}{5}\times \frac{6}{7}=\frac{16}{35}$

উত্তরঃ নির্ণেয় A : D = 16 : 35

Q4 (iii) যদি A : B = 3 : 4 এবং B : C = 2 : 3 হয়, তাহলে A : B : C নির্ণয় করি।

সমাধানঃ

A : B = 3 : 4

বা, $\frac{A}{B}=\frac{3}{4}$

এবং

B : C = 2 : 3

বা, $\frac{B}{C}=\frac{2}{3}=\frac{2\times 2}{3\times 2}=\frac{4}{6}$

উত্তরঃ নির্ণেয় A : B : C = 3 : 4 : 6

Q4 (iv) x : y = 2 : 3 এবং y : z = 4 : 7 হলে, x : y : z নির্ণয় করি।

সমাধানঃ

x : y = 2 : 3

বা, $\frac{X}{Y}=\frac{2}{3}=\frac{2\times 4}{3\times 4}=\frac{8}{12}$

এবং

y : z = 4 : 7

বা, $\frac{X}{Y}=\frac{4}{7}=\frac{4\times 3}{7\times 3}=\frac{12}{21}$

উত্তরঃ নির্ণেয় x : y : z = 8 : 12 : 21

Q5 (i) x : y = 3 : 4 হলে, ${\color{Blue} \left( 3y-x \right):\left( 2x+y \right)}$ কত হবে নির্ণয় করি।

সমাধানঃ

ধরি, x = 3a এবং y = 4a

$\left( 3y-x \right):\left( 2x+y \right)$

$=\frac{3y-x}{2x+y}$

$=\frac{3\times 4a-3a}{2\times 3a+4a}$

$=\frac{9a}{10a}$

$=\frac{9}{10}$

উত্তরঃ নির্ণেয় ${\color{DarkGreen} \left( 3y-x \right):\left( 2x+y \right)=9:10}$

Q5 (ii) a : b = 8 : 7 হলে, দেখাই যে, ${\color{Blue} \left( 7a-3b \right):\left( 11a-9b \right)=7:5}$

সমাধানঃ

ধরি, a = 8x এবং b = 7x

$\left( 7a-3b \right):\left( 11a-9b \right)$

$=\frac{7a-3b}{11a-9b}$

$=\frac{7\times 8x-3\times 7x}{11\times 8x-9\times 7x}$

$=\frac{35x}{25x}$

$=\frac{7}{5}$

উত্তরঃ ${\color{DarkGreen} \left( 7a-3b \right):\left( 11a-9b \right)=7:5}$ ( প্রমানিত )

Q5 (iii) p : q = 5 : 7 এবং p − q = − 4 হলে, 3p + 4q এর মান নির্ণয় করি।

সমাধানঃ

p = 5x ও q = 7x

এখন

p – q = -4

বা, 5x – 7x = -4

বা, – 2x = – 4

বা, 2x = 4

$\therefore x=\frac{4}{2}=2$

∴ p = 5 × 2 = 10 এবং q = 7 × 2 = 14

∴ 3p + 4q

= 3 × 10 + 4 × 14

= 30 + 56

= 86

উত্তরঃ নির্ণেয় 3p + 4q এর মান 86

koshe dekhi 5.1 class 10

Q6 (i) ${\color{Blue} \left( 5x-3y \right):\left( 2x+4y \right)=11:12}$ হলে, x : y নির্ণয় করি।

সমাধানঃ

$\left( 5x-3y \right):\left( 2x+4y \right)=11:12$

বা, $\frac{5x-3y}{2x+4y}=\frac{11}{12}$

বা, 60x-36y=22x+44y

বা, 60x-22x=36y+44y

বা, 38x=80y

বা, $\frac{x}{y}=\frac{80}{38}$

বা, $\frac{x}{y}=\frac{40}{19}$

${\color{DarkGreen} \therefore x:y=40:19}$ (উত্তর)

koshe dekhi 5.1 class 10

Q6 (ii) ${\color{Blue} \left( 3a+7b \right):\left( 5a-3b \right)=5:3}$ হলে, a : b নির্ণয় করি।

সমাধানঃ

$\left( 3a+7b \right):\left( 5a-3b \right)=5:3$

বা, $\frac{3a+7b}{5a-3b}=\frac{5}{3}$

বা, 25a-15b=9a+21b

বা, 25a-9a=15b+21b

বা, 16a=36b

বা, $\frac{a}{b}=\frac{36}{16}$

বা, $\frac{a}{b}=\frac{9}{4}$

${\color{DarkGreen} \therefore a:b=9:4}$ (উত্তর)

koshe dekhi 5.1 class 10

Q7 (i) ${\color{Blue} \left( 7x-5y \right):\left( 3x+4y \right)=7:11}$ হলে, দেখাই যে, ${\color{Blue} \left( 3x-2y \right):\left( 3x+4y \right)=137:473}$

সমাধানঃ

$\left( 7x-5y \right):\left( 3x+4y \right)=7:11$

বা, $\frac{7x-5y}{3x+4y}=\frac{7}{11}$

বা, 77x-55y=21x+28y

বা, 77x-21x=55y+28y

বা, 56x=83y

বা, $\frac{x}{y}=\frac{83}{56}$

বা, x:y=83:56

ধরি, x = 83p এবং y = 56p

$\therefore \left( 3x-2y \right):\left( 3x+4y \right)$

$=\frac{3x-2y}{3x+4y}$

$=\frac{3\times 83p-2\times 56p}{3\times 83p+4\times 56p}$

$=\frac{249p-112p}{249p+224p}$

$=\frac{137p}{473p}$

$=\frac{137}{473}$ (প্রমাণিত)

koshe dekhi 5.1 class 10

Q7 (ii) ${\color{Blue} \left( 10x+3y \right):\left( 5x+2y \right)=9:5}$ হলে, দেখাই যে, ${\color{Blue} \left( 2x+y \right):\left( x+2y \right)=11:13}$

সমাধানঃ

$\left( 10x+3y \right):\left( 5x+2y \right)=9:5$