Thu. Feb 29th, 2024

Koshe dekhi 5.3 class 9

Koshe dekhi 5.3 class 9

রৈখিক সহ সমীকরণ (দুই চল বিশিষ্ট) : Koshe dekhi - 5.3

1. নীচের দুইচলবিশিষ্ট একঘাত সমীকরণগুলি অপনয়ন পদ্ধতিতে সমাধান করি ও লেখচিত্রের সাহায্যে সমাধান করে যাচাই করি।

(a) \fn_cm {\color{Blue} 8x+5y-11=0}

\fn_cm {\color{Blue} 3x-4y-10=0}

অপনয়ন পদ্ধতিতে সমাধানঃ 

\fn_cm 8x+5y-11=0

বা, \fn_cm 8x+5y=11 .....\left ( i \right )

এবং,

\fn_cm 3x-4y-10=0

বা, \fn_cm 3x-4y=10......\left ( ii \right )

(i) নং সমীকরণকে 3 দ্বারা এবং (ii) নং সমীকরণকে 8 দ্বারা গুন্ করে পাই,

\small 24x+15y=33 ……(iii)

\small 24x-32y=80……(iv)

(iii) নং সমীকরণ থেকে  (iv) নং সমীকরণ বিয়োগ করে পাই,

\small 24x+15y-24x+32y=33-80

বা, \small 47y=-47

\small \therefore y=\frac{-47}{47}=-1

y এর মান (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,

\small 8x+5\times \left ( -1 \right )=11

বা, \small 8x=11+5

বা, \small x=\frac{16}{8}

\small \therefore x=2

নির্ণেয় সমীকরণের সমাধান x = 2 ও  y = -1

 

লেখচিত্রের সাহায্যে সমাধান :

Koshe dekhi 5.3 class 9

Koshe dekhi 5.3 class 9

Koshe dekhi 5.3 class 9

রৈখিক সহ সমীকরণ (দুই চল বিশিষ্ট) : Koshe dekhi - 5.3

1. নীচের দুইচলবিশিষ্ট একঘাত সমীকরণগুলি অপনয়ন পদ্ধতিতে সমাধান করি ও লেখচিত্রের সাহায্যে সমাধান করে যাচাই করি।

(b) \fn_cm {\color{Blue} 2x+3y-7=0}

\fn_cm {\color{Blue} 3x+2y-8=0}

সমাধানঃ 

\fn_cm 2x+3y-7=0

বা, \fn_cm 2x+3y=7 …..(i)

এবং,

\fn_cm 3x+2y-8=0

বা, \fn_cm 3x+2y=8  ……(ii)

(i) নং সমীকরণকে 3 দ্বারা এবং (ii) নং সমীকরণকে 2 দ্বারা গুন্ করে পাই,

\fn_cm 6x+9y=21 ……(iii)

\fn_cm 6x+4y=16 ……(iv)

(iii) নং সমীকরণ থেকে  (iv) নং সমীকরণ বিয়োগ করে পাই,

\fn_cm 6x+9y-6x-4y=21-16

বা, \small 5y=5

বা, \small y=\frac{5}{5}

\small \therefore y=1

y এর মান (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,

\small 2x+3\times 1=7

বা, \small 2x=7-3

বা, \small x=\frac{4}{2}

\small \therefore x=2

নির্ণেয় সমীকরণের সমাধান x = 2 ও  y = 1

 

লেখচিত্রের সাহায্যে সমাধান :

Koshe Dekhi 5.3 class 9

Koshe dekhi 5.3 class 9

Koshe dekhi 5.3 class 9

Koshe dekhi 5.3 class 9

রৈখিক সহ সমীকরণ (দুই চল বিশিষ্ট) : Koshe dekhi - 5.3

2. \fn_cm {\color{Blue} 7x-5y+2=0} সমীকরণকে কত দিয়ে গুণ করে \fn_cm {\color{Blue} 2x+15y+3=0} সমীকরণের সঙ্গে যােগ করব। যাতে y চলটিকে অপনীত করতে পারি।

সমাধানঃ 

\fn_cm 7x-5y+2=0 সমীকরণকে 3 দিয়ে গুণ করে \fn_cm 2x+15y+3=0 সমীকরণের সঙ্গে যােগ করলে y চলটিকে অপনীত করা যাবে। 

Koshe dekhi 5.3 class 9

রৈখিক সহ সমীকরণ (দুই চল বিশিষ্ট) : Koshe dekhi - 5.3

3. \fn_cm {\color{Blue} 4x-3y=16}\fn_cm {\color{Blue} 6x+5y=62} উভয় সমীকরণকে সবথেকে ছােটো কোন কোন স্বাভাবিক সংখ্যা দিয়ে গুণ করলে দুটি সমীকরণের x-এর সহগ সমান হবে তা লিখি।

সমাধানঃ

\fn_cm 4x-3y=16

বা, \fn_cm 4x\times 3-3y\times 3=16\times 3

বা, \fn_cm 12x-9y=48

আবার,

\fn_cm 6x+5y=62

বা, \fn_cm 6x\times 2+5y\times 2=62\times 2

বা, \fn_cm 12x+10y=124

\fn_cm {\color{DarkGreen} 4x-3y=16} সমীকরণকে সবথেকে ছােটো 3 দিয়ে গুণ করলে ও \fn_cm {\color{DarkGreen} 6x+5y=62} সমীকরণকে সবথেকে ছােটো 2 দিয়ে গুণ করলে দুটি সমীকরণের x-এর সহগ সমান হবে। 

Koshe dekhi 5.3 class 9

Koshe dekhi 5.3 class 9

রৈখিক সহ সমীকরণ (দুই চল বিশিষ্ট) : Koshe dekhi - 5.3

4. নীচের দুইচলবিশিষ্ট সমীকরণগুলি অপনয়ন পদ্ধতিতে সমাধান করি।

(i) \fn_cm {\color{Blue} 3x+2y=6}

\fn_cm {\color{Blue} 2x-3y=17}

সমাধানঃ 

3x+2y=6 …..(i)

2x-3y=17 ….(ii)

(i) নং সমীকরণকে 2 দ্বারা এবং (ii) নং সমীকরণকে 3 দ্বারা গুন্ করে পাই,

\fn_cm 6x+4y=12 ……(iii)

\fn_cm 6x-9y=51 ……(iv)

(iii) নং সমীকরণ থেকে  (iv) নং সমীকরণ বিয়োগ করে পাই,

\fn_cm 6x+4y-6x+9y=12-51

বা, 13y=-39

বা, y=-\frac{39}{13}

\small \therefore y=-3

y এর মান (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,

\small 3x+2\times \left (-3 \right )=6

বা, 3x=6+6

বা, \small x=\frac{12}{3}

\small \therefore x=4

নির্ণেয় সমীকরণের সমাধান x = 4 ও  y = -3

Koshe dekhi 5.3 class 9

রৈখিক সহ সমীকরণ (দুই চল বিশিষ্ট) : Koshe dekhi - 5.3

4. নীচের দুইচলবিশিষ্ট সমীকরণগুলি অপনয়ন পদ্ধতিতে সমাধান করি।

(ii) \fn_cm {\color{Blue} 2x+3y=32}

\fn_cm {\color{Blue} 11y-9x=3}

সমাধানঃ 

2x+3y=32  ……(i)

-9x+11y=3 …….(ii)

(i) নং সমীকরণকে 11 দ্বারা এবং (ii) নং সমীকরণকে 3 দ্বারা গুন্ করে পাই,

22x+33y=352 ……(iii)

-27x+33y=9 ……(iv)

(iii) নং সমীকরণ থেকে  (iv) নং সমীকরণ বিয়োগ করে পাই,

22x+33y+27x-33y=352-9

বা, 49x=343

বা, x=\frac{343}{49}

\small \therefore x=7

x এর মান (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,

\small 2\times 7+3y=32

বা, 3y=32-14

বা, \small y=\frac{18}{3}

\small \therefore y=6

নির্ণেয় সমীকরণের সমাধান x = 7 ও  y = 6

Koshe dekhi 5.3 class 9

রৈখিক সহ সমীকরণ (দুই চল বিশিষ্ট) : Koshe dekhi - 5.3

4. নীচের দুইচলবিশিষ্ট সমীকরণগুলি অপনয়ন পদ্ধতিতে সমাধান করি।

(iii) \fn_cm {\color{Blue} x+y=48}

\fn_cm {\color{Blue} x+4=\frac{5}{2}\left ( y+4 \right )}

সমাধানঃ 

\fn_cm x+y=48 ……(i)

\fn_cm x+4=\frac{5}{2}\left ( y+4 \right )

বা, 2x+8=5y+20

বা, 2x-5y=20-8

বা, 2x-5y=12…….(ii)

(i) নং সমীকরণকে 2 দ্বারা এবং (ii) নং সমীকরণকে 1 দ্বারা গুন্ করে পাই,

2x+2y=96 ……(iii)

2x-5y=12 ……(iv)

(iii) নং সমীকরণ থেকে  (iv) নং সমীকরণ বিয়োগ করে পাই,

2x+2y-2x+5y=96-12

বা, 7y=84

বা, y=\frac{84}{7}

\small \therefore y=12

y এর মান (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,

x+12=48

বা, x=48-12

\small \therefore x=36

নির্ণেয় সমীকরণের সমাধান x = 36 ও  y = 12

Koshe dekhi 5.3 class 9

রৈখিক সহ সমীকরণ (দুই চল বিশিষ্ট) : Koshe dekhi - 5.3

4. নীচের দুইচলবিশিষ্ট সমীকরণগুলি অপনয়ন পদ্ধতিতে সমাধান করি।

(iv) \fn_cm {\color{Blue} \frac{x}{2}+\frac{y}{3}=8}

\fn_cm {\color{Blue} \frac{5x}{4}-3y=-3}

সমাধানঃ 

\fn_cm \frac{x}{2}+\frac{y}{3}=8

বা, \frac{3x+2y}{6}=8

বা, 3x+2y=48 ……(i)

\fn_cm \frac{5x}{4}-3y=-3

বা, \frac{5x-12y}{4}=-3

বা, 5x-12y=-12 …….(ii)

(i) নং সমীকরণকে 5 দ্বারা এবং (ii) নং সমীকরণকে 3 দ্বারা গুন্ করে পাই,

15x+10y=240 ……(iii)

15x-36y=-36 ……(iv)

(iii) নং সমীকরণ থেকে  (iv) নং সমীকরণ বিয়োগ করে পাই,

15x+10y-15x+36y=240+36

বা, 46y=276

বা, y=\frac{276}{46}

\small \therefore y=6

y এর মান (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,

3x+2\times 6=48

বা, 3x=48-12

বা, x=\frac{36}{3}

\small \therefore x=12

নির্ণেয় সমীকরণের সমাধান x = 12 ও  y = 6

Koshe dekhi 5.3 class 9

রৈখিক সহ সমীকরণ (দুই চল বিশিষ্ট) : Koshe dekhi - 5.3

4. নীচের দুইচলবিশিষ্ট সমীকরণগুলি অপনয়ন পদ্ধতিতে সমাধান করি।

(v) \fn_cm {\color{Blue} 3x-\frac{2}{y}=5}

\fn_cm {\color{Blue} x+\frac{4}{y}=4}

সমাধানঃ 

\fn_cm 3x-\frac{2}{y}=5

বা, \frac{3xy-2}{y}=5

বা, 3xy-2=5y 

বা, 3xy-5y=2 …….(i)

এবং  

\fn_cm x+\frac{4}{y}=4

বা, \frac{xy+4}{y}=4

বা, xy+4=4y

বা, xy-4y=-4 ……(ii)

(i) নং সমীকরণকে 1 দ্বারা এবং (ii) নং সমীকরণকে 3 দ্বারা গুন্ করে পাই,

3xy-5y=2 ……(iii)

3xy-12y=-12 ……(iv)

(iii) নং সমীকরণ থেকে  (iv) নং সমীকরণ বিয়োগ করে পাই,

3xy-5y-3xy+12y=2+12

বা, 7y=14

বা, y=\frac{14}{7}

\small \therefore y=2

y এর মান (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,

3x\times 2-5\times 2=2

বা, 6x=2+10

বা, x=\frac{12}{6}

\small \therefore x=2

নির্ণেয় সমীকরণের সমাধান x = 2 ও  y = 2

Koshe dekhi 5.3 class 9

রৈখিক সহ সমীকরণ (দুই চল বিশিষ্ট) : Koshe dekhi - 5.3

4. নীচের দুইচলবিশিষ্ট সমীকরণগুলি অপনয়ন পদ্ধতিতে সমাধান করি।

(vi) \fn_cm {\color{Blue} \frac{x}{2}+\frac{y}{3}=1}

\fn_cm {\color{Blue} \frac{x}{3}+\frac{y}{2}=1}

সমাধানঃ 

\fn_cm \frac{x}{2}+\frac{y}{3}=1

বা, \frac{3x+2y}{6}=1

বা, 3x+2y=6 …….(i)

এবং

\fn_cm \frac{x}{3}+\frac{y}{2}=1

বা, \frac{2x+3y}{6}=1

বা, 2x+3y=6 …….(ii)

(i) নং সমীকরণকে 2 দ্বারা এবং (ii) নং সমীকরণকে 3 দ্বারা গুন্ করে পাই,

6x+4y=12 ……(iii)

6x+9y=18 ……(iv)

(iii) নং সমীকরণ থেকে  (iv) নং সমীকরণ বিয়োগ করে পাই,

6x+4y-6x-9y=12-18

বা, -5y=-6

\therefore y=\frac{6}{5}

 

y এর মান (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,

3x+2\times \frac{6}{5}=6

বা, 3x=6-\frac{12}{5}

বা, 3x=\frac{30-12}{5}

x=\frac{18}{5\times 3}

\therefore x=\frac{6}{5}

নির্ণেয় সমীকরণের সমাধান {\color{DarkGreen} x=\frac{6}{5}}{\color{DarkGreen} y=\frac{6}{5}}

Koshe dekhi 5.3 class 9

রৈখিক সহ সমীকরণ (দুই চল বিশিষ্ট) : Koshe dekhi - 5.3

4. নীচের দুইচলবিশিষ্ট সমীকরণগুলি অপনয়ন পদ্ধতিতে সমাধান করি।

(vii) \fn_cm {\color{Blue} \frac{x+y}{2}+\frac{3x-5y}{4}=2}

\fn_cm {\color{Blue} \frac{x}{14}+\frac{y}{18}=1}

সমাধানঃ 

\fn_cm \frac{x+y}{2}+\frac{3x-5y}{4}=2

বা, \frac{2x+2y+3x-5y}{4}=2

বা, 5x-3y=8 …….(i)

এবং

\fn_cm \frac{x}{14}+\frac{y}{18}=1

বা, \frac{9x+7y}{126}=1

বা, 9x+7y=126 …….(ii)

(i) নং সমীকরণকে 9 দ্বারা এবং (ii) নং সমীকরণকে 5 দ্বারা গুন্ করে পাই,

45x-27y=72 ……(iii)

45x+35y=630 ……(iv)

(iii) নং সমীকরণ থেকে  (iv) নং সমীকরণ বিয়োগ করে পাই,

45x-27y-45x-35y=72-630

বা, -62y=-558

বা, y=\frac{-558}{-62}

\therefore y=9

y এর মান (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,

5x-3\times 9=8

বা, 5x=27+8

বা, 5x=35

বা, x=\frac{35}{5}

\therefore x=7

নির্ণেয় সমীকরণের সমাধান x = 7 ও y = 9

Koshe dekhi 5.3 class 9

রৈখিক সহ সমীকরণ (দুই চল বিশিষ্ট) : Koshe dekhi - 5.3

4. নীচের দুইচলবিশিষ্ট সমীকরণগুলি অপনয়ন পদ্ধতিতে সমাধান করি।

(viii) \fn_cm {\color{Blue} \frac{xy}{x+y}=\frac{1}{5}}

\fn_cm {\color{Blue} \frac{xy}{x-y}=\frac{1}{9}}

সমাধানঃ 

\fn_cm \frac{xy}{x+y}=\frac{1}{5}

বা, x+y=5xy …….(i)

এবং

\fn_cm \frac{xy}{x-y}=\frac{1}{9}

বা, x-y=9xy  …….(ii)

(i) নং সমীকরণ থেকে  (ii) নং সমীকরণ বিয়োগ করে পাই,

x+y-x+y=5xy-9xy

বা, 2y=-4xy

বা, 2=-4x

বা, x=\frac{2}{-4}

\therefore x=-\frac{1}{2}

x এর মান (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,

-\frac{1}{2}+y=5\times \left ( -\frac{1}{2} \right )y

বা, y+\frac{5y}{2}=\frac{1}{2}

বা, \frac{2y+5y}{2}=\frac{1}{2}

বা, \frac{7y}{2}=\frac{1}{2}

বা, 7y=1

\therefore y=\frac{1}{7}

নির্ণেয় সমীকরণের সমাধান {\color{DarkGreen} x=-\frac{1}{2}} ও {\color{DarkGreen} y=\frac{1}{7}}

Koshe dekhi 5.3 class 9

রৈখিক সহ সমীকরণ (দুই চল বিশিষ্ট) : Koshe dekhi - 5.3

4. নীচের দুইচলবিশিষ্ট সমীকরণগুলি অপনয়ন পদ্ধতিতে সমাধান করি।

(ix) \fn_cm {\color{Blue} \frac{1}{x-1}+\frac{1}{y-2}=3}

\fn_cm {\color{Blue} \frac{2}{x-1}+\frac{3}{y-2}=5}

সমাধানঃ 

\fn_cm \frac{1}{x-1}+\frac{1}{y-2}=3

ধরি, \frac{1}{x-1}=a এবং \frac{1}{y-2}=b

∴ a + b = 3 …….(i)

আবার,

\fn_cm \frac{2}{x-1}+\frac{3}{y-2}=5

বা, 2a + 3b = 5 …….(ii)

(i) নং সমীকরণকে 2 দ্বারা এবং (ii) নং সমীকরণকে 1 দ্বারা গুন্ করে পাই,

2a + 2b = 6 . ……(iii)

2a + 3b = 5 . ……(iv)

(iii) নং সমীকরণ থেকে  (iv) নং সমীকরণ বিয়োগ করে পাই,

2a + 2b – 2a – 3b = 6 – 5 

বা, – b = 1

∴ b = – 1

b এর মান (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,

a – 1 = 3

বা, a = 3 + 1

∴ a = 4

এখন, 

\frac{1}{y-2}=b

বা, \frac{1}{y-2}=-1

বা, – y + 2 = 1

বা, – y = 1 – 2

বা, – y = – 1

∴ y = 1

\frac{1}{x-1}=a

বা, \frac{1}{x-1}=4

বা, 4x – 4 = 1

বা, 4x  = 1 + 4

বা, 4x = 5

\therefore x=\frac{5}{4}=1\frac{1}{4}

নির্ণেয় সমীকরণের সমাধান {\color{DarkGreen} x=1\frac{1}{4}} ও y =  1

Koshe dekhi 5.3 class 9

রৈখিক সহ সমীকরণ (দুই চল বিশিষ্ট) : Koshe dekhi - 5.3

4. নীচের দুইচলবিশিষ্ট সমীকরণগুলি অপনয়ন পদ্ধতিতে সমাধান করি।

(x) \fn_cm {\color{Blue} \frac{14}{x+y}+\frac{3}{x-y}=5}

\fn_cm {\color{Blue} \frac{21}{x+y}-\frac{1}{x-y}=2}

সমাধানঃ 

\fn_cm \frac{14}{x+y}+\frac{3}{x-y}=5

ধরি, \frac{1}{x+y}=a এবং \frac{1}{x-y}=b

∴ 14a + 3b = 5 …….(i)

আবার,

\fn_cm \frac{21}{x+y}-\frac{1}{x-y}=2

বা, 21a – b = 2 …….(ii)

(i) নং সমীকরণকে 1 দ্বারা এবং (ii) নং সমীকরণকে 3 দ্বারা গুন্ করে পাই,

14a + 3b = 5 . ……(iii)

63a – 3b = 6 . ……(iv)

(iii) নং সমীকরনের  সাথে (iv) নং সমীকরণ যোগ করে পাই,

14a + 3b + 63a – 3b= 5 + 6

বা, 77a = 11

a=\frac{11}{77}

\therefore a=\frac{1}{7}

a এর মান (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,

14\times \frac{1}{7}+3b=5

বা, 2 + 3b = 5

বা, 3b = 5 – 2

বা, 3b = 3

বা, b=\frac{3}{3}

∴ b = 1

এখন, 

\frac{1}{x+y}=a

বা, \frac{1}{x+y}=\frac{1}{7} 

বা, x + y = 7 ……(v)

\frac{1}{x-y}=b

বা, \frac{1}{x-y}=1

বা, x – y = 1 …….(vi)

(v) নং সমীকরনের  সাথে (vi) নং সমীকরণ যোগ করে পাই,

x + y + x – y = 7 + 1

বা, 2x = 8

বা, x=\frac{8}{2}

\therefore x=4

x এর মান (v) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,

4 + y = 7

∴ y = 7 – 4 = 3

নির্ণেয় সমীকরণের সমাধান x = 4 ও y =  3

Koshe dekhi 5.3 class 9

রৈখিক সহ সমীকরণ (দুই চল বিশিষ্ট) : Koshe dekhi - 5.3

4. নীচের দুইচলবিশিষ্ট সমীকরণগুলি অপনয়ন পদ্ধতিতে সমাধান করি।

(xi) \fn_cm {\color{Blue} \frac{x+y}{5}-\frac{x-y}{4}=\frac{7}{20}}

\fn_cm {\color{Blue} \frac{x+y}{3}-\frac{x-y}{2}+\frac{5}{6}=0}

সমাধানঃ 

\fn_cm \frac{x+y}{5}-\frac{x-y}{4}=\frac{7}{20}

বা, \frac{4x+4y-5x+5y}{20}=\frac{7}{20}

বা, \frac{-x+9y}{20}=\frac{7}{20}

বা, -x+9y=7 ……(i)

\fn_cm \frac{x+y}{3}-\frac{x-y}{2}+\frac{5}{6}=0

বা, \frac{2x+2y-3x+3y}{6}=-\frac{5}{6}

বা, \frac{-x+5y}{6}=-\frac{5}{6}

বা, -x+5y=-5

বা, x-5y=5 ……(ii)

(i) নং সমীকরণের সাথে (ii) নং সমীকরণ যোগ করে পাই,

 − x + 9y + x – 5y = 7 + 5

বা, 4y = 12

বা, y=\frac{12}{4} 

∴ y = 3

y এর মান  (ii) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,

x-5\times 3=5

বা, x = 5 + 15

∴ x = 20

নির্ণেয় সমীকরণের সমাধান x = 20 ও y =  3

Koshe dekhi 5.3 class 9

রৈখিক সহ সমীকরণ (দুই চল বিশিষ্ট) : Koshe dekhi - 5.3

4. নীচের দুইচলবিশিষ্ট সমীকরণগুলি অপনয়ন পদ্ধতিতে সমাধান করি।

(xii) \fn_cm {\color{Blue} x+y=a+b}

\fn_cm {\color{Blue} ax-by=a^{2}-b^{2}}

সমাধানঃ 

\fn_cm x+y=a+b ……(i)

\fn_cm ax-by=a^{2}-b^{2} (ii)

(i) নং সমীকরণকে a দ্বারা গুন্ করে পাই,

ax+ay=a^{2}+ab ……(iii)

(iii) নং সমীকরণ থেকে (ii) নং সমীকরণ বিয়োগ করে পাই,

ax+ay-ax+by=a^{2}+ab-a^{2}+b^{2}

বা, ay+by=ab+b^{2}

বা, y\left ( a+b \right )=b\left ( a+b \right )

∴ y = b

y এর মান (i) নং সমীকরণে পাই,

x + b = a + b

বা, x = a + b – b

∴ x = a

নির্ণেয় সমীকরণের সমাধান x = a ও y = b 

Koshe dekhi 5.3 class 9

রৈখিক সহ সমীকরণ (দুই চল বিশিষ্ট) : Koshe dekhi - 5.3

4. নীচের দুইচলবিশিষ্ট সমীকরণগুলি অপনয়ন পদ্ধতিতে সমাধান করি।

(xiii) \fn_cm {\color{Blue} \frac{x+a}{a}=\frac{y+b}{b}}

\fn_cm {\color{Blue} ax-by=a^{2}-b^{2}}

সমাধানঃ 

\fn_cm \frac{x+a}{a}=\frac{y+b}{b}

বা, bx +ab = ay + ab

বা, bx – ay = ab – ab

বা, bx – ay = 0 ……..(i)

\fn_cm ax-by=a^{2}-b^{2} …….(ii)

(i) নং সমীকরণকে a দ্বারা এবং (ii) নং সমীকরণকে b দ্বারা গুন্ করে পাই,

abx-a^{2}y=0 …….(iii)

abx-b^{2}y=a^{2}b-b^{3} ……(iv)

(iii) নং সমীকরণ থেকে (ii) নং সমীকরণ বিয়োগ করে পাই,

abx-a^{2}y-abx+b^{2}y=0-a^{2}b+b^{3}

বা, y\left ( b^{2}-a^{2} \right )=b\left ( b^{2}-a^{2} \right )

∴ y = b

y এর মান (i) নং সমীকরণে পাই,

bx – a × b = 0

বা, bx = ab 

∴ x = a

নির্ণেয় সমীকরণের সমাধান x = a ও y = b 

Koshe dekhi 5.3 class 9

রৈখিক সহ সমীকরণ (দুই চল বিশিষ্ট) : Koshe dekhi - 5.3

4. নীচের দুইচলবিশিষ্ট সমীকরণগুলি অপনয়ন পদ্ধতিতে সমাধান করি।

(xiv) \fn_cm {\color{Blue} ax+by=c}

\fn_cm {\color{Blue} a^{2}x+b^{2}y=c^{2}}

সমাধানঃ 

\fn_cm ax+by=c ……(i)

\fn_cm a^{2}x+b^{2}y=c^{2} …….(ii)

(i) নং সমীকরণকে a দ্বারা এবং (ii) নং সমীকরণকে 1 দ্বারা গুন্ করে পাই,

\fn_cm a^{2}x+aby=ac …….(iii)

\fn_cm a^{2}x+b^{2}y=c^{2} ……(iv)

(iii) নং সমীকরণ থেকে (iv) নং সমীকরণ বিয়োগ করে পাই,

\fn_cm a^{2}x+aby-a^{2}x-b^{2}y=ac-c^{2}

বা, \fn_cm aby-b^{2}y=ac-c^{2}

বা, \fn_cm by\left (a-b \right )=c\left (a-c \right )

\therefore y=\frac{c\left ( a-c \right )}{b\left ( a-b \right )}

y এর মান (i) নং সমীকরণে পাই,

ax+b\times \frac{c\left ( a-c \right )}{b\left ( a-b \right )}=c

বা, ax=c-\frac{c\left ( a-c \right )}{\left ( a-b \right )}

বা, ax=\frac{ac-bc-ac+c^{2}}{\left ( a-b \right )}

বা,  ax=\frac{c^{2}-ac}{a-b}

\therefore x=\frac{c\left ( c-a \right )}{a\left ( a-b \right )}

নির্ণেয় সমীকরণের সমাধান {\color{DarkGreen} x=\frac{c\left ( c-a \right )}{a\left ( a-b \right )} ও {\color{DarkGreen} y=\frac{c\left ( a-c \right )}{b\left ( a-b \right )}} 

Koshe dekhi 5.3 class 9

Koshe dekhi 5.3 class 9

রৈখিক সহ সমীকরণ (দুই চল বিশিষ্ট) : Koshe dekhi - 5.3

4. নীচের দুইচলবিশিষ্ট সমীকরণগুলি অপনয়ন পদ্ধতিতে সমাধান করি।

(xv) \fn_cm {\color{Blue} ax+by=1}

\fn_cm {\color{Blue} bx+ay=\frac{\left ( a+b \right )^{2}}{a^{2}+b^{2}}-1}

সমাধানঃ 

ax+by=1 ……(i)

\fn_cm bx+ay=\frac{\left ( a+b \right )^{2}}{a^{2}+b^{2}}-1

বা, \fn_cm bx+ay=\frac{\left ( a+b \right )^{2}-\left (a^{2}+b^{2} \right )}{a^{2}+b^{2}}

বা, \fn_cm bx+ay=\frac{a^{2}+b^{2}+2ab-a^{2}-b^{2}}{a^{2}+b^{2}}

বা, \fn_cm bx+ay=\frac{2ab}{a^{2}+b^{2}} ……..(ii)

(i) নং সমীকরণকে b দ্বারা এবং (ii) নং সমীকরণকে a দ্বারা গুন্ করে পাই,

abx+b^{2}y=b …….(iii)

\fn_cm abx+a^{2}y=\frac{2a^{2}b}{a^{2}+b^{2}} …… (iv)

(iii) নং সমীকরণ থেকে  (iv) নং সমীকরণ বিয়োগ করে পাই ,

\fn_cm abx+b^{2}y-abx-a^{2}y=b-\frac{2a^{2}b}{a^{2}+b^{2}}

বা, \fn_cm b^{2}y-a^{2}y=\frac{a^{2}b+b^{3}-2a^{2}b}{a^{2}+b^{2}}

বা, \fn_cm \left (b^{2}-a^{2} \right )y=\frac{b\left ( b^{2}-a^{2} \right )}{a^{2}+b^{2}}

\fn_cm \therefore y=\frac{b}{a^{2}+b^{2}}

y এর মান  (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,

ax+b\times \frac{b}{a^{2}+b^{2}}=1

বা, ax=1-\frac{b^{2}}{a^{2}+b^{2}}

বা, ax=\frac{a^{2}+b^{2}-b^{2}}{a^{2}+b^{2}}

বা, ax=\frac{a^{2}}{a^{2}+b^{2}}

\therefore x=\frac{a}{a^{2}+b^{2}}

নির্ণেয় সমীকরণের সমাধান {\color{DarkGreen} x=\frac{a}{a^{2}+b^{2}}} ও \fn_cm {\color{DarkGreen} y=\frac{b}{a^{2}+b^{2}}}

Koshe dekhi 5.3 class 9

Koshe dekhi 5.3 class 9

রৈখিক সহ সমীকরণ (দুই চল বিশিষ্ট) : Koshe dekhi - 5.3

4. নীচের দুইচলবিশিষ্ট সমীকরণগুলি অপনয়ন পদ্ধতিতে সমাধান করি।

(xvi) \fn_cm {\color{Blue} \left ( 7x-y-6 \right )^{2}+\left ( 14x+2y-16 \right )^{2}=0}

সমাধানঃ 

\fn_cm \left ( 7x-y-6 \right )^{2}+\left ( 14x+2y-16 \right )^{2}=0

দুটি রাশির বর্গের সমষ্টি শূন্য হলে তারা প্রত্যেকে পৃথক পৃথক ভাবে শূন্য হয়। 

অর্থাৎ,

\fn_cm \left ( 7x-y-6 \right )^{2}=0

বা, 7x-y-6=0

বা, 7x-y=6 …….(i)

এবং 

\fn_cm \left ( 14x+2y-16 \right )^{2}=0

বা, 14x+2y-16=0

বা, 14x+2y=16 …..(ii)

(i) নং সমীকরণকে 2 দ্বারা এবং (ii) নং সমীকরণকে 1 দ্বারা গুন্ করে পাই,

14x – 2y = 12 …….(iii)

14x + 2y = 16 …… (iv)

(iii) নং সমীকরণ থেকে  (iv) নং সমীকরণ বিয়োগ করে পাই ,

14x – 2y -14x – 2y = 12 – 16

বা, − 4y = − 4

বা, y=\frac{-4}{-4}

∴ y = 1

y এর মান  (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,

7x – 1 = 6

বা, 7x = 6 + 1

বা, 7x = 7

বা, x=\frac{7}{7}

∴ x = 1

নির্ণেয় সমীকরণের সমাধান x = 1 ও y = 1 

Koshe dekhi 5.3 class 9

Koshe dekhi 5.3 class 9

 

Koshe dekhi 5.3 class 9

Thank You

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

Insert math as
Block
Inline
Additional settings
Formula color
Text color
#333333
Type math using LaTeX
Preview
\({}\)
Nothing to preview
Insert
error: Content is protected !!