Koshe dekhi 5.7 class 9

1. আমাদের স্কুলের পাশে বই-এর দোকান থেকে আমার বন্ধু রীতা 34 টাকায় 5টি পেন ও 3টি পেনসিল কিনেছে। কিন্তু সুমিত ওই একই দোকান থেকে একই দামে 7টি পেন ও 6টি পেনসিল 53 টাকায় কিনেছে। আমি সহসমীকরণ গঠন করে প্রতিটি পেন ও প্রতিটি পেনসিলের দাম হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ

ধরি, প্রতিটি পেনের দাম x টাকা ও প্রতিটি পেনসিলের দাম y টাকা।

প্রশ্নানুসারে,

5x + 3y = 34 …..(i)

7x + 6y = 53 …..(ii)

(i) নং সমীকরণকে 7 দ্বারা ও (ii) নং সমীকরণকে 5 দ্বারা গুন্ করে পাই,

35x + 21y = 238 …..(iii)

35x + 30y = 265 ……(iv)

(iii) নং সমীকরণ থেকে (iv) নং সমীকরণ বিয়োগ করে পাই,

35x + 21y − 35x − 30y = 238 − 265

বা, − 9y = − 27

বা, $y=\frac{-27}{-9}$

∴ y = 3

(i) নং সমীকরণে y এর মান বসিয়ে পাই,

5x + 3 × 3 = 34

বা, 5x = 34 − 9

বা, $x=\frac{25}{5}$

∴ x = 5

উত্তরঃ নির্ণেয় প্রতিটি পেনের দাম 5 টাকা ও প্রতিটি পেনসিলের দাম 3 টাকা।

2. আমার বন্ধু আয়েশা ও রফিকের ওজন একত্রে 85 কিগ্রা.। আয়েশার ওজনের অর্ধেক, রফিকের ওজনের $\fn_cm {\color{Blue} \frac{4}{9}}$ অংশের সমান হলে সহসমীকরণ গঠন করে তাদের পৃথকভাবে ওজন হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ

ধরি, আয়েশার ওজন x কেজি এবং রফিকের ওজন y কেজি।

x + y = 85 …..(i)

আবার,

$\frac{x}{2}=\frac{4y}{9}$

বা, 9x = 8y

বা, 9x − 8y = 0 …..(ii)

(i) নং সমীকরণকে 9 দ্বারা ও (ii) নং সমীকরণকে 1 দ্বারা গুন্ করে পাই,

9x + 9y = 765 …..(iii)

9x − 8y = 0 ……(iv)

(iii) নং সমীকরণ থেকে (iv) নং সমীকরণ বিয়োগ করে পাই,

9x + 9y − 9x + 8y = 765 − 0

বা, 17y = 765

বা, $y=\frac{765}{17}$

∴ y = 45

(i) নং সমীকরণে y এর মান বসিয়ে পাই,

x + 45 = 85

বা, x = 85 − 45

∴ x = 40

উত্তরঃ নির্ণেয় আয়েশার ওজন 40 কেজি এবং রফিকের ওজন 45 কেজি।

3. আমার কাকাবাবুর বর্তমান বয়স আমার বােনের বর্তমান বয়সের দ্বিগুণ। 10 বছর আগে আমার কাকাবাবুর বয়স আমার বােনের বয়সের তিনগুণ ছিল। সহসমীকরণ গঠন করে তাদের বর্তমান বয়স পৃথকভাবে হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ

ধরি, আমার কাকাবাবুর বর্তমান বয়স x বছর এবং আমার বােনের বর্তমান বয়স y বছর।

প্রশ্নানুসারে,

x = 2y

x − 2y = 0 …..(i)

10 বছর আগে আমার কাকাবাবুর বয়স ছিল (x − 10) বছর এবং আমার বােনের বয়স ছিল (y − 10) বছর।

∴ x − 10 = 3 (y − 10 )

বা, x − 10 = 3y − 30

বা, x − 3y = −30 + 10

বা, x − 3y = −20 ……(ii)

(i) নং সমীকরণ থেকে (ii) নং সমীকরণ বিয়োগ করে পাই,

x − 2y − x + 3y = 0 + 20

∴ y = 20

(i) নং সমীকরণে y এর মান বসিয়ে পাই,

x − 2×20 = 0

বা, x − 40 = 0

∴ x = 40

উত্তরঃ নির্ণেয় আমার কাকাবাবুর বর্তমান বয়স 40 বছর এবং আমার বােনের বর্তমান বয়স 20 বছর।

4. আমাদের গ্রামের দেবকুমারকাকু 590 টাকার একটি চেক ব্যাঙ্ক থেকে ভাঙালেন। তিনি যদি ব্যাঙ্ক থেকে পাঁচ টাকার ও দশ টাকার মােট 70 খানা নােট পেয়ে থাকেন তবে তিনি ব্যাঙ্ক থেকে কতগুলি পাঁচ টাকার নােট এবং কতগুলি দশ টাকার নােট পেলেন হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ

ধরি, দেবকুমারকাকু ব্যাঙ্ক থেকে x টি পাঁচ টাকার নােট এবং y টি দশ টাকার নােট পেলেন।

প্রশ্নানুসারে,

x + y = 70 ……(i)

5x + 10y = 590 ….. (ii)

(i) নং সমীকরণকে 5 দ্বারা ও (ii) নং সমীকরণকে 1 দ্বারা গুন্ করে পাই,

5x + 5y = 350 …..(iii)

5x + 10y = 590 ……(iv)

(iii) নং সমীকরণ থেকে (iv) নং সমীকরণ বিয়োগ করে পাই,

5x + 5y − 5x − 10y = 350 − 590

বা, − 5y = − 240

বা, $y=\frac{-240}{-5}$

∴ y = 48

(i) নং সমীকরণে y এর মান বসিয়ে পাই,

x + 48 = 70

বা, x = 70 − 48

∴ x = 22

উত্তরঃ নির্ণেয় দেবকুমারকাকু ব্যাঙ্ক থেকে 22 টি পাঁচ টাকার নােট এবং 48 টি দশ টাকার নােট পেলেন।

5. আমি স্কুলের ব্ল্যাকবাের্ডে এমন একটি প্রকৃত ভগ্নাংশ লিখব যার হরটি লব অপেক্ষা 5 বেশি এবং লব ও হরের সঙ্গে যদি 3 যােগ করি তবে ভগ্নাংশটি $\fn_cm {\color{Blue} \frac{3}{4}}$ হবে। সহসমীকরণ গঠন করি ও সমাধান করে প্রকৃত ভগ্নাংশটি ব্ল্যাকবাের্ডে লিখি।

সমাধানঃ

ধরি, প্রকৃত ভগ্নাংশটির লব x এবং হর y

প্রশ্নানুসারে,

$\small y=x+5$

বা, $\small y-x=5$

বা, $\small x-y=-5$ …..(i)

আবার,

$\small \frac{x+3}{y+3}=\frac{3}{4}$

বা, $\small 4x+12=3y+9$

বা, $\small 4x-3y=9-12$

বা, $\small 4x-3y=-3$ …..(ii)

(i) নং সমীকরণকে 4 দ্বারা ও (ii) নং সমীকরণকে 1 দ্বারা গুন্ করে পাই,

4x − 4y = − 20 …..(iii)

4x − 3y = − 3 ……(iv)

(iii) নং সমীকরণ থেকে (iv) নং সমীকরণ বিয়োগ করে পাই,

$4x-4y-4x+3y=-20+3$

বা, $-y=-17$

বা, $y=\frac{-17}{-1}$

$\therefore y=17$

(i) নং সমীকরণে y এর মান বসিয়ে পাই,

x − 17 = − 5

বা, x = 17 − 5

∴ x = 12

উত্তরঃ নির্ণেয় প্রকৃত ভগ্নাংশটি হল $\small {\color{DarkGreen} \frac{12}{17}}$

6. মারিয়া তার খাতায় দুটি এমন সংখ্যা লিখেছে। যে প্রথম সংখ্যার সঙ্গে 21 যােগ করলে তা দ্বিতীয় সংখ্যার দ্বিগুণ হয়। আবার দ্বিতীয় সংখ্যার সঙ্গে 12 যােগ করলে তা প্রথম সংখ্যার দ্বিগুণ হয়। হিসাব করে মারিয়ার লেখা সংখ্যা দুটি লিখি।

সমাধানঃ

ধরি, মারিয়ার লেখা প্রথম সংখ্যাটি x এবং দ্বিতীয় সংখ্যাটি y

প্রশ্নানুসারে,

$x+21=2y$

বা, $x-2y=-21$ ……(i)

এবং

$y+12=2x$

বা, $2x-y=12$ ……(ii)

(i) নং সমীকরণকে 2 দ্বারা ও (ii) নং সমীকরণকে 1 দ্বারা গুন্ করে পাই,

$2x-4y=-42$ …..(iii)

$2x-y=12$ ……(iv)

(iii) নং সমীকরণ থেকে (iv) নং সমীকরণ বিয়োগ করে পাই,

$2x-4y-2x+y=-42-12$

বা, $-3y=-54$

বা, $y=\frac{-54}{-3}$

$\therefore y=18$

(i) নং সমীকরণে y এর মান বসিয়ে পাই,

$x-2\times 18=-21$

বা, $x-36=-21$

বা, $x=36-21$

$\therefore x=15$

উত্তরঃ নির্ণেয় মারিয়ার লেখা প্রথম সংখ্যাটি 15 এবং দ্বিতীয় সংখ্যাটি 18

7. লালিমা ও রমেন দুজনেই তাদের বাড়ির বাগান পরিষ্কার করে। লালিমা 4 দিন ও রমেন 3দিন একসঙ্গে বাগান পরিষ্কার করলে কাজটির $\fn_cm {\color{Blue} \frac{2}{3}}$ অংশ সম্পন্ন হয়। আবার লালিমা 3 দিন ও রমেন 6 দিন একসঙ্গে বাগান পরিষ্কার করলে কাজটির $\fn_cm {\color{Blue} \frac{11}{12}}$ অংশ সম্পন্ন হয়। সহসমীকরণ গঠন করি এবং সমাধান করে লালিমা ও রমেন পৃথকভাবে কাজটি করলে কতদিনে শেষ করবে হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ

ধরি, লালিমা সম্পূর্ণ কাজটি একা x দিনে এবং রমেন একা y দিনে করে।

∴ লালিমা 1 দিনে করে $\frac{1}{x}$ অংশ এবং রমেন 1 দিনে করে $\frac{1}{y}$ অংশ।

প্রশ্নানুসারে,

$\frac{4}{x}+\frac{3}{y}=\frac{2}{3}$

বা, $\frac{4}{x}=\frac{2}{3}-\frac{3}{y}$

বা, $\frac{4}{x}=\frac{2y-9}{3y}$

বা, $\frac{x}{4}=\frac{3y}{2y-9}$

বা, $x=\frac{12y}{2y-9}$ ……(i)

আবার,

$\frac{3}{x}+\frac{6}{y}=\frac{11}{12}$

বা, $\frac{3}{x}=\frac{11}{12}-\frac{6}{y}$

বা, $\frac{3}{x}=\frac{11y-72}{12y}$

বা, $\frac{x}{3}=\frac{12y}{11y-72}$

বা, $x=\frac{36y}{11y-72}$ …….(ii)

(i) ও (ii) নং সমীকরণ তুলনা করে পাই,

$\frac{12y}{2y-9}=\frac{36y}{11y-72}$

বা, $\frac{1}{2y-9}=\frac{3}{11y-72}{\color{Blue} \left [ \because y\neq 0 \right ]}$

বা, $11y-72=6y-27$

বা, $11y-6y=72-27$

বা, $5y=45$

বা, $y=\frac{45}{5}$

$\therefore y=9$

(i) নং সমীকরণে y এর মান বসিয়ে পাই,

$x=\frac{12\times 9}{2\times 9-9}$

বা, $x=\frac{12\times 9}{18-9}$

বা, $x=\frac{12\times 9}{9}$

$\therefore x=12$

উত্তরঃ নির্ণেয় লালিমা সম্পূর্ণ কাজটি একা 12 দিনে এবং রমেন একা 9 দিনে করে।

8. আমার মা দু-ধরনের শরবত তৈরি করেছেন।প্রথম ধরনের 10 লিটার শরবতে 5 কিগ্রা. চিনি এবং দ্বিতীয় ধরনের 100 লিটার শরবতে 8 কিগ্রা. চিনি আছে৷ আমি দু-ধরনের শরবত মিশিয়ে 150 লিটার শরবত তৈরি করব যাতে চিনি থাকবে $\fn_cm {\color{Blue} 9\frac{2}{3}}$ কিগ্রা.। সহসমীকরণ গঠন করে হিসাব করে দেখি 150 লিটার শরবতে দু-ধরনের শরবত কতটা পরিমাণ মেশাব।

সমাধানঃ

প্রথম ধরণের শরবতে প্রতি লিটারে চিনির পরিমান $\frac{5}{100}=\frac{1}{20}$ অংশ

এবং দ্বিতীয় ধরণের শরবতে প্রতি লিটারে চিনির পরিমান $\frac{8}{100}=\frac{2}{25}$ অংশ।

ধরি, প্রথম ধরণের শরবত x লিটার এবং দ্বিতীয় ধরণের শরবত y লিটার মেশানো হল।

$\therefore x+y=150$

বা, $x=150-y$ ……(i)

এবং

$\frac{x}{20}+\frac{2y}{25}=9\frac{2}{3}$ ……(ii)

(ii) নং সমীকরণে x এর পরিবর্তে (150 − y) বসিয়ে পাই,

$\frac{150-y}{20}+\frac{2y}{25}=\frac{29}{3}$

বা, $\frac{750-5y+8y}{100}=\frac{29}{3}$

বা, $\frac{750+3y}{100}=\frac{29}{3}$

বা, $2250+9y=2900$

বা, $9y=2900-2250$

বা, $9y=650$

বা, $y=\frac{650}{9}$

$\therefore y=72\frac{2}{9}$

(i) নং সমীকরণে y এর মান বসিয়ে পাই,

$x=150-\frac{650}{9}$

বা, $x=\frac{1350-650}{9}$

বা, $x=\frac{700}{9}$

$\therefore x=77\frac{7}{9}$

উত্তরঃ প্রথম ধরণের শরবত ${\color{DarkGreen} 77\frac{7}{9}}$ লিটারের সাথে এবং দ্বিতীয় ধরণের শরবত ${\color{DarkGreen} 72\frac{2}{9}}$ লিটার মেশাতে হবে।

9. গত বছরে বকুলতলা গ্রামপঞ্চায়েত নির্বাচনে অখিলবাবু ও ছন্দাদেবী প্রার্থী ছিলেন। অখিলবাবু ছন্দাদেবীকে 75 ভােটে পরাজিত করলেন৷ অখিলবাবুকে যারা ভােট দিয়েছেন তাদের 20% যদি ছন্দাদেবীকে ভােট দিতেন তাহলে ছন্দাদেবী 19 ভােটে জিততে পারতেন। সহসমীকরণ গঠন করে সমাধান করে দেখি কে কত ভােট পেয়েছেন৷

সমাধানঃ

ধরি, অখিলবাবু x টি এবং ছন্দাদেবী y টি ভোট পেয়েছেন।

$x-y=75$

বা, $x=75+y$ ……(i)

অখিলবাবুকে যারা ভোট দিয়েছেন তাদের 20 জন যদি ছন্দাদেবীকে ভোট দিতেন তবে অখিলবাবু ভোট পেতেন

$=x-\frac{20x}{100}$ টি

$=x-\frac{x}{5}$ টি

$=\frac{4x}{5}$ টি

এবং ছন্দাদেবী ভোট পেতেন

$=y+\frac{20x}{100}$ টি

$=y+\frac{x}{5}$ টি।

প্রশ্নানুসারে,

$y+\frac{x}{5}-\frac{4x}{5}=19$

বা, $y+\frac{x-4x}{5}=19$

বা, $y-\frac{3x}{5}=19$

বা, $y-\frac{3\times \left ( 75+y \right )}{5}=19$ [ (i) নং সমীকরণ থেকে x এর মান বসিয়ে পাই]

বা, $\frac{5y-225-3y}{5}=19$

বা, $\frac{2y-225}{5}=19$

বা, $2y-225=95$

বা, $2y=225+95$

বা, $y=\frac{320}{2}$

$\therefore y=160$

(i) নং সমীকরণে y এর মান বসিয়ে পাই,

$x=75+160$

$\therefore x=235$

উত্তরঃ অখিলবাবু 235 টি এবং ছন্দাদেবী 160 টি ভোট পেয়েছেন।

10. রফিকদের আয়তক্ষেত্রাকার মেঝের দৈর্ঘ্য 2মিটার এবং প্রস্থ 3 মিটার বৃদ্ধি করলে ক্ষেত্রফল 75 বর্গমিটার বৃদ্ধি পায়। কিন্তু দৈর্ঘ্য 2 মিটার হ্রাস এবং প্রস্থ 3 মিটার বৃদ্ধি করলে ক্ষেত্রফল 15 বর্গমিটার বৃদ্ধি পায়। সহসমীকরণ গঠন করে রফিকদের মেঝের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ নির্ণয় করি।

সমাধানঃ

ধরি, রফিকদের আয়তক্ষেত্রাকার মেঝের দৈর্ঘ্য x মিটার এবং প্রস্থ y মিটার।

∴ মেঝের ক্ষেত্রফল = xy বর্গমিটার।

প্রশ্নানুসারে,

$\left ( x+2 \right )\left ( y+3 \right )=xy+75$

বা, $xy+3x+2y+6=xy+75$

বা, $xy+3x+2y-xy=75-6$

বা, $3x+2y=69$ …….(i)

আবার,

$\left ( x-2 \right )\left ( y+3 \right )=xy+15$

বা, $xy+3x-2y-6=xy+15$

বা, $xy+3x-2y-xy=15+6$

বা, $3x-2y=21$ …….(ii)

(i) + (ii) করে পাই,

$3x+2y+3x-2y=69+21$

বা, $6x=90$

বা, $x=\frac{90}{6}$

$\therefore x=15$

(i) নং সমীকরণে x এর মান বসিয়ে পাই,

$3\times 15+2y=69$

বা, $2y=69-45$

বা, $y=\frac{24}{2}$

$\therefore y=12$

উত্তরঃ রফিকদের আয়তক্ষেত্রাকার মেঝের দৈর্ঘ্য 15 মিটার এবং প্রস্থ 12 মিটার।

11. আমার বন্ধু মেরি ঈশানকে বলল, তােমার টাকার $\fn_cm {\color{Blue} \frac{1}{3}}$ আমায় দাও তাহলে আমার 200 টাকা হবে। ঈশান মেরিকে বলল, তােমার টাকার অর্ধেক আমাকে দিলে আমার 200 টাকা হবে। সহসমীকরণ গঠন করে হিসাব করে দেখি কার কাছে কত টাকা আছে।

সমাধানঃ

ধরি, মেরির কাছে x টাকা এবং ঈশানের কাছে y টাকা আছে।

প্রশ্নানুসারে,

$x+\frac{y}{3}=200$

বা, $\frac{3x+y}{3}=200$

বা, $3x+y=600$ ……(i)

আবার,

$\frac{x}{2}+y=200$

বা, $\frac{x+2y}{2}=200$

বা, $x+2y=400$ …….(ii)

(ii) নং সমীকরণকে 3 দ্বারা গুন করে পাই,

$3x+6y=1200$ …….(iii)

(iii) নং সমীকরণ থেকে (i) নং সমীকরণ বিয়োগ করে পাই,

$3x+6y-3x-y=1200-600$

বা, $5y=600$

বা, $y=\frac{600}{5}$

$\therefore y=120$

(ii) নং সমীকরণে y এর মান বসিয়ে পাই,

$x+2\times 120=400$

বা, $x=400-240$

$\therefore x=160$

উত্তরঃ মেরির কাছে 160 টাকা এবং ঈশানের কাছে 120 টাকা আছে।

12. আজ দাদা ও তার কিছু বন্ধুরা একসাথে মেলায় যাবে। তাই আমার দাদু তাদের মধ্যে কিছু টাকা সমান ভাগে ভাগ করে দিলেন। দেখছি, যদি 2 জন বন্ধু কম থাকত তবে প্রত্যেকে 1৪ টাকা সেত৷ আবার যদি ওজন বন্ধু বেশি থাকত তবে প্রত্যেকে 12 টাকা পেত৷ দাদারা কতজন মেলায় গিয়েছিল এবং দাদু মােট কত টাকা ওদের মধ্যে সমান ভাগে ভাগ করে দিয়েছিলেন হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ

ধরি, দাদারা x জন মেলায় গিয়েছিল এবং দাদু মােট y টাকা ওদের মধ্যে সমান ভাগে ভাগ করে দিয়েছিলেন।

যদি 2 জন বন্ধু কম থাকতো তখন প্রত্যেকে পেত $\frac{y}{x-2}$ টাকা।

আবার, যদি 3 জন বন্ধু বেশি থাকতো তখন প্রত্যেকে পেত $\frac{y}{x+3}$ টাকা।

প্রশ্নানুসারে,

$\frac{y}{x-2}=18$

বা, $y=18x-36$ …..(i)

এবং

$\frac{y}{x+3}=12$

বা, $y=12x+36$ …..(ii)

(i) নং সমীকরণ ও (ii) নং সমীকরণ তুলনা করে পাই,

$18x-36=12x+36$

বা, $18x-12x=36+36$

বা, $6x=72$

বা, $x=\frac{72}{6}$

$\therefore x=12$

(i) নং সমীকরণে x এর মান বসিয়ে পাই,

$y=12\times 12+36$

বা, $y=144+36$

$\therefore y=180$

উত্তরঃ দাদারা 12 জন মেলায় গিয়েছিল এবং দাদু মােট 180 টাকা ওদের মধ্যে সমান ভাগে ভাগ করে দিয়েছিলেন।

13. আমার দাদার একটি থলিতে 1 টাকার মুদ্রা ও 50 পয়সার মুদ্রা মিলিয়ে মােট 350 টাকা আছে। আমার বােন ওই টাকার থলি থেকে এক তৃতীয়াংশ 50 পয়সা বের করে তার জায়গায় সমসংখ্যক 1 টাকার মুদ্রা রেখে দিল এবং এখন ওই থলিতে মােট টাকার পরিমাণ 400 টাকা হলাে। প্রথমে দাদার থলিতে আলাদাভাবে 1 টাকার মুদ্রা ও 50 পয়সার মুদ্রা কতগুলি ছিল হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ

ধরি, দাদার থলিতে x টি 1 টাকার মুদ্রা ও y টি 50 পয়সার মুদ্রা ছিল।

যেহেতু, 50 পয়সা $=\frac{50}{100}=\frac{1}{2}$ টাকা।

প্রশ্নানুসারে,

$x+y\times \frac{1}{2}=350$

বা, $\frac{2x+y}{2}=350$

বা, $2x+y=700$

বা, $y=700-2x$ …..(i)

বােন এক তৃতীয়াংশ 50 পয়সা বের করে তার জায়গায় সমসংখ্যক 1 টাকার মুদ্রা রাখলে

এখন থলিতে 1 টাকার মুদ্রার সংখ্যা $=x+y\times \frac{1}{3}=x+\frac{y}{3}$ টি

এবং 50 পয়সার মুদ্রার সংখ্যা $=y-y\times \frac{1}{3}=y-\frac{y}{3}=\frac{2y}{3}$ টি।

প্রশ্নানুসারে,

$x+\frac{y}{3}+\frac{2y}{3}\times \frac{1}{2}=400$

বা, $\frac{6x+2y+2y}{6}=400$

বা, $6x+4y=2400$

বা, $3x+2y=1200$

বা, $2y=1200-3x$

বা, $y=\frac{1200-3x}{2}$ ……(ii)

(i) নং সমীকরণ ও (ii) নং সমীকরণ তুলনা করে পাই,

$700-2x=\frac{1200-3x}{2}$

বা, $1400-4x=1200-3x$

বা, $1400-1200=4x-3x$

$\therefore x=200$

(i) নং সমীকরণে x এর মান বসিয়ে পাই,

$y=700-2\times 200$

∴ y = 300

উত্তরঃ দাদার থলিতে 200 টি 1 টাকার মুদ্রা ও 300 টি 50 পয়সার মুদ্রা ছিল।

14. আজ মামার বাড়ি যাব। তাই একটি মােটরগাড়ি আমাদের বাড়ি থেকে সমবেগে মামার বাড়ির দিকে রওনা দিল। যদি গাড়িটির গতিবেগ ঘণ্টায় 9 কিমি. বেশি হতাে তবে ওই পথ অতিক্রম করতে তার 3 ঘণ্টা সময় কম লাগত। আবার গতিবেগ যদি ঘণ্টায় 6 কিমি, কম হতাে তবে ওই পথ অতিক্রম করতে তার 3 ঘণ্টা বেশি সময় লাগত৷ আমাদের বাড়ি থেকে মামার বাড়ির দূরত্ব এবং গাড়ির গতিবেগ ঘণ্টায় কত কিমি. ছিল হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ

ধরি, আমাদের বাড়ি থেকে মামার বাড়ির দূরত্ব x কিমি এবং গাড়ির গতিবেগ ঘণ্টায় y কিমি. ছিল।

∴ মামার বাড়ি যেতে সময় লাগে $\frac{x}{y}$ ঘণ্টা।

গাড়িটির গতিবেগ ঘণ্টায় 9 কিমি. বেশি হলে তখন সময় লাগত $\frac{x}{y+9}$ ঘণ্টা।

আবার গাড়িটির গতিবেগ যদি ঘণ্টায় 6 কিমি কম হতাে তখন সময় লাগত $\frac{x}{y-6}$ ঘণ্টা।

প্রশ্নানুসারে,

$\frac{x}{y}-\frac{x}{y+9}=3$

বা, $\frac{xy+9x-xy}{y\left ( y+9 \right )}=3$

বা, $\frac{9x}{y^{2}+9y}=3$

বা, $x=\frac{3y^{2}+27y}{9}$ …..(i)

আবার গাড়িটির গতিবেগ যদি ঘণ্টায় 6 কিমি কম হতাে তখন সময় লাগত $\frac{x}{y-6}$ ঘণ্টা।

প্রশ্নানুসারে,

$\frac{x}{y-6}-\frac{x}{y}=3$

বা, $\frac{xy-xy+6x}{y\left ( y-6 \right )}=3$

বা, $\frac{6x}{y^{2}-6y}=3$

বা, $x=\frac{3y^{2}-18y}{6}$ …..(ii)

(i) নং সমীকরণ ও (ii) নং সমীকরণ তুলনা করে পাই,

$\frac{3y^{2}+27y}{9}=\frac{3y^{2}-18y}{6}$

বা, $\frac{3y\left (y+9 \right )}{3\times 3}=\frac{3y\left (y-6 \right )}{3\times 2}$

বা, $\frac{y+9 }{3}=\frac{y-6}{2}{\color{Blue} \left [ \because y\neq 0 \right ]}$

বা, $3y-18=2y+18$

$\therefore y=36$

(ii) নং সমীকরণে y এর মান বসিয়ে পাই,

$x=\frac{3\times \left ( 36 \right )^{2}-18\times 36}{6}$

বা, $x=\frac{3\times 36\times \left ( 36-6 \right )}{6}$

বা, $x=18\times 30$

$\therefore x=540$

উত্তরঃ আমাদের বাড়ি থেকে মামার বাড়ির দূরত্ব 540 কিমি এবং গাড়ির গতিবেগ ঘণ্টায় 36 কিমি. ছিল।

15. মােহিত এমন একটি দুই অঙ্কের সংখ্যা লিখবে যেটি তার অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টির 4 গুণ অপেক্ষা 3 বেশি এবং সংখ্যাটির অঙ্কদুটি স্থানবিনিময় করলে যে সংখ্যা হয় তা মূল সংখ্যার চেয়ে 18 বেশি৷ হিসাব করে দেখি মােহিত কোন সংখ্যা লিখবে।

সমাধানঃ

ধরি, মােহিতের লেখা সংখ্যাটির এককের অঙ্ক x এবং দশকের অঙ্ক y

∴ সংখ্যাটি হবে = 10y + x

প্রশ্নানুসারে,

10y + x = 4(x + y) + 3

বা, 10y + x = 4x + 4y + 3

বা, 10y + x − 4x − 4y = 3

বা, 6y − 3x = 3

বা, 2y − x = 3

বা, x = 2y − 3 …….(i)

সংখ্যাটির অঙ্কদুটি স্থানবিনিময় করলে সংখ্যাটি হয় = 10x + y

∴ 10x + y = 10y + x + 18

বা, 10x + y − 10y − x = 18

বা, 9x − 9y = 18

বা, x − y = 2

বা, x = 2 + y …..(ii)

(i) নং সমীকরণ ও (ii) নং সমীকরণ তুলনা করে পাই,

2y − 3 = 2 + y

বা, 2y − y = 2 + 3

∴ y = 5

(ii) নং সমীকরণে y এর মান বসিয়ে পাই,

x = 2 + 5

∴ x = 7

উত্তরঃ মােহিতের লেখা সংখ্যাটি হল = 10 × 5 + 7 = 50 + 7 = 57

16. আমি একটি দুই অঙ্কের সংখ্যা লিখব যার অঙ্কদুটির সমষ্টি 14 এবং সংখ্যাটি থেকে 29 বিয়ােগ করলে অঙ্কদুটি সমান হবে। সহসমীকরণ গঠন করি ও সমাধান করে দেখি দুই অঙ্কের সংখ্যাটি কী হবে।

সমাধানঃ

ধরি, সংখ্যাটির এককের অঙ্ক x এবং দশকের অঙ্ক y

∴ সংখ্যাটি হবে = 10y + x

প্রশ্নানুসারে,

$x+y=14$ …….(i)

সংখ্যাটি থেকে 29 বিয়োগ করলে সংখ্যাটি হয়

= 10x + y − 29

= 10y + x − 30 + 1

= 10y − 30+ x + 1

= 10 ( y − 3 ) + ( x + 1 )

যেহেতু, সংখ্যাটি থেকে 29 বিয়োগ করলে অঙ্কদুটি সমান হয়

অর্থাৎ,

y − 3 = x + 1

বা, y − x = 3 + 1

বা, x − y = − 4 …..(ii)

(i) নং সমীকরণ + (ii) নং সমীকরণ করে পাই,

$x+y+x-y=14-4$

বা, $2x=10$

বা, $x=\frac{10}{2}$

$\therefore x=5$

(i) নং সমীকরণে x এর মান বসিয়ে পাই,

$5+y=14$

বা, $y=14-5$

$\therefore y=9$

উত্তরঃ দুই অঙ্কের সংখ্যাটি হল = 10 × 9 + 5 = 90 + 5 = 95

17. রহমত চাচা তার নৌকা নিয়ে স্রোতের অনুকূলে 6 ঘণ্টায় 30 মাইল গিয়ে এই পথ স্রোতের প্রতিকূলে 10 ঘণ্টায় ফিরে এলেন৷ স্থির জলে রহমত চাচার নৌকার গতিবেগ ও স্রোতের গতিবেগ হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ

ধরি, স্থির জলে রহমত চাচার নৌকার গতিবেগ ঘণ্টায় x মাইল ও স্রোতের গতিবেগ ঘণ্টায় y মাইল।

∴ স্রোতের অনুকূলে নৌকার গতিবেগ ঘণ্টায় x + y মাইল এবং স্রোতের প্রতিকূলে নৌকার গতিবেগ ঘণ্টায়

x − y মাইল।

প্রশ্নানুসারে,

$6\left ( x+y \right )=30$

বা, $x+y=5$ …..(i)

এবং

$10\left ( x-y \right )=30$

বা, $x-y=3$ …..(ii)

(i) নং সমীকরণ + (ii) নং সমীকরণ করে পাই,

$x+y+x-y=5+3$

বা, $2x=8$

বা, $x=\frac{8}{2}$

$\therefore x=4$

(i) নং সমীকরণে x এর মান বসিয়ে পাই,

$4+y=5$

বা, $y=5-4$

$\therefore y=1$

উত্তরঃ স্থির জলে রহমত চাচার নৌকার গতিবেগ ঘণ্টায় 4 মাইল ও স্রোতের গতিবেগ ঘণ্টায় 1 মাইল।

18. হাওড়া স্টেশন থেকে একটি ট্রেন ছাড়ার 1 ঘণ্টা পরে বিশেষ কারণে 1 ঘণ্টা দেরি করে এবং তারপর পূর্বের বেগের $\fn_cm {\color{Blue} \frac{3}{5}}$ অংশ বেগে চলে নির্দিষ্ট সময়ের 3 ঘণ্টা পরে গন্তব্যস্থলে পৌঁছায়। যদি বিশেষ কারণটি পূর্বস্থান থেকে আরও 50 কিমি. দূরবর্তী স্থানে হতাে, তাহলে ট্রেনটি আগের চেয়ে 1 ঘণ্টা 20 মিনিট পূর্বে গন্তব্যস্থানে পৌছাতাে। ট্রেনটি মােট কত পথ চলেছিল এবং পূর্বের বেগ কত ছিল হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ

ধরি, ট্রেনের গতিবেগ ছিল ঘন্টায় x কিমি এবং ট্রেনটি y ঘন্টায় গন্তব্যস্থলে পৌঁছায়।

∴ গন্তব্যস্থলের দূরত্ব xy কিমি।

প্রথম 1 ঘন্টায় ট্রেনটি যায় x কিমি।

বাকি পথ = xy − x কিমি।

1 ঘন্টা দেরি করার পর ট্রেনটির গতিবেগ হয় ঘন্টায় $\frac{3x}{5}$ কিমি

বাকি xy − x কিমি পথ যেতে সময় লাগে $\frac{xy-x}{\frac{3x}{5}}$ ঘন্টা।

প্রশ্নানুসারে,

$1+1+\frac{xy-x}{\frac{3x}{5}}=y+3$

বা, $\frac{xy-x}{\frac{3x}{5}}=y+3-2$

বা, $x\left ( y-1 \right )\times \frac{5}{3x}=y+1$

বা, $\frac{5y-5}{3}=y+1$

বা, $5y-5=3y+3$

বা, $5y-3y=5+3$

বা, $2y=8$

বা, $y=\frac{8}{2}$

$\therefore y=4$

50 কিমি দূরবর্তী স্থানে যদি বিশেষ কারণটি হতো, তখন স্থানটির দূরত্ব হত x + 50 কিমি।

হাওড়া স্টেশন থেকে ওই স্থানটিতে পৌঁছাতে সময় লাগত $\frac{x+50}{x}$ ঘন্টা।

তখন অবশিষ্ট পথ হত = ( xy − x − 50 ) কিমি।

1 ঘন্টা দেরি করার পর ঘন্টায় $\frac{3x}{5}$ কিমি পথ যেতে সময় লাগত $\frac{xy-x-50}{\frac{3x}{5}}$ ঘন্টা।

1 ঘন্টা 20 মিনিট $=1\frac{20}{60}$ ঘন্টা $=1\frac{1}{3}$ ঘন্টা $=\frac{4}{3}$ ঘন্টা।

এখন,

$\frac{x+50}{x}+1+\frac{xy-x-50}{\frac{3x}{5}}=y+3-\frac{4}{3}$

বা, $\frac{x+50}{x}+\frac{5\left (xy-x-50 \right )}{3x}=y+3-\frac{4}{3}-1$

বা, $\frac{x+50}{x}+\frac{5\left (x\times 4-x-50 \right )}{3x}=4+3-\frac{4}{3}-1$ [ y = 4 বসিয়ে পাই ]

বা, $\frac{3x+150+20x-5x-250}{3x}=\frac{12+9-4-3}{3}$

বা, $\frac{18x-100}{3x}=\frac{14}{3}$

বা, $\frac{18x-100}{x}=14$

বা, $18x-14x=100$

বা, $4x=100$

বা, $x=\frac{100}{4}$

$\therefore x=25$

উত্তরঃ ট্রেনটি মােট 25 × 4 = 100 কিমি পথ চলেছিল এবং ট্রেনটির পূর্বের বেগ ছিল ঘন্টায় 25 কিমি।

19. মৌসুমি দুই অঙ্কের একটি সংখ্যাকে অঙ্কদুটির সমষ্টি দিয়ে ভাগ করে ভাগফল 6 এবং ভাগশেষ 6 পায়। যদি মৌসুমি অঙ্ক দুটি স্থান বিনিয়ম করে সংখ্যাটিকে অঙ্ক দুটির সমষ্টি দিয়ে ভাগ করে তাহলে ভাগফল 4 এবং ভাগশেষ 9 হয়। সহসমীকরণ গঠন করে মৌসুমির সংখ্যাটি নির্ণয় করি।

সমাধানঃ

ধরি, মৌসুমির সংখ্যাটির এককের অঙ্ক x এবং দশকের অঙ্ক y

∴ সংখ্যাটি হবে = 10y + x

প্রশ্নানুসারে,

$10y+x=6\left ( x+y \right )+6$

বা, $10y+x-6x-6y=6$

বা, $-5x+4y=6$

বা, $5x-4y=-6$ …….(i)

অঙ্ক দুটি স্থান বিনিয়ম করে সংখ্যাটি হয় = 10x + y

এখন,

$10x+y=4\left ( x+y \right )+9$

বা, $10x+y-4x-4y=9$

বা, $6x-3y=9$

বা, $2x-y=3$ ……(ii)

(i) নং সমীকরণকে 2 দ্বারা ও (ii) নং সমীকরণকে 5 দ্বারা গুন্ করে পাই,

$10x-8y=-12$ …..(iii)

$10x-5y=15$ ……(iv)

(iii) নং সমীকরণ থেকে (iv) নং সমীকরণ বিয়োগ করে পাই,

$10x-8y-10x+5y=-12-15$

বা, $-3y=-27$

বা, $y=\frac{-27}{-3}$

$\therefore y=9$

(ii) নং সমীকরণে y এর মান বসিয়ে পাই,

$2x-9=3$

বা, $2x=12$

বা, $x=\frac{12}{2}$

$\therefore x=6$

উত্তরঃ মৌসুমির ধরা সংখ্যাটি হল = 10 × 9 + 6 = 90 + 6 = 96

20. ফরিদাবিবি কয়েকটি বাক্সে কমলালেবু রাখতে গিয়ে দেখলেন যে তিনি যদি প্রত্যেকটি বাক্সে 20 টি কমলালেবু বেশি রাখেন তাহলে 3টি বাক্স কম লাগে। আবার তিনি যদি প্রত্যেকটি বাক্সে 5টি কমলালেবু কম রাখেন তাহলে 1 টি বাক্স বেশি লাগে। সহসমীকরণ গঠন করে হিসাব করি ফরিদাবিবির কাছে কতগুলি কমলালেবু এবং কতগুলি বাক্স ছিল।

সমাধানঃ

ধরি, ফরিদাবিবির কাছে x টি কমলালেবু এবং y টি বাক্স ছিল।

∴ প্রতিটি বাক্সে কমলালেবু রাখতে পারেন $\frac{x}{y}$ টি।

তিনি যদি প্রত্যেকটি বাক্সে 20 টি কমলালেবু বেশি রাখেন, তবে প্রতিটি বাক্সে কমলালেবু থাকত $=\frac{x}{y}+20$ টি এবং বাক্স লাগত $\frac{x}{\frac{x}{y}+20}$ টি ।

প্রশ্নানুসারে,

$\frac{x}{\frac{x}{y}+20}=y-3$

বা, $\frac{x}{\frac{x+20y}{y}}=y-3$

বা, $\frac{xy}{x+20y}=y-3$

বা, $xy=\left ( x+20y \right )\left ( y-3 \right )$

বা, $xy=xy-3x+20y^{2}-60y$

বা, $xy-xy+3x=20y^{2}-60y$

বা, $3x=20y^{2}-60y$

বা, $x=\frac{20y^{2}-60y}{3}$ ……(i)

আবার তিনি যদি প্রত্যেকটি বাক্সে 5টি কমলালেবু কম রাখেন তাহলে প্রতিটি বাক্সে কমলালেবু থাকত $=\frac{x}{y}-5$ টি এবং বাক্স লাগত $\frac{x}{\frac{x}{y}-5}$ টি ।

প্রশ্নানুসারে,

$\frac{x}{\frac{x}{y}-5}=y+1$

বা, $\frac{x}{\frac{x-5y}{y}}=y+1$

বা, $\frac{xy}{x-5y}=y+1$

বা, $xy=\left ( x-5y \right )\left ( y+1 \right )$

বা, $xy=xy+x-5y^{2}-5y$

বা, $xy-xy-x=-5y^{2}-5y$

বা, $-x=-\left (5y^{2}+5y \right )$

বা, $x=5y^{2}+5y$ ……(ii)

(i) নং সমীকরণ ও (ii) নং সমীকরণ তুলনা করে পাই,

$\frac{20y^{2}-60y}{3}=5y^{2}+5y$

বা, $20y^{2}-60y=15y^{2}+15y$

বা, $20y^{2}-15y^{2}=60y+15y$

বা, $5y^{2}=75y$

বা, $y^{2}=15y$

বা, $y^{2}-15y=0$

বা, $y\left ( y-15 \right )=0$

বা, $y-15=0{\color{Blue} \left [ \because y\neq 0 \right ]}$

$\therefore y=15$

(ii) নং সমীকরণে y এর মান বসিয়ে পাই,

$x=5\times \left ( 15 \right )^{2}+5\times 15$

বা, $x=5\times 15\times \left ( 15+1 \right )$

বা, $x=75\times 16$

$\therefore x=1200$

উত্তরঃ ফরিদাবিবির কাছে 1200 টি কমলালেবু এবং 15 টি বাক্স ছিল।

21. সংক্ষিপ্ত উত্তরভিত্তিক প্রশ্ন :

(i) যদি $\fn_cm {\color{Blue} x=3t}$ এবং $\fn_cm {\color{Blue} y=\frac{2t}{3}-1}$ হয়, তাহলে t -এর কোন মানের জন্য $\fn_cm {\color{Blue} x=3y}$ হবে?

সমাধানঃ

$\fn_cm x=3t$ …..(i) এবং $\fn_cm y=\frac{2t}{3}-1$ ……(ii)

(i) নং সমীকরণ থেকে পাই,

$\small 3y=3t{\color{Blue} \left [ \because x=3y \right ]}$

$\small \therefore y=t$ …..(iii)

(i) নং সমীকরণ থেকে পাই,

$\fn_cm y=\frac{2t}{3}-1$

বা, $\fn_cm t=\frac{2t}{3}-1{\color{Blue} \left [ \because y=t \right ]}$

বা, $\small t=\frac{2t-3}{3}$

বা, $\small 3t=2t-3$

বা, $\small t=-3$

উত্তরঃ নির্ণেয় t এর মান −3

21. সংক্ষিপ্ত উত্তরভিত্তিক প্রশ্ন :

(ii) k-এর কোন মানের জন্য $\fn_cm {\color{Blue} 2x+5y=8}$ এবং $\fn_cm {\color{Blue} 2x-ky=3}$ সমীকরণদ্বয়ের কোনাে সমাধান থাকবে না?

সমাধানঃ

$\fn_cm 2x+5y=8$ এবং $\fn_cm 2x-ky=3$ সমীকরণদ্বয়ের কোনাে সমাধান থাকবে না যদি,

$\small \frac{2}{2}=\frac{5}{-k}\neq \frac{8}{3}$ হয়

এখন,

$\small \frac{2}{2}=\frac{5}{-k}$

বা, $\small -2k=10$

বা, $\small k=\frac{10}{-2}$

$\small \therefore k=-5$

k-এর মান -5 হলে প্রদত্ত সমীকরণদ্বয়ের কোনাে সমাধান থাকবে না।

21. সংক্ষিপ্ত উত্তরভিত্তিক প্রশ্ন :

(iii) x, y বাস্তব সংখ্যা এবং $\fn_cm {\color{Blue} \left ( x-5 \right )^{2}+\left ( x-y \right )^{2}=0}$ হলে x এবং y-এর মান কত?

সমাধানঃ

$\fn_cm \left ( x-5 \right )^{2}+\left ( x-y \right )^{2}=0$

দুটি রাশির বর্গের সমষ্টি শূন্য হলে তারা পৃথক পৃথক ভাবে শূন্য হয়।

$\left ( x-5 \right )^{2}=0$

বা, x – 5 = 0

∴ x = 5

এবং

$\left ( x-y \right )^{2}=0$

বা, x – y = 0

বা, 5 – y = 0

বা, 5 = y

∴ y = 5

নির্ণেয় x = 5 এবং y = 5

21. সংক্ষিপ্ত উত্তরভিত্তিক প্রশ্ন :

(iv) $\fn_cm {\color{Blue} x^{2}+y^{2}-2x+4y=-5}$ হলে x এবং y – এর মান কত?

সমাধানঃ

$\fn_cm x^{2}+y^{2}-2x+4y=-5$

বা, $\fn_cm x^{2}+y^{2}-2x+4y+5=0$

বা, $x^{2}-2\times x\times 1+1^{2}+y^{2}+2\times y\times 2+2^{2}=0$

বা, $\left ( x-1 \right )^{2}+\left ( y+2 \right )^{2}=0$

দুটি রাশির বর্গের সমষ্টি শূন্য হলে তারা পৃথক পৃথক ভাবে শূন্য হয়।

$\left ( x-1 \right )^{2}=0$

বা, x – 1 = 0

∴ x = 1

এবং

$\left ( y+2 \right )^{2}=0$

বা, y + 2 = 0

∴ y = – 2

নির্ণেয় x = 1 এবং y = -2

21. সংক্ষিপ্ত উত্তরভিত্তিক প্রশ্ন :

(v) r -এর কোন মানের জন্য $\fn_cm {\color{Blue} rx-3y-1=0}$ এবং $\fn_cm {\color{Blue} \left ( 4-r \right )x-y+1=0}$ সমীকরণদ্বয়ের সমাধান সম্ভব নয় ?

সমাধানঃ

$\fn_cm rx-3y-1=0$ এবং $\fn_cm \left ( 4-r \right )x-y+1=0$ সমীকরণদ্বয়ের সমাধান সম্ভব নয় যখন,

$\frac{r}{4-r}=\frac{-3}{-1}\neq \frac{-1}{1}$ ……(i)

(i) নং সমীকরণ থেকে পাই,

$\frac{r}{4-r}=\frac{-3}{-1}$

বা, – 12 + 3r = – r

বা, 3r + r = 12

বা, 4r = 12

বা, $r=\frac{12}{4}$

∴ r = 3

নির্ণেয় r এর মান 3 হলে সমীকরণদ্বয়ের সমাধান সম্ভব নয়।

21. সংক্ষিপ্ত উত্তরভিত্তিক প্রশ্ন :

(vi) $\fn_cm {\color{Blue} a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0}$ সমীকরণকে $\fn_cm {\color{Blue} y=mx+c}$ আকারে লিখি, যেখানে m এবং c ধ্রুবক৷

সমাধানঃ

$\fn_cm a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0$ সমীকরণকে $\fn_cm y=mx+c$ আকারে লিখলে হয়,

বা, $b_{1}y=-a_{1}x-c_{1}$

$\therefore y=\left (-\frac{a_{1}}{b_{1}} \right )x+\left (-\frac{c_{1}}{b_{1}} \right )$

21. সংক্ষিপ্ত উত্তরভিত্তিক প্রশ্ন :

(vii) k -এর কোন মানের জন্য $\fn_cm {\color{Blue} kx-21y+15=0}$ এবং $\fn_cm {\color{Blue} 8x-7y=0}$ সমীকরণদ্বয়ের একটিমাত্র সমাধান থাকবে?

সমাধানঃ $\fn_cm kx-21y+15=0$ এবং $\fn_cm 8x-7y=0$ সমীকরণদ্বয়ের একটিমাত্র সমাধান থাকবে যদি,

$\frac{k}{8}\neq \frac{-21}{-7}$ হয়

বা, $\frac{k}{8}\neq 3$

$\therefore k\neq 24$

21. সংক্ষিপ্ত উত্তরভিত্তিক প্রশ্ন :

(viii) a এবং b -এর কোন মানের জন্য $\fn_cm {\color{Blue} 5x+8y=7}$ এবং $\fn_cm {\color{Blue} \left ( a+b \right )x+\left ( a-b \right )y=\left ( 2a+b+1 \right )}$ সমীকরণদ্বয়ের অসংখ্য সমাধান থাকবে?

সমাধানঃ

$\fn_cm 5x+8y=7$

বা, $\fn_cm 5x+8y-7=0$ ……(i)

এবং

$\fn_cm \left ( a+b \right )x+\left ( a-b \right )y=\left ( 2a+b+1 \right )$

বা, $\fn_cm \left ( a+b \right )x+\left ( a-b \right )y-\left ( 2a+b+1 \right )=0$ …..(ii)

সমীকরণদ্বয়ের অসংখ্য সমাধান থাকবে যখন,

$\frac{5}{a+b}=\frac{8}{a-b}=\frac{-7}{-\left (2a+b+1 \right )}$ …..(iii)

(iii) নং সমীকরণ থেকে পাই,

$\frac{5}{a+b}=\frac{-7}{-\left (2a+b+1 \right )}$

বা, $\frac{5}{a+b}=\frac{7}{\left (2a+b+1 \right )}$

বা, 10a + 5b + 5 = 7a + 7b

বা, 10a – 7a + 5b – 7b = -5

বা, 3a – 2b = -5 ……(iv)

আবার,

$\frac{8}{a-b}=\frac{-7}{-\left (2a+b+1 \right )}$

বা, $\frac{8}{a-b}=\frac{7}{\left (2a+b+1 \right )}$

বা, 16a + 8b + 8 = 7a – 7b

বা, 16a – 7a + 8b + 7b = – 8

বা, 9a + 15b = -8 ……(v)

(iv) নং সমীকরণকে 3 দ্বারা ও (v) নং সমীকরণকে 1 দ্বারা গুন্ করে পাই,

9a – 6b = – 15 …..(vi)

9a + 15b = – 8 ……(vii)

(vi) নং সমীকরণ থেকে (vii) নং সমীকরণ বিয়োগ করে পাই,

9a – 6b – 9a – 15b = -15 + 8

বা, – 21b = – 7

বা, $b=\frac{-7}{-21}$

$\therefore b=\frac{1}{3}$

(iv) নং সমীকরণে b এর মান বসিয়ে পাই,

$3a-2\times \frac{1}{3}=-5$

বা, $3a=\frac{2}{3}-5$

বা, $3a=\frac{2-15}{3}$

বা, $a=\frac{-13}{3\times 3}$

$\therefore a=-\frac{13}{9}$

নির্ণেয় ${\color{DarkGreen} a=-\frac{13}{9}}$ এবং ${\color{DarkGreen} b=\frac{1}{3}}$ -এই মানের জন্য সমীকরণদ্বয়ের অসংখ্য সমাধান থাকবে।

22. বহু বিকল্পীয় প্রশ্ন: (M.C.Q.):

(i) $\fn_cm {\color{Blue} 4x+3y=7}$ এবং $\fn_cm {\color{Blue} 7x-3y=4}$ সমীকরণদ্বয়ের

(a) একটি নির্দিষ্ট সমাধান আছে

(b) অসংখ্য সমাধান আছে

(d) কোনােটিই নয়

সমাধানঃ

4x + 3y = 7 …..(i)

7x – 3y = 4 …… (ii)

$\because \frac{4}{7}\neq \frac{3}{-3}\neq \frac{7}{4}$

∴ সমীকরণদ্বয়ের একটি নির্দিষ্ট সমাধান আছে।

উত্তরঃ (a) একটি নির্দিষ্ট সমাধান আছে

22. বহু বিকল্পীয় প্রশ্ন: (M.C.Q.):

(ii) $\fn_cm {\color{Blue} 3x+6y=15}$ এবং $\fn_cm {\color{Blue} 6x+12y=30}$ সমীকরণদ্বয়ের

(a) একটি নির্দিষ্ট সমাধান আছে

(b) অসংখ্য সমাধান আছে

(d) কোনােটিই নয়

সমাধানঃ

3x + 6y = 15 …..(i)

6x + 12y = 30 ….(ii)

$\because \frac{3}{6}=\frac{6}{12}=\frac{15}{30}=\frac{1}{2}$

∴ সমীকরণদ্বয়ের অসংখ্য সমাধান আছে।

উত্তরঃ (b) অসংখ্য সমাধান আছে

22. বহু বিকল্পীয় প্রশ্ন: (M.C.Q.):

(iii) $\fn_cm {\color{Blue} 4x+4y=20}$ এবং $\fn_cm {\color{Blue} 5x+5y=30}$ সমীকরণদ্বয়ের

(a) একটি নির্দিষ্ট সমাধান আছে

(b) অসংখ্য সমাধান আছে

(d) কোনােটিই নয়

সমাধানঃ

4x + 4y = 20 ….(i)

5x + 5y = 30 …..(ii)

$\because \frac{4}{5}=\frac{4}{5}\neq \frac{20}{30}$

∴ সমীকরণদ্বয়ের কোনাে সমাধান নেই।

উত্তরঃ (c) কোনাে সমাধান নেই

22. বহু বিকল্পীয় প্রশ্ন: (M.C.Q.):

(iv) নিম্নলিখিত সমীকরণগুলির কোনটির সমাধান (1, 1)

(a) $\fn_cm {\color{Blue} 2x+3y=9}$

(b) $\fn_cm {\color{Blue} 6x+2y=9}$

(d) $\fn_cm {\color{Blue} 4x+6y=8}$

সমাধানঃ

যে সমীকরণটি (1, 1) মানকে সিদ্ধ করবে সেটিই হবে নির্ণেয় সমীকরণ ।

a) 2 × 1 + 3 × 1 = 5 $\neq 9$

b) 6 × 1 + 2 × 1 = 8 $\neq 9$

c) 3 × 1 + 2 × 1 = 5

d) 4 × 1 + 6 × 1 = 10 $\neq 8$

উত্তরঃ (c) 3x + 2y = 5

22. বহু বিকল্পীয় প্রশ্ন: (M.C.Q.):

(v) $\fn_cm {\color{Blue} 4x + 3y = 25}$ এবং $\fn_cm {\color{Blue} 5x - 2y = 14}$ সমীকরণদ্বয়ের সমাধান।

(a) x = 4, y = 3

(b) x = 3, y = 4

(d) x = 4, y = −3

সমাধানঃ

4x + 3y = 25 ….(i)

5x – 2y = 14 …..(ii)

(i) নং সমীকরণকে 5 দ্বারা ও (ii) নং সমীকরণকে 4 দ্বারা গুন্ করে পাই,

20x + 15y = 125 …..(iii)

20x – 8y = 56 ……(iv)

(iii) নং সমীকরণ থেকে (iv) নং সমীকরণ বিয়োগ করে পাই,

20x + 15y – 20x + 8y = 125 – 56

বা, 23y = 69

বা, $y=\frac{69}{23}$

∴ y = 3

(i) নং সমীকরণে y এর মান বসিয়ে পাই,

4x + 3 × 3 = 25

বা, 4x = 25 – 9

বা, $x=\frac{16}{4}$

∴ x = 4

উত্তরঃ (a) x = 4, y = 3

22. বহু বিকল্পীয় প্রশ্ন: (M.C.Q.):

(vi) $\fn_cm {\color{Blue} x+y=7}$ সমীকরণের সমাধানগুলি হলাে

(a) (1, 6), (3, −4)

(b) (1, −6), (4, 3)

(d) (−1, 6), (−4, 3)

সমাধানঃ

যে মানগুলি x + y = 7 সমীকরণ কে সিদ্ধ করবে সেটিই হবে সমীকরণটির সমাধান।

a) 1 + 6 = 7 কিন্তু 3 – 4 = – 1 $\neq 7$

b) 1 – 6 = – 5 $\neq 7$ কিন্তু 4 + 3 = 7

c) 1 + 6 = 7 ও 4 + 3 = 7

d) -1 + 6 = 5 $\neq 7$ ও -4 + 3 = -1 $\neq 7$

উত্তরঃ (c) (1, 6), (4, 3)