Koshe Dekhi 12.2 Class 7

1. (x + a) (x + b) = x²+ (a + b) x + ab –এই অভেদের সাহায্যে নীচের বীজগাণিতিকসংখ্যামালাগুলি গুণ করি।

(i) (x + 7) (x + 1)

সমাধানঃ

(x + 7) (x + 1)

= x² + 7x + x + 7

= x² + 8x + 7

(ii) (x − 8) (x − 2)

সমাধানঃ

(x − 8) (x − 2)

= x² − 8x − 2x + 16

= x²− 10x + 16

(iii) (x + 9) (x − 6)

সমাধানঃ

(x + 9) (x − 6)

= x²+ 9x − 6x − 54

= x²+ 3x − 54

(iv) (2x + 1)(2x − 1)

সমাধানঃ

(2x + 1)(2x − 1)

= 4x² + 2x − 2x − 1

= 4x² − 1

(v)(xy − 4) (xy + 2)

সমাধানঃ

(xy − 4) (xy + 2)

= x²y²+ 2xy − 4xy − 8

= x²y²− 2xy − 8

(vi) (a²+ 5)(a² − 4)

সমাধানঃ

(a²+ 5)(a² − 4)

= a⁴ −4a² + 5a² − 20

= a⁴ + a² − 20

2. সূত্রের সাহায্যে দেখাই যে—

(i) (2x + 3y)² − (2x − 3y)² = 24xy

সমাধানঃ

বামপক্ষ

= (2x + 3y)² − (2x − 3y)²

= 4 × 2x × 3y

= 24xy

= ডানপক্ষ (প্রমাণিত)

(ii) (a + 2b)²+ (a − 2b)² = 2 (a²+ 4b²)

সমাধানঃ

বামপক্ষ

= (a + 2b)²+ (a − 2b)²

= 2 [(a)² + (2b)² ]

= 2 (a²+ 4b²)

= ডানপক্ষ (প্রমাণিত)

(iii) (l+m)²= (l − m)²+ 4lm

সমাধানঃ

বামপক্ষ

= (l+m)²

= l² + 2lm + m²

= l² − 2lm + m² + 4lm

= (l − m)²+ 4lm

= ডানপক্ষ (প্রমাণিত)

(iv) (2p − q)² = (2p + q)² − 8pq

সমাধানঃ

বামপক্ষ

= (2p − q)²

= (2p + q)²− 4 × 2p × q

= (2p + q)² − 8pq

= ডানপক্ষ (প্রমাণিত)

(v) (3m + 4n)²= (3m − 4n)²+ 48mn

সমাধানঃ

বামপক্ষ

(3m + 4n)²

= (3m − 4n)²+ 4 × 3m × 4n

= (3m − 4n)²+ 48mn

= ডানপক্ষ (প্রমাণিত)

(vi) (6x + 7y)²− 84xy = 36x² + 49y²

সমাধানঃ

বামপক্ষ

(6x + 7y)²− 84xy

= (6x)² + 2 × 6x × 7y + (7y)² − 84xy

= 36x² + 84xy + 49y² − 84xy

= 36x² + 49y²

= ডানপক্ষ (প্রমাণিত)

(vii) (3a − 4b)²+ 24ab = 9a²+ 16b²

সমাধানঃ

বামপক্ষ

(3a − 4b)²+ 24ab

= 9a² − 2 × 3a × 4b + 16b² + 24ab

= 9a² − 24ab + 16b² + 24ab

= 9a²+ 16b²

= ডানপক্ষ (প্রমাণিত)

(viii) ${\color{Blue} \left (2a+\frac{1}{a} \right )^{2}=\left ( 2a-\frac{1}{a} \right )^{2}+8}$

সমাধানঃ

বামপক্ষ

$\left (2a+\frac{1}{a} \right )^{2}$

$=\left ( 2a-\frac{1}{a} \right )^{2}+4\times 2a\times \frac{1}{a}$

$=\left ( 2a-\frac{1}{a} \right )^{2}+8$

= ডানপক্ষ (প্রমাণিত)

3. প্রতিক্ষেত্রে সূত্রের সাহায্যে সমস্যার সমাধান করি।

(i) x − y = 3, xy = 28 হলে x²+ y² -এর মান কত লিখি।

সমাধানঃ

x²+ y²

= (x − y)² + 2xy

= (3)² + 2 × 28

= 9 + 56

= 65

উত্তরঃ x²+ y² -এর মান 65

(ii) a² + b² = 52, a − b = 2 হলে, ab -এর মান কত লিখি।

সমাধানঃ

a² + b² = 52

বা, (a − b)² + 2ab = 52

বা, 2² + 2ab = 52

বা, 2ab = 52 − 4

বা, 2ab = 48

বা, $ab=\frac{48}{2}$

∴ ab = 24

উত্তরঃ ab -এর মান 24

(iii) l² + m² =13 এবং l + m = 5 হলে lm – এর মান কত লিখি।

সমাধানঃ

l² + m² =13

বা, (l + m)² − 2lm = 13

বা, 5² − 2lm = 13

বা, 25 − 2lm = 13

বা, 25 − 13 = 2lm

বা, 2lm = 12

বা, $lm=\frac{12}{2}$

∴ lm = 6

উত্তরঃ lm – এর মান 6

(iv) ${\color{Blue} a+\frac{1}{a}=4}$ হলে ${\color{Blue} a^{2}+\frac{1}{a^{2}}}$ -এর মান কত লিখি।

সমাধানঃ

$a^{2}+\frac{1}{a^{2}}$

$=\left ( a+\frac{1}{a} \right )^{2}-2\times a\times \frac{1}{a}$

= 4² − 2

= 16 − 2

= 14

উত্তরঃ ${\color{DarkGreen} a^{2}+\frac{1}{a^{2}}}$ -এর মান 14

(v) ${\color{Blue} a-\frac{1}{a}=4}$ হলে ${\color{Blue} a^{2}+\frac{1}{a^{2}}}$ -এর মান কত লিখি

সমাধানঃ

$a^{2}+\frac{1}{a^{2}}$

$=\left ( a-\frac{1}{a} \right )^{2}+2\times a\times \frac{1}{a}$

= 4² + 2

= 16 + 2

= 18

উত্তরঃ ${\color{DarkGreen} a^{2}+\frac{1}{a^{2}}}$ -এর মান 18

(vi) ${\color{Blue} 5x+\frac{1}{x}=6}$ হলে দেখাই যে ${\color{Blue} 25x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=26}$

সমাধানঃ

$25x^{2}+\frac{1}{x^{2}}$

$=\left (5x+\frac{1}{x} \right )^{2}-2\times 5x\times \frac{1}{x}$

= (6)² − 10

= 36 − 10

= 26 (প্রমাণিত )

(vii) ${\color{Blue} 2x+\frac{1}{x}=5}$ হলে ${\color{Blue} 4x^{2}+\frac{1}{x^{2}}}$ এর মান লিখি।

সমাধানঃ

$4x^{2}+\frac{1}{x^{2}}$

$=\left ( 2x+\frac{1}{x} \right )^{2}-2\times 2x\times \frac{1}{x}$

= (5)² − 4

= 25 − 4

= 21

উত্তরঃ ${\color{DarkGreen} 4x^{2}+\frac{1}{x^{2}}}$ এর মান 21

(viii) ${\color{Blue} \frac{x}{y}+\frac{y}{x}=3}$ হলে ${\color{Blue} \frac{x^{2}}{y^{2}}+\frac{y^{2}}{x^{2}}}$ -এর মান লিখি।

সমাধানঃ

$\frac{x^{2}}{y^{2}}+\frac{y^{2}}{x^{2}}$

$=\left ( \frac{x}{y}+\frac{y}{x} \right )^{2}-2\times \frac{x}{y}\times \frac{y}{x}$

= (3)² − 2

= 9 − 2

= 7

উত্তরঃ ${\color{DarkGreen} \frac{x^{2}}{y^{2}}+\frac{y^{2}}{x^{2}}}$ –এর মান 7

(ix) x² + y² = 4xy হলে প্রমাণ করি যে x⁴ + y⁴ = 14x² y²

সমাধানঃ

বামপক্ষ

= x⁴ + y⁴

= (x² + y²)² − 2x² y²

= (4xy )² − 2x² y²

= 16x² y² − 2x² y²

= 14x² y²

= ডানপক্ষ (প্রমাণিত)

(x) ${\color{Blue} 2a+\frac{1}{3a}=6}$ হলে ${\color{Blue} 4a^{2}+\frac{1}{9a^{2}}}$ এর মান কত লিখি।

সমাধানঃ

$4a^{2}+\frac{1}{9a^{2}}$

$=\left ( 2a+\frac{1}{3a} \right )^{2}-2\times 2a\times \frac{1}{3a}$

$=\left ( 6 \right )^{2}-\frac{4}{3}$

$=36-\frac{4}{3}$

$=\frac{108-4}{3}$

$=\frac{104}{3}$

$=34\frac{2}{3}$

উত্তরঃ ${\color{DarkGreen} 4a^{2}+\frac{1}{9a^{2}}}$ –এর মান ${\color{DarkGreen} 34\frac{2}{3}}$

(xi) ${\color{Blue} 5a+\frac{1}{7a}=5}$ হলে ${\color{Blue} 25a^{2}+\frac{1}{49a^{2}}}$ -এর মান কত লিখি।

সমাধানঃ

$25a^{2}+\frac{1}{49a^{2}}$

$=\left ( 5a+\frac{1}{7a} \right )^{2}-2\times 5a\times \frac{1}{7a}$

$=\left ( 5 \right )^{2}-\frac{10}{7}$

$=25-\frac{10}{7}$

$=\frac{175-10}{7}$

$=\frac{165}{7}$

$=23\frac{4}{7}$

উত্তরঃ ${\color{DarkGreen} 25a^{2}+\frac{1}{49a^{2}}}$ –এর মান ${\color{DarkGreen} 23\frac{4}{7}}$

(xii) ${\color{Blue} 2x-\frac{1}{x}=4}$ হলে ${\color{Blue} x^{2}+\frac{1}{4x^{2}}}$ -এর মান লিখি।।

সমাধানঃ

$2x-\frac{1}{x}=4$

$2\left (x-\frac{1}{2x} \right )=4$

$\left (x-\frac{1}{2x} \right )=\frac{4}{2}$

$\therefore \left (x-\frac{1}{2x} \right )=2$

$x^{2}+\frac{1}{4x^{2}}$

$=\left ( x-\frac{1}{2x} \right )^{2}+2\times x\times \frac{1}{2x}$

= (2)² + 1

= 4 + 1

= 5

উত্তরঃ ${\color{DarkGreen} x^{2}+\frac{1}{4x^{2}}}$ –এর মান 5

(xiii) ${\color{Blue} m+\frac{1}{m}=-p}$ হলে দেখাই যে ${\color{Blue} m^{2}+\frac{1}{m^{2}}=p^{2}-2}$

সমাধানঃ

বামপক্ষ

$=m^{2}+\frac{1}{m^{2}}$

$=\left ( m+\frac{1}{m} \right )^{2}-2\times m\times \frac{1}{m}$

$=p^{2}-2$

= ডানপক্ষ (প্রমাণিত)

(xiv) a² + b² = 5ab হলে দেখাই যে ${\color{Blue} \frac{a^{2}}{b^{2}}+\frac{b^{2}}{a^{2}}=23}$

সমাধানঃ

বামপক্ষ

$\frac{a^{2}}{b^{2}}+\frac{b^{2}}{a^{2}}$

$=\frac{a^{4}+b^{4}}{a^{2}b^{2}}$

$=\frac{\left (a^{2}+b^{2} \right )^{2}-2a^{2}b^{2}}{a^{2}b^{2}}$

$=\frac{\left (5ab \right )^{2}-2a^{2}b^{2}}{a^{2}b^{2}}$

$=\frac{25a^{2}b^{2}-2a^{2}b^{2}}{a^{2}b^{2}}$

$=\frac{23a^{2}b^{2}}{a^{2}b^{2}}$

= 23

= ডানপক্ষ (প্রমাণিত)

(xv) 6x² − 1 = 4x হলে দেখাই যে ${\color{Blue} 36x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=28}$

সমাধানঃ

6x² − 1 = 4x

$\frac{6x^{2}-1}{x}=\frac{4x}{x}$ [উভয়পক্ষে x দিয়ে ভাগ করে পাই ]

$6x-\frac{1}{x}=4$

বামপক্ষ

$36x^{2}+\frac{1}{x^{2}}$

$=\left ( 6x-\frac{1}{x} \right )^{2}+2\times 6x\times \frac{1}{x}$

=(4)²+ 12

= 16 + 12

= 28

= ডানপক্ষ (প্রমাণিত)

(xvi) ${\color{Blue} m-\frac{1}{m}=p-2}$ হলে দেখাই যে ${\color{Blue} m^{2}+\frac{1}{m^{2}}=p^{2}-4p+6}$

সমাধানঃ

বামপক্ষ

$=m^{2}+\frac{1}{m^{2}}$

$=\left ( m-\frac{1}{m} \right )^{2}+2\times m\times \frac{1}{m}$

= (p − 2)² + 2

= p² − 4p + 4 + 2

= p² − 4p + 6

= ডানপক্ষ (প্রমাণিত)

(xvi) ${\color{Blue} m-\frac{1}{m-2}=6}$ হলে ${\color{Blue} \left ( m-2 \right )^{2}+\frac{1}{\left ( m-2 \right )^{2}}}$ -এর মান কত লিখি।

সমাধানঃ

$m-\frac{1}{m-2}=6$

$m-\frac{1}{m-2}=4+2$

$m-2-\frac{1}{m-2}=4$

$\left ( m-2 \right )^{2}+\frac{1}{\left ( m-2 \right )^{2}}$

$=\left [ \left ( m-2-\frac{1}{m-2} \right )^{2} +2\times \left ( m-2 \right )\times \left ( \frac{1}{m-2} \right )\right ]$

= (4)² + 2

= 16 + 2

= 18

উত্তরঃ ${\color{DarkGreen} \left ( m-2 \right )^{2}+\frac{1}{\left ( m-2 \right )^{2}}}$ –এর মান 18