Koshe Dekhi 26.4 Class 10

Table of Contents

Koshe Dekhi 26.4 Class 10

Q.1) আমাদের 16 জন বন্ধুর প্রতিদিন স্কুলে যাতায়াত ও অন্যান্য খরচের জন্য প্রাপ্ত টাকার পরিমাণ,

15, 16, 17, 18, 17, 19, 17, 15, 15, 10, 17, 16, 15, 16, 18, 11

আমাদের বন্ধুদের প্রতিদিন পাওয়া অর্থের সংখ্যাগুরুমান নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

প্রদত্ত তথ্যের সংখ্যাগুলিকে মানের ঊর্ধক্রমে সাজিয়ে লিখি,

10, 11, 15, 15, 15, 15, 16, 16, 16, 17, 17, 17, 17, 18, 18, 19

প্রদত্ত তথ্যে দেখা যাচ্ছে 15 এবং 17 সংখ্যা দুটি সবচেয়ে বেশি বার (4 বার) উপস্থিত আছে।

∴ প্রদত্ত তথ্যের সংখ্যাগুরুমান 15 এবং 17

উত্তরঃ নির্ণেয় আমাদের বন্ধুদের প্রতিদিন পাওয়া অর্থের সংখ্যাগুরুমান 15 এবং 17

Q.2) নীচে আমাদের শ্রেণির কিছু ছাত্রছাত্রীদের উচ্চতা (সেমি.)হলো,

131, 130, 130, 132, 131,133, 131,134, 131, 132, 132, 131, 133, 130, 132, 130, 133, 135, 131, 135, 131, 135, 130, 132, 135, 134, 133

ছাত্রছাত্রীদের উচ্চতার সংখ্যাগুরুমান নির্ণয় করি।

সমাধানঃ

প্রদত্ত তথ্যের সংখ্যাগুলিকে মানের ঊর্ধক্রমে সাজিয়ে লিখি,

130, 130, 130, 130, 130, 131,131, 131,131, 131, 131, 131, 132, 132,

132, 132, 132, 133, 133, 133, 133, 134, 134, 135, 135, 135, 135

প্রদত্ত তথ্যে দেখা যাচ্ছে 131 সংখ্যাটি সবচেয়ে বেশি বার (7 বার) উপস্থিত আছে।

∴ প্রদত্ত তথ্যের সংখ্যাগুরুমান 131

উত্তরঃ নির্ণেয় 27 জন ছাত্রছাত্রীদের উচ্চতার সংখ্যাগুরুমান 131

Q.3) নীচের তথ্যের সংখ্যাগুরুমান নির্ণয় করি।

(i) 8, 5, 4, 6, 7, 4, 4, 3, 5, 4, 5, 4, 4, 5, 5, 4, 3, 3, 5, 4, 6, 5, 4, 5, 4, 5, 4, 2, 3, 4

সমাধানঃ

প্রদত্ত তথ্যের সংখ্যাগুলিকে মানের ঊর্ধক্রমে সাজিয়ে লিখি,

2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7, 8

প্রদত্ত তথ্যে দেখা যাচ্ছে 4 সংখ্যাটি সবচেয়ে বেশি বার (12 বার) উপস্থিত আছে।

∴ প্রদত্ত তথ্যের সংখ্যাগুরুমান 4

উত্তরঃ নির্ণেয় প্রদত্ত তথ্যের সংখ্যাগুরুমান 4

Q.3) নীচের তথ্যের সংখ্যাগুরুমান নির্ণয় করি।

(ii) 15, 11, 10, 8, 15, 18, 17, 15, 10, 19, 10, 11, 10, 8, 19, 15, 10, 18, 15, 3, 16, 14, 17, 2

সমাধানঃ

প্রদত্ত তথ্যের সংখ্যাগুলিকে মানের ঊর্ধক্রমে সাজিয়ে লিখি,

2, 3, 8, 8, 10, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 14, 15, 15, 15, 15, 15, 16, 17, 17, 18, 18, 19, 19

প্রদত্ত তথ্যে দেখা যাচ্ছে 10 এবং 15 সংখ্যা দুটি সবচেয়ে বেশি বার (5 বার) উপস্থিত আছে।

∴ প্রদত্ত তথ্যের সংখ্যাগুরুমান 10 এবং 15

উত্তরঃ নির্ণেয় প্রদত্ত তথ্যের সংখ্যাগুরুমান 10 এবং 15

Q.4) আমাদের পাড়ার একটি জুতোর দোকানে একটি বিশেষ কোম্পানির জুতোর বিক্রির পরিসংখ্যা বিভাজন তালিকা হলো,

সাইজ $\left ( x_{i} \right )$	2	3	4	5	6	7	8	9
পরিসংখ্যা $\left ( f_{i} \right )$ :	3	4	5	3	5	4	3	2

উপরের পরিসংখ্যা বিভাজনের সংখ্যাগুরুমান নির্ণয় করি।

সমাধানঃ

উপরের ছক থেকে দেখা যাচ্ছে সাইজ 4 এবং সাইজ 6 প্রতিটি সবচেয়ে বেশি সংখক (5 টি করে) বিক্রি হয়েছে।

∴ উপরের পরিসংখ্যা বিভাজনের সংখ্যাগুরুমান 4 ও 6

উত্তরঃ নির্ণেয় উপরের পরিসংখ্যা বিভাজনের সংখ্যাগুরুমান 4 ও 6

Q.5) একটি প্রবেশিকা পরীক্ষায় পরীক্ষার্থীর বয়সের পরিসংখ্যা বিভাজন ছক থেকে সংখ্যাগুরুমান নির্ণয় করি:

বয়স (বছরে)	16 – 18	18 – 20	20 – 22	22 – 24	24 – 26
পরীক্ষার্থীর সংখ্যা	45	75	38	22	20

সমাধানঃ

উপরের পরিসংখ্যা বিভাজনের সর্বোচ্চ পরিসংখ্যা = 75

সংখ্যাগুরুমান শ্রেণি হবে ’18 – 20′

∴ সংখ্যাগুরুমান শ্রেণীর নিম্নমান (l) = 18

পরিসংখ্যা $f_{0}=45,f_{1}=75,f_{2}=38$

এবং শ্রেণী দৈর্ঘ্য (h) = 2

∴ পরীক্ষার্থীর বয়সের সংখ্যাগুরুমান

$=l+\left ( \frac{f_{1}-f_{0}}{2f_{1}-f_{0}-f_{2}} \right )\times h$

$=18+\left ( \frac{75-45}{2\times 75-45-38 } \right )\times 2$

$=18+\frac{30}{67}\times 2$

= 18 + 0.8955 (প্রায়)

= 18 + 0.90 (প্রায়)

= 18.90 (প্রায়)

উত্তরঃ নির্ণেয় প্রবেশিকা পরীক্ষায় পরীক্ষার্থীর বয়সের পরিসংখ্যা বিভাজনের সংখ্যাগুরুমান 18.90 (প্রায়)।

Q.6) শ্রেণির একটি পর্যায়ক্রমিক পরীক্ষায় ৪০ জন ছাত্রছাত্রীর প্রাপ্ত নম্বরের পরিসংখ্যা বিভাজন তালিকা দেখি ও সংখ্যাগুরুমান নির্ণয় করি।

নম্বর	0 – 5	5 – 10	10 – 15	15 – 20	20 – 25	25 – 30	30 – 35	35 – 40
ছাত্রছাত্রীর সংখ্যা	2	6	10	16	22	11	8	5

সমাধানঃ

উপরের পরিসংখ্যা বিভাজনের সর্বোচ্চ পরিসংখ্যা = 22

সংখ্যাগুরুমান শ্রেণি হবে ’20 – 25′

∴ সংখ্যাগুরুমান শ্রেণীর নিম্নমান (l) = 20

পরিসংখ্যা $f_{0}=16,f_{1}=22,f_{2}=11$

এবং শ্রেণী দৈর্ঘ্য (h) = 5

∴ পরীক্ষার্থীর বয়সের সংখ্যাগুরুমান

$=l+\left ( \frac{f_{1}-f_{0}}{2f_{1}-f_{0}-f_{2}} \right )\times h$

$=20+\left ( \frac{22-16}{2\times 22-16-11 } \right )\times 5$

$=20+\frac{6}{17}\times 5$

= 20 + 1.7647 (প্রায়)

= 20 + 1.76 (প্রায়)

= 21.76 (প্রায়)

উত্তরঃ নির্ণেয় ৪০ জন ছাত্রছাত্রীর প্রাপ্ত নম্বরের পরিসংখ্যা বিভাজনের সংখ্যাগুরুমান 17.38 (প্রায়) ।

Q.7) নীচের পরিসংখ্যা বিভাজনের সংখ্যাগুরুমান নির্ণয় করি।

শ্রেণী	0 – 5	5 – 10	10 – 15	15 – 20	20 – 25	25 – 30	30 – 35
পরিসংখ্যা	5	12	18	28	17	12	8

সমাধানঃ

উপরের পরিসংখ্যা বিভাজনের সর্বোচ্চ পরিসংখ্যা = 28

সংখ্যাগুরুমান শ্রেণি হবে ’15 – 20′

∴ সংখ্যাগুরুমান শ্রেণীর নিম্নমান (l) = 15

পরিসংখ্যা $f_{0}=18,f_{1}=28,f_{2}=17$

এবং শ্রেণী দৈর্ঘ্য (h) = 5

∴ পরীক্ষার্থীর বয়সের সংখ্যাগুরুমান

$=l+\left ( \frac{f_{1}-f_{0}}{2f_{1}-f_{0}-f_{2}} \right )\times h$

$=15+\left ( \frac{28-18}{2\times 28-18-17 } \right )\times 5$

$=15+\frac{10}{21}\times 5$

= 15 + 2.38095 (প্রায়)

= 15 + 2.38 (প্রায়)

= 17.38 (প্রায়)

উত্তরঃ নির্ণেয় পরিসংখ্যা বিভাজনের সংখ্যাগুরুমান 17.38 (প্রায়) ।

Q.8) নীচের পরিসংখ্যা বিভাজনের সংখ্যাগুরুমান নির্ণয় করি।

শ্রেণী	45 – 54	55 – 64	65 – 74	75 – 84	85 – 94	95 – 104
পরিসংখ্যা	8	13	19	32	12	6

সমাধানঃ

উপরের পরিসংখ্যা বিভাজনের সর্বোচ্চ পরিসংখ্যা = 32

সংখ্যাগুরুমান শ্রেণি হবে ‘74.5 – 84.5’

সংখ্যাগুরুমানের শ্রেণির নিম্নমান (l) = 74.5

পরিসংখ্যা $f_{0}=19,f_{1}=32,f_{2}=12$

এবং শ্রেণী দৈর্ঘ্য (h) = 10

আমরা জানি,

সংখ্যাগুরুমান

$ =l+\left ( \frac{f_{1}-f_{0}}{2f_{1}-f_{0}-f_{2}} \right )\times h $

$ =74.5+\left ( \frac{32-19}{2\times 32-19-12 } \right )\times 10 $

$ =74.5+\frac{13}{33}\times 10 $

= 74.5 + 3.93939 (প্রায়)

= 74.5 + 3.94 (প্রায়)

= 78.44 (প্রায়)

উত্তরঃ নির্ণেয় সংখ্যাগুরুমান 78.44 (প্রায়)।

Q.9) অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন :

(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q) :

(i) একটি পরিসংখ্যা বিভাজনের মধ্যমা যে লেখচিত্রের সাহায্যে পাওয়া যায় তা হলো,

(a) পরিসংখ্যা রেখা

(b) পরিসংখ্যা বহুভুজ

(d) ওজাইভ

উত্তরঃ (d) ওজাইভ

সমাধানঃ

একটি পরিসংখ্যা বিভাজনের মধ্যমা যে লেখচিত্রের সাহায্যে পাওয়া যায় তা হল ওজাইভ।

Q.9) অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন :

(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q) :

(ii) 6, 7, x, 8, y, 14 সংখ্যাগুলির গড় 9 হলে,

(a) x + y=21

(b) x + y=19

(d) x − y=19

উত্তরঃ (b) x+y=19

সমাধানঃ

প্রদত্ত 6, 7, x, 8, y, 14 সংখ্যাগুলির গড় 9

∴ 6 + 7 + x + 8 + y + 14 = 6 × 9

35 + x + y = 54

x + y = 54 – 35

∴ x + y = 19

Q.9) অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন :

(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q) :

(iii) 30, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40 তথ্যে 35 না থাকলে মধ্যমা বৃদ্ধি পায়,

(a) 2

(b) 1.5

(d) 0.5

উত্তরঃ (d) 0.5

সমাধানঃ

প্রদত্ত তথ্য

30, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40

পদ সংখ্যা (n) = 8

∴ প্রদত্ত তথ্যের মধ্যমা

$=\frac{1}{2}$ ( চতুর্থ পদ + পঞ্চম পদ )

$=\frac{1}{2}\left ( 36+37 \right )=\frac{1}{2}\times 73=36.5$

প্রদত্ত তথ্যে 35 না থাকলে পদ সংখ্যা (n) = 7

∴ এখন প্রদত্ত তথ্যের মধ্যমা হবে = চতুর্থ পদ = 37

∴ প্রদত্ত তথ্যের মধ্যমা বৃদ্ধি পায় = ( 37 – 36.5 ) = 0.5

Q.9) অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন :

(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q) :

(iv) 16, 15, 17, 16, 15, , 19, 17, 14 তথ্যের সংখ্যাগুরুমান 15 হলে x -এর মান,

(a) 15

(b) 16

(d) 19

উত্তরঃ (a) 15

সমাধানঃ

প্রদত্ত তথ্যের সংখ্যাগুলিকে সাজিয়ে লিখি,

x, 14, 15, 15, 16, 16, 17, 17, 19

প্রদত্ত তথ্যে দেখা যাচ্ছে 15, 16 এবং 17 সংখ্যা তিনটি সবচেয়ে বেশি বার (2 বার) উপস্থিত আছে।

প্রশ্নানুযায়ী, প্রদত্ত তথ্যের সংখ্যাগুরুমান 15 হতে গেলে 15 সংখ্যাটিকে সর্বাধিক বার উপস্থিত থাকতে হবে।

$\therefore x=15$

নির্ণেয় x -এর মান 15

Q.9) অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন :

(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q) :

(v) ঊর্ধ্বক্রমানুসারে সাজানো 8, 9, 12, 17, x+2, x+4, 30, 31, 34, 39 তথ্যের মধ্যমা 24 হলে, x -এর মান

(a) 22

(b) 21

(d) 24

উত্তরঃ (b) 21

সমাধানঃ

প্রদত্ত তথ্যের সংখ্যাগুলি হল 8, 9, 12, 17, x+2, x+4, 30, 31, 34, 39

যেহেতু, পদ সংখ্যা (n) = 10

∴ তথ্যের মধ্যমা

= ( 5 তম পদ + 6 তম পদ ) ÷ 2

$=\frac{\left ( x+2 \right )+\left ( x+4 \right )}{2}=\frac{2x+6}{2}=x+3$

প্রশ্নানুসারে,

$x+3=24$

বা, $x=24-3$

$\therefore x=21$

Q9. (B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখি :

(i) 2, 3, 9, 10, 9, 3, 9 তথ্যের সংখ্যাগুরুমান 10

উত্তরঃ বিবৃতিটি মিথ্যা।

ব্যাখ্যা :

প্রদত্ত তথ্যের সংখ্যাগুলিকে মানের ঊর্ধক্রমে সাজিয়ে লিখি,

2, 3, 3, 9, 9, 9, 10

প্রদত্ত তথ্যে দেখা যাচ্ছে 9 সংখ্যাটি সবচেয়ে বেশি বার (3 বার) উপস্থিত আছে।

∴ প্রদত্ত তথ্যের সংখ্যাগুরুমান 9

Q9. (B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখি :

(ii) 3, 14, 18, 20, 5 তথ্যের মধ্যমা 18

উত্তরঃ বিবৃতিটি মিথ্যা।

ব্যাখ্যা :

প্রদত্ত তথ্যের সংখ্যাগুলিকে মানের ঊর্ধক্রমে সাজিয়ে লিখি,

3, 5, 14, 18, 20

যেহেতু, পদ সংখ্যা (n) = 5

∴ তথ্যের মধ্যমা = 3 তম পদ = 14

Q9. (C) শূন্যস্থান পূরণ করি :

(i) যৌগিক গড়, মধ্যমা, সংখ্যাগুরুমান হলো _______ প্রবণতার মাপক।

উত্তরঃ কেন্দ্রীয়

(ii) ${\color{Blue} x_{1},x_{2},x_{3},.......x_{n}}$ এর গড় ${\color{Blue} \bar{x}}$ হলে, ${\color{Blue} ax_{1},ax_{2},ax_{3},.......ax_{n}}$ এর গড় ________, যেখানে ${\color{Blue} a\neq 0}$

সমাধানঃ

$x_{1},x_{2},x_{3},.......x_{n}$ এর গড় $\bar{x}$ হলে, $ax_{1},ax_{2},ax_{3},.......ax_{n}$ এর গড় $a\bar{x}$ যেখানে $a\neq 0$

উত্তরঃ ${\color{DarkGreen} a\bar{x}}$

(iii) ক্ৰম-বিচ্যুতি পদ্ধতিতে বিন্যস্ত রাশিতথ্যের যৌগিক গড় নির্ণয়ের সময় সকল শ্রেণির শ্রেণি-দৈর্ঘ্য _____।

সমাধানঃ ক্ৰম-বিচ্যুতি পদ্ধতিতে বিন্যস্ত রাশিতথ্যের যৌগিক গড় নির্ণয়ের সময় সকল শ্রেণির শ্রেণি-দৈর্ঘ্য

সমান।

উত্তরঃ সমান

Q.10) সংক্ষিপ্ত উত্তরভিত্তিক প্রশ্ন :

(i)

শ্রেণী	65 – 85	85 – 105	105 – 125	125 – 145	145 – 165	165 – 185	185 – 205
পরিসংখ্যা	4	15	3	20	14	7	14

উপরের পরিসংখ্যা বিভাজন ছকের মধ্যমা শ্রেণির উর্ধ্ব শ্রেণি-সীমানা এবং সংখ্যাগুরুমান শ্রেণির নিন্ম শ্রেণি-সীমানার অন্তরফল নির্ণয় করি।

সমাধানঃ

কষে দেখি - 26.4

এখন,

n = 77

$\therefore \frac{n}{2}=\frac{77}{2}=38.5$

38.5 এর থেকে ঠিক বেশি ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা (125 – 145) শ্রেণীর মধ্যে আছে।

সুতরাং, মধ্যমা শ্রেণিটি হল = (125 – 145)

সংখ্যাগুরুমান শ্রেণির নিম্নসীমানা = 125

মধ্যমা শ্রেণির উর্ধ্বসীমানা = 145

মধ্যমা শ্রেণির উর্ধ্বসীমানা এবং সংখ্যাগুরুমান শ্রেণির নিম্ন-সীমানার অন্তরফল

= 145 − 125

= 20

উত্তরঃ নির্ণেয় মধ্যমা শ্রেণির উর্ধ্ব শ্রেণি- সীমানা এবং সংখ্যাগুরুমান শ্রেণির নিম্ন শ্রেণি-সীমানার অন্তরফল 20 .

Q.10) সংক্ষিপ্ত উত্তরভিত্তিক প্রশ্ন :

(ii) 150 জন অ্যাথলিট 100 মিটার হার্ডল রেস যত সেকেন্ডে সম্পূর্ণ করে তার একটি পরিসংখ্যা বিভাজন ছক নীচে দেওয়া আছে।

সময় (সেকেন্ডে)	13.8 – 14	14 – 14.2	14.2 – 14.4	14.4 – 14.6	14.6 – 14.8	14.8 – 15
অ্যাথলিটের সংখ্যা	2	4	5	71	48	20

14.6 সেকেন্ডের কম সময়ে কতজন অ্যাথলিট 100 মিটার দৌড় সম্পন্ন করে নির্ণয় করি।

সমাধানঃ

কষে দেখি - 26.4

∴ 14.6 সেকেন্ডের কম সময়ে 100 মিটার দৌড় সম্পন্ন করে

= ( 2 + 4 + 5 + 71 )জন অ্যাথলিট

= 82 জন অ্যাথলিট।

উত্তরঃ নির্ণেয় 14.6 সেকেন্ডের কম সময়ে 82 জন অ্যাথলিট 100 মিটার দৌড় সম্পন্ন করে।

Q.10) সংক্ষিপ্ত উত্তরভিত্তিক প্রশ্ন :

(iii) একটি পরিসংখ্যা বিভাজনের গড় 8.1, ${\color{Blue} \sum f_{i}x_{i}=132+5k}$ এবং ${\color{Blue} \sum f_{i}=20}$ হলে, k -এর মান নির্ণয় করি।

সমাধানঃ

আমরা জানি,

$\bar{x}=\frac{\sum f_{i}u_{i}}{f_{i}}$

বা, $8.1=\frac{132+5k}{20}$

বা, $132+5k=162$

বা, $5k=162-132$

বা, $k=\frac{30}{5}$

$\therefore k=6$

উত্তরঃ নির্ণেয় k -এর মান 6

Q.10) সংক্ষিপ্ত উত্তরভিত্তিক প্রশ্ন :

(iv) যদি ${\color{Blue} u_{i}=\frac{x_{i}-25}{10},\sum f_{i}u_{i}=20}$ এবং ${\color{Blue} \sum f_{i}=100}$ হয়, তাহলে ${\color{Blue} \bar{x}}$ -এর মান নির্ণয় করি।

সমাধানঃ

আমরা জানি,

$u_{i}=\frac{x_{i}-a}{h}$

প্রশ্নানুযায়ী,

$u_{i}=\frac{x_{i}-25}{10}$

$\therefore a=25,h=10$

$\therefore \bar{x}=a+\frac{\sum f_{i}u_{i}}{f_{i}}\times h$

$=25+\frac{20}{100}\times 10$

= 25 + 2

= 27

উত্তরঃ নির্ণেয় ${\color{DarkGreen} \bar{x}}$ -এর মান 27

Q.10) সংক্ষিপ্ত উত্তরভিত্তিক প্রশ্ন :

(v)

নম্বর	10 – এর কম	20 – এর কম	30 – এর কম	40 – এর কম	50 – এর কম	60 – এর কম
ছাত্রছাত্রীর সংখ্যা	3	12	27	57	75	80

উপরের পরিসংখ্যা বিভাজন ছক থেকে সংখ্যাগুরুমান শ্রেণিটি লিখি।

সমাধানঃ

কষে দেখি - 26.4

∴ সংখ্যাগুরুমান শ্রেণি = 30 – 40

উত্তরঃ নির্ণেয় সংখ্যাগুরুমান শ্রেণিটি হল 30 – 40

গণিত প্রকাশ (দশম শ্রেণী) সমাধান

গণিত প্রকাশ (নবম শ্রেণী) সমাধান

গণিত প্রভা (ষষ্ঠ শ্রেণী) সমাধান