Koshe Dekhi 4 Class 9

1.মূলবিন্দু থেকে নীচের বিন্দুগুলির দূরত্ব নির্ণয় করি :

(i) (7, −24)

সমাধানঃ

মূলবিন্দু (0,0) থেকে (7, −24) বিন্দুর দূরত্ব

$=\sqrt{\left ( 7-0 \right )^{2}+\left ( -24-0 \right )^{2}}$

$=\sqrt{\left ( 7 \right )^{2}+\left (24 \right )^{2}}$

$=\sqrt{49+576}$

$=\sqrt{625}$

= 25 একক

(ii) (3, −4)

সমাধানঃ

মূলবিন্দু (0,0) থেকে (3, −4) বিন্দুর দূরত্ব

$=\sqrt{\left ( 3-0 \right )^{2}+\left ( -4-0 \right )^{2}}$

$=\sqrt{\left ( 3 \right )^{2}+\left (4 \right )^{2}}$

$=\sqrt{9+16}$

$=\sqrt{25}$

= 5 একক

(iii) (a + b, a − b)

সমাধানঃ

মূলবিন্দু (0,0) থেকে (a + b, a − b) বিন্দুর দূরত্ব

$=\sqrt{\left ( a+b-0 \right )^{2}+\left ( a-b-0 \right )^{2}}$

$=\sqrt{\left ( a+b \right )^{2}+\left ( a-b \right )^{2}}$

$=\sqrt{a^{2}+2ab+b^{2}+a^{2}-2ab+b^{2}}$

${\color{DarkGreen} =\sqrt{2\left ( a^{2}+b^{2} \right )}}$ একক

2. নীচের বিন্দুযুগলগুলির মধ্যে দূরত্ব নির্ণয় করি :

(i) (5, 7) এবং (8, 3)

সমাধানঃ

(5, 7) এবং (8, 3) বিন্দুযুগলের মধ্যে দূরত্ব

$=\sqrt{\left ( 5-8 \right )^{2}+\left ( 7-3 \right )^{2}}$

$=\sqrt{\left ( -3 \right )^{2}+\left ( 4 \right )^{2}}$

$=\sqrt{9+16}$

$=\sqrt{25}$

= 5 একক

(ii) (7, 0) এবং (2, −12)

সমাধানঃ

(7, 0) এবং (2, −12) বিন্দুযুগলের মধ্যে দূরত্ব

$=\sqrt{\left ( 7-2 \right )^{2}+\left ( 0+12 \right )^{2}}$

$=\sqrt{\left ( 5 \right )^{2}+\left ( 12 \right )^{2}}$

$\small =\sqrt{25+144}$

$=\sqrt{169}$

= 13 একক

(iii) $\fn_cm {\color{Blue} \left ( -\frac{3}{2},0 \right )}$ এবং $\fn_cm {\color{Blue} \left ( 0,-2 \right )}$

সমাধানঃ

$\fn_cm \left ( -\frac{3}{2},0 \right )$ এবং $\fn_cm \left ( 0,-2 \right )$ বিন্দুযুগলের মধ্যে দূরত্ব

$=\sqrt{\left ( -\frac{3}{2}-0\right )^{2}+\left ( 0+2 \right )^{2}}$

$=\sqrt{\left ( \frac{3}{2} \right )^{2}+\left ( 2 \right )^{2}}$

$=\sqrt{\frac{9}{4}+4}$

$=\sqrt{\frac{9+16}{4}}$

$=\sqrt{\frac{25}{4}}$

$=\frac{5}{2}$

= 2.5 একক

(iv) (3, 6) এবং (−2, −6)

সমাধানঃ

(3, 6) এবং (−2, −6) বিন্দুযুগলের মধ্যে দূরত্ব

$=\sqrt{\left ( 3+2 \right )^{2}+\left ( 6+6 \right )^{2}}$

$=\sqrt{\left ( 5 \right )^{2}+\left ( 12 \right )^{2}}$

$\small =\sqrt{25+144}$

$=\sqrt{169}$

= 13 একক

(v) (1, −3) এবং (8, 3)

সমাধানঃ

(1, −3) এবং (8, 3) বিন্দুযুগলের মধ্যে দূরত্ব

$=\sqrt{\left ( 1-8 \right )^{2}+\left ( -3-3 \right )^{2}}$

$=\sqrt{\left ( -7 \right )^{2}+\left ( -6 \right )^{2}}$

$=\sqrt{49+36}$

${\color{DarkGreen} =\sqrt{85}}$ একক

(vi) (5, 7) এবং (8, 3)

সমাধানঃ

(5, 7) এবং (8, 3) বিন্দুযুগলের মধ্যে দূরত্ব

$=\sqrt{\left ( 5-8 \right )^{2}+\left ( 7-3 \right )^{2}}$

$=\sqrt{\left ( -3 \right )^{2}+\left ( 4 \right )^{2}}$

$=\sqrt{9+16}$

$=\sqrt{25}$

= 5 একক

3. প্রমাণ করি যে, (−2, −11) বিন্দুটি (−3, 7) ও (4, 6) বিন্দুদ্বয় থেকে সমদূরবর্তী।

সমাধানঃ

ধরি, A (−2, −11) , B (−3, 7) এবং C (4, 6) তিনটি বিন্দু।

AB বাহুর দৈর্ঘ্য

$\small =\sqrt{\left ( -2+3 \right )^{2}+\left ( -11-7 \right )^{2}}$

$\small =\sqrt{\left ( 1 \right )^{2}+\left ( -18 \right )^{2}}$

$\small =\sqrt{1+324}$

$\small =\sqrt{325}$ একক

AC বাহুর দৈর্ঘ্য

$\small =\sqrt{\left ( -2-4 \right )^{2}+\left ( -11-6 \right )^{2}}$

$\small =\sqrt{\left ( -6 \right )^{2}+\left ( -17 \right )^{2}}$

$\small =\sqrt{36+289}$

$\small =\sqrt{325}$ একক

যেহেতু, AB = AC

∴ (−2, −11) বিন্দুটি (−3, 7) ও (4, 6) বিন্দুদ্বয় থেকে সমদূরবর্তী। (প্রমাণিত)

4. হিসাব করে দেখাই যে (7, 9), (3, −7) এবং (−3, 3) বিন্দুগুলি একটি সমকোণী ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু।

সমাধানঃ

ধরি, A (7, 9), B (3, −7) এবং C (−3, 3) ত্রিভুজের তিনটি শীর্ষবিন্দু।

AB বাহুর দৈর্ঘ্য

$\small =\sqrt{\left ( 7-3 \right )^{2}+\left ( 9+7 \right )^{2}}$

$\small =\sqrt{\left ( 4 \right )^{2}+\left ( 16 \right )^{2}}$

$\small =\sqrt{16+256}$

$\small =\sqrt{272}$ একক

BC বাহুর দৈর্ঘ্য

$\small =\sqrt{\left ( 3+3 \right )^{2}+\left ( -7-3 \right )^{2}}$

$\small =\sqrt{\left ( 6 \right )^{2}+\left ( -10 \right )^{2}}$

$\small =\sqrt{36+100}$

$\small =\sqrt{136}$ একক

AC বাহুর দৈর্ঘ্য

$\small =\sqrt{\left ( 7+3 \right )^{2}+\left ( 9-3 \right )^{2}}$

$\small =\sqrt{\left ( 10 \right )^{2}+\left ( 6 \right )^{2}}$

$\small =\sqrt{100+36}$

$\small =\sqrt{136}$ একক

এখন,

$\small AB=\sqrt{272}$

বা, $\small \left ( AB \right )^{2}=272$

আবার,

$\small \left ( BC \right )^{2}+\left ( AC \right )^{2}$

$\small =\left (\sqrt{136} \right )^{2}+\left (\sqrt{136} \right )^{2}$

= 136 + 136

= 272

$\small \because \left ( AB \right )^{2}=\left ( BC \right )^{2}+\left ( AC \right )^{2}$

∴ (7, 9), (3, −7) এবং (−3, 3) বিন্দুগুলি একটি সমকোণী ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু।(প্রমাণিত)

5. প্ৰমাণ করি যে উভয়ক্ষেত্রে নীচের বিন্দু তিনটি একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু

(i) (1, 4), (4, 1) ও (8, 8)

সমাধানঃ

ধরি, A (1, 4), B (4, 1) এবং C (8, 8) ত্রিভুজের তিনটি শীর্ষবিন্দু।

AB বাহুর দৈর্ঘ্য

$\small =\sqrt{\left ( 1-4 \right )^{2}+\left ( 4-1 \right )^{2}}$

$\small =\sqrt{\left ( -3 \right )^{2}+\left ( 3 \right )^{2}}$

$\small =\sqrt{9+9}$

$\small =\sqrt{18}$ একক

BC বাহুর দৈর্ঘ্য

$\small =\sqrt{\left ( 4-8 \right )^{2}+\left ( 1-8 \right )^{2}}$

$\small =\sqrt{\left ( -4 \right )^{2}+\left ( -7 \right )^{2}}$

$\small =\sqrt{16+49}$

$\small =\sqrt{65}$ একক

AC বাহুর দৈর্ঘ্য

$\small =\sqrt{\left ( 1-8 \right )^{2}+\left ( 4-8 \right )^{2}}$

$\small =\sqrt{\left ( -7 \right )^{2}+\left ( -4 \right )^{2}}$

$\small =\sqrt{49+16}$

$\small =\sqrt{65}$ একক

এখন,

যেহেতু, BC = AC

∴ (1, 4), (4, 1) ও (8, 8) বিন্দু তিনটি একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু।(প্রমাণিত)

(ii) (−2, −2), (2, 2) ও (4, −4)

সমাধানঃ

ধরি, A (−2, −2), B (2, 2) এবং C (4, −4) ত্রিভুজের তিনটি শীর্ষবিন্দু।

AB বাহুর দৈর্ঘ্য

$\small =\sqrt{\left ( -2-2 \right )^{2}+\left ( -2-2 \right )^{2}}$

$\small =\sqrt{\left ( -4 \right )^{2}+\left ( -4 \right )^{2}}$

$\small =\sqrt{16+16}$

$\small =\sqrt{32}$ একক

BC বাহুর দৈর্ঘ্য

$\small =\sqrt{\left ( 2-4 \right )^{2}+\left ( 2+4 \right )^{2}}$

$\small =\sqrt{\left ( -2 \right )^{2}+\left ( 6 \right )^{2}}$

$\small =\sqrt{4+36}$

$\small =\sqrt{40}$ একক

AC বাহুর দৈর্ঘ্য

$\small =\sqrt{\left ( -2-4 \right )^{2}+\left ( -2+4 \right )^{2}}$

$\small =\sqrt{\left ( -6 \right )^{2}+\left ( 2 \right )^{2}}$

$\small =\sqrt{36+4}$

$\small =\sqrt{40}$ একক

এখন,

যেহেতু, BC = AC

∴ (−2, −2), (2, 2) এবং (4, −4) বিন্দু তিনটি একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু।(প্রমাণিত)

6. প্রমাণ করি যে A (3, 3), B (8, −2) ও C (−2, −2) বিন্দু তিনটি একটি সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু৷ ΔABC-এর অতিভুজের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি।

সমাধানঃ

প্রদত্ত, A (3, 3), B (8, −2) এবং C (−2, −2) ত্রিভুজের তিনটি শীর্ষবিন্দু।

AB বাহুর দৈর্ঘ্য

$\small =\sqrt{\left ( 3-8 \right )^{2}+\left ( 3+2 \right )^{2}}$

$\small =\sqrt{\left ( -5 \right )^{2}+\left ( 5 \right )^{2}}$

$\small =\sqrt{25+25}$

$\small =\sqrt{50}$ একক

BC বাহুর দৈর্ঘ্য

$\small =\sqrt{\left ( 8+2 \right )^{2}+\left ( -2+2 \right )^{2}}$

$\small =\sqrt{\left ( 10 \right )^{2}+\left ( 0 \right )^{2}}$

$\small =\sqrt{100}$

= 10 একক

AC বাহুর দৈর্ঘ্য

$\small =\sqrt{\left ( 3+2 \right )^{2}+\left ( 3+2 \right )^{2}}$

$\small =\sqrt{\left ( 5 \right )^{2}+\left ( 5 \right )^{2}}$

$\small =\sqrt{25+25}$

$\small =\sqrt{50}$ একক

এখন,

$\small AB=\sqrt{50}$

বা, $\small \left ( AB \right )^{2}=50$

আবার,

$\small AC=\sqrt{50}$

বা, $\small \left ( AC \right )^{2}=50$

$\small \left ( AB \right )^{2}+\left ( AC \right )^{2}$

$\small =\left (\sqrt{50} \right )^{2}+\left (\sqrt{50} \right )^{2}$

= 50 + 50

= 100

$\small =\left ( 10 \right )^{2}$

$\small =\left ( BC \right )^{2}$

$\small \because \left ( BC \right )^{2}=\left ( AB \right )^{2}+\left ( AC \right )^{2}$ [অর্থাৎ, সমকোণী ত্রিভুজ ]

এবং AB = AC [অর্থাৎ, সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ ]

∴ A (3, 3), B (8, −2) এবং C (−2, −2) বিন্দুগুলি একটি সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু । (প্রমাণিত)

ΔABC-এর অতিভুজের দৈর্ঘ্য 10 একক।

7. হিসাব করে দেখাই যে, (2, 1), (0, 0), (−1, 2) এবং (1, 3) বিন্দুগুলি একটি বর্গক্ষেত্রের চারটি কৌণিকবিন্দু৷

সমাধানঃ

ধরি, A (2, 1), B (0, 0),C (−1, 2) এবং D (1, 3)

AB বাহুর দৈর্ঘ্য

$\small =\sqrt{\left ( 2-0 \right )^{2}+\left ( 1-0 \right )^{2}}$

$\small =\sqrt{\left ( 2 \right )^{2}+\left ( 1 \right )^{2}}$

$\small =\sqrt{4+1}$

$\small =\sqrt{5}$ একক

BC বাহুর দৈর্ঘ্য

$\small =\sqrt{\left ( 0+1 \right )^{2}+\left ( 0-2 \right )^{2}}$

$\small =\sqrt{\left ( 1 \right )^{2}+\left ( -2 \right )^{2}}$

$\small =\sqrt{1+4}$

$\small =\sqrt{5}$ একক

CD বাহুর দৈর্ঘ্য

$\small =\sqrt{\left ( -1-1 \right )^{2}+\left ( 2-3 \right )^{2}}$

$\small =\sqrt{\left ( -2 \right )^{2}+\left ( -1 \right )^{2}}$

$\small =\sqrt{4+1}$

$\small =\sqrt{5}$ একক

DA বাহুর দৈর্ঘ্য

$\small =\sqrt{\left ( 1-2 \right )^{2}+\left ( 3-1 \right )^{2}}$

$\small =\sqrt{\left ( -1 \right )^{2}+\left ( 2 \right )^{2}}$

$\small =\sqrt{1+4}$

$\small =\sqrt{5}$ একক

এখন,

যেহেতু, AB = BC = CD = DA

∴ (2, 1), (0, 0), (−1, 2) এবং (1, 3) বিন্দুগুলি একটি বর্গক্ষেত্রের চারটি কৌণিকবিন্দু ৷ (প্রমাণিত)

8. হিসাব করে দেখি y -এর মান কী হলে (2, y) এবং (10, −9) বিন্দুদ্বয়ের দূরত্ব 10 একক হবে।

সমাধানঃ

প্রদত্ত,

(2, y) এবং (10, −9) বিন্দুদ্বয়ের দূরত্ব 10 একক

$\small \therefore \sqrt{\left ( 2-10 \right )^{2}+\left ( y+9 \right )^{2}}=10$

বা, $\small \sqrt{\left ( -8 \right )^{2}+y^{2}+18y+81}=10$

বা, $\small \sqrt{64+y^{2}+18y+81}=10$

বা, $\small y^{2}+18y+145=100$ [উভয়পক্ষে বর্গ করে পাই ]

বা, $\small y^{2}+18y+45=0$

বা, $\small y^{2}+15y+3y+45=0$

বা, $\small y\left ( y+15 \right )+3\left ( y+15 \right )=0$

বা, $\small \left ( y+15 \right )\left ( y+3 \right )=0$

দুই বা ততোধিক রাশির গুনফল শূন্য হলে তারা পৃথক পৃথক ভাবে শূন্য হয়।

$\small y+15=0$

বা, $\small y=-15$

অথবা

$\small y+3=0$

বা, $\small y=-3$

উত্তরঃ y -এর মান −3 ও −15

9. x-অক্ষের উপর এমন একটি বিন্দু খুঁজি যা (3, 5) ও (1, 3) বিন্দুদুটি থেকে সমদূরবর্তী।

সমাধানঃ

ধরি, x-অক্ষের উপর অবস্থিত একটি বিন্দু হল (a,0)

[ Note: x-অক্ষের উপর অবস্থিত যেকোনো বিন্দুর y = 0 হয় ]

প্রশ্নানুসারে,

$\sqrt{\left ( 3-a \right )^{2}+\left ( 5-0 \right )^{2}}=\sqrt{\left ( 1-a \right )^{2}+\left ( 3-0 \right )^{2}}$

উভয়পক্ষে বর্গ করে পাই,

বা, $\left ( 3-a \right )^{2}+\left ( 5-0 \right )^{2}=\left ( 1-a \right )^{2}+\left ( 3-0 \right )^{2}$

বা, $9-6a+a^{2}+25+0=1-2a+a^{2}+9+0$

বা, $9-6a+a^{2}+25-1+2a-a^{2}-9=0$

বা, − 4a + 24 = 0

বা, − 4a = − 24

বা, $a=\frac{-24}{-4}$

∴ a = 6

উত্তরঃ x-অক্ষের উপর অবস্থিত বিন্দুটি হল (6,0)

10. O (0, 0), A (4, 3) এবং B (8, 6) বিন্দু তিনটি সমরেখ কিনা হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ

OA + AB = OB হলে তবেই বিন্দু তিনটি সমরেখ হবে।

এখন,

$OA=\sqrt{\left ( 0-4 \right )^{2}+\left ( 0-3 \right )^{2}}$

$=\sqrt{\left ( -4 \right )^{2}+\left ( -3 \right )^{2}}$

$=\sqrt{16+9}$

$=\sqrt{25}$

= 5 একক

$AB=\sqrt{\left ( 4-8 \right )^{2}+\left ( 3-6 \right )^{2}}$

$=\sqrt{\left ( -4 \right )^{2}+\left ( -3 \right )^{2}}$

$=\sqrt{16+9}$

$=\sqrt{25}$

= 5 একক

এবং

$OB=\sqrt{\left ( 0-8 \right )^{2}+\left ( 0-6 \right )^{2}}$

$=\sqrt{\left ( -8 \right )^{2}+\left ( -6 \right )^{2}}$

$=\sqrt{64+36}$

$=\sqrt{100}$

= 10 একক

OA + AB

= ( 5 + 5 ) একক

= 10 একক

= OB

∴ O (0, 0), A (4, 3) এবং B (8, 6) বিন্দু তিনটি সমরেখ। (প্রমাণিত)

11. দেখাই যে, ( 2, 2 ) ; ( −2, −2 ) এবং $\fn_cm {\color{Blue} \left ( -2\sqrt{3},2\sqrt{3} \right )}$ বিন্দু তিনটি একটি সমবাহু ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু।

সমাধানঃ

প্রদত্ত, A ( 2, 2 ), B (−2, −2) এবং C $\fn_cm \left ( -2\sqrt{3},2\sqrt{3} \right )$ ত্রিভুজের তিনটি শীর্ষবিন্দু।

AB বাহুর দৈর্ঘ্য

$\small =\sqrt{\left ( 2+2 \right )^{2}+\left ( 2+2 \right )^{2}}$

$=\sqrt{\left ( 4 \right )^{2}+\left ( 4 \right )^{2}}$

$\small =\sqrt{16+16}$

$\small =\sqrt{32}$ একক

BC বাহুর দৈর্ঘ্য

$=\sqrt{\left ( -2+2\sqrt{3} \right )^{2}+\left ( -2-2\sqrt{3} \right )^{2}}$

$=\sqrt{\left ( 4-8\sqrt{3}+12 \right )+\left ( 4+8\sqrt{3}+12 \right )}$

$\small =\sqrt{16+16}$

$\small =\sqrt{32}$ একক

AC বাহুর দৈর্ঘ্য

$=\sqrt{\left ( 2+2\sqrt{3} \right )^{2}+\left ( 2-2\sqrt{3} \right )^{2}}$

$=\sqrt{\left ( 4+8\sqrt{3}+12 \right )+\left ( 4-8\sqrt{3}+12 \right )}$

$\small =\sqrt{16+16}$

$\small =\sqrt{32}$ একক

যেহেতু, AB = BC = AC

∴ ( 2, 2 ) ; ( −2, −2 ) এবং $\fn_cm {\color{DarkGreen} \left ( -2\sqrt{3},2\sqrt{3} \right )}$ বিন্দু তিনটি একটি সমবাহু ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু। (প্রমাণিত)

12. দেখাই যে, (−7, 12), (19, 18), (15, −6) এবং (−11, −12) বিন্দুগুলি পরপর যােগ করলে একটি সামান্তরিক উৎপন্ন হয়।

সমাধানঃ

ধরি, A (−7, 12), B (19, 18), C (15, −6) এবং D (−11, −12)

AB বাহুর দৈর্ঘ্য

$=\sqrt{\left ( -7-19 \right )^{2}+\left ( 12-18 \right )^{2}}$

$=\sqrt{\left ( -26 \right )^{2}+\left ( -6 \right )^{2}}$

$\small =\sqrt{676+36}$

$\small =\sqrt{712}$ একক

BC বাহুর দৈর্ঘ্য

$\small =\sqrt{\left ( 19-15 \right )^{2}+\left ( 18+6 \right )^{2}}$

$=\sqrt{\left ( 4 \right )^{2}+\left ( 24 \right )^{2}}$

$=\sqrt{16+576}$

$=\sqrt{592}$ একক

CD বাহুর দৈর্ঘ্য

$=\sqrt{\left ( 15+11 \right )^{2}+\left ( -6+12 \right )^{2}}$

$=\sqrt{\left ( 26 \right )^{2}+\left ( 6 \right )^{2}}$

$\small =\sqrt{676+36}$

$\small =\sqrt{712}$ একক

DA বাহুর দৈর্ঘ্য

$=\sqrt{\left ( -11+7 \right )^{2}+\left ( 12+12 \right )^{2}}$

$=\sqrt{\left ( -4 \right )^{2}+\left ( 24 \right )^{2}}$

$=\sqrt{16+576}$

$=\sqrt{592}$ একক

AC কর্ণের দৈর্ঘ্য

$=\sqrt{\left ( -7-15 \right )^{2}+\left ( 12+6 \right )^{2}}$

$=\sqrt{\left ( -22 \right )^{2}+\left ( 18 \right )^{2}}$

$\small =\sqrt{484+324}$

$=\sqrt{808}$ একক

BD কর্ণের দৈর্ঘ্য

$=\sqrt{\left ( 19+11 \right )^{2}+\left ( 18+12 \right )^{2}}$

$=\sqrt{\left ( 30 \right )^{2}+\left ( 30 \right )^{2}}$

$=\sqrt{900+900}$

$\small =\sqrt{1800}$ একক

এখন,

যেহেতু, AB = CD ও BC = DA এবং $AC\neq BD$

অর্থাৎ, বিপরীত বাহুদ্বয় পরস্পর সমান এবং কর্ণদ্বয় পরস্পর অসমান।

∴ (−7, 12), (19, 18), (15, −6) এবং (−11, −12) বিন্দুগুলি পরপর যােগ করলে একটি সামান্তরিক উৎপন্ন হয় ৷ (প্রমাণিত)

13. দেখাই যে, (2, −2), (8, 4), (5, 7) এবং (−1, 1) বিন্দুগুলি একটি আয়তক্ষেত্রের শীর্ষবিন্দু।

সমাধানঃ

ধরি, A (2, −2), B (8, 4), C (5, 7) এবং D (−1, 1)

AB বাহুর দৈর্ঘ্য

$=\sqrt{\left ( 2-8 \right )^{2}+\left ( -2-4 \right )^{2}}$

$=\sqrt{\left ( -6 \right )^{2}+\left ( -6 \right )^{2}}$

$=\sqrt{36+36}$

$=\sqrt{72}$ একক

BC বাহুর দৈর্ঘ্য

$\small =\sqrt{\left ( 8-5 \right )^{2}+\left ( 4-7 \right )^{2}}$

$=\sqrt{\left ( 3 \right )^{2}+\left ( -3 \right )^{2}}$

$=\sqrt{9+9}$

$=\sqrt{18}$ একক

CD বাহুর দৈর্ঘ্য

$=\sqrt{\left ( 5+1 \right )^{2}+\left ( 7-1 \right )^{2}}$

$=\sqrt{\left ( 6 \right )^{2}+\left ( 6 \right )^{2}}$

$=\sqrt{36+36}$

$=\sqrt{72}$ একক

DA বাহুর দৈর্ঘ্য

$=\sqrt{\left ( -1-2 \right )^{2}+\left ( 1+2 \right )^{2}}$

$=\sqrt{\left ( -3 \right )^{2}+\left ( 3 \right )^{2}}$

$=\sqrt{9+9}$

$=\sqrt{18}$ একক

AC কর্ণের দৈর্ঘ্য

$=\sqrt{\left ( 2-5 \right )^{2}+\left ( -2-7 \right )^{2}}$

$=\sqrt{\left ( -3 \right )^{2}+\left ( -9 \right )^{2}}$

$=\sqrt{9+81}$

$=\sqrt{90}$ একক

BD কর্ণের দৈর্ঘ্য

$=\sqrt{\left ( 8+1 \right )^{2}+\left ( 4-1 \right )^{2}}$

$=\sqrt{\left ( 9 \right )^{2}+\left ( 3 \right )^{2}}$

$=\sqrt{81+9}$

$=\sqrt{90}$ একক

এখন,

যেহেতু, AB = CD ও BC = DA এবং AC = BD

অর্থাৎ, বিপরীত বাহুদ্বয় পরস্পর সমান এবং কর্ণদ্বয়ও পরস্পর সমান।

∴ (2, −2), (8, 4), (5, 7) এবং (−1, 1) বিন্দুগুলি একটি আয়তক্ষেত্রের শীর্ষবিন্দু।(প্রমাণিত)

14. দেখাই যে, (2, 5) , (5, 9), (9, 12) এবং (6, 8) বিন্দুগুলি পরস্পর যােগ করলে একটি রম্বস উৎপন্ন হয়।

সমাধানঃ

ধরি, A (2, 5) , B (5, 9), C (9, 12) এবং D (6, 8)

AB বাহুর দৈর্ঘ্য

$=\sqrt{\left ( 2-5 \right )^{2}+\left ( 5-9 \right )^{2}}$

$=\sqrt{\left ( -3 \right )^{2}+\left ( -4 \right )^{2}}$

$=\sqrt{9+16}$

$=\sqrt{25}$

= 5 একক

BC বাহুর দৈর্ঘ্য

$=\sqrt{\left ( 5-9 \right )^{2}+\left ( 9-12 \right )^{2}}$

$=\sqrt{\left ( -4 \right )^{2}+\left ( -3 \right )^{2}}$

$=\sqrt{16+9}$

$=\sqrt{25}$

= 5 একক

CD বাহুর দৈর্ঘ্য

$=\sqrt{\left ( 9-6 \right )^{2}+\left ( 12-8 \right )^{2}}$

$=\sqrt{\left ( 3 \right )^{2}+\left ( 4 \right )^{2}}$

$=\sqrt{9+16}$

$=\sqrt{25}$

= 5 একক

DA বাহুর দৈর্ঘ্য

$=\sqrt{\left ( 6-2 \right )^{2}+\left ( 8-5 \right )^{2}}$

$=\sqrt{\left ( 4 \right )^{2}+\left ( 3 \right )^{2}}$

$=\sqrt{16+9}$

$=\sqrt{25}$

= 5 একক

AC কর্ণের দৈর্ঘ্য

$=\sqrt{\left ( 2-9 \right )^{2}+\left ( 5-12 \right )^{2}}$

$=\sqrt{\left ( -7 \right )^{2}+\left ( -7 \right )^{2}}$

$=\sqrt{49+49}$

$=\sqrt{98}$ একক

BD কর্ণের দৈর্ঘ্য

$=\sqrt{\left ( 5-6 \right )^{2}+\left ( 9-8 \right )^{2}}$

$=\sqrt{\left ( -1 \right )^{2}+\left ( 1 \right )^{2}}$

$=\sqrt{1+1}$

$=\sqrt{2}$ একক

এখন,

যেহেতু, AB = BC = CD = DA এবং $AC\neq BD$

অর্থাৎ, বিপরীত বাহুদ্বয় পরস্পর সমান এবং কর্ণদ্বয় পরস্পর অসমান।

∴ (2, 5) , (5, 9), (9, 12) এবং (6, 8) বিন্দুগুলি পরস্পর যােগ করলে একটি রম্বস উৎপন্ন হয়। (প্রমাণিত)

15. বহুমুখী বিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q.) :

(i) (a + b, c − d) এবং (a – b, c + d) বিন্দু দুটির মধ্যে দূরত্ব

(a) $\fn_cm {\color{Blue} 2\sqrt{a^{2}+c^{2}}}$

(b) $\fn_cm {\color{Blue} 2\sqrt{b^{2}+d^{2}}}$

(d) $\fn_cm {\color{Blue} \sqrt{b^{2}+d^{2}}}$

সমাধানঃ

(a + b, c − d) এবং (a – b, c + d) বিন্দু দুটির মধ্যে দূরত্ব

$=\sqrt{\left ( a+b-a+b \right )^{2}+\left ( c-d-c-d \right )^{2}}$

$=\sqrt{\left ( 2b \right )^{2}+\left ( -2d \right )^{2}}$

$=\sqrt{4b^{2}+4d^{2}}$

$=\sqrt{4\left (b^{2}+d^{2} \right )}$

$=2\sqrt{b^{2}+d^{2}}$ একক।

উত্তরঃ ${\color{DarkGreen} \left ( b \right )2\sqrt{b^{2}+d^{2}}}$

(ii) (x, −7) এবং (3, −3) বিন্দুদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব 5 একক হলে x-এর মানগুলি হলাে

(a) 0 অথবা 6

(b) 2 অথবা 3

(d) −6 অথবা 0

সমাধানঃ

(x, −7) এবং (3, −3) বিন্দুদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব

$=\sqrt{\left ( x-3 \right )^{2}+\left ( -7+3 \right )^{2}}$

প্রশ্নানুসারে,

$\sqrt{\left ( x-3 \right )^{2}+\left ( -7+3 \right )^{2}}=5$

উভয়পক্ষে বর্গ করে পাই,

$\left ( x-3 \right )^{2}+\left ( -7+3 \right )^{2}=25$

বা, $\left ( x-3 \right )^{2}+\left ( -4 \right )^{2}=25$

বা, $x^{2}-6x+9+16-25=0$

বা, $x^{2}-6x=0$

বা, $x\left ( x-6 \right )=0$

দুই বা ততোধিক রাশির গুনফল শূন্য হলে তারা পৃথক পৃথক ভাবে শূন্য হয়।

∴ x = 0

অথবা

x − 6 = 0

∴ x = 6

উত্তরঃ (a) 0 অথবা 6

(iii) যদি (x, 4) বিন্দুটির মূলবিন্দু থেকে দূরত্ব 5 একক হয়, তাহলে x-এর মান

(a) ±4

(b) ±5

(d) কোনােটিই নয়

সমাধানঃ

(x, 4) এবং মূলবিন্দু (0, 0) বিন্দুদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব

$=\sqrt{\left ( x-0 \right )^{2}+\left ( 4-0 \right )^{2}}$

$=\sqrt{\left ( x \right )^{2}+\left ( 4 \right )^{2}}$

$=\sqrt{x^{2}+16}$

প্রশ্নানুসারে,

$\sqrt{x^{2}+16}=5$

উভয়পক্ষে বর্গ করে পাই,

$x^{2}+16=25$

বা, $x^{2}=25-16$

বা, $x^{2}=9$

বা, $x=\pm \sqrt{9}$

$\therefore x=\pm 3$

উত্তরঃ (c) ±3

(iv) (3, 0), (−3, 0) এবং (0, 3) বিন্দু তিনটি যােগ করে যে ত্রিভুজটি উৎপন্ন হয়, সেটি

(a) সমবাহু

(b) সমদ্বিবাহু

(d) সমকোণী সমদ্বিবাহু

সমাধানঃ

ধরি, A ( 3, 0), B (−3, 0) এবং C (0, 3) ত্রিভুজের তিনটি শীর্ষবিন্দু।

AB বাহুর দৈর্ঘ্য

$=\sqrt{\left ( 3+3 \right )^{2}+\left ( 0-0 \right )^{2}}$

$=\sqrt{\left ( 6 \right )^{2}}$

= 6 একক

BC বাহুর দৈর্ঘ্য

$=\sqrt{\left ( -3-0 \right )^{2}+\left ( 0-3 \right )^{2}}$

$=\sqrt{\left ( -3 \right )^{2}+\left ( -3 \right )^{2}}$

$=\sqrt{9+9}$

$=\sqrt{18}$ একক

AC বাহুর দৈর্ঘ্য

$=\sqrt{\left ( 3-0 \right )^{2}+\left ( 0-3 \right )^{2}}$

$=\sqrt{\left ( 3 \right )^{2}+\left ( -3 \right )^{2}}$

$=\sqrt{9+9}$

$=\sqrt{18}$ একক

এখন,

যেহেতু, BC = AC

∴ ত্রিভুজটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ

উত্তরঃ (b) সমদ্বিবাহু

(v) একটি বৃত্তের কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক (0, 0) এবং বৃত্তের উপরিস্থিত একটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক (3, 4) হলে বৃত্তটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য

(a) 5 একক

(b) 4 একক

(d) কোনােটিই নয়

সমাধানঃ

একটি বৃত্তের কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক (0, 0) এবং বৃত্তের উপরিস্থিত একটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক (3, 4) হলে,

বৃত্তটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য = বিন্দু দুটির মধ্যবর্তী দূরত্ব

$=\sqrt{\left ( 3-0 \right )^{2}+\left ( 4-0 \right )^{2}}$

$=\sqrt{\left ( 3 \right )^{2}+\left ( 4 \right )^{2}}$

$=\sqrt{9+16}$

$=\sqrt{25}$

= 5 একক

উত্তরঃ (a) 5 একক

16. সংক্ষিপ্ত উত্তরভিত্তিক প্রশ্ন:

(i) মূলবিন্দু থেকে (−4, y) বিন্দুর দূরত্ব 5 একক হলে y -এর মান কত লিখি।

সমাধানঃ

মূলবিন্দুর স্থানাঙ্ক = (0,0)

প্রশ্নানুসারে,

$\small \sqrt{\left ( 0+4 \right )^{2}+\left ( 0-y \right )^{2}}=5$

বা, $\small \sqrt{16+y^{2}}=5$

বা, $\small \left (\sqrt{16+y^{2}} \right )^{2}=\left ( 5 \right )^{2}$

বা, $\small 16+y^{2}=25$

বা, $\small y^{2}=25-16$

বা, $\small y^{2}=9$

বা, $\small y=\sqrt{9}$

$\small \therefore y=\pm 3$

উত্তরঃ y -এর মান 3 ও −3

(ii) y-অক্ষের উপর একটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক লিখি যার থেকে (2, 3) এবং (−1, 2) বিন্দু দুটির দূরত্ব সমান।

সমাধানঃ

ধরি, y-অক্ষের উপর অবস্থিত একটি বিন্দু হল (0, a)

[ Note: y-অক্ষের উপর অবস্থিত যেকোনো বিন্দুর x = 0 হয় ]

প্রশ্নানুসারে,

$\sqrt{\left ( 2-0 \right )^{2}+\left ( 3-a \right )^{2}}=\sqrt{\left ( -1-0 \right )^{2}+\left ( 2-a \right )^{2}}$

উভয়পক্ষে বর্গ করে পাই,

বা, $\left ( 2-0 \right )^{2}+\left ( 3-a \right )^{2}=\left ( -1-0 \right )^{2}+\left ( 2-a \right )^{2}$

বা, $4+9-6a+a^{2}=1+4-4a+a^{2}$

বা, $4+9-6a+a^{2}-1-4+4a-a^{2}=0$

বা, − 2a + 8 = 0

বা, − 2a = − 8

বা, $a=\frac{-8}{-2}$

∴ a = 4

উত্তরঃ y-অক্ষের উপর অবস্থিত বিন্দুটি হল (0,4)

(iii) x -অক্ষ এবং y -অক্ষের উপর দুটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক লিখি যাতে x-অক্ষ, y-অক্ষ এবং বিন্দু দুটির সংযােগকারী সরলরেখাংশ দ্বারা উৎপন্ন ত্রিভুজটি সমকোণী সমদ্বিবাহু হয়।

সমাধানঃ

x -অক্ষ এবং y -অক্ষের উপর দুটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক হল (±a, 0) (0, ±a) ; a = যেকোনো সংখ্যা।

যেমন : (2, 0) এবং (0, 2)

(iv) x-অক্ষের বিপরীত দিকে দুটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক লিখি যাদের দূরত্ব x-অক্ষ থেকে সমান।

সমাধানঃ

x-অক্ষের বিপরীত দিকে দুটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক হল (a,b) ও (c,−b) যাদের দূরত্ব x-অক্ষ থেকে সমান।

a, b ও c = যেকোনো সংখ্যা।

যেমন : (2, 5) এবং (4,−5)

(v) y-অক্ষের বিপরীত দিকে দুটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক লিখি যাদের দূরত্ব y-অক্ষ থেকে সমান।

সমাধানঃ

y-অক্ষের বিপরীত দিকে দুটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক হল (a,b) ও (−a,d) যাদের দূরত্ব y-অক্ষ থেকে সমান।

a, b ও d= যেকোনো সংখ্যা।

যেমন : (2, 5) এবং (−2,7)

Koshe dekhi 4 Class 9

Support Me

If you like my work then you can Support me by contributing a small amount which will help me a lot to grow my Website. It’s a request to all of you. You can donate me through phone pay / Paytm/ Gpay on this number 7980608289 or by the link below :

and visit Our website : learningscience.co.in

গণিত প্রকাশ (দশম শ্রেণী) সম্পূর্ণ সমাধান

গণিত প্রকাশ (নবম শ্রেণী) সম্পূর্ণ সমাধান

গণিত প্রভা (ষষ্ঠ শ্রেণী) সম্পূর্ণ সমাধান

জীবন বিজ্ঞান (দশম শ্রেণী) (Life Science)

Thank You

Koshe dekhi 4 class 9,Koshe dekhi 4 class 9,Koshe dekhi 4 class 9,Koshe dekhi 4 class 9,Koshe dekhi 4 class 9,Koshe dekhi 4 class 9,Koshe dekhi 4 class 9,Koshe dekhi 4 class 9,Koshe dekhi 4 class 9,Koshe dekhi 4 class 9,Koshe dekhi 4 class 9,Koshe dekhi 4 class 9,Koshe dekhi 4 class 9,Koshe dekhi 4 class 9,Koshe dekhi 4 class 9,Koshe dekhi 4 class 9,Koshe dekhi 4 class 9,Koshe dekhi 4 class 9,Koshe dekhi 4 class 9

Koshe dekhi 4 class 9

Koshe Dekhi 4 Class 9

Koshe Dekhi 4 Class 9

Koshe dekhi 4 Class 9

Support Me

Related Post

Koshe Dekhi 20 Class 9

Koshe Dekhi 17 Class 9

Koshe Dekhi 12 Class 9

3 thoughts on “Koshe dekhi 4 class 9”

Leave a Reply Cancel reply

You missed

Notification Out: RRB NTPC Recruitment 2024

CITL-001 Solved Assignment 2024-25

CIT-003 Solved Assignment 2024-25

CIT-002 Solved Assignment 2024-25