Koshe dekhi 20.2 Class 8

4. একটি কুব্জ চতুর্ভুজের তিনটি কোণের পরিমাপ যথাক্রমে 68°, 70° এবং 75° হতে পারে কিনা লিখি ।

সমাধানঃ
n সংখ্যক বাহুবিশিষ্ট্য বহুভুজের অন্তঃকোণের সমষ্টি = 2(n − 2) সমকোণ

চতুর্ভুজের ক্ষেত্রে n = 4

চতুর্ভুজের চারটি অন্তঃকোণের সমষ্টি
= 2(4 − 2) সমকোণ
= 2 × 2 সমকোণ
= 4 সমকোণ
= 4 × 90°
= 360°

∴ চতুর্ভুজের চতুর্থ কোণটির পরিমাপ হলো,
= 360° − (68° + 70° + 75°)
= 360° − 213°
= 147° < 180°

সুতরাং, কুব্জ চতুর্ভুজের তিনটি কোণের পরিমাপ যথাক্রমে 68°, 70° ও 75° হতে পারে।

5. একটি কুব্জ ষড়ভুজের পাঁচটি কোণের পরিমাপ যথাক্রমে 120°, 70°, 95°, 78° এবং 160°° হতে পারে কিনা লিখি ।

সমাধানঃ
n সংখ্যক বাহুবিশিষ্ট্য বহুভুজের অন্তঃকোণের সমষ্টি = 2(n − 2) সমকোণ

ষড়ভুজের ক্ষেত্রে n = 6

ষড়ভুজের অন্তঃকোণগুলির সমষ্টি
= 2(6 − 2) সমকোণ
= 8 সমকোণ
= 8 × 90°
= 720°

∴ ষড়ভুজের ষষ্ঠ কোণটির পরিমাপ হলো,
= 720° − (120° + 70° + 95° + 78° + 160°°)
= 720° − 523°
= 197° > 180°

সুতরাং, ষড়ভুজের পাঁচটি কোণের পরিমাণ যথাক্রমে 120°, 70°, 95°, 78° এবং 160° হতে পারে না।

6. নীচের সুষম বহুভুজগুলির প্রতিটি অন্তঃকোণ ও প্রতিটি বহিঃকোণের পরিমাপ লিখি –

(i) পঞ্চভুজ (ii) ষড়ভুজ (iii) অষ্টভুজ (iv) বহুভুজের বাহুসংখ্যা 9টি (v) বহুভুজের বাহুসংখ্যা 10টি (vi) বহুভুজের বাহুসংখ্যা 18টি।

সমাধানঃ
(i) পঞ্চভুজের অন্তঃকোণগুলির সমষ্টি
= 2(n − 2) সমকোণ
= 2(5 − 2) সমকোণ [পঞ্চভুজের ক্ষেত্রে n = 5]
= 6 সমকোণ
= 6 × 90°
= 540°

পঞ্চভুজের প্রতিটি অন্তঃকোণের পরিমাপ
\(= \frac{540°}{5} = 108°\) (উত্তর)

যেহেতু, 1 টি অন্তঃকোণের মান + 1 টি বহিঃকোণের মান = 180°

পঞ্চভুজের প্রতিটি বহিঃকোণের পরিমাপ হলো,
= 180° − 108°
= 72° (উত্তর)

(ii) ষড়ভুজের অন্তঃকোণগুলির সমষ্টি
= 2(n − 2) সমকোণ
= 2(6 − 2) সমকোণ [ষড়ভুজের ক্ষেত্রে n = 6]
= 8 সমকোণ
= 8 × 90°
= 720°

ষড়ভুজের প্রতিটি অন্তঃকোণের পরিমাপ
\(= \frac{720°}{6} = 120°\) (উত্তর)

যেহেতু, 1 টি অন্তঃকোণের মান + 1 টি বহিঃকোণের মান = 180°

ষড়ভুজের প্রতিটি বহিঃকোণের পরিমাপ হলো,
= 180° − 120°
= 60° (উত্তর)

(iii) অষ্টভুজের অন্তঃকোণগুলির সমষ্টি
= 2(n − 2) সমকোণ
= 2(8 − 2) সমকোণ [অষ্টভুজের ক্ষেত্রে n = 8]
= 12 সমকোণ
= 12 × 90°
= 1080°

অষ্টভুজের প্রতিটি অন্তঃকোণের পরিমাপ
\(= \frac{1080°}{8} = 135°\) (উত্তর)

যেহেতু, 1 টি অন্তঃকোণের মান + 1 টি বহিঃকোণের মান = 180°

অষ্টভুজের প্রতিটি বহিঃকোণের পরিমাপ হলো,
= 180° − 135°
= 45° (উত্তর)

(iv) যে বহুভুজের বাহুসংখ্যা n = 9 সেই বহুভুজের অন্তঃকোণগুলির সমষ্টি
= 2(n − 2) সমকোণ
= 2(9 − 2) সমকোণ
= 14 সমকোণ
= 14 × 90°
= 1260°

9 বাহুবিশিষ্ট্য বহুভূজটির প্রতিটি অন্তঃকোণের পরিমাপ
\(= \frac{1260°}{9} = 140°\) (উত্তর)

যেহেতু, 1 টি অন্তঃকোণের মান + 1 টি বহিঃকোণের মান = 180°

9 বাহুবিশিষ্ট্য বহুভূজটির প্রতিটি বহিঃকোণের পরিমাপ হলো,
= 180° − 140°
= 40° (উত্তর)

আরও দেখুনঃ

(v) যে বহুভুজের বাহুসংখ্যা n = 10 সেই বহুভুজের অন্তঃকোণগুলির সমষ্টি
= 2(n − 2) সমকোণ
= 2(10 − 2) সমকোণ
= 16 সমকোণ
= 16 × 90°
= 1440°

10 বাহুবিশিষ্ট্য বহুভূজটির প্রতিটি অন্তঃকোণের পরিমাপ
\(= \frac{1440°}{10} = 144°\) (উত্তর)

যেহেতু, 1 টি অন্তঃকোণের মান + 1 টি বহিঃকোণের মান = 180°

10 বাহুবিশিষ্ট্য বহুভূজটির প্রতিটি বহিঃকোণের পরিমাপ হলো,
= 180° − 144°
= 36° (উত্তর)

(vi) যে বহুভুজের বাহুসংখ্যা n = 18 সেই বহুভুজের অন্তঃকোণগুলির সমষ্টি
= 2(n − 2) সমকোণ
= 2(18 − 2) সমকোণ
= 32 সমকোণ
= 32 × 90°
= 2880°

18 বাহুবিশিষ্ট্য বহুভূজটির প্রতিটি অন্তঃকোণের পরিমাপ
\(= \frac{2880°}{18} = 160°\) (উত্তর)

যেহেতু, 1 টি অন্তঃকোণের মান + 1 টি বহিঃকোণের মান = 180°

18 বাহুবিশিষ্ট্য বহুভূজটির প্রতিটি বহিঃকোণের পরিমাপ হলো,
= 180° − 160°°
= 20° (উত্তর)

7. একটি সুষম বহুভুজের প্রতিটি বহিঃকোণের পরিমাপ নিম্নলিখিত পরিমাপগুলি হতে পারে কিনা (হ্যাঁ/না) লিখি

(i) 6º (ii) 10° (iii) 13° (iv) 18° (v) 35°

সমাধানঃ

(i) \(\because \) সুষম বহুভুজের বহুসংখ্যা = (360° ÷ প্রতিটি বহিঃকোণের পরিমাপ)

∴ সুষম বহুভুজটির বহুসংখ্যা হবে,
\(=\frac{360°}{6°} = 60 \) -এটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা।

∴ 6° (= প্রতিটি বহিঃকোণ) পরিমাপযুক্ত সুষম বহুভুজ সম্ভব। (উত্তর)

(ii) \(\because \) সুষম বহুভুজের বহুসংখ্যা = (360° ÷ প্রতিটি বহিঃকোণের পরিমাপ)

∴ সুষম বহুভুজটির বহুসংখ্যা হবে,
\(=\frac{360°}{10°} = 36 \) -এটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা।

∴ 10° (= প্রতিটি বহিঃকোণ) পরিমাপযুক্ত সুষম বহুভুজ সম্ভব। (উত্তর)

(iii) \(\because \) সুষম বহুভুজের বহুসংখ্যা = (360° ÷ প্রতিটি বহিঃকোণের পরিমাপ)

∴ সুষম বহুভুজটির বহুসংখ্যা হবে,
\(=\frac{360°}{13°} = \frac{360}{13} \) -এটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা নয় ।

∴ 13° (= প্রতিটি বহিঃকোণ) পরিমাপযুক্ত সুষম বহুভুজ সম্ভব নয় । (উত্তর)

(iv) \(\because \) সুষম বহুভুজের বহুসংখ্যা = (360° ÷ প্রতিটি বহিঃকোণের পরিমাপ)

∴ সুষম বহুভুজটির বহুসংখ্যা হবে,
\(=\frac{360°}{18°} = 20 \) -এটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা।

∴ 18° (= প্রতিটি বহিঃকোণ) পরিমাপযুক্ত সুষম বহুভুজ সম্ভব। (উত্তর)

(v) \(\because \) সুষম বহুভুজের বহুসংখ্যা = (360° ÷ প্রতিটি বহিঃকোণের পরিমাপ)

∴ সুষম বহুভুজটির বহুসংখ্যা হবে,
\(=\frac{360°}{35°} = \frac{72}{7} \) -এটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা নয় ।

∴ 35° (= প্রতিটি বহিঃকোণ) পরিমাপযুক্ত সুষম বহুভুজ সম্ভব নয় । (উত্তর)

8. একটি সুষম বহুভুজের প্রতিটি অন্তঃকোণের পরিমাপ নিম্নলিখিত পরিমাপগুলি হতে পারে কিনা (হ্যাঁ/ না) লিখি
(i) 80° (ii) 100° (iii) 120° (iv) 144° (v) 155° (vi) 160°

সমাধানঃ
(i) যেহেতু, 1 টি অন্তঃকোণের মান + 1 টি বহিঃকোণের মান = 180°

বহুভূজটির প্রতিটি বহিঃকোণের পরিমাপ হলো,
= 180° − 80°
= 100°

\(\because \) সুষম বহুভুজের বহুসংখ্যা = (360° ÷ প্রতিটি বহিঃকোণের পরিমাপ)

∴ সুষম বহুভুজটির বহুসংখ্যা হবে,
\(=\frac{360°}{100°} = \frac{18}{5} \) -এটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা নয়।

∴ 80° (= প্রতিটি অন্তঃকোণ) পরিমাপযুক্ত সুষম বহুভুজ সম্ভব নয়। (উত্তর)

(ii) যেহেতু, 1 টি অন্তঃকোণের মান + 1 টি বহিঃকোণের মান = 180°

বহুভূজটির প্রতিটি বহিঃকোণের পরিমাপ হলো,
= 180° − 100°
= 80°

\(\because \) সুষম বহুভুজের বহুসংখ্যা = (360° ÷ প্রতিটি বহিঃকোণের পরিমাপ)

∴ সুষম বহুভুজটির বহুসংখ্যা হবে,
\(=\frac{360°}{80°} = \frac{9}{2} \) -এটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা নয়।

∴ 100° (= প্রতিটি অন্তঃকোণ) পরিমাপযুক্ত সুষম বহুভুজ সম্ভব নয়। (উত্তর)

(iii) যেহেতু, 1 টি অন্তঃকোণের মান + 1 টি বহিঃকোণের মান = 180°

বহুভূজটির প্রতিটি বহিঃকোণের পরিমাপ হলো,
= 180° − 120°
= 60°

\(\because \) সুষম বহুভুজের বহুসংখ্যা = (360° ÷ প্রতিটি বহিঃকোণের পরিমাপ)

∴ সুষম বহুভুজটির বহুসংখ্যা হবে,
\(=\frac{360°}{60°} = 6 \) -এটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা ।

∴ 120° (= প্রতিটি অন্তঃকোণ) পরিমাপযুক্ত সুষম বহুভুজ সম্ভব। (উত্তর)

(iv) যেহেতু, 1 টি অন্তঃকোণের মান + 1 টি বহিঃকোণের মান = 180°

বহুভূজটির প্রতিটি বহিঃকোণের পরিমাপ হলো,
= 180° − 144°
= 36°

\(\because \) সুষম বহুভুজের বহুসংখ্যা = (360° ÷ প্রতিটি বহিঃকোণের পরিমাপ)

∴ সুষম বহুভুজটির বহুসংখ্যা হবে,
\(=\frac{360°}{36°} = 10 \) -এটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা।

∴ 144° (= প্রতিটি অন্তঃকোণ) পরিমাপযুক্ত সুষম বহুভুজ সম্ভব। (উত্তর)

(v) যেহেতু, 1 টি অন্তঃকোণের মান + 1 টি বহিঃকোণের মান = 180°

বহুভূজটির প্রতিটি বহিঃকোণের পরিমাপ হলো,
= 180° − 155°
= 25°

\(\because \) সুষম বহুভুজের বহুসংখ্যা = (360° ÷ প্রতিটি বহিঃকোণের পরিমাপ)

∴ সুষম বহুভুজটির বহুসংখ্যা হবে,
\(=\frac{360°}{25°} = \frac{72}{5} \) -এটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা নয়।

∴ 155° (= প্রতিটি অন্তঃকোণ) পরিমাপযুক্ত সুষম বহুভুজ সম্ভব নয়। (উত্তর)

(iii) যেহেতু, 1 টি অন্তঃকোণের মান + 1 টি বহিঃকোণের মান = 180°

বহুভূজটির প্রতিটি বহিঃকোণের পরিমাপ হলো,
= 180° − 160°
= 20°

\(\because \) সুষম বহুভুজের বহুসংখ্যা = (360° ÷ প্রতিটি বহিঃকোণের পরিমাপ)

∴ সুষম বহুভুজটির বহুসংখ্যা হবে,
\(=\frac{360°}{20°} = 18 \) -এটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা ।

∴ 160° (= প্রতিটি অন্তঃকোণ) পরিমাপযুক্ত সুষম বহুভুজ সম্ভব। (উত্তর)

আরও দেখুনঃ

9. একটি সুষম বহুভুজের প্রতিটি বহিঃকোণের পরিমাপ 60°; বহুভুজটির বাহুসংখ্যা লিখি।

সমাধানঃ
\(\because \) সুষম বহুভুজের বহুসংখ্যা = (360° ÷ প্রতিটি বহিঃকোণের পরিমাপ)

∴ বহুভুজটির বহুসংখ্যা হবে,
\(=\frac{360°}{60°} = 6 \) (উত্তর)

10. একটি সুষম বহুভুজের প্রতিটি অন্তঃকোণের পরিমাপ 135°; বহুভুজটির বাহুসংখ্যা লিখি।

সমাধানঃ
যেহেতু, 1 টি অন্তঃকোণের মান + 1 টি বহিঃকোণের মান = 180°

বহুভূজটির প্রতিটি বহিঃকোণের পরিমাপ হলো,
= 180° − 135°
= 45°

\(\because \) সুষম বহুভুজের বহুসংখ্যা = (360° ÷ প্রতিটি বহিঃকোণের পরিমাপ)

∴ সুষম বহুভুজটির বহুসংখ্যা হবে,
\(=\frac{360°}{45°} = 8 \) (উত্তর)

11. একটি সুষম বহুভুজের প্রতিটি অন্তঃকোণ ও প্রতিটি বহিঃকোণের পরিমাপের অনুপাত 3 : 2; বহুভুজটির বাহুসংখ্যা লিখি।

সমাধানঃ
ধরি, প্রতিটি অন্তঃকোণের পরিমাপ = 3x এবং প্রতিটি বহিঃকোণের পরিমাপ = 2x

যেহেতু, 1 টি অন্তঃকোণ + 1 টি বহিঃকোণ = 180°
∴ 3x + 2x = 180°
বা, 5x = 180°
বা, x = \(\frac{180°}{5} \)
∴ x = 36°

∴ প্রতিটি অন্তঃকোণ = 3 × 36° = 108° (উত্তর)
এবং প্রতিটি বহিঃকোণ = 2 × 36° = 72° (উত্তর)

12. একটি বহুভুজের অন্তঃকোণগুলির পরিমাপের সমষ্টি 1800°; বহুভুজটির বাহুসংখ্যা লিখি।

সমাধানঃ
ধরি, বহুভুজটির বাহুসংখ্যা = n

n সংখ্যক বাহুবিশিষ্ট বহুভুজের অন্তঃকোণগুলির সমষ্টি
= 2(n − 2) সমকোণ
= 2(n − 2) × 90°

শর্তানুসারে,
2(n − 2) × 90° = 1800°
বা, 180°n − 360° = 1800°
বা, 180°n = 1800° + 360°
বা, 180°n = 2160°
বা, n = \(frac{2160°}{180°}
∴ n = 12

∴ বহুভুজটির বাহুসংখ্যা হলো 12 (উত্তর)

13. একটি বহুভুজের পাঁচটি অন্তঃকোণের প্রতিটির পরিমাপ 172° এবং অপর অন্তঃকোণগুলির প্রতিটির পরিমাপ 160°°; বহুভুজটির বাহুসংখ্যা লিখি।

সমাধানঃ
ধরি, বহুভুজটির বাহুসংখ্যা = n

n সংখ্যক বাহুবিশিষ্ট বহুভুজের অন্তঃকোণগুলির সমষ্টি
= 2(n − 2) সমকোণ
= 2(n − 2) × 90°

5 টি অন্তঃকোণের সমষ্টি = 5 × 172° = 860°
বাকি অন্তঃকোণগুলির সমষ্টি = (n − 5) × 160°

শর্তানুসারে,
860° + (n − 5) × 160° = 2(n − 2) × 90°
বা, 860° + 160°n − 800° = 180°n − 360
বা, 160°n + 60° = 180°n − 360°
বা, 160°n − 180°n = − 360° − 60°
বা, − 20°n = − 420°
বা, 20°n = 420°
বা, n = \(frac{420°}{20°}
∴ n = 21

∴ বহুভুজটির বাহুসংখ্যা হলো 21 (উত্তর)

14. প্রমাণ করি যে একটি চতুর্ভুজের যেকোনো দুটি সন্নিহিত কোণের সমদ্বিখণ্ডকদ্বয়ের দ্বারা উৎপন্ন কোণ চতুর্ভুজের অপর কোণদ্বয়ের সমষ্টির অর্ধেক।

সমাধানঃ

Koshe dekhi 20.2 Class 8

প্রদত্তঃ ABCD চতুর্ভুজের ∠BAD ও ∠ABC এর অন্তঃসমদ্বিখন্ডক AO এবং BO পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করেছে। এর ফলে ∠AOB কোণ উৎপন্ন হল।

প্রামাণ্যঃ ∠AOB = \(\frac{1}{2}\)(∠BCD + ∠ADC)

প্রমাণঃ
∠BAD এর অন্তঃসমদ্বিখন্ডক AO
∴ ∠BAO = \(\frac{1}{2}\)∠BAD

∠ABC এর অন্তঃসমদ্বিখন্ডক BO
∴ ∠ABO = \(\frac{1}{2}\)∠ABC

ABCD চতুর্ভুজ থেকে পাই, ∠BAD + ∠ABC + ∠ADC + ∠BCD = 360°

ΔAOB থেকে পাই,
∠BAO + ∠ABO + ∠AOB = 180°
বা, \(\frac{1}{2}\)∠BAD + \(\frac{1}{2}\)∠ABC + ∠AOB = 180
বা, \(\frac{1}{2}\)(∠BAD + ∠ABC) + ∠AOB = 180°
বা, \(\frac{1}{2}\)(360° − ∠ADC − ∠BCD) + ∠AOB = 180°
বা, 180° − \(\frac{1}{2}\)(∠ADC + ∠BCD) + ∠AOB = 180°
বা, ∠AOB = 180° − 180° + \(\frac{1}{2}\)(∠ADC + ∠BCD)
∴∠AOB = \(\frac{1}{2}\)(∠BCD + ∠ADC) [প্রমাণিত]

আরও দেখুনঃ