Koshe dekhi 4.1 Class 8

Koshe dekhi 4.1 Class 8

সমাধানঃ 

(a) প্রথম ও দ্বিতীয় বীজগানিতিক সংখ্যামালার গুনফল
\(
\begin{array}{l}
=\left(x^{2}-3 x+5\right)(5 x+9) \\
=5x\left(x^{2}-3 x+5\right) +9\left(x^{2}-3 x+5\right) \\
=5 x^{3}-15 x^{2}+25 x+9 x^{2}-27 x+45 \\
=5 x^{3}-6 x^{2}-2 x+45
\end{array}
\)

\( x=1 \) বসিয়ে পাই,

\(
\begin{array}{l}
5 x^{3}-6 x^{2}-2 x+45 \\
=5.1^{3}-6.1^{2}-2.1+45 \\
=5-6-2+45 \\
=42
\end{array}
\)

(b) প্রথম ও দ্বিতীয় বীজগানিতিক সংখ্যামালার গুনফল
\(
\begin{array}{l}
=\left(x^{2}+12-7 y\right)(2 x-y) \\
=2x\left(x^{2}+12-7 y\right) -y\left(x^{2}+12-7 y\right) \\
=2 x^{3}+24 x-14 x y-x^{2} y-12 y+7 y^{2} \\
=2 x^{3}-x^{2} y+24 x-12 y-14 x y+7 y^{2}
\end{array}
\)

\( x=-2 \) ও \(y=2\) বসিয়ে পাই,

\[
\begin{array}{l}
2 x^{3}-x^{2} y+24 x-12 y-14 x y+7 y^{2} \\
=2 \cdot(-2)^{3}-(-2)^{2} \cdot 2+24 \cdot(-2)-12.2-14 .(-2) \cdot 2+7.2^{2} \\
=2 \cdot(-8)-4.2-48-24+56+7.4 \\
=16-8-48-24+56+28 \\
=-12
\end{array}
\]

(c) প্রথম ও দ্বিতীয় বীজগানিতিক সংখ্যামালার গুনফল
\[
\begin{array}{l}
=\left(8 p^{3}-3 p-2 p^{2}\right)\left(4 p^{2}-5\right) \\
=4p^2\left(8 p^{3}-3 p-2 p^{2}\right) -5\left(8 p^{3}-3 p-2 p^{2}\right) \\
=32 p^{5}-12 p^{3}-8 p^{4}-40 p^{3}+15 p+10 p^{2} \\
=32 p^{5}-8 p^{4}-52 p^{3}+10 p^{2}+15 p
\end{array}
\]

\( p=-2 \) বসিয়ে পাই,

\[
\begin{array}{l}
32 p^{5}-8 p^{4}-52 p^{3}+10 p^{2}+15 p \\
=32(-2)^{5}-8(-2)^{4}-52(-2)^{3}+10(-2)^{2}+15(-2) \\
=32 .(-32)-8.16-52 .(-8)+10.4-30 \\
=-1024-128+416+40-30 \\
=-726
\end{array}
\]

(d) প্রথম ও দ্বিতীয় বীজগানিতিক সংখ্যামালার গুনফল
\[
\begin{array}{l}
=(6 a+5 b+2)(a-b+6) \\
=a(6 a+5 b+2) -b(6 a+5 b+2)+6(6 a+5 b+2) \\
=6 a^{2}+5 a b+2 a-6 a b-5 b^{2}-2 b+36 a+30 b+12 \\
=6 a^{2}-a b+38 a+28 b-5 b^{2}+12
\end{array}
\]

\( a=0 \) ও \( b=-1 \) বসিয়ে পাই,

\[
\begin{array}{l}
6 a^{2}-a b+38 a+28 b-5 b^{2}+12 \\
=6.0^{2}-0 .(-1)+38.0+28 .(-1)-5(-1)^{2}+12 \\
=0-0+0-28-5.1+12 \\
=-28-5+12=-21
\end{array}
\]

আরও দেখুনঃ 

গণিত প্রকাশ দশম শ্রেণি – সম্পূর্ণ  সমাধান। 

গণিত প্রকাশ নবম শ্রেণি – সম্পূর্ণ  সমাধান।

গণিত প্রভা অষ্টম শ্রেণি – সম্পূর্ণ সমাধান। 

গণিত প্রভা সপ্তম শ্রেণি – সম্পূর্ণ সমাধান। 

গণিত প্রভা ষষ্ঠ শ্রেণি – সম্পূর্ণ সমাধান। 

(e) প্রথম ও দ্বিতীয় বীজগানিতিক সংখ্যামালার গুনফল
\[
\begin{array}{l}
=\left(p^{3}-p^{2} q^{2}+q^{3} b\right)\left(p^{2}+p q+q^{2}\right) \\
=p^2\left(p^{3}-p^{2} q^{2}+q^{3} \right) +pq\left(p^{3}-p^{2} q^{2}+q^{3} \right) +q^2\left(p^{3}-p^{2} q^{2}+q^{3} \right) \\
=p^{5}-p^{4} q^{2}+p^{2} q^{3}+p^{4} q-p^{3} q^{3}+p q^{4} +p^{3} q^{2}-p^{2} q^{4}+q^{5}
\end{array}
\]

\( p=2 \) ও \( q=-2 \) বসিয়ে পাই,

\[
\begin{array}{l}
p^{5}-p^{4} q^{2}+p^{2} q^{3}+p^{4} q-p^{3} q^{3}+p q^{4}+p^{3} q^{2}-p^{2} q^{4}+q^{5} \\
=2^{5}-2^{4} \cdot(-2)^{2}+2^{2} \cdot(-2)^{3}+2^{4} \cdot(-2)-2^{3} \cdot(-2)^{3}+2 .(-2)^{4}+23.(-2)^{2}-22 .(-2)^{4}+(-2)^{5} \\
=32-16.4+4 .(-8)+16 .(-2)-8.(-8)+2.16+8.4-4.16+(-32) \\
=32-64-32-32+64+32+32-64-32 \\
=-64 \\
\end{array}
\]

(f) প্রথম ও দ্বিতীয় বীজগানিতিক সংখ্যামালার গুনফल
\[
\begin{array}{l}
\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}-x y-y z-z x\right)(x+y+z) \\
=x\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}-x y-y z-z x\right)+y\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}-x y-y z-z x\right)+z\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}-x y-y z-z x\right) \\
=x^{3}+x y^{2}+x z^{2}-x^{2} y-x y z-x^{2} z +x^{2} y+y^{3}+y z^{2}-x y^{2}-y^{2} z-x y z +x^{2} z+y^{2} z+z^{3}-x y z-y z^{2}-x z^{2} \\
=x^{3}+y^{3}+z^{3}-3 x y z
\end{array}
\]

\( x=1, y=0 \) ও \( z=-1 \) বসিয়ে পাই,

\[
\begin{array}{l}
x^{3}+y^{3}+z^{3}-3 x y z \\
=1^{3}+0^{3}+(-1)^{3}-3.1 .0 \cdot(-1) \\
=1+0-1-0 \\
=0
\end{array}
\]

(g) আমি ধরলাম প্রথম সংখ্যমালা \( =3 x^{2}-x-21 \)
এবং দ্বিতীয় সংখ্যামালা \( =x+3 \)
[তোমরা নিজেদের মতো আলাদা আলাদা সংখ্যামালা ধরে গুনফল নির্ণয় করতে পারো]

প্রথম ও দ্বিতীয় বীজগানিতিক সংখ্যামালার গুনফল:
\[
\begin{array}{l}
=\left(3 x^{2}-x-21\right)(x+3) \\
=x\left(3 x^{2}-x-21\right)+3\left(3 x^{2}-x-21\right) \\
=3 x^{3}+x^{2}-21x+9 x^{2}-3x-63 \\
=3 x^{3}+10 x^{2}-24 x-63
\end{array}
\]

সংখ্যামালাদুটির মধ্যে শুধু একটি চলরাশি আছে সেটি হল \( x \) চলরাশিটিতে যেকোনো অখন্ড সংখ্যা \(0\) বসিয়ে পাই [এখানে \(0\) ছাড়াও অন্য যেকোনো অখন্ড সংখ্যা ধরা যেতে পারে] অर्থাৎ \( x=0 \) বসিয়ে পাই,
\[
\begin{array}
3x^{3}+10 x^{2}-24 x-63 \\
= 3.(0)^{3}+10.(0)^{2}-24.(0) -63 \\
= 3 \cdot(0)+10 \cdot(0)-24\cdot(0)-63\\
=0+0-0-63\\
=-63
\end{array}
\]

2. ধারাবাহিক গুণ করে গুণফল খুঁজি (পরপর গুণ করি)

(i) \( \left(x^{5}+1\right),\left(3-x^{4}\right),\left(4+x^{3}+x^{6}\right) \)

সমাধানঃ
\[
\begin{array}{l}
\left(x^{5}+1\right) \times\left(3-x^{4}\right) \times\left(4+x^{3}+x^{6}\right) \\
=\left\{3\left(x^{5}+1\right) -x^4(x^{5}+1)\right\} \times\left(4+x^{3}+x^{6}\right) \\
=\left(3 x^{5}+3-x^{9}-x^{4}\right) \times\left(4+x^{3}+x^{6}\right) \\
=4\left(3 x^{5}+3-x^{9}-x^{4}\right) +x^3\left(3 x^{5}+3-x^{9}-x^{4}\right) +x^6\left(3 x^{5}+3-x^{9}-x^{4}\right) \\
=12 x^{5}+12-4 x^{9}-4 x^{4}+3 x^{8}+3 x^{3}-x^{12}-x^{7} +3 x^{11}+3 x^{6}-x^{15}-x^{10} \\
=-x^{15}-x^{12}+3 x^{11}-x^{10}-4 x^{9}+3 x^{8}-x^{7}+3 x^{6}+12 x^{5}-4 x^{4}+3 x^{3}+12
\end{array}
\]

(ii) \( \left(2 a^{3}-3 b^{5}\right),\left(2 a^{3}+3 b^{5}\right),\left(2 a^{4}-3 a^{2} b^{2}+b^{4}\right) \)

সমাধানঃ
\[
\begin{array}{l}
\left(2 a^{3}-3 b^{5}\right) \times\left(2 a^{3}+3 b^{5}\right) \times\left(2 a^{4}-3 a^{2} b^{2}+b^{4}\right) \\
=\left\{ \left(2 a^{3}-3 b^{5}\right) \times\left(2 a^{3}+3 b^{5}\right) \right\} \times\left(2 a^{4}-3 a^{2} b^{2}+b^{4}\right) \\
=\left\{ \left(2a^{3}\right)^{2} – \left(3b^{5}\right)^{2}\right\} \times\left(2 a^{4}-3 a^{2} b^{2}+b^{4}\right) \\
=\left(4 a^{6}-9 b^{10}\right) \times\left(2 a^{4}-3 a^{2} b^{2}+b^{4}\right) \\
=4a^{6}\left(2 a^{4}-3 a^{2} b^{2}+b^{4}\right) -9b^{10}\left(2 a^{4}-3 a^{2} b^{2}+b^{4}\right) \\
=8 a^{10}-12 a^{8} b^{2}+4 a^{6} b^{4}-18 a^{4} b^{10}+27 a^{2} b^{12}-9 b^{14}
\end{array}
\]

আরও দেখুনঃ 

গণিত প্রকাশ দশম শ্রেণি – সম্পূর্ণ  সমাধান। 

গণিত প্রকাশ নবম শ্রেণি – সম্পূর্ণ  সমাধান।

গণিত প্রভা অষ্টম শ্রেণি – সম্পূর্ণ সমাধান। 

গণিত প্রভা সপ্তম শ্রেণি – সম্পূর্ণ সমাধান। 

গণিত প্রভা ষষ্ঠ শ্রেণি – সম্পূর্ণ সমাধান। 

(iii) \( (a x+b y),(a x-b y),\left(a^{4} x^{4}+a^{2} b^{2} x^{2} y^{2}+b^{4} y^{4}\right) \)

সমাধানঃ
\[
\begin{array}
(a x+b y) \times(a x-b y) \times\left(a^{4} x^{4}+a^{2} b^{2} x^{2} y^{2}+b^{4} y^{4}\right) \\
= \left\{ (ax+by)(ax-by)\right\} \times\left(a^{4} x^{4}+a^{2} b^{2} x^{2} y^{2}+b^{4} y^{4}\right) \\
= \left(a^{2} x^{2}-b^{2} y^{2}\right) \times\left(a^{4} x^{4}+a^{2} b^{2} x^{2} y^{2}+b^{4} y^{4}\right) \\
=a^{2} x^{2} \left(a^{4} x^{4}+a^{2} b^{2} x^{2} y^{2}+b^{4} y^{4}\right) -b^2 y^2 \left(a^{4} x^{4}+a^{2} b^{2} x^{2} y^{2}+b^{4} y^{4}\right) \\
= a^{6} x^{6}+a^{4} b^{2} x^{4} y^{2}+a^{2} b^{4} x^{2} y^{4}-a^{4} b^{2} x^{4} y^{2}-a^2 b^4 x^2 y^4 – b^6 y^6 \\
= a^{6} x^{6}-b^{6} y^{6}
\end{array}
\]

(iv) \( (a+b+c),(a-b+c),(a+b-c) \)

সমাধানঃ
\[
\begin{array}{l}
(a+b+c) \times(a-b+c) \times(a+b-c) \\
=\left\{a(a-b+c) + b(a-b+c) +c(a-b+c)\right\} \times(a+b-c) \\
=\left(a^{2}-a b+a c+a b-b^{2}+b c+a c-b c+c^{2}\right) \times(a+b-c) \\
=\left(a^{2}+2 a c-b^{2}+c^{2}\right) \times(a+b-c) \\
=a\left(a^{2}+2 a c-b^{2}+c^{2}\right)+b\left(a^{2}+2 a c-b^{2}+c^{2}\right)-c\left(a^{2}+2 a c-b^{2}+c^{2}\right) \\
= a^{3}+2 a^{2} c-a b^{2}+a c^{2}+a^{2} b+2 a b c-b^{3}+b c^{2}-a^{2} c-2 a c^{2}+b^{2} c-c^{3} \\
= a^{3}-b^{3}-c^{3}+2 a b c-a c^{2}-a b^{2}+a^{2} c+a^{2} b+c^{2} b+b^{2} c
\end{array}
\]

(v) \( \left(\frac{2 p^{2}}{q^{2}}+\frac{5 q^{2}}{p^{2}}\right),\left(\frac{2 p^{2}}{q^{2}}-\frac{5 q^{2}}{p^{2}}\right) \)

সমাধানঃ
\[
\begin{array}{l}
\left(\frac{2 p^{2}}{q^{2}}+\frac{5 q^{2}}{p^{2}}\right) \times\left(\frac{2 p^{2}}{q^{2}}-\frac{5 q^{2}}{p^{2}}\right) \\
=\frac{4 p^{4}}{q^{4}}+\frac{10 p^{2} q^{2}}{p^{2} q^{2}}-\frac{10 p^{2} q^{2}}{p^{2} q^{2}}-\frac{25 p^{4}}{q^{4}} \\
=\frac{4 p^{4}}{q^{4}}-\frac{25 p^{4}}{q^{4}}
\end{array}
\]

(vi) \( \left(\frac{x^{2}}{y^{2}}+\frac{y^{2}}{z^{2}}\right),\left(\frac{y^{2}}{z^{2}}+\frac{z^{2}}{x^{2}}\right),\left(\frac{z^{2}}{x^{2}}+\frac{x^{2}}{y^{2}}\right) \)

সমাধানঃ
\[
\begin{array}{l}
\left(\frac{x^{2}}{y^{2}}+\frac{y^{2}}{z^{2}}\right) \times\left(\frac{y^{2}}{z^{2}}+\frac{z^{2}}{x^{2}}\right) \times\left(\frac{z^{2}}{x^{2}}+\frac{x^{2}}{y^{2}}\right) \\
=\left(\frac{x^{2} y^{2}}{y^{2} z^{2}}+\frac{y^{4}}{z^{4}}+\frac{x^{2} z^{2}}{x^{2} y^{2}}+\frac{y^{2} z^{2}}{x^{2} z^{2}}\right) \times\left(\frac{z^{2}}{x^{2}}+\frac{x^{2}}{y^{2}}\right) \\
=\left(\frac{x^{2}}{z^{2}}+\frac{y^{4}}{z^{4}}+\frac{z^{2}}{y^{2}}+\frac{y^{2}}{x^{2}}\right) \times\left(\frac{z^{2}}{x^{2}}+\frac{x^{2}}{y^{2}}\right) \\
=\left(\frac{x^{2}}{z^{2}} \times \frac{z^{2}}{x^{2}}\right)+\left(\frac{y^{4}}{z^{4}} \times \frac{z^{2}}{x^{2}}\right)+\left(\frac{z^{2}}{y^{2}} \times \frac{z^{2}}{x^{2}}\right)+\left(\frac{y^{2}}{x^{2}} \times \frac{z^{2}}{x^{2}}\right) \\
\quad\left(\frac{x^{2}}{z^{2}} \times \frac{x^{2}}{y^{2}}\right)+\left(\frac{y^{4}}{z^{4}} \times \frac{x^{2}}{y^{2}}\right)+\left(\frac{z^{2}}{y^{2}} \times \frac{x^{2}}{y^{2}}\right)+\left(\frac{y^{2}}{x^{2}} \times \frac{x^{2}}{y^{2}}\right) \\
=1+\frac{y^{4}}{x^{2} z^{2}}+\frac{z^{4}}{x^{2} y^{2}}+\frac{y^{2} z^{2}}{x^{4}}+\frac{x^{4}}{y^{2} z^{2}}+\frac{x^{2} y^{2}}{z^{4}}+\frac{x^{2} z^{2}}{y^{4}}+1 \\
=2+\frac{y^{4}}{x^{2} z^{2}}+\frac{z^{4}}{x^{2} y^{2}}+\frac{y^{2} z^{2}}{x^{4}}+\frac{x^{4}}{y^{2} z^{2}}+\frac{x^{2} y^{2}}{z^{4}}+\frac{x^{2} z^{2}}{y^{4}}
\end{array}
\]

3. সরল করি

(i) \( (x+y)\left(x^{2}-x y+y^{2}\right)+(x-y)\left(x^{2}+x y+y^{2}\right) \)

সমাধানঃ
\[
\begin{array}{l}
(x+y)\left(x^{2}-x y+y^{2}\right)+(x-y)\left(x^{2}+x y+y^{2}\right) \\
=\left\{\left(x^{3}-x^{2} y+x y^{2}+x^{2} y-x y^{2}+y^{3}\right) \right\} + \left\{\left(x^{3}+x^{2} y+x y^{2}-x^{2} y-x y^{2}-y^{3}\right)\right\} \\
=\left(x^{3}+y^{3}\right)+\left(x^{3}-y^{3}\right)
\end{array}
\]

(ii) \( a^{2}\left(b^{2}-c^{2}\right)+b^{2}\left(c^{2}-a^{2}\right)+c^{2}\left(a^{2}-b^{2}\right) \)

সমাধানঃ
\[
\begin{array}{l}
a^{2}\left(b^{2}-c^{2}\right)+b^{2}\left(c^{2}-a^{2}\right)+c^{2}\left(a^{2}-b^{2}\right) \\
=a^{2} b^{2}-a^{2} c^{2}+b^{2} c^{2}-a^{2} b^{2}+a^{2} c^{2}-b^{2} c^{2} \\
=0
\end{array}
\]

4. (i) \( a=x^{2}+x y+y^{2}, b=y^{2}+y z+z^{2}, c=z^{2}+z x+x^{2} \) হলে  \( (x-y) a+(y-z) b+(z-x) c \) -এর মান নির্ণয় করি।

সমাধানঃ
\[
\begin{array}
a=x^{2}+x y+y^{2}, b=y^{2}+y z+z^{2}, c=z^{2}+z x+x^{2} \\
\therefore (x-y) a+(y-z) b+(z-x) c \\
= \left\{(x-y)\left(x^{2}+x y+y^{2}\right)\right\}+\left\{(y-z)\left(y^{2}+y z+z^{2}\right)\right\}+\left\{(z-x)\left(z^{2}+z x+x^{2}\right)\right\} \\
= \left(x^{3}+x^{2} y+x y^{2}-x^{2} y-x^{2} y-y^{3}\right) +\left(y^{3}+y^{2} z+y z^{2}-y^{2} z-y z^{2}-z^{3}\right) +\left(z^{3}+z^{2} x+z x^{2}-z^{2} x-z x^{2}-x^{3}\right) \\
= \left(x^{3}-y^{3}\right)+\left(y^{3}-z^{3}\right)+\left(z^{3}-x^{3}\right) \\
= x^{3}-y^{3}+y^{3}-z^{3}+z^{3}-x^{3} \\
= 0
\end{array}
\]

আরও দেখুনঃ 

গণিত প্রকাশ দশম শ্রেণি – সম্পূর্ণ  সমাধান। 

গণিত প্রকাশ নবম শ্রেণি – সম্পূর্ণ  সমাধান।

গণিত প্রভা অষ্টম শ্রেণি – সম্পূর্ণ সমাধান। 

গণিত প্রভা সপ্তম শ্রেণি – সম্পূর্ণ সমাধান। 

গণিত প্রভা ষষ্ঠ শ্রেণি – সম্পূর্ণ সমাধান। 

4. (ii) \( a= lx+my+n, b=mx+ny+l, c=nx+ly+m \)  হলে  \( a (m + n) + b (n + l) + c (l + m) \) -কী হয় দেখি।

সমাধানঃ
\[
\begin{array}{l}
a=l x+m y+n, b=m x+n y+l, c=n x+l y+m \\
\therefore \quad a(m+n)+b(n+l)+c(l+m) \\
=\left\{(l x+m y+n)(m+n)\right\}+\left\{(m x+n y+l)(n+l)\right\}+\left\{(n x+l y+m)(l+m)\right\} \\
=\left(m l x+m^{2} y+m n+n l x+m n y+n^{2}\right)+\left(m n x+n^{2} y+n l+m l x+n l y+l^{2}\right)+\left(n l x+l^{2} y+m l+m n x+m l y+m^{2}\right) \\
=m l x+m^{2} y+m n+n l x+m n y+n^{2}+m n x+n^{2} y+n l+m l x+n l y+l^{2}+n l x+l^{2} y+m l+m n x+m l y+m^{2} \\
=m^{2} y+m n y+n^{2} y+n l y+l^{2} y+m l y +2 m l x+2 m n x+2 n l x+n^{2}+l^{2}+m^{2} \\
=y\left(m^{2}+n^{2}+l^{2}+m n+n l+m l\right)+2 x(m l+m n+n l)+m^{2}+n^{2}+l^{2} \\
\end{array}
\]

Koshe Dekhi 4.1 Class 8

and visit Our website : learningscience.co.in 

আরও দেখুনঃ 

গণিত প্রকাশ দশম শ্রেণি – সম্পূর্ণ  সমাধান। 

গণিত প্রকাশ নবম শ্রেণি – সম্পূর্ণ  সমাধান।

গণিত প্রভা অষ্টম শ্রেণি – সম্পূর্ণ সমাধান। 

গণিত প্রভা সপ্তম শ্রেণি – সম্পূর্ণ সমাধান। 

গণিত প্রভা ষষ্ঠ শ্রেণি – সম্পূর্ণ সমাধান। 

জীবন বিজ্ঞান  (দশম শ্রেণী) (Life Science)

Thank You

Koshe dekhi 4.1 Class 8,Koshe dekhi 4.1 Class 8,Koshe dekhi 4.1 Class 8