Koshe dekhi 4.2 Class 8

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Q1. দুটি সংখ্যার গুণফল \( 3x^{2}+ 8x + 4 \) এবং একটি সংখ্যা \( 3x + 2\) হলে, অপর সংখ্যাটি হিসাব করে লিখি ।

সমাধানঃ 

অপর সংখ্যাটিকে পেতে হলে আমাদেরকে  \( 3x^{2}+ 8x + 4 \) কে \( 3x + 2\) দিয়ে ভাগ করতে হবে। 

\begin{array}{l}\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad x+2\\3x+2\left| \!{\overline {\,
{\underline{\begin{array}{l}\quad 3{{x}^{2}}+8x+4\\\quad 3{{x}^{2}}+2x\\(-)\quad \ \text{(}-\text{)}\end{array}}} \,}} \right. \\\quad \quad \quad \quad \quad \quad \ \ 6x+4\\\quad \quad \quad \quad \quad \quad \ \ 6x+4\\\quad \quad \quad \quad \quad \underline{{\text{(}-\text{)}\quad \text{(}-\text{)}\quad }}\\\quad \quad \quad \quad \quad \quad \ \ \quad 0\end{array}

সুতরাং, অপর সংখ্যাটি হলো \(x+2\).

Q2. একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল \( (24x^{2} − 65xy + 21y^{2}) \) বর্গসেমি. এবং দৈর্ঘ্য \( ( 8x − 3y) \) সেমি. হলে প্রস্থ কত হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ 

যেহেতু, আমরা জানি যে, আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলকে দৈর্ঘ্য দিয়ে ভাগ করলে প্রস্থের পরিমাপ পাওয়া যায়, তাই আমরা আয়তক্ষত্রের ক্ষেত্রফলকে দৈর্ঘ্য দিয়ে ভাগ করবো। 

\begin{array}{l}\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad 3x-7y\\8x-3y\left| \!{\overline {\,
{\underline{\begin{array}{l}\quad 24{{x}^{2}}-65xy+21{{y}^{2}}\\\quad 24{{x}^{2}}-9xy\\(-)\quad \ \ \text{(}+\text{)}\end{array}}} \,}} \right. \\\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ \ \ 56xy+21{{y}^{2}}\\\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ \ \ 56xy+21{{y}^{2}}\\\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \underline{{\text{(}-\text{)}\quad \ \ \text{(}-\text{)}\quad \quad }}\\\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ \ \ \quad \quad 0\end{array}

সুতরাং, আয়তক্ষেত্রের প্রস্থের পরিমাপ হলো  \( (3x-4y)\) সেমি.

Q3. একটি ভাগ অঙ্কে ভাজ্য \( x^{4}+ x^{3}y + xy^{3} − y^{4} \) এবং ভাজক \( x^{2} + xy – y^{2} \); ভাগফল ও ভাগশেষ নির্ণয় করি।

সমাধানঃ 

\begin{array}{l}\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad {{x}^{2}}+{{y}^{2}}\\{{x}^{2}}+xy-{{y}^{2}}\left| \!{\overline {\,
{\underline{\begin{array}{l}\quad {{x}^{4}}+{{x}^{3}}y\quad \quad \quad +x{{y}^{3}}-{{y}^{4}}\\\quad {{x}^{4}}+{{x}^{3}}y+{{x}^{2}}{{y}^{2}}\\(-)\ \ \text{(}-\text{)}\quad \ \text{(}+\text{)}\end{array}}} \,}} \right. \\\quad \quad \quad \quad \quad \quad \ \ \quad \quad \quad \quad {{x}^{2}}{{y}^{2}}+x{{y}^{3}}-{{y}^{4}}\\\quad \quad \quad \quad \quad \quad \ \ \quad \quad \quad \quad {{x}^{2}}{{y}^{2}}+x{{y}^{3}}-{{y}^{4}}\\\quad \quad \quad \quad \quad \quad \ \ \quad \quad \quad \underline{{\text{(}-\text{)}\quad \ \ \text{(}-\text{)}\quad \ \ \text{(+)}\quad }}\\\quad \quad \quad \quad \quad \quad \ \ \quad \quad \quad \quad \quad \quad 0\end{array}

4. ভাগ করি

a) \((m^{2} + 4m − 21 )\) কে \(( m − 3 )\) দিয়ে ।

সমাধানঃ 

\begin{array}{l}\quad \quad \quad \quad \quad \quad m+7\\m-3\left| \!{\overline {\,
{\underline{\begin{array}{l}\quad {{m}^{2}}+4m-21\\\quad {{m}^{2}}-3m\\(-)\ \ \ \text{(}+\text{)}\quad \quad \quad \quad \end{array}}} \,}} \right. \\\quad \quad \quad \quad \quad \quad \ 7m-21\\\quad \quad \quad \quad \quad \quad \ 7m-21\\\quad \quad \quad \quad \quad \underline{{\text{(}-\text{)}\quad \ \text{(}+\text{)}\quad }}\\\quad \quad \quad \quad \quad \quad \ \ \quad 0\end{array}

সুতরাং,
ভাগফলঃ \( m+7\)
ভাগশেষঃ \( 0\)

Q4. b) \((6c^{2} − 7c + 2 )\) কে \(( 3c – 2 )\) দিয়ে।

সমাধানঃ 

\begin{array}{l}\quad \quad \quad \quad \quad \quad 2c-1\\3c-2\left| \!{\overline {\,
{\underline{\begin{array}{l}\quad 6{{c}^{2}}-7c+2\\\quad 6{{c}^{2}}-4c\\(-)\ \ \ \text{(}+\text{)}\quad \quad \quad \quad \end{array}}} \,}} \right. \\\quad \quad \quad \quad \quad \quad \ -3c+2\\\quad \quad \quad \quad \quad \quad \ -3c+2\\\quad \quad \quad \quad \quad \quad \underline{{\text{(}+\text{)}\ \ \ \text{(}-\text{)}\quad }}\\\quad \quad \quad \quad \quad \quad \ \ \quad 0\end{array}

সুতরাং,
ভাগফলঃ \( 2c-1\) 
ভাগশেষঃ \( 0\)

Q4. c) \((2a^{4} – a^{3} – 2a^{2} + 5a – 1 )\) কে \((2a^{2} + a − 3 )\) দিয়ে।

সমাধানঃ 

\begin{array}{l}\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad {{a}^{2}}-a+1\\2{{a}^{2}}+a-3\left| \!{\overline {\,
{\underline{\begin{array}{l}\quad 2{{a}^{4}}-{{a}^{3}}-2{{a}^{2}}+5a-1\quad \\\quad 2{{a}^{4}}+{{a}^{3}}-3{{a}^{2}}\\(-)\ \ \ \ \text{(}-\text{)}\ \ \text{(}+\text{)}\quad \quad \quad \quad \end{array}}} \,}} \right. \\\quad \quad \quad \quad \quad \quad \ \quad \ \ -2{{a}^{3}}+{{a}^{2}}+5a-1\\\quad \quad \quad \quad \quad \quad \ \quad \ \ -2{{a}^{3}}-{{a}^{2}}-3a\\\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ \underline{{\text{(}+\text{)}\quad \ \ \text{(}+\text{)}\quad \text{(}+\text{)}\quad \quad \quad }}\\\quad \quad \quad \quad \quad \quad \ \ \quad \quad \quad \quad 2{{a}^{2}}+2a-1\\\quad \quad \quad \quad \quad \quad \ \ \quad \quad \quad \quad 2{{a}^{2}}+a-3\\\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ \underline{{\quad \quad \text{(}+\text{)}\quad \ \text{(}-\text{)}\ \ \ \text{(}+\text{)}\quad \quad \quad }}\\\quad \quad \quad \quad \quad \quad \ \ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ a+2\end{array}

সুতরাং,
ভাগফলঃ \(a^2 -a +1 \)
ভাগশেষঃ \( a+2\)

Q4. d)\( (m^{4} − 2m^{3} − 7m^{2} + 8m + 12 )\) কে \(( m^{2} − m − 6 )\) দিয়ে।

সমাধানঃ 

\begin{array}{l}\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad {{m}^{2}}-m-2\\{{m}^{2}}-m-6\left| \!{\overline {\,
{\underline{\begin{array}{l}\quad {{m}^{4}}-2{{m}^{3}}-7{{m}^{2}}+8m+12\quad \\\quad {{m}^{4}}-{{m}^{3}}-6{{m}^{2}}\\(-)\ \ \ \text{(}+\text{)}\ \ \ \text{(}+\text{)}\quad \quad \quad \quad \end{array}}} \,}} \right. \\\quad \quad \quad \quad \quad \quad \ \quad \ \ -{{m}^{3}}-{{m}^{2}}+8m\\\quad \quad \quad \quad \quad \quad \ \quad \ \ -{{m}^{3}}+{{m}^{2}}+6m\\\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ \underline{{\text{(}+\text{)}\quad \ \text{(}-\text{)}\quad \text{(}-\text{)}\quad \quad \quad \quad \quad }}\\\quad \quad \quad \quad \quad \quad \ \ \quad \quad \quad -2{{m}^{2}}+2m+12\\\quad \quad \quad \quad \quad \quad \ \ \quad \quad \quad -2{{m}^{2}}+2m+12\\\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ \underline{{\quad \quad \text{(}+\text{)}\quad \ \ \text{(}-\text{)}\ \ \ \ \ \text{(}-\text{)}\quad \quad \quad }}\\\quad \quad \quad \quad \quad \quad \ \ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ 0\end{array}

সুতরাং,
ভাগফলঃ \(m^2 – m-2 \)
ভাগশেষঃ \( 0\)

Q5. a) \((6x^{2}a^{3} − 4x^{3}a^{2}+ 8x^{4}a^{2}) \div 2a^{2}x^{2} \)

সমাধানঃ 

\begin{array}{l}(6{{x}^{2}}{{a}^{3}}-4{{x}^{3}}{{a}^{2}}+8{{x}^{4}}{{a}^{2}})\div 2{{a}^{2}}{{x}^{2}}\\=\frac{{6{{x}^{2}}{{a}^{3}}-4{{x}^{3}}{{a}^{2}}+8{{x}^{4}}{{a}^{2}}}}{{2{{a}^{2}}{{x}^{2}}}}\\=\frac{{6{{x}^{2}}{{a}^{3}}}}{{2{{a}^{2}}{{x}^{2}}}}-\frac{{4{{x}^{3}}{{a}^{2}}}}{{2{{a}^{2}}{{x}^{2}}}}+\frac{{8{{x}^{4}}{{a}^{2}}}}{{2{{a}^{2}}{{x}^{2}}}}\\=3a-2x+4{{x}^{2}}\end{array}

Q5. b) \(\frac{2 y^{9} x^{5}}{5 x^{2}} \times \frac{125x y^{5}}{16 x^{4} y^{10}} \)

সমাধানঃ 

\begin{array}{l}\frac{{2{{y}^{9}}{{x}^{5}}}}{{5{{x}^{2}}}}\times \frac{{125x{{y}^{5}}}}{{16{{x}^{4}}{{y}^{{10}}}}}\\=\left( {\frac{{2\times 125}}{{5\times 16}}} \right)\times \left( {\frac{{{{y}^{9}}{{x}^{5}}}}{{{{x}^{2}}}}\times \frac{{x{{y}^{5}}}}{{{{x}^{4}}{{y}^{{10}}}}}} \right)\\=\left( {\frac{{25}}{8}} \right)\times \left( {\frac{{{{y}^{{9+5}}}{{x}^{{5+1}}}}}{{{{x}^{{2+4}}}{{y}^{{10}}}}}} \right)\\=\left( {\frac{{25}}{8}} \right)\times \left( {\frac{{{{x}^{6}}{{y}^{{14}}}}}{{{{x}^{6}}{{y}^{{10}}}}}} \right)\\=\left( {\frac{{25}}{8}} \right)\times \left( {{{y}^{{14-10}}}} \right)\\=\frac{{25}}{8}{{y}^{4}}\end{array}

Q5. c) \(\frac{7 a^{4} y^{2}}{9 a^{2}} \times \frac{729a^{6}}{42 y^{6}} \)

সমাধানঃ 

\begin{array}{l}\frac{{7{{a}^{4}}{{y}^{2}}}}{{9{{a}^{2}}}}\times \frac{{729{{a}^{6}}}}{{42{{y}^{6}}}}\\=\left( {\frac{{7\times 729}}{{9\times 42}}} \right)\times \left( {\frac{{{{a}^{4}}{{y}^{2}}\times {{a}^{6}}}}{{{{a}^{2}}\times {{y}^{6}}}}} \right)\\=\frac{27}{2}\times \left( {\frac{{{{a}^{{4+6-2}}}}}{{{{y}^{{6-2}}}}}} \right)\\=\frac{27}{2}\times \frac{{{{a}^{8}}}}{{{{y}^{4}}}}\end{array}

Q5. d) \((p^{2}q^{2}r^{5} − p^{3}q^{5}r^{2} + p^{5}q^{3}r^{2}) \div p^{2}q^{2}r^{2} \)

সমাধানঃ 

\begin{array}{l}({{p}^{2}}{{q}^{2}}{{r}^{5}}-{{p}^{3}}{{q}^{5}}{{r}^{2}}+{{p}^{5}}{{q}^{3}}{{r}^{2}})\div {{p}^{2}}{{q}^{2}}{{r}^{2}}\\=\frac{{{{p}^{2}}{{q}^{2}}{{r}^{5}}-{{p}^{3}}{{q}^{5}}{{r}^{2}}+{{p}^{5}}{{q}^{3}}{{r}^{2}}}}{{{{p}^{2}}{{q}^{2}}{{r}^{2}}}}\\=\frac{{{{p}^{2}}{{q}^{2}}{{r}^{5}}}}{{{{p}^{2}}{{q}^{2}}{{r}^{2}}}}-\frac{{{{p}^{3}}{{q}^{5}}{{r}^{2}}}}{{{{p}^{2}}{{q}^{2}}{{r}^{2}}}}+\frac{{{{p}^{5}}{{q}^{3}}{{r}^{2}}}}{{{{p}^{2}}{{q}^{2}}{{r}^{2}}}}\\={{r}^{{5-2}}}-{{p}^{{3-2}}}{{q}^{{5-2}}}+{{p}^{{5-2}}}{{q}^{{3-2}}}\\={{r}^{3}}-p{{q}^{3}}+{{p}^{3}}q\end{array}

Q6. কোনো ভাগ অঙ্কে ভাজক \((x – 4)\), ভাগফল \( (x^{2} + 4x + 4) \) ও ভাগশেষ \(3\) হলে ভাজ্য কত হবে হিসাব করে লিখি। [ ভাজ্য = ভাজক × ভাগফল + ভাগশেষ ]

সমাধানঃ 

ভাজক = \(x-4\)
ভাগফল = \(x^{2}+4 x+4\)
এবং ভাগশেষ = \(3 \)

আমরা জানি, ভাজ্য = ভাজক × ভাগফল + ভাগশেষ
\(\therefore \) ভাজ্য = \((x-4) \times\left(x^{2}+4 x+4\right)+3 \)
\( =x^{3}+4 x^{2}+4 x-4 x^{2}-16 x-16+3 \)
\(=x^{3}-12 x-13\)

Q7. কোনো ভাগ অঙ্কে ভাজক \( (a^{2} + 2a − 1) \), ভাগফল \(5a − 14\) এবং ভাগশেষ \( 35a – 17 \) হলে ভাজ্য কত হবে হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ 

ভাজক = \(a^{2} + 2a − 1\)
ভাগফল = \(5a − 14 \)
এবং ভাগশেষ = \( 35a – 17 \)

আমরা জানি, ভাজ্য = ভাজক × ভাগফল + ভাগশেষ
\(\therefore \) ভাজ্য = \((a^{2} + 2a − 1) \times(5a − 14)+(35a – 17) \)
\( =5a^{3}+10a^{2}-5a-14a^2 -28a+14 +35a-17 \)
\(=5a^{3}-4a^2+2a-3\)

8. ভাগ করে ভাগফল ও ভাগশেষ লিখি।

i) \( ( x^{2} + 11x + 27 ) \div (x + 6)\)

সমাধানঃ 

\begin{array}{l}\quad \quad \quad \quad \quad x+5\\x+6\left| \!{\overline {\,
{\underline{\begin{array}{l}\quad {{x}^{2}}+11x+27\\\quad {{x}^{2}}+6x\\(-)\ \ \ \text{(}-\text{)}\quad \quad \quad \quad \end{array}}} \,}} \right. \\\quad \quad \quad \quad \quad \quad \ 5x+27\\\quad \quad \quad \quad \quad \quad \ 5x+30\\\quad \quad \quad \quad \quad \underline{{\text{(}-\text{)}\quad \ \text{(}-\text{)}\quad }}\\\quad \quad \quad \quad \quad \quad \ \ \quad -3\end{array}

\( \therefore \) নির্ণেয় ভাগফল = \( x+5\)

এবং ভাগশেষ =  \( -3\)

Q8. ii) \( (81x^{4}+ 2) \div (3x – 1 )\)

সমাধানঃ 

\begin{array}{l}\quad \quad \quad \quad \quad \quad \ \ 27{{x}^{3}}+9{{x}^{2}}+3x+1\\3x-1\left| \!{\overline {\,
{\underline{\begin{array}{l}\quad 81{{x}^{4}}\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad +2\\\quad 81{{x}^{4}}-27{{x}^{3}}\\(-)\ \ \ \ \ \text{(}+\text{)}\quad \quad \quad \quad \end{array}}} \,}} \right. \\\quad \quad \quad \quad \quad \quad \ 27{{x}^{3}}\quad \quad \quad \quad \quad +2\\\quad \quad \quad \quad \quad \quad \ 27{{x}^{3}}-9{{x}^{2}}\\\quad \quad \quad \quad \quad \underline{{\text{(}-\text{)}\quad \ \ \ \ \text{(}+\text{)}\quad \quad \quad \quad \quad }}\\\quad \quad \quad \quad \quad \quad \ \ \quad \quad \ \ \ 9{{x}^{2}}\quad \ \ \ \ \ +2\\\quad \quad \quad \quad \quad \quad \ \ \quad \quad \ \ \ 9{{x}^{2}}-3x\\\quad \quad \quad \quad \quad \underline{{\quad \quad \quad \text{(}-\text{)}\quad \ \ \text{(}+\text{)}\quad \quad \quad }}\\\quad \quad \quad \quad \quad \quad \ \ \quad \quad \ \ \ \quad \quad 3x+2\\\quad \quad \quad \quad \quad \quad \ \ \quad \quad \ \ \ \quad \quad 3x-1\\\quad \quad \quad \quad \quad \underline{{\quad \quad \quad \quad \quad \text{(}-\text{)}\quad \text{(}+\text{)}\quad }}\\\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ \ 3\end{array}

\( \therefore \) নির্ণেয় ভাগফল = \(27{{x}^{3}}+9{{x}^{2}}+3x+1 \)

এবং ভাগশেষ =  \( 3\)

Q8. iii ) \( ( 63x^{2} – 19x − 20 ) \div (9x^{2} + 5 )\)

সমাধানঃ 

\begin{array}{l}\quad \quad \quad \quad \quad \quad 7\\9{{x}^{2}}+6\left| \!{\overline {\,
{\underline{\begin{array}{l}\quad 63{{x}^{2}}-19x-20\\\quad 63{{x}^{2}}\quad \quad \quad +35\\(-)\ \ \ \quad \quad \quad \text{(}-\text{)}\quad \quad \end{array}}} \,}} \right. \\\quad \quad \quad \quad \quad \quad \ -19x-55\end{array}

\( \therefore \) নির্ণেয় ভাগফল = \( 7\)

এবং ভাগশেষ =  \( -19x-55\)

Q8. iv) \( ( x^{3} − x^{2} – 8x – 13) \div (x^{2} + 3x + 3)\)

সমাধানঃ 

\begin{array}{l}\quad \quad \quad \quad \quad \quad x-4\\{{x}^{2}}+3x+3\left| \!{\overline {\,
{\underline{\begin{array}{l}\quad {{x}^{3}}-{{x}^{2}}-8x-13\\\quad {{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+3x\\(-)\ \ \text{(}-\text{)}\ \ \ \ \text{(}-\text{)}\quad \quad \quad \quad \end{array}}} \,}} \right. \\\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad -4{{x}^{2}}-11x-13\\\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad -4{{x}^{2}}-12x-12\\\quad \quad \quad \quad \quad \quad \ \ \underline{{\text{(}+\text{)}\quad \ \ \text{(}+\text{)}\quad \ \ \text{(}+\text{)}\quad }}\\\quad \quad \quad \quad \quad \quad \ \ \quad \quad \ \ \quad \quad x-1\end{array}

\( \therefore \) নির্ণেয় ভাগফল = \( x-4 \)

এবং ভাগশেষ =  \( x-1 \)

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